capítulo 7

Capítulo 7

Capítulo 7: Escoamento Interno

• Efeitos viscosos

• Perda de energia

• Transferência de calor

Escoamento interno

• O fluido está completamente confinado por uma superfíciesólida.

• Representa o escoamento de um fluido em um duto ou tubo.

• Assim como no escoamento externo, no interno há doisregimes distintos: Recr = 2300

– Laminar: Re < 2300

– Turbulento: Re > 2300

• Nesse caso o número de Reynolds é ligeiramente distinto,sendo definido como:

Sendo “D” o diâmetro interno do tubo

Perfil de velocidade

• De forma similar ao escoamento externo, há o desenvolvimento do perfil de velocidades a partir das superfícies sólidas:

– Princípio de aderência junto à parede;

– Variação da velocidade na direção normal à parede

– Produção de tensões de cisalhamento viscosas no fluido (opostas ao movimento).

• Como há “duas” paredes sólidas, o perfil é diferente daquele apresentado pelo escoamento externo:

• A camada limite existe em todas as superfícies envolventes.

Perfil de velocidade

Perfil laminar x turbulento

• Para escoamentos laminares, o perfil de velocidade é parabólico:

– Há somente difusão molecular;

– O efeito da parede só é sentido nasinterfaces entre as camadas quecompõem o escoamento.

• Para escoamento turbulento, o perfil é achatado:

– Há outras formas de difusão presentes. As características apresentadas não estão

presentes em uma tubulação desde o início.

Região de desenvolvimento

• Na entrada do tubo existe uma região central invíscida.

• A partir da entrada do tubo as espessuras das camadas limites das paredes opostas aumentam até que as camadas limites se juntam no centro do tubo.

Região de desenvolvimento

• Esta região onde os perfis estão se alterando é chamada de região de desenvolvimento.

– Nessa região o núcleo do escoamento está sendo acelerado e a região próxima a parede está sendo freada pela ação da viscosidade.

Escoamento plenamente desenvolvido

• É o escoamento para o qual a distribuição de velocidade NÃOestá mais variando na direção do escoamento.

Comprimento de entrada

• O comprimento da região de desenvolvimento, medida nadireção do escoamento, é chamado de comprimento deentrada.

• O comprimento de entrada é diferente para escoamentoslaminares e turbulentos.

Perda de carga (hL)• Representa as perdas irreversíveis de energia do escoamento:

– Quando o fluido se dirige de um ponto ao outro da tubulação.

• Sua origem é o atrito que a parede da tubulação exerce sobre o fluido.

• Reflete em uma variação de pressão ao longo do escoamento.

• A perda de carga pode estar distribuída (hf) ao longo de toda tubulação e/ou localizada (hm) em um acessório (curva, restrição, válvula, etc):

Perdas de carga no tubo

• As perdas de carga ocorrem na transição do reservatório para o duto (perdas devido à entrada), na região de comprimento de

entrada, na região do escoamento plenamente desenvolvido e na saída, onde o escoamento deixa o tubo (perdas devido à saída).

localizada (hm) distribuída

(hf)

Exemplo com perdas

Exemplo com perdas

• A diferença de pressão entre a entrada e a saída é dada em função de:

onde ρ é a densidade do líquido.

• A diferença de pressão é composta por uma parcela devido a coluna hidrostática de altura H e outra devido ao atrito.

• A função de uma bomba no circuito é suprir a diferença de pressão consumida pela altura hidrostática e pelo atrito.

Importante

• A queda de pressão (entrada – saída) para escoamento plenamente desenvolvido em dutos de qualquer seção transversal (circular, quadrada, triangular, etc) é apenas

função da altura e da perda de carga:

Tubulação horizontal

Balanço de forças – relação entre hf e τW

Relação entre hf e τW

• A perda de altura e a tensão de cisalhamento estão relacionadas pela relação:

• onde l é o comprimento da tubulação e D é o seu diâmetro.

• É necessário conhecer a tensão de cisalhamento na parede.

Fator de atrito

• Da análise dimensional pode-se mostrar que a tensão depende de 5 variáveis independentes:

• Onde µ é a viscosidade do fluido, ρ é a densidade, V é avelocidade média, D é o diâmetro e hr a rugosidade datubulação.

• Pode-se reduzir o número de variáveis independentesdefinindo-se 2 números adimensionais: número de Reynolds ea rugosidade relativa (ε):

Fator de atrito

• Fator de Atrito de Fanno (freqüentemente usado em arrasto e transf. calor):

• Fator de atrito de Darcy (freqüentemente usado em perda de carga):

Fator de atrito

Perda de carga distribuída (Darcy)

• Substituindo a definição de f (fator de atrito) na definição da perda de carga (hL)

Rugosidade média de tubos (hr)

Como Determinar hf ? Diagrama de Moody e o fator de Atrito f

Tubos de seção não circular

• O fator de atrito e o diagrama de Moody podem ser utilizados para tubos de seção não circular introduzindo-se o conceito

de diâmetro hidráulico (dh):

Perda de carga localizada (hm)

• Estão relacionadas à:

– Entrada e saída do tubo;

– Mudanças bruscas de direção do fluxo;

– Mudança abruptas de seção;

– Quando se atravessa os diversos acessórios de uma tubulação (válvulas, conexões, etc.).

• A determinação da magnitude de hm depende de dados experimentais a partir dos quais definiu-se:

Onde K é uma constante (tabelada para cada acessório da linha) e VA é uma velocidade de referência especificada

juntamente com a definição de K.

Perda de carga (hL)

Fluxograma de perda de carga

Quando não há perdas nem trabalho

Desprezando as perdas e sem a adição ou remoção de trabalho do escoamento, a 1º lei se reduz a:

Essa é a clássica equação de Bernoulli e representa as transformações energéticas no escoamento.

• Exemplo: Ar a 30 oC e pressão atmosférica escoa através de uma

seção horizontal de um tubo de aço trefilado de 4 mm dediâmetro com uma velocidade média de 50 m/s. Determine aqueda de pressão em 0,1 m de comprimento de tubo.

• Exemplo: Ar a 30 oC e pressão atmosférica escoa através de uma

seção horizontal de um tubo de aço trefilado de 4 mm dediâmetro com uma velocidade média de 50 m/s. Determine aqueda de pressão em 0,1 m de comprimento de tubo.

0

0

• Exemplo: Ar a 30 oC e pressão atmosférica escoa através de uma seção

horizontal de um tubo de aço trefilado de 4 mm de diâmetro com uma

velocidade média de 50 m/s. Determine a queda de pressão em 0,1 m decomprimento de tubo.

• Se a vazão através de um duto de aço comum de 10 cm de diâmetro for de 0,04 m3/s, calcule a diferença na elevação H dos dois reservatórios.

0,15,07 x105

0,018

0,018

11,89 23m

E a perda de carga na válvula é bem grande.

Escoamento Interno – Transferência de calor

• O fluido está completamente confinado por uma superfíciesólida: representa o escoamento de um fluido em um duto outubulação.

• Assim como no escoamento externo, no interno há dois

regimes distintos: Recr = 2300

– Laminar: Re < 2300

– Turbulento: Re > 2300

• O número de Reynolds é definido como:

Sendo “D” o diâmetro interno do tubo

Transferência de calor do fluido

• Quando um fluido é aquecido (ou resfriado) numa tubulação, energia é transferida ao fluido ao longo da tubulação.

• A temperatura do fluido varia RADIALMENTE E AXIALMENTE ao longo da tubulação.

Exemplo de aquecimento com parede a temperatura constante

Transferência de calor do fluido

• No escoamento externo, o fluxo de calor é determinado pormeio de uma diferença entre duas temperaturas referenciadas(exemplo: Tparede e Tfluido externo).

• Para escoamentos internos (confinados) a temperatura dofluido varia axialmente e radialmente e por isto é necessário umcuidado especial para estabelecer a temperatura de referência.

Variação de energia no fluido

• Balanço de energia (1º lei) para um volume de controle que envolva o fluido (considerando RP, sem realização de trabalho e desprezando variações de energia cinética e potencial ):

0 0 0

Determinação das entalpias

• Tanto velocidade quanto temperatura variam ao longo da seção transversal.

• Do ponto de vista local, caso não haja mudança de fase, pode-se escrever que:

Temperatura de mistura

• A entalpia na entrada ou saída do V.C. é então determinada por meio da integral do produto entre a velocidade, temperatura e calor específico.

• O lado esquerdo pode ser representado pelo produto entre cp

e uma TEMPERATURA DE MISTURA, Tm:

• Logo


• Tm é a temperatura que se obtêm ao retirar uma amostra de fluido em toda seção transversal do duto, colocar em um copo e fazer uma mistura.

• Ela é MUITO CONVENIENTE pois o produto cp x Tm expressa a entalpia específica na seção transversal do duto.

• Neste caso o balanço de energia numa tubulação fica sendo:


• Ao se transferir calor em um tubo:

– A Tm aumenta em “x” com o aquecimento;

– A Tm diminui em “x” com resfriamento.

• A Tm é a temperatura de referência para o cálculo docoeficiente de transferência de calor em tubulações.

Lei de Newton

• Para um escoamento trocando calor no interior de um tubo, pode-se escrever que:

• Logo, o fluxo de calor por unidade de área é o produto de hx

(coeficiente local de transferência de calor) pela diferença entre as temperaturas Tp e Tm (temperatura da superfície –

parede do tubo – e de mistura, respectivamente).

Perfil de temperatura e desenvolvimento térmico

• Quando um fluido recebe um fluxo de calor ao longo daparede do tubo, sua temperatura varia tanto na direçãoradial, como na axial.

• Esta é uma situação diferente da hidrodinâmica, na qual operfil de velocidade não varia axialmente após uma certadistância (escoamento plenamente desenvolvido).

• Pode-se alcançar um regime termicamente desenvolvido para dutos?

Perfil de temperatura desenvolvido

• O perfil de temperatura altera ao longo do comprimento do duto, contudo a partir de um determinado ponto sua forma relativa não se altera mais:

Balanço de energia do fluido

• Pela 1º lei para um VC que envolva o fluido e esteja escoando em RP:

• Considerando que não é realizado trabalho e sejam desprezadas as variações de energia cinética e potencial:

Balanço de energia do fluido

• Expressando-se os fluxos em função da temperatura de mistura:

Fluxo de calor uniforme: temperatura de mistura

• Quando o fluxo de calor for constante, pode-se integrar diretamente a equação do balanço de energia e achar a

temperatura de mistura para qualquer valor de x>0:

Onde Tme é a temperaturade mistura da entrada

Fluxo de calor uniforme: temperatura da parede

• A temperatura de mistura varialinearmente com a distância x.

• Para aquecimento, a temperatura daparede sempre aumenta.

• Ela pode ser calculada em qualquerposição por meio de Tm :

Note que para escoamento desenvolvido, h é cte e portanto Tp

possui a mesma inclinação que Tm.

• Água escoa através de um duto aquecido, 3cm diâmetro, com velocidade média de 1 m/s. A temperatura de mistura da água na entrada da seção de aquecimento vale 18oC. 20 kW de potência são transferidos para água. Calcule a temperatura de mistura da água no ponto que ela deixa o tubo. Despreze variações da energia cinética e potencial.

A vazão mássica: m = ρ.U.Atransv = 998,3*1*π(0,03) 2/4= 0,7053 kg/s.

Temperatura da parede uniforme: temperatura da mistura

• Para temperatura de parede uniforme não é possível integrar diretamente a eq. do balanço.

• Mas assumindo um h médio entre a entrada e saída, ela pode ser integrada:

Temperatura da parede uniforme:temperatura da mistura

• Para qualquer posição axial do tubo:

• Quando x = L (comprimento total do tubo), P.L = A (área detransferência de calor do tubo), então:

• Ar entra em um duto circular de 3 cm de diâmetro com umavelocidade média de 20 m/s. A superfície do duto está auma temperatura uniforme de 80oC, enquanto que atemperatura de mistura do ar que entra no duto vale 20oC.Determine o comprimento do duto necessário para obteruma temperatura de mistura na saída de 40oC. O coeficientemédio de transferência de calor vale 80 W/m2 oC.

Número de Nusselt

• Como visto anteriormente, para se determinar as distribuiçõesde temperaturas ou os fluxos de calor é necessário se conhecero coeficiente de transferência de calor da película (h).

• Esse parâmetro é determinado a partir do número de Nusselt, definido por:

Escoamento laminar

• Re < 2300

• As propriedades devem ser avaliadas na temperatura média da temperatura de mistura:

• Peclet:

– 2 condições de contorno:

Tempconst

Qconst

Nu para regiões de entrada térmica e perfil vel. desenvolvido. Dutos circulares e Escoamento Laminar Re < 2300

Nu para escoamento plenamente desenvolvido. Dutos não-circulares e Escoamento Laminar Re < 2300

Nusselt - Escoamento laminar

• As correlações de Nu apresentadas referem-se ao gradiente de temperatura na direção axial.

• Para considerar também o gradiente de temperatura na direção radial é necessário fazer uma correção no valor de Nu:

• Onde os índices m e p indicam a temperatura média da mistura e de parede, respectivamente.

Escoamento turbulento

• Nesse caso: Re > 2300.

Dh deve ser usado como comprimento

característico no cálculo de Re e Nu.

Escoamento turbulento: tubos rugosos

• Para escoamentos turbulentos em dutos RUGOSOS de seção circular ou não-circular pode-se empregar a analogia entre atrito e calor proposta por Chilton-Colburn:

• f é o fator de atrito (diagrama de Moody) e St (St = Nu/(RexPr)).

• Substituindo a definição de St, encontra-se que:

• Note que Redh é calculado utilizando-se o diâmetro hidráulico.

Nusselt - Escoamento turbulento

• No caso de ser um gás ou vapor, a correção no valor de Nuconsiderando também o gradiente de temperatura na direçãoradial é:

• Onde as temperaturas estão na escala ABSOLUTA.

• Gás sendo resfriado: n = 0

• Gás sendo aquecido: n depende do gás (n ≅ 0,45, exceto para CO2)

• Para líquidos:

Resumo

Resumo

Rugoso

• Ar quente escoa através de um duto de seção retangular, 7,5 cmpor 30 cm. O ar entra no duto com uma temperatura de misturade 60 oC e uma velocidade de 60m/s. O duto tem 16 m decomprimento e as paredes do duto podem ser consideradas comtendo temperatura uniforme igual a 4 oC. Se a temperatura doar que deixa o duto for menor que 57 oC, ficou decidido que oduto deveria ser isolado. Você recomenda que o duto sejaisolado?

Trocadores de calor

• São equipamentos que fazem a transferência de energia de uma corrente quente de fluido para uma corrente fria.

• Normalmente, os dois fluidos são separados por paredes sólidas:

– São chamadas de superfícies de troca.

– No caso de fluidos imiscíveis, as paredes sólidas podem ser dispensadas e o trocador é chamado de contato direto.

CLASSIFICAÇÃO

• Normalmente os trocadores de calor são classificados pela:

– Aplicação:

Sem mudança de fase do fluido: líquido-líquido, gás-líquido e gás-gás;

Com mudança de fase: vapor/líquido-líquido, vapor/líquido-gás e líquido/vapor-gás. Também conhecidos como condensadores e evaporadores.

– Arranjo do escoamento:

Correntes Paralelas;

Correntes Contrárias ou Opostas;

Correntes cruzadas.

– Tipo construtivo:

Duplo tubo, Casco tubo, Placas, Compactos, Tubos aletados,etc.

Correntes paralelas

• Nesse tipo de trocador de calor, o fluido quente e o frio entrampelo mesmo lado do trocador e escoam no mesmo sentido.

• Conforme os fluidos escoam, há a transferência de calor dofluido quente para o frio.

• Usualmente estão associados a trocadores tipo duplo tubo.

Correntes opostas ou contracorrente

• Nesse tipo de trocador decalor, o fluido quente entrapor um lado e o frio entrapelo lado oposto.

• O escoamento ocorre emsentidos opostos.

• Apresenta uma maior eficiência global quando

comparado com o de corrente paralela.

Correntes cruzadas• Nesse tipo de trocador de calor, os

escoamentos são perpendicularesentre si.

• Pode-se ter um escoamento não misturado e misturado:

– Fluido não misturado: há dispositivos (aletas) que inibem o movimento do fluxo cruzado na

direção do escoamento.

– Fluido misturado: nesse caso, o fluido pode escoar em todas as

direções (não há aletas).

Ex. Radiador

Casco tubos• É o trocador de calor mais comum nas indústrias.

• Simplicidade de operação, construção e manutenção são suas características principais.

• Podem ser classificados como:

– Número de passes nos tubos:

• Passe simples;

• Múltiplos passes.

– Número de passes no casco:

• Passe simples;

• Múltiplos passes

Casco tubos

Trocador de calor aletado (compacto)(líquido-gás) – motores de combustão

• São aqueles que possuem uma grande área de troca

ocupando um pequeno volume:

– Usualmente maior que 700m2/m3.

• Possuem arranjos densos de tubos aletados ou placas.

• São tipicamente usados quando um dos fluidos é gás.

Transferência de calor

• A transferência de calor do escoamento interno a um dutopara o externo a um duto é uma aplicação freqüente emtrocadores de calor.

Troca de calor interna e externa ao tubo

Há três mecanismos de transferência de calor:

• Do fluido interno com a parede interna por convecção térmica interna ( Qi );

• Da parede interna à parede externa por condução térmica ( QK );

• Da parede externa com o fluido externo por convecção térmica externa ( Qe ).


Como não há variação de temperatura com o tempo (regime permanente) então:

• O calor transferido do fluido interno para a parede é omesmo;

• Do calor transferido da parede interna para a externa e quepor sua vez;

• É igual ao transferido da parede externa para o fluido.


di

de


• É freqüente a necessidade de se determinar Q, em função apenas de Tm,i e Tf:

di

de

Taxa Calor Interno/Externo (J/s ou W)

• A taxa de calor que sai do fluido quente e chega ao fluido frio é então determinado por:

Analogia calor/eletricidade

• Pode-se estabelecer uma analogia direta entre o caminho que o calor percorre com um circuito elétrico

(Lei de Ohm: V = R.I ⇒ I = V/R)

Analogia calor/eletricidade

• Utilizando-se a analogia calor/eletricidade: A taxa de calor total transferido é:

onde a resistência equivalente é a soma das resistências interna, da parede e externa:

Sobre a resistência de condução

• No capítulo 8 será visto com mais detalhes a transferência decalor por condução térmica. No momento, a resistênciatérmica devido a condução para um tubo é:

• A resistência térmica devido a condução para uma placa de espessura ∆x é:

onde L é o comprimento do tubo e de e di

são os diâmetros externo e interno

Onde ∆x é a espessura da placa e A é a área transversal da placa ao fluxo de calor

Resistência das incrustações

• Os fluidos podem apresentar impurezas (fuligem, sólidos emsuspensão) que acabam sendo depositadas nas superfícies dotrocador de calor.

• Estas são conhecidas como incrustações na superfície dotrocador de calor e além de modificar a superfície, alteram ocoeficientes de transferência de calor por convecção epromovem uma resistência adicional à resistência térmica nasduas interfaces fluido-superfície (interna e externa).

• A resistência das incrustações (Rf) é definida a partir do fator deincrustação (que depende da característica do fluido) e da áreasuperficial em que ocorre o depósito (vide Tabelas 7.7 e 7.8).

Resistência das incrustações

Coeficiente global de transferência de calor (U)

• A taxa de calor transferido depende da diferença detemperatura entre o fluido interno e externo e da resistênciaequivalente do circuito térmico:

• O coeficiente global de transferência de calor é definido como sendo:

• Por meio de UA pode-se determinar a troca térmica utilizando apenas a temperatura de mistura do tubo e a

temperatura externa!


• Considerando todas as resistências térmicas entre o fluxo de dois fluidos separados por um tubo e incrustações internas eexternas, tem-se que :

Análise da 1º lei para trocadores de calor

Análise da 1º lei para trocadores de calor

• O produto da vazão mássica com o calor específico é conhecido

como Capacidade Térmica do fluxo de fluido - C [W/ºC]:

Fluido quente está perdendo calor.

Método da efetividade (ε)

• Em trocadores de calor freqüentemente se necessita da área de troca de calor ou das

temperaturas de saída dos fluidos.

• Conhecendo-se as temperaturas de entrada, os parâmetros mencionados podem ser determinados

pelo método da efetividade (ε).

Método da efetividade (ε)

• A efetividade de um trocador de calor é a razão entre a taxa de calor que ele troca pela máxima taxa de calor que ele pode trocar:

• onde Q max é igual ao produto da menor capacidade térmica entre os dois fluidos pela máxima diferença de temperatura possível no trocador de calor (entrada):

Calor utilizando efetividade

• Com o conceito de efetividade pode-se expressar a taxa de calor trocado Q, como sendo:

• Ou

Como calcular a efetividade

• A efetividade de um trocador é uma função:

• 1. do Número de Unidades Térmicas:

• 2. da razão entre Capacidades Térmicas:

• 3. da Configuração do Trocador.

* NTU: representa um índice da dimensão do trocador.

No projeto de um trocador de calor é necessário estabelecer condições que

resultam em valores moderados de NTU, de modo a não subdimensionar

nem superdimensionar o equipamento.

Gráficos 7.21 a 7.26

NUT: corrente paralela e contracorrente

NUT: outras configurações

• Um trocador de calor deve ser projetado para resfriar 2 kg/sde óleo de 120oC para 40oC. Depois de considerações iniciais,o tipo de um passe na carcaça e seis passes no tubo foiselecionado. Cada passe de tubo é composto de 25 tubos deparede fina com um diâmetro de 2 cm conectado emparalelo. O óleo deve ser resfriado usando água que entra notrocador de calor a 15 oC e descarrega a 45 oC. Um esquemada unidade pode ser visto na figura abaixo. O coeficienteglobal de calor vale 300 W/m2. Determine a vazão mássicade água, a área total de transferência de calor e ocomprimento dos tubos.

• Ar quente entra em um trocador de calor de corrente cruzada(ambos fluidos misturados) a uma temperatura de 100oC evazão mássica de 3 kg/min. Ar frio entra no equipamento comuma vazão de 5,66m3/min e temperatura de 30oC. Ocoeficiente global de transferência de calor é 25 W/m2 oC e aárea externa de transferência de calor é de 10 m2. Determineas temperaturas dos fluidos que deixam o trocador de calor.

Fig. 7.24

7.5 ; 7.7 ; 7.8 ; 7.26 ; 7.27 ; 7.48

Água escoa do reservatório “A” para o reservatório “B” através de uma tubulação de aço comercial com diâmetro interno de 50 cm. Qual deve ser a profundidade “H” no revervatório “A” para que a vazão na tubulação seja de 2000 litros por segundo?

Dados: ρágua = 999 kg/m3 ; µágua=1,14x10-3 Pa.s; Kentrada=0,5; Ksaída=1,0 e Kcotovelo 90°=0,75.

Água escoa do reservatório “A” para o reservatório “B” através de uma tubulação de aço comercial com diâmetro interno de 50 cm. Qual deve ser a profundidade “H” no revervatório “A” para que a vazão na tubulação seja de 2000 litros por segundo?

Dados: ρágua = 999 kg/m3 ; µágua=1,14x10-3 Pa.s; Kentrada=0,5; Ksaída=1,0 e Kcotovelo 90°=0,75.

h

.1

.2

hr

0 0

h

.1

.2

ρágua = 999 kg/m3 ; µágua=1,14x10-3 Pa.s; Kentrada=0,5; Ksaída=1,0 e Kcotovelo 90°=0,75.

5

localizada (hm) distribuída (hf)

hw

1222

Tubo retangular; Escoamento laminar ; Fluxo de calor uniforme; Relação de medidas 2:1

Tabela 7.5 para cálculo do Nusselt. = 4,12

4

n= 0,45

• Um conceito utilizado para a captação da energia solar consiste na colocaçãode um tubo no ponto focal de um refletor parabólico (concentrador) e oescoamento de um fluido através deste tubo. O efeito líquido destaconfiguração se assemelha ao da criação de um fluxo térmico constante parao fluido ao longo da circunferência e do eixo do tubo. Considerando umaoperação com água entrando no tubo de diâmetro 0,06m a umatemperatura de mistura de 20 oC e vazão mássica de 0,01 kg/s, em um diaensolarado no qual o fluxo térmico é de 2.000 W/m2, determine:

a) O comprimento L do tubo necessário para obter uma temperatura de saída da água de 80 oC;

b) A temperatura da parede na saída do tubo para o escoamentoplenamente desenvolvido.

Pe = Pr x Re Pe = 3,57x384,25 = 1371,7

Pe x d/L = 1371,7 x 0,06/6,66 = 12,35

Aproximando: Usa-se Nu = 4,36

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