capitulo4 deflexaode vigas
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CAPÍTULO 4:DEFLEXÃO DE VIGAS
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Linha Elástica é a curva que representa o eixo da viga após a deformação.
Linha Elástica A deflexão “v” éo deslocamento de qualquer ponto no eixo da viga.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo uma deflexão (v) e uma rotação (θ).
� O ângulo de rotação “θ” é o ângulo entre o eixo “x” e a tangente à curva da linha elástica.
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
dθθθθ dθθθθ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Da figura vemos que:
dsd =θρ .
dθ em radianos
ds
dk
θρ
== 1
dθθθθ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Da figura vemos que:
θtgdx
dv =
=dx
dvarctgθ
=
=
ds
dvsen
ds
dx
e
θ
θcos :
dθθθθ
Inclinação da Linha Elástica
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Vigas com Pequenos Ângulos de Rotação: θ�0
dxds ≈
θθ ≈tg
Logo, fazendo:
radianos. em sendo , θθ=→dx
dv
Equação válida para pequenas rotações2
21
dx
vdk ==
ρ
dx
dk
θρ
==→ 1
2
2
dx
vd
dx
d =θ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
zz
A
AA
x
IE
MkMIkEMdAykE
MdAyykEMydA
⋅=→=⋅⋅→=⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅→=⋅⋅
∫
∫∫
2
)(σ
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Para materiais elástico lineares (Lei de Hooke):
ykyE xx ⋅=⋅=⋅=ρ
εεσ 1 e x
Logo:Equação Diferencial da Linha Elástica
zEI
M
dx
vd =2
2
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Convenções de Sinais:� (1)Eixos:
� (2) Deflexão:
� (3) Rotações:
� (4) Curvatura k:
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
x(+)
y(+)
v(+)
θ e dx
dvx
y(+)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Convenções de Sinais:
� (5) Momentos:
� (6) Carregamentos:
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Equações Adicionais:
qdx
Mq
dx
dVV
dx
dM −=−==2
2d e ;
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Vigas Não Prismáticas : seção variável com x.
Mdx
vdxEI =⋅→
2
2
)(
Vdx
dM =
qdx
dV −=
)(2
2
xEI
M
dx
vd =
Vdx
vdxEI
dx
d =
⋅→
2
2
)(
qdx
vdxEI
dx
d −=
⋅→
2
2
2
2
)(
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Vigas Prismáticas: rigidez (EI) ���� constante� Momento Fletor:
VvEIVdx
vdEIV
dx
dMzz =′′′⋅→=⋅→=
3
3
MvEIMdx
vdEI
EI
M
dx
vdzz
z
=′′⋅→=⋅→= 2
2
2
2
qvEIqdx
vdEIq
dx
dVzz −=⋅→−=⋅→−= ''''
4
4
� Força de Cisalhamento:
� Carregamento:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno: relativas às deflexões e rotações nos apoios.
0 e 0 ==→ Mv
0 e 0 ==→ Mv
0 e 0 =′=→ vv
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno: relativas às deflexões e rotações em vigas biapoiadas.
==′′=→===′′=→=
0M pois 0v e 0
0M pois 0v e 0 0
vLx
vx
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno: relativas às deflexões e rotações em vigas engastadas.
==′′′→===′′→=
=′=→=
0V pois 0
0M pois 0
0v e 0 0
vLx
vLx
vx
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Continuidade:
No ponto C:
( ) ( )CBAC vv ′=′
( ) ( )CBAC vv =
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Exemplo1: Determine a equação da Linha Elástica para a viga abaixo. Determine também a deflexão máxima δmáx e os ângulos de rotação θAe θB nos apoios.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
a) Expressão para o Momento Fletor:
Reações de apoio:
Momento Fletor:
2
LqRR VBVA
⋅==
2
2222x
qx
qLxxqx
qLM ⋅−⋅=⋅⋅−⋅=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
b) Equação da Linha Elástica:
2''
22x
qx
qLMvEIz ⋅−⋅==⋅
21
43
4634CxC
xqxqLvEI z +⋅+⋅−⋅=⋅
dxxq
dxxqL
dxvEI z ⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ 2''
22
[.(dx)]
∫∫∫ ⋅−⋅=⋅ dxxq
dxxqL
dxvEIz2''
22� 1ª integração
( ) ∫∫
+⋅−⋅=⋅ 1
32'
3222C
xqxqLvEIz � 2ª integração
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condições de Contorno: (I)(II)
0 0 =→= vx
0 2
L e 0 =′→==→= vxvLx
0000000 (I) 22 =→++−=∴=→= CCvx
24 .
24.
24120
0..24
.12
00 (II)
3
11
4
1
44
143
qLCLC
qLLC
qLqL
LCLq
LqL
vLx
−=→+=+−=
++−=∴=→=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
deflexãoCxCxq
xqL
vEI z 2412 21
43 →+⋅+⋅−⋅=⋅
⋅+⋅−⋅= x
Lxx
L
EI
qv
z 2424
1
12
343
� Linha Elástica
⋅+⋅−⋅= x
qLx
qx
qL
EIv
z 242412
1 343
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
rotaçãoCxq
xqL
vEI z 64 1
32 →+⋅−⋅=′⋅
θrotaçãoL
xxL
EI
qv
z
246
1
4
332 →
−⋅−⋅=′
−⋅−⋅=′
2464
1 332 qL
xq
xqL
EIv
z
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� c) Deflexão máxima x = L/2:
zmáx
zmáx
zmáx
EI
qLv
LLL
EI
qv
LLLLL
EI
qv
⋅−=
−−=
⋅−
⋅−
⋅=
384
5
4838496
224224
1
212
4
444
343
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� d) Ângulos de rotação: θA e θB
zAA EI
qLvx
24 0
3
−=′∴=→θ
zBB EI
qLvLx
24
3
=′∴=→θ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Exemplo 2: Calcular a deflexão e a inclinação (rotação) do ponto D indicado na viga representada abaixo, adotando E = 10GPa.
KNqL
RR VBVA 12,32
20,52,1
2=×===
3m
1,2kN/m
DB
2,2m
A
6cm
16cm
� a) Reações de apoio:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� b) Equação diferencial da linha elástica:
43
2
2
3
1
4
32
2
1
3
21
2
1
''''
26242,1
262,1
22,1
2,1
2,1
CxCx
Cx
Cx
vEI
CxCx
Cx
vEI
CxCx
vEI
CxvEI
qvEI
z
z
z
z
z
+⋅+⋅+⋅+⋅−=⋅
+⋅+⋅+⋅−=′⋅
+⋅+⋅−=′′⋅
+⋅−=′′′⋅−=−=⋅
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� c) Condições de Contorno:
� (I)
� (II)
� (III)
� (IV)
12,312,30 1 =⇒′′′==→= CvKNVx A
000 2 =⇒′′==→= CvMx A
060,22
=′→== vL
x
03,702
6,212,3
6
6.22,10 33
23
−=⇒+⋅+⋅+⋅−= CCx
000 4 =⇒=→= Cvx A
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� d) Rotações e deflexões:
( )
( )xxxEI
v
xxEI
v
mkNEI
mbh
I
m
kNGPaE
z
z
z
z
⋅−⋅+⋅−=
−⋅+⋅−⋅=′
⋅=
=×==
×==
−
03,752,005,0.1
03,756,12,01
8,204
10.048,212
16,006,0
12
101010
34
23
2
4533
26
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� e) Deflexão e Rotação no Ponto D:
( )
( ) mv
radv
mx
234
323
1065,52,203,72,252,02,205,08,204
1
109,703,72,256,12,22,08,204
1
20,2 Para
−
−
×−=×−×+×−⋅=
×−=−×+×−⋅=′
=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Exemplo 3: Determine a equação da Linha Elástica para uma viga engastada mostrada abaixo. Determine também θB e δB na extremidade livre.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Reações de apoios:
qLRVA =2
2qLMA =
22
2222
2
xqqLx
qLM
xqxqLx
qLM
−+−=
−+−=
� a) Momento Fletor na viga:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� b) Equação da Linha Elástica:
DeflexãoCxCxLxxL
EI
qv
RotaçãoCxx
LxL
EI
qv
xLx
L
EI
qv
qxqLx
qLMvEI
z
z
z
z
→
+⋅+−+−⋅=
→
+−⋅+⋅−⋅=
−+−⋅=′′
−+−==⋅
∫∫
∫∫
21
4322
1
32'
22
22''
2464
622
22
22
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno:� (I)
� (II)
00 ' =→= vx
00 =→= vx
( ) 0 0000 (I) 11 =⇒+−+−⋅= CCEI
q
z
( ) 0 0000 (II) 22 =⇒+−+−⋅= CCEI
q
z
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Rotação:
zBBB EI
qLvLxv
6
3
−=′∴=→′=θ
( )22'
32
2'
336
622
xLxLEI
qxv
xx
Lx
L
EI
qv
z
z
−+−⋅=
−⋅+⋅−⋅=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Deflexão:
( )222
4322
4624
24
1
64
xLxLEI
qxv
xxL
xL
EI
qv
z
z
−+−⋅=
⋅−⋅+⋅−⋅=
zBBB EI
qLvLxv
8
4
−=∴=→=δ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Exemplo 4: Determine a equação da Linha Elástica, os ângulos de rotação θA e θB nos apoios, a deflexão máxima δmáx e a deflexão δCno ponto médio.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Reações de apoio:
L
aPR
L
bPR VBVA
⋅=⋅= e
( ) L)x(a
a)x(0
≤≤−⋅−⋅=
≤≤⋅=
axPxL
PbM
xL
PbM
� a) Momentos Fletores:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� b) Equação da Linha Elástica:
( ) L)x(a
a)x(0
≤≤−⋅−⋅=′′⋅
≤≤⋅=′′⋅
axPxL
PbvEI
xL
PbvEI
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Integrando temos: Rotações
2
22
12
2
)(
2
2
CaxP
xL
PbvEI
CxL
PbvEI
+−⋅−⋅=′⋅
+⋅=′⋅
42
33
313
6
)(
6
6
CxCaxP
xL
PbvEI
CxCxL
PbvEI
+⋅+−⋅−⋅=⋅
+⋅+⋅=⋅
� Integrando novamente: Deflexões
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno:� (I)
� (II)
� (III)
� (IV)
00 =→= vx
0=→= vLx
diresq vvax ′=′→=
diresq vvax =→=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Condição de Contorno:
42
33
6
)(
60 0 (II) CLC
aLP
L
PbLvLx +⋅+−⋅−=∴=→=
0 00 (I) 3 =⇒=→= Cvx
212
22
1
2
2
)(
22 (III) CCC
aaP
L
PbaC
L
Pbaax =⇒+−−=+→=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
( )
( ) 122
2
222
42
32
6
6
066
(II)
CbLL
PbC
LCbLPb
CLCPbPbL
=−⋅−=
⋅−=−⋅
=+⋅+−
0 6
)(
66 (IV)
4411421
42
33
1
3
=⇒+⋅=⋅⇒+⋅=⋅
+⋅+−−=⋅+→=
CCaCaCCaCaC
CaCaaP
L
PbaaC
L
Pbaax
� Condição de Contorno:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Deflexões:( )
( ) a)x(0 6
66
1
222
223
≤≤+−⋅=
−⋅−⋅=
bLxLEI
Pbxv
xbLL
Pb
L
Pbx
EIv
( ) L)x(a 6
)(
6
3222 ≤≤−⋅−−−⋅−=
EI
axPxbL
LEI
Pbxv
( ) ( )
⋅−⋅−−⋅−⋅= xbL
L
PbaxP
L
Pbx
EIv 22
23
666
1
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Rotações:( )
( ) a)x(0 36
62
1
222
222
≤≤−−⋅−=′
−⋅−⋅=′
xbLLEI
Pbv
bLL
Pb
L
Pbx
EIv
( ) ( )L)x(a
23
6
2222' ≤≤−⋅−−−⋅−=
EI
axPxbL
LEI
Pbv
( ) ( )
−⋅−−⋅−⋅=′ 22
22
622
1bL
L
PbaxP
L
Pbx
EIv
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
( )( )LEI
bLPabv
bLLEI
Pbv
xv
A
A
AA
6
6
0
22
+−=′
−⋅−=′
=→′=θ� Cálculo de θA:
)()( bLbL −⋅+
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
( ) ( )EI
aLPLbL
LEI
Pbv
Lxv
B
BB
23
6
2222 −−−−⋅−=′
=→′=θ
( )
+−−⋅−=′ b
L
bL
EI
Pbv B 3
2
2
22
LEI
aLPabv
L
LbbL
EI
Pbv
B
B
6
)(
3
32
2
22
+⋅=′
−+⋅=′
� Cálculo de θB:(b)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Deflexão máxima δmáx:� Ponto de máximo �
( )b)(a
39
336
)( para
23
22
22
22222
1
≥⋅−⋅−=
+−
−⋅−⋅=
==
LEI
bLPbv
bLbLbL
LEI
Pbv
xxv
máx
máx
máxmáxδ
( )
3
036
0
22
1
222
bLx
xbLLEI
Pb
v
−=
=−−⋅−
=′
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica
� Deflexão no ponto médio x = L/2:
( ) b)(a 4348
412
262
2
L xpara
22
222
222
≥+−⋅=
+−⋅=
+−
⋅⋅
=
==
bLEI
Pbv
bLL
EI
Pbv
bLL
LEI
LPb
v
v
C
C
C
CCδ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� São vigas em que o número de reações excede o número de equações de equilíbrio da estática.
3 reações2 equações
Estaticamente Indeterminadas
0.2
.0
00
00
=+−⇒=
=−+⇒=
=⇒=
∑
∑∑
LRL
qLMM
qLRRF
HF
BAA
BAY
Ax
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� São necessárias equações adicionais para obter todas as reações.
� O número de reações em excesso ao número de equações de equilíbrio é chamado de Grau de Hiperestaticidade .
� Grau = (nº Reações) – (nº Equações)
� Assim, a viga analisada é hiperestática de grau 1.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� As equações adicionais podem ser obtidas considerando as deformações da estrutura.
� Logo, pode-se usar uma das três equações diferenciais da linha elástica:
qvEI
QvEI
MvEI
z
z
z
−=⋅
=′′′⋅=′′⋅
''''
� O procedimento para resolução é o mesmo usado para vigas isostáticas.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� Como exemplo, analisaremos a viga anterior determinando as rotações e deflexões da viga.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) Equações de equilíbrio:� (1)
� (2)
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� a) Estaticidade da estrutura:
dasdesconheci reações 3 , ,
0
→=
VbVAA
A
RRM
H
equilíbrio de equações 2 0 e 0 →== ∑∑ MFY
,
Grau = 3 – 2 = 1 � Estrutura estaticamente indeterminada de grau 1
2
2qLLRM
qLRR
VBA
VBVA
=⋅+
=+
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� c) Equação no momento fletor:� Reação redundante � reação em excesso que pode ser
liberada da estrutura, porém, deixando-a estável e estaticamente determinada.
� Escolhemos RVB como reação redundante, e as outras reações serão escritas em função desta.
( )2
.22
2222
2
qxLR
qLxRqL
qxMxRM
LRqL
M
RqLR
VBVBAVA
VBA
VBVA
−
−−⋅−=−−⋅=
⋅−=
−=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� d) Equação diferencial da Linha Elástica:
( )22
22 qxLR
qLxRqLMvEI VBVBz −
⋅−−⋅−==′′⋅
( ) 1
322
622C
qxxLR
qLxRqLvEI VBVBz +−⋅
⋅−−⋅−=′⋅
( ) 21
4223
24226CxC
qxxLR
qLxRqLvEI VBVBz +⋅+−⋅
⋅−−⋅−=⋅
� Integrando:
� 3 incógnitas � C1, C2 e RVB
� São necessárias 3 condições de contorno
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� e) Condições de contorno:� (I)� (II)
� (III)
00 ' =→= vx00 =→= vx0=→= vLx
00000 )( 11 =⇒+−−=→ CCI
000000 )( 22 =⇒++−−=→ CCII
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
2424660
43434 qLLRqLLRqL VBVB −+−−=
83
24
1
4
1
6
1
2
1
6
1 43 qLR-qLLR VB
VB −=∴
−−⋅=
−⋅
8
3qLRVB =
( )24226
0 4223 qLL
LRqLL
RqL(III) VBVB −⋅
⋅−−⋅−=→
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� f) Rotações e Deflexões:
−⋅
⋅−−⋅
−⋅=68
3
228
31 322' qx
xLqLqLxqL
qLEI
vz
−⋅
⋅−−⋅
−⋅=2428
3
268
31 4223 qxxL
qLqLxqLqL
EIv
z
( )22' 815648
xxLLEI
qxv
z
⋅−⋅+−⋅=
( )222
25348
xxLLEI
qxv
z
⋅+⋅−⋅−=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas
� g) Reações nos apoios:
88
3
22
222 qLL
qLqLLR
qLM VBA =⋅−=⋅−=
8
5
8
3 qLqLqLRqLR VBVA =−=−=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.3 Método da Superposição
� Em uma viga submetida a várias cargas, os deslocamentos em um ponto qualquer pode ser obtido somando-se algebricamente os deslocamentos, no mesmo ponto, correspondente à cada carga agindo isoladamente.
� Exemplo 1:P
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
( )z
qB EI
qLv
8
4
−=
( )z
qB EI
qL
6
3
−=θ
4.3 Método da Superposição
P
( )z
PB EI
PLv
3
3
−=
( )z
PB EI
PL
2
2
−=θ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
( ) ( )zz
PBqBB EI
PL
EI
qLvvv
38
33
−−=+=
( ) ( )zz
PBqBB EI
PL
EI
qL
26
23
−−=+= θθθ
4.3 Método da Superposição
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.3 Método da Superposição
� Exemplo 2:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
( )z
qC EI
qLv
384
5 4
−= ( )z
PC EI
PLv
48
3
−=
( ) ( )z
qBqA EI
qLvv
24
3
=′=′− ( ) ( )z
PBPA EI
PLvv
16
2
=′=′−
4.3 Método da Superposição
( ) ( )
BAPBqBB
PAqAA
PCqCc
vv
vv
vv
θθθθ
δ
=−
′+′=
′+′=
+=
)()(
)()(
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
zzBA EI
PL
EI
qL
1624
23
+==− θθ
zzC EI
PL
EI
qL
48384
5 34
−−=δ
4.3 Método da Superposição
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exemplo 3: Determine δB e θA
4.3 Método da Superposição
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
PF
aPaFMA
⋅=
=⋅−=∑
3
2
03
2
4.3 Método da Superposição
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Viga Engastada:
( )EI
qbv qB 8
4
=
( )EI
Fbv FB 3
3
=
+−=
+−=
EI
Pb
EI
qb
EI
Fb
EI
qbB 9
2
838
3434
δ
4.3 Método da Superposição
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Viga Apoiada:
aEI
Pb
aEI
qb
aB
9
2
8
34
1 +== δθ
( )EI
Pa
EIa
aa
aaP
EIL
bLPab
⋅=
⋅
+⋅
⋅
⋅=
⋅+⋅=
81
4
6333
2
6
2
2θ
EI
Pa
aEI
Pb
aEI
qbA 81
4
9
2
8
234
21 −−−=−−= θθθ
4.3 Método da Superposição
θ1θ2 δB
P
a
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Exemplo 4: Determinar θA ; δB ; θC ; θD e δD
4.3 Método da Superposição
10 kN/m
20 kN/m30 kN
20 kN
AB C D
3m3m 2m
10 kN/m
20 kN/m30 kN
40 kN
AB C
3m3m
60kNm
20 kN
2m
C D
� Sistema Equivalente:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Rotação em A:
EI
ML
EI
PL
EI
qL
EI
qLA +−−−=
16128
3
24
233
θ
EI
ML
EI
PL
EI
qL
EI
qLB 1648768
5
384
5 2344
+−−−=δ
� Flecha em B:
4.3 Método da Superposição
EIEIEIEIEIA
125,148
6
660
16
630
128
6103
24
610 233
−=×+×−××−×−=θ
EIEIEIEIEIB
125,253
16
660
48
630
768
6105
384
6105 2344
−=×+×−××−××−=δ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Rotação em C:
EI
ML
EI
PL
EI
qL
EI
qLC 316384
7
24
233
−+++=θ
4.3 Método da Superposição
EIEIEIEIEIC
875,76
3
660
16
630
384
6.107
24
610 233
=×−×+×+×+=θ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Flecha em D:
EIEILCD
750,1532
875,76' =×=×= θδ
EIEIEID
333,73
3
220
8
210 34'' −=×−×−=δ
4.3 Método da Superposição
θC δ’D
θ’D
δ’’ D
EIEIEIDDD
417,80750,153333,73''' =+−=+= δδδ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
EIEIEID
333,53
2
220
6
210 23' −=×−×−=θ
4.3 Método da Superposição
θC δ’D
θ’D
δ’’ D
EIEIEICDD
542,23875,76333,53' =+−=+= θθθ
� Rotação em D :
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
� Exemplo 5: Determine as reações dos apoios da viga abaixo usando o Método da Superposição.
� a) Estaticidade:� Grau = 4(eq.) – 3(reações) = 1 � Hiperestática� Reação Redundante RVB
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) Equação de Equilíbrio:
VBVAVBVAY RqLRqLRRF −=⇒=−+∴=∑ 00
LRqL
MqL
LRMM VBAVBAA ⋅−=⇒=−⋅+∴=∑ 2 0
20
22
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Compatibilidade de deslocamento:
( ) ( ) 0=+VBRBqB δδ
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
8
3 0
38
34 qLR
EI
LR
EI
qLVB
VB =⇒=⋅+−
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� d) Reações dos apoios:
8
3qLRVB =
88
3
22
222 qLL
qLqLLR
qLM VBA =⋅−=⋅−=
8
5
8
3 qLqLqLRqLR VBVA =−=−=
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� a) Estaticidade:� 4 - 3 = 1 � Hiperestática RVB � Reação Redundante
� Exemplo 6: Determinar:a) a reação em cada apoio;b) a declividade da linha elástica na extremidade A.
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
q
AB C
2L/3 L/3
L
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� b) Equações de Equilíbrio:
00 =⇒=∑ HCX RF
3
2
22.
3
2.0
2VB
VCVCVBA
RqLR
qLLR
LRM −=∴=+⇒=∑
VBVCVAVCVBVAY RqLRRqLRRRF −=+∴=++⇒=∑ 0
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� c) Compatibilidade de deslocamento:
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
C
q
AB
2L/3 L/3
A
RVB
C
2L/3 L/3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
( )( )
9
4
273
2
33
2
63 222
2 L
EI
LRLLL
L
LEI
LR
VBVB
RB VB⋅⋅=
−
−⋅⋅
⋅−−=δ
( ) ( )323 224
xLxLEI
qxv q +−⋅−=
3
2 onde
Lx =
( ) ( )222
6xbL
LEI
Pbxv
VBR −−⋅−=3
2 onde
Lx =
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
( )EI
qLLLLL
L
EI
qqB
4323 01132,0
3
2
3
22
3
2
24−=
+
−⋅⋅−=δ
( )EI
LRVBVB B
3
01646,0⋅⋅=δ
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� Sabendo-se que δB = 0 e
( ) ( )VBRBqBB δδδ +=
VBVCVA RqLRR −=+
qLqLqLqLRVA ⋅=⋅−⋅−= 271,00413,0688,0
qLqLqLRqL
R VBVC ⋅=⋅−=−= 0413,0688,0
3
2
23
2
2
qLREI
LR
EI
qLVB
VB ⋅=⇒⋅⋅+⋅−= 688,001646,001132,00
34
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
� Logo:
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� d) Declividade no apoio A:
( ) ( )VBRAqAA θθθ +=
( )EI
qLqA 24
3
−=θ
( ) ( )LEI
LL
LLR
LEI
bLPab VB
RA VB 6333
2
6
+⋅
⋅
⋅=+⋅=θ
( )EI
qL
LEI
LqL
VBRA
3
3
03398,0
6
278
688,0⋅=
⋅⋅
=θ
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
� d) Declividade no apoio A:
EI
qL
EI
qL
EI
qLA
333
00769,003398,0
24⋅−=⋅+−=θ
4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Aplicação 1: Sabendo que a viga AE é um perfil laminado de aço S310x47,3, que q = 50kN/m, a = 1,5m e E = 200GPa, determinar: (a) a declividade em B; (b) a deflexão no centro C da viga.Perfil S310x47,3 � A = 6032mm2; Ix = 90,7x106mm4;
Iy = 3,9x106mm4
q
A B
2a aa
D EC
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Aplicação 2: Para a viga em balanço com carregamento mostrado, determine a declividade e a deflexão nos pontos B e D.
q
a a a
A B C D
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Aplicação 3: A viga em balanço tem seção circular com diâmetro de 45mm e está submetida ao carregamento mostrado. Determine a inclinação e a deflexão nos pontos B e C. Considera E = 200GPa.
2,6kN/m
0,75m 0,25m
AB
C
0,6kN
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Aplicações
� Aplicação 4: Para o carregamento mostrado na figura, sabendo-se que as vigas AC e BD têm mesma rigidez àflexão, determine a reação em B.
10kN/m