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Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon

Mecânica dos Solos II – Edição 2018 ESTADO DE TENSÕES E DE EQUILÍBRIO DOS SOLOS

94

Capítulo 4 – ESTADO DE TENSÕES E DE EQUILÍBRIO DOS SOLOS

4.1 – Introdução

Neste curso, foram abordados os conceitos de tensões no solo e o cálculo das

tensões verticais num plano horizontal, em uma posição qualquer no interior de um

subsolo, com superfície horizontal, principalmente. Estas tensões são verticais e, portanto,

normais ao plano, pois não há qualquer razão para que elas tenham uma inclinação.

Assim como se definiram as tensões num plano horizontal, elas poderiam ser

consideradas em qualquer outro plano no interior do solo. De particular interesse, são as

tensões nos planos verticais. Nestes também não ocorrem tensões de cisalhamento, devido

à simetria. Estas tensões acima referidas são as indicadas na Figura 4.1. A tensão normal

no plano vertical depende da constituição do solo e do histórico de tensões a que ele esteve

submetido anteriormente. Normalmente ele é referido à tensão vertical, sendo a relação

entre tensão horizontal efetiva e a tensão vertical efetiva denominada coeficiente de

empuxo em repouso e indicada pelo símbolo K0.

Figura 4.1 - Tensões verticais e horizontais num elemento do solo, com superfície horizontal

Tensões num plano genérico (Pinto, 2006)

Num plano genérico no interior do subsolo, a tensão atuante não é necessariamente

normal ao plano. Para efeito de análises, ela pode ser decomposta num componente normal

e em outra paralela ao plano, como se mostra na Figura 4.2. A componente normal é

chamada tensão normal, σ, e a componente tangencial, tensão cisalhante, τ, embora elas

não sejam tensões que possam existir individualmente.

Em qualquer ponto do solo, a tensão atuante e a sua inclinação em relação à normal

ao plano variam conforme o plano considerado. Demonstra-se que sempre existem três

planos em que a tensão atuante é normal ao próprio plano, não existindo a componente de

cisalhamento.

Figura 4.2 - Decomposição da tensão num plano genérico



95

O conhecimento das componentes de cisalhamento é extremamente importante

para o entendimento sobre a condição de equilíbrio dos solos.

Como será visto, a “resistência ao cisalhamento” ( - tensão cisalhante máxima)

desenvolvida pelos solos é a responsável pela capacidade dos solos tem de suportar as

tensões desenvolvidas pelas solicitações internas (desenvolvidas pelo seu peso próprio) e

solicitações externas (cargas aplicadas), conservando sua estabilidade. Caso contrário as

tensões desenvolvidas nas massas de solo podem levar a uma condição de desequilíbrio e

consequentemente à sua ruptura. Neste caso o nível de tensões supera o regime de

deformação elástica passando para o regime plástico de deformação.

Então, a análise desse equilíbrio consiste em se identificar o valor da componente

cisalhante no possível plano de rutura. Tensão atuante e de resistência interna ao

cisalhamento. O conhecimento previo da resistência interna ao cisalhamento permite à

realização de dimensionamentos de estruturas de terra e verificações das condições de

estabilidade destas massas de solos.

Na figura 4.3 vê-se como exemplo um terreno em plano inclinado (talude). Esta

massa de solo está dividida em várias fatias (porções), em que se tem uma cunha possível

de movimentação (escorregamento), em que são calculadas as tensões nos “planos das suas

bases”, para posterior comparação com os valores de tensão de resistência do solo.

Permite-se assim determinar a condição de estabilidade do conjunto.

Figura 4.3 - Terreno em plano inclinado, com tensões de cisalhamento e normal

aos “planos das bases” das fatias

4.2 – Tensões em um ponto:

Um ponto, considerado no interior de uma massa de solo, está sujeito a esforços em

todas as direções (equilibradas por reações ocorrentes pela própria continuidade da massa).

Para o estudo das forças atuantes em um ponto “O”, por exemplo, como mostra a

Figura 4.4 (terreno horizontal), considerando apenas as forças devidas ao peso próprio dos

solos, desprezando àquelas devido aos carregamentos externos, devemos analisá-las

segundo direções específicas, isto é, devemos considerá-las como tensões agentes no

ponto “O” traduzidas por esforços por unidade de área em direções definidas e

determináveis (no caso, a resultante agirá segundo a direção da gravidade).



96

Figura 4.4 – Tensões de um ponto “O” no interior de uma massa de solo,

definido como a interseção de três planos ortogonais

Para o caso da figura 4.4 em que o plano do terreno é horizontal não haverá

componente tangencial e o esforço resultante age normal ao plano paralelo ao da superfície.

Podemos definir o ponto “O” como a intersecção de três planos ortogonais entre si.

Se considerarmos esta definição gráfica, podem-se agrupar os esforços que agem em torno

do ponto, segundo essas três direções consideradas. Assim, suas ações limitadas às

resultantes com direções definidas seriam tensões ortogonais entre si, que agem, cada uma

delas, normal a cada um dos planos sucessivamente.

Sistema Triaxial de Tensões

As solicitações no ponto serão definidas por um sistema tri-dimensional de

tensões, representadas, por 1, 2 e 3 (e suas respectivas reações pela continuidade da

massa), contidas respectivamente no encontro de dois planos (traço desse encontro) e

normal ao terceiro onde age integralmente.

Nessa situação, as tensões serão denominadas tensões principais e os planos serão

os principais de tensões (Figura 4.5 a). As tensões agentes, seguindo a nomenclatura, serão:

1 = tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal maior,

no caso o horizontal;

2 = tensão principal intermediária agindo normal ao plano principal intermediário;

3 = tensão principal menor, agindo sobre o plano principal menor.

No caso dos solos, iremos considerar, dentro de um espaço semi-infinito (cada um

dos horizontes) o solo como homogêneo e contínuo em todas as direções. Nessas

características a elasticidade (reação da massa) será a mesma em todas as direções,

caracterizando a condição particular de 2 = 3 (o que é muito comum na prática).

Com essa consideração reduzimos o sistema a uma condição bi-dimensional de

tensões onde teremos:

1 = tensão principal maior agindo normal ao plano principal maior;

3 = tensão principal menor agindo normal ao plano principal menor.

Representando o ponto “O” como um cilindro infinitesimal (Figura 4.5 b), teremos

o problema de análise das tensões a ser resolvido num sistema plano de tensões.



97

(a) (b)

Figura 4.5 – Sistema tri-dimensional de tensões e condição bi-dimensional de tensões

Pinto (2006) ressalta que “nos problemas de Engenharia de Solos, envolvendo a

resistência do solo, interessam σ1 e σ3 pois a resistência depende das tensões de

cisalhamento e estas, como se verá, são fruto das diferenças entre as tensões principais e a

maior diferença ocorre quando estas são σ1 e σ3. De maneira geral, portanto, estuda-se o

estado de tensões no plano principal intermediário (em que ocorrem σ1 e σ3), que é o caso

da seção transversal de uma fundação corrida, de uma vala escavada, de um aterro

rodoviário ou da seção transversal de uma barragem de terra. As tensões principais

intermediárias só são consideradas em problemas especiais”.

Direção das tensões principais

É interessante observar que sendo a superfície do terreno horizontal, em qualquer

profundidade z, a tensão principal maior 1 terá como direção à vertical e a tensão principal

menor 3 à sua perpendicular, ou seja, a direção horizontal.

No caso da superfície ser diferente da situação anterior, ou tiver carga aplicada na

superfície em cada profundidade z, terá sua tensão principal maior e menor

(perpendiculares entre si) inclinada segundo uma direção diferente à cada posição, como

ilustrada na figura 4.6. Isto ocorre devido a influência direta da condição do carregamento

resultante.

Figura 4.6 - Direção das tensões principais para alguns pontos no interior da massa de solo,

para uma condição de carga aplicada na superfície

No estado plano de deformações, conhecendo-se os planos e as tensões principais

num ponto, pode-se determinar as tensões em qualquer plano passando por esse ponto. Este

cálculo pode ser feito pelas equações de equilíbrio dos esforços aplicadas a um prisma

triangular definido pelos dois planos principais e o plano considerado, como visto a seguir.



98

Cálculo das tensões normal ( ) e tangencial ( ) em um plano genérico

(a partir das tensões principais)

Pelo ponto O podemos, além dos dois planos principais considerados, passar outro

plano qualquer (por um ponto podemos passar uma infinidade de planos). Mas, nesse

terceiro plano, daremos uma orientação de posição, isto é, ele fará um ângulo com o

plano principal maior (terá uma inclinação em relação ao plano horizontal).

Nesse caso, o plano estará inclinado em relação às duas tensões principais, que,

com suas ações, darão, como decorrência, duas componentes agindo nesse plano, uma

normal e uma tangencial .

O problema consistirá, então, em se calcular as duas tensões e em função das

tensões agentes 1 e 3 representados pelos esforços por unidade de área.

Representando o ponto O pela interseção desses três planos, temos seus traços na

Figura 4.7.a (triângulo infinitesimal) e as correspondentes áreas, onde atuam as tensões,

representadas na Figura 4.7.b, considerada a profundidade unitária, normal ao papel.

(a) (b)

Figura 4.7 – Traços OA, OB e AB dos planos e áreas em que agem as tensões 1, 3 e /

Sobre essas áreas agem as forças aplicadas, mostradas na Figura 4.8, nas direções

definidas em relação as suas ações sobre os planos considerados e de forma decompostas

segundo as direções de 1 e 3 (ação nos planos principais)

Figura 4.8 – Forças aplicadas, nas direções dos planos considerados e nas direções de 1 e 3

Estando o sistema em equilíbrio serão satisfeitas as equações fundamentais da

estática, donde teremos:

H ds ds ds

V ds ds ds

= − + =

= − − =

0 0

0 0

3

1

sen sen cos

cos cos sen



99

Ou (cancelando-se o ds):

3

1

0

0

sen sen cos

cos cos sen

− + =

− − =

Multiplicando-se 1 por cos e 2 por sen , teremos:

32

12

0

0

sen cos sen cos cos

sen cos sen cos sen

− + =

− − =

Subtraindo-se II de I, temos:

( ) ( ) 1 32 2 0− − + =sen cos sen cos

Sabemos que: ( )sen sen cos sen cosa b a b b a =

sen sen cos2 2a a a= sen

sen cos2

2

aa a=

Ou, sen

sen cos2

2

=

Substituindo em III, temos:

−

= 2sen2

31 (IV) tensão tangencial (cisalhamento) no plano

Somando-se I e II ,temos:

( ) ( )

( ) 0cos222

0coscos2cos

2231

22

31

=−+−−

=−+−+

sensensen

sensensen

Sabemos que:

( )cos cos cos sen sena b a b a b =

cos cos sen

cos cos sen

2

2

2 2

2 2

a a a= −

= −

Substituindo em V:

1 3 2

22 2 0

−− + =sen sen cos

Substituindo por seu valor expresso em IV:

1 3 1 3

22 2

22 2 0

+− +

−=sen sen sen cos ou

(1)

(V)

(2)

1 3 1 3

2 22

++

−=cos

(I)

(VI) tensão normal no plano

(II)

(III)

(V)



100

Nesse estudo, estabeleceu-se o desenvolvimento analítico para o cálculo das tensões

definidoras do estado de solicitações no ponto O (interior da massa de solo) onde ocorrem

1 e 3.

4.3 – Análise gráfica do estado de tensões

Para a análise gráfica do estado de tensões em um ponto, pode-se representá-la pelo

círculo de Mohr que é o “lugar geométrico dos pontos de coordenadas e definidores

do estado de tensões no ponto O, quando agem no mesmo, as tensões principais 1 e 3”,

como ilustrado na Figura 4.9.

Esse lugar geométrico (círculo de Mohr) traduz todos os valores de coordenadas

correspondentes a todos os possíveis planos inclinados, em relação aos planos principais,

que se pode passar no ponto O e que fazem um ângulo qualquer, com o plano principal

maior.

Figura 4.9 – Representação gráfica dos estados de tensões no ponto O

Em outras palavras, o estado de tensões no ponto O, qualquer, no interior e uma

massa de solo, pode ser graficamente representado num sistema cartesiano de

coordenadas e , coordenadas no plano qualquer, quando o mesmo, está sujeito as

tensões 1 e 3.

Para se traçar o lugar geométrico representativo das tensões nos planos :

a) Marca-se no eixo das abscissas as tensões 1 e 3;

b) No intervalo entre 1 e 3 traça-se o círculo de tensões, cujo diâmetro é 1 - 3,

portanto o raio é igual a:

r =− 1 3

2

c) Toma-se o ponto M, sobre o círculo, definido a partir do ângulo , obtendo-se os

coordenadas e ;

* Pela propriedade do círculo de Mohr, temos:

. “Todo raio que forma com o eixo das abscissas um ângulo 2, corta o círculo num

ponto M cujas coordenadas são e , definidoras do estado de tensões no ponto O,

submetido ao par de tensões principais 1 e 3. Esse ângulo é o ângulo que o plano

qualquer faz com o plano principal maior”.

. Ligando-se o ponto M ao início do círculo, a corda define o ângulo . O início do

círculo é o pólo.



101

* O centro do círculo terá as coordenadas:

o

o r

,

,

=

= + = +−

=+

0

2 23 3

1 3 1 3

* Coordenadas do ponto M em função das tensões 1 e 3:

Raio do círculo: r =− 1 3

2

Coordenadas de o, : o , = 0 e

o, =

+1 3

2

Então, temos:

2cos22

2cos' 3131,,,, −+

+=+=+= roo oo

= =−

r sen sen22

21 3

Observe que essas expressões obtidas do sistema gráfico de representação são as

mesmas deduzidas analiticamente o que nos permite trabalhar com o gráfico, num sistema

muito mais simples de visualização.

4.4 – Exemplos de análise do estado de tensões

Neste item serão analisados alguns exemplos de estado de tensões, em uma massa

de solo, a fim de bem ilustrar como atuam os esforços e a características de suas possíveis

componentes, em relação ao espaço.

Considere o caso de um tereno horizontal, submetido a um carregamento circular

na sua superfície ...

Como visto, um carregamento externo aplicado na superfície (ou por conta da

própria geometria da superfície da massa de solo, quando inclinada) contribui para o

desenvolvimento de tensões normais e tangenciais ou de cisalhamento. Em se tratando da

componente de cisalhamento, observa-se ser interessante calcular, em diversos problemas,

os valores de máxima tensão cisalhante atuantes no solo.

Assim, a Figura 4.10 ilustra, como exemplo, o aspecto da distribuição de tensões e

a intensidade destas tensões, seja a componente de tensão vertical (Capítulo 02), seja a

cisalhante máxima que ocorrem no subsolo de um terreno (mostrada a meia seção), que

tem aplicado na superfície um carregamento externo de 100kPa.

Observa-se que os maiores valores destas tensões ocorrem nas proximidades do

carregamento, região em que se têm as maiores deformações e que há a possibilidade de

haver ruptura, dependendo da resistência ao cisalhamento do solo.

=+

+−1 3 1 3

2 22cos

=−1 3

22sen



102

3 m Footing

100 kPa

7

14

21 2

8 3

5

42

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Ele

vation (

metr

es)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Distribuição de tensões verticais devidas ao peso

próprio e ao carregamento externo E = 5000 kPa

3 m Footing

100 kPa

2

4

6

10

14

24

30

32

32

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Ele

va

tio

n (

me

tre

s)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Distribuição das máximas tensões cisalhantes

= 0,334

Figura 4.10 - Aspecto das tensões que ocorrem no subsolo de um terreno carregado

Para ilustrar, é mostrada na Figura 4.11 uma ampliação dos pontos de cálculo

próximos da carga e na Figura 4.12 o estado de tensões atuantes em um ponto no interior

da massa de solo, com destaque para os valores e a direção em que atuam as tensões

principais maior e menor, como estudado. Neste exemplo ilustrativo foi usado um software

de análise de tensões, desenvolvido aplicando a técnica numérica do “Método dos

Elementos Finitos” (M. E. F.). O ponto destacado (do nó 760) situa-se à 2,0m de

profundidade (cota 18) e à 1,5m de distância do eixo da carga aplicada de 6,0m de

diâmetro, ou seja, na metade dos 3,0m apresentado.

Como pode ser observado no traçado do círculo de Mohr (Figura 4.12), assim como

se verifica na Figura 4.10, a máxima tensão de cisalhamento atuante no ponto é da ordem

de 32 kPa, correspondente a um σ1 de 76,76 kPa e σ3 de 10,81 kPa.

505506 507508509 510511512513514515 516517518 519520521 522523524

536 537 538 539 540 541 542 543 544 545

547548 549550551 552553554555556557 558559560 561562563 564565566

578 579 580 581 582 583 584 585 586 587

589590 591592593 594595596597598599 600601602 603604605 606607608

620 621 622 623 624 625 626 627 628 629

631632 633634635 636637638639640641 642643644 645646647 648649650

662 663 664 665 666 667 668 669 670 671

673674 675676677 678679680681682683 684685686 687688689 690691692

704 705 706 707 708 709 710 711 712 713

715716 717718719 720721722723724725 726727728 729730731 732733734

746 747 748 749 750 751 752 753 754 755

757758 759760761 762763764765766767 768769770 771772773 774775776

788 789 790 791 792 793 794 795 796 797

799800 801802803 804805806807808809 810811812 813814815 816817818

830 831 832 833 834 835 836 837 838 839

841842 843844845 846847848849850851 852853854 855856857 858859860

3 mFooting100 kPa

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Figura 4.11 – Pontos de cálculo das tensões, próximos da carga, com destaque para o nó 760



103

Effective Stress at Node 760

Normal

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Shear

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

sx

sy

14.318

-14.811

73.242

10.805

76.756

Figura 4.12 – Estado de tensões atuantes em um ponto e direção das tensões principais

Na análise de outro exemplo semelhante (Figura 4.13) são destacados 16

(dezesseis) pontos no interior da massa de solo (Tabela 4.1). Os respectivos valores das

tensões atuantes e as direções das tensões principais são apresentados na Figura 4.14, para

efeito de comparação de comportamento.

Figura 4.13 – Exemplo em que são destacados 16 (dezesseis) pontos para análise

Tabela 4.1 – Pontos destacados em que foram calculadas as componentes de tensões

Distância da extrema esquerda (m)

(do eixo de simetria)

0 2,5 5,0 7,5

Cota 18 (Profundidade 2,00m) 685 690 695 700






104

685

690

695

700

609

614

619

624

457

462

467

472

153

158

163

168

Figura 4.14 – Valores das componentes de tensões atuantes nos 16 pontos analisados



105

Observe principalmente como variam as tensões normais para o exemplo analisado.

. Componentes vertical e horizontal, σv e σh:

O efeito da tensão vertical diminue com a profundidade e quando se afasta da carga;

O efeito da tensão horizontal é bastante variável com a posição, podendo ser

negativa (de tração) em alguns pontos.

. Componentes das tensões principais σ1 e σ3:

O efeito da tensão σ1 tende a diminuir com a profundidade e quando se afasta da

carga;

O efeito da tensão σ3 é bastante variável com a posição, podendo ser negativa em

alguns pontos.

. Direções das tensões principais σ1 e σ3:

Não é inclinada as tensões principais para a linha vertical, sob o eixo da carga (e

coincide com os valores de σv e σh) e é inclinada para todos os outros pontos,

havendo uma diminuição deste efeito quanto mais se afasta do carregamento, ao

longo da profundidade.

4.5 – Critério de rutura de Mohr

Critério de ruptura são formulações que procuram refletir as condições em que

ocorre a ruptura dos materiais. Dentre os vários critérios de ruptura considerados em

Resistência dos Materiais, para os diversos materiais diferentes, um se caracteriza por sua

condição essencialmente empírica, o critério de ruptura de Mohr. Sendo o solo um material

heterogêneo por excelência, um critério como o de Mohr traduz muito bem as

características diferenciadas dos solos. O critério de Mohr se obtém com traçados gráficos

de círculos de Mohr em condições experimentais práticas, a partir de informações

obtidas diretamente em corpos de prova ensaiados.

Como o estado de tensões ocorrentes em um ponto, no interior do maciço de solo se

traduz, perfeitamente pelo círculo de Mohr, vamos levar as solicitações de 1 e 3 ao

estado de ruptura e procurar identificar, nos inúmeros planos , aquele que

corresponde ao de ruptura do material. Esse plano será, portanto, o plano de ruptura e o

ângulo correspondente, aquele que define o limite da cunha instável para o estado de

tensões de rutura considerado nos ensaios.

O critério de Mohr consiste em se ensaiar uma infinidade de corpos de prova

indeformados (obtidas a partir de amostragem “shelby”, quando amostra de argilas) ou

“blocos” para outros materiais, ou ainda deformadas (solo compactado ou areias para

diferentes graus de compacidade) do mesmo horizonte de solo a ser analisado. Essa

abordagem inicial é teórica, pois, esse esquema de coletas de amostras, nessa quantidade, é

de difícil viabilidade prática; mas, a partir da teoria, vamos conferir algumas considerações,

em paralelo, que poderão contribuir para simplificação do processo e sua conseqüente

esquematização prática.

Vamos tomar um corpo de prova cilíndrico ...

O ensaio consistirá, em princípio, nas fases destacadas na Figura 4.15.



106

. Proteger o corpo de prova com membrana elástica para

impermeabilização da amostra e submetê-la, lateralmente, a uma

pressão 3, mantida constante (de “confinamento”);

. Submetê-la, axialmente, a uma pressão 1, crescente, até

romper a sua estrutura (quando se mede a máxima 1

correspondente a 3 aplicada, que foi previamente adotada);

. No caso haverá um cisalhamento do corpo de prova segundo

um ângulo , (plano de rutura) e a parte de cima se desloca em

relação à debaixo caracterizando bem o fenômeno (podem ocorrer

rupturas com outras características dependendo do tipo de solo).

Figura 4.15 – Critério de ruptura de Mohr: Fases de um ensaio de ruptura

No final desse ensaio, nesse primeiro corpo de prova obtém-se um par de tensões

de solicitações 1 e 3, correspondentes ao estado de rutura do solo ensaiado, portanto,

tensões de rutura. Com esses valores, traça-se o círculo de tensões correspondentes, que

terá embutido nele aquelas correspondentes ao plano de rutura, que faz um determinado

ângulo com o plano de tensão maior e sobre o qual agirão as tensões e definidoras do

estado de rutura.

Repetido esse ensaio para um segundo corpo de prova, agora tomando 3’ > 3

tem-se, para romper o corpo-de-prova, 1’ > 1. Portanto, identifica-se um novo par de

tensões de rutura que permite traçar um novo círculo de Mohr onde se pode identificar o

mesmo plano de rutura para o mesmo material, nas mesmas condições de utilização. Deve-

se repetir o ensaio, sucessivamente, para uma infinidade de corpos de prova, e plotar essa

infinidade de círculos, a fim de obter algo bem próximo do representado na Figura 4.16.

Figura 4.16 – Círculos de Mohr para várias amostras: envoltória de resistência do solo

Nota-se, que a linha curva que tangencia essa infinidade de círculos correspondente

à ruptura do solo. Essa linha que dá o contorno do lugar geométrico desses círculos (Mohr

chamou de curva intrínseca ou curva de envoltória dos círculos) correspondente à condição

de tensão na ruptura.



107

Da figura, podemos ter outros traçados que nos levará as seguintes análises, quanto

aos valores das tensões aplicadas e sua condição de estabilidade à ruptura.

− 3 de um dos círculos formando par com 1’ menor que 1 correspondente à

ruptura. Círculo ficará aquém da envoltória de Mohr correspondente à ruptura;

− 3 de um dos círculos formando par com 1’ maior que 1 correspondente à

ruptura. Círculo extrapolará o limite da envoltória, isto é, teríamos tensões maiores

que a tensão máxima de ruptura (inviável de ocorrer).

Conclusão: A envoltória dos círculos de Mohr correspondentes à ruptura limita um

espaço onde se podem representar, graficamente, estados de tensões ocorrentes até o

estado de ruptura. Ou seja, essa linha é o lugar geométrico dos pontos correspondentes ao

plano de rutura definido em função do material em análise.

Destacam-se da figura 4.17 três círculos (de igual valor de σ3) que identificam, de

maneira genérica, a situação de solicitação de tensões no material (par de tensões σ1, σ3),

em relação ao critério de ruptura de Mohr – equação ( ) ( ) r f f= = :

− 1º caso: Círculo correspondente à solicitação de equilíbrio estável.

Se o círculo traçado se situar no interior da curva intrínseca de ruptura, concluímos

que o equilíbrio é estável, isto é, a máxima tensão é menor do que a

correspondente a envoltória limite;

− 2º caso: Círculo correspondente à solicitação de equilíbrio incipiente (limite da

instabilidade/estabilidade).

Nesse caso, o círculo corresponde à solicitação tangente à envoltória: = r .

Haverá possibilidade de ruptura do material, por cisalhamento, ao longo do plano

de rutura, caso haja qualquer infinitésimo de aumento de qualquer uma das duas

tensões de solicitação ou pequena queda do valor de r;

− 3º caso: Círculo correspondente à solicitação de equilíbrio instável.

Nesse caso, plotado o círculo correspondente às tensões de solicitação, esse

ultrapassa a área limitada pela envoltória, isto é, ocorrerá tensão que ultrapassará a

resistência interna ao cisalhamento, do material r. Ocorrerá a rutura do material.

Figura 4.17 – Pontos de tangência para os círculos de Mohr: Condição de σα e na ruptura

Na Figura 4.17, “T” são pontos de tangência dos círculos que definem o lugar

geométrico da curva intrínseca de Mohr ou da envoltória de Mohr, correspondentes aos

pares de tensões de rutura, que ocorrem nos planos α (variável, de acordo com o nível de

tensão σ). Nesses pontos a coordenada se iguala a r = tensão de resistência interna do

material ou resistência ao cisalhamento do material.



108

Envoltória de Mohr:

“Curva geométrica definidora da resistência de um solo, considerando as várias

particularidades do solo ensaiado”.

Dentro desse enfoque a envoltória de Mohr varia de material para material,

possuindo ela as seguintes propriedades:

− É simétrica em relação ao eixo–;

− É aberta para o lado dos positivos (tensões de compressão) e fechadas do lado

dos negativos (tensão de tração);

− Sua inclinação sobre o eixo– diminui à medida que cresce, tendendo a tornar-se

paralela tanto mais elástico e flexível for o material.

A teoria do critério de rutura de Mohr, sendo baseada, quase inteiramente na

experimentação é a mais satisfatória, como teoria básica, para aplicações em solos,

cujo caráter, heterogêneo de ocorrência é profundamente aleatório, requer, obrigatória

ligação com a experiência prática. 4.6 – Teoria de Coulomb

Esta teoria se desenvolveu para análise das forças internas de resistência nos

maciços pulverulentos (granulares).

Partindo-se da teoria do plano inclinado, da Física, observa-se:

“Na superfície de contato entre o plano inclinado e o corpo de peso P temos o

desenvolvimento da força de atrito de contato Fa de mesma direção e sentido contrário a

T”, como mostra a Figura 4.18. O plano pode se movimentar fazendo-se variar o ângulo.

Figura 4.18 – Forças geradas em um plano inclinado, sob um corpo de peso P

No momento em que o ângulo deixa de ser zero o peso do corpo P deixa de agir

integralmente sobre o plano horizontal, passando a agir duas componentes:

N = tensão normal principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal

maior, no caso o horizontal;

T = componente tangencial no plano, que tende a fazer o corpo deslizar, sobre o plano,

por anteposição a força Fa;

Fa = Força de atrito. Quanto mais ásperas forem a superfícies de contato, maior será

(Fa) e quando mais lisa e/ou lubrificada menor será.



109

Condições resultantes da inclinação do plano:

= 0 P é normal ao plano, N = P e T = 0. Nesse caso, o equilíbrio é estável sem

possibilidade de ocorrência da componente tangencial no plano;

0 P se decompõe em N e T, mas, devido T < Fa, o corpo permanece estável ( <

), sem possibilidade de deslocamento;

Sendo = ângulo de atrito de contato entre as superfícies

0 Continuando a aumentar , chegaremos a um ponto em que = e T se

iguala a Fa. Nesse caso, T = Fa e o ângulo é denominado ângulo de atrito

entre as duas superfícies. O equilíbrio é incipiente, isto é, qualquer infinitésimo

de variação de o equilíbrio variará para instável ou estável.

se igualou ao ângulo de atrito entre as superfícies em contato e passa a ser

denominado ângulo de atrito interno.

0 Quando ultrapassa o valor de ( > no plano), a componente tangencial T

ultrapassará o valor de Fa, T > Fa no plano, e o corpo escorrega sobre o plano.

Para o cálculo do valor da componente tangencial no plano, pode-se correlacionar com a componente normal (T/N), obtendo:

T = P.sen

N = P.cos ==

= tg.NTtg

cos

sen

N

T

Equação do atrito

Isto é, a componente tangencial é o resultado do produto da componente normal N

pela tangente do ângulo (coeficiente angular).

Quando = , temos tg igual ao coeficiente de atrito entre as duas superfícies,

então tg = f(ângulo de atrito interno entre essas duas superfícies), podendo ser escrito:

T1 = N1.tg

T1, no caso, corresponde à resistência de atrito entre as duas superfícies e será

sempre calculada em função da componente normal (neste caso N1) ao plano de

escorregamento. T1 corresponderá ao valor da resistência limite ao escorregamento.

Análise do Fenômeno nos Solos

* No caso de maciços pulverulentos, em que se considera uma quantidade granular

(agregado, como exemplo, areia seca), a única força de resistência interna será o atrito

de contato grão a grão. Portanto, só haverá força interna de atrito. Logo, o fenômeno será

idêntico à análise da física feita no plano inclinado.

Assim, suponha que se tenha sobre uma mesa um monte de areia seca (Figura

4.19). Essa areia estará em repouso (equilíbrio-estável) quando limitada por um ângulo de

inclinação = = ângulo de atrito interno do material granular – Mesa I. A mesma massa

de areia é representada na Mesa II, agora contida por anteparos que retém a massa instável

que, anteriormente caiu por não ter o que a contivesse. Podemos afirmar que a cunha

instável é limitada em relação à massa estável por um plano, acima do qual as forças

internas de resistência estão suplantadas pelas componentes tangenciais geradas. Nesse

caso, chamaremos esse plano de plano de escorregamento (limite que perde o equilíbrio).



110

Figura 4.19 – Experiência de areia sobre mesa, para avaliação de sua estabilidade

Observa-se que o anteparo deverá ser dimensionado para resistir ao movimento da

cunha instável, pressão (E=empuxo) que o solo faz sobre o paramento vertical de

contenção, como será visto no Capítulo 06.

Por analogia da Física podemos escrever:

= tg = R (no plano de rutura)

Sendo:

= componente tangencial no plano;

= componente normal ao plano;

tg = coeficiente de atrito interno do material (coeficiente angular da reta);

R = tensão interna de resistência ao cisalhamento do material. Tem mesma direção e

sentido contrário à , agindo, ambos no plano de rutura.

(desenvolvida nos agregados secos que ocorrem na massa)

O atrito desenvolvido em agregados secos é aquele ocorrente pelo contato grão a

grão. Graficamente, temos para a envoltoria de equilíbrio limite, corresponde à resistência

ao cisalhamento do solo, o mostrado na Figura 4.20.

Figura 4.20 – Envoltária de resistência para solo granular

* No caso de maciços de solos que possuam também ligantes (fração fina, como

por exemplo, argila) com desenvolvimento de coesão (ligação dos grãos por atração físico-

química, contribuindo na de resistência ao cisalhamento) haverá um aumento de R devido

a esse acréscimo de resistência interna, tensão de tração, que será representada por “c”,

assim a nova equação ficará: = c + tg

Caixa móvel que serve de

anteparo à massa de areia

seca.



111

Essa é a equação de Coulomb que traduz a resistência interna dos solos: dado pelo

somatório da resistência por atrito de contato grão a grão, devida aos agregados e a

resistência por ligação (atração físico-química por carga elétrica) devida aos “ligantes”

(coesão).

A coesão é um fenômeno físico diferente do atrito de contato grão a grão, mas de

comportamento idêntico ao atrito interno, pois impede o cisalhamento das partículas por

ligação que lhe dão resistência a tração (partícula a partícula). Graficamente, temos a

envoltória de equilíbrio limite comom apresentada na Figura 4.21.

Figura 4.21 – Envoltária de resistência para um solo com fração granular e com finos

i é a tensão inicial de tração que gera na equação o valor de c. Ambas as tensões

de compressão e de tração agem normais ao plano. Pelo próprio gráfico, temos:

c = i tg

Logo, a equação de Coulomb ficará:

= i tg + tg , então: = f () ... resistência crescente com a tensão normal

Pinto (2006) destaca existir uma diferença entre as forças transmitidas nos contatos

entre os grãos de areias e os grãos de argila (Figura 4.22). Nos contatos entre grãos de

areia, geralmente as forças transmitidas são suficientemente grandes para expulsar a água

da superfície, de tal forma que os contatos ocorrem realmente entre os dois minerais. No

caso de argilas, o número de particulas é muitíssimo maior, sendo a força transmitida num

único contato, extremamente reduzida. De outra parte, as partículas de argila são

envolvidas por moléculas de água quimicamente adsorvidas a elas. As forças de contato

não são suficientes para remover estas moléculas de água, e são elas as responsáveis pela

transmissão das forças.

Figura 4.22 – Análise comparativa dos contatos entre os grãos de areia e os grãos de argila.

PINTO (2006)



112

Para os possíveis tipos de ocorrências de solos temos as envoltórias apresentadas

na Figura 4.23.

Só Agregado Só “Ligante” Agregado e “Ligante” (fração granular) (fração fina) areno-argiloso ou “arenoso” “argiloso” argilo-arenoso

Figura 4.23 – Envoltárias de resistência para diferentes solos

Conclusão importante: A ocorrência da parcela interna de resistência à coesão

“c” dará como decorrência a possibilidade de se ter um ângulo do plano de rutura

maior que (atrito interno só dos agregados).

Assim, a massa estável representada na Figura 4.19 (“areia sobre mesa”) terá outra

conformação se o solo apresentar agora fração arenosa e argilosa (material granular e

finos), podendo ter até um ângulo de 90o sem necessidade de anteparo. No desenho

apresentado na Figura 4.24 tem-se representado esta nova situação. Figura 4.19 – Forças geradas em u

Figura 4.24 – Experiência de solo com areia e argila sobre mesa, para avaliação de sua estabilidade

Esta condição estará logicamente condicionada à capacidade da fração fina

(“ligante”) desenvolver força de coesão o que, condicionará o ganho de resistência do solo.

A proporção agregados/”finos” é um fator importante a ser considerado na

resistência de um solo. No caso de termos uma proporção grande de “finos” e pouco

agregados, e, por exemplo, os “finos” perderem eventualmente sua resistência (por entrada

de água na massa, por exemplo) o agregado passará a atuar de forma mais significativa.

Resistência de solos é dependente das parcelas de coesão e atrito, conjuntamente.

Neste caso temos: = ângulo do plano de escorregamento; = ângulo de atrito interno (do agregado componente do solo)



113

4.7 - Critério de ruptura Mohr–Coulomb

Critérios de ruptura

O estudo da resistência ao cisalhamento dos solos consiste na análise do estado de

tensões que provoca a ruptura. Como visto, os critérios de ruptura que melhor representam

o comportamento do “material” solo são os critérios de Mohr e de Coulomb.

Em resumo, Pinto (2006) descreve:

O critério de Mohr pode ser expresso como: “não há ruptura enquanto o círculo

representativo do estado de tensões se encontrar no interior de uma curva, que é a

envoltória dos círculos relativos a estados de ruptura, observados experimentalmente para

o material”. A Figura 4.26 (b) representa a envoltória de Mohr, o círculo B representativo

de um estado de tensões em que não há ruptura, e o círculo A, tangente à envoltória,

indicativo de um estado de tensões de ruptura.

O critério de Coulomb pode ser expresso como: “não há ruptura se a tensão de

cisalhamento não ultrapassar um valor dado pela expressão c + f.σ, sendo c e f constantes

do material e σ a tensão normal existente no plano de cisalhamento”. Os parâmetros c e f

são denominados, respectivamente, coesão e coeficiente de atrito interno, podendo este ser

expresso como a tangente de um ângulo, denominado ângulo de atrito interno. A Figura

4.26 (a) representa a envoltória de Coulomb.

Figura 4.26 – Representação dos critérios de ruptura: (a) de Coulomb; e (b) de Mohr

(PINTO, 2006)

Critério de ruptura Mohr-Coulomb

Considerando-se o critério de ruptura de Mohr e de Coulomb, verifica-se que os

comportamentos físicos são semelhantes para as duas linhas de limitação de resistência e

sua equação. Isto é, no critério de ruptura de Mohr temos a envoltória, linha que define o

esforço limite de rutura, de equação τ = f(α) – curva e na teoria de Coulomb, temos a linha

que limita a resistência da estrutura dos solos, de equação, também, τ = f(α) – mas reta.

Ora, se ambas tem a mesma forma matemática, podemos assimilá-las, isto é,

particularizar, para o caso dos solos, a envoltória de Mohr como se fosse uma reta.

Fazendo-se uma reta como a envoltória de Mohr (Figura 4.27), seu critério de

resistência fica análogo ao de Coulomb, justificando a expressão critério de Mohr-

Coulomb, costumeiramente empregada em Mecânica dos Solos. Algum erro pode decorrer

dessa assimilação, mas, a prática tem demonstrado que os resultados são perfeitamente

compatíveis com os valores requeridos.

O critério de rutura Mohr-Coulomb tem como premissa básica a afirmativa de que

“nos solos, a envoltória dos círculos de Mohr, correspondentes a ruptura, é uma reta

de equação tgcr += ”.



114

Figura 4.27 – Representação do critério de ruptura Mohr-Coulomb (CHÁCARA, 2017)

Envoltórias curvas são de difícil aplicação. Por esta razão, as envoltórias de Mohr

são frequentemente substituídas por retas que melhor se ajustam à envoltória.

Naturalmente, várias opções de retas podem ser adotadas devendo a escolha levar em

consideração o nível de tensões do projeto em análise (como por exemplo, na Figura 4.28)

ou até mesmo adotar uma reta “média”, correspondente às tensões adotadas previamente

para os corpos de prova ensaiados.

Definida uma reta, naturalmente seu coeficiente linear, c, não tem mais o sentido de

coesão, que seria a parcela de resistência independente da existência de tensão normal. Ele

é tão somente um coeficiente da equação que expressa à resistência em função da tensão

normal, razão pela qual é referido como intercepto de coesão.

Figura 4.28 – Representação da envoltória de Mohr-Coulomb para determinado nível de tensão

Observa-se que com essa assimilação de “reta”, temos condição de traçar a

envoltória, correspondente a determinado solo, com o traçado de dois círculos, mas, pela

própria teoria dos erros adotam-se no mínimo três círculos, interpolando-se, graficamente

a envoltória tangente aos mesmos, como ressaltado.

Condição Analítica da Rutura

De acordo com o critério de Mohr-Coulomb, quando a tensão de cisalhamento,

expressa pela reta de Coulomb = +c tg , se iguala a resistência ao cisalhamento r ,

em determinado ponto, ao longo da superfície de rutura, o maciço se romperá. O círculo

correspondente ao estado de tensões do ponto será tangente à reta de Coulomb e o solo

estará no estado incipiente de equilíbrio, isto é, no estado plástico em que, qualquer

deformação, uma vez cessado o esforço, permanece, sem retorno a posição original.



115

Se a condição de equilíbrio incipiente ocorre, ela existe em todos os pontos ao

longo do plano de rutura e diz-se que a massa de solo está no Estado de Equilíbrio

Plástico.

Os critérios de ruptura demonstram ser a tensão normal no plano da ruptura

(cisalhamento) muito importante. Observa-se neste problema de cisalhamento que o círculo

de Mohr não tangencia a envoltória no ponto de máxima cisalhante (α=450).

A pergunta então que se coloca é: Em que plano “α” se dá a ruptura ?

Baseado no critério de rutura Mohr-Coulomb é apresentado nas Figuras 4.29 e 4.30

a análise do estado de tensões no plano de ruptura, respectivamente para um solo sem coesão e

com coesão. No traçado das figuras tem-se um círculo tangente a linha de ruptura e todos

os elementos indicados métricos e trigonométricos para demonstração nas análises a serem

realizadas.

Figura 4.29 – Análise do estado de tensões no plano de ruptura: Solo sem coesão

Figura 4.30 – Análise do estado de tensões no plano de ruptura: Solo com coesão

Componentes Principais da Figura:

i = tensão inicial de tração normal ao plano de escorregamento;

= tensão de compressão normal ao plano de escorregamento;

= tensão tangencial (de rutura) ao plano de escorregamento;

= ângulo do plano de ruptura com plano principal maior;

r = raio do círculo;

= ângulo de atrito interno do solo;

tg = coeficiente de atrito interno do solo;

1 e 3 = tensões principais de ruptura, atuantes no ponto considerado;

c tgi= = coesão do solo (devido ao “ligante” - presença da fração argila);

tg = atrito interno do solo (devido ao agregado - presença da fração areia);



116

Expressão de Cálculo do ângulo :

Pela propriedade do círculo de Mohr o ângulo interno feito como o raio de T é 2

conforme pode-se ver nas Figuras 4.29 e 4.30, portanto: 2 90

452

= +

= +

Dedução da Equação Analítica da Ruptura:

Pela figura: ND NC CD= +

NB NC CB= − mas, CD CB CT r= = =

Dividindo-se membro a membro, temos:

ND

NB

NC CD

NC CB=

+

− ou

ND

NB

NC CT

NC CT=

+

−

Dividindo-se numerador e denominador por NC , temos:

ND

NB

NC

NC

CT

NC

NC

NC

CT

NC

=

+

−

=+

−=

+

−

1

1

90

90

sen

sen

sen sen

sen sen

Da figura tiramos: ND i= + 1 e NB i= + 3

Substituindo:

i

i

+

+=

+

−

1

3

90

90

sen sen

sen sen

Pela Trigonometria: sen sen

sen sen

a b

a b

tga b

tga b

+

−=

+

−2

2

ou podemos escrever:

i

i

tg

tg

tg tg N+

+=

+

−=

+= +

=

1

3

2 2

90

290

2

90

245

2

N = Chamado por Terzaghi de número de fluência

A equação ficará:

i

i

N+

+=1

3

ou ( ) i iN+ = +1 3

1 3= + −N Ni i

( ) 1 3 1= + −N N i mas,

ic

tg=

tg

NcN

131

−+=



117

Demonstra-se que N

tgN

−=

12

Finalmente, temos

A equação analítica de rutura relaciona as tensões principais com os parâmetros

de resistência. A partir desta equação pode-se calcular uma das tensões principais (σ1 ou

σ3) quando se tem a outra, conhecidos os parâmetros de resistência (c e ), e vice-versa.

4.8 – Exercícios de Aplicação

1 – Considere um ponto em uma massa de solo na condição horizontal, a uma

profundidade de 3,0m, sendo este solo com peso específico de 18 kN/m2 e relação entre

tensões horizontal e vertical (K) igual a 0,5.

Calcule analiticamente as componentes de tensões em um plano inclinado de: 300, 450 e

600.

Resolução:

Sendo o solo na condição horizontal: σv = σ1 e σh = σ3

σv = γ . h = 18 . 3 = 54 kPa

σh = K . σv = 0,5 . 54 = 27 kPa

Obtêm-se as tensões em um plano α a partir das equações abaixo:

=+

+−1 3 1 3

2 22cos e

=

−1 3

22sen

Para 300 temos:

30.2cos2

2754

2

2754 −+

+= = 47,25 kPa

30.22

2754sen

−= = 11,69 kPa

Para 450 temos:

45.2cos2

2754

2

2754 −+

+= = 40,50 kPa

45.22

2754sen

−= = 13,50 kPa

Para 600 temos:

60.2cos2

2754

2

2754 −+

+= = 33,75 kPa

60.22

2754sen

−= = 11,69 kPa

Observe que as tensões normais estão no intervalo da maior (54) e a menor (27), como

não poderia deixar de ser. Quanto às tensões cisalhantes, houve um aumento com o

ângulo α até certo valor de máximo.

1 3 2= +N c N EQUAÇÃO ANALÍTICA

DA RUPTURA



118

2 – Considere que a parede da Figura 4.31 (notícia de site) sofreu uma alteração no seu

estado de tensões, devido a um recalque diferencial entre dois pilares de sua sustentação, e

que esta está submetida a um estado plano de deformações, sob tensões atuantes apenas

neste plano (estado bidimensional de tensões).

Mostre qual o ângulo esperado para a ruptura da mesma. E no caso dos solos, quando

submetido a tensões que levam sua ruptura, o ângulo esperado será o mesmo ? Demostre

sua resposta.

Figura 4.31 – Aspecto de trincas em parede após ruptura por alteração no seu estado de tensões

(UOL, 18/06/2015)

Resolução:

Para a parede

Havendo ruptura no plano, o mesmo está submetido a tensões principais na ruptura.

Este cálculo pode ser feito a partir das equações de e definidores do estado de tensões

em um ponto, quando agem no mesmo, as tensões principais 1 e 3.

No caso, o problema consistirá, então, em se calcular a tensão tangencial ou cisalhante

máxima, em função das tensões agentes 1 e 3.

Sendo

=−1 3

22sen , o valor máximo da expressão ocorrerá em 2α = 900.

Então α = 450 (como sugere a foto da figura)

Para o solo

Havendo ruptura no solo, e considerando que o mesmo se encontra em um estado triaxial

de tensões (sistema tri-dimensional de tensões, representado por 1, 2 e 3), o círculo de

Mohr tangencia a envoltória de resistência (obtido em ensaios com tensões nos 3 eixos).

Observe que mesmo sendo σ2 = σ3, esta componente não deixa de existir no caso de solos.

Então, pode-se concluir pelo desenho genérico de um círculo de Mohr e pela envoltória de

Mohr-Coulomb abaixo, que:



119

+= 902 e 2

45

+=

Então, na ruptura, α > 450 e pode ser calculado a partir do ângulo de atrito do solo.

3 – Considere a realização de três ensaios de ruptura com tensões de confinamento

“arbitradas” (no nível de tensão do problema - obra) iguais a 100, 200 e 600 kPa, cujas

tensões medidas na ruptura para os corpos de prova são apresentadas na tabela seguinte.

Pede-se traçar a envoltória de resistência de Mohr-Coulomb em termos de tensões

efetivas e obter os parâmetros de resistência do solo.

Tabela: Informações dos corpos de prova ensaiados, na condição da ruptura

Resolução:

Como foi solicitada a envoltória em termos de tensões efetivas, calcula-se inicialmente

estes volores subtraindo das tensões totais os valores de pressão neutra geradas no

momento da ruptura e traça-se os respectivos círculos de Mohr, fazendo a melhor

aproximação da envoltória aos círculos:



120

4 – Para a envoltória obtida no exercício anterior, obter:

a) O ângulo aproximado para o plano de ruptura dos corpos de prova (CPs)

b) A relação matemática entre as tensões principais maiores

Resolução:

a) O ângulo α na ruptura pode ser calculado em função do ângulo de atrito. Então:

Se º23=

2

2345

245 +=+=

α = 56,50

b) A equação analítica de rutura relaciona as tensões principais com os parâmetros de

resistência. Então:

1 3 2= +N c N

+=

2452

tgN

( ) 2tgN =

3,2

)5,56(2

=

=

N

tgN

Logo, 3,2.28.23,2 31 += = σ1 = 2,3 σ3 + 84,9 (kPa)

capítulo 4 estado de tensÕes e de equilÍbrio dos solostulo-04-estado-de... · plano qualquer...

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