102

4CAPÍTULO

Função quadrática

Inspirada nas brincadeiras com trenós nas montanhas geladas da

Rússia, a montanha-russa se destaca por seu tamanho e pela sensação

de perigo, divertida para alguns e aterrorizante para outros. Ela é pro-

jetada para dar a sensação de desafiar a lei da gravidade. Para isso, os

engenheiros precisam conhecer muito bem os efeitos que a altura,

os aclives e os declives causam no carrinho e nos usuários para não

colocá-los em risco. A inclinação da pista depende da forma da curva,

que pode lembrar um arco de parábola, como o da fotografia acima.

O gráfico da função quadrática é uma parábola. A parábola apa-

rece como padrão de comportamento de muitos fenômenos, como

a trajetória de um projétil ao ser lançado, a linha descrita pela água

em uma fonte e a estrutura que sustenta o farol de um automóvel.

As antenas parabólicas, por seu próprio nome, sugerem a aplicação

do formato da parábola na sua estrutura. De fato, basta imaginarmos

uma curva em forma de parábola girando em torno de um eixo. Seu

funcionamento se apoia no seguinte: um satélite artificial, colocado

em uma órbita geoestacionária, emite um conjunto de ondas ele-

tromagnéticas, formando um feixe de raios. Estes, ao atingirem a

antena de formato parabólico, são refletidos para um único ponto,

chamado foco, que é um componente da parábola.

A função quadrática expressa algebricamente o comportamento

dos pontos do gráfico que descrevem uma parábola e será objeto de

estudo deste capítulo.

Behemoth, montanha-russa no parque Canada’s Wonderland, em Ontário, Canadá.

An

dre

Pe

nn

er/A

rqu

ivo

da

ed

ito

ra

103Capítulo 4 • Função quadrática

1 Definição de função quadrática Reúna-se com um colega, considerem um retângulo de

perímetro 20 m e tentem responder às questões a seguir.

a) Todos os retângulos de mesmo perímetro têm a mesma

área?

b) Caso não tenham a mesma área, existem algumas dimen-

sões do retângulo que resultem em uma área máxima?

Uma função f: R → R chama-se

quadrática quando existem

números reais a, b, c, com a � 0,

tal que f(x) � ax2 � bx � c

para todo x � R.

f: R → R

x → ax2 � bx � c

Vamos identificar a função quadrática com o trinômio do 2o grau a ela associado e a escreveremos

simplesmente como f(x) � ax2 � bx � c.

Exemplos:

a) f(x) � �x2 � 100x, em que a � �1, b � 100 e c � 0.

b) f(x) � 3x2 � 2x � 1, em que a � 3, b � �2 e c � 1.

c) f(x) � �4x2 � 4x � 1, em que a � �4, b � 4 e c � �1.

d) f(x) � x2 � 4, em que a � 1, b � 0 e c � �4.

e) f(x) � 20x2, em que a � 20, b � 0 e c � 0.

Observe que não são funções quadráticas:

f) f(x) � 2x

g) f(x) � 2x

h) f(x) � x3 � 2x2 � x � 1

Sugira aos alunos que construam uma tabela para organizar os dados. Deixe-os trabalhar por alguns minutos e depois promova um rápido debate em sala para obter a opinião dos vários grupos. Não é o momento de resolver o problema analiticamente, mas é uma ótima oportunidade para aguçar a curiosidade dos alunos, pois o conhecimento necessário para resolver essa situação de maneira direta será estudado neste capítulo.

Comente com os alunos

que a função quadrática

também recebe o nome

de “função polinomial do

2 o grau” e que a função

quadrática que leva

x � R a ax2 � bx � c

também pertence a R.

«

Não.

Sim.

Para refletirPor que o nome “quadrática”?

Por causa do expoente 2 do x (x está elevado ao quadrado).

É função afim.

É função exponencial.

É função do terceiro grau.

Para refletirPor que as funções dos itens f, g e h não são quadráticas?

1. Escreva um exemplo de função quadrática, indicando os valores dos coeficientes a, b e c.

2. Quais das seguintes funções são quadráticas?a) f(x) � 2x2 c) f(x) � x(x � 1)(x � 2)

b) f(x) � 2x � 1 d) f(x) � 3x(x � 1)

3. Para que valores de t as seguintes funções são quadráticas?a) f(x) � tx2 � 2x � 5

b) f(x) � �5xt � 2x � 5

Resposta pessoal.

x

x

Para todos os números reais diferentes de zero.

Para t � 2.

4. As funções abaixo são equivalentes à função f(x) � ax2 � bx � c. Determine, em cada uma delas, os valores de a, b e c.a) f(x) � 2x2

b) f(x) � 2(x � 3)2 � 5

c) f(x) � (x � 2)(x � 3)

d) f(x) � (4x � 7)(3x � 2)

e) f(x) � (2x � 3)(5x � 1)

f) f(x) � 2(x � 3)2 � 5

a � 2, b � 0 e c � 0

a � 2, b � �12 e c � 23

a � 1, b � �1 e c � �6

a � 12, b � 13 e c � �14

a � 10, b � 13 e c � �3

a � 2, b � �12 e c � 23

Fique atento!Para chegar às suas conclusões, testem diversas dimensões possíveis para o retângulo considerado (por exemplo, ele pode ter 8 m de comprimento e 2 m de largura, ou 7 m de comprimento e 3 m de largura, etc.) e calculem o perímetro e a área.

ATENÇÃO!Não escreva no

seu livro!Exercícios

Unidade 2 • Função afim e função quadrática104

2 Situações em que aparece a função quadrática

Na GeometriaVocê já estudou, no Ensino Fundamental, que o número de diagonais (d) em um polígono convexo de n

lados é dado por d nn n

( )( 3)

2.�

�

Vamos relembrar.

n � 3 d � 0 n � 4 d � 2

n � 5 d � 5 n � 6 d � 9

Um polígono de n lados tem n vértices. De cada vértice partem (n � 3) diagonais, e, para não conside-

rarmos duas vezes a mesma diagonal, dividimos n(n � 3) por 2. Assim, temos d em função de n dado por:

d nn n n n

( )( 3)

2

32

�

�

�

�

2 ou d n n n( )

2

3,2

� �

1

2

que é uma função quadrática em n, com a b c1

2,

3

20.� � � �e

Nos fenômenos físicosO cientista italiano Galileu Galilei (1564-1642) analisou o movimento de objetos em queda no campo

gravitacional da Terra e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, o espaço percorrido por esses cor-

pos seria diretamente proporcional ao quadrado do tempo de percurso. Isso significa que, se um corpo

cai, abandonado de sua posição de repouso, percorrendo os espaços s1, s2, s3, etc. nos tempos de t1, t2, t3,

etc., temos:

s

t

s

t

s

t1

12

2

22

3

32

...� � �

No caso em que o espaço s é medido em metros e o tempo t em segundos, o valor comum dessas razões

é aproximadamente 4,9 (metade da aceleração da gravidade: g � 9,8 m/s2). Dessa forma, a lei de Galileu

pode ser expressa por:

s

t

gs

gtt s t

2

22 2

2 24,9 4,9� �⇒ ⇒� �

Observe que s � 4,9t2 é uma função quadrática com a � 4,9; b � 0 e c � 0.

105Capítulo 4 • Função quadrática

Nos esportesEm um campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno (o time

A joga primeiro no campo do time B, e depois o contrário). Assim, o número p de partidas do campeonato

é dado em função do número n de clubes participantes, conforme vemos na tabela seguinte (cada time

joga com todos os outros, menos com ele mesmo):

Número de clubes 2 3 4 5 … n

Número de partidas 2(2 � 1) � 2 3(3 � 1) � 6 4(4 � 1) � 12 5(5� 1) � 20 … n(n � 1)

Observe, pela tabela, que o número p de partidas é dado por

p(n) � n(n � 1) � n2 � n e que n2 � n é o número de pares ordenados

(pois há o “mando de campo”) menos os jogos de cada time com ele

próprio, que não existem.

3 Valor ou imagem da função quadrática em um ponto

Se f: R → R é dada por f(x) � ax2 � bx � c, dois problemas são importantes:

• dado x0 � R, calcular f(x0); • dada f(x0), calcular x0.

Por exemplo, se f(x) � x2 � 5x � 6, para calcular o valor dessa função no ponto x � 2, ou seja, f(2), fazemos:

f(2) � 22 � 5 � 2 � 6 � 0.

Agora, se f(x) � 0, temos x2 � 5x � 6 � 0, que é uma equação do 2o grau, que já estudamos no Ensino

Fundamental. Os valores que satisfazem essa equação do 2o grau, ou seja, as raízes dessa equação, são 2 e 3.

Verifique.

Para refletir

Quais são os coeficientes a, b e c nessa função p(n)?

a � 1, b � �1 e c � 0

1. Dada a função quadrática f: R → R definida por f(x) � x2 � 6x � 8, determine:a) os coeficientes a, b e c;

b) f(1), f(0), f(�2) e f ;( )( )12c) se existe x � R tal que f(x) � 3. Se existir,

calcule x;

d) se existe x � R para que se tenha f(x) � �3. Se houver, calcule x;

e) se existe x � R para que se tenha f(x) � 0. Se existir, calcule x.

Resolução:

a) Em f(x) � x2 � 6x � 8, temos a � 1, b � �6 e c � 8.

b) f(1) � 12 � 6(1) � 8 � 1 � 6 � 8 � 3

f(0) � 0 � 0 � 8 � 8

f(�2) � 4 � 12 � 8 � 24

f1

43 8

1 12 32

4

21

4( )( )12 � �� � � �3 83 8� �1 11 12 32 3

�

c) f(x) � 3 ⇒ x2 � 6x � 8 � 3 ⇒ x2 � 6x � 5 � 0� � 36 � 20 � 16

x xx x x6 4

25 1xx xx x

6 46 45 15 1x� �5 1x xx x� �5 15 1x5 15 1x� �5 1e5 15 15 15 15 15 15 15 1

Existem dois valores de x para os quais f(x) � 3: x � 5 e x � 1.

d) f(x) � �3 ⇒ x2 � 6x � 8 � �3 ⇒ x2 � 6x � 11 � 0

� � 36 � 44 � �8

Não existe x � R tal que f(x) � �3.

e) f(x) � 0 ⇒ x2 � 6x � 8 � 0

� � 36 � 32 � 4

x x x6 2

2’ 4 ” 2x xx x

6 26 2� �x” 2” 2� �’ 4’ 4x xx x e� �� �

Existem dois valores para x: x� � 4 e x� � 2.

Para refletir

Analise os itens c e d para responder se essa função é injetiva e sobrejetiva.

A função não é

injetiva nem

sobrejetiva.

Exercício resolvido

Unidade 2 • Função afim e função quadrática106

5. A área de um círculo é dada em função da medida r do raio, ou seja, S � f(r) � �r2, que é uma função quadrá-tica. Calcule:a) S quando r � 5 cm;

b) r quando S � 64� m2.

6. Quando variamos a medida � do lado de um quadrado, a área da região quadrada também varia. Então, a área é dada em função da medida � do lado, ou seja, f(�) � �2.

�

�

Faça, então, o que se pede:

a) calcule f(10), f(1,5) e f 2 3 ;( )

b) calcule � tal que f(�) � 256;

c) determine qual é o domínio e qual é a imagem des-sa função.

7. Dada a função quadrática f(x) � 3x2 � 4x � 1, determine:a) f(1)

b) f(2)

c) f(0)

d) f 2( )

e) f(�2)

f) f(h � 1)

g) x de modo que f(x) � 1.

h) x de modo que f(x) � �1.

8. Seja f : R → R a função definida por f(x) � 4x2 � 4x � 3. Determine x, se houver, para que se tenha:a) f(x) � 2

b) f(x) � 3

c) f(x) � �1

9. (Fuvest -SP) Seja f(x) � 2x2 � 3x � 1.

Calcule f2

3

.

10. Dada a função f : R → R tal que

f(x) �

 

 

 

x2 � 2x, para x � 53x � 20, para 5 � x � 9, determine:�x2 � 4x � 2, para x � 9

a) f(6); c) f(10); e) f(5); g) f(4).

b) f(�1); d) f(9); f) f(0);

S � 25� cm2

r � 8 m

f(10) � 100; f(1,5) � 2,25;

f 2 3 12( ) �

� � 16

D f Im f( ) ; ( ) *� �� �R R

*

f(1) � 0

f(2) � 5

f(0) � 1

f 2 7 4 2( ) � �

f(�2) � 21

f(h � 1) � 3h2 � 2h

x � 0 ou x � 3

4

Não existe x real.

x � 1

2

x’ � 0 ou x’ � 1

Não existe.

13 2

9

9�

�2 �62 �5 8

3 �47 0

11. ATIVIDADE EM EQUIPE A área da região em forma de trapézio é da-

da por AB b h

2,�

�( ) em que B é a base maior, b é a

base menor e h é a altura. Nesse trapézio, a área pode ser dada em função da base menor por uma lei do tipo f(x) � ax2 � bx � c.

x � 2

x

6

a) Determinem a lei dessa função.

b) Identifiquem os coeficientes a, b e c.

12. ATIVIDADE EM EQUIPE De uma folha de papel retangular de 30 cm

por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, qua-drados de lado x.

x

x

xx

x

x

x x

30 cm

20 cm

Determinem a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x.

13. ATIVIDADE EM EQUIPE Em um campeonato de futebol, cada time

vai jogar duas vezes com outro. Então:a) Se o número de clubes é 10, qual é o número de

jogos?

b) Se o número de jogos é 42, qual é o número de times?

14. Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência � (em watts) que certo gerador lança em um circuito elé-trico é dada pela relação �(i) � 20i � 5i2, em que i é a intensidade da cor-rente elétrica que atra-vessa o gerador, determi-ne o número de watts que expressa a potência � quando i � 3 ampères.

f xx

x( )2

4 62

� � �

a b c1

2, 4 6� � �e

A � 600 � 4x2

90 jogos.

A pilha é um tipo de gerador.

Jam

es H

oen

sti

ne/S

hu

tters

tock

/G

low

Im

ag

es

7 times.

15 watts

Exercícios

107Capítulo 4 • Função quadrática

4 Zeros da função quadráticaO estudo da função quadrática tem sua origem na resolução da equação do 2o grau.

Um problema muito antigo que recai numa equação do 2o grau é este:

“Determinar dois números conhecendo

sua soma s e seu produto p.”

Chamando de x um dos números, o outro será s � x. Assim,

p � x(s � x) ou p � sx � x2,

ou, ainda:

x2 � sx � p � 0

Para encontrar x (e, portanto, s � x), basta resolver a equação do 2o grau x2 � sx � p � 0, ou seja, basta

determinar os valores x para os quais a função quadrática f(x) � x2 � sx � p se anula. Esses valores são

chamados zeros da função quadrática ou raízes da equação do 2o grau correspondente a f(x) � 0.

Por exemplo, os dois números cuja soma é 7 e cujo produto é 12 são 3 e 4, que são as raízes da equação

x2 � 7x � 12 � 0 ou zeros da função quadrática f(x) � x2 � 7x � 12.

Observações:

1a) Dados quaisquer s e p, nem sempre existem dois números reais cuja soma seja s e cujo produto seja p.

Por exemplo, não existem dois números reais cuja soma seja 3 e cujo produto seja 7.

Para refletir

Justifique por que não existem dois números reais cuja soma seja 3 e cujo produto seja 7.

Se existirem, os números serão

raízes da equação x2 � 3x � 7 � 0.

Essa equação tem � � 0, então

não existe valor real para x.

2a) O número � � b2 � 4ac é chamado discriminante da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c.

3a) Quando � � 0, a função f(x) � ax2 � bx � c tem dois zeros reais diferentes. Quando � � 0, a função

f(x) � ax2 � bx � c não tem zeros.

Determinação dos zeros da função quadráticaVamos ver algumas maneiras de determinar os zeros da função quadrática.

Usando a fórmula x � � � �b b ac

a

24

2Para usar a fórmula basta conhecer os coeficientes a, b e c.

Se � � 0 ou � � 0, então as raízes serão:

xb

a’

2�

� �b � e x

b

a”

2�

� �b �

Você sabia?

Este problema aparece em registros cuneiformes feitos pelos babilônios há quase 4 mil anos.

Unidade 2 • Função afim e função quadrática108

Observações:

1a) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax2 � bx � c � 0, com a � 0

Existindo zeros reais tal que xb

a’

2�

� � � e x

b

a”

2,�

� � � obtemos:

x xb

a

b

a

b’ ”

2 2

2� �

� � ��

� � ��

� � � � �

22a

b

a� �

Logo:

x xb

a” ’x xx x� �x xx x” ’” ’x xx x �

x xb

a

b

a

b

a’ ”

2 2 4

2 2

2� �

� � ��

� � ��

� �( ) �

b b ac

a

ac

a

c

a

2 2

2 2

4

4

4

4

� �� �

Logo:

x xc

a’ ”x xx x� �x xx x

2a) Forma fatorada do trinômio ax2 � bx � c, com a � 0

Quando � � 0, ou seja, quando a equação ax2 � bx � c � 0 possui as

raízes reais x� e x�, podemos escrever:

ax2 � bx � c � a x

b

ax

c

a

2� �( ) � a�x2 � (x� � x�)x � x�x�� � a�x2 � x�x � x�x � x�x�� � a(x � x�) (x � x�)

Logo:

ax2 � bx � c � a(x � x�) (x � x�) (forma fatorada)

De agora em diante você poderá escolher a maneira pela qual determinará os zeros da função.

Fatorar: escrever em forma de produto, ou seja, com fatores.

2. Determine o valor de k positivo para que a equação x2 � 2kx � (k � 1) � 0 tenha uma raiz igual ao

triplo da outra.

Resolução:

x x

x xb

ak

x xc

ak

� �x xx x

� �x xx x

� �x xx x

x xx x� �� �x xx x

2

1

x xx xx xx x

� �x xx x� �� �x xx x � �� �

� �x xx x� �x x � �k

3x� � x� � 2k ⇒ 4x� � 2k ⇒ x� � 1

2k

� �1

22 2� �� �

1

2

3

2x kx k� �

1k x� �� �2 22 2� �� � k k

1x kx k� �

3⇒ ⇒� �2 2� � � �� �k xk x2 22 22 2� �� �� � k kk k� �� �

Assim:

� � � � � � � �

�

3

2

1

21

3

41 3 4 4� � 02 2

� � 1 3

x x� � k k� �� �1� �� �3

� �� � k k� �� �

k k2 22 2

� �� � k k� �4 44 4� �� �� �2 22 2

⇒ ⇔⇒ ⇔� � � � 1k kk k� �� �� �� � k k� �� �

⇔ ⇔⇔ ⇔� � 1 31 32 2� � 1 31 3k k� �� �

2 2� �� �

a � 3, b � �4 e c � �4

kb bb b ac

ak

k

4

2

( 4) 1) 16 48

6

2

�� �b bb b � � �( 4( 4 � �) 1) 1) 16 46 4

⇒ ⇒⇒ ⇒k( 4) 1

�

⇒4 64 64

6

4 8

6�

4 64 6�

4 84 8⇒

⇒

4 8

62

4 8

6( )

k

k

�4 84 8

�

�4 84 8

� �

ou

( )( )( )( )( )( )( )( )2

3

Portanto, quando k � 2, a equaçãox2 � 2kx � (k � 1) � 0 se transforma na equação

x2 � 4x � 3 � 0.

Para refletir

Comprove que a equação

x2 � 4x � 3 � 0 tem uma

raiz igual ao triplo da outra.

x2 � 4x � 3 � 0 ⇒

⇒ x4 2

2�

�⇒

⇒ x’ � 3 e x” � 1.

Logo, x’ � 3x”.

Exercícios resolvidos

109Capítulo 4 • Função quadrática

15. Determine, se existirem, os zeros das funções quadrá-ticas usando a fórmula:a) f(x) � x2 � 3x

b) f(x) � x2 � 4x � 5

c) f(x) � �x2 � 2x � 8

d) f(x) � x2 � 10x � 25

e) f(x) � x2 � 8x � 16

f) f(x) � 25x2 � 9x � 1

16. Para que valores reais de m a função: f(x) � (m � 1)x2 � 4x � 1

não admite zeros reais?

17. Para que valores reais de k a função:f(x) � kx2 � 6x � 1

admite zeros reais e diferentes?

18. Para que valores de m a função: f(x) � (m � 2)x2 � 2x � 6

admite valores reais?

3 e 0

Não tem zeros reais.

�2 e 4

�5

4

Não tem zeros reais.

m � R | m � �3

k � R | k � 9 e k � 0

m m m|13

62� R � �e

19. Determine o valor de k para que a equação:

x2 � (k � 1)x � (10 � k) � 0

tenha uma raiz igual ao dobro da outra.

20. Escreva a função quadrática f(x) em cada item, de acordo com as informações dadas.

a) Zeros de f(x): x � 1 e x � 3;

f(x) passa por (0, �6).

b) Zeros de f(x): x � 2 e x � �3;

f(x) passa por (0, 4).

c) Zeros de f(x): x � 5 (duplo);

f(x) passa por (2, �9).

21. Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila?

k k’ 8 ”11

2� � �e

f(x) � �2x2 � 8x � 6

f x x x( )2

42� � � �

3

2

3

f(x) � �x2 � 10x � 25

18 alunos

3. Determine, se existirem, os zeros da função qua-drática f(x) � 2x2 � 3x � 5.

Resolução:

2x2 � 3x � 5 � 0a � 2, b � �3 e c � 5� � b2 � 4ac � (�3)2 � 4(2)(5) � 9 � 40 � �31 ⇒⇒ � � 0Logo, a equação não tem raízes reais; consequen-temente a função f(x) � 2x2 � 3x � 5 não tem zeros reais.

4. Para que valores de k a função f(x) � x2 � 2x � k tem zeros reais e diferentes?

Resolução:

• Condição: � � 0• � � b2 � 4ac � (�2)2 � 4(1)(k) � 4 � 4k

Assim:4 � 4k � 0 ⇔ �4k � �4 ⇔ 4k � 4 ⇔ k � 1

Portanto, a função f(x) � x2 � 2x � k terá zeros reais e diferentes para quaisquer k � R tal que k � 1.

5. Escreva na forma fatorada as funções:a) f(x) � x2 � 5x � 6

b) g(x) � 5x2 � 10x � 5

Resolução:

a) A forma fatorada é f(x) � a(x � x�)(x � x�), em que x� e x� são as raízes da equação f(x) � 0.Assim:x2 � 5x � 6 � 0� � b2 � 4ac � (�5)2 � 4 � 1 � 6 � 1

xb

ax

x

2

( 5) 1) 1

2 1

5 1

2�

� �b � � �( 5( 5) 1) 1

2 12 1

5 15 1⇒ ⇒⇒ ⇒x

( 5) 1� �

⇒ '' 3 " 2� �3 "e3 "3 "3 "3 "x3 "3 "3 "3 "

Então: f(x) � (x � 3)(x � 2)(Note que a � 1 não precisa ser escrito.)

b) Fazendo g(x) � 0, vem: 5x2 � 10x � 5 � 0

� � b2 � 4ac � 102 � 4 � 5 � 5 � 0

xb

ax

2

10 0

2 5

10

10

�� �b �

�� �10

2 52 5�

��

⇒

⇒ x xxx ’ 1x xx x” 1x xx x” 1” 1x xx x

Então:g(x) � 5(x � 1)(x � 1) � 5(x � 1)2

Fique atento!Se � � 0, a função quadrática é

um trinômio quadrado perfeito.

6. Escreva a função quadrática que tem como zeros os números 2 e 5 e cujo gráfico passa pelo ponto (1, 4).

Resolução:

Usando a forma fatorada, podemos escrever f(x) � a(x � 2)(x � 5). E, se (1, 4) pertence à função, então f(1) � 4, portanto:f(1) � a(1 � 2)(1 � 5) ⇒ 4 � a � (�1) � (�4) ⇒⇒ 4 � a � 4 ⇒ a � 1Dessa forma: f(x) � 1 � (x � 2)(x � 5) � x2 � 7x � 10

Exercícios

Unidade 2 • Função afim e função quadrática110

Usando a fatoraçãoA fatoração é um processo útil em equações quadráticas incompletas, ou seja, quando b � 0 ou c � 0

(principalmente nesse caso).

7. Determine os zeros das seguintes funções qua-dráticas:a) f(x) � x2

� 5x b) f(x) � x2 � 2x

Resolução:

a) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 5x � 0. Colocando x em evidência no 1

o membro, temos:x2 � 5x � 0 ⇒ x(x � 5) � 0Logo:x � 0 ou x � 5 � 0 ⇒ x � 5Assim, os zeros da função são 0 e 5.

b) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 2x � 0. Fatorando o 1o membro da equação, temos:x2 � 2x � 0 ⇒ x(x � 2) � 0Logo:x � 0 ou x � 2 � 0 ⇒ x � �2Assim, os zeros da função são 0 e �2.

Fique atento!A fatoração também pode ser usada

com funções quadráticas completas, ou

seja, que possuem a � 0, b � 0 e c � 0,

embora perca um pouco de praticidade.

8. Determine os zeros das seguintes funções qua-dráticas:a) f(x) � x2 � 4 c) f(x) � x2 � 6x � 9

b) f(x) � x2 � 2x d) f(x) � (x � 3)2 � 4

Resolução:

a) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 4 � 0.Fatorando o 1o membro da equação, temos:x2 � 4 � 0 ⇔ (x � 2)(x � 2) � 0Para que um produto seja zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero.Logo: (x � 2) � 0 ou (x � 2) � 0Se x � 2 � 0, então x � 2.Se x � 2 � 0, então x � �2.Assim, as raízes da equação x2 � 4 � 0 são �2 e 2 ou os zeros da função quadrática f(x) � x2 � 4 são �2 e 2.

Verificação:

f(x) � x2 � 4f(�2) � (�2)2 � 4 � 4 � 4 � 0f(2) � 22 � 4 � 4 � 4 � 0

Geometricamente, podemos representar essa fatoração assim:

x � 2

x

x

2

24

x2

x

2

x

2

2

x � 2

x � 2

Assim:

x � 2

x 2

x 2

x � 2

A área dada por x2 � 4 é a mesma que a dada por (x � 2)(x � 2). Logo, (x2 � 4) � (x � 2)(x � 2).Constate isso recortando adequadamente uma folha de papel.

b) f(x) � x2 � 2x A equação do 2o grau correspondente é x2 � 2x � 0.Fatorando o 1o membro da equação, temos:x2 � 2x � 0 ⇔ x(x � 2) � 0Logo: x � 0 ou x � 2 � 0 ⇒ x � �2Assim, os zeros da função são 0 e �2.Verificação:

f(x) � x2 � 2x

f(0) � 02 � 2 � 0 � 0f(�2) � (�2)2 � 2(�2) � 4 � 4 � 0Geometricamente, temos:

x

x

x2

x2 � 2x

x

1 1

xx x

x

x

x 1 1

x2

1 1

x

x(x � 2)

A área dada por x2 � 2x é a mesma que a dada por x(x � 2). Constate isso recortando adequa-damente uma folha de papel.Portanto, x2 � 2x � x(x � 2).

Exercícios resolvidos

111Capítulo 4 • Função quadrática

Isolando o xIsolar o x é um processo útil em funções quadráticas que não possuem termo em x (b � 0).

22. Determine, se existirem, os zeros das seguintes fun-ções quadráticas:a) f(x) � x2 � 2x c) f(x) � x2 � 16

b) f(x) � 2x2 � 8x d) f(x) � x2 � 11

0 e 2 �4 e 4

�4 e 0 � 11 11e

23. Determine, se existirem, os zeros das seguintes fun-ções quadráticas:a) f(x) � x2 � 14x c) f(x) � 2x2 � 8

b) f(x) � 3x2 � 3x d) f(x) � �x2 � 36

�14 e 0 �2 e 2

�1 e 0 �6 e 6

c) f(x) � x2 � 6x � 9Equação do 2o grau: x2 � 6x � 9 � 0.Fatorando o 1o membro, temos:

x x2x xx x6 9x xx x 0� �x xx x6 96 9x xx x � ⇔ (x � 3)2 � 0 ⇔ (x � 3)(x � 3) � 0

Logo: x � 3 � 0 ⇒ x � 3 ou x � 3 � 0 ⇒ x � 3.Nesse caso, x � 3 é um zero “duplo” da função quadrática f(x) � x2 � 6x � 9.

Verificação:f(x) � x2 � 6x � 9f(3) � 32 � 6 � 3 � 9 � 9 � 18 � 9 � 0Geometricamente, temos:

x x

x

x

x2

1 1 1

1

1

1

x2 � 6x

x2 2 � 3 � x 3

2

Assim:

3 3

x2 � 6x � 9 x � 3

x � 3

x � 3

3

x � 3 3

A área dada por x2 � 6x � 9 é a mesma que a dada por (x � 3)2 � (x � 3)(x � 3).Portanto, x2 � 6x � 9 � (x � 3)2 � (x � 3)(x � 3).

d) f(x) � (x � 3)2 � 4Equação do 2o grau: (x � 3)2 � 4 � 0.Fatorando, temos:(x � 3)2 � 4 � 0 ⇒ �(x � 3) � 2��(x � 3) � 2� � 0 ⇒ ⇒ (x � 5)(x � 1) � 0Logo:x � 5 � 0 ⇒ x � 5 ou x � 1 � 0 ⇒ x � 1Zeros da função: 1 e 5.Verificação:f(x) � (x � 3)2 � 4f(1) � (1 � 3)2 � 4 � 4 � 4 � 0f(5) � (5 � 3)2 � 4 � 4 � 4 � 0

9. Determine, se existirem, os zeros das seguintes funções quadráticas:a) f(x) � x2 � 9 c) f(x) � 2x2 � 14

b) f(x) � x2 � 25

Resolução:

a) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 9 � 0. Isolando x no 1o membro, temos:

x2 � 9 � 0 ⇔ x2 � 9Logo:x xx x x9 3x xx x 3.� �x xx x � �x� �9 39 3 �x xx xx xx x ou� �� �

Assim, os zeros da função são 3 e �3.

b) A equação do 2o grau correspondente é x2 � 25 � 0. Isolando x no 1o membro, temos:x2 � 25 � 0 ⇔ x2 � �25Porém, não existe número real cujo quadrado seja negativo. Assim, essa função não tem zeros.

c) A equação do 2o grau correspondente é 2x2 � 14 � 0. Isolando x no 1o membro, temos:

2 114

27

2 22 12 14 0

2x x2 12 14 02 22 2

2 12 14 0 xx x2 12 14 04 02 2

2 14 04 0 � �2x⇔ ⇔

2 2x xx x2 22 22 2� �� �� �

Logo:

x xx x x7 77 7x xx x 7� �x xx x7 77 7x xx xx xx xx xx xx x � �x xx xx xx xx xx x ou

Assim, os zeros da função são 7 77 7 .e7 77 77 77 7

Exercício resolvido

Exercícios

Unidade 2 • Função afim e função quadrática112

Por soma e produtoComo já visto, a soma e o produto das raízes da equação quadrática ax2 � bx � c � 0 são dados

respectivamente por �b

a

c

a.e

Soma � S � x� � x� � �b

a e Produto � P � x� � x� �

c

a

Então, sendo possível adivinhar dois números cuja soma e cujo produto sejam os valores obtidos na

equação quadrática, esses números serão as raízes.

Esse processo é mais indicado para equações quadráticas mais simples, cujas raízes sejam números inteiros.

Na seção Um pouco mais... presente no final deste capítulo, apresentamos os assuntos: Determinação

dos zeros por completamento de quadrado, Forma canônica da função quadrática e Decorrências da

forma canônica. Eles podem ser abordados para aprofundar o que foi estudado até aqui.

24. Quantos lados tem um polígono convexo que possui 170 diagonais? Qual é o nome dele?

Fique atento!Lembre-se

de que

dn n( 3)

2.�

�

25. Uma caixa sem tampa tem a base quadrática com lado medindo x dm e altura 1 dm. Sabendo que a área total de sua superfície é de 5 m2, calcule a medida x.

26. ATIVIDADE EM DUPLA Renata tem 18 anos e Lígia, 15. Daqui a quan-

tos anos o produto de suas idades será igual a 378?

27. ATIVIDADE EM DUPLA Um trem percorreu 200 km em certo tempo.

Para percorrer essa distância em uma hora a menos, a velocidade deveria ser de 10 km/h a mais. Qual a velocidade do trem?

O polígono tem 20 lados e se chama icoságono.

x � 1 dm

Daqui a três anos.

40 km/h

28. DESAFIO O retângulo áureo, ou de ouro, grego é um retângulo especial em que valem as relações entre comprimento (c) e largura (�):

c

c�

�

��

� ← proporção áurea

A proporção áurea, como vimos no capítulo 1 deste volume, pode ser observada na natureza, nas artes e nas construções. Por exemplo, o templo grego Partenon tem suas medidas apoiadas na proporção áurea.Se considerarmos c � 1, a proposta será: 1

11 0.

2

�

�

�� ��

�� � �⇒ A raiz positiva dessa

equação é chamada número de ouro. Qual é esse número?

c

�

Vista do Partenon, em Atenas, Grécia.

5 1

2

�

Exercícios

10. Determine, se existirem, os zeros das seguintes funções quadráticas:

a) f(x) � x2 � 5x � 6 b) f(x) � x2 � 3x � 28

Resolução:

a) A equação do 2o grau correspondente é

x2 � 5x � 6 � 0. A soma das raízes é então dada por S5

15� �

�� e o produto é dado por P

6

16.� �� �

Ou seja, procuramos um par de números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6. Esses números são 2 e 3.Assim, os zeros da função são 2 e 3.

b) A equação do 2o grau correspondente é

x2 � 3x � 28 � 0. A soma das raízes é então dada por S3

13� � � � e o produto é dado por P

28

1�

�� � �28.

Ou seja, procuramos um par de números cuja soma seja �3 e cujo produto seja �28. Esses números são 4 e �7.Assim, os zeros da função são 4 e �7.

Exercício resolvido

Geo

rgescu

Gab

riel/

Sh

utt

ers

tock

113Capítulo 4 • Função quadrática

5 Gráfico da função quadráticaConsideremos um ponto F e uma reta d que não o contém. Cha-

mamos parábola de foco F e diretriz d o conjunto dos pontos do

plano que distam igualmente de F e de d.

A reta perpendicular à diretriz que contém o foco chama-se

eixo da parábola. O ponto da parábola mais próximo da diretriz

chama-se vértice dessa parábola. O vértice (V) é o ponto médio do

segmento cujos extremos são o foco (F) e a intersecção do eixo com

a diretriz (D).

Os matemáticos já provaram que o gráfico de uma função quadrá-

tica é uma parábola. Veja alguns exemplos:

Gráfico da função definida por f (x) � x 2

Como já sabemos que é uma parábola, para construir o gráfico,

fazemos uma tabela com um número suficiente de valores que permita

visualizar a parábola.

x �2 �1,5 �1 0 1 1,5 2

f(x) � x2 4 2,25 1 0 1 2,25 4

Marcamos esses pontos e desenhamos uma linha contínua pas-

sando por eles, pois estamos trabalhando com números reais.

Note que f(�x) � (�x)2 � x2 � f(x).

Assim,

• f(�1) � (�1)2 � 1 � 12 � f(1)

• f(�2) � (�2)2 � 4 � 22 � f(2)

A curva é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, se (a, b) per-

tence à curva, o mesmo ocorre com (�a, b). Isso decorre do fato de

que f(x) � x2 é uma função par, isto é, é uma função que tem a

propriedade f(�x) � f(x) para qualquer x do domínio.

O domínio dessa função é todo o eixo real e a imagem dessa função é o conjunto dos números reais y,

tal que y � 0.

Observe que os pontos (0,5; 0,25) e (�1,5; 2,25), por exemplo, também pertencem à parábola.

eixo da parábola

d

D Q

PPF � PQ

V

F

f(x)

x

0�2�3 �1

(�1, 1) (1, 1)

(2, 4)(�2, 4)

(�1,5; 2,25) (1,5; 2,25)

1 2 3

1

2

3

4

5

6

29. Trace o gráfico de f(x) � x2 e determine os valores f(x) para x igual a:

a) �1

2b)

5

2c) �

3

2

Verifique esses valores no gráfico.

f � �1

2

1

4( ) f

5

2

25

4( ) �

f � �3

2

9

4( )

30. Como seria o gráfico de f(x) � x2 se considerássemos:a) somente os pontos cujas coordenadas são números

inteiros?b) somente os pontos cujas coordenadas são números

racionais? Veja os gráficos dos exercícios 29 e 30

no Manual do Professor.

Você sabia?

A distância de um ponto a uma reta é

a medida do segmento perpendicular

baixado do ponto sobre essa reta.

A distância de P a r é igual à medida

de PA.

P

A

r

Exercícios

Para refletir

Encontre outro ponto que

pertença à parábola acima.

Resposta pessoal.