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Capítulo 5

Equilíbrio de um corpo rígido

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Objetivos deste capítulo

Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido.

Introduzir o conceito do diagrama de corpo livre para um corpo rígido.

Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de corpo rígido usando as equações de equilíbrio.

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Condições de equilíbrio do corpo rígido

Como mostra a Figura, este corpo está sujeito a um sistema externo de força e momento de binário que é o resultado dos efeitos das forças gravitacionais, elétricas, magnéticas ou de contato causadas pelos corpos adjacentes.

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O sistema de força e momento de binário que atuam sobre um corpo podem ser reduzidos a uma força resultante e um momento de binário resultante equivalentes em qualquer ponto O arbitrário dentro ou fora do corpo. Se essa força e momento de binário resultantes são ambos iguais a zero, então dizemos que o corpo está em equilíbrio.

Condições de equilíbrio do corpo rígido

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Matematicamente, o equilíbrio de um corpo é expresso como:

Essas duas equações não são apenas necessárias para o equilíbrio; elas são também suficientes.

Condições de equilíbrio do corpo rígido

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Considere a soma dos momentos em relação a algum outro ponto, como o ponto A na Figura abaixo:

Precisamos de:

Condições de equilíbrio do corpo rígido

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Equilíbrio em duas dimensões

Consideraremos o caso em que o sistema de forças que age sobre um corpo rígido se situa em, ou pode ser projetado para, um único plano e, além disso, quaisquer momentos de binário atuando sobre o corpo são direcionados perpendicularmente a esse plano.

Esse tipo de sistema de força e binário é frequentemente referido como um sistema de forças bidimensional ou coplanar.

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Por exemplo,

Equilíbrio em duas dimensões

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Diagramas de corpo livre

O diagrama de corpo livre é um esquema da forma do corpo, que o representa isolado ou “livre” de seu ambiente, ou seja, um “corpo livre”.

Um entendimento completo de como desenhar um diagrama de corpo livre é de primordial importância para a resolução de problemas em mecânica.

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Reações de apoio

Vamos analisar os vários tipos de reações que ocorrem em apoios e pontos de contato entre corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares. Como regra geral:

Se um apoio impede a translação de um corpo em uma determinada direção, então, uma força é desenvolvida no corpo nessa direção.

Se a rotação é impedida, um momento de binário é exercido sobre o corpo.

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Por exemplo, vamos considerar três maneiras na qual um membro horizontal, como uma viga, é apoiado na sua extremidade.

Um método consiste de um rolete ou cilindro. Como esse suporte apenas impede que a viga translade na direção vertical, o rolete sóexercerá uma força sobre a viga nessa direção.

Reações de apoio

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A viga pode ser apoiada de uma forma mais restritiva por meio de um pino.

Reações de apoio

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Aqui, o pino pode impedir a translação da viga em qualquer direção ϕ e, portanto, o pino deve exercer uma força F sobre a viga nessa direção.

Reações de apoio

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Para fins de análise, geralmente é mais fácil representar essa força resultante F por suas duas componentes retangulares Fx e Fy.

Reações de apoio

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A maneira mais restritiva de apoiar a viga seria usar um apoio fixo.Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação da viga.

Reações de apoio

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Para fazer isso, uma força e momento de binário devem ser desenvolvidos sobre a viga em seu ponto de conexão.

Reações de apoio

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Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças bidimensionais

Reações de apoio

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Reações de apoio

Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças bidimensionais

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Reações de apoio

Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças bidimensionais

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Reações de apoio

Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças bidimensionais

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Reações de apoio

Tabela 5.1 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças bidimensionais

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Reações de apoio

Exemplos comuns de suportes reais são mostrados na seguinte sequência de fotos:

O cabo exerce uma força sobre o suporte, na direção do cabo.

O suporte rocker para esta viga mestra de ponte permite um movimento horizontal de modo que a ponte esteja livre para se expandir e contrair devido às mudanças de temperatura.

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Reações de apoio

Exemplos comuns de suportes reais são mostrados na seguinte sequência de fotos:

As vigas de solo desta construçãosão soldadas e, portanto, formamconexões fixas.

Esta viga mestra de concreto está apoiada sobre a base que deveagir como uma superfície de contato lisa.

Esta construção utilitária ésuportada por pinos no alto dacoluna.

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Forças internas

As forças internas que atuam entre partículas adjacentes em um corpo sempre ocorrem em pares colineares de modo que tenham a mesma intensidade e ajam em direções opostas (terceira lei de Newton).

Como essas forças se cancelam mutuamente, elas não criarão um efeito externo sobre o corpo. É por essa razão que as forças internas não devem ser incluídas no diagrama de corpo livre se o corpo inteiro precisa ser considerado.

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O peso e o centro de gravidade

Quando um corpo está dentro de um campo gravitacional, cada uma de suas partículas possui um peso específico.

O sistema de forças pode ser reduzido a uma única força resultante que age em um ponto específico. Essa força resultante é chamada de peso W do corpo, e a posição de seu ponto de aplicação, de centro de gravidade.

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Modelos idealizados

Quando um engenheiro realiza uma análise de força de qualquer objeto, ele considera um modelo analítico ou idealizado correspondente que fornece resultados que se aproximam o máximo possível da situação real.

Para isso, escolhas cuidadosas precisam ser feitas de modo que aseleção do tipo de apoio, o comportamento do material e as dimensões do objeto possam ser justificados.

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Os dois casos a seguir ilustram o que é necessário para desenvolver um modelo adequado.

Modelos idealizados

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Procedimentos para análise

Desenhe a forma esboçada

Mostre todas as forças e momentos de binário

Identifique cada carga e dimensões

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Pontos importantes

Nenhum problema de equilíbrio deve ser resolvido sem antes desenhar o diagrama de corpo livre, a fim de considerar todas asforças e momentos de binário que atuam sobre o corpo.

Se um suporte impede a translação de um corpo em uma determinada direção, então o suporte exerce uma força sobre o corpo nessa direção.

Se a rotação é impedida, então o suporte exerce um momento de binário sobre o corpo.

Estude a Tabela 5.1.

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Pontos importantes

As forças internas nunca são mostradas no diagrama de corpo livre, já que elas ocorrem em pares colineares iguais, mas opostos e, portanto, se cancelam.

O peso de um corpo é uma força externa e seu efeito érepresentado por uma única força resultante que atua sobre o centro de gravidade G do corpo.

Momentos de binário podem ser colocados em qualquer lugar no diagrama de corpo livre, já que são vetores livres. As forças podem agir em qualquer ponto ao longo de suas linhas de ação, jáque são vetores deslizantes.

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Equações de equilíbrio

As condições para o equilíbrio em duas dimensões são:

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣMO = 0