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CAPÍTULO 4 Análise de Sistemas no Domínio do Tempo

4.1 Introdução

A resposta no tempo de um sistema de controlo é importante dado que é neste domínio que ossistemas operam. O método clássico da análise da resposta no tempo investiga o comporta-mento do sistema a entradas padrão, como sejam o degrau, a rampa e a parábola.

Como se admite que o sistema é linear, podemos desta maneira estudar a resposta a umaentrada arbitrária, composta por sinais deste tipo, deslocados no tempo.

Quando analisamos a resposta de um sistema no tempo, as principais características a estudarsão: a estabilidade do sistema, a sua resposta transitória, e a resposta em regime estacionário.

Table 4.1 - Sinais de entrada padrão

Tipo de sinal r(t) R(s)

Degrau

Rampa

Parábola

r t )( )k t 0>,0 t 0<,⎩

⎨⎧

= R s( ) ks--=

r t )( )kt t 0>,0 t 0<,⎩

⎨⎧

= R s( ) ks2----=

r t )( ) kt2 t 0>,0 t 0<,⎩

⎨⎧

=R s( ) 2k

s3------=

Sistemas de Controlo I 30

Resposta transitória

4.2 Resposta transitória

A resposta transitória de um sistema é regida pelo integral geral da sua equação diferencial.Considerando o sistema em malha fechada da fig. 3.4, é fácil de ver, tanto em termos do erro,como da saída, a resposta transitória de um sistema depende da sua equação característica,

:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Os zeros da equação característica são os pólos das funções de transferência (4.2) e (4.3). Sedefinirmos as funções de transferência para a frente e de realimentação como:

, (4.4)

a equação característica fica:

. (4.5)

A polinomial chama-se polinomial característica do sistema e as suasraízes vão definir a resposta transitória do sistema.

4.2.1 Resposta transitória em função da localização dos pólos no plano s

Utilizando (4.5) e (4.4) em (4.1), a função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:

(4.6)

Para que o sistema seja causal, o grau da polinomial (n) do numerador tem que ser menor ouigual á do denominador (m). Se expandirmos em fracções parciais (4.6), e considerando umdegrau unitário à entrada, , teremos:

(4.7)

Na última equação admite-se, por simplicidade, que não existem pólos múltiplos (com omesmo valor), e que existem q pares de pólos complexos conjugados. O símbolo denota ocomplexo conjugado de x.

∆ s( )

Y s( )R s( )----------- G s( )

1 G s( )H s( )+--------------------------------- G s( )

∆ s( )-----------= =

E s( )R s( )----------- 1

1 G s( )H s( )+--------------------------------- 1

∆ s( )-----------= =

∆ s( ) 1 G s( )H s( )+=

G s( ) N s( )D s( )-----------= H s( ) P s( )

Q s( )-----------=

∆ s( ) 1 N s( )D s( )-----------P s( )

Q s( )-----------+ D s( )Q s( ) N s( )P s( )+

D s( )Q s( )-----------------------------------------------------= =

D s( )Q s( ) N s( )P s( )+

Y s( )R s( )----------- N s( )Q s( )

D s( )Q s( ) N s( )P s( )+-----------------------------------------------------=

R s( ) 1 s⁄=

Y s( )k0s-----

kcs sc+-------------

c 1=

q

∑kcs sc+-------------

c 1=

q

∑kis si+------------

i 1=

n q–

∑+ + +=

x


Análise de Sistemas no Domínio do Tempo

Os valores dos numeradores de cada fracção parcial são dados por:

(4.8)

(4.9)

(4.10)

Se passarmos agora (4.7) para o domínio do tempo, e lembrando-nos que , temos:

(4.11)

No caso de Y(s) possuir um pólo real em com multiplicidade m, a sua expansão em frac-

ções parciais conterá m termos, . A sua transformada de Laplace inversa é:

, (4.12)

onde:

. (4.13)

Analisando as equações (4.11) e (4.13) e a fig. 4.1, vemos que a resposta transitória é funçãoda localização dos pólos da função de transferência, ou seja das raízes da equação caracterí-tica.

No caso de termos correspondentes a pólos reais, a resposta temporal é uma exponencial, quediminui ou aumenta consoante o pólo esteja à esquerda ou à direita do eixo imaginário. Umpar de pólos complexos tem uma resposta oscilatória, que decai ou aumenta com o tempo con-soante a parte real do pólo se encontra à esquerda ou à direita do eixo imaginário. A frequên-cia de oscilação aumenta ou diminui consoante a parte imaginária esteja mais longe ou maisperto do eixo real.

k0 sY s( )s 0→lim=

kc s sc+( )Y s( )s sc–→lim=

ki s si+( )Y s( )s si–→lim=

s σ jw+=

y t( ) k0 kceσc jwc+( )t–

c 1=

q

∑ kceσc jwc–( )t–

c 1=

q

∑ kiesit–

i 1=

n q–

∑+ + +

k0 2 kc eσct–

wct φc+( )cos=

q

∑ kiesit–

=

n q–

∑+ +

=

=

sa–

kks sa+( )k

--------------------

k 1=

m

∑

kktk 1– e

smt–

k!---------------------------

k 1=

m

∑

km1

m k!–---------------

s m k–( )

m k–( )

d

d s sk+( )mY s( )[ ]s sk–→lim=

32 Sistemas de Controlo I


FIGURE 4.1 - Respostas transitórias em função da localização dos pólos

4.2.2 Constantes de tempo de um sistema e especificações da resposta

A resposta transitória de um sistema é assim uma soma de termos exponenciais do tipo .

Ao instante de tempo em que o expoente é unitário, isto é , dá-se o nome de constante

de tempo, .

Um sistema de controlo é normalmente desenhado para cumprir determinadas especificações.Muitas dessas especificações dizem respeito à resposta do sistema a um degrau e, nomeada-mente à sua resposta transitória. Importa assim definir algumas dessas características:

• Tempo de crescimento - rise time ( ) - é o intervalo de tempo que a resposta demora a

crescer de 0.1 a 0.9 do seu valor em regime estacionário;

• Tempo de atraso - dela time ( ) - é o intervalo de tempo que a resposta demora a atingir

0.5 do seu valor em regime estacionário;

• Tempo de estabelecimento - settling time ( ) - é o tempo necessário para a resposta entrar

(sem sair mais) numa banda pré-definida em torno do seu valor em regime estacionário. Normalmente são considerados 2% ou 5%.

Para respostas do tipo do gráfico à esquerda da fig. 4.2, é ainda normal definir-se:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

50

100

150Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


Time (sec)

Am

plitu

de

10-1-2

j

2j

e st–

st 1=

τ 1 s⁄=

tr

td

ts



• Tempo de pico - peak time ( ) - é o instante de tempo correspondente ao valor máximo da

saída;

• Valor de pico - peak value ( ) - é o valor máximo da saída;

• percentagem de sobreelevação - percentage of overshoot (PO) - é a razão entre o valor de pico e o valor da saída em regime estacionário.

FIGURE 4.2 - Especificações da resposta transitória

4.2.3 Sistemas de 2ª ordem e regimes da resposta transitória

As funções de transferência de 2ª ordem são as mais habitualmente encontradas, oferecendo avantagem de podermos determinar as características da resposta transitória a partir dos coefi-cientes da função de transferência. Consideremos um sistema em malha fechada, com reali-mentação unitária (ver fig. 3.4), cujo função de transferência para a frente é

. A função de transferência em malha fechada é:

(4.14)

As raízes da polinomial característica são:

(4.15)

A parte real das raízes é e é denominada de frequência natural amortecida. B representa

o amortecimento efectivo do sistema. Consoante o valor de B, poderemos ter diversos tipos deresposta:

tp

Mp

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Amplitu

de

Step Response

Time (sec)

Amplitu

de

MP

ts tstdtd tp

tr tr

G s( ) ks As B+( )-----------------------=

Y s( )R s( )----------- G s( )

1 G s( )+---------------------

ks As B+( )-----------------------

1 ks As B+( )-----------------------+

--------------------------------- kAs2 Bs k+ +------------------------------= = =

s1 2,B2A-------– j 4kA B2–

4A2----------------------± σ jwd±= =

σ wd



• Se B=0 o sistema não tem amortecimento as raízes estão sobre o eixo imaginário -

, onde é denominada frequência natural não amortecida. A res-

posta a um degrau unitário é dada por ;

• se , a parte imaginária é nula e as duas raízes são reais e iguais -

. A resposta a um degrau unitário é dada por

e é representada no lado direito da fig. 4.2. é deno-

tado como amortecimento crítico. A razão entre o amortecimento efectivo e o amorteci-

mento crítico é chamada de razão de amortecimento . Note-se que, em termos

de e de , a eq. (4.14) pode ser dada como:

; (4.16)

• se ou, equivalentemente, , as raízes são reais e diferentes -

. A resposta chama-se sobreamortecida, e é dada por

;

• se ou, equivalentemente, , as raízes são complexas conjugadas -

. A resposta a um degrau unitário é dada por

, sendo e . A res-

posta chama-se subamortecida e é representada no lado esquerdo da fig. 4.2.

Estes três regimes de resposta, sobreamortecido, de amortecimento crítico e subamortecido,podem ser vistos na, em função de .

s12 j kA---± jwn±= = wn

y t )( ) 1 wnt( )cos–=

B 2 Ak=

s1 2,B2A-------– 2 Ak

2A--------------– k

A---– wn–= = = =

y t( ) 1 ewnt–1 wnt+( )–= B 2 Ak=

ξ B2 Ak--------------=

ξ wn

Y s( )R s( )----------- k

As2 Bs k+ +------------------------------ 1

Ak---s2 B

k---s 1+ +

------------------------------- 1s2

wn2

------2ξwn------s 1+ +

-------------------------------wn2

s2 2ξwns wn2

+ +---------------------------------------= = = =

B 2 Ak> ξ 1>s1 σ1= s2 σ2=

y t( ) 1σ2

σ2 σ1–------------------e

σ1t––

σ1σ2 σ1–------------------e

σ2t–+=

0 B 2 Ak< < 0 ξ 1< <

s1 2, ξwn– jwn 1 ξ2–±=

y t( ) 1 eξwnt–

1 ξ2–------------------ wdt φ+( )sin–= wd wn 1 ξ2–= φ 1 ξ2–

ξ------------------⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

atan=

ξ



FIGURE 4.3 - Localização dos pólos, em função de , constante

Para um regime subamortecido e constante, quando varia, os pólos estão localiza-

dos ao longo de duas semi-rectas partindo da origem.

FIGURE 4.4 - Localização dos pólos, em função de , constante

Da fig. 4.4, pode-se facilmente verificar que:

(4.17)

Num regime subamortecido, o tempo de pico (tp) pode ser calculado igualando a derivada dasaída relativamente ao tempo a 0.

A expressão da saída a um degrau unitário é então:

(4.18)

ξ 1=

ξ 1>

ξ 1<

jwnjwn 1 ξ2–

j– wnj– wn 1 ξ2–

ξ– wn

ξ wn

ξ 1<( ) wn

φ

jwn 1 ξ2–

ξ– wn

wn

wn ξ

φ 1 ξ2–ξ

------------------⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

atan ξ( )acos= =

y t( ) 1 eξwnt–

1 ξ2–------------------ wdt φ+( )sin–=



Derivando e igualando a 0, temos

(4.19)

(4.20)

Esta equação é verdadeira para

. (4.21)

O 1º pico ocorre então para

(4.22)

Inserindo esta expressão em (4.18), temos o valor de pico:

. (4.23)

A percentagem de sobreelevação é assim dada por:

(4.24)

tdd y t( )

ξwneξwnt–

1 ξ2–------------------------ wdt φ+( )sin

wdeξwnt–

1 ξ2–-------------------- wdt φ+( )cos– 0= =

wdt φ+( )tanwdξwn--------- 1 ξ2–

ξ------------------ φ( )tan= = =

wdt 0 π 2π …, , ,=

tpπwd------ π

wn 1 ξ2–-------------------------= =

Mp 1 e

ξπ

1 ξ2–------------------–

+=

PO 100e

ξπ

1 ξ2–------------------–

=



A figura seguinte ilustra a resposta a um degrau de um sistema de 2ª ordem, com e

com diferentes valores de .

FIGURE 4.5 - Resposta a um degrau de um sistema de 2ª ordem, com e com

diferentes valores de

Conforme se pode observar, à medida que diminui, o valor de pico aumenta (e consequente-mente a percentagem da sobreelevação), o tempo de pico, tempo de subida e tempo de cresci-mento diminuem, e o tempo de estabelecimento aumenta.

O tempo de estabelecimento está inversamente relacionado com a parte real dos pólos (nestecaso ) e directamente com a constante de tempo , sendo para um

critério de 2% aproximadamente igual a e para um critério de 5% aproximadamente igual

a .

4.3 Resposta em regime estacionário

Quando o regime transitório acaba, entramos no regime estacionário. Nestas condições,importa determinar qual é o valor do erro que se obtém, considerando aqui o erro a diferença

wn 1=

ξ

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

ξ 1 2( )⁄=

ξ 0.5=

ξ 0.3=

ξ 0.1=

wn 1=

ξ

ξ

σ ξwn– ξ–= = τ 1 σ⁄–=

4τ3τ


Resposta em regime estacionário

entre o sinal de entrada e o sinal de saída. Na análise seguinte vamos considerar um sistemacom realimentação unitária.

Sabemos, pelo teorema do valor final, que:

(4.25)

Vamos exprimir a função de transferência em malha aberta em termos de pólos e zeros:

(4.26)

O comportamento do limite em (4.25) vai depender do tipo de entrada e do número de pólosem s=0, z. Este número é normalmente denotado como o tipo do sistema.

4.3.1 Tipos de sistema e constantes de erro em regime estacionário

Vamos considerar primeiramente uma entrada em degrau. Neste caso e

(4.27)

No caso de um sistema de tipo 0 (isto é, sem pólos na origem),

(4.28)

é chamado de constante de erro de posição. Verifica-se assim que um sistema de tipo 0 res-

ponde a um degrau com um erro em regime estacionário dado por:

(4.29)

Se o sistema for de tipo 1 ou superior, . Deste modo, o erro em

regime estacionário é nulo.

ess t( ) e t( )t 0→lim sE s( )

s 0→lim sR s( )

1 G s( )+---------------------

s 0→lim= = =

G s( )

k s zi+( )

i 1=

m

∏

sz s pj–( )

j 1=

n z–

∏

-------------------------------=

R s( ) As---=

esssR s( )1 G s( )+---------------------

s 0→lim

sAs---

1 G s( )+---------------------

s 0→lim A

1 G 0( )+---------------------= = =

G 0( ) G s( )s 0→lim

k zii 1=

m

∏

pjj 1=

n z–

∏

---------------- kp= = =

kp

essA

1 kp+--------------=

G 0( ) G s( )s 0→lim ∞= =



Se considerarmos uma entrada em rampa, temos . Neste caso:

. (4.30)

No caso de o sistema ser do tipo 0, e .

No caso de o sistema ser do tipo 1, e , isto é, um sis-

tema do tipo 1 responde a uma rampa com um erro finito.

No caso de o sistema ser do tipo 2 ou superior, e .

Se considerarmos agora uma parábola de entrada, temos . Neste caso:

. (4.31)

No caso de o sistema ser do tipo 0 ou 1, e .

No caso de o sistema ser do tipo 2, e , isto é, um

sistema do tipo 2 responde a uma parábola com um erro finito.

No caso de o sistema ser do tipo 3 ou superior, e .

Estes resultados podem ser sumariados na seguinte tabela:

R s( ) As2----=

esssR s( )1 G s( )+---------------------

s 0→lim

s As2----

1 G s( )+---------------------

s 0→lim A

sG s( )--------------

s 0→lim= = =

sG s( )s 0→lim 0= ess ∞=

sG s( )s 0→lim

k zii 1=

m

∏

pjj 1=

n z–

∏

---------------- kv= = ess A kv⁄=

sG s( )s 0→lim ∞= ess 0=

R s( ) 2As3-------=

esssR s( )1 G s( )+---------------------

s 0→lim

s2As3-------

1 G s( )+---------------------

s 0→lim 2A

s2G s( )-----------------

s 0→lim= = =

s2G s( )s 0→lim 0= ess ∞=

s2G s( )s 0→lim

k zii 1=

m

∏

pjj 1=

n z–

∏

---------------- ka= = ess 2A ka⁄=

s2G s( )s 0→lim ∞= ess 0=


Estabilidade

4.4 Estabilidade

A 3ª característica associada à resposta no tempo é a estabilidade do sistema, Por estabilidade,queremos aqui significar que a qualquer entrada limitada em amplitude, o sistema deve res-ponder com uma saída limitada em amplitude. Esta é a definição de estabilidade, no sentidoentrada-saída, devendo ser notado que existem outras definições de estabilidade.

Vamos considerar que estamos em presença de sinais e sistemas causais, isto é, que. Se considerarmos que a saída, no domínio de Laplace, a uma entrada

limitada em amplitude é dada por:

, (4.32)

expandindo C(s) em fracções parcias, temos:

, (4.33)

onde admitimos, por simplicidade, que o pólo em tem multiplicidade q, e que os res-

tantes n-q pólos têm multiplicidade 1.

Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos:

Table 4.2 - Erro em regime estacionário

Entradas Degrau Rampa Parábola

Tipo de Sistema

Constantes de erro

0 F 0 0

1 F 0

2 F

3

r t( ) A= r t( ) At= r t( ) At2=

kp kv kaR s( ) A

s---= R s( ) A

s2----= R s( ) 2A

s3-------=

essA

1 kp+--------------=

ess ∞= ess ∞=

∞ ess 0= essAkv----= ess ∞=

∞ ∞ ess 0= ess 0= ess2Aka-------=

∞ ∞ ∞ ess 0= ess 0= ess 0=

r t( ) c t( ) 0= =( ) t 0<,

C s( )ams

m am 1– sm 1– … a1s a0+ + + +

sn bn 1– sn 1– b1s b0+ + +

------------------------------------------------------------------------------------=

C s( ) dm n– sm n– … d0

kcs sp+( )c

--------------------

c 1=

q

∑kis si+------------

i 1=

n q–

∑+ + + +=

s pc–=



(4.34)

Para que a saída seja limitada os termos envolvendo não podem aparecer. Assim, é condi-ção necessária para G(s) ser estável que o grau do denominador seja pelo menos igual ao denumerador. Analisando agora os outros termos, os pólos da função de transferência devemestar todos localizados no semi-plano esquerdo pois, caso contrário, teríamos exponenciaiscrescentes com o tempo. Os pólos também não podem estar localizados no eixo imagináriovisto podermos sempre utilizar uma entrada limitada com esses pólos (um degrau ou umseno), que implicaria um pólo duplo ou um par de pólos conjugados duplo, implicando que asaída tivesse como termo uma rampa.

Assim sendo, pode-se sempre determinar se um sistema é estável ou não através do cálculodas raízes da sua polinomial característica. Contudo, se a ordem do sistema for grande, as raí-zes só podem ser determinadas com métodos numéricos. A situação agrava-se mais sealgum(s) coeficiente(s) forem função de um ou mais parâmetros variáveis. Um método expe-dito de determinar se um sistema é estável ou não é o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.

4.4.1 Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz

Seja a polinomial característica de um sistema dada por:

(4.35)

Factorizando-a, temos:

(4.36)

Se multiplicarmos os factores, temos:

(4.37)

Se analisarmos a equação anterior, verificamos que todos os coeficientes da polinomial devemter o mesmo sinal para todos os pólos estarem localizados no semi-plano esquerdo. Se issoacontecer, também não pode haver nenhum coeficiente nulo. Estas duas condições, que sepodem verificar facilmente apenas por inspecção da polinomial, são apenas necessárias paraque o sistema seja estável, isto é, não garantem que o sistema seja estável.

c t( ) dm n– δ m n–( ) t( ) … d0δ t( )kct

c 1– espt–

c!--------------------------

c 1=

q

∑ kiesit–

i 1=

n q–

∑+ + + +=

δ t( )

∆ s( ) bnsn bn 1– s

n 1– b1s b0+ + +=

∆ s( ) bn s p1–( ) s p2–( )… s pn–( )=

∆ s( ) bnsn bn p1 p2 … pn+ + +( )sn 1–

–

bn p1p2 … p1pn … pn 1– pn+ + + +( )sn 2–

…

bn 1–( )np1p2…pn

+

+

+

=


Estabilidade

O critério de Routh-Hurwitz permite, através da construção de uma rede de números, determi-nar inequivocamente se um sistema é estável ou não. Para aplicarmos este critério construímosa seguinte rede:

onde:

(4.38)

(4.39)

(4.40)

Como vemos, as primeiras duas linhas são construídas utilizando directamente os coeficientesda polinomial. Todos os outros são calculados como se indica. Uma vez calculada a rede, ocritério de Routh-Hurwitz diz que o número de raízes com parte real positiva é igual aonúmero de mudanças de sinal dos elementos da 1ª coluna da rede. Para um sistema ser estávelé assim necessário que não sejam observadas mudanças de sinal.

Na prática podem aparecer, ao longo dos cálculos, 2 casos que merecem uma atenção especial.Estes são:

a) O aparecimento de um zero numa 1ª coluna de uma linha onde existem elementos nãonulos. Neste caso podemos aplicar 3 métodos para continuar o cálculo da rede:

Table 4.3 - Rede de Routh-Hurwitz

sn bn bn-2 bn-4 bn-6 ...

sn-1 bn-1 bn-3 bn-5 bn-7 ...

sn-2 c1 c2 c3 ... 0

sn-3 d1 d2 d3 ... 0

. ... ... ... 0 0

. ... 0 0 0 0

s0 g1

c1

bn bn 2–

bn 1– bn 3–

bn 1–----------------------------------–= c2

bn bn 4–

bn 1– bn 5–

bn 1–----------------------------------–= c3

bn bn 6–

bn 1– bn 7–

bn 1–----------------------------------–= …

d1

bn 1– bn 3–

c1 c2c1

----------------------------------–= d2

bn 1– bn 5–

c1 c3c1

----------------------------------–= …

e1

c1 c2d1 d2d1

---------------------–= e2

c1 c3d1 d3d1

---------------------–= …



1. Substitui-se o 0 por um número positivo pequeno que se faz tender para 0 depois de conclu-ída a rede;

2. Substitui-se s por 1/x na polinomial característica, e construa-se a rede para essa novapolinomial;

3. Multiplica-se a polinomial por um termo (s+1), introduzindo-se assim uma nova raiz. Arede é construída para essa nova polinomial.

b) O aparecimento de uma linha com todos os elementos nulos. Isto significa a existênciade raízes simétricas relativamente à origem, do tipo e , ou e

, ou 4 raízes complexas. Para se resolver este problema recorre-se à polinomialcorrespondente à linha imediatamente superior, que é sempre de ordem par, e cuja solu-ção nos dá as raízes simétricas relativamente à origem. A linha de zeros é substituídapelos coeficientes obtidos derivando essa polinomial.

4.5 Método do lugar das raízes

Mencionámos anteriormente que, no caso de os coeficientes da polinomial característicaserem função de um ou mais parâmetros, ser muito trabalhoso determinar analiticamente asraízes da polinomial característica do sistema em malha fechada. A rede de Routh-Hurwitz,introduzida na secção 4.4.1, apenas permite determinar se um sistema é estável ou não.

O método do lugar das raízes, introduzido por Evans em 1948, é um método gráfico que per-mite esboçar a trajectória dos pólos de um sistema em malha fechada, em função do ganho deum sistema. Nesta secção vamos introduzir este método, fazendo no entanto notar que o lugardas raízes pode ser calculado directamente em Matlab através da função rlocus.

4.5.1 Trajectórias das raízes da polinomial característica: exemplo de um sistema de 2ª ordem

Vamos admitir que a função de transferência para a frente de um sistema em malha fechadacom realimentação unitária é dada por:

(4.41)

A função de transferência em malha fechada é:

. (4.42)

As raízes da polinomial característica são:

(4.43)

s p–( ) s p+( ) s jw–( )s jw+( )

G s( ) ks s 2+( )-------------------=

Y s( )R s( )----------- k

s2 2s k+ +-------------------------

wn2

s2 2ξwns wn2

+ +---------------------------------------= =

s1 2, ξwn– wn ξ2 1–± 1– 1 k–±= =


Método do lugar das raízes

Se k=0, as duas raízes estão localizadas em s=0 e s=-2, os pólos do sistema em malha aberta.Entre as duas raízes vão-se juntando até que, em k=1, temos duas raízes iguais, loca-

lizadas em Se k>1, as raízes tornam-se complexas conjugadas. cuja parte real é

constante e igual a -1. A trajectória das raízes, quando k, positivo, varia, está representado nafig. 4.6.

FIGURE 4.6 - Lugar das raízes

Para , ambas as raízes estarão em . O sistema é sempre estável para qualquer valor de

.

4.5.2 Condição da amplitude e dos ângulos

No caso anterior (sistema em mala fechada de 2ª ordem) foi possível determinar analitica-mente a trajectória das raízes (ou o lugar das raízes) mas em sistemas de maior ordem tal trata-mento analítico não é possível.

O método proposto por Evans permite esboçar o lugar das raízes de um sistema em malhafechada em função das singularidades da função de transferência em malha aberta, e de umganho.

Exprimindo a função de transferência em malha aberta, na seguinte forma:

0 k 1< <s1 2, 1–=

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k ∞= ∞k 0>

G s( )H s( )



, (4.44)

onde o ganho, k, se designa por sensibilidade em loop estático, Como s é uma variável com-plexa, também o é. Para qualquer valor de k positivo, a seguinte relação deve sersatisfeita:

(4.45)

Podemos separar esta equação em termos de módulos e argumentos:

(4.46)

(4.47)

As equações (4.46) e (4.47) são conhecidas como condição das amplitudes e condição dosângulos, respectivamente.

Caso k seja negativo, a condição das amplitudes mantém-se, mas a condição dos ângulosmuda:

(4.48)

Atendendo à forma da função de transferência em malha aberta apresentada na eq. (4.44), asduas condições de ângulos expressas em (4.47) e (4.48) podem ser expressas como:

(4.49)

De igual modo, a condição das amplitudes pode-se escrever como:

(4.50)

Vamos dar um exemplo da aplicação destas regras. Tomemos o exemplo, para k>0:

(4.51)

G s( )H s( )

k s zi+( )

i 1=

m

∏

s pj+( )

j 1=

n

∏

------------------------------=

G s( )H s( )

G s( )H s( ) 1– 1ej 1 2x+( )π= = x 0 1± 2± …, , ,=

G s( )H s( ) 1=

G s( )H s( )∠ 1 2x+( )π= x 0 1± 2± …, , ,=

G s( )H s( )∠ 2x( )π= x 0 1± 2± …, , ,=

k∠ s z1+( )∠ … s zm+( )∠ s p1+( )∠– …– s pn+( )∠–+ + +1 2x+( )π k 0>2xπ k 0<⎩

⎨⎧

=

k

s pj+

j 1=

n

∏

s zi+

i 1=

m

∏

-------------------------=

GH s( ) k 1 0 2s,+( )s 1 0 5s,+( ) 1 0 1s,+( )------------------------------------------------------=



A figura seguinte mostra o lugar das raízes para este exemplo:

FIGURE 4.7 - Lugar das raízes de (4.51)

Primeiramente devemos exprimir (4.51) na forma expressa em (4.44):

(4.52)

O ponto pertence ao lugar de raízes porque:

(4.53)

Esta é a condição que nos diz se um ponto pertence ou não ao lugar das raízes. Caso pertença,o ganho K é dado por:

(4.54)

4.5.3 Regras de construção manual do lugar das raízes

A obtenção do lugar das raízes através da condição de ângulos é o método utilizado paraobtenção automática do lugar das raízes. Não é no entanto possível utilizá-la para cálculomanual. Existe no entanto um conjunto de regras que podem ser utilizadas para esboçar manu-almente o lugar das raízes. Neste documento não se vão expor todas as regras mas só as maisimportantes para um esboço manual. O conjunto de regras completo pode ser consultado emqualquer dos livros recomendados na bibliografia da disciplina.

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

s1

θ1θ2θ3

ψ1

l2l1

l3 l( )1

GH s( ) 2 10 k××5

------------------------ s 5+s s 2+( ) s 10+( )--------------------------------------- K s 5+( )

s s 2+( ) s 10+( )---------------------------------------= =

s1

ψ1 θ1– θ2– θ3– 1 2x+( )π=

Kl1l2l3l( )1

-------------=



4.5.3.1 Número de ramos

O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos da função de transferênciaem malha aberta (n).

4.5.3.2 Simetria

Como as raízes complexas do lugar das raízes aparecem aos pares conjugados, existe umasimetria do lugar das raízes relativamente ao eixo real. Por esta razão só é preciso determinarpara o semi-plano superior ou inferior.

4.5.3.3 Início

O lugar das raízes inicia-se nos pontos onde k=0. De acordo com (4.50), esses pontos são ospólos de GH(s).

4.5.3.4 Términos

De acordo com (4.50), nos zeros da função de transferência em malha aberta. Como

pode haver menos zeros do que pólos, ramos irão terminar em .

4.5.3.5 Lugar das raízes sobre o eixo real

Um par de pólos ou zeros complexos não influencia o lugar das raízes sobre o eixo real dadoque a sua contribuição angular total é de 360º. Só as singularidades da função de transferênciaem malha aberta são importantes para este caso. Nesta perspectiva analisemos a fig. 4.7, con-siderando .

Para qualquer ponto com , a contribuição angular para qualquer das 4 singularidades é

0º. Como a condição de ângulos nos diz que a contribuição total deverá ser , então

nenhum ponto no eixo real positivo pertence ao lugar das raízes para .

Entre , só 1 singularidade, o pólo em tem uma contribuição não nula, neste

caso de . Note que os ângulos são positivos se forem no sentido contrário aos ponteiros do

relógio (neste caso a contribuição angular é de , mas como se trata de um pólo a sua contri-buição é negativa, de acordo com (4.49).

Entre os dois pólos em e têm uma contribuição não nula. A con-

tribuição total é de , e portanto nenhum ponto deste segmento de recta pertence ao lugardas raízes.

Entre os dois pólos em e e o zero em têm uma contri-

buição não nula. A contribuição total é de , e portanto os pontos dentro dessesegmento de recta pertencem ao lugar das raízes.

k ∞=

n m– s ∞=

k 0>

σ 0>1 2x+( )π

k 0>

2– σ 0< < s 0=

π–

π

5– σ 2–< < s 0= s 2–=

2π–

10– σ 5–< < s 0= s 2–= s 5–=

π– π– π+ π=



Finalmente entre , todas as singularidades têm uma contribuição não nula. Ela é

de: e por consequência não pertencem ao lugar das raízes.

Se considerássemos o lugar das raízes sobre o eixo real seria o complementar ao atrásdeduzido.

Assim esta regra pode ser formalizada do seguinte modo: um ponto sobre o eixo real pertenceao lugar das raízes se existir à sua direita um número ímpar de singularidades (pólos ou zeros)para , ou um número par para .

4.5.3.6 Assimptotas quando

Já vimos na regra de términos do lugar das raízes (secção 4.5.3.4) que quando o número depólos excede o número de zeros, a diferença vai morrer em . Esta regra vai-nos expli-citar as assimptotas para esses ramos.

Tomando o limite de (4.44), temos

. (4.55)

Utilizando agora a condição de amplitudes e de ângulos para (4.55), temos:

(4.56)

(4.57)

Escrevendo (4.57) de outra forma temos:

(4.58)

Há assim um número de assimptotas que é igual à diferença entre o número de pólos e dezeros, e para k suficientemente grande, tangentes aos ângulos dados por (4.58). Quanto aoponto em que estas assimptotas cruzam o eixo real, ele é dado por:

∞– σ 10–< <π– π– π π–+ 0=

k 0<

k 0> k 0<

s ∞→

n m– ∞

k s zi+( )

i 1=

m

∏

s pj+( )

j 1=

n

∏

------------------------------s ∞→lim k

sn m–------------

s ∞→lim 1–= =

k– sn m–=

k–( )∠ sn m–( )∠1 2x+( )π k 0>2xπ k 0<⎩

⎨⎧

= =

ϕ

1 2x+( )πn m–

----------------------- k o>

2xπn m–------------- k 0<⎩

⎪⎨⎪⎧

=



. (4.59)

4.5.3.7 Pontos de saída ou entrada no eixo real

Já vimos que o lugar das raízes se inicia nos pólos e termina nos zeros da função de transferên-cia em malha aberta, ou em . Se tivermos uma situação em que existem 2 pólos ou zerosconsecutivos no eixo real, isto implica que a trajectória do lugar das raízes tem que sair ouchegar ao eixo real, respectivamente. Esta situação é retractada em a) e b) da fig. 4.8.

FIGURE 4.8 - Pontos de saída e chegada ao eixo real

Conforme se pode ver na figura estas situações reflectem-se em pontos de mínimos ou máxi-mos do ganho. Para se determinarem estes pontos, podemos exprimir (4.45) da seguinteforma:

(4.60)

Os máximos ou mínimos podem ser determinados através da solução da equação (4.61):

(4.61)

Deve ser salientado que a solução desta última equação dá-nos as soluções para e para

simultaneamente, bem como os pontos de saída como de chegada ao eixo real. Compete

σ0

pj–( )

j 1=

n

∑ zi–( )

i 1=

m

∑–

n m–-------------------------------------------------=

∞

k

σ

k

σ

k

σ

k

σ

a) b) c) d)

k– W s( )

s pj+( )

j 1=

n

∏

s zi+( )

i 1=

m

∏

---------------------------= =

sdd W s( ) 0=

k 0>k 0<



ao utilizador, de acordo com o resultado da regra de lugar de raízes sobre o eixo real, identifi-car as várias soluções.

Os troços do lugar de raízes sobre o eixo real nem sempre coincidem com um único ramo,conforme é ilustrado em c) e d) da fig. 4.8. O último caso pode ser facilmente confirmadopois, para o ponto de saída, as 3 primeiras derivadas (no caso geral as r-1, sendo r o número deramos) de W(s) são nulas para esse ponto.

4.5.3.8 Intersecção do lugar das raízes com o eixo imaginário

Caso o sistema possa ser instável para uma gama de valores de k, esta situação acontecequando um ramo sobre o eixo real cruza o eixo imaginário, ou quando um par de ramos cruzao eixo imaginário. A 1ª situação é identificada através do lugar das raízes sobre o eixo real,enquanto a 2ª é identificada através do aparecimento de uma linha de zeros na rede de RouthHurwitz (ver secção 4.4.1). Conforme indicado nessa secção, os pontos de cruzamento podemser obtidos pela solução da equação auxiliar.

4.5.3.9 Conservação da soma do lugar das raízes

Partindo de

, (4.62)

a equação característica tem a forma:

, (4.63)

Se substituirmos (4.62) em (4.63), ficamos com:

(4.64)

Se agora expandirmos cada um dos termos (ver (4.37)), ficamos com:

(4.65)

G s( )H s( )

k s zi+( )

i 1=

m

∏

s pj+( )

j 1=

n

∏

------------------------------=

1 G s( )H s( )+

s ri+( )

i 1=

n

∏

s pj+( )

j 1=

n

∏

---------------------------=

s pj+( )

j 1=

n

∏ k s zi+( )

i 1=

m

∏+ s rk+( )

k 1=

n

∏=

sn sn 1– pjj 1=

n

∑– …+⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

k sm sm 1– zii 1=

m

∑– …+⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

+ sn sn 1– rkk 1=

n

∑– …+⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=



Se agora , isto é, se a função de transferência em malha aberta tiver pelo menos maisdois pólos que zeros, como o 2º termo do lado esquerdo de (4.65) só vai ter influência para oscoeficientes relacionados com os últimos m termos, podemos escrever para o termo de ordemn-1:

(4.66)

Esta última equação, conhecida pela regra de Grant, diz-nos que, no caso de , asoma dos pólos em malha aberta é igual à soma dos pólos em malha fechada.

n m 2+≥

pjj 1=

n

∑ rkk 1=

n

∑=

n m 2+≥


capÍtulo 4 análise de sistemas no domínio do tempow3.ualg.pt/~aruano/chapter4.pdf · sistemas...

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