capÍtulo 5 otimizaÇÃo paramÉtrica 19 de julho de 2013
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CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5
OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICAOTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
19 de julho de 2013
REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES
ENGENHARIA DE PROCESSOS
Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de uma matéria prima num produto de interesse industrial.
Conceito abrangente: inclui todas as transformações químicas espontâneas, por ação de catalisadores ou de microrganismos.
PROCESSO ???
Aplicável aos 4 Cursos da Escola de Química
Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos
ENGENHARIA DE PROCESSOS
O conjunto de ações desenvolvidas
DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico
AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.
É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!
1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS
ANÁLISE SÍNTESE
SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA
PROJETO
(a) escolha de um equipamento para cada tarefa.(b) definição da fluxograma do processo.
(a) previsão do desempenho do processo.(b) avaliação do desempenho do processo.
Esse conjunto compreende três sub-conjuntos que interagem:
SELEÇÃO DAROTA QUÍMICA
Investigar mercado para o produto
Investigar reagentesplausíveis
Investigar a disponibilidade
das matérias primas
Definir as condições das reações e
identificar os sub-produtos gerados
SÍNTESE
Estabelecer o número e o tipo
dos reatores
Definir o número e o tipo dos
separadores
Definir o número e o tipo de
trocadores de calor
Estabelecer malhas de controle
Definir o fluxograma do
processo
ANÁLISE
Calcular o consumo de utilidades
Calcular a vazão das correntes
intermediárias
Calcular as dimensões dos equipamentos
Calcular o consumo dos insumos
Calcular o consumo de matéria prima
Avaliar a lucratividadedo processo
O PROJETO DE PROCESSOS É CARACTERIZADO PELA
MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma de um processo
RM
Reator demistura
RT
Reator tubular
DS
Coluna de destilaçãosimples
DE
Coluna de destilaçãoextrativa
A
Aquecedor
R
Resfriador
T
Trocador deIntegração
A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.
Um problema com multiplicidade de soluções
MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE
DS
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
(7)
RM
A,B
P,A
DS
P
A
T
(8)
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
DE
(9)
DSRT RAA,B A,P
P
A
(11)
RM
A,B
P,A
P
A
T DE
(10)
DSRT A,P
P
A
T
A,B
(12)
RT RAA,B A,P
P
A
DE
(13)
RT A,P
P
A
T
A,B
DE
(14)
Aqui, na Síntese, as soluções são fluxogramas
EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!
Modelo1. Q* (xo
* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)Variáveis de Projeto: x1, x2
MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE
rafinado
x1 kgAB/kg A ?
W1 kg B/h ?
y1 kg AB/kg B ?extrato
W1 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
y2 kg AB/kg B ?extrato
W2 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/hx2 kgAB/kgA ?
W2 kg B/h ?
rafinado
Q* = 10.000 kgA/hxo
*= 0,02 kg AB/kg A1 2
alimentação
Cada par (x1,x2) é uma solução fisicamente viável
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE
infinidade de soluções viáveis
Aqui, na Análise, as soluções são pares de valores x1,x2
A multiplicidade de soluções de um problema conduz ao conceito de
Otimização.
Multiplicidade de Soluções
Exige a busca da Otimização
Solução Ótima
através de
Fonte da complexidademultiplicidade de soluções nos três níveis
Nível Tecnológico: determinação da melhor rota química.
Nível Paramétrico (Análise): determinação das dimensões ótimas de equipamentos e correntes.
Nível Estrutural (Síntese): determinação do fluxograma ótimo.
ESTE CAPÍTULO !!!
Otimização Tecnológica
Otimização Estrutural
Otimização Paramétrica
O Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimização
COMO RESOLVER?
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
ÁRVORE DE ESTADOS
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Busca Orientada por Árvore de Estados
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??
A+B P+CA,B P,C
??
1 PAB Cx
?
T D
2PA
B Cx
?T A
P3DE Fx
?
DM
PF
4DE x
?
M E
L
x
6
x o = 3x*
8
L
xx o = 4x*
L
10
xx o = 6x*
L
x
7
x o = 5x*
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??
L
x4
10
?
P3DE Fx
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Reagentes: D,E. Fluxograma: 3. Valor de x: 4 demais dimensões.
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada
Vantagem
Varre todas as soluções sem repetições
sem omitir a ótima
Desvantagem
Explosão Combinatória(outros métodos)
Solução Ótima:
INÍCIO DO CAPÍTULO 5
ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA
OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5
INTRODUÇÃO GERAL
1
INTRODUÇÃO À
SÍNTESE DE PROCESSOS
8
6
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE SEPARAÇÃO
7
SÍNTESE
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE
INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
AVALIAÇÃOECONÔMICAPRELIMINAR
4
INTRODUÇÃO À
ANÁLISE DE PROCESSOS
2
ESTRATÉGIAS
DE CÁLCULO
3
ANÁLISE
FINALIDADE DO CAPÍTULO
Apresentar (a) conceitos básicos de Otimização, (b) o método analítico (c) dois métodos numéricos simples (d) aplicações em processos químicos.
Estudo mais completo de Otimização
EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA
Relembrando o Processo Ilustrativo
Fluxograma do ProcessoDimensionamento: condições conhecidas + metas de projeto
W6
T*6
W10 T*
10
W13 T13 W11
T*11
W8
T*8
W*1
x*11
T*1
f11
f31
W7 T*
7
W5 T*
5
W3 x13
T3 f13 f23
W4 x*
14
T4 f14 f24
W12 T*
12
W12 T*
12
W14 T*
14
W2
x12
T*2
f12 f32
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
VdAe
AcAr
t* r*
Alimentação Produto
Vapor
Benzeno
Benzeno
Água Água
W15 T15
Dimensionamento
INCÓGNITAS PARÂMETROS
L
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,Ae,Ac,Ar
W4,W6,W8,W11,W14
MODELOFÍSICO
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
W1x11,x14
T1,T2,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,T12,T14, r,
G = 0(solução única)
Resultado do Dimensionamento
W6 =8.615 kg/hT*
6 = 150 oC
W10 =36.345 kg/hT*
10 = 80 oC
W13 = 36.345 kg/hT13 = 25 oC
W11 = 59.969 kg/hT*
11 = 15 oCW8 = 228.101 kg/hT*
8 = 15 oC
W*1 = 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h
W7 = 8.615 kg/hT*
7 = 150 oC
W5 = 36.345 kg/hT*
5 = 80 oC
W3 = 37.544 kg/hx13 = 0,002
T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.424 kg/h
W4 = 1.200 kg/hx*
14 = 0,1
T4 = 80 oCf14 = 120 kg/hf24 = 1.080 kg/h
W12 = 59.969 kg/hT*
12 = 30 oCW12 = 228.101 kg/hT*
12 = 30 oC
W14 = 1.080 kg/hT*
14 = 25 oC
W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008
T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
Vd = 11.859 l
*= 0,0833 h
r* = 0,60
Ae = 124 m2
Ac = 119 m2
Ar = 361 m2
W15 = 37.425 kg/hT13 = 25 oC
Dimensionamento
incógnitas
L
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,Ae,Ac,Ar
variáveis de projeto
r,T9,T12OTIMIZAÇÃO
W4,W6,W8,W11,W14
MODELOFÍSICO
variáveis especificadas
W1x11,x14
T1,T2,T5,T6,T7,T8,T10,T11,T14,
r, T9, T12
?
Omitindo r, T9 e T12 na lista deMetas de Projeto
PARÂMETROS
G > 0Otimização
Resultado da Otimização(r, T9, T12)
W6 =5.857 kg/hT*
6 = 150 oC
W10 =24.670 kg/hT*
10 = 80 oCW13 = 24.670 kg/hT13 = 25 oC
W11 = 48.604 kg/hT*
11 = 15 oCW8 = 78.395 kg/hT*
8 = 15 oC
W*1 = 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h
W7 = 5.857 kg/hT*
7 = 150 oC
W5 = 24.670 kg/hT*
5 = 80 oC
W3 = 25.682 kg/hx13 = 0,004
T3 = 25 oCf13 = 101 kg/hf23 = 25.581 kg/h
W4 = 1.012 kg/hx*
14 = 0,1
T4 = 80 oCf14 = 101 kg/hf24 = 911 kg/h
W12 = 48.604 kg/hT*
12 = 27 oCW9 = 78.395 kg/hT*
9 = 44 oC
W14 = 911 kg/hT*
14 = 25 oC
W2 = 99.898 kg/hx12 = 0,001
T2 = 25 oCf12 = 98 kg/hf32 = 99.800 kg/h
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
Vd = 10.742 l
*= 0,0833 h
r = 0,506
Ae = 84 m2
Ac = 95 m2Ar = 238 m2
W15 = 25.581 kg/hT13 = 25 oC
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
4
ESTRATÉGIAS
DE CÁLCULO
3
INTRODUÇÃO À
ANÁLISE DE PROCESSOS
2
OTIMIZAÇÃO
5
Resumo da Análise de ProcessosCorrespondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais
OTIMIZAÇÃOMODELO
ECONÔMICO
Variáveis Especificadas
Variáveis de Projeto
Parâmetros Econômicos
ParâmetrosFísicos MODELO
FÍSICODimensões Calculadas Lucro
Resolver Problema
Otimizar Processo
Calcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
FIM DA REVISÃO
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização
Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de
métodos de busca da solução ótima de um problema
OTIMIZAÇÃO
Ação de buscar a solução ótima de um problema
Palavra com dois significados:
Todo problema de Otimização encerra um conflito.
Comentário
A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes
A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes
R
C
0
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
Lo=15,6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
W kg/hWo = 1.973,6
L = R - C
Exemplo
No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante.
- aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional.
- aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita.
Com o aumento da vazão:
Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui.
W kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
(extrato)
x kgB/kgA
EXTRATOR
B: benzeno (solvente)
A : água
AB: ácido benzóico (soluto)
Vazão ótima Lucro máximo
ORIGEM DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO
Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema:
Graus de Liberdade G = V - N - EV : número de variáveisN : número de equaçõesE: número de variáveis especificadas (E = C + M)
C = condições conhecidas M = metas de projeto
Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações:
- metas inconsistentes ou em excesso G 0 solução impossível
y
x
paralelas
- metas estritamente suficientes G = 0 solução única
y
x
- metas insuficientes G > 0infinidade de soluções viáveis
y
x
coincidentes
Solução ótima?
Exemplo simples: dimensionamento de um extrator
W kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR
B: benzeno (solvente)
A : água
AB: ácido benzóico (soluto)
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 1
G = 0 (solução única)
y = 0,04; W = 2.500 kg/h
(a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta
y
x
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é 0,04.
W kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y = 0,03 kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR
B: benzeno (solvente)
A : água
AB: ácido benzóico (soluto)
solução impossível!
(b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgB como metas.
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 2G = - 1 (metas em excesso)
Identidade!
y
x
paralelas
W kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgAEXTRATOR
B: benzeno (solvente)
A : água
AB: ácido benzóico (soluto)
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0
G = 1 (infinidade de soluções)
(c) Dimensionamento com insuficiência de metas
y
x
coincidentes
Solução ótima?
Insuficiência de metas gera Graus de Liberdade Otimização
EM RESUMO
Insuficiência de metas gera graus de liberdade
Graus de liberdade geram multiplicidade de soluções
A multiplicidade de soluções exige a busca da solução ótima
A busca de solução ótima se dá por um processo de otimização
5.1 Conceito de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquerque seja a sua área de aplicação.
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos qualquerque seja a sua área de aplicação.
5.2.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)
5.2.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)
São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima.
Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto.
Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto
INCÓGNITAS
L
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Vd,A
e,A
c,A
r
VARIÁVEIS DE PROJETO
r,T9,T
12OTIMIZAÇÃO
W4,W
6,W
8,W
11,W
14
MODELO
FÍSICO
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
W1
x11
,x14
T1,T
2,T
5,T
6,T
7,T
8,T
10,T
11,T
14,t
O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7
1
2
3
y
x
coincidentes
Metas insuficientes, incógnitas em excessoSistema consistente indeterminado
(infinidade de soluções)
G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1
V = 7
N = 3
C = 2
M = 1
E = 3
Há que se escolher uma solução
Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas.
O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional e foi abordado no Capítulo 3
(Algoritmo de Ordenação de Equações).
o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7 (variável de projeto).
G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7
1
2
3x7p
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7p
1
2
3
x7m0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
7xp
0
100
200
300
400
500
A cada valor de x7p
corresponde uma solução viável x1, x2, x3 e um valor para o Lucro.
Se a variável for contínua, haverá umainfinidade de soluções viáveis (indeterminado).
Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto.
Qualquer outro valoratribuído como metaproduziria uma soluçãopior do que a ótima.
Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).
x1
x2
x3
x4c
x5c
x6m
x7p
1
2
3
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
7xpx7m
0
100
200
300
400
500
Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Solução Ótima !
y
x
coincidentes
As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas.
Modelo Matemático
1. Q (xo - x) - W y = 0
2. y - k x = 0
Balanço de Informação
V = 5, N = 2, C = 2, G = 1
(candidatas: x, y, W)
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
Exemplo: otimização do extrator
W? x? y?
R
C
0
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
Lo=15,6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
W kg/hWo = 1.973,6
L = R - C
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,0200
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
x kgAB/kg A
L
C
R
xo = 0, 01118
Lo = 15,6
xo*
1
y
x
W2
Q*
xo*
1
y
x
W
2
Q*
Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
A solução ótima independe da variável de projeto escolhida
Wo = 1.972,3
xo = 0,01118 yo = 0,04472Lo = 15,6 $/h
xo = 0,01118 yo = 0,04472Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h
O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada
Escolha feliz !Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y)Sequência de cálculo acíclica:2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
xo*
1
y
x
W
2
Q*
Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0
Escolha infeliz !Sequência de cálculo cíclicaOtimização com cálculo iterativo
xo*
1
y
x
W2
Q*
Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Função Objetivo
5.2.3 Restrições
5.2.4 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução doproblema
5.2.2 Critério
A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério.
O critério mais comum é econômico
5.2.2 Critério
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
0
100
200
300
400
500
Maximização do Lucro
x7o
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L
0
100
200
300
400
500
R
C
L
Minimização do Custo(produção fixa Receita constante)
x7o
Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade.
A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo umoutro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a
mais segura. E vice-versa.
Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesosdiferentes (otimização com objetivos múltiplos)
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.5 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
5.2.3 Função Objetivo
5.2.3 Função Objetivo
(c ) Convexidade: côncava ou convexa.
É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema.
A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização.
(a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta.
Pode ser classificada quanto à:
(b) Modalidade: unimodal, multimodal.
Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.
5.2.3 Função Objetivo(a) Continuidade
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
Função Contínua0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
y
x
Função Contínua comdescontinuidade na derivada
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
y
x
Função Descontínua0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
y
xFunção Discreta
Os parâmetros da função dependem da
faixa de x
A função só existe para valores inteiros de x
5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões
-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,00,20,40,60,81,0
f
X1
Função Bimodal em 1 Dimensão
1 2 3 4 5 6
200
205
210
215
220
y
x
A
B
C
D
E
F
5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade
Função Bimodal em 2 Dimensões
0
1
2
3
4
5
6
-2,0-1,5
-1,0-0,5
0,00,5
1,01,5
2,02,5
3,0
-1
0
1
2
3
4
f
x1
x 2
ABC
Incerteza quanto ao ótimo global
C, E: máximos locaisA: máximo global
B, D: mínimos locaisF: mínimo global
B: mínimo localF: mínimo globalC: ponto de sela
Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
xx1 x2(1-a)x1+ ax2
y[(1-a) x1 + a x2]
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0 a 1
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
xx1 x2(1-a)x1+ ax2
y[(1-a) x1 + a x2]
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0 a 1
limite inferior para o máximo
Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta: y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5y
xx1x2
(1-a)x1+ ax2
y[(1-a) x1 + a x2]
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0 a 1
limite superior para o mínimo
Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada
da função no ponto extremo.
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)
Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus
Valores Característicos
Equação Característica
que são as raízes da sua
jxix
f
2
ijf
f11
f12
H(x) = f
21f
22
Matriz Hessiana:
f11
f12
f21
f22
-
- = 0det
Equação Característica:
Os Valores Característicos são as raízes desta equação.
2 – (f11 + f22) + (f11f22 – f12f22) = 0
Para uma função qualquer de duas variáveis
Ilustração com Funções Quadráticas (simetria)
5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)
f(x) = bo + b1 x1 + b2 x2 + b11 x12 + b22 x2
2 + b12 x1 x2
Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes
-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,00,20,40,60,81,0
f
X2
X1-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,0
-0,8
-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
f
-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-1,0-0,8
-0,6-0,4
-0,20,0
0,20,4
0,60,8
1,0
f
-1,0-0,8-0,6
-0,4-0,2
0,00,2
0,40,6
0,81,0-1,0
-0,8-0,6
-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
0
-0,80-0,50
-0,20
-0,20
-0,50
0,10
0,10
-0,80-1,1
-1,1
0,40
0,40
-1,4
-1,4
0,70
0,70
-1,7-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x 2
X1
estritamente convexa
convexa
estritamente côncava
côncava
ponto de sela
1 ,
2H ( x ) f ( x )
1
> 0 , 2
> 0 positiva definida
1 > 0 ,
2 = 0 positiva semi-definida
1
< 0, 2
< 0 negativa definida
1
< 0, 2
= 0 negativa semi-definida
1
> 0 , 2
< 0 indefinida
1 > 0 : 2 > 0
1 > 0 : 2 = 0
1 < 0 : 2 < 0
1 < 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0
UMA FUNÇÃO NÃO-QUADRÁTICA
Modelo Físico:1. Q* (xo
* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)
rafinado
x1 kgAB/kg A ?
W1 kg B/h ?
y1 kg AB/kg B ?extrato
W1 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
y2 kg AB/kg B ?extrato
W2 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/hx2 kgAB/kgA ?
W2 kg B/h ?
rafinado
Q* = 10.000 kgA/hxo
*= 0,02 kg AB/kg A1 2
alimentação
Dimensionamento de 2 extratores em série
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
2
12
1 x
xdcx
x
baL ---=
Exemplo de Função Não-Quadrática(Lucro de 2 extratores em série)
5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade
Função Bimodal em 2 Dimensões
0
1
2
3
4
5
6
-2,0-1,5
-1,0-0,5
0,00,5
1,01,5
2,02,5
3,0
-1
0
1
2
3
4
ABC
Ponto C : x1 = 0,6 : x2 = 1,4 : f = 3,3 1 = 7 : 2 = -2,3
Ponto A: x1 = -1 : x2 = 1 : f = 01 = 10,6 : 2 = 3,4
Ponto B: x1 = 2 : x2 = 4 : f = 1.5 1 = 37 : 2 = 1
5.2.1 Variáveis de Decisão
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.5 Região Viável
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
5.2.4 Restrições
5.2.3 Restrições
São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo.
(b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto
(a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático.
Há dois tipos de restrições:
Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projetos.a.: g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade
Enunciado Formal de um Problema de Otimização
Max L(x) = R - Cs.a.:
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0h2 (x) = y - k x = 0
g(x) = x - xo 0
Exemplo: otimização do extrator
A presença de restrições pode alterar a solução de um problema
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1.0
0,80,6
0,4
B
A
h(x) = 0
x1
x2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x( ) ,x 12
22 0 25 0
5.2.3 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva)
Solução Irrestrita: ASolução Restrita : B
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0 0,4
0,6
0,8
1,0A
B
C
h(x) = 0
x1
x2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x( ) , ( ) ,x 2 122 1 1 0 1 0
Solução Irrestrita: ASolução Restrita : BC é um máximo local
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1.0
0,80,6
0,4
B
A
h2(x) = 0
h1(x)=0
x1
x2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x1 12
22 0 25 0( ) ,x
h x x2 12
22 0 25 0( ) ,x Solução Irrestrita: A
Solução Restrita : B (restrições compatíveis)
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
1.0
0,80,6
0,4
B
A
h2(x) = 0h1(x)=0
x2
x1
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
h x x1 12
22 0 25 0( ) ,x
h x x2 1 2 1 0( )x Solução irrestrita: ASolução restrita: impossível( restrições incompatíveis)
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x1 12
22 0 25 0( ) ,x = + -
5.2.3 Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões)
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : B
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x21.0
0,80,6
0,4
B
A
x1
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
1.0
0,80,6
0,4
B
A
g x x1 12
22 0 25 0( ) ,x = + -
g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : A
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g (x)2
g (x)1
B
g x x1 12
22 1 0( )x
g x x2 12
22 4 0( )x
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução irrestrita : ASolução restrita : B
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x1 12
22 1 0( )x
g x x2 12
22 4 0( )x
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g (x)1
g (x)2C
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : C
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g (x)1
g (x) 2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x2 12
22 4 0( )x
g x x1 12
22 1 0( )x
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução irrestrita: ASolução restrita : A
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
0,40,6
0,8
1,0A
g (x)1
g (x)2
f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112
1 2 22
g x x1 12
22 1 0( )x
g x x2 12
22 4 0( )x
g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0
Solução impossívelRestrições incompatíveis
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.
5.2.5 Região Viável
5.2.4 Região Viável
h(x) = 0
g(x) 0
x1
x2
x3
Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)
Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima.
Max f(x)s.a.: h(x) = 0 g(x) 0
Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala
Região ConvexaQualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
g (x)1
g (x)2
g (x) 3
A
B
g x x1 12 2
222 2 4 0( ) ( ) ( )x
g x x x2 12
22 4 0( )
g (x) (x 2) x 4 03 12 2
5.2.4 Região Viável Convexidade
A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização
Região Não - ConvexaA reta que une A e B não
permanece contida na região
g (x) x x 4 01 12
22
2 1 2g (x) x (x 2) 4 02 2= + - -
g x x x3 12
221 1 0( ) ( )
0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x2
x1
g (x)1
g (x)2
g (x)3
B
A
5.2.4 Região Viável Convexidade
É o maior desafio da otimização
A não-convexidade não garante a convergência dos métodos de otimização
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
Restrições podem ser lineares:x1 – 0,02 0x2 – x1 0
5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável
5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.3 Localização da Solução Ótima
5.3 Localização da Solução Ótima
Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo.
Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais
Localização de valores extremos na faixa x1 x x2
0 5 10 15 20
1
2
3
4
5
x
f(x)
m
m
M
M
M
x1 x2
5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.4 Problemas e Métodos de Otimização
(a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos
5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.
À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podemser classificados:
(a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas.
Os métodos de resolução podem ser classificados:
5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.
ATENÇÃO PARA O ROTEIRO DA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
rafinado
y kg AB/kg B
xo= 0,02 kg AB/kg A
extrato
x kgB/kgA
Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)
Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis
Exemplo: dimensionamento do extrator
2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
Sequência de Cálculo
Restrições de Igualdade !!!
x y W
1 * * *2 * *
x y W
1 x x o2 x o
Equações ordenadas
Variável de Projeto : x
Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadasà Função Objetivo
(viável em problemas simples)
Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W
x 2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y
L = pAB W y - pB Wy, W
LL = a - b x - c/x
x L
a = Q (pAB xo + pB / k) = 105
b = pAB Q = 4.000
c = pB Q xo / k = 0,5
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220
10
20
30
40
50
60
L,R,C$/a
x kgAB/kg A
L
C
R
xo =0, 01118
Lo = 15,6
Busca do ponto estacionário:
yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h
Solução completa do problema:
L = a - b x - c/x
x b
dL
dxb
cx
co= - + = = =2
0 0 01118,
1 2
Q = 10.000 kgA/h
x = 0,02 kgAB/kgAo
W1
kgB/hW2
kgB/h
y1
kgAB/kgBy2
kgAB/kgB
x1
x2
kgAB/kgAkgAB/kgA
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)
Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série
5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis
Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *
W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o
Equações Ordenadas2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
Ordenação
Variáveis de Projeto: x1 e x2
Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L
Buscando o ponto estacionário:
Solução completa:y1
o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h
y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2
o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h
L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
x2o = (d/b) x1
2 = 0,00921
L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)
2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
L
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
ALERTA!
1 2
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
W1 = 1.184 kgB/h
W2 = 1.184 kgB/h
x1 = 0,01357 kgAB/kgA
x2 = 0,00921 kgAB/kgA
y1 = 0,05428 kgAB/kgA y2 = 0,03824 kgAB/kgA
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48
DIMENSIONAMENTO ÓTIMO
Examinando a contribuição de cada estágio à solução ótima
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
19,5
0,01357
0,00921
Modelo Físico1. Q* (xo
* - x1 *) - W1 y1 = 0
2. y1 - k x1 * = 0
3. Q * (x1 * - x2
*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2
* = 0
Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)
DIMENSIONAMENTO COM G = 0
Q* = 10.000 kgA/hxo
*= 0,02 kg AB/kg A
rafinado
x1 * = 0,015 kgAB/kgA
W1 kg B/h ?
y1 kg AB/kg B ?extrato
W1 kg B/h
Q * = 10.000 kgA/h
y2 kg AB/kg B ?extrato
W2 kg B/h
Q * = 10.000 kgA/hx2
* = 0,008 kgAB/kg A
W2 kg B/h ?
rafinado1 2
alimentação
Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2
* = 0,008
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
17,8
19,5
OTIMIZAÇÃO SIMULTÂNEA x SEQUENCIAL
O Método Analítico foi aplicado às duas variáveis de projeto simultaneamente, surgindo um sistema de duas equações que foi
resolvido.
Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois sub-problemas univariáveis:
(a) otimizar o primeiro estágio (b) utilizar o valor ótimo x1
o na otimização do segundo.
1Q*
xo* x
1
W1
W1y1
L p Q x x
p Q x x
kx
L a b xc
x
a Q p xp
k
b p Q
cp Q x
k
xc
b
L a
ab ob o
ab ob
ab
b o
o
o
1 11
1
1 1 1 11
1
1
1
1
11
1
1
105
4.000
05
00111803
1556
* ** *
* *
*
* *
( )
.
,
,
, $/
Q*
x* x
W
Wy
2
2
22
2
1
L p Q x x
p Q x x
kx
L a b xc
x
a Q p xp
k
b p Q
cp Q x
k
xc
b
L a
abb
abb
ab
b
o
o
2 1 21 2
2
2 2 2 22
2
2 1
2
21
22
2
2
6972
4000
02795
0008359
284
* ** *
* *
*
* *
( ) ,
.
,
,
, $/Solução ótima do Estágio 1 Solução ótima do Estágio 2
imposição!
x1 = 0,01118 kgAB/kgA
x2 = 0,008359 kgAB/kgA
1 2
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
W1 = 1.972 kgB/h W2 = 843 kgB/h
y1 = 0,04472 kgAB/kgA y2 = 0,03344 kgAB/kgA
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 64,28 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40
O segundo estágio foi otimizado para x1 = 0,01118
Resultando:
02,04,0
6,08,0
10
12
1416
18
0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
X2
X1
A busca de x2o ficou restrita a x1 – 0,01118 = 0
Obviamente, não é a solução ótima
Comparando as duas soluções...
Solução Seqüencial
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40
Solução Simultânea
Estágio 1 2 Total
Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48
A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea
Na solução seqüencial, o primeiro estágio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estágio que
consome menos solvente mas recupera menos soluto.
Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]
Método dos Multiplicadores de Lagrange
1. Formar o Lagrangeano do problema:
L(x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j2]
i : multiplicadores de Lagrange i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade)
2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano.
3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.
Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2
s.a.: g1 (x) = x12 + x2
2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0
0,5
0,5
restrição
curvas de nível da função objetivo
1
1 x1
x2
Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2
s.a.: g1 (x) = x12 + x2
2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0
Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2
L (x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j2]
L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2
2 – 0,25 - 2]
Formar o Lagrangeano:
L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2
2 – 0,25 - 2]
L / x1 = 2 x1 – 2 + 2 x1 = 0 x1 = 1/(1 + ) (1)L / x2 = 2 x2 – 2 + 2 x2 = 0 x2 = 1/(1 + ) (2) L / = x1
2 + x22 – 0,25 - 2 = 0 (3)
L / = 2 = 0 (4)
A Eq. (4) é satisfeita para:
0,5
0,5
restrição
x1
x2 curvas de nível da função objetivo
1
1
= 0 (solução irrestrita):
= 0 (folga zero, fronteira da região):
(1) x1 = 1 ; (2) x2 = 1
(1) e (2) em (3) x1 = x2 = 0,35
5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis
5.6 MÉTODOS NUMÉRICOS
- Indiretos: utilizam, também, o valor da derivada da Função Objetivo. (com mais informação, o número de tentantivas é menor; mas o esforço computacional é maior).
São métodos de busca por tentativas.
- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.
Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades:
- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.
- Diretos: orientam as tentativas com base apenas no valor da Função Objetivo.
Os métodos podem ser:
Motivação para o uso de métodos numéricos
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis
W1 = 30.000 kg/h
T1 = 100 oC T2 = 50 oC
W3 kg/h ?
T4 oC
A m2 ?
T3= 15 oC
Dimensionamento de um trocador de calor
Modelo
Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica
02111 )TT(CWQ1. p
03433 )TT(CWQ2. p
0 UAQ3.
0
32
41
3241
TT
TTln
)TT()TT(4.
FLUXOGRAMA
W1 = 30.000 kg/h
T1 = 100 oC T2 = 50 oC
W3 kg/h ?
T4 oC
A m2 ?
T3= 15 oC
CT = Ccap + Cutil480,
cap 4,6
A50)(0,10)(1.3C
Cutil = (8.500)(5x10-5)W3
Avaliação Econômica
CT = Ccap + Cutil480,
cap 4,6
A50)(0,10)(1.3C
Cutil = (8.500)(5x10-5)W3
Modelo Ordenado
U
Q3.A
)TT(CpWQ. 21111
)TT(Cp
QW.
34332
32
41
3241
TT
TTln
)TT()TT(4.
Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo
Variável de Projeto: T4
154T
286.875
,
4T6535
4T-100ln
4.469TC
480
W1 = 30.000 kg/h
T1 = 100 oC T2 = 50 oC
W3 kg/h ?
T4 oC
A m2 ?
T3= 15 oC
154T
286.875
,
4T6535
4T-100ln
4.469TC
480
Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65.
MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL
(b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido).
(a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável.
(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cadaiteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida
Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.
Hipótese: a Função Objetivo é unimodal
Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema.
0 1/3 2/3 1
o
o
0 1/3 2/3 1
o
o
Dois experimentos por ciclo
0 11/4 2/4 3/40 11/4 2/4 3/4 0 11/4 2/4 3/4
o
o
oo
o
o
o
o
o
Três experimentos por ciclo
Exemplos (Problemas de Máximo)
intervalos eliminados
intervalos eliminados
0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Casos de eliminação de 50% do intervalo
0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1
o
o
oo
o
o o
o
o
o
o
o
o
o
o
Casos de eliminação de 75% do intervalo
MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA
Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos.
Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?
Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a:
(a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)
(b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente.
Fi
Fs
LsLi xi xs
Esta fração advém da razão dos lados do Retângulo Áureo (aquele esteticamente perfeito, segundo os gregos)
1
Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor
A razão dos seus lados é /1 =
Removendo-se um quadrado,
1
1-
sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 - ) /
1
1-
O Retângulo Áureo é aquele cuja razão dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivos
61800121
1,
Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo
Retângulo Áureo
1
0,618
0,382
0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618
Assim, a cada remoção de um quadrado o lado maior do retângulo perde 38,2% do seu comprimento ficando reduzido a
61,8% do comprimento anterior.
Retângulo Áureo
1
0,618
0,382
0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618
Após a remoção de N quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,618N do comprimento original.
Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do
comprimento original.
MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA
Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos.
Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a:
(a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)(b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente.
Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea
Fi
Fs
LsLi xi xs
0,382 0,382
0,618
= Ls – Li
xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382
Algoritmo da Seção Áurea
ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
ConvergiuDelta Tolerância
Problema de Mínimo
Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
Fi
LsLi xi xsxi
Fs
LsLi xs
Fi
Fs
LsLi xi xs
Fi
LsLi xi xs
Fs
xs Ls
xi xs
Fi Fs
xi Li
xs xi
Fs Fi
Inicialização
= Ls – Li
xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382
Fi
Fs
LsLi xi xs
0,382 0,382
0,618
EXEMPLO
W1 = 30.000 kg/h
T1 = 100 oC T2 = 50 oC
W3 kg/h ?
T4 oC
A m2 ?
T3= 15 oC
Dimensionamento de um trocador de calor
Cp1 = 1,35 kcal/kg oCCp3 = 1,00 kcal/kg oC U = 0,75 kcal / m2 oC
Modelo
Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica
02111 )TT(CWQ1. p
03433 )TT(CWQ2. p
0 UAQ3.
0
32
41
3241
TT
TTln
)TT()TT(4.
FLUXOGRAMA
W1 = 30.000 kg/h
T1 = 100 oC T2 = 50 oC
W3 kg/h ?
T4 oC
A m2 ?
T3= 15 oC
CT = Ccap + Cutil
480,
cap 4,6
A50)(0,10)(1.3C
Cutil = (8.500)(5x10-5)W3
Avaliação Econômica
CT = Ccap + Cutil480,
cap 4,6
A50)(0,10)(1.3C
Cutil = (8.500)(5x10-5)W3
Modelo Ordenado
U
Q3.A
)TT(CpWQ. 21111
)TT(Cp
QW.
34332
32
41
3241
TT
TTln
)TT()TT(4.
154T
286.875
0,48
4T6535
4T-100ln
4.469TC
Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo
Variável de Projeto: T4
W1 = 30.000 kg/h
T1 = 100 oC T2 = 50 oC
W3 kg/h ?
T4 oC
A m2 ?
T3= 15 oC
Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T4 = 1)
154T
286.875
0,48
4T6535
4T-100ln
4.469TC
PROGRAMA Áurea.bas e Áurea.xls
IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
154T
286.875
0,48
4T6535
4T-100ln
4.469TC
i i i s s sN L x F x F L
2 15 47,47 9.568 67,53 6.287 100 8579,93 5.33967,53 6.2873 47,47 100 52,53
15
Li
100
Lsxi
47,47
xs
67,53
9.568
6.287
Li xi
4 67,53 79,93 5.339 100 32,47
Se Convergiu Então Finalizar
Colocar Novo Ponto
xs
79,93
5.339
Iniciar
Repetir
Eliminar Região
Atualizar Delta
VER PROGRAMA AUREA.XLS
i s s i i sN L x F x F L
2 15 47,47 6776,632 67,53 5073,825 100 8567,53 5073,8253 47,47 79,93 4510,13 100 52,53
87,59 4293,364 67,53 79,93 4510,13 100 32,47
87,59 4293,365 79,93 92,33 4222,96 100 20,0795,26 4224,396 87,59 92,33 4222,96 100 20,4292,33 4222,967 87,59 90,52 4242,09 95,26 12,40
92,33 4222,968 90,52 93,45 4217,68 95,26 7,6693,45 4217,689 92,33 94,14 4217,63 95,26 4,74
94,57 4219,1010 93,45 94,14 4217,63 95,26 2,93
Minimização do Custo do Trocador de Calor
Tolerância: 1,8 oC (1% do intervalo inicial)
T4o = 93,88 Ao = 17 ft2 W3
o = 1.770 lb/h
93,45 94,14 1,1193,88 4217,3211 93,45 94,14 4217,63 94,57 1,8193,88 4217,32
FUNÇÕES MULTIMODAIS
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
Procedimento Geral:
(c ) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.(a) seleção de um ponto inicial (base).
Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.
Alguns métodos diretos:- Busca Aleatória- Busca por Malhas- Busca Secionada- Simplex- Hooke & Jeeves
5.6.2 Problemas Multivariáveis
(d) finalização
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Senão: reduzir os incrementos
Explorar, Progredir e Chegou ao Ótimo: ver em seguida
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão (estamos nas proximidades do ótimo):
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMOEstabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma BaseRepetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Base: o centro da região de busca (na falta de maiores informações).
Tolerância: o menor intervalo de incerteza admissível para cada variável
Incremento: a busca deve ser grosseira, porém rápida no início e lenta e minuciosa nas proximidades do ótimo. O incremento inicial pode ser 2 vezes a tolerância, ou mais, para ser reduzido à metade à medida que se aproxima do ótimo.
Exploração
Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base.
Base?- 1
?
- 2
?+ 1
?
+ 2
A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.
Do resultado, depreender a direção provável do ótimo
Exploração
BaseS- 1
I
- 2
S
+ 2
Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
y
x
S: SucessoI: Insucesso
buscando máximo
Sucesso
desnecessário
Exploração
BaseS- 1
I
- 2
S
+ 2
O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor
posição.
Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração
- 1
18
15
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
10 Base
Unimodalidade: dispensa + 1
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 2
- 1
15
12
- 2
x1
x2
+ 2
18
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
10 Base
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 1
- 1
15
- 2
x1
x2
+ 2 Sucesso: deslocar a Base
12 Insucesso:permanecer na Base
Direção provável do ótimo
10 Base
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 1
13 Insucesso: permanecer na Base
- 1
7
18
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
15+1
10
Base
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 2
- 1
7
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
15+1
12
10
Base
18 Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
+ 2
Direção x1
Direção x2
- 1
7
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
15+1
10
Base
Insucesso: permanecer na Base
+ 2
Direção x1
Direção x2
12
11Insucesso: permanecer na Base
- 1
7
- 2
x1
x2
Sucesso: deslocar a Base
Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
+1
10
Base
Direção x1
Direção x2
Insucesso: permanecer na Base8
15
Unimodalidade: dispensa + 2
- 1
7
- 2
x1
x2
Insucesso: permanecer na Base
Direção provável do ótimo
+1
10Base
Direção x1
Direção x2
Insucesso: permanecer na Base8
Sucesso: deslocar a Base
15
+ 2
Insucesso: permanecer na Base9
- 1
7
- 2
x1
x2
Insucesso: permanecer na Base
+1
10Base
Direção x1
Direção x2
Insucesso: permanecer na Base8
+ 2
Insucesso: permanecer na Base9
Insucesso: permanecer na Base5
A Base deve estar próxima do ótimo !
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMOEstabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma BaseRepetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão (proximidade do ótimo):
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo?
Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar
Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.
Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
x1
x2
Reduzir os incrementos1 = 1 /2 , 2 = 2 /2
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
9
- 1
7
- 2
+1
10Base
+ 2
5
8
+ 1- 1
+ 2
- 2
1 > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo
x1
x2
Reduzir os incrementos1 = 1 /2 , 2 = 2 /2
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
9
- 1
7
- 2
+1
10Base
+ 2
5
8
+ 1- 1
+ 2
- 2
1 > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo
x1
x2
1 < 1 e 2 < 2
8- 1
7
- 2
+1
10Base
+ 2
9
5
+ 1- 2
+ 2
- 2
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Senão: reduzir os incrementos
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão: (proximidade do ótimo)
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
x1
x2
Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão
10
Base
+ 2
+1
25
22
15+1
+ 2
18
Resultado da Exploração
Progredir até ocorrer um Insucesso
Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão
Insucesso!Permanecer na Base (25)
Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .
+ 2
+1
x1
x2
Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão
15+110
Base
+ 2
18
+ 2 2
+2 1
25
+ 2 2
+2 1
22
Resultado da Exploração
Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso
Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão
Insucesso!Permanecer na Base (25)
Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .
Funções Unimodais
O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial.
Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.
O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados.
Funções Multimodais
(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais.
(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes
f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x2
2 + x1 – 7)2
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Senão: reduzir os incrementos
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão: (proximidade do ótimo)
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
'HJ 18JUL90-23MAI96'Executa o Método de Hooke & Jeeves.
'----------------------------------------------------------------------------' Programa Principal'----------------------------------------------------------------------------EscolherUmaBaseDO ExplorarAsVizinhancasDaBase '(Buscando a direção provável do ótimo). IF HouveSucessoEmAlgumaDirecao THEN
ProgredirAteUmInsucesso '(Na direção provável do ótimo). ELSE
IF ChegouAoOtimo THEN EXIT DO ELSE ReduzirTodosOsIncrementos END IFLOOPFinalizar
DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS
EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS
Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação.
Mas exige um procedimento de otimização:
- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas
- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos
Exemplo: Extrator
T oC
W = ??? kgB/h
rafinado
y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x = ??? kgAB/kg A
alimentação
solvente
FO = |x – 0,008|
T oC
W = 3.750 kgB/h
rafinado
y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60
extrato W = 3.750 kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x* = 0,008 kgAB/kg A
alimentação
solvente
Normal
Simulações Sucessivas
Exemplo: Extrator
T oC
W = ??? kgB/h
rafinado
y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h
Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A
To oC
Ts oC
T oCT oC
x = ??? kgAB/kg A
alimentação
solvente
FO = |x – 0,008|
Simulações Sucessivas
1. Q (xo – x) – W y = 02. y – k x = 0
x = Q xo / (Q + k W )
Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000 W = 3.750
Exemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A = 265,6 m2
T 2* = 25 oC
W3 = 44.000 kg/h
T3* = 15 oC
T4* = 30 oC
0
TT
TTln
)TT()TT(.4
0UAQ.3
0)TT(CpWQ.2
0)TT(CpWQ.1
32
41
3241
3433
2111
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A ??T 2
* ???
W3 ??
T3* = 15 oC
T4* = ???
1.T2 = T1 – Q / W1Cp1
2. T4 = T3 + Q / W3Cp3
4. 3. Q – U A = 0
Normal
Simulações Sucessivas
Q
Ciclo!
Exemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A ??T 2
* ???
W3 ??
T3* = 15 oC
T4* = ???
1.T2 = T1 – Q / W1Cp1
2. T4 = T3 + Q / W3Cp3
4. 3. Q – U A = 0
Simulações Sucessivas
Q
Ciclo!
Substituindo 4, 2 e 1 em 3, resulta:
a = T1 – T3b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]1.T2 = T1 – Q / W1Cp1
2. T4 = T3 + Q / W3Cp3
4.
Exemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A ??T 2
* ???
W3 ??
T3* = 15 oC
T4* = ???
a = T1 – T3b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3]1.T2 = T1 – Q / W1Cp1
2. T4 = T3 + Q / W3Cp3
4. Otimização
Por Hooke&Jeeves
0 < A < 1.0000 < W3 < 100.000
FO = |T2 – 25| + |T4 – 30|
REVISÃO DE SEÇÃO ÁUREA
MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL
(b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido).
(a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável.
Hipótese: a Função Objetivo é unimodal
0 1/3 2/3 1
o
o
0 1/3 2/3 1
o
o
Dois experimentos por ciclo
0 11/4 2/4 3/40 11/4 2/4 3/4 0 11/4 2/4 3/4
o
o
oo
o
o
o
o
o
Três experimentos por ciclo
Exemplos (Problemas de Máximo)
intervalos eliminados
intervalos eliminados
0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Casos de eliminação de 50% do intervalo
0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1
o
o
oo
o
o o
o
o
o
o
o
o
o
o
Casos de eliminação de 75% do intervalo
(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cadaiteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida
Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.
Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema.
MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA
Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos.
Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?
Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a:
(a) exibir simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)
(b) permitir a eliminação da mesma fração do intervalo vigente em todas as iterações..
Fi
Fs
LsLi xi xs
Esta fração advém da razão dos lados do Retângulo Áureo (aquele esteticamente perfeito, segundo os gregos)
1
Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor
A razão dos seus lados é /1 =
Removendo-se um quadrado,
1
1-
sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 - ) /
1
1-
O Retângulo Áureo é aquele cuja razão dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivos
61800121
1,
Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo
Retângulo Áureo
1
0,618
0,382
0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618
Assim, a cada remoção de um quadrado o lado maior do retângulo perde 38,2% do seu comprimento ficando reduzido a
61,8% do comprimento anterior.
Retângulo Áureo
1
0,618
0,382
0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618
Após a remoção de N quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,618N do comprimento original.
Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do
comprimento original.
MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA
Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos.
Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a:
(a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls)(b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente.
Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea
Fi
Fs
LsLi xi xs
0,382 0,382
0,618
= Ls – Li
xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382
Algoritmo da Seção Áurea
ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
ConvergiuDelta Tolerância
Problema de Mínimo
Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
Atualiza Tolerância ?Novo Ponto
IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
Fi
LsLi xi xsxi
Fs
LsLi xs
Fi
Fs
LsLi xi xs
Fi
LsLi xi xs
Fs
xs Ls
xi xs
Fi Fs
xi Li
xs xi
Fs Fi
Inicialização
= Ls – Li
xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382
Fi
Fs
LsLi xi xs
0,382 0,382
0,618
EXEMPLO
W1 = 30.000 kg/h
T1 = 100 oC T2 = 50 oC
W3 kg/h ?
T4 oC
A m2 ?
T3= 15 oC
Dimensionamento de um trocador de calor
Cp1 = 1,35 kcal/kg oCCp3 = 1,00 kcal/kg oC U = 0,75 kcal / m2 oC
Modelo
Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica
02111 )TT(CWQ1. p
03433 )TT(CWQ2. p
0 UAQ3.
0
32
41
3241
TT
TTln
)TT()TT(4.
FLUXOGRAMA
W1 = 30.000 kg/h
T1 = 100 oC T2 = 50 oC
W3 kg/h ?
T4 oC
A m2 ?
T3= 15 oC
CT = Ccap + Cutil
480,
cap 4,6
A50)(0,10)(1.3C
Cutil = (8.500)(5x10-5)W3
Avaliação Econômica
CT = Ccap + Cutil480,
cap 4,6
A50)(0,10)(1.3C
Cutil = (8.500)(5x10-5)W3
Modelo Ordenado
U
Q3.A
)TT(CpWQ. 21111
)TT(Cp
QW.
34332
32
41
3241
TT
TTln
)TT()TT(4.
154T
286.875
0,48
4T6535
4T-100ln
4.469TC
Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo
Variável de Projeto: T4
W1 = 30.000 kg/h
T1 = 100 oC T2 = 50 oC
W3 kg/h ?
T4 oC
A m2 ?
T3= 15 oC
Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T4 = 1)
154T
286.875
0,48
4T6535
4T-100ln
4.469TC
PROGRAMA Áurea.bas e Áurea.xls
IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
154T
286.875
0,48
4T6535
4T-100ln
4.469TC
i i i s s sN L x F x F L
2 15 47,47 9.568 67,53 6.287 100 8579,93 5.33967,53 6.2873 47,47 100 52,53
15
Li
100
Lsxi
47,47
xs
67,53
9.568
6.287
Li xi
4 67,53 79,93 5.339 100 32,47
Se Convergiu Então Finalizar
Colocar Novo Ponto
xs
79,93
5.339
Iniciar
Repetir
Eliminar Região
Atualizar Delta
VER PROGRAMA AUREA.XLS
i s s i i sN L x F x F L
2 15 47,47 6776,632 67,53 5073,825 100 8567,53 5073,8253 47,47 79,93 4510,13 100 52,53
87,59 4293,364 67,53 79,93 4510,13 100 32,47
87,59 4293,365 79,93 92,33 4222,96 100 20,0795,26 4224,396 87,59 92,33 4222,96 100 20,4292,33 4222,967 87,59 90,52 4242,09 95,26 12,40
92,33 4222,968 90,52 93,45 4217,68 95,26 7,6693,45 4217,689 92,33 94,14 4217,63 95,26 4,74
94,57 4219,1010 93,45 94,14 4217,63 95,26 2,93
Minimização do Custo do Trocador de Calor
Tolerância: 1,8 oC (1% do intervalo inicial)
T4o = 93,88 Ao = 17 ft2 W3
o = 1.770 lb/h
93,45 94,14 1,1193,88 4217,3211 93,45 94,14 4217,63 94,57 1,8193,88 4217,32