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PMR3401 - Mecânica Computacional para Mecatrônica

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CAPÍTULO I INTRODUÇÃO

Na maior parte do curso de engenharia são abordados problemas que envolvem

simplificações do fenômeno físico e geometrias simples, como transferência de calor em meios infinitos ou semi-infinitos, escoamento de um fluído sem considerar a sua viscosidade (escoamento potencial), bem como problemas que impõem limitações na validade da solução, como a teoria linear de vigas, válida somente para vigas delgadas e que apresentem pequenos deslocamentos. Essas simplificações possibilitam a solução analítica das equações envolvidas, permitindo entender o seu conceito.

No entanto, a maior parte dos problemas práticos de engenharia envolvem problemas complexos que não apresentam solução analítica. O nível de complexidade está relacionado com a complexidade da geometria envolvida, as equações que descrevem o fenômeno físico (por exemplo, escoamento fluído envolvendo viscosidade, plasticidade em estruturas, propriedades que dependem da temperatura, etc.), ou a variação das grandezas envolvidas (por exemplo, estruturas sujeitas à grandes deformações). Uma abordagem comum em engenharia para resolver esses problemas até então era utilizar fórmulas com coeficientes obtidos de forma empírica. Essa abordagem é muito custosa pois exige a realização de experimentos para obter esses coeficientes sendo incompatível com a engenharia moderna. Atualmente esses problemas de engenharia são analisados utilizando-se simulação computacional que envolve uma forte combinação de computação gráfica e métodos numéricos. Pelo fato dos computadores serem mais acessíveis atualmente, a simulação computacional está fortemente presente em todos os ramos da engenharia.

Dessa forma, o conhecimento de computação gráfica e métodos numéricos são extremamente importantes para o engenheiro atualmente. Portanto, o objetivo desse curso é ensinar as ferramentas de métodos numéricos mais comuns na engenharia moderna para que o aluno tenha condições de transpor a barreira que existe entre os problemas didáticos dados em aula e os problemas práticos de engenharia. É importante deixar claro que os problemas didáticos de solução analítica simples são extremamente importantes pois nos ajudam a entender o fenômeno físico, o que permitirá interpretar os resultados da solução numérica. Sempre que possível devemos dar preferência para uma solução analítica se esta estiver disponível.

No entanto, não só problemas complexos necessitam ser solucionados por métodos numéricos. Por exemplo, considere o cálculo do seno do ângulo 65°. A sua calculadora calcula o valor desse seno se utilizando de métodos numéricos baseados em interpolação polinomial. A calculadora somente é capaz de executar as quatro operações básicas de um computador (somar, subtrair, multiplicar e dividir), todas as demais operações disponíveis são na verdade realizadas através da execução de programas de métodos numéricos gravados na memória permanente (ROM)

da calculadora. Outro exemplo são as integrais do tipo ∫ ∫ ...... cosxdx, dx,x 2 que usamos muito ao

longo do curso, mas que raramente ocorrem nos problemas práticos de engenharia, o que faz com que o engenheiro seja freqüentemente obrigado a recorrer à solução computacional. Dessa forma, métodos numéricos estão mais presentes na nossa vida diária do que se pensa.

A solução de um problema complexo em engenharia sem a utilização de métodos numéricos pode ser obtida utilizando-se hipóteses simplificadoras que podem comprometer a precisão dos resultados ou através da construção de protótipos que encarecem e retardam consideravelmente a análise do problema.


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A seguir são apresentados vários exemplos onde a simulação computacional é necessária para se obter a solução do problema. a) Massa-mola Não-linear

Considere o sistema massa-mola (fig.1.1) muito estudado no curso de vibrações. Uma hipótese adotada é que a mola é linear, ou seja, a força na mola é diretamente proporcional ao deslocamento (F=kx). Essa hipótese torna simples a solução da equação diferencial que descreve esse sistema 0kxxm =+&& . A solução pode ser obtida de forma analítica, como é bem conhecido.

Figura1.1 – Sistema massa-mola.

No entanto, em grande parte das aplicações reais a mola pode apresentar um comportamento

não-linear em que a força é proporcional ao cubo dos deslocamentos (F=kx3). Nesse caso a equação de vibração não mais apresenta solução analítica e o engenheiro deve recorrer a métodos numéricos.

b) Equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes descrevem quase todos os fenômenos em mecânica dos fluidos. No entanto, apresentam soluções analíticas para apenas alguns casos particulares, como problemas de escoamento fluido sem considerar a viscosidade (escoamento potencial), problemas de escoamento viscoso em canais retilíneos, etc…. É comum dizer que “As equações de Navier-Stokes resolvem qualquer problema em Mecânica dos Fluidos, o problema é resolver as equações de Navier-Stokes”. Dessa forma, a solução dessas equações são obtidas em geral através de métodos numéricos.

As figuras 1.2 à 1.4 ilustram alguns exemplos de simulações computacionais que são baseadas na solução dessas equações. A figura 1.2 ilustra, por exemplo, a distribuição de pressão e linhas de fluxo ao longo de um avião.


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Figura 1.2 – Distribuição de pressão e linhas de fluxo ao longo de um avião.

Figura 1.3 – Linhas de fluxo ao longo do ônibus espacial e distribuição de pressão ao longo da asa de um avião.


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Figura 1.4 - Distribuição de pressão no lançamento de um foguete.

c) Pêndulo Simples

Outro exemplo clássico é o pêndulo simples discutido nos cursos de Física e Dinâmica.

Considerando o pêndulo mostrado na figura 1.5, sabemos que seu período é dado por g

L2T π= .

θ

L

gO

m

Figura 1.5 – Pêndulo Simples.

No entanto esse resultado somente é válido para pequenas oscilações ( °≤ 30θ ). Para

grandes oscilações a equação do pêndulo é obtida considerando-se a conservação da energia total do pêndulo, ou seja, soma das energias cinética (Ec) e potencial (Ep), assim:

θθθ

θθθθθ

θ

θ

d)cos(cos

1

g

L4T

L

)cos(cosg2)cos1(mgL)cos1(mgL

2

mLEEEE

00

00

220

c0

pcp

0

−=⇒

⇒−

=⇒−=−+⇒+=+

∫

&&

uma vez que Ep0=0.


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A integral acima é denominada integral elíptica e não possui solução analítica, devendo ser calculada utilizando-se métodos numéricos. No caso em que θ é pequeno obtém-se o resultado do período apresentado acima.

Na verdade a solução numérica do período é obtida resolvendo-se diretamente a equação

diferencial que descreve o movimento do pêndulo ( 0L

g=+ θθ sin&& ), uma vez que os métodos de

solução de equação diferencial são mais robustos do que os métodos usados na solução numérica da integral elíptica. Esse é um exemplo simples que ilustra a necessidade de se conhecer com mais detalhes, em termos de eficiência e robustez, os métodos numéricos disponíveis. d) Cálculo Estrutural

Sem dúvida nenhuma um dos campos em que a aplicação de simulação computacional se iniciou e tem grande impacto é no cálculo estrutural. Os primeiros softwares de simulação em engenharia surgiram nessa área.

No curso de resistência dos materiais aprendemos a teoria de viga simples. Essa teoria

permite, por exemplo, calcular o deslocamento (“flecha”) na ponta da viga sujeita a um

carregamento em sua extremidade e engastada na outra, que vale 3EI

PLy

3

= , como mostrado na

figura 1.6.

Figura 1.6 – Viga engastada,

No entanto, existem várias hipóteses simplificadoras por detrás dessa teoria, como por exemplo: • A viga deve ser delgada, ou seja, seu comprimento deve ser muito maior do que as dimensões de

sua seção; • Efeito de cisalhamento é desprezado na seção, ou seja, supõe-se que o plano da seção permanece

normal à linha neutra; • Não considera rigidez e flambagem localizadas (deformações localizadas); • A viga deve ser uniforme, não podendo apresentar furos por exemplo nem mais de um material;

Essas hipóteses limitam essa teoria e que portanto não pode ser aplicada de forma indiscriminada. Para as estruturas que apresentam uma forma complexa como o chassi de um trem, e outros exemplos mostrados nas figuras 1.7 à 1.12, deve-se recorrer a simulação computacional para realizar a análise estrutural, pois o cálculo analítico dos deslocamentos e tensões mecânicas se torna extremamente trabalhoso ou impossível. Essas figuras dão uma pequena idéia da sofisticação da simulação computacional nessa área.


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Figura 1.7 – Resultado de simulação computacional (tensões mecânicas) do chassi de um trem.

Figura 1.8 – Simulação da deformação por impacto de um tanque de gasolina de motocicleta.

Figura 1.9 – Simulação Computacional da deformação mecânica da ponte “Golden Gate”.

Figura 1.10 – Modelo computacional de um bomba centrífuga multi-estágio.


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Figura 1.11 – Resultado da simulação computacional (distribuição das tensões mecânicas) de um

vaso de pressão.

Figura 1.12 – Simulação computacional de um eixo com chaveta sujeito a um momento torçor. É

apresentado a distribuição de tensão mecânica ao longo do eixo.

Atualmente os softwares de simulação estruturais em engenharia nessa área permitem simular fenômenos complexos como uma operação de estampagem ou de forjamento de uma peça, impacto de automóveis ou trens, processos que envolvem tratamentos térmicos em metais, estruturas sujeitas a grandes deformações, injeção de plástico, etc…

e) Transferência de Calor

A área de transferência de calor é outro típico exemplo onde métodos numéricos vem sendo

aplicados há muito tempo. O problema é similar ao caso estrutural, ou seja, soluções analíticas são obtidas apenas para problemas simples, como, por exemplo, o fluxo de calor num domínio unidimensional (cilindro ou semi-plano infinito, por exemplo). As figuras 1.13 à 1.15 ilustram algumas simulações na área de transferência de calor. Outros exemplos serão mostrados ao longo do curso.


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Figura 1.13 – Simulação computacional do perfil de temperaturas numa placa de circuito eletrônico.

Figura 1.14 - Simulação computacional do perfil de temperaturas em sistemas de injeção de

combustível.

Figura 1.15 - Simulação computacional do perfil de temperaturas no interior da câmara de

combustão de um foguete. f) Análise Eletromagnética

Devido a geometria dos polos dos motores elétricos, a solução das equações eletromagnéticas (Equações de Maxwell) que descrevem o seu funcionamento somente pode ser obtida com o uso de métodos numéricos. As figuras 1.16 à 1.20 ilustram alguns exemplos de simulações computacionais na área eletromagnética.


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Figura 1.16 – Simulação computacional de um motor eletrostático. É mostrado o perfil de potencial

elétrico no interior do motor.

Figura 1.17 – Simulação representando a distribuição de fluxo magnético no interior de um motor

elétrico.

Figura 1.18 - Simulação representando a distribuição de fluxo magnético no interior de um motor

elétrico.


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Figura 1.19 - Simulação computacional da distribuição de fluxo magnético no interior de um

mancal eletromagnético.

Figura 1.20 - Simulação computacional da distribuição de fluxo magnético em um motor elétrico

para relógios.

g) Simulação de Mecanismos

Outra área em que sem dúvida a simulação computacional ajudou muito é a área de mecanismos. Como é visto no curso de mecanismos, as equações que descrevem o movimento (posição, velocidade e aceleração) dos mecanismos são altamente não-lineares, apresentando solução analítica apenas no caso de mecanismos simples (máximo de 4 barras). A simulação de mecanismos mais complexos exige a utilização de métodos numéricos.

Quando não estão disponíveis softwares de simulação computacional para mecanismos, a

simulação de mecanismos tem que ser obtida por métodos gráficos extremamente trabalhosos ou através da construção de protótipos.

A simulação computacional de mecanismos permite verificar rapidamente se a trajetória, velocidade e acelerações em diferentes pontos estão de acordo com as especificações e se não há colisão do mecanismo (por exemplo, um robô) com o meio externo.


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h) Análise de Dados Experimentais

Em muitos casos o engenheiro tem a necessidade de trabalhar com dados experimentais coletados por sensores eletrônicos. Nesse caso, não há funções matemáticas que descrevem um fenômeno físico, mas apenas tabelas de dados que devem ser integrados e diferenciados para se analisar o problema. O tratamento desses dados é feito essencialmente de forma numérica. O procedimento típico consiste em se aproximar esses dados por funções analíticas (polinômios, etc…) e efetuar as demais operações utilizando-se essas funções.

Os exemplos acima dão uma idéia da necessidade dos métodos numéricos na solução de problemas em engenharia, caso contrário, muitas aproximações são necessárias comprometendo a precisão da solução.

É importante salientar, como já comentado, que a solução analítica sempre terá a sua

importância na compreensão do fenômeno físico. i) Bioengenharia

Sem dúvida a área de bioengenharia é uma das áreas onde a simulação computacional tem mais a contribuir. As equações envolvidas são altamente não-lineares e o sangue é um fluido não-newtoniano. As figuras 1.21 à 1.23 mostram exemplos de aplicação de simulação computacional em bioengenharia.

Figura 1.21 – Simulação computacional da pressão e fluxo sanguíneo em uma válula cardíaca.


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Figura 1.22 – Modelo computacional do coração humano.

Figura 1.23 – Simulação computacional do fluxo sanguíneo em bombas de sangue do tipo

centrífuga.

Para ter uma idéia do grau de sofisticação das simulações computacionais em engenharia atualmente, o aluno deve acessar os endereços na internet: http://www.cfdrc.com, http://www.ansys.com, http://www.abaqus.com, http://www.mscsoftware.com .


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Importância de Aprender Métodos Numéricos

Com a maior disponibilidade dos computadores e de softwares sofisticados de simulação, a utilização de métodos numéricos se torna mais popular principalmente em engenharia. Além disso, muitos desses softwares de simulação já estão disponíveis de forma gratuita na internet. Dessa forma, o engenheiro atualmente conta com muitas ferramentas computacionais de baixo custo e deve aprender a utilizá-las. A utilização de métodos numéricos permite reduzir (ou eliminar em alguns casos) hípoteses simplificadoras, permitindo o engenheiro analisar problemas de engenharia mais complexos que antes eram inviáveis de serem simulados, como já comentado.

O aprendizado em si de métodos numéricos também permite aprender mais sobre as limitações e potencialidade dos computadores. Não são poucos os alunos que se surpreendem com a potencialidade de processamento de seus microcomputadores, mesmo que não sejam de última geração. Muitas vezes essa potencialidade não é percebida pela limitação do uso dos computadores a edição de textos, acesso a internet e jogos!! Além disso, estudando métodos numéricos o aluno irá adquirir conceitos sobre erros numéricos e sua influência (que não é pequena) nos resultados de simulações computacionais, bem como, também poderá exercitar os seus conhecimentos de cálculo.

Um argumento muito comum dos alunos é “Se existem softwares comerciais prontos que permitem simular problemas de engenharia, não é necessário aprender os métodos numéricos implementados nesses softwares, basta saber usar o software como uma “caixa preta” para aplicá-lo na análise do problema.” Na verdade não é tão simples assim. Existem duas boas razões e vantagens para o engenheiro ter conhecimento dos métodos numéricos implementados num software de simulação que irá utilizar:

• Primeiro que o conhecimento do método numérico implementado, ajuda a fazer melhor uso do

software comercial. Conhecendo-se os métodos numéricos, temos consciência de suas limitações e podemos até avaliar se o método será adequado para solução do problema. Inclusive esse conhecimento será útil na escolha do software comercial a ser usado na empresa para a solução de um dado problema. Os vendedores de software não expõe as limitações de seus softwares que em geral estão diretamente relacionados com o método numérico implementado no software. Cabe ao engenheiro ter o conhecimento dessas limitações para poder fazer uma boa escolha. Softwares de simulação em engenharia são caros (em torno de US$20.000,00 até US$200.000,00 ou mais) e uma má escolha pode implicar em grande perda de dinheiro na empresa;

• Outro ponto importante é que nem todos os problemas de engenharia podem ser simulados com software comerciais ou muitas vezes o software é muito caro para ser adquirido pela empresa. No entanto, a simulação computacional é essencial para o pleno domínio do conhecimento do processo ou do produto na empresa. Assim, se o engenheiro tem conhecimento de métodos numéricos, ele pode desenvolver um software específico ou adaptar um software já existente para a solução do seu problema, adquirindo portanto independência na utilização de computadores para a solução de problemas de engenharia.


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Visualização e Interpretação dos Resultados

Finalmente, outro ponto extremamente importante é com relação a análise dos resultados de uma simulação computacional. Essas simulações fornecem em geral uma grande quantidade de dados que devem ser interpretados. Assim, como primeiro passo o engenheiro deve saber escolher a melhor forma de visualizar esses dados. Listagens de dados na forma de tabelas em geral são inúteis, sendo os gráficos, principalmente tridimensionais, os mais indicados para visualização dos dados. Quanto mais informações conseguirmos plotar num mesmo gráfico, mais fácil será a interpretação do resultado da simulação. Assim, por exemplo, o resultado da simulação de um fluído escoando ao longo de uma tubulação e que está sujeito a variações de temperatura ao longo do caminho pode ser visualizado plotando-se a trajetória percorrida pelo fluído (forma da tubulação) num gráfico XYZ e representando a variação de temperatura ao longo da tubulação pela mudança de cor ao longo do seu caminho e a velocidade média do fluído em cada ponto da trajetória através da utilização de vetores, por exemplo. Dessa forma o engenheiro deve estar bem familiarizado com as técnicas de computação gráfica disponíveis para visualização dos resultados. Em muitos problemas a visualização dos resultados da simulação pode ser mais complexa do que a simulação em si. Por exemplo, em simulações computacionais de fenômenos metereológicos e necessário visualizar resultados de pressão, temperatura, umidade do ar, densidade do ar e velocidade do vento num mesmo gráfico tridimensional que deve mostrar também a topografia do terreno.

Em geral os softwares de simulação comerciais costumam prover alguma ferramenta de computação gráfica para visualizar os resultados da simulação, mas muitas vezes não são suficientes. No entanto, mais importante do que saber visualizar os resultados é saber interpretá-los. Existe uma tendência em se utilizar os softwares de simulação como “caixas pretas” e acreditar cegamente nos seus resultados. Entretanto é bom lembrar que a empresa que vende o software não se responsabiliza pelos resultados fornecidos por ele. Isso porque as teorias envolvidas no desenvolvimento desses softwares estão em constante desenvolvimento e podem apresentar erros. O software de simulação é sem dúvida uma grande ferramenta, mas é responsabilidade do engenheiro saber avaliar se os resultados fornecidos são coerentes ou não. A primeira avaliação envolve o bom senso. Assim, por exemplo, na simulação da deformação de uma estrutura sujeita a carregamentos espera-se que a ordem de grandeza dos deslocamentos sejam em geral da ordem de até milímetros. Deslocamentos da ordem de metros ou kilômetros indicam que provavelmente as propriedades do material foram definidas de forma errada no software. Passada essa primeira avaliação, uma segunda avaliação consistiria em se verificar por exemplo se a configuração deformada da estrutura é coerente com o carregamento aplicado, caso contrário, os dados de entrada devem ser novamente verificados. Verificações mais profundas envolvem a experiência do engenheiro no assunto ou a comparação com a solução obtida por outros métodos, como por exemplo, soluções obtidas por métodos analíticos que consideram modelos simplificados mais ou menos próximos do problema real. Enfim, é na tarefa de interpretação que se concentra o esforço do engenheiro atualmente. Nesse sentido o conhecimento do método numérico implementado no software ajuda a entender possíveis limitações do mesmo na solução do problema fornecido. Assim por exemplo, na utilização de um algoritmo de Runge-Kutta para a solução de um sistema de equações diferenciais, se o engenheiro tem conhecimento do significado das constantes que são fornecidas ao algoritmo, pode entender a influência que exercem na obtenção do resultado final devendo avaliar a sensibilidade do valor dessa constante na solução. Outro ponto importante na utilização de um software de simulação é a convergência da solução numérica. Nas simulações sempre se trabalha com discretizações do espaço ou do tempo. É fundamental portanto, avaliar se a discretização utilizada é suficiente na obtenção da solução. Uma regra é rodar o software aumentado a discretização até verificar que não há alteração da solução.


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Um software comercial de simulação pode possuir vários módulos que permitem resolver uma grande gama de problemas que vão desde cálculo estrutural, análise de escoamento de fluídos, transferência de calor, análise de campo acústico, até análise eletromagnética de motores elétricos. Em geral, esse tipo de software está em constante evolução e muitas vezes pode ocorrer de ainda não fornecer um resultado satisfatório de simulação para um dado problema específico. Dessa forma, o engenheiro deve saber avaliar isso e até concluir que para o seu problema específico a implementação de um software de simulação específico trará resultados mais confiáveis e será mais vantajoso do que adquirir um software comercial. Eventualmente a alteração de um software comercial já existente seria o ideal, no entanto isso nem sempre é possível, uma vez que o código desses softwares em geral não está disponível. No entanto, alguns softwares permitem adicionar módulos de expansão programados pelo engenheiro.

A importância da utilização de softwares de simulação em engenharia, seja pra o desenvolvimento de um produto ou para simulação de um processo é inegável atualmente nas empresas que competem no mercado internacional. Para se ter uma idéia, a determinação do valor agregado dos produtos industriais atualmente é definida pela utilização ou não de um software de simulação durante o seu desenvolvimento, bem como, para a definição de seu processo de fabricação. A utilização de softwares de simulação promove reduções drásticas de custos no produto final, sendo uma prática corriqueira nas empresas dos EUA, Japão e Europa. No Brasil o mercado de softwares de simulação em engenharia vem crescendo muito nos últimos anos. Como já comentado, empresas de tecnologia brasileiras que desejam colocar seu produto no mercado externo somente serão bem sucedidas, se obtiverem níveis de preço e principalmente padrões de qualidade compatíveis aos exigidos no exterior, o que atualmente só é conseguido com a utilização de simulação computacional. Basicamente todos os processos e produtos na indústria atual podem ser simulados em computador, o que permite ter um maior controle sobre os parâmetros que os influenciam.

Dessa forma é inadmissível que um engenheiro que ingresse no mercado de trabalho de engenharia atualmente não domine os conceitos principais de métodos numéricos mais usados em simulação computacional.

Ao longo do curso serão estudados os métodos de Runge-Kutta para a solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias, e os métodos de diferenças finitas e elementos finitos para a solução de equações de derivadas parciais. Esses são os métodos mais utilizados atualmente a nível acadêmico e comercial na engenharia, havendo vários softwares comerciais disponíveis além de softwares de distribuição livre na internet, baseados nesses métodos.


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Erros

No estudo de métodos numéricos é necessário o estudo dos erros inerentes aos métodos. Os erros em quaisquer métodos são caracterizados pela acuracidade (ou acurácia) e precisão. A acuracidade representa o quanto estamos próximos do valor real (procurado) e a precisão está relacionada com o conceito de repetibilidade do resultado. Para entendermos esses conceitos considere o exemplo mostrado na figura 1.24 onde se faz uma analogia desses conceitos com a prática do tiro ao alvo.

a)

d)c)

b)

Figura 1.24 – Conceito de acurácia e precisão.

A figura 1.24a ilustra a situação em que os tiros se apresentam de forma dispersa numa região distante do centro do alvo (ponto que desejamos acertar). Nesse caso podemos dizer que esse resultado apresenta baixa acurácia e precisão. Na figura 1.24b os tiros se apresentam concentrados em uma pequena região, porém também distantes do centro do alvo. O resultado apresenta uma alta precisão (repetibilidade), porém uma baixa acurácia. A figura 1.24c ilustra a situação em que os tiros se apresentam de forma dispersa mas ao redor do centro do alvo. Assim, dizemos que o resultado apresenta uma boa acurácia porém uma baixa precisão (não há repetibilidade na posição dos tiros). Finalmente, a figura 1.24d ilustra a situação em que os tiros se apresentam concentrados em uma pequena região ao redor do centro do alvo. Esse resultado apresenta uma excelente acurácia e precisão. Essa analogia nos ajuda a entender os conceitos no caso dos métodos numéricos.

Os erros em métodos numéricos são classificados em erros de truncamento e erros de aproximação. Os erros de truncamento resultam das aproximações das equações matemáticas que desejamos resolver. Assim como veremos adiante, para resolver uma equação matemática por métodos numéricos é necessário inicialmente aproximá-la usando por exemplo, série de Taylor ou método de diferenças, como veremos. Essa aproximação introduz um erro chamado de erro de truncamento, como mostrado abaixo na aproximação da primeira derivada usando o método das diferenças:

trunc.de erro x

f(x)f +

∆

∆≅′

Os erros de aproximação ocorrem pelo fato de no mundo digital dos computadores os números serem representados por um número limitado de dígitos, ou seja, precisão simples


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correspondendo a uma representação com 32 bits e precisão dupla correspondendo a uma representação com 64 bits. Ambos os erros influenciam a acurácia e precisão de um método numérico.

Os erros podem ser apresentados de forma absoluta ou de forma relativa (percentual). O último caso consiste na razão entre o erro absoluto e o valor real. No entanto, como o valor real não é conhecido se utiliza-se em geral o melhor valor estimado.

O principal problema, entretanto, é saber calcular o erro. Na verdade é impossível saber o valor exato do erro de um método (pois se soubéssemos não haveria erro!!), o que podemos apenas é estimá-lo. A estimação do erro de um método numérico pode ser feita de várias maneiras, podendo ser considerado quase uma arte na matemática. Entre as formas de se estimar o erro temos desde a forma intuitiva (por exemplo, o engenheiro tem uma idéia do valor esperado do resultado) até o desenvolvimento de fórmulas teóricas utilizando-se séries de Taylor, por exemplo. No entanto, essas fórmulas fornecem apenas um limite superior do erro, ou seja, garantem que ele será menor do que um certo valor. Uma forma comum de se estimar o erro de um método é comparar os resultados desse método com o resultado de outros métodos, ou através de uma análise de sensibilidade em que são alterados os parâmetros do método (discretização usada, parâmetros de convergência, etc…) com o objetivo de verificar a influência no resultado final. De qualquer forma a estimativa do erro está longe de ser um processo determinístico.

Voltando a questão do erro de truncamento e do erro de aproximação, o erro total será a soma de ambos. O erro de truncamento diminui com o decréscimo do passo de discretização, pois quanto menor esse passo, melhor a aproximação da equação matemática a ser resolvida. Já o erro de aproximação aumenta com o decréscimo do passo, uma vez que quanto menor o passo de discretização do método, maior será o número de passos e portanto maior será o número de operações (contas) realizadas, e esse erro embora muito pequeno em cada passo passa a emergir ao longo das iterações do método (propagação de erro). O gráfico da figura 1.25 mostra a plotagem dos erros de truncamento, aproximação e total em função do passo de discretização do método e representa a discussão acima. Esse comportamento oposto dos erros de truncamento e de aproximação é conhecido como “dilema do passo”.

error

tamanhodo passo

erro detruncamento

erro deaproximação

erro total

ponto ótimo

Figura 1.25 – Dilema do passo.

É lógico que o passo ideal seria aquele que resulta no menor valor do erro total, como

mostrado no gráfico. No entanto, como já comentado, não temos os valores exatos desses erros, mas apenas estimativas, muitas vezes grosseiras, e portanto não há como obter o valor correto do tamanho de passo ótimo.


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Dessa forma, pelas discussões apresentadas nesse capítulo, o aluno percebe que a utilização

de softwares de simulação não é tão “automática” quanto parece, e deve ser feita de forma criteriosa.

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