1

Capítulo 3 – O Oscilador Hamônico

Uma força unidimensional, que depende somente da posição x, tem uma

expansão de Taylor em torno da sua posição de equilíbrio x=0 (onde F=0)

Quando somente o termo linear em x é relevante, teremos a lei de Hooke que

nada mais é do que a equação diferencial do oscilador harmônico simples

(sistema massa-mola, pêndulo simples para pequenas oscilações,...). Dizemos

que estamos com o oscilador num regime elástico

Quando não podemos desprezar os termos quadráticos..., estaremos num regime

plástico que pode chegar à ruptura da mola se a elongação for suficientemente

grande.

O oscilador harmônico simples, do ponto de vista matemático, nada mais é do

que uma equação diferencial linear ordinária homogênea de segunda ordem no

tempo.

Ela é ordinária porque não tem derivada parcial, linear porque só comparecem x

e suas derivadas (isto é, não há termos do tipo

Observe que

tem dimensão de (frequência). Podemos reescrever

A força conservativa (1) tem energia potencial elástica associada

uma dependência parabólica com x.

Se fizermos o “ansatz” (baseado no mundo real, pois esperamos obter um

movimento oscilatório cuja descrição matemática se faz via senos e cossenos) de

que

é solução, então

2

e

da eq. (2) teremos por seguinte, uma solução é

Se tivéssemos feito o “ansatz”

teríamos

e

logo, e outra solução é

É fácil verificar que qualquer combinação linear de

com a e b constantes independentes do tempo, também é solução de (2).

O fato de a superposição de 2 soluções também ser solução é uma propriedade de

toda e qualquer equação diferencial ordinária linear...chamamos essa

propriedade de Princípio de Superposição.

A ordem da equação diferencial ordinária define a dimensão do espaço de

soluções linearmente independentes: ordem N terá N soluções linearmente

independentes.

No caso da eq. (2), a solução geral é dada por

Trocando as constantes a e b por A e ϕ

3

podemos reescrever (5)

A constante A é chamada de amplitude, pois

A constante ϕ é chamada de fase.

Sobre as condições iniciais

A existência de 2 soluções linearmente independentes é fundamental para

podermos impor condições iniciais arbitrárias

então

donde

Energia do Oscilador Harmônico

A energia cinética Ec é função do tempo

A energia potencial U é função do tempo

como

4

teremos a Conservação da Energia Mecânica E

A energia cinética média num período

vale

mudando de variável:

mas

, logo

. Nos limites de

integração o termo em seno zera e

, ou seja

De maneira semelhante é fácil mostrar que

Exemplos

1) O Pêndulo de Torção

; ; ;

5

2) O Pêndulo Simples

Componentes

radial:

onde F é a tensão na corda

tangencial:

ou

A equação (8b) acima é diferencial de 2ª. ordem mas não linear em θ !

Sua solução é complicada e se expressa através das funções elípticas de Jacobi

(que não pode ser escrita em termos de funçoes elementares). Uma vez obtida a

solução de substituimos em (8 a ) e determinamos a tensão F.

Para , pequenas amplitudes, vale a aproximação

por exemplo, se

Neste caso, (8b) fica uma equação diferencial linear

donde

ou

6

Se puxamos a corda do pêndulo até um ângulo e o soltamos a partir do

repouso, a solução será então

Nesta aproximação, vemos que o período de oscilação não depende da amplitude

inicial .

Isso deixa de ser verdade se não é pequeno. Pode-se mostrar que a primeira

correção é

3) O Pêndulo Físico

o torque será

Na aproximação de ângulos iniciais pequenos e

, logo

O pêndulo físico se comporta como um pêndulo simples de comprimento

O ponto C da reta OG tal que a distãncia OC é l é chamado centro de oscilação

do pêndulo físico (o ponto O é o ponto de suspensão) . Se concentrássemos toda

a massa M no ponto C e ligássemos por um fio sem massa, o pêndulo físico se

transformaria num pêndulo simples.

7

Se o ponto de suspensão é O teremos, pelo Teorema dos Eixos Paralelos

Se trocarmos o ponto de suspensão O por C, e chamando o momento de inécia de

, a distância ao novo centro de oscilação de , de (12) teremos

.

Pelo Teorema dos Eixos Paralelos ;

Eliminando de (13a ) e substituindo em (13b) e (12)

Logo

O novo centro de oscilação, quando suspendemos o pêndulo por C, passa a ser o

ponto O ( a eq. 3.3.30 do Moysés está errada).

4) Oscilações de um líquido em um tubo em U

Considere um líquido de densidade , secção transversal constante e igual a , e

comprimento total . A massa de liquido será então . Se em equlíbrio

dos 2 ramos escolhemos o nível onde então ao erguer uma

pequena quantidade do líquido de uma altura , teremos

A coluna líquida entra em oscilação com velocidade instantânea

e energia

cinética

e a energia mecânica será

8

Comparando com a energia do oscilador temos que

Logo

, ou seja o período de oscilação será

5) Oscilações de 2 partículas

Considere 2 partículas de massas e ligadas por uma mola de cosntante e

massa desprezível movendo-se na horizontal e sem atrito.

A deformação da mola será

A força

o que fornece as equações de movimento

A coordenada do cm:

tem aceleração zero pois de (15)

. Ou seja o cm se move com velocidade constante.

Multiplicando a 1ª. eq. de (15) por , a 2ª. eq. de (15) por e subtraindo a 2ª.

da 1ª., temos

onde

é a massa reduzida do sistema.

9

O sistema translada com velocidade do cm e oscila como uma partícula única

de massa igual à massa reduzida com período

6) Molécula diatômica

A energia potencial de interação de uma molécula diatômica é dada por

onde é a energia de dissociação da molécula e é distância

interatômica de equilíbrio.

Expandindo em série de Taylor em torno de

onde a 1ª. derivada é zero pois

Identificando

A energia mecânica será

onde

é a massa reduzida do sistema.

10

Essa molécula vibra com frequência

Tipicamente para a molécula CO:

.

Essa frequência, para a luz , corresponde a um comprimento

É uma radiação na região do infravermelho (o visível está entre 3.000 e 7000 .

Plano Complexo z

Seja o número complexo , com e . Esse número

corresponde a um único ponto do plano complexo

A adição de 2 números complexos obedece à regra do paralelogramo

y

x

z

plano complexo z = x + iy

y

x

11

E o produto

Se expandirmos em Taylor a exponencial ,

teremos

juntando os termos reais puros e imaginários puros

e reconhecemos as expansões de Taylor de seno e cosseno

que é a famosa Fórmula de Euler.

Definimos o complexo conjugado

Por conseguinte o módulo ao quadrado de será

Podemos representar o número complexo em coordenadas polares

Logo,

Voltemos agora à equação do oscilador harmônico

Vamos transformá-la numa equação algébrica

com α independente do tempo. Então, teremos uma equação algébrica para

com duas soluções linearmente independentes

12

Donde obtemos a solução geral

Como é real ,

Escrevendo

, teremos

ou

Superposição de Movimentos Harmônicos

1) Mesma Direção e Frequência

Podemos escrever

Colocando em evidência

Chamando

Ou seja,

Dados determinamos .

E a solução superposta

Oscila com mesma frequência, mas amplitude e fases diferentes.

13

2) Mesma Direção e Frequências Diferentes

Como o oscilador 1 tem período e o oscilador 2 tem período (em geral

diferente de ) a diferença de fase: tem dependência

temporal . Em geral, portanto, o movimento resultante não é

periódico.

Para que o movimento seja periódico com período T é preciso que

Ou

Dizemos que os períodos e são comensuráveis. O período T corresponde

aos menores valores inteiros de e que satisfazem (22).

Batimentos

Vamos supor o caso mais simples , e as frequências são

muito próximas, definimos

,

Então

Fica

14

Ou

Como , então o pré-fator

oscila lentamente

em relação a e dizemos que este pré-fator modula a amplitude

. Dessa forma a amplitude oscila no tempo

As oscilações rápidas na figura acima correspondem à frequência , os zeros da

curva envoltória correspondem aos zeros devido à frequência

do termo

.

No caso de onda sonora, como a intensidade é proporcional a , ouviremos

um subir e descer da intensidade sonora, quanto mais próximas as frequências

( ) menor será o intervalo entre subidas e descidas. Na afinação

do violão, pressionamos a corda La (afinada com o diapasão) e a corda

subsequente...a afinação se dará quando o nosso ouvido não mais perceber a

variação de intensidade que é conhecida como batimento.

3) Mesma frequência e direções perpendiculares

Suponhamos a oscilação bidimensional

Sem perda de generalidade podemos escolher e

15

A trajetória estará dentro de um retângulo .

Eliminando o tempo t teremos

Ou

Casos Particulares

16

4) Frequências diferentes e direções perpendiculares

Como num osciloscópio em que jogamos uma voltagem com frequência

numa direção e numa direção perpendicular.

Formam-se as figuras de Lissajous que podem ser órbitas fechadas (períodos

comensuráveis) ou abertas