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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA AO PROJETO DE ESTRUTURAS BI E

TRIDIMENSIONAIS

VICTOR MARK PONTES DOS SANTOS

GOIÂNIA 2010


OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA AO PROJETO DE

ESTRUTURAS BI E TRIDIMENSIONAIS

Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Engenheiro Civil.

Orientador: Dra. Sylvia Regina Mesquita de Almeida

GOIÂNIA 2010


OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA AO PROJETO DE

ESTRUTURAS BI E TRIDIMENSIONAIS

Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Engenheiro Civil.

Aprovada em ______ / ______ / ______.

__________________________________________________________

Prof. Dr. Sylvia Regina Mesquita de Almeida (Presidente) Universidade Federal de Goiás

__________________________________________________________

Prof. Dr. Frederico Martins Alves da Silva (Examinador) Universidade Federal de Goiás

__________________________________________________________

Prof. Dr. Zenón José Guzmán Nuñez Del Prado (Examinador) Universidade Federal de Goiás

Atesto que as revisões solicitadas foram feitas:

_______________________________________ Orientador Em: _______ / _______ / _______

Dedico este trabalho aos amigos e familiares mais próximos que me auxiliaram

durante todos os últimos cinco anos de faculdade, principalmente a minha família

que em todo momento esteve sempre comigo. Sem eles este trabalho com certeza

não poderia ser realizado nem eu teria forças para chegar ao final do curso de

engenharia. Por isto este trabalho é dedicado a vocês. Que tenhamos boa sorte!

V. M. P. Santos Agradecimentos

AGRADECIMENTOS

Aproveito para agradecer a todos que me acompanharam e me ajudaram durante

toda minha vida e principalmente os cinco últimos anos.

Agradeço especialmente a toda minha família, a meus pais, Smith, Iraenys, e a

meus quatro irmãos.

Sou grato também aos amigos que conheci na faculdade, principalmente a Caio,

Tarcizio, Gustavo, Rodolfo, Rafael Dias, Tiago, Tyago e Wellington. Acredito que cresci

muito com eles, tanto pessoal como profissionalmente.

Também não posso esquecer dos professores que me deram base para

compreender e aprender sobre a engenharia civil, tornando-se não apenas respeitados colegas

de profissão mas também amigos. Em especial, agradeço aos professores Sylvia, Zenon, Fred,

Renata, Chaer e Ademir

E, por ultimo e de maior importância, meu agradecimento a Deus que nos protege.

V. M. P. Santos Resumo

RESUMO

Os projetos de engenharia buscam sempre estruturas mais eficientes sob determinado aspecto,

seja rigidez, custo, durabilidade etc. Com os equipamentos e ferramentas computacionais

modernos utilizam-se bons métodos de dimensionamento na prática usual de projeto. No

entanto, procedimentos que forneçam soluções ótimas ainda encontram-se em

desenvolvimento ou são utilizados apenas por grandes empresas. Esse trabalho apresenta uma

metodologia baseada no método dos elementos finitos para obtenção da topologia ótima de

estruturas. A otimização de topologia é o ramo da otimização que trata da distribuição de uma

quantidade fixa de material em uma região do espaço a fim de maximizar uma determinada

característica do comportamento estrutural. Neste trabalho essas técnicas são aplicadas a

estruturas em duas e em três dimensões. As variáveis de projeto são as densidades em

pequenas regiões do espaço associadas à malha de elementos finitos. Assim, foram feitas

implementações com densidades constantes em cada elemento ou densidades aplicadas aos

nós do elemento. A função objetivo é a flexibilidade média da estrutura e as restrições são as

equações de equilíbrio do sistema discreto, o volume constante e as restrições laterais que

limitam os valores das variáveis de projeto. Utiliza-se o filtro de sensibilidade de Sigmund

para resolver os problemas de instabilidade numérica característicos da técnica e o critério de

optimalidade como método de otimização. Apresentam-se resultados numéricos em 2D e em

3D que exemplificam a potencialidade da técnica.

Palavras-chave: Otimização de topologia. 2D. 3D. Flexibilidade média.

V. M. P. Santos Lista de Figuras

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Exemplo de solução via OT permitindo densidades intermediárias sem

penalização: ............................................................................................................................. 18

Figura 2.2 - Solução via OT permitindo densidades intermediárias com penalização:. .......... 19

Figura 2.3 – Exemplo de solução em tabuleiro de xadrez:. ..................................................... 23

Figura 2.4 - Exemplo de dependência de malha para a viga em balanço:. .............................. 23

Figura 2.5 – Exemplo de solução em ilhas: ............................................................................ 24

Figura 2.6 – Localização das camadas de variáveis:. .............................................................. 25

Figura 2.7 – Exemplo de solução com duas abordagens:. ....................................................... 26

Figura 2.8 – Região we de influência da variável de projeto yi para a alteração da

sensibilidade analítica c / yi .................................................................................................. 27

Figura 2.9 – Atuação do filtro de sensibilidade na ABE. ......................................................... 28

Figura 2.10 – Fluxograma do procedimento de OT utilizado. ................................................. 29

Figura 3.1 – Tensões atuando em um volume infinitesimal representativo da estrutura

em 3D. ...................................................................................................................................... 31

Figura 3.2 – Tensões atuando em uma área representativa da estrutura em 2D. ...................... 33

Figura 3.3 – Exemplos de elementos finitos: ........................................................................... 35

Figura 3.4 – Numeração dos nós nos sistemas de coordenadas locais dos elementos

utilizados. .................................................................................................................................. 37

Figura 3.5 – Processo de enumeração dos nós da estrutura com geração automática de

malha: ....................................................................................................................................... 38

Figura 3.6 – Graus de liberdade do nó n: ................................................................................. 38

Figura 3.7 – Função de interpolação do nó j:. .......................................................................... 39

Figura 4.1 – Viga analisada no exemplo 1. .............................................................................. 42

Figura 4.2 – Topologias ótimas para as análises do exemplo 1:. ............................................. 43

Figura 4.3 – Viga analisada no exemplo 2 com malha de 120 x 40 e rmin = 1,5

elementos: ................................................................................................................................. 44

Figura 4.4 – Topologias ótimas para as análises do exemplo 2: .............................................. 45


Figura 4.6 – Viga analisada no exemplo 4 com malha de 120 x 40 e rmin = 1,5

elementos: ................................................................................................................................. 46

V. M. P. Santos Agradecimentos


Figura 4.8 – Viga do exemplo 5 com malha de 80 x 50 e rmin = 2,0 elementos: .................... 47

Figura 4.9 – Topologias ótimas para a viga do exemplo 5: ...................................................... 48

Figura 4.10 – Topologias ótimas para a viga do exemplo 5:. ................................................... 48

Figura 4.11 – Viga do exemplo 6: ............................................................................................ 49

Figura 4.12 – resultados das vigas 3D: ..................................................................................... 50

V. M. P. Santos Lista de Abreviaturas e Siglas

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

2D - Duas Dimensões

3D - Três Dimensões

MEF - Método dos Elementos Finitos

OT - Otimização de Topologia

PL - Métodos de Programação Linear

PLS - Métodos de Programação Linear Seqüencial

PM - Métodos de Programação Matemática

PQ - Métodos de Programação Quadrática

PQS - Métodos de Programação Quadrática Seqüencial

SIMP - Solid Isotropic Material with Penalization - Material Sólido Isotrópico com

Penalização

ABE - Abordagem Baseada no Elemento

AVN - Abordagem com Variáveis Nodais

V. M. P. Santos Lista de Símbolos

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolos romanos

B - matriz de compatibilidade discreta;

c - sensibilidade após o Filtro de Sigmund

d - densidade nos nós do elemento;

dist - função que mede a distância entre os pontos i e j;

E - matriz constitutiva elástica;

EF - Elemento Finito;

Es - módulo de elasticidade do material sólido;

Ee - módulo de elasticidade na região e do domínio estendido em função de sua

densidade e;

f - carga que atua em um ponto infinitesimal do volume;

F - o vetor de forças nodais da estrutura;

F - vetor de cargas concentradas nos nós do elemento;

fH - operador do filtro de sensibilidade de Sigmund que estabelece a influência de cada

variável de projeto na correção da sensibilidade analítica;

k - rigidez de um ponto infinitesimal do volume;

K - matriz de rigidez da estrutura;

Ke - matriz de rigidez do elemento e;

KS - matriz de rigidez do elemento para material sólido;

L - função lagrangeana;

Ni - função de interpolação associada ao nó i do elemento;

N - matriz das funções de interpolação;

Nel - número de elementos finitos da malha;

V. M. P. Santos Lista de Símbolos s

NVP - número de variáveis de projeto;

p - coeficiente de penalidade do modelo SIMP;

Q - vetor de cargas distribuídas aplicadas à superfície S do elemento;

rmin - o raio da circunferência ou da esfera centrada na variável de projeto que define a

região we de influência dessa variável no filtro de sensibilidade de Sigmund;

u - deslocamento ocorrido em ponto um infinitesimal do volume;

u - vetor dos deslocamentos em um ponto no interior do elemento;

u - vetor dos deslocamentos nodais do elemento;

iu - deslocamento nodal correspondente ao nó i do elemento;

U - energia de deformação elástica da estrutura;

U - vetor de deslocamentos nodais da estrutura;

Ve - volume do elemento.

tV - volume total da estrutura;

W - trabalho das forças externas;

Símbolos gregos

- tensão transversal;

- vetor das deformações;

inf - vetor dos multiplicadores de Lagrange associados às restrições laterais inferiores

das densidades;

sup - vetor dos multiplicadores de Lagrange associados às restrições laterais superiores

das densidades;

infe - multiplicador de Lagrange associado à restrição lateral inferior da densidade do

elemento e;

V. M. P. Santos Lista de Símbolos s

supe - multiplicador de Lagrange associado à restrição lateral superior da densidade do

elemento e;

vol - multiplicador de Lagrange associado à restrição de volume.

- coeficiente de Poisson do elemento;

- conjunto de elementos finitos do domínio extendido;

e - conjunto de nós pertencentes ao elemento e;

w - conjunto de elementos finitos utilizados na homogeneização de um elemento no

Filtro de Sigmund;

e - densidade de cada elemento;

min - menor valor de densidade que o elemento pode assumir;

- vetor das tensões;

- tensão normal;

- tensão cisalhante;

Símbolos matemáticos

- o operador diferencial matricial;

- derivada parcial.

V. M. P. Santos sumário

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 13

1.1. OBJETIVOS ................................................................................................................ 15

1.2. ORGANIZAÇAÕ DO TEXTO .................................................................................. 15

2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA ................. 13

2.1. O MODELO SIMP ..................................................................................................... 15

2.2. FORMULAÇÃO TRADICIONAL DO PROBLEMA DISCRETO VIA

METODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................................................ 19

2.3. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E CRITÉRIO DE OPTIMALIDADE ............... 21

2.4. INSTABILIDADES NUMÉRICAS ............................................................................ 22

2.5. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA COM USO DE VARIÁVEIS NODAIS

2.6. FILTRO DE SENSIBILIDADE DE SIGMUND ....................................................... 24

2.7. PROCEDIMENTO DE OTIMIZAÇÃO ................................................................... 26

3. FORMULAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DOS PROBLEMAS BI E

TRIDIMENSIONAL .................................................................................................. 29

3.1. EQUAÇÕES GERAIS DA ELASTICIDADE ........................................................... 31

3.2. ANÁLISE PELO MEF ................................................................................................. 34

3.2.1. Sistemas de coordenadas e sistemas de numeração nodal ................................. 36

3.2.2. Funções de interpolação ........................................................................................ 38

3.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO ............................................................... 40

3.4. FLEXIBILIDADE MÉDIA DA ESTRUTURA ........................................................ 41

4. RESULTADOS ............................................................................................................. 42

4.1. EXEMPLO 1 ............................................................................................................... 42

4.2. EXEMPLO 2 ................................................................................................................ 43

4.3. EXEMPLO 3 ................................................................................................................ 45

4.4. EXEMPLO 4 ................................................................................................................ 46

4.5. EXEMPLO 5 ................................................................................................................ 47

4.6. EXEMPLO 6 ................................................................................................................ 48

5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES ................................................................................ 51

5.1. OBJETIVOS ................................................................................................................ 53

V. M. P. Santos Capítulo 1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Popularmente, otimização pode ser encarada como o ato corriqueiro de realizar

tarefas com a maior eficiência possível. No campo técnico, é a parte da ciência que trata da

busca sistemática pela melhor solução para um problema, baseada em modelos matemáticos

obedecendo a condições impostas. As técnicas de otimização podem ser empregadas em

várias áreas da ciência como, por exemplo, economia, física, engenharias, entre outras.

Na formulação de um problema de otimização, é necessário estabelecer quais as

grandezas sofrerão variações durante o processo, denominadas variáveis de projeto, e quais

permanecerão constantes, denominadas parâmetros de projeto. É necessário também

estabelecer o critério pelo qual a qualidade da solução é julgada, podendo ser produtos mais

econômicos, mais densos, mais rígidos etc., denominado função objetivo. Por fim, também é

necessário que se delimite quais são as soluções que atendem às condições impostas pelo

problema, por exemplo, o atendimento às equações de equilíbrio e de compatibilidade, às

condições construtivas etc. Essas condições são denominadas restrições e separam as

soluções possíveis em viáveis e não viáveis, delimitando a região viável do problema.

A qualidade dos projetos de estruturas tem grande dependência tanto do

conhecimento quanto da experiência do engenheiro que o elabora. O refinamento das técnicas

de análise e o aumento da capacidade de processamento dos computadores contribuíram para

a melhoria dos projetos, fazendo com que diversas soluções possíveis possam ser exploradas

em um espaço de tempo razoável. Ainda assim, nem todas as soluções possíveis são avaliadas

e, dada a aleatoriedade da busca pela melhor solução, dificilmente a solução adotada é a

solução ótima do problema. A otimização é uma técnica científica que visa à obtenção da

melhor solução do problema sem que seja necessário avaliar todas as soluções possíveis, mas

garantindo que a solução encontrada seja a ótima.

As técnicas de otimização estrutural podem ser decompostas em três tipos,

otimização paramétrica, otimização de forma e otimização de topologia. A diferença se

encontra na abordagem e no campo de atuação de cada técnica. Na otimização paramétrica

as variáveis de projeto são parâmetros que definem as características da estrutura. A forma

mais comum de otimização paramétrica é a otimização de dimensões, como a altura, a largura

Otimização de topologia aplicada a estruturas bi e tridimensionais 14


ou a espessura da peça (ver FALCO, 2000). No entanto, outros parâmetros podem ser

tomados como variáveis de projeto como a armadura em seções de concreto

armado(EBOLI, 1989) ou as coordenadas de cabo em estruturas

protendidas(ALMEIDA, 2001), entre outros e, ou ainda uma combinação de parâmetros e

dimensões (ALMEIDA, 2004). A otimização de forma busca obter o melhor contorno da

estrutura, seja interno ou externo. Geralmente são utilizadas curvas específicas que

representam o formato da peça (em geral são usadas as curvas spline). Em alguns casos, se

usa uma combinação de parâmetros e forma, como feito por Melo (2000) para otimização de

pórticos de concreto armado.

A otimização de topologia (OT), objeto de estudo deste trabalho, é a parte da

otimização voltada para a obtenção da distribuição ótima de material em uma região do

espaço denominada domínio estendido (BENDSØE; SIGMUND, 2003). Para tanto, busca

maximizar ou minimizar uma qualidade estrutural escolhida pelo projetista, mantendo o

volume de material constante e pré-determinado e atendendo às condições de equilíbrio. No

âmbito da indústria, o problema pode ser formulado para que, além das restrições citadas, a

solução também atenda as condições de manufatura, como a necessidade de furos, a

imposição de simetria ou de repetições de padrão. Isso é particularmente importante na

fabricação de elementos pré-moldados na construção civil.

Os métodos empregados para solução de problemas de otimização dividem-se em

dois grandes grupos: métodos de programação matemática (PM) e métodos heurísticos. Os

métodos de PM baseiam-se na teoria de mínimos de funções e necessitam de uma formulação

matemática que possibilite a análise de sensibilidade, ou seja, a obtenção das derivadas da

função objetivo e das restrições em relação às variáveis de projeto. Esses métodos são

geralmente mais eficientes do ponto de vista de custo computacional, mas necessitam de um

embasamento teórico que nem sempre é simples ou possível de ser desenvolvido. Como

exemplo destes métodos podem ser citados o critério de optimalidade, os métodos de

programação linear (PL) ou de programação quadrática (PQ). São também amplamente

aplicados métodos que envolvem aproximações sucessivas do problema original em um

problema equivalente, de PL ou de PQ, e sua solução de forma seqüencial. Nessa categoria

estão os métodos de programação linear seqüencial (PLS), de programação quadrática

seqüencial (PQS).



Os métodos heurísticos são freqüentemente inspirados na observação da natureza

e não têm comprovação matemática formal, mas fornecem bons resultados. Geralmente são

de mais fácil implementação, porém requerem maior esforço computacional. Como exemplo,

podem ser citados os algoritmos genéticos, baseados na teoria de evolução de Darwin, as

redes neurais, baseadas na forma de aprendizagem e na rede de neurônios do cérebro dos

animais, e o método de Branch and Bound, baseado no crescimento de árvores e no processo

de jardinagem.

1.1. OBJETIVOS

O objetivo deste trabalho é a implementação computacional da técnica de

otimização de topologia para estruturas bidimensionais e tridimensionais. O problema

analisado tem como objetivo a maximização da rigidez e utiliza o critério de optimalidade

como algoritmo de otimização. Para tanto foram implementados códigos utilizando a

linguagem de programação do MATLAB® e em C.

1.2. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO

Este trabalho está organizado em cinco capítulos como segue. No primeiro

capítulo é apresentada uma introdução ao tema.

No segundo capítulo são apresentados os conceitos básicos sobre otimização de

topologia e o modelo utilizado para representação física e matemática do problema. Também

são apresentados nesse capítulo os principais problemas de instabilidade numérica

relacionados com a técnica e o principal esquema de regularização utilizado para contorná-

los.

No terceiro capítulo são apresentadas a formulação matemática e o

equacionamento do problema de otimização de topologia em 3D visando à obtenção da

estrutura mais rígida possível.

No quarto capítulo serão mostrados alguns resultados obtidos com a

implementação computacional feita neste trabalho.

O quinto capítulo apresenta as conclusões finais do trabalho e as sugestões para

trabalhos futuros.


CAPÍTULO 2

CONCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE

TOPOLOGIA

Este capítulo apresenta os conceitos básicos sobre otimização de topologia.

Apresenta-se o problema de otimização e suas restrições, assim como os fundamentos

relacionados com o modelo de distribuição de materiais. A técnica é sujeita a instabilidades

numéricas como a formação de soluções em tabuleiro de xadrez ou em ilhas e a dependência

de malha. Apresentam-se então alguns métodos corretores para evitar problemas de

instabilidade numérica. Por fim, apresenta-se o método de otimização adotado.

Tradicionalmente o problema de OT é formulado como um problema de

distribuição de material no qual cada ponto do domínio representa uma região cheia de

material ou uma região vazia. O problema mais comumente abordado em OT é o de

maximização da rigidez da estrutura, que corresponde à minimização de sua flexibilidade

média. A quantidade de material a ser distribuída no domínio estendido é mantida constante

durante o processo, havendo apenas a redistribuição dos materiais. Deve-se atender ainda

implicitamente às equações de equilíbrio da estrutura. Há ainda as restrições que impõem que

as variáveis assumam valores 0 ou 1, onde 0 representa a ausência de material e 1 a presença

de material. Assim, o problema de minimização de flexibilidade é representado em (2.1).

1

0

c

e

t

e

e

e

ukf

Vdv

dvuf

e

e

(2.1)

Onde:

c - é a flexibilidade média da estrutura;

f - é a carga que atua em um ponto infinitesimal do volume;

u - é o deslocamento ocorrido em ponto um infinitesimal do volume;

k - é a rigidez de um ponto infinitesimal do volume;



e - é a densidade de material no ponto infinitesimal;

e - é o domínio estendido;

tV - é o volume total da estrutura.

O problema como apresentado em (2.1) é mal posto e não apresenta solução no

campo contínuo (SIGMUND; PETERSSON, 19981 apud BENSØE; SIGMUND, 2003).

Soluções podem ser obtidas por meio de uma relaxação na abordagem vazio - cheio. Nesse

âmbito, destacam-se o método de homogeneização proposto por Bensøe e Kikuchi2 (1988,

apud BENSØE; SIGMUND, 2003) e o modelo SIMP (Solid Isotropic Material with

Penalization), proposto por Bensøe3 (1989, apud BENSØE; SIGMUND, 2003). A

implementação realizada neste trabalho é baseada no modelo SIMP e é apresentada a seguir.

2.1. O MODELO SIMP

Em OT é necessário um modelo que relacione a densidade de material em

determinada região do domínio estendido à rigidez. O primeiro modelo avaliado para tanto foi

o modelo binário, no qual a densidade relativa, definida como a relação entre a quantidade de

material e o volume, assume valor 1, para material sólido, ou valor 0, para vazio, sem valores

intermediários. O uso de técnicas de programação discreta para resolver este tipo de problema

não converge para uma solução única. Para contornar o problema foram desenvolvidas

técnicas que promovem uma relaxação na abordagem 0-1, permitindo que a densidade relativa

varie continuamente entre 0 e 1. A forma mais simples de relaxação consiste em relacionar a

densidade do elemento e à propriedade do material que confere rigidez, no caso o módulo de

elasticidade, como mostra a equação (2.2). Esse procedimento resulta em soluções

indesejáveis por apresentar uma quantidade considerável de elementos com densidades

intermediárias (Figura 2.1), tornando-se inviável do ponto de vista construtivo.

Seee EE (2.2)

1 SIGMUND, O.; PETERSSON, J. Numerical instabilities in topology optimization: a survey on procedures dealing with checkerboard, mesh-dependence and local minima. Structural Optimization Berlin, vol 16, n 1, pp :68–75, 1998. 2 BENDSØE M. P.; KIKUCHI N Generating optimal topology in structural design using a homogenization method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, North Holland, vol 71, pp 197–224, 1988 3 BENDSØE, M.P. Optimal shape design as a material distribution problem. Structural Optimization. Berlin, vol 1, n 4, 193–202, 1989.



Onde:

e - - é a densidade relativa na região e do domínio estendido;

Es - é o módulo de elasticidade do material sólido;

Ee - é o módulo de elasticidade na região e do domínio estendido e em função de sua

densidade e.

(a)

(b)

(c)

Figura 2.1 – Exemplo de solução via OT permitindo densidades intermediárias sem penalização: (a) Domínio

estendido, condições de apoio e de carregamento de uma viga em balanço; (b) Solução inicial do problema de

OT; (c) Solução final do problema de OT sem penalização.

O modelo SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization - Material Sólido

Isotrópico com Penalização) propõe a introdução de um coeficiente de penalização p sobre a

densidade, como mostra a equação (2.3). Esse procedimento torna as soluções com

densidades intermediárias desfavoráveis do ponto de vista da otimização (BENDSØE;

KIKUCHI, 19884, apud BENSØE; SIGMUND, 2003).

Sp

eee EE (2.3)

O coeficiente p em (2.3) torna as soluções com densidades intermediárias

desfavoráveis. O método de otimização escolherá como mais vantajosa a utilização de

densidades próximas de zero e de um, pois as densidades intermediárias acarretarão pouco

ganho de rigidez para grande variação de densidade. Densidades próximas de um sofrem

pouco efeito da penalização e garantem maior ganho de rigidez. Embora densidades próximas

de zero não apresentem nenhuma contribuição à rigidez, também não há gasto de material.

Assim, o algoritmo naturalmente abandona essas soluções e privilegia as densidades 0 ou 1,

resultando em uma topologia final do tipo vazio-sólido, embora densidades intermediárias

tenham sido admitidas durante o processo de otimização (Figura 2.2)

4 Idem 2

5

8



(a)

(b)

(c)

Figura 2.2 – Solução via OT permitindo densidades intermediárias com penalização: (a) Solução inicial;

(b) Solução inicial intermediária; (c) Solução final.

2.2. FORMULAÇÃO TRADICIONAL DO PROBLEMA DISCRETO

VIA METODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O modelo matemático utilizado neste trabalho para obtenção do campo de

deslocamentos é o Método dos Elementos Finitos (MEF), o qual consiste na discretização da

estrutura em um número finito de elementos. Trata-se de um método discreto e aproximado

cujas variáveis são os deslocamentos nodais da estrutura. Tensões e deslocamentos no interior

do elemento são descritos em função dos deslocamentos nodais através de funções de

interpolação. O problema é formulado de forma a se obter o sistema de equações (2.4), que

representa as equações de equilíbrio discretas do problema.

UKF ˆˆ (2.4)

Onde:

U - é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura;

F - o vetor de forças nodais da estrutura;

K - é a matriz de rigidez da estrutura.

No caso da OT, o domínio estendido é discretizado em uma malha de elementos

finitos. Assim, na abordagem tradicional a região do domínio e é o próprio elemento. O

modelo SIMP (equação 2.3) estabelece que a propriedade mecânica que confere rigidez ao

material depende de sua densidade. Assim, a matriz de rigidez Ke de um elemento com

densidade e pode ser calculada em função da matriz de rigidez para material sólido KS.



Sp

eee KK (2.5)

A matriz de rigidez da estrutura K pode ser escrita como apresentada em (2.6).

Ressalta-se que o somatório apresentado em (2.6) não se refere a um somatório matemático

simples, mas envolve uma operação de montagem das contribuições dos elementos,

característica do MEF.

Nel

ee

1

KK (2.6)

Da equação (2.5), vê-se que elementos com densidade nula não apresentam

rigidez e este fator gera um sistema de equações (2.4) instável. Assim, as implementações via

MEF utiliza-se um limite inferior próximo, mas diferente de zero, min, com o principal

objetivo de impedir a divisão por zero na solução do sistema de equações.

No problema de OT abordado neste trabalho, as variáveis de projeto são as

densidades e de cada elemento. Assim, o problema de minimização de flexibilidade em sua

forma discreta é representado em (2.7).

1

1

ˆˆSujeito

ˆˆminimizeQue

Obter

min

1

e

Nel

e t

ee

T

V

Va

c

FUρK

UF

ρ

(2.7)

Onde:

c - é a flexibilidade média;

e - é a densidade de material do elemento

Ve - é o volume do elemento;

Vt - é o volume da estrutura;

Nel - é o numero de elementos finitos.

A equação (2.4) presente no problema (2.7) é uma restrição indireta do problema.

É utilizada para se obter o campo de deslocamentos, mas não é utilizada diretamente pelo

algoritmo de otimização. Mais detalhes sobre a implementação computacional no problema

de OT são apresentadas no Capítulo 3 deste trabalho.



2.3. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E CRITÉRIO DE

OPTIMALIDADE

A análise de sensibilidade é o cálculo das derivadas da função objetivo e das

restrições em relação às variáveis de projeto. As restrições diretas do problema de otimização

(2.7), representadas em (2.8) e (2.9), fornecem gradientes triviais (0 ou -1).

t

Nel

eee VV

1

(2.8)

1 emín (2.9)

Já a restrição indireta (2.2) interfere no cálculo da sensibilidade da função

objetivo, pois esta é função de U que depende de e via (2.4). Considerando-se (2.5), a

função objetivo se transforma em:

Nel

ee

Te

pe

1

T ˆˆc UKUUF S (2.10)

Segundo Bendsøe e Sigmund (2003), a sensibilidade da função objetivo (2.10) em

relação à variável de projeto e, levando-se em conta a equação de equilíbrio (2.4),é dada por:

eT

ep

ee

p UKU S1c

(2.11)

No caso em que as variáveis de projeto são variáveis nodais, há duas camadas de

variáveis: as variáveis de projeto (densidades nos nós dos elementos, dn); e as densidades

usadas na análise pelo MEF (densidades no interior do elemento, e). Nesse caso, a

sensibilidade em relação às variáveis de projeto são dadas pela equação (2.13).

O algoritmo de otimização adotado neste trabalho deriva do critério de

optimalidade, o qual consiste na minimização da função Lagrangeana do problema (2.7),

apresentada em (2.12).

N

ee

eN

ee

eN

e

eevol

Tvol

Vol

v

cλL

1mininf

1sup

1

11

ˆˆ,,,,

FUρKλρλλλρ eqinfsupeq

(2.12)



Onde:

eq - é vetor dos multiplicadores de Lagrange associados à equação de equilíbrio;

inf - é o vetor dos multiplicadores de Lagrange associados às restrições laterais

inferiores das densidades;

sup - é o vetor dos multiplicadores de Lagrange associados às restrições laterais

superiores das densidades;

infe - é o multiplicador de Lagrange associado à restrição lateral inferior da densidade do

elemento e;

supe - é o multiplicador de Lagrange associado à restrição lateral superior da densidade do

elemento e;

vol - é o multiplicador de Lagrange associado à restrição de volume.

A equação de equilíbrio (K U = F) é sempre respeitada na análise via MEF. Se o

método escolhido para a atualização das variáveis respeitar as restrições laterais, pode-se

afirmar que a remoção dessas não afeta o valor ótimo encontrado. Assim, simplificando-se a

expressão (2.12), tem-se:

N

e

eevolvol Vol

vcL

1

1, ρρ (2.13)

O critério de optimalidade implementado neste trabalho consiste basicamente em

um método minimização da equação (2.13) semelhante ao método da bisseção e pode ser

encontrado em detalhes em Bendsøe e Sigmund (2003).

2.4. INSTABILIDADES NUMÉRICAS

A OT freqüentemente pode apresentar instabilidades numéricas tais como a

solução em tabuleiro de xadrez, soluções em ilhas e dependência de malha. A solução em

tabuleiro de xadrez consiste na alternância lado a lado de elementos cheios e vazios

(Figura 2.3). Tal solução é indesejável por apresentar uma falsa rigidez. Numericamente, o

algoritmo de otimização entende ser esta uma boa solução, mas sabe-se que elementos ligados

apenas por um nó possuem localmente pequena resistência e rigidez.

Otimi

V. M.

Fi

ótim

como

objet

p intr

F

totalm

anter

ização de topo

P. Santos

igura 2.3 – Ex

c

Qua

a. No entan

o mostra a

tivo (2.10) a

roduzido pe

Figura 2.4 - Ex

(b) Solução

A s

mente chei

rior, tal solu

ologia aplicad

(a)

xemplo de solu

carregamento

ando se utili

nto há caso

Figura 2.4

apresentar m

elo modelo

c = 39,919

(a)

c = 41,752

(c)

xemplo de dep

para malha 6

solução em

ios circund

ução é indes

da a estruturas

ução em tabul

de uma viga

iza a OT es

os em que,

para a estru

múltiplos m

SIMP.

92

21

pendência de m

60 x 40; (c) So

m ilhas con

dados por e

sejável por a

s bi e tridimen

leiro de xadre

em balanço; (

spera-se qu

o refiname

utura da Fi

mínimos loca

malha para a v

olução para ma

nsiste na o

elementos

apresentar u

nsionais

z: (a) Domíni

(b) Solução em

e o otimiza

ento da mal

gura 2.3(a).

ais devido à

viga em balan

alha 90 x 60; (

obtenção re

vazios (Fig

uma falsa ri

(b)

o estendido, c

m tabuleiro de

ador apresen

lha conduz

. Tal se dá

à presença d

c = 41,2

(b)

c = 42,4

(d)

nço: (a) Soluçã

(d) Solução p

egiões comp

gura 2.5). A

gidez.

)

condições de a

e xadrez.

nte uma ún

a soluções

pelo fato d

do fator de p

2144

)

4307

)

ão para malha

ara malha 120

postas por

Assim com

23

Capítulo 5

apoio e de

ica solução

diferentes,

de a função

penalização

a 30 x 20;

0 x 80.

elementos

mo no caso

3

o

,

o

o

s

o



(a) (b)

Figura 2.5 – Exemplo de solução em ilhas: (a) Domínio estendido, condições de apoio e de carregamento de uma

viga em balanço; (b) Solução em ilhas.

2.5. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA COM USO DE VARIÁVEIS

NODAIS

A abordagem com variáveis nodais resultou da busca por técnicas alternativas que

resolvessem os problemas de instabilidade numérica característicos da OT. Realmente a

abordagem propicia uma diminuição da ocorrência de soluções em tabuleiro de xadrez. No

entanto, esse problema não é totalmente eliminado, permanecendo a necessidade de se utilizar

esquemas de regularização. Atualmente a técnica é utilizada apenas como uma inicialização

ao aprendizado de outras abordagens e será apresentada neste trabalho por essa característica

didática.

Na Abordagem com Variáveis Nodais (AVN) dissociam-se os conceitos de

variáveis de projeto e de densidades usadas na análise via MEF, criando duas camadas de

variáveis, uma dependente da outra, porém distintas. As variáveis de projeto são densidades

medidas nos nós d da malha de elementos finitos, enquanto que na análise via MEF, utiliza-se

um valor único de densidade por elemento. A proposta mais simples para a relação entre as

variáveis de projeto e a densidade no elemento é a média das densidades nos seus nós,

correspondendo à equação (2.14), no caso 2D e à equação (2.15) no caso tridimensional.

ei

ie d4

1 (2.14)

ei

ie d8

1 (2.15)

Onde:

e - é o valor representativo da densidade do elemento;



di - é a densidade nos nós do elemento;

e - é o conjunto de nós pertencentes ao elemento e.

A Figura 2.6 apresenta a representação esquemática dos pontos onde se localizam

as duas camadas de variáveis.

(a) (b)

Nó da malha de EF.

Variável de projeto.

Densidade usada na análise via MEF.

Figura 2.6 – Localização das camadas de variáveis: (a) na ABE; (b) na AVN.

Observa-se que um mesmo nó pode estar ligado a mais de um elemento. Para se

calcular a sensibilidade da flexibilidade média em relação a um nó utiliza-se a regra da cadeia.

je j

e

ej dd

cc

(2.16)

Onde j é o conjunto de elementos finitos da estrutura conectados ao nó j.

Considerando-se as equações (2.14) e (2.15), tem-se :

4

1

j

e

d

(2.17)

8

1

j

e

d

(2.18)

Onde a equação (2.17) refere-se ao caso 2D e a equação (2.18) ao caso 3D. Substituindo-se

(2.17) ou (2,18), conforme o caso, e (2.11) em (2.16) obtém-se:



jeS

Tppd ee UKU1

ej 4

1c (2.19)

jeS

Tppd ee UKU1

ej 8

1c (2.20)

Onde a equação (2.19) refere-se ao caso 2D e a equação (2.20) ao caso 3D.

A Figura 2.7 apresenta resultados para a OT da estrutura da Figura 2.3(a) obtidos

com emprego de malha de 80x50 elementos, utilizando-se Abordagem Baseada no

Elemento (ABE) e Aborgadem com Variáveis Nodais (AVN). Observa a diminuição da

ocorrência de soluções em tabuleiro de xadrez com o uso da AVN, sem, no entanto, lograr

êxito em relação à total eliminação. Assim, permanece a necessidade de se utilizar esquemas

de regularização.

(a)

(b)

Figura 2.7 – Exemplo de solução com duas abordagens: (a) Solução usando ABE; (b) Solução usando AVN.

2.6. FILTRO DE SENSIBILIDADE DE SIGMUND

Para evitar soluções como as apresentadas nas Figuras 2.3 a 2.5, é necessário

introduzir algum esquema de regularização. O esquema mais conhecido é o filtro de

sensibilidade proposto por Sigmund (SIGMUND, 2001), que propõe um método heurístico de

homogeneização das sensibilidades, de forma a evitar variações bruscas em seus valores. Para

isso, altera-se a sensibilidade analítica da função objetivo em relação a cada variável de

projeto através de uma média ponderada com os valores das sensibilidades em relação às

variáveis de projeto próximas.

Seja yi a variável de projeto para a qual se deseja corrigir a sensibilidade analítica

da função objetivo expressa por c/yi. Na ABE, yi é igual a i, já na AVN, yi é igual a di.

Define-se assim, para cada variável yi a região de vizinhança wi, como mostra a Figura 2.8.

Para isso define-se que os pontos vizinhos da variável de projeto yi que influem na



sensibilidade c / yi são os que se encontram dentro da região de vizinhançawi formada por

um círculo, no caso 2D, ou de uma esfera, no caso 3D, centrado no ponto de medição da

variável de projeto e raio predeterminado rmin.

(a) (b)

Figura 2.8 – Região we de influência da variável de projeto yi para a alteração da sensibilidade analítica c / yi:

(a) ABE – yi = ri; (b) AVN – yi = di.

A nova sensibilidade será então dada por:

jj

NVP

jjNVP

jji

i y

cyH

Hyy

c

1

1

ˆˆ

1ˆ (2.21)

Onde:

i - indica o ponto de medição da variável de projeto yi, relacionada à sensibilidade

c / yi que se deseja corrigir;

j - indica os pontos de medição das variáveis de projeto inclusas na região wi

centrada na variável de projeto yi;

NVP - indica o número de variáveis de projeto;

jyc - é a sensibilidade analítica da função objetivo c em relação à variável de projeto yj;

dada por (2.11), no caso da ABE, ou por (2.19) ou (2.20), no caso da AVN;

iyc ˆ - é a sensibilidade corrigida da função objetivo c em relação à variável de projeto yi;

fH - é o operador que estabelece a influência de cada variável de projeto yj na correção

da sensibilidade analítica c / yi.

w

i

j

w

i

j

Otimi

V. M.

Na e

Send

dist

rmin

repre

enqu

de 24

xadre

AVN

F

(c) R

sensi

real

ização de topo

P. Santos

quação (2.2

j{

do:

- uma

- o rai

regiã

A a

esenta a solu

uanto (d) rep

40 x 40, util

ez como a

N.

Figura 2.9 – A

carregament

Resultado obti

Ress

ibilidade de

é dado por

ologia aplicad

21), o opera

i

distNVP

rH j

,1

ˆmin

a função que

io da circun

ão we de in

atuação do

ução sem fi

presenta a s

lizando a A

dependênci

(b)

(c)

Atuação do filtr

to de uma viga

do com filtro,

240 x 40; (c)

salta-se que

e Sigmund r

rmin multip

da a estruturas

ador jH é d

NVP

rjit

jidist

,

}),(

),(

min

e mede a dis

nferência ou

nfluência de

filtro de

iltro e (c) a

olução sem

ABE. Verific

ia de malha

ro de sensibili

a em bi-apoiad

, rmín = 1,5 com

) Resultado ob

e, na imple

refere-se ao

plicado pela

s bi e tridimen

dado por:

},

stância entr

u da esfera

essa variáve

sensibilidad

solução com

m filtro e (e)

ca-se que o

a. Obtêm-se

(a)

idade na ABE

da; (b) Result

m malha 120 x

btido com filtr

ementação r

o número de

a dimensão

nsionais

re os pontos

centrada na

el.

de é repres

m filtro, am

a solução c

filtro elimin

e resultados

E: (a) Domínio

tado sem filtro

x 20; (D) Resu

ro, rmín = 3,0 c

realizada n

e elementos

do element

s i e j;

a variável d

sentada na

mbas para um

com filtro, a

na tanto a so

s semelhant

(d)

(e)

o estendido, co

o (rmín = 1,0) c

ultado sem fil

com malha 24

neste trabalh

s abrangido

to. Para qu

de projeto q

Figura 2.9

ma malha d

ambas para

olução em t

tes quando

)

)

ondições de ap

com malha 12

ltro (rmín = 1,0

40 x 40.

ho o raio d

s na região

ue o procedi

28

Capítulo 5

(2.22)

que define a

9, onde (b)

de 120 x 20,

uma malha

tabuleiro de

se utiliza a

poio e de

0 x 20;

0) com malha

do filtro de

wi, o raio

imento seja

8

)

a

)

,

a

e

a

e

o

a



independente da malha, o raio do esquema de regularização deve se referir à mesma porção

do domínio estendido. Assim, nas implementações realizadas neste trabalho, ao se multiplicar

o número de elementos da malha por um coeficiente n, multiplica-se também o valor de rmín.

2.7. PROCEDIMENTO DE OTIMIZAÇÃO

O processo geral de otimização consiste basicamente em três etapas: obtenção da

função objetivo e das restrições para o conjunto de variáveis correntes; análise de

sensibilidade; e aplicação do critério de otimização para obtenção de novo conjunto de

variáveis de projeto. No caso de OT aplicada ao problema de minimização de flexibilidade,

não é necessário calcular separadamente as restrições do problema ou sua sensibilidade em

relação às variáveis de projeto, pois seu cálculo é trivial e é feito dentro do algoritmo de

otimização. Então, o processo pode ser descrito pelo fluxo de procedimentos mostrado na

Figura 2.10. A partir de um conjunto de densidades pré-estabelecidas faz-se a análise via

MEF para obtenção dos deslocamentos nos nós dos elementos; calcula-se a flexibilidade

média da estrutura e a sensibilidade da função objetivo em relação às variáveis de projeto;

altera-se a sensibilidade analítica com uso de um esquema de regularização, no caso deste

trabalho o filtro sensibilidade de Sigmund; aplica-se o algoritmo de otimização, no caso deste

trabalho critério de optimalidade, para obtenção de um novo conjunto de variáveis de projeto,

de maneira que seu somatório obedeça à fração de volume adotada; verifica-se se o critério de

convergência foi atingido. O procedimento se repete até que a condição de parada seja

satisfeita.

Figura 2.10 – Fluxograma do procedimento de OT utilizado.

inicialização

Análise via MEF

Aplicação de filtros de correção

Critério de otimização

Não

con

verg

e

Solução ótima



O fluxo de procedimentos apresentado na Figura 2.10 aplica-se tanto à ABE

quanto à AVN.


CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DOS PROBLEMAS BI

E TRIDIMENSIONAL

Neste capítulo serão apresentados os conceitos relativos à análise de estruturas

pelo Método dos Elementos Finitos (MEF) e os detalhes das implementações computacionais

realizadas para obtenção dos resultados apresentados no Capítulo 4. Apontar-se-á o sistema de

coordenadas e de enumeração escolhido na representação dos elementos finitos bi-

dimensionais e tri-dimensionais e em seguida serão expostas as funções de interpolação

linear, compatibilidade e constitutivas do material para compor o cálculo da matriz de rigidez

dos elementos retangulares e hexaédricos.

3.1. EQUAÇÕES GERAIS DA ELASTICIDADE

Os problemas de análise de tensões e deformações no regime elástico linear em

três dimensões envolvem a determinação de seis componentes de tensão e seis componentes

de deformação. A Figura 3.1 representa as tensões em um elemento infinitesimal da estrutura

e as expressões (3.1) e (3.2) representam as componentes de tensão e de deformação,

respectivamente, em qualquer ponto da estrutura de coordenadas (x, y, z), escrita em forma

matricial.

Figura 3.1 – Tensões atuando em um volume infinitesimal representativo da estrutura em 3D.

y

y

xx

yzyx

xz

xy

z

zyzx

xz

xy

yxyz



xy

xz

yz

z

y

x

zyx

),,(σ (3.1)

xz

yz

xy

z

y

x

ε

ε

ε

zyx

),,(ε (3.2)

A relação tensão x deformação depende das propriedades físicas do material e, no

caso de materiais com comportamento elástico linear, pode ser representada genericamente

pela expressão matricial (3.3). A matriz E é denominada matriz constitutiva elástica é dada

pela expressão (3.4).

εEσ (3.3)

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

211

E

E (3.4)

No caso em que a hipótese de pequenas deformações e de pequenos

deslocamentos é atendida, a relação entre deformações e deslocamentos em um ponto

qualquer de coordenadas (x, y, z) é expressa pela equação matricial (3.5), denominada

equação de compatibilidade entre deformações e deslocamentos. No caso tridimensional o

operador diferencial é dado por (3.6).

uε (3.5)



xz

yz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

(3.6)

No caso bidimensional, as tensões importantes para a análise se reduzem a três e o

vetor de tensões é expresso por (3.7) e o das deformações por (3.8).

Figura 3.2 – Tensões atuando em uma área representativa da estrutura em 2D.

xy

y

x

yx

),(σ (3.7)

xy

y

x

ε

ε

yx

),(ε (3.8)



Para estruturas em estado plano de tensões, há deformações z, mas a mesma pode

ser calculada a partir das deformações x e y, não sendo portando necessária no

equacionamento do problema. A matriz constitutiva elástica fica então reduzida à forma

apresentada em (3.9) e o operador diferencial se reduz ao apresentado em (3.10).

2

2100

01

01

1 2

E

E (3.9)

xy

y

x

0

0

(3.10)

As equações (3.1) a (3.10) referem-se a sistemas contínuos, ou seja, são válidas

em qualquer ponto de coordenadas (x, y, z), no caso tridimensional, ou de coordenadas (x, y),

no caso bidimensional.

3.2. ANÁLISE PELO MEF

A análise desenvolvida neste trabalho baseia-se no Método dos Elementos Finitos

(MEF), um método para análise de sistemas discretos, em sua formulação em deslocamentos.

Esse tipo de análise é utilizada em casos em que a descrição do comportamento global da

estrutura com uso de equações genéricas como as apresentadas de (3.1) a (3.10) se torna

muito complexo e de difícil solução. Nesse caso, descreve-se o contínuo por um conjunto de

elementos, os quais representam partições do mesmo, e descreve-se o campo de

deslocamentos em qualquer ponto no interior do elemento em função dos deslocamentos em

pontos discretos denominados nós. A Figura 3.3 apresenta os dois elementos finitos utilizados

neste trabalho: um elemento plano quadrangular com 4 (quatro) nós, denominado Q4, usado

nas análises bidimensionais; e um elemento hexaédrico com 8 (oito) nós, denominado H8,

usado nas análises tridimensionais.



(a) (b)

Figura 3.3 – Exemplos de elementos finitos: (a) elemento quadrangular com 4 nós para problemas

bidimensionais (Q4); (a) elemento hexaédrico com 8 nós para problemas tridimensionais (H8).

Assim, o campo de deslocamentos no interior do elemento pode ser descrito com

a utilização de funções de interpolação Ni e a partir dos deslocamentos nodais iu do elemento

como mostra a expressão (3.11), que também pode ser apresentada na forma matricial (3.12).

NNEL

iii uzyxNzyxu

1

ˆ,,,, (3.11)

uNu ˆ (3.12)

Substituindo a expressão do campo de deslocamentos discretizado (3.12) na

relação de compatibilidade (3.5), tem-se a equação de compatibilidade do sistema discreto.

uBε ˆ (3.13)

Onde B é a chamada matriz de compatibilidade cinemática do sistema discreto, expressa por:

NB (3.14)

A energia de deformação elástica U do sistema discreto é dada pela equação

(3.15), enquanto que o trabalho das forças externas W é dado por (3.16).

V

T dVU εσ (3.15)

FnUQU T

S

T dSW ˆ (3.16)

Onde:

U - é o vetor de deslocamentos em qualquer ponto da estrutura;



U - é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura;

Q - é o vetor de cargas distribuídas aplicadas à superfície S da estrutura;

F - é o vetor de cargas concentradas nos nós da estrutura.

Substituindo-se (3.3) e (3.13) em (3.15) e (3.12) em (3.16), tem-se:

UBEBU ˆˆ V

TT dVU (3.17)

FUQNU ˆˆˆ T

S

TT dSW (3.18)

O PTV conduz à expressão (3.19), a qual é válida qualquer que seja o conjunto de

deslocamentos nodais U . Assim, para que a expressão (3.19) seja válida, é necessário que a

expressão (3.20) seja verdadeira.

FQNUUBEBU ˆˆˆˆ

S

TT

V

TT dSdV (3.19)

FQNUBEB ˆˆ S

T

V

T dSdV (3.20)

A equação (3.20) pode ser resumida na forma (3.21), que representa o sistema de

equações algébricas, onde K representa a matriz de rigidez da estrutura.

FUK ˆˆ (3.21)

A matriz de rigidez da estrutura K é obtida pela montagem das matrizes de rigidez

dos elementos. A expressão (3.22) representa a matriz de rigidez de um elemento finito

preenchido por material sólido:

V

TS dVBΕBK (3.22)

3.2.1. Sistemas de coordenadas e sistemas de numeração nodal

As implementações do MEF trabalham normalmente com dois sistemas de

coordenadas e dois sistemas de numeração dos nós: o sistema global, que se refere a toda a

estrutura; e o sistema local, próprio do elemento. No sistema de coordenadas global são

medidos os deslocamentos nodais da estrutura e as forças equivalentes. No sistema de



coordenadas locais são medidos deslocamentos no interior do elemento, tensões e

deformações. Para implementação é necessário que seja determinada a sequência de

enumeração dos nós nos dois sistemas.

Os elementos bidimensionais são representados em um plano cartesiano com

sistema local de coordenadas nas direções x e y e origem no centro do elemento como

mostrado na Figura 3.4(a). Os elementos tridimensionais são representados em um sistema de

coordenadas local com coordenadas nas direções x, y e z com origem no centro do elemento

como mostrado na Figura 3.4(b). Os nós do elemento recebem uma numeração local que pode

variar de acordo implementação. Neste trabalho utilizam-se as numerações locais

apresentadas da Figura 3.4.

(a) (b)

Figura 3.4 – Numeração dos nós nos sistemas de coordenadas locais dos elementos utilizados: (a) elementos

retangulares para as implementações em 2D; (b) coordenadas para elementos hexaédricos para as

implementações em 3D.

Os nós da malha de elementos finitos recebem também uma numeração global. O

sistema global de coordenadas tem coordenadas X e Y, no caso 2D, e X, Y e Z, no caso 3D.

Neste trabalho são usadas malhas regulares, fazendo com que seja fácil a implementação de

geração automática de malha. Os nós das estruturas bidimensionais são enumerados

primeiramente na direção Y, de cima para baixo e depois na direção X, como mostrado na

Figura 3.5(a). Os nós das estruturas tridimensionais são enumerados primeiramente na direção

Y, de cima para baixo, depois na direção Z, e por fim na direção X, como mostrado na Figura

3.5(b).

Os sistemas de coordenadas local e global são paralelos, diferenciando-se apenas

por uma translação dos eixos de coordenadas.

1

4

2

3

1

2

3

4

5

67

8

Otimi

V. M.

Figu

nas

liber

Figur

em z

3.2.2

unitá

caso

interp

ização de topo

P. Santos

ura 3.5 – Proce

Os g

direções do

dade por n

ra 3.6. Os g

, se for o ca

F

2. Funç

Uma

ário nas coo

do elemen

polação pod

jN

ologia aplicad

(a)

esso de enume

graus de lib

os eixos de

ó e as estru

graus de libe

aso.

Figura 3.6 – G

ões de int

a das princi

ordenadas d

nto Q4 util

dem ser des

xyx

(,

2n

da a estruturas

eração dos nós

berdade dos

e coordena

uturas 3D t

erdade são

(a)

Graus de liberd

terpolação

ipais caract

do nó a que

izado neste

scritas gener

jj

j

yx

yyx ()

2

s bi e tridimen

s da estrutura

(b)estrutura

s elementos

adas. Assim

têm 3 (três)

numerados

dade do nó n:

o

terísticas da

ela se refer

e trabalho t

ricamente p

jy )

n‐1

nsionais

com geração

as 3D.

s utilizados

m, as estrut

) graus de l

por nó, prim

(a) estruturas

as funções d

re e nula na

tem dimens

pela express

3n‐1

(b)

automática de

neste traba

turas 2D tê

liberdade p

meiro em x

(b)

2D; (b) estrut

de interpola

as coordenad

sões unitári

são (3.23).

12

3

45

6

1

3n‐

3n

)

e malha: (a) es

alho são as

êm 2 (dois

por nó, com

x, depois em

turas 3D.

ação é que

das dos dem

ias e suas

1011

12

‐2

38

Capítulo 5

struturas 2D;

translações

s) graus de

mo mostra a

m y e depois

seu valor é

mais nós. O

funções de

(3.23)

8

s

e

a

s

é

O

e

)



Onde as coordenadas xj e yj são as coordenadas dos nós do elemento, dadas por: x1 = x4 = - 0,5

e x2 = x3 = 0,5, e y1 = y2 = - 0,5 e y3 = y4 = 0,5.

A matriz das funções de interpolação N tem a forma apresentada em (3.24) e a

matriz de compatibilidade discreta B assume a forma apresentada em (3.25).

4321

4321

0000

0000

NNNN

NNNNN (3.27)

No caso do elemento H8, as funções de interpolação podem ser descritas

genericamente pela expressão (3.25) e a matriz das funções de interpolação N tem a forma

apresentada em (3.26).

jjj

jjjj zyx

zzyyxxzyxN

)()()(,,

(3.25)

Onde as coordenadas xj, yj e zj são as coordenadas dos nós do elemento, dadas por:

x1 = x2 = x3 = x4 = - 0,5 e x5 = x6 = x7 = x8 = 0,5; y1 = y2 = y5 = y6 = 0,5 e y3 = y4 = y7 = y7 = -

0,5; e z1 = z3 = z5 = z7 = - 0,5 e z2 = z4 = z6 = z8 = 0,5

821

821

821

000000

000000

000000

NNN

NNN

NNN

N (3.26)

(a) (b)

Figura 3.7 – Função de interpolação do nó j: (a) estruturas 2D; (b) estruturas 3D.



As funções de interpolação expressas em (3.23) e em (3.26) têm por característica

obter valor unitário no nó j e diminuir linearmente até chegar a zero nos demais nós.

3.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO

A matriz de compatibilidade do sistema discreto no elemento Q4 é obtida

substituindo-se (3.24) em (3.14), sendo expressa em (3.27).

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

Ny

N

y

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

x

N

44332211

3321

4321

0000

0000

B (3.27)

A matriz de compatibilidade do sistema discreto no elemento H8 é obtida

substituindo-se (3.26) em (3.14), sendo expressa em (3.28).

x

N

z

N

x

N

z

N

x

N

z

Ny

N

z

N

y

N

z

N

y

N

z

Nx

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

Nz

N

z

N

z

Ny

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

882211

882211

882211

821

821

821

000

000

000

000000

000000

000000

B (3.28)

A matriz de rigidez do elemento é obtida substituindo-se (3.27) e (3.9), no caso

2D, ou (3.28) e (3.4), no caso 3D, em (3.22). No caso do elemento Q4 a matriz de rigidez é

uma matriz 8x8. No caso do elemento H8 a matriz de rigidez tem dimensões 24x24.

A matriz de rigidez da estrutura é calculada somando as matrizes de rigidez dos

elementos e posicionando-as de maneira correta na matriz levando em conta as enumerações

corretas dos nós nos elementos e na estrutura.



3.4. FLEXIBILIDADE MÉDIA DA ESTRUTURA

Flexibilidade é um conceito aplicado a um ponto da estrutura. Neste trabalho, a

medida de flexibilidade utilizada como função objetivo é expressa pela flexibilidade média da

estrutura. A flexibilidade média do elemento e, ce, é dada por:

V

Te dVc σε (3.29)

Substituindo as expressões (3.3) e (3.13) em (3.29) chega-se a:

e

C

TTee dVc uBΕBu ˆˆ (3.30)

Considerando-se a expressão (3.22) a função anterior pode ser escrita como:

eeT

eec uKu ˆˆ (3.31)

A flexibilidade média da estrutura é calculada como a soma das flexibilidades dos

elementos que a compõem e, portanto:

Nel

eecc

1

(3.32)

Substituindo-se (3.31) em (3.32), tem-se:

Nel

eee

Tec

1

ˆˆ uKu (3.33)

Ao aplicar o modelo SIMP calculado por (2.5) chega-se à expressão da

flexibilidade média da estrutura utilizada na implementação computacional:

Nel

eeS

Te

pec

1

ˆˆ uKu (3.34)

O vetor eu de deslocamentos nodais do elemento é um subconjunto do vetor de

deslocamentos da estrutura U, obtido pela resolução do sistema de equações (3.21).


CAPÍTULO 4

RESULTADOS

Este capítulo apresenta os resultados obtidos pela implementação computacional

realizada neste trabalho e descrita no Capítulo 3. Para cada resultado serão descritas

inicialmente as dimensões da estrutura, o tamanho da malha e os parâmetros pertinentes ao

processo como raio do filtro de Sigmund, o coeficiente de penalização do modelo SIMP, os

vínculos de apoio e a distribuição dos carregamentos.

Em todos os casos utilizou-se módulo de elasticidade E0 = 1,0 e coeficiente de Poisson

ν = 0,25. Ressalta-se que os valores das propriedades do material não influenciam a topologia

ótima, mas apenas o valor da função objetivo para essa topologia.

4.1. EXEMPLO 1

Apresenta-se a seguir a OT de uma viga bi-apoiada com carga pontual aplicada no

meio do vão localizada na face superior, como ilustra a Figura 4.1.

Figura 4.1 – Viga analisada no exemplo 1.

Primeiramente foi feita a análise para malha de 120 x 20 elementos, com e sem

esquema de regularização. Na análise com esquema de regularização utilizou-se o filtro de

sensibilidade de Sigmund com raio rmin igual a 1,6 elementos. Em ambas as análises utilizou-

se o fator de penalidade p igual a 3 e que o volume da estrutura corresponda a 50% do volume

estendido. Os resultados obtidos são apresentados nas Figuras 4.2(a) e (b).

6 6

2

1



A seguir, fez-se a análise da mesma estrutura variando-se a malha com o intuito de

comprovar que o filtro de sensibilidade fornece resultados independentes da malha. Como o

raio do filtro de sensibilidade é medido em função do número de elementos, seu valor

aumenta na mesma proporção em que cresce o número de elementos da malha, a fim de que o

filtro atue sobre a mesma região do domínio estendido. Os resultados obtidos são

apresentados nas Figuras 4.2(a) a (f).

Resultados sem esquema de regularização Resultados com esquema de regularização

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) (f)

Figura 4.2 – Topologias ótimas para as análises do exemplo 1: (a) malha de 150 x 25 sem esquema de

regularização; (b) malha de 150 x 25 e rmin = 2; (c) malha de 180 x 30 sem esquema de regularização; (d) malha

de 180 x 30 e rmin = 2,4; (e) malha de 240 x 40 sem esquema de regularização; (f) malha de 240 x 40 e rmin = 3,2.

Os resultados apresentados nas Figuras 4.2(a), (c) e (e) mostram resultados sujeitos à

instabilidade de tabuleiro de xadrez. Observa-se também que as soluções são qualitativamente

diferentes, evidenciando solução dependente da malha. O problema pode ser corrigido com o

uso do filtro de sensibilidade como mostra os resultados das Figuras 4.2 (b), (d) e (f). Essas

soluções são qualitativamente equivalentes e livres dos trechos em tabuleiro de xadrez.

Observa-se ainda que a flexibilidade média da estrutura obtida com uso do filtro de

sensibilidade é maior que a da estrutura obtida sem seu uso. Tal se dá porque, na análise com

o filtro, as soluções das Figuras 4.2(a), (c) e (e) foram excluídas da região viável do problema.

4.2. EXEMPLO 2

A seguir modifica-se a posição da carga para a viga bi-apoiada do exemplo anterior

como ilustra a Figura 4.3.



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 4.3 – Viga analisada no exemplo 2 com malha de 120 x 40 e rmin = 1,5 elementos: (a) caso de carga A;

(b) caso de carga B; (c) caso de carga C; (d) caso de carga D(e) caso de carga E; (f) caso de carga F..

Em todas as análises foram utilizadas uma malha de 120 x 40 elementos, raio do filtro

de sensibilidade rmin igual a 1,5, fração de volume igual a 50% do volume estendido e fator de

penalização p igual a 3. Os resultados obtidos são apresentados na Figura 4.4. Observa-se a

mudança na solução à medida que a carga muda de posição.

6 6

4

1

6 6

4

1

3 9

8

1

3 9

4

1

4 4

8

1

4

1

4 4

8

1

4

1



(a)

(b)

(c)

(d)

(e) (f)

Figura 4.4 – Topologias ótimas para as análises do exemplo 2: (a) caso de carga A; (b) caso de carga B; (c) caso

de carga C; (d) caso de carga D; (e) caso de carga E; (f) caso de carga F.

4.3. EXEMPLO 3

Uma situação comum em projeto é a verificação para combinações de carregamento

definidas em norma. A mesma estrutura deve estar segura para duas ou mais combinações, as

quais vão provocar esforços limites em elementos diversos que atuarão em momentos

diversos da vida útil da estrutura. No caso da otimização, essa situação pode ser representada

por cargas não simultânas. Têm-se então tantos vetores de cargas nodais quantas forem as

combinações de carregamento consideradas e, em consequência, tem-se o mesmo número de

configurações de deslocamentos nodais. Nesse caso, há várias formas de se considerar a

função objetivo. Neste trabalho a função objetivo considerada será a soma da flexibilidade

média da estrutura nas combinações de carregamento.

A fim de exemplificar a potencialidade da técnica em projeto, será analisada uma

situação em que se têm duas cargas representando combinações distintas de carregamento.

Para tanto, analisa-se a seguir a viga do exemplo 2 com combinação de carregamento formada

pelos casos A e B, não simultâneos. Analisa-se também a combinação de carregamento

formada pelos casos C e D, não simultâneos. Os resultados são apresentados na Figura 4.5.



(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.5 – Topologias ótimas para as análises do exemplo 3: (a) caso de carga A+B, simultâneas; (b) caso de

carga A+B, não simultâneas; (c) caso de carga C+D, simultâneas; (d) caso de carga C+D, não simultâneas.

Observa-se que ao contrário doque se pode imaginar os resultados para cargas

simultâneas e não simultâneas para os mesmos carregamentos não necessáriamente são iguais.

4.4. EXEMPLO 4

Analisa-se a seguir a viga do exemplo 2 prescrevendo-se um furo e uma região em que

obrigatoriamente deve haver material. A Figura 4.6 ilustra as regiões que devem ser prescritas

com ausência e com obrigatoriedade de existência de material na região representada pelo

quadrado de lado 1 no interior da estrutura.

Figura 4.6 – Viga analisada no exemplo 4 com malha de 120 x 40 e rmin = 1,5 elementos: (a) caso de ausência

obrigatória de material; (b) caso de presença obrigatória de material.

1

8

8

4

1

0,5

0,5

1,0

1

8

8

4

1

0,5

1,0

2,5



A Figura 4.7 apresenta os resultados da análise do exemplo 4. Observa-se que o

algoritmo de otimização teve sucesso ao conduzir a topologias ótimas atendendo aos

requisitos de projeto de ausência e de presença obrigatória de material.

Figura 4.7 – Topologias ótimas para as análises do exemplo 4: (a) ausência de material no retângulo interno;

(b) presença obrigatória de material no retângulo interno.

4.5. EXEMPLO 5

O quinto exemplo em duas dimensões analisado neste capítulo é uma viga engastada

na extremidade esquerda, como mostra a Figura 4.8. Foram analisados 3 casos de carga

pontual na extremidade direita: no canto superior; no meio; e no canto inferior. Utilizou-se

uma malha de 80x50 elementos, aplicou-se filtro de sensibilidade com raio rmin igual a 1,5

elementos. Adotou-se fator de penalidade p do modelo SIMP com valor 3 e fração de volume

de 50%.

(a) (b) (c)

Figura 4.8 – Viga do exemplo 5 com malha de 80 x 50 e rmin = 2,0 elementos: (a) caso de carga A; (b) caso de

carga B; (c) caso de carga C.

A Figura 4.9 apresenta os resultados obtidos para os casos de carga indicados na

Figura 4.8.

8

5

1

8

51

8

5

1



(a) (b) (c)

Figura 4.9 – Topologias ótimas para a viga do exemplo 5: (a) caso de carga A; (b) caso de carga B; (c) caso de

carga C.

Por fim, obtém-se a topologia ótima da viga em questão com uma combinação dos

casos de carga A e C agindo simultaneamente e em separado.

(a)

(b)

Figura 4.10 – Topologias ótimas para a viga do exemplo 5: (a) caso de carga A+C, simultâneas; (b) caso de

carga A+C, em separado.

4.6. EXEMPLO 6

Osexto exemplo apresentado neste capítulo analisa uma viga engastada com

modelagem tridimensional, Utilizou-se uma malha de e 10x10x16 elementos, aplicou-se filtro

de sensibilidade com raio rmin igual a 1,5 elementos. Adotou-se fator de penalidade p do

modelo SIMP com valor 3 e fração de volume de 50% e está representada Figura 4.11.

Otimi

V. M.

Figu

dire

ização de topo

P. Santos

ura 4.11 – Vig

eita.(c) carga d

y

y

ologia aplicad

(a)

(c)

ga do exemplo

distribuída no

x

z

z

x

da a estruturas

o 6: (a) carga n

canto inferior

apenas n

s bi e tridimen

no meio da fac

r da face direi

nos nós no me

nsionais

ce direita; (b)

ita; (d) condiç

io da espessur

(b)

(d)

carga pontual

ções de apoio r

ra .

R

R

xy

z

y

z

)

)

l no canto infe

restritas nas tr

Restrito em x e

Restrito em x, y

x

x

49

Capítulo 5

erior da face

rês direções

e y

e z

9



A Figura 4.12 apresenta os resultados tridimensionais para os casos mostrados na

Figura 4.11

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4.12 – resultados das vigas 3D: (a) carga no meio da face direita; (b) carga pontual no canto inferior da

face direita.(c) carga distribuída no canto inferior da face direita; (d) condições de apoio restritas nas três

direções apenas nos nós no meio da espessura .


CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

O objetivo principal deste trabalho consistia em uma implementação de técnicas de

otimização de topologia em linguagem C, pois as implementações existentes no âmbito da

Escola de Engenharia Civil da UFG, em MATLAB, não permitiam a otimização de topologia

de estruturas com grande número de variáveis. A implementação computacional

implementada apresentou resultados consistentes e as verificações iniciais corroboram tanto

os resultados da literatura quanto os obtidos na implementação em MATLAB para duas

dimensões.

Confirmaram-se as afirmativas que foram explicadas durante o trabalho como a

existência de instabilidade de tabuleiro de xadrez e de dependência de malhas sem a aplicação

de filtros. Mostrou-se também a eficiência do esquema de regularização para a eliminação

destas instabilidades numéricas.

O método produz resultados com características esperadas, demandadas pela mecânica

do problema, como a concentração de material nos locais próximos dos carregamentos e dos

apoios e a preferência do otimizador por resultados com peças contínuas o que mostra a

coerência da técnica com a realidade. O método é capaz de atender a muitos requisitos

demandados pelas situações de projeto como permitir que se estabeleçam a priori zonas com

presença obrigatória ou ausência obrigatória de material, assim como permite a consideração

de várias combinações de carregamento.

Para os casos 2D bi-apoiados verificou-se que todos os resultados analisados foram

constituídos principalmente de uma barra reta inferior e uma barra em arco superior com

barras no interior das duas ligando-as às cargas e acrescentando-se carregamentos acrescenta-

se também o numero de barras internas fazendo esta ligação.

Com os resultados envolvendo carregamentos simultâneos e não simultâneos observa-

se que um conjunto de carregamentos simultâneos nem sempre gera o mesmo resultado que o

mesmo conjunto de carregamentos ocasionados de maneira não-simultâneas isto ocorreu

somente quando foram aplicadas cargas em pontos simétricos de estruturas com condições de

apoio simétricas.



Os resultados tridimensionais, obtidos com a implementação em linguagem C são

coerentes com os resultados bidimensionais resultantes da implementação em linguagem

MATLAB®. Verifica-se também que os resultados tridimensionais tambem possuem um

comportamento condizendte com a mecânica do problema, percebendo-se a concentração de

material proximo dos carregamentos e das reações.

Como possibilidades de traalhos futuros, sugere-se a expansão e a continuação da

técnica de otimização bidimensional e tridimensional utilizando a linguagem C devido ao

podencial da linguagem, podendo ser implementadas outras condições de manufatura ou

outras restrições que podem ser importantes para os projetos.

Sugere-se também a utilização dos resultados para auxiliar os projetos estruturais

tendo em vista eficiencia das peças obtidas com esta técnina.

V. M. P. Santos Referências bibliográficas

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALMEIDA, A. F. Otimização de componentes pré-moldados de concreto protendido. , 2004. 177 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Escola de Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2004.

ALMEIDA, S. R. M. Contribuição ao projeto ótimo de cabos em vigas de concreto protendido. 2001. 145 f. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) – Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2001.

BENDSØE M.P.; KIKUCHI, N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization Method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. North-Holand, vol 71, pp 197-224, 1988.

BENDSØE, M.P. & SIGMUND, Topology otimization: theory,methods and applications. 2nd edition. Berlin: Springer; 2003. 370p.

EBOLI C. R. Dimensionamento ótimo de seções de concreto armado. 1989. 172 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 1989.

FALCO S. Otimização de cascas submetidas a carregamento dinâmico. 2000. 160 f. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) – Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2000.

MELO A. M. C. Projeto ótimo de pórticos planos de concreto armado. 2000. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) – Programa de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE – UFRJ), Rio de Janeiro, 2000.

SIGMUND. O, A 99 Line topology optimization code written in MATLAB. Structural and Multidisciplinary Optimization, Berlin, v 21, pp 120-127, 2001.

otimizaÇÃo de topologia aplicada ao projeto ...‡Ão...na otimização paramétrica. as...

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