1-8 TC026 – Resistência dos Materiais I

Capitulo 3

ESFORÇO NORMAL SIMPLES

3.1 Definição

Quando na seção transversal do prisma atua uma força normal a ela e aplicada em seu centro de gravidade (CG).

3.2 Deformações e tensões

Hipótese: Após a deformação do prisma, as seções transversais permanecem planas e normais ao eixo do prisma.

Conseqüência: Tensões normais e constantes em todos os pontos de uma seção transversal do prisma e ausência de tensões de cisalhamento.

∑ = 0xF

N - ∫ =Ax

xxdA 0σ ∴ x

xA

N=σ

Para o prisma elementar:

dxddx

dxx .ελ

λε =∴=

y

x

N N

L λ

xdx

dλ

Ax

x

x

N

y

dAx

G

xσ

2-8 TC026 – Resistência dos Materiais I

De acordo com a Lei do Hooke E

x

x

σε =

Então: dxAE

Ndx

Ed

x

x

.. ==

σλ � ∫=

l

x

dxAE

N

0 .λ

No caso de E e N serem constantes:

∫=l

xA

dx

E

N

0λ

Se AX = A = constante

EA

lN

.

.=λ

3.3 Tensões normais e tangenciais numa seção obliqua, de um prisma solicitado axialmente

φσσ

φ

φ

φσ

φφσσ

2

2

cos.'

cos

cos

cos.'

cos'cos'

'

''

=

==∴

====

A

N

A

N

AANN

A

N

A

N

N

A

αααα

ββββ

φ

N'

T'

NA'

Admitindo-se distribuição uniforme de ação molecular de cisalhamento, provocada pela componente T’, temos:

'

''

A

T=τ φsenNT .'=

φ

φτ

cos

.'

A

senN=∴

φσ

φφσ

φφτ 22

cos.2.2

cos.' sensensenA

N===

φσ

τ 22

' sen=

3-8 TC026 – Resistência dos Materiais I

Máximas tensões:

Normal

max'σ � 0=φ

A

N==∴ σσ

max seção normal ao eixo longitudinal

Cisalhamento

maxτ � 2

º45º902max

στφφ =∴=∴=

3.4 Prisma sob ação do peso próprio

Px= peso próprio do prisma, acima da seção αβ

γ = peso específico do material do prisma

dx

x

λ

αααα

αααα' ββββ'

ββββ

N

Px

Tensões

Considerando γ o peso específico do material, na seção distante x da extremidade superior, tem-se:

A

N

x

4-8 TC026 – Resistência dos Materiais I

xA

N

A

xAN

A

N

xANN

x

x

x

x

.

..

..

γσ

γσ

γ

+=

+==

+=

Para x = L, tem-se maxσσ =x ; assim, l

A

N.

maxγσ +=

Deformações

dx

N

x

A

Nx

E

l

EA

lN

xAxN

EA

dxEA

xAN

EA

dxN

EA

dxNd

l

l

l l

x

x

2

.

.

.

)2

...(.

1

.

..

.

.

.

.

2

0

2

0

0 0

γλ

γλ

γλ

λ

+=

+=

+==

=

∫ ∫

3.5 Trabalho de deformação ou energia de deformação

Seja um prisma de seção constante A e o material elástico de módulo de elasticidade E, como mostrado abaixo:

xANN x ..γ+=

5-8 TC026 – Resistência dos Materiais I

P

λ

P

λ

Considerando a carga P crescendo de zero a um determinado valor P, de

forma gradativa e se o material obedece à Lei de Hooke, tem-se:

EA

lPdd

EA

lP

EA

lP

.

.

.

.;

.

.=== λλλ

Forças externas aplicadas a corpos elásticos, efetuam trabalho. Quando as forças são aplicadas, este trabalho é armazenado em forma de energia potencial de deformação. Se o corpo for elástico, quando descarregado esta energia é recuperada na forma de trabalho externo e o corpo retoma sua forma e dimensões primitivas.

Princípio da Conservação de Energia

“O trabalho realizado é igual à variação na energia”

Para corpos elásticos inicialmente descarregados, solicitados por carregamento estático, quando não ocorre troca calorífera e os corpos não apresentam movimento de corpo rígido:

Le = L

Sendo Le o trabalho das forças externas e L a energia de deformação.

P

dL

P

P

dλ

λλλ

L

6-8 TC026 – Resistência dos Materiais I

Como λ varia com P , o trabalho das forças externas pode ser calculado através de integração:

∫ =====

=∴

=

PP

PAE

lPP

AE

lPdP

AE

lLLe

PdPAE

ldLe

dPdLe

0

2

0

2

2

1

2

.

2.

.

.

λ

λ

λ.2

1

2

12

PLouAE

lPL ==

Energia de deformação por unidade de volume

V

L=

E2

1

V EA

A P

2

1

V

L2

2

2σ

===E

σε =

ε σ σ

σ2

1

E2

1==

ε σ2

1= Energia Específica de Deformação

σ

σ

ε ε

Área =

7-8 TC026 – Resistência dos Materiais I

3.6 Materiais Homogêneos Associados

3.6.1 Teoria Elástica

21

AAA +=

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

:2

:1

:

σ

ε

σ

σ

ε

σ

E

A

Material

E

A

Material

osConsiderem

Hipótese: dentro de certos limites de solicitação, podemos considerar:

21εε = (1)

Da Lei de Hooke, temos: 1

1

1E

σε = e

2

2

2E

σε =

Donde: 2

2

1

1

EE

σσ= ou ainda:

nE

E==

2

1

2

1

σ

σ (2)

Quanto ao esforço solicitante N, podemos escrever:

N = N1 + N2

sendo N1 a parcela de N absorvida pelo material 1 e N2 a parcela de N absorvida pelo material 2.

Ainda, 111.AN σ= e 222 .AN σ=

N N

G

2

1

σ1

σ2

σ

εε1=ε2

1

2

arc tanE1

arc tanE2

8-8 TC026 – Resistência dos Materiais I

Resulta: 2211.. AAN σσ += (3)

PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO

Dados: N ; 2

1

E

En = ;

2

1

A

Ap = ;

1σ e

2σ

Pedem-se: A1 ; A2 e A

De (2): 21

σσ n= (4)

Em (3): 1222

AnAN σσ += mas 21

pAA =

Portanto, )1(222222

npAnpAAN +=+= σσσ

2

2

2)1(

σσ ≤+

=npA

N

Na igualdade, resulta:

22 σσ = e )1(2

2np

NA

+=

σ

Ainda é necessário verificar: 11 σσ ≤

Então: 21 σσ n= , mas 22 σσ =

e 121σσσ ≤= n

Caso tenha 11σσ > , faz-se então 11 σσ = e

nn

11

2

σσσ ==

E o valor de A2 será: )1(

.

1

2np

NnA

+=

σ

Calcula-se então:

21 pAA = e 21 AAA +=

Obs. Para termos esforço normal simples, é necessário que a força N esteja aplicada no centro de gravidade do conjunto.