capitulo2-geodif1(mamfredo)

Sumario

2 Curvas no Espaco 37

1. Curva Parametrizada Diferenciavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Teoria Local de Curvas no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Forma Local das Curvas no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5. Teoria do Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6. Teorema Fundamental das Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

35

J. Delgado - K. Frensel36

Curva Parametrizada Diferenciavel

2

Curvas no Espaco

Neste captulo estudaremos a teoria local das curvas no espaco euclidiano R3. Comoveremos a seguir, muitos conceitos e resultados basicos sao introduzidos e provados de modoanalogo aos de curvas planas.

1. Curva Parametrizada Diferenciavel

Definicao 1.1 Uma curva parametrizada diferenciavel em R3 e uma aplicacao : I R3de classe C definida no intervalo aberto I = (a, b) R. A variavel t I e o parametro dacurva e o subconjunto de R3 formado pelos pontos (t), t I, e o traco da curva .

Definicao 1.2 Uma curva parametrizada diferenciavel : I R3 e plana se existe umplano de R3 tal que (I) .

Exemplo 1.1 A aplicacao : R R3 dada por (t) = (x0, y0, z0) + (a, b, c)t e uma curvaparametrizada diferenciavel cujo traco e a reta que passa pelo ponto (x0, y0, z0) e e paralela aovetor (a, b, c). Logo, e uma curva plana.

Exemplo 1.2 A curva parametrizada diferenciavel : R R3 dada por(t) = (a cos t, a sen t, bt) ,

com a > 0 e b 6= 0, e a helice circular de passo 2b cujo traco esta contido no cilindroC : x2 + y2 = a2. O parametro t mede o angulo que o eixo OX faz com a reta que liga a origemO a projecao do ponto (t) sobre o plano XY.

Instituto de Matematica - UFF 37

Geometria Diferencial

Fig. 1: Forma canonica local de uma curva.

Se dois pontos (t1) e (t2) tem as duas primeiras coordenadas iguais, entao z(t2) z(t1) eum multiplo inteiro de 2b.

Afirmacao: A curva nao e plana.

De fato, suponhamos que existem um vetor (A,B,C) nao-nulo e um numero real D tal que(R) esta contido no plano

: Ax+ By+ Cz = D .

Ou seja,

aA cos t+ aB sen t+ bCt = D . (I)

para todo t R.

Derivando a igualdade (I), temos que

aA sen t+aB cos t+bC = 0 , (II)

para todo t R.

Fazendo t = 0 e t = 2em (II), obtemos, respectivamente, que aB = bC e aA = bC. Logo

aA = aB = bC 6= 0 e, portanto, por (II), sen t cos t+ 1 = 0 para todo t R.

Assim, cos t+ sen t = 0 para todo t R, uma contradicao.

Exemplo 1.3 A curva parametrizada diferenciavel : (0,) R3 dada por(t) =

(t,1+ t

t,1 t2

t

)


Curva Parametrizada Diferenciavel

e uma curva plana.

De fato, seja : Ax + By + Cz = D um plano normal ao vetor v = (A,B,C) nao-nulo tal que((0,)) , ou seja,

At+ B(1+ t

t

)+ C

(1 t2

t

)= D

para todo t (0,). Entao,At2 + B(1+ t) + C(1 t2) = Dt (A C)t2 + (BD)t+ C+ B = 0

para todo t (0,).Logo A = C = B = D e, portanto, ((0,)) : x y+ z = 1 Exemplo 1.4 A aplicacao : R R3 dada por

(t) =(et cos t, et sen t, et

)e uma curva parametrizada diferenciavel cujo traco esta contido no cone C : x2 + y2 = z2.

De modo analogo ao feito no exemplo 1.2, podemos provar que nao e uma curva plana.

As nocoes de vetor tangente, curva regular, reta tangente e mudanca de parametrosao analogas as ja vistas para curvas planas. Portanto, serao introduzidas sem muitos co-mentarios.

Definicao 1.3 Seja : I R3, (t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva parametrizada dife-renciavel. O vetor tangente a em t e o vetor (t) = (x (t), y (t), z (t)). A curva e regularse (t) 6= 0 para todo t I. A reta tangente r a curva em t0 I e a reta que passa por (t0)e e paralela ao vetor (t0), isto e, r = {(t0) + (t0) | R}.

Definicao 1.4 Sejam I e J intervalos abertos de R, : I R3 uma curva regular eh : J I uma funcao diferenciavel (C) tal que (J) = I e h (t) 6= 0 para todo t J.Entao a funcao composta h : J R3 e uma curva regular que tem o mesmo traco de ,chamada reparametrizacao de por h. A funcao h e a mudanca de parametro.

Como h : J I e um difeomorfismo de classe C, temos que se e uma reparametrizacaode por h, entao e uma reparametrizacao de por h1.

Definicao 1.5 A orientacao de uma curva regular e o sentido de percurso do traco de .



Observacao 1.1 Uma reparametrizacao de por h tem orientacao igual (respectivamenteoposta) a de se a mudanca de parametro h e estritamente crescente (respectivamente de-crescente).

Definicao 1.6 Sejam uma curva regular e t0, t1 I, t0 t1. O comprimento de arco dacurva de t0 a t1 e dado por t1

t0

()d ,

e a funcao comprimento de arco da curva a partir de t0 e tt0

()d ,

para todo t I.

Definicao 1.7 Dizemos que uma curva regular : I R3 esta parametrizada pelo compri-mento de arco se t1

t0

()d = t1 t0 ,

para todos t0, t1 I, t0 t1.

Proposicao 1.1 Uma curva regular : I R3 esta parametrizada pelo comprimento dearco se, e so se, (t) = 1 para todo t I.

Proposicao 1.2 Sejam : I R3 uma curva regular e s : I (I) = J a funcaocomprimento de arco a partir de t0 I. Entao s : I J e um difeomorfismo C e = h :J R3, onde h = s1 : J I, e uma reparametrizacao de tal que esta parametrizadapelo comprimento de arco.

Observacao 1.2 Se 1 = h1 : J1 R3 e uma reparametrizacao de pelo comprimentode arco, entao existeM R tal que h1(r) = h(r+M) para todo r J1, onde h = s1 : J Ie s : I J e a funcao comprimento de arco a partir de t0 I.

As demonstracoes desses resultados sao identicas as feitas no Captulo I para curvasplanas.

Exemplo 1.5 Seja a helice circular : R R3 dada por(t) = (a cos t, a sen t, bt) ,


Produto Vetorial

onde a > 0 e b 6= 0.

Como (t) = (a sen t, a cos t, b), temos que (t) =a2 + b2, s(t) =

t0

a2 + b2 d =

a2 + b2 t e, portanto, h(r) = s1(r) = ra2 + b2

.Logo,

(r) = h(r) =(a cos r

a2 + b2, a sen r

a2 + b2,

bra2 + b2

)

e uma reparametrizacao de pelo comprimento de arco.

2. Produto Vetorial

Definicao 2.1 Sejam u, v R3. O produto vetorial de u e v, nesta ordem, e o unico vetoru v R3 tal que

u v , w = det(u, v,w) ,

para todo w R3.

Expressando u, v e w na base canonica {e1, e2, e3}:

u =

3i=1

uiei , v =3i=1

viei , w =3i=1

wiei ,

temos:

det(u, v,w) =

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

= w1u2 u3v2 v3

w2u1 u3v1 v3

+w3u1 u2v1 v2

= u v , wLogo,

u v =

u2 u3v2 v3 e1

u1 u3v1 v3 e2 +

u1 u2v1 v2 e3 . (1)

Das propriedades conhecidas dos determinantes, podemos verificar facilmente que oproduto vetorial satisfaz as seguintes propriedades:

(a) u v = v u ;

(b) (u+ w) v = (u v) + (w v) , , R ;



(c) u v = 0 se, e so se, u e v sao linearmente dependentes (LD) ;

(d) u v , u = u v , v = 0 .

Segue-se da propriedade (d) que se u v 6= 0, isto e, se u e v sao LI entao u v eortogonal ao plano gerado pelos vetores u e v, o que determina a direcao do vetor u v.

Alem disso, como det(u, v, u v) = u v , u v > 0, temos que {u, v, u v} e umabase positiva de R3, o que determina o sentido do vetor u v.

Para caracterizar completamente o vetor u v, basta determinar sua norma.

Para isso, necessitamos da seguinte relacao:

u v , x y =

u , x v , xu , y v , y ,

onde u, v, x e y sao vetores arbitrarios.

Prova.De fato, sendo x y = (a, b, c), temos que:

u v , x y= det

u1 u2 u3

v1 v2 v3

a b c

= au2 u3v2 v3

bu1 u3v1 v3

+ cu1 u2v1 v2

=

x2 x3y2 y3 u2 u3v2 v3

+x1 x3y1 y3

u1 u3v1 v3

+x1 x2y1 y2

u1 u2v1 v2

= (x2y3 x3y2)(u2v3 u3v2) + (x1y3 x3y1)(u1v3 u3v1)

+(x1y2 x2y1)(u1v2 u2v1)

= x2y3u2v3 + x3y2u3v2 x2y3u3v2 x3y2u2v3 + x1y3u1v3 + y1x3v1u3

y1x3y1v3 x1y3v1u3 + x1y2y1v2 + x2y1u2v1 x1y2u2v1 x2y1u1v2

= [x2u2y3v3 + x3u3y2v2 + x1u1y3v3 + x3u3y1v1 + x1u1y2v2 + x2u2y1v1]

[x2v2y3u3 + x3v3y2u2 + x3v3y1u1 + x1v1y3u3 + x1v1y2u2 + x2v2y1u1]

=[x1u1y1v1 + x1u1y2v2 + x1u1y3v3 + x2u2y1v1 + x2u2y2v2 + x2u2y3v3

+x3u3y1v1 + x3u3y2v2 + x3u3y3v3

][x1v1y1u1 + x1v1y2u2 + x1v1y3u3 + x2v2y1u1 + x2v2y2u2 + x2v2y3u3

+x3v3y1u1 + x3v3y2u2 + x3v3y3u3

]


Produto Vetorial

= (x1u1 + x2u2 + x3u3)(y1v1 + y2v2 + y3v3) (x1v1 + x2v2 + x3v3)(y1u1 + y2u2 + y3u3)

= u , x v , y v , x u , y .

Como desejavamos.

Portanto, pela relacao provada acima,

u v2 = u v , u v =

u , u v , uu , v v , v = u2 v2 u , v2

= u2 v2(1 cos2 ) = u2 v2 sen2 = A2 ,

onde e o angulo entre u e v, e A e a area do paralelogramo gerado por u e v.

Fig. 2: Produto vetorial de u e v

Resumindo: O produto vetorial de dois vetores LI u e v e um vetor u v perpendicular aoplano gerado por u e v, cuja norma e igual a area do paralelogramo de lados u e v e cujosentido e tal que {u, v, u v} e uma base positiva.

Observacao 2.1 O produto vetorial satisfaz a seguinte relacao:

(u v) w = u , wv v , wu ,

onde u, v e w sao vetores arbitrarios de R3.

Prova.De fato, sendo (a, b, c) = u v,

(u v) w =

b cw2 w3 e1

a cw1 w3 e2 +

a bw1 w2 e3

= (bw3 cw2)e1 (aw3 cw1)e2 + (aw2 bw1)e3



=

(

u1 u3v1 v3w3

u1 u2v1 v2w2

)e1

(u2 u3v2 v3w3

u1 u2v1 v2w1

)e2

+

(u2 u3v2 v3w2 +

u1 u3v1 v3w1

)e3

= ((u1v3w3 v1u3w3) (u1v2w2 u2v1w2)) e1

+ ((u2v3w3 u3v2w3) + (u1v2w1 u2v1w1)) e2

+ ((u2v3w2 u3v2w2) + (u1v3w1 u3v1w1)) e3

=(u1w1v1 + u2w2v1 + u3w3v1 v1w1u1 v2w2u1 v3w3u1

)e1

+(u1w1v2 + u2w2v2 + u3w3v2 v1w1u2 v2w2u2 v3w3u2

)e2

+(u1w1v3 + u2w2v3 + u3w3v3 v1w1u3 v2w2u3 v3w3u3

)e3

= (u , wv1 v , wu1) e1 + (u , wv2 v , wu2) e2 + (u , wv3 v , wu3) e3= u , wv v , wu .

Como queiramos.

Usando a relacao acima, podemos concluir que o produto vetorial nao e associativo, poiscomo:

(u v) w = u , wv v , wu ,

e

u (vw) = (vw) u = v , uw+ w , uv ,

temos, tomando u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) e w = (1, 1, 1), por exemplo, que:

(u v) w = v 2u = (1, 1, 0) e u (vw) = w+ v = (0, 0,1) .

Finalmente, sejam u(t) = (u1(t), u2(t), u3(t)) e v(t) = (v1(t), v2(t), v3(t)) aplicacoes di-ferenciaveis definidas em um intervalo aberto I = (a, b), t (a, b). Pela equacao (1) decorreque u(t) v(t) e diferenciavel e

d

dt(u(t) v(t)) =

du

dt(t) v(t) + u(t)

dv

dt(t) .


Teoria Local de Curvas no Espaco

3. Teoria Local de Curvas no Espaco

No Captulo anterior, vimos que a teoria local das curvas planas esta contida essencial-mente nas formulas de Frenet, que sao obtidas considerando um diedro ortonormal positivoassociado naturalmente a uma curva plana.

A seguir, vamos desenvolver um estudo analogo, considerando um triedro ortonormal

positivo associado a uma curva de R3 parametrizada pelo comprimento de arco.

Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Como o vetortangente (s) e unitario, o modulo (s) da derivada segunda mede a taxa de variacao doangulo que as tangentes vizinhas fazem com a tangente em s, ou seja, (s) da uma medidado quao rapidamente a curva se afasta, em uma vizinhanca de s, da reta tangente a em s.

Isso sugere a seguinte definicao:

Definicao 3.1 Se : I R3 e uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, entaoa curvatura de em s I e o numero real

(s) = (s) .

Exemplo 3.1 Seja a curva parametrizada : (1, 1) R3 dada por(s) =

((1+ s)3/2

3,(1 s)3/2

3,s2

).

Entao (s) =(

(1+ s)1/2

2,(1 s)1/2

2,12

)e (s) =

(1

4(1+ s)1/2,

1

4(1 s)1/2, 0

).

Logo, (s) =

1+ s

4+

1 s

4+

1

2= 1, isto e, esta parametrizada pelo comprimento de

arco, e

(s) = (s) = 14

(1

1+ s+

1

1 s

)1/2=

1

4

(2

1 s2

)1/2=

18(1 s2)

.

A proposicao abaixo caracteriza as retas como sendo as unicas curvas de curvaturaidenticamente nula.

Proposicao 3.1 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco.Entao (I) e um segmento de reta se, e so se, (s) = 0 para todo s I.



Prova.() Suponhamos que (I) e um segmento de reta. Seja v = (s0), s0 I fixo. Entaoexiste uma funcao : I R de classe C tal que (s) = (s)v para todo s I.Como |(s)| = (s) = 1 para todo s I, (s0) = 1 e (s) = (s) , v e contnua, temos que(s) = 1 para todo s I.

Logo (s) = v para todo s I e, portanto, (s) = vs+ p para algum ponto p R3.

Assim, (s) = (s) = 0 para todo s I.

() Suponhamos que (s) = (s) = 0 para todo s I. Entao existe v R3 unitario tal que (s) = v para todo s I.

Logo, existe p R3 tal que (s) = vs+ p para todo s I.

Se (s) , (s) = 1 para todo s I, entao (s) , (s) = 0 para todo s I. Portanto,nos pontos s I onde (s) 6= 0, isto e, (s) 6= 0, podemos definir um vetor unitario na direcaode (s) da seguinte maneira.

Definicao 3.2 Sejam : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco es0 I tal que (s0) > 0. O vetor

n(s0) = (s0)

(s0)

e denominado vetor normal a em s0.

A reta normal a em s0 e a reta paralela ao vetor n(s0) que passa por (s0):

rn(s0) = {(s0) + n(s0) | R} .

Denotando por t(s0) o vetor tangente a (s0), temos que t(s0) e n(s0) sao vetores orto-normais e

t (s0) = (s0)n(s0) .

O plano paralelo aos vetores t(s0) e n(s0) que passa pelo ponto (s0) e chamado o planoosculador de em s0:

osc (s0) = {(s0) + t(s0) + n(s0) | , R} .

Nos pontos onde (s) = 0, o vetor normal (portanto o plano osculador) nao esta definido.Para prosseguir a analise local das curvas, necessitamos, de uma maneira essencial, do planoosculador. Dizemos que s I e um ponto singular de ordem 1 se (s) = 0. Os pontos onde (s) = 0 sao chamados pontos singulares de ordem 0.



No que se segue, nos restringiremos as curvas parametrizadas pelo comprimento de arcosem pontos singulares de ordem 1.

Vamos definir um terceiro vetor que junto com t e n formam uma base ortonormal positiva

de R3.

Definicao 3.3 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco talque (s) > 0 para todo s I. O vetor binormal a em s e o vetor

b(s) = t(s) n(s) .

O referencial ortonormal positivo {t(s),n(s),b(s)} e o triedro de Frenet de em s.

O plano que passa por (s) e e paralelo aos vetores n(s) e b(s) e chamado o plano normala em s:

normal (s) = {(s) + n(s) + b(s) | , R} .

O plano que passa por (s) e e paralelo aos vetores t(s) e b(s) e chamado o plano retificanteda curva em s:

ret (s) = {(s) + t(s) + b(s) | , R} .

Fig. 3: Triedro de Frenet de em s0

Observacao 3.1 O vetor binormal b(s) e normal ao plano osculador de em s, pois b(s) t(s) e b(s) n(s). Portanto:

osc (s) = {p R3 | p (s) , b(s) = 0} .



De modo analogo, como t(s) = n(s) b(s) e n(s) = b(s) t(s), temos que

normal (s) = {p R3 | p (s) , t(s) = 0} ,

eret (s) = {p R3 | p (s) , n(s) = 0} .

Observacao 3.2 O vetor b (s) e paralelo ao vetor normal n(s).

De fato, derivando b(s) = t(s) n(s), obtemos:

b (s) = t (s) n(s) + t(s) n (s) = t(s) n (s) ,

pois t (s) = (s)n(s).

Portanto, b (s) e ortogonal a t(s).

Como b(s) , b(s) = 1, temos que b (s) , b(s) = 0, ou seja, b (s) e ortogonal a b(s).

Logo, b (s) e paralelo a n(s), isto e, b (s) e igual ao produto de n(s) por um numero real.

Definicao 3.4 O numero real (s) definido por

b (s) = (s)n(s),

e denominado torcao da curva em s.

Observacao 3.3 Como o vetor b(s) e unitario, |(s)| = b (s) mede a taxa de variacao doangulo do plano osculador de em s com os planos osculadores vizinhos, isto e, |(s)| indicaquao rapidamente a curva se afasta, em uma vizinhanca de s, do plano osculador de em s.

Proposicao 3.2 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco talque (s) > 0 para todo s I. Se e uma curva plana, entao o plano osculador de independede s e e o plano que contem o traco de .

Prova.Seja v um vetor normal unitario ao plano que contem o traco de , isto e,

= {p R3 | p (s0) , v = 0} .

Como (I) , temos que (s) (s0) , v = 0 para todo s I.

Derivando, obtemos que (s) , v = 0, ou seja, t(s) e ortogonal a v.

Derivando novamente, temos que (s) , v = 0, ou seja, (s)n(s) , v = 0. Logo, n(s) eortogonal a v, pois (s) > 0. Entao b(s) = v ou b(s) = v para todo s I.

Como (s) osc (s) para todo s I, temos que osc (s) = para todo s I.



Proposicao 3.3 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco talque (s) > 0 para todo s I. Entao e uma curva plana se, e so se, (s) = 0 para todo s I.

Prova.() Se e uma curva plana, pela proposicao acima, b(s) e constante. Entao b (s) = 0 e,portanto, (s) = b (s) , n(s) = 0 para todo s I.

() Se (s) = 0 para todo s I, temos que b (s) = 0 para todo s I. Sejam s0 I e a funcaof : I R de classe C dada por f(s) = (s) (s0) , b0, onde b0 = b(s) para todo s I.Derivando, obtemos f (s) = (s) , b0 = (s) , b(s) = 0 para todo s I. Logo f e constantee igual a zero, pois f(s0) = 0.

Entao (s) = {p R3 | p (s0) , b0 = 0} para todo s I.

Observacao 3.4 A condicao (s) > 0 para todo s I, na proposicao acima, e essencial. Noexerccio 10 (pag. ) e dado um exemplo onde pode ser definida como identicamente zero,mas a curva nao e plana.

Observacao 3.5 Diferentemente da curvatura, a torcao pode ser positiva ou negativa. Naproxima secao veremos uma interpretacao geometrica para o sinal da torcao.

Observacao 3.6 A curvatura, a torcao e o vetor normal permanecem invariantes por umamudanca de orientacao da curva , enquanto o vetor tangente e o vetor binormal mudam desinal.

Com efeito, seja (s) = (s+M), s (a+M,b+M) outra parametrizacao pelo compri-mento de arco que tem orientacao oposta a de .

Entao, (s) = (s+M) e (s) = (s+M). Logo

(s) = (s) = (s+M) = (s+M) ;

n(s) = (s)

(s)=

(s+M)

(s+M)= n(s+M) ;

b(s) = t(s) n(s) = t(s+M) n(s+M) = b(s+M) ;

b (s) = b(s+M) ;

e

(s) = b (s) , n(s) = b (s+M) , n(s+M) = (s+M) .

Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com (s) > 0para todo s I. Como o referencial de Frenet da curva em s, {t(s),n(s),b(s)}, e uma base



ortogonal de R3, podemos escrever os vetores t (s), n (s) e b (s) como combinacao linear det(s), n(s) e b(s). Ja vimos que

t (s) = (s)n(s) e b (s) = (s)n(s) .

Vamos obter agora a expressao de n (s) como combinacao linear de t(s), n(s) e b(s).

Como n(s) = b(s) t(s), derivando temos:

n (s) = b (s) t(s) + b(s) t (s)

= (s)n(s) t(s) + (s)b(s) n(s)

= (s)b(s) (s)t(s) ,

pois b(s) = n(s) t(s) e t(s) = b(s) n(s).

Resumindo: Se : I R3 e uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com(s) > 0 para todo s I, entao o triedro de Frenet definido por t(s) = (s), n(s) =

(s)

(s)e

b(s) = t(s) n(s) satisfaz as equacoes:

t (s) = (s)n(s)

n (s) = (s) t(s) (s)b(s)

b (s) = (s)n(s) ,

que sao denominadas formulas de Frenet da curva .

Exemplo 3.2 Seja a helice circular parametrizada pelo comprimento de arco : R R3dada por

(s) =

(a cos s

a2 + b2, a sen s

a2 + b2,

bsa2 + b2

),

onde a > 0 e b 6= 0.

Entao,

(s) =

(aa2 + b2

sen sa2 + b2

,a

a2 + b2cos s

a2 + b2,

ba2 + b2

)e

(s) =

(a

a2 + b2cos s

a2 + b2,

a

a2 + b2sen s

a2 + b2, 0

).

Logo, (s) = (s) = aa2 + b2

e constante e o vetor normal

n(s) = (s)

(s)=

( cos s

a2 + b2, sen s

a2 + b2, 0

)



e um vetor paralelo ao plano xy para todo s R.

Como

b(s) = t(s) n(s) =1

a2 + b2

a sen s

a2 + b2a cos s

a2 + b2b

cos sa2 + b2

sen sa2 + b2

0

=

1a2 + b2

(b sen s

a2 + b2,b cos s

a2 + b2, a

),

temos que

b (s) =(

b

a2 + b2cos s

a2 + b2,

b

a2 + b2sen s

a2 + b2, 0

)e, portanto, (s) = b (s) , n(s) = b

a2 + b2e constante.

O triedro de Frenet, a curvatura e a torcao foram definidas para uma curva parametrizadapelo comprimento de arco. A proposicao abaixo permite obter a curvatura, a torcao e o triedrode Frenet de uma curva regular com parametro qualquer sem precisar reparametriza-la pelocomprimento de arco.

Proposicao 3.4 Seja : I R3 uma curva regular de parametro t I e seja : J R3, (s) = h(s), uma reparametrizacao de pelo comprimento de arco com a mesma

orientacao, onde h = s1 : J I e s : I J, s(t) = tt0

()d, e a funcao comprimento

de arco de a partir de t0.

Entao,

t(t) = t(s(t)) = (t)

(t);

n(t) = n(s(t)) = (t) (t)2 (t) (t) , (t)

(t) (t) (t);

b(t) = b(s(t)) = (t) (t)

(t) (t) (t) (t) (t) , (t) (t) (t) (t)

(t) (t) (t)3;

(t) = (s(t)) = (t) (t)

(t)3

e

(t) = (s(t)) = (t) (t) , (t)

(t) (t)2.



Prova.

Como (t) = (s(t)), s (t) = (t) e s (t) = (t) , (t) (t)

, temos que:

(t) = (s(t)) s (t) = (s(t)) (t)

e

(t) = (s(t)) (t)2 + (s(t))(t) , (t) (t)

.

Logo,

t(t) = t(s(t)) = (t)

(t); (2)

(s(t)) = (t) (t)2 (t) (t) , (t)

(t)4; (3)

e

(t) (t) = s (t)3 (s(t)) (s(t)) .

Entao,

(t) (t) = s (t)3 (s(t)) (s(t))

= s (t)3 (s(t)) (s(t)) sen 90o

= s (t)3 (s(t)) = s (t)3(s(t)) .

Portanto, (t) = (s(t)) = (t) (t)

(t)3, e, por (3),

n(t) = n(s(t)) = (s(t))

(s(t))=

(t) (t)2 (t) (t) , (t) (t) (t) (t)

(4)

Vamos agora determinar a torcao e o vetor binormal. Como

b(s(t)) = t(s(t)) n(s(t)) ,

temos, por (2) e (4), que

b(t) = b(s(t)) = (t)

(t)

(t) (t)2 (t) (t) , (t) (t) (t) (t)

= (t) (t)

(t) (t).

Derivando a expressao acima, obtemos:

b (s(t)) s(t) =

[( (t) (t)) (t) (t)

( (t) (t))1

22 (t) (t) , (t) (t)

]1

(t) (t)2.



Logo

b (s(t)) = (t) (t)

(t) (t) (t) (t) (t) , (t) (t) (t) (t)

(t) (t) (t)2 .(5)

Assim, como(t) = (s(t)) = b (s(t)) , n(s(t)) ,

temos, por (4) e (5), que:

(t) = (t) (t) , (t)

(t) (t)2,

pois (t) , (t) (t) = (t) , (t) (t) = (t) , (t) (t) = 0 ,

para todo t I.

A proposicao abaixo caracteriza as curvas regulares cujo traco esta contido em umcrculo.

Proposicao 3.5 Seja : I R3 uma curva regular tal que (t) > 0 para todo t I. Entaoo traco de esta contido num crculo de raio a > 0 se, e so se, 0 e 1

a.

Prova.Podemos supor, sem perda de generalidade, que esta parametrizada pelo comprimentode arco.

() Suponhamos que (I) Ca(c), onde Ca(c) e o crculo de centro c e raio a.Como e uma curva plana temos, pela proposicao 3.3, que 0, b(s) = b e constante e(s) c , b = 0 para todo s I.

Alem disso, como (s) c , (s) c = a2 para todo s I, obtemos, derivando duas vezesessa expressao, que:

(s) , (s) c = 0 ,

e (s) , (s) c = (s) , (s) = 1 , (6)

para todo s I.

Como (s) c e ortogonal aos vetores t(s) e b temos que (s) c e paralelo ao vetor normaln(s). Portanto, por (6),

(s) (s) c = 1 ,



ou seja, (s) = 1apara todo s I.

() Consideremos a aplicacao diferenciavel f : I R3 dada por f(s) = (s) + an(s).Usando as formulas de Frenet temos que

f (s) = (s) + an (s) = (s) + a((s)t(s) (s)n(s)) .

Como 0 e 1a, conclumos que f (s) = 0. Portanto, existe c R3 tal que f(s) = c para

todo s I, ou seja,

(s) + an(s) = c ,

para todo s I.

Logo, (s) c = an(s) = a para todo s I.

Alem disso, como 0, temos que b(s) = b e constante e

(I) = {p R3 | p (s0) , b = 0} .

Entao c = (s0) + an(s0) .

Assim, (I) esta contida no crculo do plano de centro c e raio a, pois c e (s) c = a.

Atividade 3.1 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco contidanuma esfera Sa(c) de centro c e raio a. Entao (s)

1

apara todo s I

Solucao: Como (s) c , (s) c = a2 para todo s I, obtemos, derivando duas vezesessa expressao, que:

(s) , (s) c = 0

= (s) , (s)+ (s) , (s) c = 0= (s) n(s) , (s) c = 1= (s) 6= 0 e n(s) , (s) c = 1

(s)

= 1(s)

= |n(s) , (s) c| n(s) (s) c = a

= (s) 1a

para todo s I .



Atividade 3.2 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco contidanuma esfera de centro c e raio a tal que (s) e constante em I. Mostre que (I) esta

contido num crculo de raio 1e determine o centro deste crculo.

Solucao: Temos, pelo exerccio anterior, que

1a, (s) , (s) c = 0 e n(s) , (s) c = 1

k, (7)

para todo s I. Derivando a ultima identidade, obtemos:

n (s) , (s) c+ n(s) , (s) = 0

(s) , (s) c (s) b(s) , (s) c = 0 (s) b(s) , (s) c = 0 , (8)para todo s I.

Afirmacao: (s) = 0 para todo s I.

Suponhamos, por absurdo, que existe s0 I tal que (s0) 6= 0. Entao existe um intervalo abertoI0 I tal que s0 I0 e (s) 6= 0 para todo s I0.

Logo, por (8), b(s) , (s) c = 0 para todo s I0. Como

((s) c) (s) , ((s) c) b(s) e (s) c , n(s) = 1,

temos que

(s) c = 1

n(s) c = (s) + 1

n(s) ,

para todo s I0.

Entao,

0 = (s) +1

n (s) = (s) +

1

( (s) (s)b(s)) =

(s)

b(s) ,

para todo s I0. Ou seja, (s) = 0 para todo s I0, uma contradicao.

Como (s) = 0 e (s) = 1para todo s I pela proposicao 3.5, (I) esta contido em um crculo

C de raio no plano

= {p R3 | p (s) , b = 0} ,

que e o plano osculador de em s, onde b(s) = b e constante em I.



Entao b(s) , (s) c e constante em I, pois sua derivada

b (s) , (s) c+ b(s) , (s) = 0 ,

para todo s I.

Logo,b , (s) c = b (s) c cos = a cos (9)

e constante em I.

Fig. 4: b(s) e constante ao longo do traco de

Afirmacao: c = c+ a cos b e o centro do crculo C. (?)

De fato, por (7) e (9), temos

(s) c = 1

n(s) + a cos b .

Logo,

(s) (c+ a cos b) =1

n(s)

= 1,

para todo s I.

Para concluir que c = c + a cos b e o centro do crculo C, basta observar que c = {p R3 | p (s0) , b = 0}, pois, por (9),

c+ a cos b (s0) , b = c (s0) , b+ a cos = a cos + a cos = 0 .

Observe que se 1aentao c = c, ou seja, (I) esta contido na intersecao da esfera Sr(c)

com um plano que passa por c.



Fig. 5: Se 1a

entao c = c

De fato, por (7), (s) c , n(s) = 1

= a e, portanto,

a = |(s) c , n(s)| (s) c n(s) = a .

Logo, (s) c e n(s) sao LD e (s) c = 1(s)

n(s) = an(s) , ou seja, c = c = (s) + an(s),

pois cos = 0 em (?).

A helice circular (t) = (a cos t, a sen t, bt), t R, a > 0 e b 6= 0, tem a propriedade de queo vetor tangente (t) = (a sen t, a cos t, b) faz um angulo constante com o eixo-Oz, pois

cos (t) = (t) , (0, 0, 1) (t)

=b

a2 + b2e constante.

Este e um caso particular de uma classe de curvas que tem a mesma propriedade.

Definicao 3.5 Uma curva regular : I R3 e uma helice se existe um vetor v unitario quefaz um angulo constante com (t), isto e, existe c R tal que

(t) , v (t)

= c ,

para todo t I.

Exemplo 3.3 A curva regular : R R3, dada por (t) = (et cos t, et sen t, et), e umahelice, pois

(t) = et(cos t, sen t, 1) + et( sen t, cos t, 0)

e, portanto, (t) , (0, 0, 1) (t)

=et3 et

=13e constante.



Proposicao 3.6 Seja : I R3 uma curva regular tal que (t) > 0 para todo t I. Entao e uma helice se, e so se,

e constante.

Prova.Podemos supor, sem perda de generalidade, que esta parametrizada pelo comprimentode arco.

() Suponhamos que existem um vetor v unitario e c R tais que (s) , v = c para todos I.

Entao, como (s) , v = 0, (s) = n(s) e (s) 6= 0, temos que n(s) , v = 0 para todo s I.

Logo, existem funcoes , : I R de classe C tais quev = (s)t(s) + (s)b(s) ,

para todo s I. Como (s)2 + (s)2 = 1, temos, pelo lema 5.1 do Captulo 1, que existe umafuncao : I R de classe C tal que (s) = cos (s) e (s) = sen (s), ou seja,

v = cos (s) t(s) + sen (s)b(s) ,

para todo s I.

Derivando, obtemos:

0 = sen (s) (s) t(s) + cos (s) (s)n(s) + cos (s) (s)b(s) + sen (s) (s)n(s) .

Logo,

(s) sen (s) = 0

(s) cos (s) + (s) sen (s) = 0 (10)

(s) cos (s) = 0 ,

para todo s I. Entao,

(s)2 = ( (s) cos (s))2 + ( (s) sen (s))2 = 0 ,

ou seja, (s) = 0 para todo s I, onde 0 e uma constante real.

Alem disso, se cos 0 = 0 temos, por (10), que (s) = 0, para todo s I, e, portanto,

0.

Se cos 0 6= 0, temos, por (10), que(s)

(s)= cotg 0 e tambem constante.


Forma Local das Curvas no Espaco

Observe que, em qualquer caso, sen 0 6= 0, pois, caso contrario, teramos, por (10), que(s) 0, uma contradicao.

() Suponhamos que e constante. Entao existe 0 R tal que

=

cos 0sen 0

.

Seja v(s) = cos 0 t(s) + sen 0 b(s). Derivando, obtemos:

v (s) = cos 0 t (s) + sen 0 b (s)

= (cos 0 (s) + sen 0 (s))n(s) = 0 ,

para todo s I. Logo, v(s) = v e constante e v , t(s) = cos 0, pois v e unitario.

4. Forma Local das Curvas no Espaco

Um dos metodos mais eficazes para resolver problemas em geometria consiste na es-colha de um sistema de coordenadas adequado ao problema em questao. Para o estudo daspropriedades locais de uma curva na vizinhanca de um ponto, convem analisar as funcoescoordenadas da curva com respeito ao sistema de coordenadas dado pelo triedro de Frenet.

Sejam : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco tal que (s) > 0para todo s I e s0 I.

Pela Formula de Taylor Infinitesimal de em torno do ponto s0, temos:

(s) = (s0) + (s s0)(s0) +

(s s0)2

2 (s0) +

(s s0)3

6 (s0) + R(s) ,

onde limss0

R(s)

(s s0)3= 0.

Como

(s0) = t(s0) ,

(s0) = (s0)n(s0) ,

(s0) = (n) (s0) = (s0)n(s0) + (s0)n (s0) = (s0)n(s0) (s0)2t(s0) (s0)(s0)b(s0) ,

temos que:

(s) (s0) =

((s s0) (s0)

2 (s s0)3

6

)t(s0) +

((s s0)

2(s0)

2+

(s s0)3 (s0)

6

)n(s0)

(s s0)

3

6(s0)(s0)b(s0) + R(s) .



Ou seja, as coordenadas de (s) no sistema de coordenadas com origem no ponto (s0) eeixos nas direcoes dos vetores t(s0), n(s0) e b(s0) sao dadas por:

x(s) = (s s0) (s0)

2

6(s s0)

3 + Rx(s)

y(s) =(s0)

2(s s0)

2 + (s0)

6(s s0)

3 + Ry(s)

z(s) = (s0) (s0)

6(s s0)

3 + Rz(s) ,

ondeRx(s) = R(s) , t(s0) , Ry(s) = R(s) , n(s0) e Rz(s) = R(s) , b(s0) ,

com

limss0

Rx(s)

(s s0)3= lim

ss0Ry(s)

(s s0)3= lim

ss0Rz(s)

(s s0)3= 0 .

A representacao(s) = (s0) + x(s) t(s0) + y(s)n(s0) + z(s)b(s0)

e chamada forma canonica local de em uma vizinhanca de s0.

Projecoes do traco de , para s proximo de s0 nos planos tn (osculador), tb (retificante) e nb(normal).

Fig. 6: Traco de e suas projecoes sobre os planos osculador, retificante e normal


Forma Local das Curvas no Espaco

Faremos abaixo algumas aplicacoes geometricas da forma canonica local.

Fig. 7: Traco de para (s) < 0

Aplicacao 1. Interpretacao geometrica do sinal da torcao.

Suponhamos que (s0) < 0. Como

limss0

z(s)

(s s0)3= lim

ss0(

(s0) (s0)

6+

Rz(s)

(s s0)3

)=

(s0) (s0)

6> 0 ,

existe > 0 tal que

0 < |s s0| < = z(s)(s s0)3

> 0 .

Logo, se:

s0 < s < s0 = z(s) < 0 ; s0 < s < s0 + = z(s) > 0 .

Ou seja, se percorrermos a curva no sentido crescente do comprimento de arco s, acurva atravessa o plano osculador de em s0 de baixo para cima.

Isto ocorre na helice circular (s) =(a cos s

a2 + b2, a sen s

a2 + b2,

bsa2 + b2

), com

a > 0 e b > 0 e (s) = ba2 + b2

< 0.

Fig. 8: Helice e referencial de Frenet em (0), sendo < 0

Quando (s0) > 0, podemos verificar, por um argumento analogo ao anterior, que sepercorremos a curva no sentido crescente do comprimento de arco, a curva atravessa o planoosculador de cima para baixo.

Para a helice circular acima, com a > 0 e b < 0, a torcao = ba2 + b2

> 0.



Fig. 9: Traco de para (s) > 0. O plano mostrado contem osvetores t(s0) e n(s0), o traco de passa de cima para baixo doplano no ponto (s0)

Fig. 10: Traco da helice para (s) > 0 e o referencial de Frenet noponto (0)

Aplicacao 2. Existe uma vizinhanca de s0 em I tal que (s) pertence ao semi-espaco deter-minado pelo plano retificante para o qual o vetor n(s0) aponta.

De fato, como

limss0

y(s)

(s s0)2= lim

ss0((s0) (s s0)

2

2(s s0)2+

(s0) (s s0)3

6(s s0)2+

Ry(s)

(s s0)2

)=

(s0)

2> 0 ,

existe > 0 tal que

0 < |s s0| < = y(s)(s s0)2

> 0 .

Logo, y(s) > 0 para todo s (s0 , s0 + ), s 6= s0.

Aplicacao 3. O plano osculador de em s0 e o limite, quando h 0, do plano que contem areta tangente a em s0 e o ponto (s0 + h).

De fato, seja um plano que contem a reta tangente a em s0. Entao e da forma:

= {p R3 | p (s0) , N = 0 } ,

onde N e ortogonal a (s0), ou seja,

N = An(s0) + Bb(s0) , com A2 + B2 6= 0 .

Observe, tambem, que para h 6= 0 suficientemente pequeno, (s0 + h) nao pertence a retatangente a em s0, pois esta reta esta no plano retificante a em s0 e, pela Aplicacao 2,(s0 + h) nao pertence ao plano retificante de em s0

Seja (h) = {p R3 | p (s0) , N(h) = 0 } o plano que contem a reta tangente a ems0 e o ponto (s0 + h). Entao

N(h) = A(h)n(s0) + B(h)b(s0) ,


Teoria do Contato

onde B(h) 6= 0, pois, caso contrario, (h) seria o plano retificante de em s0 e, neste caso,pela Aplicacao 2, (s0 + h) nao pertenceria a (h).

Assim,

p = (s0) + x t(s0) + yn(s0) + zb(s0) (h) p (s0) , N(h) = 0 A(h)y+ B(h) z = 0 z = A(h)

B(h)y = C(h)y

Ou seja, (h) : z = C(h)y e a equacao cartesiana do plano (h).

Como (s0 + h) (h), temos que z(s0 + h) = C(h)y(s0 + h). Entao y(s0 + h) 6= 0, pois,caso contrario, (s0 + h) = (s0) + x(s0 + h) t(s0) pertenceria a reta tangente a em s0.

Logo,

C(h) =z(s0 + h)

y(s0 + h)=

((s0) (s0)h

3

6+ Rz(h)

)/h2(

(s0)h2

2+ (s0)h

3

6+ Ry(h)

)/h2

,

e, portanto, limh0C(h) = 0. Entao,

limh0

N(h)

B(h)= lim

h0(A(h)

B(h)n(s0) + b(s0)

)= lim

h0(C(h)n(s0) + b(s0)) = b(s0)

e

limh0(h) = = {p R3 | p (s0) , b(s0) = 0 }

e o plano osculador de em s0.

5. Teoria do Contato

Definicao 5.1 Sejam : I R3 e : J R3 curvas regulares tais que (t0) = (t0),onde t0 I J. Dizemos que e tem contato de ordem n em t0 (n inteiro 1) quando

(t0) = (t0) , . . . ,

(n)(t0) = (n)(t0) ,

e (n+1)(t0) 6= (n+1)(t0).



Exemplo 5.1 As curvas regulares (t) = (t, 0, 0) e (t) = (t, tn, 0), t R, tem ordem decontato n 1 em t = 0, se n 2.

De fato, (0) = (0) = (0, 0, 0), (0) = (0) = (1, 0, 0), (k)(t) = (0, 0, 0) se k 2,(k)(t) = (0, n(n 1) (n (k 1))tnk, 0) se 2 k n e (k)(t) = (0, 0, 0) se k n + 1.Logo, (k)(0) = (k)(0) = (0, 0, 0) se 2 k n 1 e (n)(0) = (0, 0, 0) 6= (0, n!, 0) = (n)(0).

Exemplo 5.2 As curvas regulares (t) = (t, cosh t, 0) e (t) =(t,t2

2+ 1, 0

), t R tem

contato de ordem 3 em t = 0.

De fato, (0) = (0) = (0, 1, 0), (t) = (1, senh t, 0), (t) = (0, cosh t, 0), (t) = (0, senh t, 0), (t) = (1, t, 0), (t) = (0, 1, 0) e (t) = (0, 0, 0).

Portanto, (0) = (0) = (1, 0, 0), (0) = (0) = (0, 1, 0) e (0) = (0) = (0, 0, 0) e

(iv)(0) = (0, 1, 0) 6= (0, 0, 0) = (iv)(0).

Observacao 5.1 Sejam e curvas regulares tais que (t0) = (t0) e todas as derivadasde ordem n de e coincidem em t0. Entao e tem contato de ordem n em t0.

Proposicao 5.1 Seja : I R3 uma curva regular. Uma reta : R R3 tem contato 1 com em t0 se, e so se, e a reta tangente a em t0.

Prova.() Seja (t) = (t0) + (t t0) (t0) a reta tangente a em t0. Entao (t0) = (t0) e (t0) =

(t0). Portanto, e tem contato de ordem 1.

() Seja (t) = a+ (t t0)v, v R3 {0} e a R3 a parametrizacao da reta que passa por aem t0 e e paralela ao vetor v.

Se e tem contato de ordem 1 em t0, entao

a = (t0) = (t0) e v = (t0) = (t0) .

Logo, (t) = (t0) + (t t0) (t0) e uma parametrizacao da reta tangente a em t0.

Definicao 5.2 Se : I R3 e uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com(s) > 0 para todo s I, dizemos que (s) = 1

(s)e o raio de curvatura de em s e que

c(s) = (s) +1

(s)n(s) e o centro de curvatura de em s.


Teoria do Contato

O crculo osculador de em s e o crculo contido no plano osculador de em s com centro

c(s) = (s) +1

(s)n(s) e raio (s) = 1

(s).

Observacao 5.2

c(s) pertence ao plano osculador de em s.

(s) pertence ao crculo osculador de em s, pois (s) osc(s) e (s) c(s) = (s).

A curva e o crculo osculador de em s possuem a mesma reta tangente em s e, portanto,tem contato de ordem 1 em s.

De fato, a reta tangente r ao crculo osculador de em s e a reta que passa por (s) e e

ortogonal ao vetor c(s) (s) = 1(s)

n(s). Assim, r e paralela ao vetor (s), pois osc(s) e

gerado pelos vetores (s) e n(s).

Proposicao 5.2 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco talque (s) > 0 para todo s I e seja s0 I. Entao o crculo osculador de em s0 tem contatode ordem 2 com em s0.

Prova.Vamos mostrar que existe uma curva : R R3 parametrizada pelo comprimento de arcotal que (s0) = (s0), (s0) = (s0), (s0) = (s0) e traco = crculo osculador de ems0.

De fato, como (R) plano osculador de em s0, (s) = (s0) +A(s) t(s0) + B(s)n(s0) , ondeA,B : R R sao funcoes C tais que A(s0) = B(s0) = 0 e

(s) c(s0)2 =1

(s0)2= A(s)2 +

(B(s)

1

(s0)

)2.

Tomemos A(s) = 1(s0)

cos(Ls + M) e B(s) = 1(s0)

sen(Ls + M) + 1(s0)

, onde L e M sao

constantes a serem determinadas.

Devemos ter (s) = 1, o que implica que A (s)2 + B (s)2 = 1.

Como A (s) = L(s0)

sen(Ls+M) e B (s) = L(s0)

cos(Ls+M), podemos tomar L = (s0).

Alem disso, queremos que (s0) = (s0). Portanto, devemos ter A (s0) = 1 e B (s0) = 0.

Tomemos, entao, M tal que (s0) s0 +M =

2, ou seja, M =

2 (s0) s0.



Logo,A(s) = 1(s0)

cos((s0)(s s0)

2

)e B(s) = 1

(s0)sen

((s0)(s s0)

2

)+

1

(s0).

Assim, (s0) = (s0), (s0) = t(s0) e

(s0) = A(s0)t(s0) + B (s0)n(s0)

= (s0) cos((s0)(s0 s0)

2

)t(s0) (s0) sen

((s0)(s0 s0)

2

)n(s0)

= (s0)n(s0) = (s0) .

Proposicao 5.3 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco talque (s) > 0 para todo s I. O crculo osculador de em s0 I e o unico crculo que passapor (s0) e tem contato de ordem 2 com em s0.

Prova.Seja C um crculo de centro A e raio R contido num plano que tem contato de ordem 2 com em s0.

Entao = {p R3 | p (s0) , N = 0 }, onde N e um vetor unitario normal ao plano , eexiste uma curva : R R3 parametrizada pelo comprimento de arco tal que (R) = C,(s0) = (s0), (s0) = (s0) e (s0) = (s0) = (s0)n(s0).

Como (s) (s0) , N = 0 para todo s R, temos, derivando duas vezes, que (s0) , N =0 e (s0) , N = 0. Logo, N (s0) = (s0) e N (s0) = (s0)n(s0).

Portanto, N e paralelo ao vetor binormal b(s0) de em s0 e e o plano osculador de em s0.

Alem disso, como (s) A , (s) A = R2 para todo s R, obtemos, derivando duas vezes,que

(s) , (s) A = 0

e (s) , (s)+ (s) , (s) A = 0 ,

para todo s R.

Entao, para s = s0,

(s0) , (s0) A = 0 e (s0)n(s0) , (s0) A = 1 .

Logo, ((s0) A) (s0) e (s0) A , n(s0) = 1

(s0). Sendo ((s0) A) b(s0), pois

(s0), A osc(s0), obtemos que (s0) A = 1

(s0)n(s0), ou seja, A = (s0) +

1

(s0)n(s0) e

o centro de curvatura de em s0.


Teoria do Contato

Como (s0) C,

R = (s0) A = (s0) c(s0) =1

(s0)

e o raio de curvatura de em s0.

Logo C e o crculo osculador de em s0.

Definicao 5.3 Seja : I R3 uma curva regular e um plano de R3 tal que p = (t0) ,t0 I.

Dizemos que e tem contato de ordem n em p se existe uma curva regular : J R3 talque t0 J, (J) , e tem contato de ordem n em t0 e nao existe uma curva regular em que tem contato de ordem > n com em t0.

Observacao 5.3 Se existe uma curva regular : J R3 tal que t0 J, (J) e , tem contato de ordem n em p = (t0), entao e tem contato de ordem n em p.

Observacao 5.4 Todo plano que contem a reta tangente a em t0 tem contato de ordem 1 com em t0. Dentre estes planos temos o plano osculador de em t0.

Proposicao 5.4 Sejam : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arcocom (s) > 0 para todo s I e um plano que passa por (s0).

Entao e tem contato de ordem 2 em (s0) se, e so se, e o plano osculador de em s0.

Prova.() O crculo osculador de em s0 esta contido no plano osculador de em s0 e tem contatode ordem 2 com em s0.

() Se e tem contato de ordem 2 em (s0, existe uma curva regular : J R3, quepodemos supor parametrizada pelo comprimento de arco, tal que s0 I J, (J) e e tem contato de ordem 2 em s0, ou seja, (s0) = (s0), (s0) = (s0) e (s0) = (s0).

Logo, (s0) = (s0) = (s0) = (s0) e, portanto, n(s0) = n(s0).

Assim, e tem o mesmo plano osculador em s0. Mas como e uma curva plana, temos que e o plano osculador de em s0. Entao e o plano osculador de em s0.

Observacao 5.5 Se a torcao de em s0 e nao-nula, entao e o plano osculador de ems0 tem contato de ordem 2 (ver Atividade 2.22).



Definicao 5.4 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com(s) > 0 para todo s I e (s0) 6= 0, onde s0 I. Dizemos, entao, que

R(s0) =

1

(s0)2+

( (s0)

(s0)2 (s0)

)2=

(s0)2 +

( (s0)

(s0)

)2e o raio de curvatura esferica de em s0 e

c(s0) = (s0) + (s0)n(s0) + (s0)

(s0)b(s0)

e o centro de curvatura esferica de em s0, onde (s0) =1

(s0)e o raio de curvatura de em

s0.

A esfera osculatriz de em s0 e a esfera de raio R(s0) e centro c(s0).

Observacao 5.6 De modo analogo a definicao 5.3, podemos introduzir o conceito de con-tato entre uma curva e uma esfera, e provar que a esfera osculatriz de em s0 tem contato deordem 2 com a curva em s0 (ver Atividade 2.23).

Exemplo 5.3 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com(s) > 0 e (s) 6= 0 para todo s I.

(a) Se (I) esta contida numa esfera Sr(A) de centro A e raio r > 0, entao

(s) A = 1

(s)n(s)

(s)

(s)2 (s)b(s)

e

r2 =1

(s)2+

( (s)

(s)2 (s)

)2para todo s I. Ou seja, se (I) Sr(A), entao Sr(A) e a esfera osculatriz de em s paratodo s I.

Prova.

Como {t(s),n(s),b(s)} e uma base ortonormal de R3 para todo s I, existem funcoes de classeC , , : I R, tais que:

(s) A = (s)t(s) + (s)n(s) + (s)b(s) ,

onde (s) = (s) A , t(s), (s) = (s) A , n(s) e (s) = (s) A , b(s), para todos I.


Teoria do Contato

Sendo (s) A , (s) A = r2 para todo s I, obtemos, derivando tres vezes a expressaoacima, que:

(s) , (s) A = 0 (s) = 0 ; (s) , (s)+ (s) , (s) A = 0 = (s)n(s) , (s) A = 1 (s) = 1

(s);

(s)n(s) , (s) A+ (s)n (s) , (s) A+ (s)n(s) , (s) = 0

(s)n(s) , (s) A+ (s)(s)t(s) (s)b(s) , (s) A = 0 + (s)(s) (s)(s)(s) = 0 (s) = + (s)(s)

(s)(s)=

(s)

(s)2(s).

Ou seja,

A = (s) +1

(s)n(s) +

(s)

(s)2(s)b(s) ,

para todo s I e, portanto,

r2 = (s) A2 = 1(s)2

+ (s)2

(s)4(s)2,

para todo s I.

(b) Se 1(s)2

+ (s)2

(s)4(s)2= r2 e (s) 6= 0 para todo s I, entao (s) esta contido em uma

esfera de raio r e centro

A = (s) +1

(s)n(s) +

(s)

(s)2(s)b(s) .

Prova.

Basta mostrar que (s) + 1(s)

n(s) + (s)

(s)2 (s)e constante em I.

Como 1(s)2

+

( (s)

(s)2 (s)

)2= r2 e constante em I, obtemos, derivando essa expressao, que

2 (s)

(s)3+

2 (s)

(s)2 (s)

( (s)

(s)2 (s)

) = 0 2 (s)

(s)2

(1

(s)

( (s)

(s)2(s)

)

1

(s)

)= 0 .

Como (s) 6= 0 para todo s I, temos que

( (s)

(s)2 (s)

) =

(s)

(s), para todo s I. (11)



Logo,((s) +

1

(s)n(s) +

(s)

(s)2 (s)b(s)

) = (s)

(s)

(s)2n(s) +

1

(s)((s) (s) (s)b(s))

+

( (s)

(s)2 (s)

) b(s) +

(s)

(s)2 (s)(s)n(s)

=

((s)

(s)+

( (s)

(s)2 (s)

) )b(s) = 0 por (11) .

Entao

A = (s) +1

(s)n(s) +

(s)

(s)2 (s)b(s)

e constante e (s) A2 = 1(s)2

+

( (s)

(s)2 (s)

)2= r2 para todo s I, isto e (I) Sr(A).

Observacao 5.7 O mesmo resultado vale se o conjunto {s I | (s) = 0} for discreto.

Observacao 5.8 Se o conjunto {s I | (s) = 0} nao e discreto, o resultado acima pode naoser verdadeiro.

Por exemplo, para a helice circular (s) =(a cos s

a2 + b2, a sen s

a2 + b2,

bsa2 + b2

)temos

que (s) = aa2 + b2

, (s) = aa2 + b2

e, portanto, r2 = 1(s)2

+ (s)

(s)4(s)2=

(a2 + b2

a

)2e cons-

tante, mas a helice nao esta contida em esfera alguma, ja que e ilimitada.

6. Teorema Fundamental das Curvas

Fisicamente, podemos pensar em uma curva em R3 como sendo obtida a partir de umareta quando esta e entortada (curvatura) e torcida (torcao). Mostraremos, nesta secao, que,de fato, o comportamento de uma curva pode ser descrito completamente por e .

Mas antes precisamos dar algumas definicoes e relembrar alguns resultados basicos.

Definicao 6.1 Uma aplicacao F : R3 R3 e uma isometria quando preserva distancia, istoe,

F(p) F(q) = p q

para todos p, q R3.


Teorema Fundamental das Curvas

Exemplo 6.1 Seja a um ponto fixo de R3. A aplicacao Ta : R3 R3, dada por Ta(p) = p+a,e uma isometria de R3, denominada translacao por a.

Exemplo 6.2 A aplicacao F : R3 R3 dada porF(x, y, z) = (x cos y sen , x sen + y cos , z) ,

onde (0, 2), e uma isometria de R3, denominada rotacao de angulo em torno do eixo-Oz.

Proposicao 6.1

(a) Se F e G sao isometrias de R3, entao F G e uma isometria.

(b) Se F e G sao translacoes, entao F G = G F e uma translacao.

(c) Se T e a translacao por a, entao T e invertvel e T1 e a translacao por a.

(d) Dados p, q R3, existe uma unica translacao T tal que T(p) = q.

Prova.(a) F G(p) F G(q) = G(p) G(q) = p q .

(b) Se F(p) = p+a e G(p) = p+b para todo p R3, entao (FG)(p) = (GF)(p) = p+(a+b)para todo p R3.

(c) Seja F(p) = p + a e considere G(p) = p a. Entao F G(p) = G F(p) = p para todop R3. Logo G = F1.

(d) Seja T a translacao por q p, isto e T(v) = v+ (q p) para todo v R3. Entao T(p) = q.

Para provar a unicidade, consideramos duas translacoes T e T por a e a, respectivamente, tais

que T(p) = T(p) = q. Entao T(p) = p+ a = p+ a = T(p), donde a = a. Portanto T = T .

Definicao 6.2 Uma transformacao ortogonal de R3 e uma aplicacao linear C : R3 R3 quepreserva produto interno, isto e,

C(p) , C(q) = p , q

para todos p, q R3.

Observacao 6.1 Sendo C uma aplicacao linear, temos que C(0) = 0; C e diferenciavel;dCp = C para todo p R3, e e invertvel, pois C(p) = 0 p = 0, ja que C(p)2 = p2.



Observacao 6.2 Toda transformacao ortogonal e uma isometria.

De fato,

C(p) C(q)2 = C(p q)2 = C(p q) , C(p q) = p q , p q = p q2.

Proposicao 6.2 Se F : R3 R3 e uma isometria tal que F(0) = 0, entao F e uma trans-formacao ortogonal.

Prova.Provaremos primeiro que F preserva produto interno.

Como F(p) , F(p) = F(p)2 = F(p) F(0)2 = p 02 = p , p (pois F e uma isometria eF(0) = 0), temos que:

F(p) , F(q) = 12

(F(p)2 + F(q)2 F(p) F(q)2

)=

1

2

(p2 + q2 p q2

)= p , q .

Mostraremos agora que F e linear, isto e, F(ap + bq) = aF(p) + bF(q) para todos p, q R3 ea, b R.

De fato,

F(ap+ bq) aF(p) bF(q)2 = F(ap+ bq) aF(p) bF(q) , F(ap+ bq) aF(p) bF(q)

= F(ap+ bq)2 + a2F(p)2 + b2F(q)2

2aF(ap+ bq) , F(p) 2bF(ap+ bq) , F(q)

+2abF(p) , F(q)

= ap+ bq2 + a2p2 + b2q2 2aap+ bq , p

2bap+ bq , q+ 2abp , q

= (ap+ bq) ap bq2 = 0 .

Logo, F(ap+ bq) aF(p) bF(q) = 0, ou seja, F(ap+ bq) = aF(p) + bF(q).

Corolario 6.1 Se F : R3 R3 e uma isometria, entao existe uma unica translacao T e umaunica transformacao ortogonal C tal que F = T C.

Prova.Existencia. Pela proposicao acima, C(p) = F(p)F(0) e uma transformacao ortogonal, pois C

e uma isometria e C(0) = 0. Como F(p) = C(p) + F(0) para todo p R3, temos que F = T C,onde T e a translacao por F(0).



Unicidade. Sejam T , T translacoes e C, C transformacoes ortogonais tais que F = T C = T C.Entao F(0) = T(C(0)) = T(0) = T(C(0)) = T(0).

Logo, T = T e, portanto, C = T1 F = T1 F = C .

Observacao 6.3 Se F e uma isometria, entao existe uma unica translacao T1 e uma unicatransformacao ortogonal C tais que F = C T1.

Basta tomar C(p) = F(p) F(0), p R3 e T1 a translacao por C1(F(0)). De fato,

C T11 (p) = C(p+ C1(F(0))) = C(p) + F(0) = F(p) ,

para todo p R3.

Observacao 6.4 Se F : R3 R3 e uma isometria, entao F e invertvel e F1 e uma isome-tria.

De fato, como F = C T e T e C sao invertveis, temos que F e invertvel e F1 = T1 C1.Portanto, F1 e uma isometria, pois F1 e a composta de duas isometrias.

Observacao 6.5 Se F e uma isometria dada por F = T C, onde T e uma translacao e C euma transformacao ortogonal, entao F e diferenciavel e dFp(v) = C(v) para todos p, v R3.

De fato, F e diferenciavel, pois F e composta de duas funcoes diferenciaveis, e

dFp(v) = limt0

F(p+ tv) F(p)

t= lim

t0C(p+ tv) + a C(p) a

t

= limt0

C(p) + tC(v) + a C(p) a

t= C(v) ,

para todos p, v R3, onde T e a translacao por a.

Portanto, para todo p R3, dFp : R3 R3 preserva produto interno. Assim, para todo p R3,dFp leva uma base ortonormal {v1, v2, v3} em outra base ortonormal {dFp(v1), dFp(v2), dFp(v3)}.

Dizemos que a isometria F preserva orientacao se as basesB = {v1, v2, v3} e B = {dFp(v1), dFp(v2), dFp(v3)}

tem a mesma orientacao, isto e,

dFp(v1) dFp(v2) , dFp(v3) = v1 v2 , v3 .

E dizemos que a isometria F inverte orientacao se as bases B e B tem orientacoes opostas,isto e,

dFp(v1) dFp(v2) , dFp(v3) = v1 v2 , v3 .



Observacao 6.6 Desta definicao, decorre que F preserva (respectivamente, inverte) orientacaose, e so se, o determinante da matriz jacobiana de F e igual a 1 (respectivamente, 1).

Proposicao 6.3 Sejam p, q R3, {v1, v2, v3} e {w1, w2, w3} bases ortonormais de R3. Entaoexiste uma unica isometria F : R3 R3 tal que F(p) = q e dFp(vi) = wi, i = 1, 2, 3.Prova.Existencia. Seja C : R3 R3 a aplicacao linear tal que C(vi) = wi, i = 1, 2, 3, isto e, sev R3, v = av1 + bv2 + cv3, entao

C(v) = aC(v1) + bC(v2) + cC(v3) = aw1 + bw2 + cw3 .

Como as bases {v1, v2, v3} e {w1, w2, w3} sao ortonormais, segue-se da definicao de C, que Cpreserva produto interno. Portanto, C e uma transformacao ortogonal.

Seja T a translacao por q C(p). Entao a isometria F = T C satisfaz as condicoes exigidas.De fato,

F(p) = T C(p) = q C(p) + C(p) = q ,

e, pela observacao 6.5,

dFp(vi) = C(vi) = wi , i = 1, 2, 3 .

Unicidade. Suponhamos que as isometrias F = T C e F = T C satisfazem as condicoes daproposicao, isto e,

F(p) = F(p) = q e dFp(vi) = dFp(vi) = wi , i = 1, 2, 3 .

Segue-se da ultima relacao que C(vi) = C(vi) = wi, i = 1, 2, 3. Como C e C sao aplicacoes

lineares temos que C = C. Portanto, T C(p) = T C(p) = q, isto e, T e T sao translacoes que

levam C(p) em q. Entao, pela proposicao 6.1, T = T e, portanto, F = F.

Definicao 6.3 Dizemos que duas curvas regulares , : I R3 sao congruentes quandoexiste uma isometria F : R3 R3 tal que = F , ou seja, difere de apenas por suaposicao no espaco.

Proposicao 6.4 Seja : I R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com(s) > 0 para todo s I. Sejam F uma isometria de R3 e = F . Entao : I R3 e uma



curva parametrizada pelo comprimento de arco tal que, para todo s I,

(s) = (s) ,

(s) = (s) ,

t(s) = dF(s)(t(s)) ,

n(s) = dF(s)(n(s)) ,

b(s) = dF(s)(b(s)) ,

onde o sinal e + (resp. ) se F preserva a orientacao (resp. inverte a orientacao).

Prova.A curva e diferenciavel, pois F e sao diferenciaveis. Alem disso, como

(s) = dF(s)((s)) ,

temos que (s) = dF(s)( (s)) = (s) = 1 ,

pois dF(s) e uma transformacao ortogonal. Logo esta parametrizada pelo comprimento dearco.

Sejam T uma translacao e C uma transformacao ortogonal tais que F = T C. Entao como (s) = C( (s)), segue que (s) = C( (s)).

Assim(s) = (s) = C( (s)) = (s) = (s) ,

e

n(s) = (s)

(s)= C

( (s)

(s)

)= C(n(s)) = dF(s)(n(s)) .

Temos que b(s) = t(s) n(s) e b(s) = C(t(s)) C(n(s)).

Se F, isto e, se C preserva orientacao, entao C leva a base ortonormal positiva {t(s),n(s),b(s)}

na base ortonormal positiva {C(t(s)), C(n(s)), C(b(s))} = {t(s),n(s), C(b(s))} .

Logo, b(s) = C(b(s)) = dF(s)(b(s)).

Se F inverte orientacao, entao C leva a base ortonormal positiva {t(s),n(s),b(s)} na base orto-

normal negativa {C(t(s)), C(n(s)), C(b(s))} = {t(s),n(s), C(b(s))} .

Logo, b(s) = C(b(s)) = dF(s)(b(s)).

Finalmente, como b(s) = C(b(s)), temos que b (s) = C(b (s)) e, portanto

(s) = b (s) , n(s) = C(b (s)) , C(n(s)) = b (s) , n(s) = (s) .



Teorema 6.1 (Fundamental das Curvas)

(a) Se duas curvas , : I R3 parametrizadas pelo comprimento de arco tem a mesmacurvatura e torcao (a menos de sinal), entao e sao congruentes, isto e, existe uma isometria

F : R3 R3 tal que F = .(b) Se , : I R sao duas funcoes de classe C, com (s) > 0 para todo s I, entao existeuma curva : I R3 parametrizada pelo comprimento de arco tal que (s) e a curvatura e(s) e a torcao de em s para todo s I.

(c) Dados p0 R3 e v1, v2 R3 vetores ortonormais, existe uma unica curva : I R3parametrizada pelo comprimento de arco tal que (s0) = p0, (s0) = v1, (s0) = (s0) v2, e .

Prova.(a) Seja s0 I fixo e suponhamos que = (resp. = ). Pela proposicao 6.3,existe uma isometria F : R3 R3 tal que F((s0)) = (s0) e

dF(s0)(t(s0)) = t(s0) ;

dF(s0)(n(s0)) = n(s0) ;

dF(s0)(b(s0)) = b(s0) (resp. dF(s0)(b(s0)) = b(s0)) .

Seja = F . Entao, pela proposicao 6.4:

(s0) = (s0) ; t(s0) = t(s0) ; = = ; n(s0) = n(s0) ; = = (resp. = = );

b(s0) = b(s0) (resp. b(s0) = C(b(s0)) = b(s0)) .

Para provar que = , basta mostrar que t = t, pois, neste caso, teremos constante e

como (s0) = (s0), poderemos concluir que (s) = (s) para todo s I.

Consideremos a funcao f : I R dada porf(s) = t(s) t(s)2 + n(s) n(s)2 + b(s) b(s)2 .

Entao,

f (s) = 2t (s) t (s) , t(s) t(s)+ 2n (s) n (s) , n(s) n(s)

+2b (s) b (s) , b(s) b(s)

= 2(s)n(s) n(s) , t(s) t(s) 2(s)t(s) t(s) , n(s) n(s)

2(s)b(s) b(s) , n(s) n(s)+ 2(s)n(s) n(s) , b(s) b(s)

= 0 .



Portanto, f e constante. Como f(s0) = 0, temos f 0 e, portanto, t = t.

(b) Existencia. Para provar a existencia de mostraremos primeiro que existe um referencialortonormal {t(s),n(s),b(s)} que satisfaz as formulas de Frenet, isto e,

t (s) = (s)n(s)

n (s) = (s)t(s) (s)b(s)

b (s) = (s)n(s) .

Pelo Teorema de Existencia e Unicidade de solucoes de equacoes diferenciais lineares te-mos que, fixados os valores t(s0) = (t1(s0), t2(s0), t3(s0)), n(s0) = (n1(s0), n2(s0), n3(s0)) eb(s0) = (b1(s0), b2(s0), b3(s0)), o sistema de nove equacoes diferenciais, i = 1, 2, 3,

t i(s) = (s)ni(s) ;

n i(s) = (s) ti(s) (s)bi(s) ; (12)

b i(s) = (s)ni(s) ;

possui uma unica solucao com as condicoes iniciais dadas. Em particular, existe uma unicasolucao ti, ni, bi, i = 1, 2, 3 do sistema (12) quando fixamos

t(s0) = (1, 0, 0) , n(s0) = (0, 1, 0) e b(s0) = (0, 0, 1) . (13)

Vamos provar agora que a solucao {t(s),n(s),b(s)} e uma base ortonormal de R3 para todos I. Para isto, consideremos as funcoes

t(s) , t(s) , n(s) , n(s) , b(s) , b(s) ,

t(s) , n(s) , t(s) , b(s) , n(s) , b(s) ,

que satisfazem ao sistema de 6 equacoes diferenciais:

d

dst(s) , t(s) = 2(s)t(s) , n(s) ;

d

dsn(s) , n(s) = 2(s)t(s) , n(s) 2(s)n(s) , b(s) ;

d

dsb(s) , b(s) = 2(s)n(s) , b(s) ;

d

dst(s) , n(s) = (s)n(s) , n(s) (s)t(s) , t(s) (s)t(s) , b(s) ; (14)

d

dst(s) , b(s) = (s)n(s) , b(s)+ (s)t(s) , n(s) ;

d

dsn(s) , b(s) = (s)t(s) , b(s) (s)b(s) , b(s)+ (s)n(s) , n(s) ,



com condicao inicial:

t(s0) , t(s0) = n(s0) , n(s0) = b(s0) , b(s0) = 1 ,

et(s0) , n(s0) = t(s0) , b(s0) = n(s0) , b(s0) = 0 .

A solucao para esse sistema de equacoes diferenciais e unica e e dada pelas funcoes:

t(s) , t(s) = n(s) , n(s) = b(s) , b(s) 1 ,

et(s) , n(s) = t(s) , b(s) = n(s) , b(s) 0 .

De fato, basta substituir estas funcoes no sistema acima para verificar que formam uma solucaodo sistema.

Portanto, a solucao de (12) com a condicao inicial (13) forma um referencial ortonormal posi-tivo, ou seja, det(t(s),n(s),b(s)) = 1 para todo s I, pois det(t(s0),n(s0),b(s0)) = 1.

Logo, b(s) = t(s) n(s) para todo s I.

Definimos a curva : I R3 por (s) = ss0

t()d.

Entao (s) = t(s). Portanto, (s) = t(s) = 1 para todo s I, isto e, esta parametrizadapelo comprimento de arco, e (s) = t (s) = (s)n(s).

Assim, (s) = (s) = (s)n(s) = (s) e n(s) = (s)

(s)= n(s) para todo s I.

Alem disso, b(s) = t(s) n(s) = t(s) n(s) = b(s) e, portanto,

(s) = b (s) , n(s) = b (s) , n(s) = (s)n(s) , n(s) = (s) ,

para todo s I.

(c) Unicidade. Sejam , : I R3 duas curvas parametrizadas pelo comprimento de arcotais que = = , = = , (s0) = (s0) = p0, (s0) = (s0) = v1, (s0) = (s0) = (s0) v2.

Entao, n(s0) = n(s0) = v2 e b(s0) = t(s0) n(s0) = v1 v2 = t(s0) n(s0) = b(s0) .

Como {t,n,b} e {t,n,b} sao solucoes do sistema (12) com condicao inicial {v1, v2, v1v2},temos que = .

Existencia. Dados p0 R3 e v1, v2 R3 vetores ortonormais, o sistema (12) tem uma unicasolucao {t(s),n(s),b(s)} com condicao inicial t(s0) = v1 , n(s0) = v2 , e b(s0) = v1 v2.



Como {v1, v2, v1 v2} e uma base ortonormal positiva, podemos provar, de modo analogo aofeito no item (a) para v1 = e1, v2 = e2 e v1v2 = e3, que {t(s),n(s),b(s)} e uma base ortonormalpositiva para todo s I e que

(s) =

ss0

t()d+ p0

e uma curva parametrizada pelo comprimento de arco, com(s0) = p0 , t(s) = t(s) , n(s) = n(s) , b(s) = b(s) , (s) = (s) e (s) = (s) ,

para todo s I.


capitulo2-geodif1(mamfredo)

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