capitulo3_modelagem_parte1

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

DIRETORIA DE ENSINO

CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

CAPÍTULO 3: MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOS

11

CAPÍTULO 3: MODELAGEM DE SISTEMAS FÍSICOSParte - I

Disciplina: Análise de Sistemas Lineares

Professora: Rejane de Barros Araújo

Agenda Função de Transferência

Diagrama de Blocos

Profa. Msc. Rejane de BarrosSERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

DIRETORIA DE ENSINO

CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

22

Sistemas Mecânicos

Sistemas Elétricos

Modelagem no Espaço de Estados

Aproximações Lineares de Sistemas Físicos

Análise com Matlab

Função de Transferência

Profa. Msc. Rejane de Barros

É uma função algébrica que relaciona a saída do sistema com sua

entrada;

33

O comportamento do Sistema é analisado através da sua Função de

Transferência, porque esta contém todos os parâmetros que definem o

modo de operação do sistema;

A Função de Transferência viabiliza a separação da entrada e saída

do sistema em três partes distintas, diferente das equações diferenciais;



A função permite combinar algebricamente as representações

matemáticas dos subsistemas de modo a se obter uma representação

global do sistema;

4

)()()(

)()()(

01

1

101

1

1 trbdt

trdb

dt

trdbtca

dt

tcda

dt

tcda

m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n +++=+++−

−

−−

−

− KL

global do sistema;

Equação Diferencial:

c(t) saída e r(t) entrada

ai e bi e a forma da equação diferencial representam o sistema


Aplicando Laplace:


++++ −− )()()( 0

1

1 sCasCsasCsa n

n

n

n L Condição inicial envolvendo c(t)

55

Admitindo todas as condições iniciais iguais a zero:

++++= −− )()()( 0

1

1 sRbsRsbsRsb m

m

m

m K Condição inicial envolvendo r(t)

( ) ( ) )()( 0

1

10

1

1 sRbsbsbsCasasa m

m

m

m

n

n

n

n +++=+++ −−

−− LL


Separa-se a entrada, a saída e o sistema, encontrando-se a Função de

Transferência Condições iniciais nula;


( )1)( bsbsbsC mm +++ −

66

Função de Transferência por meio de um diagrama de blocos;

( )( )01

1

0

1

1)()(

)(

asasa

bsbsbsG

sR

sCn

n

n

n

m

m

m

m

+++

+++==

−−

−−

L

L

R(s) C(s)( )( )01

1

0

1

1

asasa

bsbsbn

n

n

n

m

m

m

m

+++

+++−

−

−−

L

L )()()( sGsRsC =


Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Impulsiva

A entrada impulsiva é definida de modo que num certo instante o sinal

de entrada r(t) assume um valor elevado, tendendo a infinito e permanece

nesta situação em um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a

77

nesta situação em um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a

zero;r(t)

t


Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Impulsiva

Esta entrada é chamada de r(t) = δ(t) e é impossível de se reproduzir

fielmente na prática;

88

Transformada de Laplace deste sinal é: R(s) = 1;


Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Degrau

É a mais utilizada no estudo de qualidade dos sistemas, por mostrar

uma boa visão transitória do sistema e ser fácil de se implementar na

prática;

99

prática;

Assume um valor zero até um instante t inicial e passa a assumir um

valor 1 após este instante, continuamente;

Com a entrada r(t) = H(t), pode-se analisar o comportamento da saída

de um sistema que num certo instante recebe um comando de entrada e

irá responder a esse comando


Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Degrau

O sistema ao responder ao comando de entrada, passará por um

período de tempo chamado Transitório e irá se estabilizar numa outra

situação chamada de Regime Permanente;

1010

Qualidade do Sistema: Regime Transitório e Regime Permanente;r(t)

t

SsR

1)( =

K

S

KsR =)(


Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Rampa

A entrada rampa representa a integral da entrada degrau;

Assume um valor nulo até o instante t = 0 e seu valor cresce

proporcionalmente com o tempo;

1111

proporcionalmente com o tempo;

Entrada: r(t) = t . H(t);

2

1)(S

sR =

r(t)

t


Função de Transferência – Entradas do SistemaEntrada Senoidal

Serve para estudar o comportamento do sistema quando aplicamos

num certo instante uma entrada senoidal;

Esta entrada é nula até o instante t = 0 e um seno de frequência w após

1212

este instante;

0 2 4 6 8 10 12 14-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

22)(

wS

wsR

+=



Exemplo 1: Obtenha a função de transferência representada por:

)()(2)(

trtcdt

tdc=+

1313

Exemplo 2: Utilize o resultado do exemplo 1 para obter a resposta c(t),

a uma entrada r(t) = u(t), um degrau unitário, admitindo condições iniciais

nulas;

dt



Exemplo 3: Obtenha a função de transferência, G(s) = C(s)/R(s),

correspondente à equação diferencial.

rdrrd

cdccdcd

34573223

++=+++

1414

Exemplo 4: Obtenha a equação diferencial correspondente à função de

transferência

rdt

dr

dt

rdc

dt

dc

dt

cd

dt

cd34573

223++=+++

26

12)(

2 ++

+=

ss

ssG



Exemplo 5: Obtenha a resposta a uma rampa para um sistema cuja

função de transferência é

( )( ))( =

ssG

1515

( )( )84)(

++=

ss

ssG


Diagrama de Blocos

Os diagramas em blocos podem ser usados para representar cada

subsistemas, e o arranjo agrupado e conectado, num sistema como um

todo;

1616

Seta: é usada para representar o sentido do fluxo de sinal;

Bloco: é um símbolo de operação matemática sobre o sinal de

entrada do bloco que produz a saída. É representado normalmente

por função de transferência;

Ponto de soma: o círculo com uma cruz é o símbolo que indica

uma operação de soma. O sinal mais ou menos determina se o sinal

deve ser adicionado ou subtraído


Diagrama de Blocos

Ponto de junção: é um ponto a partir do qual o sinal proveniente de

um bloco vai para outros blocos ou pontos de soma.

1717

+

-

Ponto de Soma

)(sG

Seta

Bloco Ponto de Junção


Diagrama de BlocosAssociação em Cascata

Um sistema tem elementos em cascatas se dois ou mais elementos

estão num mesmo ramo direto, então a função de transferência G(s) do

sistema é G(s) = C(s)/R(s)

18

)(1 sG

R(s) )()(

)(

1

2

sRsG

sX =

)(2 sG)()()(

)(

12

1

sRsGsG

sX =

)(3 sG)()()()(

)(

123 sRsGsGsG

sC =

)()()( 123 sGsGsG

R(s) C(s)


Diagrama de BlocosAssociação com Realimentação

+

-

C(S))(sG

R(S) +

+

C(S))(sG

R(S)

19

)(sH

Realimentação Negativa

)(sH

Realimentação Positiva

Função de transferência - dedução


Diagrama de BlocosAssociação em Cascata com Realimentação

+

-

C(S))(1 sG

R(S))(2 sG

20

)(sH

C(S)+

-

)()( 21 sGsG

)(sH

R(S)

)()()(1

)()()(

12

12

sHsGsG

sGsGsG

+=


Diagrama de BlocosAssociação em Paralelo

Num sistema com blocos em paralelo os sinais se somam no ponto de

soma:

C(S))(1 sGR(S) + C(S))(1 sGR(S) +

21

Função de transferência - dedução

)(1 sG

)(2 sG

R(S) +

+

)(1 sG

)(2 sG

R(S) +

-


Diagrama de BlocosSimplificando

22


Diagrama de BlocosSimplificando

23


Diagrama de Blocos

Exemplo 6: Simplifique o seguinte diagrama de blocos

24


Diagrama de Blocos

Exemplo 6: Continuação

25


Diagrama de Blocos

Exemplo 6: Continuação

26


Diagrama de Blocos

Exemplo 7: Calcule a Função de Transferência do sistema desenhado a

seguir, sendo a entrada R(S) e a saída C(S).

C(S)

27

+

-

R(S) G(S) +

-H(S) C(S)

Z(S)

Y(S)


Diagrama de Blocos

Exemplo 8: Calcule a Função de Transferência dos sistemas

desenhados a seguir, sendo a entrada R(S) e a saída C(S).

R(S) G1(S) + G2(S)C(S)

28

G1(S)-

G2(S)

H(S)

+

-

R(S)+

-

C(S)

4s

)1(

1

+ss


Funções de TransferênciaCircuitos Elétricos

Modelagem matemática de circuitos elétricos;

Três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores;

29

Lei de Kirchhoff;

Escreve-se as equações diferenciais;

Transformada de Laplace;

Função de Transferência.



Componente Tensão-Corrente

Corrente-Tensão

Tensão-Carga

ImpedânciaZ(s)=V(s)/I(s)

AdmitânciaY(s) =

I(s)/V(s)

∫1

1 tdv )( 1 1

30

∫=1

0

)(1

)( ττ diC

tv

)()( tRitv =

dt

tdiLtv

)()( =

dt

tdvCti

)()( =

)(1

)( tvR

ti =

∫=1

0

)(1

)( ττ dvL

ti

)(1

)( tqC

tv =

dt

tdqRtv

)()( =

2

2 )()(

dt

tqdLtv =

Cs

1

R

Ls

Cs

RG

1=

Ls

1


Exemplo 9: Obtenha a função de transferência que relaciona a tensão

no capacitor Vc(s), à tensão de entrada V(s), para o circuito da figura.


31


Metodologia mais simples:

Obtém-se a Transformada de Laplace das equações na coluna

tensão-corrente (condições iniciais nulas);


32

Impedância

)(1

)( sICs

sVc = )()( sRIsVR = )()( sLsIsVL =

)()(

)(sZ

sI

sV=


Metodologia mais simples:

Desenhe o circuito original mostrando todas as variáveis temporais,

como v(t), i(t), vL(t) e vc(t), na forma de transformada de Laplace V(s),


33

I(s), VL(s) e Vc(s);

Substitua os valores dos componentes pelos valores de suas

impedâncias;

Refazer exemplo 9: com impedâncias

Exemplo 9:

Análise dos nós

Análise das malhas


Análise das Malhas

Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias

Substituir todas as fontes e variáveis temporais por suas

Funções de TransferênciaCircuitos ElétricosCircuito Complexos

34

transformadas de Laplace

Admitir uma corrente transformada e um sentido de corrente em

cada malha

Escrever a lei de Kirchhoff das tensões referente a cada malha

Resolver as equações simultâneas para a saída

Formar a função de transferência


Análise dos nós

Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias

Substituir todas as fontes e variáveis temporais por suas


35

transformadas de Laplace

Admitir uma corrente transformada e um sentido de corrente em

cada malha

Escrever a lei de Kirchhoff das correntes para cada nó

Resolver as equações simultâneas para a saída

Formar a função de transferência


Exemplo 10:

Dado o circuito mostrado na figura, obtenha a FT I2(s)/V(s)

pela análise das malhas


36

Dado o circuito mostrado na figura, obtenha a FT Vc(s)/V(s)

pela análise dos nós


Exemplo 11: Determine a FT Vc(s)/V(s) para o circuito da figura,

utilizando a análise dos nós e o circuito transformado pela fonte de

corrente.


37


Exemplo 12: Determine a FT I3(s)/V(s) para o circuito da figura.


38


O Amplificador Operacional da figura possui as seguintes características:

Entrada diferencial, v2(t) – v1(t);

Alta impedância de entrada, Ze = ∞ (ideal)


Amplificadores Operacionais

39

Baixa impedância de saída, Zs = 0 (ideal)

Alto ganho de amplificação constante, A = ∞ (ideal)

A saída vs(t) é obtida por:

( ))()()( 12 tvtvAtvs −=


Amplificador Operacional Inversor

Quando v2(t) é aterrada

A saída vs(t) é obtida por:



40

)()( 1 tAvtvs −=


Amplificador Operacional Inversor

Se duas impedâncias forem conectadas ao amplificador operacional

não-inversor. Tem-se:



41

Se a impedância de entrada do amplificador é alta, então pela

lei de Kirchhoff das correntes Ia(s) = 0 e I1(s) = - I2(s);

Como o ganho A é alto, v1(t) = 0

)(

)()(

1

1sZ

sVsI e=

)(

)()(

2

2sZ

sVsI s−=−

)(

)(

)(

)(

1

2

sZ

sZ

sV

sV

e

s −=


Amplificador Operacional Não-Inversor

Pela figura, tem-se:



( ))()()( 1 sVsVAsV es −=

42

Aplicando um divisor de tensão

Dedução da equação

( ))()()( 1 sVsVAsV es −=

)()()(

)()(

21

11 sV

sZsZ

sZsV s+=

)(

)()(

)(

)(

1

21

sZ

sZsZ

sV

sV

e

s +=


Exemplo 13: Obtenha a FT Vs(s)/Ve(s) para os circuitos das figuras.



43


Exemplo 14: Obtenha a FT G(s) = VL(s)/V(s) para o circuito da figura.

Resolva o problema pela análise das malhas e dos nós


44


Exemplo 15: Se Z1(s) é a impedância de um capacitor de 10µF e Z2(s)

é a impedância de um resistor de 100kΩ, obtenha a FT G(s) = Vs(s)/Ve(s),

caso esses componentes sejam utilizados com


45

Amplificador operacional inversor

Amplificador operacional não-inversores

capitulo3_modelagem_parte1

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circuito da

rejane de

diagrama de

funo de transferncia

ponto de soma

ponto de juno

sinal de entrada

equaes simultneas