Capítulo XI – Teoria da Camada Limite

1. Rotação de um fluido em um ponto

w

Uma partícula, movendo-se em um campo de escoamento tridimensional, geralmente,

pode girar em torno dos três eixos de coordenadas.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annousA rotaçãorotação, , de uma partícula é definida pela velocidadevelocidade angularangular médiamédia de duas

linhas mutuamente perpendiculares, que se cortam no centro da partícula.

pode girar em torno dos três eixos de coordenadas.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

1o

b

a∆x

∆y

y

x

tempo t tempo t +∆ t

o

α

b

a

β

η

∆ξ

∆

∆∆

∆ x

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

w = wx ex + wy ey + wz e z

onde: wx é a rotação em torno do eixo xwy é a rotação em torno do eixo ywz é a rotação em torno do eixo z

(1)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Expressão matemática da rotaçãonos fluidos

Componentes da velocidade no campo de escoamento:

vx (x,y) e vy(x,y)

movimento de um elementofluido no plano xy

2

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Rotação do elemento de fluido em tal campo de escoamento:(rotação em sentido anti-horário positivo)

b

∆y

y

yy

vv x

x ∆∂

∂+

xx

vv

yy ∆

∂

∂+

α

b

a

β

η

∆ξ

∆

∆∆

+

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

* As linhas mutuamente perpendiculares, oa e ob giram no intervalo de tempo t

Consideremos inicialmente, a rotação da linha oa de comprimento ∆∆∆∆x

* Estas linhas giram perpendiculares se as velocidades nos pontos a e b

forem diferentes em o.

o a∆x x

tempo t

x∂

tempo t +∆ t

o

α η∆∆

∆ x

3

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

A rotação desta linha é devida a variação da componente da velocidadesegundo o eixo dos y.

Se esta componente, no ponto o, vyo

a velocidade no ponto a, segundo o eixo y, pode ser escrito (usando série deTaylor)

xx

vvv y

yoy ∆∂

∂+= (2)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

4

A velocidade angular da linha oa:

como

(comprimento)

x∂

t

x/lim

tlimw

0t0toa

∆

∆η∆=

∆

α∆=

→∆→∆

txx

v y∆∆

∂

∂=η∆

(3)

(4)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

A rotação da linha ob de comprimento ∆∆∆∆y resulta da componenteda velocidade seguindo o eixo dos x.

Se a componente x da velocidade, no ponto o for designada por vxo,a componente da velocidade em b (série de Taylor):

yy

vvv x

xox ∆∂

∂+=

y/ ∆ξ∆β∆

(5)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

A velocidade angular da linha ob:

como (comprimento)

ty/

limt

limw0t0t

ob∆

∆ξ∆=

∆

β∆=

→∆→∆

tyy

v x ∆∆∂

∂−=ξ∆

( )y

v

t

y/tyy/vw xx

ob∂

∂−=

∆

∆∆∆∂∂−=

(6)

(7)

(8)

5

O O sinalsinal negativonegativo é é aplicadoaplicado parapara dardar positivopositivo aa wwobob..

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade angularmédia das duas linhas mutuamente perpendiculares oa e ob do elemento,no plano xy:

Considerando a rotação das duas linhas perpendiculares nos planos yz exz, podemos mostrar que:

∂

∂−

∂

∂=

y

v

x

v

2

1w xy

z(9)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

xz, podemos mostrar que:

e

então:

∂

∂−

∂

∂=

z

v

y

v

2

1w

yzx

∂

∂−

∂

∂=

x

v

z

v

2

1w zx

y

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂= z

xyy

zxx

yz ey

v

x

ve

z

v

z

ve

z

v

z

v

2

1w

rrrr

(10)

(11)6

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

O termo entre colchetes é o RotacionalRotacional V = ∇x V

A notação vetorial pode ser escrita: w= 12 ∇ x V

1. O desenvolvimentodesenvolvimento dede rotaçãorotação em uma partícula fluida, inicialmente sem rotação,

requer uma ação da tensãotensão tangencialtangencial nana superfíciesuperfície desta partícula;

2. A tensãotensão tangencialtangencial relacionada com a deformaçãodeformação angularangular, tem a presença das

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

O fator meio (1/2) pode ser eliminado na notação vetorial definindo:

Vórtice, ζ ζ = 2 w = ∇x V

A vorticidade é a medida da rotação de um elemento fluido em um campode escoamento.

(12)

7

2. A tensãotensão tangencialtangencial relacionada com a deformaçãodeformação angularangular, tem a presença das

forçasforças viscosasviscosas, significando que o escoamento é rotacional.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

EmEm queque casocaso devedeve--se se esperaresperar o o escoamentoescoamento irrotacionalirrotacional??

A irrotacionalidade só é válida para aquelas regiões de escoamento

nas quais as forças viscosas são desprezíveis.

8

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Esta região existe, por exemplo, fora da camada limite do

escoamento, sobre uma superfície sólida.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

2. Função Corrente

* formas das linhas de correntes (inclusive das de fronteira)

Descrição matemática que descreva qualquer configuração típica deescoamento

descrição adequada

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

* escala das velocidades nos pontos representativos do escoamento

Instrumento matemático ϕ

EstaEsta função é formulada pela relação entre as linhas de corrente e função é formulada pela relação entre as linhas de corrente e o o

enunciado enunciado do princípio da conservação de massado princípio da conservação de massa

Função Corrente, Função Corrente,

9

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Para o escoamento bidimensional de um fluido incompressível no

plano xy, a equação que traduz o princípio da conservação de massa, é

dada:

0yyv

xxv

v =∂

∂+

∂

∂=∇ •

r

Portanto, o Princípio da conservação de Massa indica:

(13)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

ou seja, vx e vy estão relacionados entre side algum modo

Admitindo, que vx = F (x,y), tem-se:

y

v

x

v yx

∂

∂−=

∂

∂

x

)y,x(F

x

v

y

vxy

∂

∂−=

∂

∂−=

∂

∂

(14)

(15)

10

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Logo,

dyx

)y,x(Fv y ∫ ∂

∂−=

No entanto, se for admitido que:

onde funções contínuas para t=to

y

yxvyxF x

∂

∂==

),(),(

ϕ

),(

),( yx

eyx ∂∂ ϕϕ

(16)

(17)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

onde funções contínuas para t=to

Para qualquer t, a função corrente ϕ( x,y,t),

então:

),(

),(

y

yxe

x

yx

∂

∂

∂

∂ ϕϕ

)y,x(ϕ

∫∫∫ ∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂−=

x

y)(x,-dy

y

y)(x,

x-dy

y

y)(x,

xdy

x

y)F(x,vy

ϕϕϕ

(18)

(19)

11

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

x

y)(x,-vy

∂

∂=

ϕ

Portanto, utilizando as equações (19) e 20) ao invés de ter duas incógnitas

vx e vy tem-se uma incógnita ϕ(x,y) a ser determinada, para descrever o

escoamento.

Logo, voltando ao escoamento bi-dimensional rotacional, onde :

(20)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

combinando as equações (19) e (20) e derivando:

∂

∂−

∂

∂=

y

v

x

v

2

1w xy

z

2

2y ),(),(

x

v

x

yx

x

yx

x ∂

∂−=

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂ ϕϕ(21)

12

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

combinando as equações (17) e (20) e derivando:

2

2x ),(

y

v

y

yx

∂

∂=

∂

∂ ϕ (22)

de modo que:

ou seja,

∂

∂−

∂

∂−=

2

2

2

2 y)(x,y)(x,

2

1

yxwz

ϕϕ

∂

∂+

∂

∂=−

2

2

2

2 y)(x,y)(x,2

yxwz

ϕϕ

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

como:

então :

No escoamento irrotacional: ∇2ϕ = 0 (Equação de Laplace)

∂∂ 222 yx

∂∂ 22 yx

∂

∂+

∂

∂=∇

2

2

2

22

y

y)(x,y)(x, ϕϕϕ

x

( )yx,2w 2z ϕ∇=−

(23)

(24)

13

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

3. Camada Limite

No escoamento irrotacional ∇x v = 0

todas as componentes de gradiente v sejam nulas, e isso ocorre com o termo

dada viscosidadeviscosidade da equação de Navier-Stokes ( µ∇2 V ) também será nulo de modo

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

que o escoamento torna-se invíscidoinvíscido e e uniformeuniforme na seção considerada.

Se o fluidofluido forfor invíscidoinvíscido nãonão haveráhaverá tensãotensão dede cisalhamentocisalhamento. Fluidos de viscosidade

muito baixa (ex.: o ar) pode ser admitido que o escoamento é irrotacional, onde não

foram encontradas grandes gradientes de velocidade.

14

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Considerando-se um corpo sólido no ar inicialmente escoando semdistúrbios,

A

Escoamento do ar em torno de um corpo sólido

v ∞

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Mesmo a viscosidade sendo baixa, pelo princípio da aderência , os fluidos reais

aderem a superfície de um corpo sólido.

Portanto, no ponto A a velocidade do fluido, em relação ao corpo sólido é zero,

e dentro de uma distância relativamente pequena, a velocidade do ar atinge

a velocidade do ar na corrente livre ( )v ∞15

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Logo, nesta região fina, adjacente a parede do corpo sólido existe umgradientegradiente dede velocidadevelocidade, e apesar da viscosidade do fluido ser muitobaixa, nessa região o escoamento é rotacional.

Região adjacente a fronteira sólido-fluido Camada limite

ForaFora dada CamadaCamada LimiteLimite,, nãonão háhá gradientegradiente dede velocidadevelocidade ee oo escoamentoescoamento ééirrotacionalirrotacional

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

No escoamentoescoamento turbulentoturbulento em um tubo, também se verifica umaregião de turbulência

0v x =∇r

Escoamento irrotacional em um tubo16

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Em 19041904,, PrandtlPrandtl apresentou um trabalho onde se afirmava que para umescoamento com poucopouco atritoatrito (baixas viscosidades) ou elevadoselevados númerosnúmeros dedeReynoldsReynolds há um decréscimodecréscimo nana regiãoregião dede influênciainfluência dada tensãotensão dedecisalhamentocisalhamento

Precisamente, Prandtl discutiu sobre escoamentos em torno de objetos paraelevados números de Re (baseados na dimensão característica do objeto euma velocidade de escoamento do fluido). Para tal escoamento, Prandtlverificou as seguintes observações:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I verificou as seguintes observações:

1. Os efeitos de atrito são confinados a uma camada muito fina, próximaao contorno do objeto, chamada Camada Limite

2. O escoamento externo a essa camada pode ser considerado sematrito, ou seja irrotacional

17

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

4. Camada Limite numa Placa Plana

δ

V�

V�

V�

sub-camada laminar

x∞v

∞v ∞v

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Laminar TurbulentoTransição

x

* espessura da camada limite está apresentada exageradamente

* distância x é a distância a partir do canto esquerdo da placa

18

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

À maiores valores de x, observa-se uma região de transição na qual severificam flutuações entre o regime laminar e turbulento na camada limite.

Região da Camada Limite Laminar

A região laminar começa no canto da placa e aumenta em espessura,a medida que se avança na placa. A região onde o escoamento próximo aparede da placa ainda é laminar,

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Finalmente, para x ainda maiores exitirá uma fina camada de fluido onde o

escoamento continua sendo laminar e verificam-se elevados gradientes de velocidade.

Sub-camada laminar

Zona de transição

19

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

O critério para se determinar o tipotipo de de camadacamada limitelimite que está presente é o n°

Reynolds LocalReynolds Local, definido por:

Rex ≡x v∞

νonde:

Re x = n° de Reynolds localx = distância a partir do canto da placa

= velocidade da corrente livre do fluido

(25)

v∞

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

= velocidade da corrente livre do fluidoν = viscosidade cinemática do fluido

Portanto:- camada limite laminar Re x = 2 105

- camada limite laminar ou turbulenta : 2 10 5 < Rex< 3 106

- camada limite turbulenta : Rex = 3 106

A espessura da camada limite (δ) é arbitráriarmente da superfície, onde a

velocidade atinge 99% da velocidade da corrente livre,

v∞

v∞

20

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

5. Equações da Camada Limite Laminar

O fato do conceito da camada limite envolver uma camada fina leva

algumas importantes simplificações nas equações de Navier-Stokes.

Considerando um escoamento bidimensional (nas direções x e y) sobre

placa plana, as equações de Navier-Stokes são:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Direção x:

Direção y:

∂

∂+

∂

∂µ+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ

2x

2

2x

2x

yx

xx

y

v

x

v

xp

y

vv

x

vv

t

v

∂

∂+

∂

∂µ+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ

2y

2

2y

2y

yy

xy

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vv

t

v

21

(26)

(27)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Admitindo que o escoamento seja incompressível e que as forças de campopossam ser desprezadas.

Como a espessura da camada limite é muito pequena as variáveis na direçãox tem ordem de magnitude(grandeza) maior do que na direção y.

5.1. Estudo da Ordem de Grandeza de Magnitude (ou Grandeza)

Considerando as variáveis na direção x tenha ordem φ

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Considerando as variáveis na direção x tenha ordemde magnitude 1

φ (1)

Ordem de magnitude das variáveis na direção y,dentro da camada limite é muito menor e da ordem de δ

φ( δ)

sendo δδδδ <<1

O valor comparativo 1 é referente ao comprimento máximo 1 ea velocidade máxima envolvida neste problema. 22

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

)(~v,y

)1(~v,x

y

x

δφ

φ

)1(x

v x φ→∂

∂

Então,

)1

(y

v x

δφ→

∂

∂)1(

y

v yφ→

∂

∂)(

x

v yδφ→

∂

∂

2 2 v2∂ v2∂

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

)1(x

v2x

2φ→

∂

∂)

1(

y

v22

x2

δφ→

∂

∂)

1(

y

v2y

2

δφ→

∂

∂)(

x

v2y

2

δφ→∂

∂

De modo que a equação de Navier-Stokes na direção x:

∂

∂+

∂

∂µ+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ

2x

2

2x

2x

yx

xx

y

v

x

v

xp

y

vv

x

vv

t

v

23

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Dividindo por “ρ” e admitindo que o escoamento seja permanente:

∂

∂+

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂2x

2

2x

2x

yx

xy

v

x

v

xp1

y

vv

x

vv

tem-se, pelo estudo de ordem de magnitude:

( ) ∂ 1p11

(28)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

( )

δφ+φν+

∂

∂

ρ−=

δ

φδφ+φφ2

11

x

p11)()1()1(

ou seja:

( )

δφ+φν+

∂

∂

ρ−=φ+φ

2

11

x

p1)1()1(

24

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

mas, como

δ << 1 1

δ2>> 1

δφ<<φ

2

1)1(

Com base na análise acima despreza-se

Equação de Equação de NavierNavier--StokesStokes na direção x torna-se:

2x

2

x

v

∂

∂

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

2x

2x

yx

xy

v

x

p1

y

vv

x

vv

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂

Repetindo o mesmo estudo de ordem de grandeza para a direção y da equação deNavier-Stokes chega-se a conclusão que essa equação é de magnitude de modoque ela pode ser desprezada em relação a equação na direção x.

φ(δ)

25

(29)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

OBS:

como δ <<<1 gradiente de pressão vertical é desprezível

Portanto, as equações a serem usadas para determinar o perfil develocidades na camada limite laminar sobre uma placa plana são:

)φ(y

p ; φ(1)

x

pδ=

∂

∂=

∂

∂

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

2x

2x

yx

xy

v

x

p1

y

vv

x

vv

∂

∂ν+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂Equação do movimento:

0y

v

x

v yx =∂

∂+

∂

∂Equação da continuidade:

26

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Solução da camadacamada limitelimite laminar laminar em placa plana

Condições de Contorno adotadas: y = 0 vx = 0 vy = 0

BlasiusBlasius (1908)(1908)

y = δ vx = V (constante)8

6. Solução de Blasius para a Camada Limite

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Aplicação à equação de Bernoulli entre os pontos x1 e x2, em y = δ

y = δ vx = V (constante)8

2

2xx

1

2xx

gy2

v

ρ

pgy

2

v

ρ

p2211 ++=++

27

(30)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

para y1 = y2

Admitindo que x1e x2 sejam tão próximos que se possam escrever:

2

v

2

v

ρ

p

ρ

p2x

2xxx 1221 −=−

∆xxx 12 +=

2

vv

ρ

pp2x

2∆xxxxx 1111 −+∆+−

=

(31)

(32)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

0∆x quando limite o tomandoe∆x,por Dividindo →

x2∆

vvlim

ρ∆x

plim

2x

2∆xx

0x

px

0x

11∆x1x1 −+

→∆

−

→∆=

+

Então:dx

dv

2

1

dx

dp

ρ

1 2x=

28

(33)

(34)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Sabendo que:dx

dv2v

dxdv x

x

2x =

Então:dxdp

ρ

1dx

dv2v

21 x

x −=dxdp

ρ

1dx

dvv x

x −=

Na extremidade da camada limite:

y = δ v = V (constante) dv x = 0dp

=

(35)

(36)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

y = δ vx = V (constante)8 0dx

dv x = 0dxdp

=

As equações a serem utilizadas para descrever o perfil de velocidade nacamada limite sobre uma placa plana são:

e2x

2x

yx

xy

vν

dy

dvv

dx

dvv

∂

∂=+ 0

dy

dv

dx

dv yx =+

29

(37)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Com as seguintes condições de contorno:

c.c. I) y = 0 vx = vy = 0

∞∞ →∞→== v vyou v vδy c.c.II) xx

Blasius integrou as equações diferenciais acima para acharvx e vy, em função x e y, utilizando o conceito de função corrente:

ϕ (x, y) - função corrente

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

ϕ (x, y) - função corrente

x

y)(x, ve

y

y)(x,v yx

∂

∂=

∂

∂=

ϕϕ

obtém-se:

y

y)(x,

y

y)(x,

x

y)(x, -

yx

y)(x,

y

y)(x,3

3

2

22

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂ ϕν

ϕϕϕϕ (38)

30

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Para resolver esta equação, BlasiusBlasius usouusou o o MétodoMétodo de de CombinaçõesCombinações de de VariáveisVariáveis:

Esse método é um truque para resolver equações derivadas parciais (EDP)

As vezes a situação física do problema permiteassociar x e y em uma só variável adimensional

geralmente chamadachamada ηη

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

equação de derivada parcial transforma-se em uma equação diferencialordinária (EDO)

31

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

A técnica tem muito de intuitivo, mas pode ser racionalizada da seguinte maneira:

1) propõem-se combinar as variáveis independentes na forma::

(variável dependente)ηxKy mn =

2) substitui-se na equação (38) e procura-se um ajuste com liberdade deescolher K, n e m de maneira a transformar a EDP em EDO

32

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

4) resolve-se a EDO

3) verifica-se as condições de contorno

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Blasius fez este trabalho e encontrou :

η (x, y) = y V

∞ν x

portanto n = 1/2 , m = 1 ,

Desta maneira a situação física fez com que ele conseguisse uma EDO(também chamado de soluçãosolução porpor similaridadesimilaridade).

1/2

ν

vK

= ∞

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

A equação de Blasius é complexa, mas fica na forma simplificada, utilizandoa função corrente e em termos de η

.f(η) =

ϕ (x, y)

x νV∞

ou ϕ (x, y) = x νV∞f(η)

33

(39)

Ver solução em material complementar

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Resumindo:

f'''(η ) + 12

f''( η ) f(η) = 0

c.c. I) 0

0f =( )η

0f =( )η′⇒=η

c.c. II) η = ∞ ⇒ f'(η ) = 1

Blasius resolveu a equação por expansão em série de Taylor, mas hoje

(40)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Blasius resolveu a equação por expansão em série de Taylor, mas hojepode-se resolver através de métodos computacionais.

Através de tabelas encontra-se valores de f"(η), f'(η) e f(η) de modo que,como η está relacionado com y e f'(η) vx / v , usando vários valores deη, tem-se os correspondentes valores de f' (η) e consequentemente osvalores de vx.

.

∞

(tabela 12.3, Sissom)34

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Tabela 12.3: Função f(η) e suas derivadas (Sissom)

35

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

6a. Espessura da Camada Limite Laminar

Pela definição da espessura da camada limite:

pela tabela f(η) e suas derivadas - quadro 12.3 Sissom

vxV∞

= 0,9915 η = 5,0

y =δ vx = 0,99 v∞

v∞ 1/2

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

V∞= 0,9915 η = 5,0

η= y v∞x ν

1/2

y = δ

5,0v ∞ x

ν

1/2= δ

xδx= 5,0

RexRe x =

v∞

x

ν

Espessura da camada limite laminar em qualquer ponto a partir do canto da placa36

5,0 = δv∞x ν

1/2

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

6b. Gradiente de Velocidade e Tensão de Cisalhamento na Superfície

da Placa Plana

Gradiente de velocidade na superfície da placa plana é dado por:

(0)fxν

vv

y

v 1/2

0y

x ′′

=

∂

∂ ∞∞

=

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Do quadro (12.3) η= 0 f''(0) = 0,332061/2

0y

x

xν

vv33206,0

y

v

=

∂

∂ ∞∞

=

37

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Portanto, se a tensão de cisalhamento na parede da placa plana for:

0y

xo y

v

=∂

∂µ=τ

2/1

0y

x

x

vv33206,0

y

v

ν=

∂

∂ ∞∞

=

2/1

o x

vv33206,0

νµ=τ ∞

∞

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

6.c. Força de arraste na superfície da placa plana (devida a tensão

de cisalhamento)

A força de arraste é causada pela tensão de cisalhamento na superfície deum objeto sólido movendo-se num fluido viscoso.

Sendo Fk a força de arraste sobre a placa plana dAF

A

oK ∫ τ=

38

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

sendo a área da placa dada por: A = B. L

onde B = comprimento na direção z (não há escoamento)L = comprimento na direção x

dA = B dL

de modo que: dxv0,33206 µ,BF

1/2L

= ∞∫

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I de modo que:

x

dx

xν

v0,33206 µ,BF

0 K

= ∞

∞∫

ρµ= ∞∞ LvBv664,0FK

39

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

7.Coeficiente de Atrito Local e Médio

Coeficiente de atrito adimensional:

de modo que para uma placa plana:

2/v2/v

A/FC

2o

2K

f∞∞ ρ

τ=

ρ=

2/1328,1LvBv664,0 µρµ ∞∞

Coeficiente de atrito médio

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

e para qualquer ponto x sobre a placa:

L

2/1

2f Re

328,1

Lv328,1

2/vBL

LvBv664,0C =

ρ

µ=

ρ

ρµ=

∞∞

∞∞

Coeficiente de atrito local

x

2/1

2

22/1

2f Re

664,0

xv

v664,0

x

v

v

v332,0C =

ρµ

µ=

νρ

µ=

∞

∞∞

∞

∞

40

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

8.Solução Integral da Camada Limite - Laminar(Método de Kárman - Pohlhausen)

Partindo da Equação da Continuidade, da Quantidade de Movimentoe da Lei da viscosidade de Newton, obtêm-se:

( )ρ

τdyvvv

xo

δ

x2x −=−

∂

∂

∫ ∞Forma integral para camada limite:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I ( )

ρdyvvv

x 0 xx −=−

∂ ∫ ∞Forma integral para camada limite:

Para resolução desta integral aproxima-se v (x,y) para um polinômiocom a seguinte forma:

vx (x, y) = a(x) + b(x) y + c(x) y2 + d(x) y 3

(ver resolução m folhas em anexo)41

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

1) y = 0 vx (x,y) = 0 a(x) = 0

2) y = δ vx (x, y) = V 8

3) y = δ 0y

vx =∂

∂

v2∂

Condições de contorno:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

4) y = 0 0y

v2x

2=

∂

∂ Supondo perfil linear próximo a superfície

δx = 4,64

Rex 1/2Camada Limite Laminar

42

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

9.Camada Limite Turbulenta

Numa placa plana a espessura da camada limite turbulenta podeser obtida pelo método integral, onde se utiliza o perfil power-lawpara velocidade.

n=1/7 complexidade em utilizar o perfil universal

7/1

xy

vv

= ∞

O perfil do escoamento turbulenta através de um tubo liso pode serrepresentada pela relação empírica

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

n=1/7 complexidade em utilizar o perfil universalxy

vv

δ

= ∞

e a relação de Blasius para a tensão de cisalhamento:

(tubos)

4/1

.max.maxx

2.maxxo

yvv0225,0

νρ=τ Retubo<105

Resuperfície plana<107

ymax.= R (tubos) ymax.= δ (superfície plana)43

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Gradiente de pressão zero, a relação integral de von Kárman é:

( )ρ

τdy vvv

xo

δ

0 x

2x −=−

∂

∂

∫ ∞

Aplicando estas três equações, e integrando, obtêm-se:

δ 0,376 Espessura da camada limite

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

δx= 0,376

Rex( )1/5Espessura da camada limiteturbulenta

Coeficiente de atrito local5/1x

fxRe

0576,0C =

Rex<107 Placas planas lisas44

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

10.Escoamento com diferença de pressão

A solução de Blasisus para escoamento laminar sobre uma placaplana admitiu que a pressão era constante, e consequentemente ogradiente de pressão era nulo.

No entanto, se o gradiente de pressão não for nulo, a equação deNavier-Stokes na direção x é:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I Navier-Stokes na direção x é:

2x

2x

yx

xy

vν

x

p1

y

vv

x

vv

∂

∂+

∂

∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂

na superfície, onde y = 0 e vx = vy= 0 será:

2x

2

y

v

x

p1

∂

∂µ=

∂

∂

ρ45

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

δ(x)

0x

p<

∂

∂

0x

p=

∂

∂0

x

p>

∂

∂

V∞

V∞

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Fluxoinvertido

ponto de descolamento

Perfis de velocidade em escoamento com separação de fluxo

0y

v

0y

x =∂

∂

=

46

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Para o caso O resultado é a diminuição da quantidade de movimento,não é sendo suficiente para levar a partícula ao repouso.

0x

p=

∂

∂

y y y

vxy

v x

∂

∂

2x

2

y

v

∂

∂

Saída da camada limite

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

v x - +

2x

2

y

v

∂

∂y

v x

∂

∂

Variação da velocidade e suas derivadas ao longo da camada limite quando 0

x

p=

∂

∂

superfície

47

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Comentários:

Quando , mostra que esses dois gradientes são diretamenteproporcionais

2x

2

y

v

x

p1

∂

∂µ=

∂

∂

ρ

0y

v e 0

x

p2x

2=

∂

∂=

∂

∂

Portanto, próximo a parede o perfil de velocidades é linear

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

A medida em que se aproxima do fim da camada limite o gradiente de velocidade

vai diminuindo até tornar-se nulo.

A segunda derivada é nula na superfície da placa, negativa no interiorda camada limite e volta a ser nula a saída da camada limite.

Portanto, próximo a parede o perfil de velocidades é linear

O decréscimo na 1° derivada implica que a segunda derivada seja negativa.

48

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Para o caso

Gradiente de pressão favorável

A pressão atrás da partícula (auxiliando seu movimento) é maior do que aoposta ao seu deslocamento. A partícula é "desacelerada segundo a pressãoem colina", mas sem perigo de ter sua velocidade anulada.

y y y

0x

p<

∂

∂ gradiente de pressão negativa, na superfície

Saída da

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

y

vx

y

- +

Variação da velocidade e suas derivadas ao longo da camada limite quando

2x

2

y

v

∂

∂

y

v x

∂

∂

0x

p<

∂

∂

superfície

Saída da camada limite

49

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

A derivada segunda da velocidade será diferente de zero e será negativa, mas a medida que :

)tetancons(v vsejaou 0y

v e 0

y

v δy x

x2x

2

∞→→∂

∂→

∂

∂⇒→

Para o caso 0x

p>

∂

∂Na superfície da placa

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

O gradiente de pressão se diz adversa se a pressão cresce no sentido do escoamento.

A partícula poderia ser levada ao repouso provocando em suas vizinhanças oafastamento do fluido do contorno sólido. Quando acontece, diz-se que o fluxodescola da superfície.

0x

p1

y

v

0y2x

2>

∂

∂

ρ=

∂

∂µ

=50

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

.de modo que , e considerando que

quando , sempre pelo

0y

v

0y2x

2>

∂

∂µ

=

0y

v2x

2→

∂

∂µ

δ→y lado negativo ter-se-á o comportamento da figura abaixo

y y y Saída da camada limite

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

v x- +

superfície

2x

2

y

v

∂

∂

y

v x

∂

∂

Variação da velocidade e seus gradientes na camada limite quando 0x

p>

∂

∂51

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Este último caso analisado é característico de um escoamento comseparação de fluxo, que se verifica no escoamento em torno de corpossólidos de geometria não plana. Nesse tipo de escoamento verificam-seperfis de velocidade onde se caracteriza um ponto de separação e umaregião de separação.

Para que haja uma região de separação é imprescindível que

mas somente a existência de um gradiente de pressão adverso,

0x

p>

∂

∂

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

não é suficiente para garantir que se verifique uma região de separação.

É necessário também que a geometria favoreça o aparecimentodessa região.

região de vórtices(região de separação)

Região de vórtices num escoamentoem torno de um corpo sólido

52

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

11.Coeficiente de Atrito para Escoamento na Entrada de Tubos

Quando um fluido entra num tubo forma-se uma camada limite junto asuperfície interna deste, e a medida em que se aumenta para o interior do mesmo,verifica-se que essa camada limite vai aumentando em espessura, até um pontoem que a camada limite preenche totalmente a área de escoamento.

A partir desse ponto o perfil de velocidade não mais se altera e o escoamento é chamado plenamente desenvolvido.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I é chamado plenamente desenvolvido.

A velocidade do fluido no centro do tubo é 2v (veloc. do fluido na corrente livre)

LexV�

Variação do perfil de velocidade de entrada de um tubo

(Comprimento de entrada)

53

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

No escoamento laminar o comprimento de entrada é dado pela expressão deLanghaar:

LeD

= 0,0575 Re Onde, D = diâmetro interno do tubo

No escoamento turbulento não existe uma expressão para o comprimentode entrada, mas os estudos experimentais levaram a conclusão que:

Le = 50D

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I Le = 50D

Os resultados indicaram um maior coeficiente de atrito próximo da entrada,que vai diminuindo a medida em que se caminha para o interior do tubo. Essasobservações são devidas aos elevados gradientes de velocidade próximos aparede do tubo na entrada.

(Langhaar)Coeficiente de atrito para escoamento laminar na região de entrada

54

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Relação entre o coeficiente de atrito na região de entrada e o coeficientede atrito no escoamento plenamente desenvolvido em função darazão entre a distância a partir da entrada e o diâmetro do tubo para o

escoamento laminar.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Le/D

Cfent.

Cf desnv.

10

0

0

escoamento laminar plenamente desenvolvido

Coeficiente de atrito na região de entrada no escoamento laminarx/D

55

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Cfent.

Cf desnv.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Le/D

10

0

0

escoamento turbulento desenvolvidocamada limite laminar

camada limite turbulenta

x/D

Perfil de velocidade e variação do fator de fricção em escoamento turbulento na região próxima a entrada do tubo

É importante observar que em algumas situações o escoamento nunca atinge acondição de plenamente desenvolvido. Nessas situações o coeficiente de atrito serásempre maior do que os preditos pelos gráficos como de Moody.

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