___________________________________________Instituto de Ciências Exatas - Departamento de MatemáticaCálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo

Capítulo 2: Funções

2.1- Definições

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B é uma lei, regra ou correspondência que associa a cada elemento x de A

um único elemento y de B.O conjunto A é o domínio de f ou o conjunto onde a função é definida, e é indicado por D(f).O conjunto B é o contradomínio de f ou campo de valores de f.O único elemento y de B associado ao elemento x de A é indicado por f(x) (leia: f de x); diremos

que f(x) é o valor que f assume em x ou é a imagem de x pela função f.Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f, que é o

conjunto de todos os valores assumidos pela função f, e indicado por Im(f) ou f(A). Simbolicamente, temos: { }AxxfAff ∈== );()()Im( .

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por BAf →: (leia: f de A em B).

Duas funções BAf →: e DCg →: são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x), ∀x ∈ A. Ou seja, duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma regra de correspondência.

Uma função de uma variável real a valores reais ou função real de uma variável real é uma função BAf →: , onde A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções

reais de uma variável real.

- Observações:

1. Usa-se a notação )(xfx para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x).

2. Não se deve confundir f com f(x): f é a função, enquanto que f(x) é o valor que a função assume num ponto x do domínio, ou seja, f(x) é a imagem de x por f.

3. Quando uma função é dada pela regra y = f(x) é comum referir-se à variável y como variável dependente e à variável x como variável independente. É usual dizer que y é função de x.

4. A natureza da regra que ensina como obter o valor de f(x) ∈ B quando é dado x ∈ A é inteiramente arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições:

1ª) A fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) a todo x ∈ A;2ª) A cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) em B, ou seja, se x = x’ em A

então f(x) = f(x’) em B.

5. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de correspondência )(xfx . Mesmo quando dizemos simplesmente “a função f”, ficam subentendidos

12

seu domínio A e seu contradomínio B. Sem que eles sejam especificados, não existe função. Assim sendo, uma pergunta do tipo “Qual é o domínio da função f(x) = 1/x ?”, estritamente falando, não faz sentido. A pergunta correta seria: “Qual é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a fórmula f(x) = 1/x define uma função RAf →: ?” Porém, muitas vezes uma função é dada pela regra )(xfx ou, simplesmente, f(x) sem explicitarmos seu domínio e contradomínio; quando isso ocorrer, fica implícito que o contradomínio é R e que o domínio é o “maior” subconjunto de R para o qual faz sentido a regra em questão, ou seja, f(x) é um número real.

- Notações: [ ) ( ) ( ] ( )0 , 0 , ,0 ,0 ** ∞−=∞−=∞+=∞+= −−++ RRRR

- Exemplos e Contra-exemplos:

1. A correspondência que associa a cada número natural n seu sucessor n + 1 define uma função NNf →: , sendo f(n) = n + 1. D(f) = N e Im(f) = N – {1}.

2. A regra que associa a cada [ ]2,1∈x o seu dobro define uma função [ ] Rf →2,1: , com f(x) = 2x.D(f) = [1, 2] e Im(f) = [2, 4].

3. A fórmula A = πr2 da área A de um círculo de raio r associa a cada real positivo r um único valor de A, determinando assim, uma função RRf →+

*: tal que f(r) = πr2. ** )Im( e )( ++ == RfRfD .

4. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. As regras estabelecidas nos diagramas abaixo não definem funções de A em B.

5. Seja dada a regra 24)( xxf −= . Neste caso, o maior subconjunto de R para o qual f(x) ∈ R é 4 – x2 ≥ 0, ou seja, - 2 ≤ x ≤ 2. Logo D(f) = [-2, 2] e Im(f) = [0, 2].

2.2- Gráfico de uma função

Seja BAf →: uma função, onde A e B são subconjuntos não vazios de R. O conjunto ( ){ } AxBAxxfxfG ⊂∈= ; )(, )( denomina-se gráfico de f. Assim, o gráfico de f é

um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais.Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode

então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela

que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. Mais adiante desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos.

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- Observação: Podemos nos perguntar se, dada uma curva C no plano cartesiano, ela sempre representa o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva C só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um ponto.

A curva C1 representa o gráfico de uma função, enquanto a curva C2 não representa.

- Exemplos:

1. Considere a função f(x) = x2. Temos: D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e a figura abaixo esboça o gráfico de f.

2. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = R e a figura abaixo mostra o seu gráfico.

3. Seja 2 se ,4

22 se ,2 2 se ,2

)(por definida :

>≤<−

−≤−=→

xx

xxfRRf . Temos: D(f) = R, Im(f) = {– 2, 2, 4} e o

gráfico de f é mostrado pela figura a seguir.

14

4. Seja xxf =)( . Então D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e o gráfico de f pode ser visto na figura abaixo.

5. Seja x

xf 1)( = . Então D(f) = R – {0} e Im(f) = R – {0}. A figura abaixo mostra o gráfico de f.

6. Seja [ ]xxf =)( = maior inteiro ≤ x. Temos que D(f) = R e Im(f) = Z. O gráfico de f é dado por:

2.3- Operações

Operações aritméticas sobre funções

Sejam f e g duas funções, sendo D(f) = A e D(g) = B. Se A ∩ B ≠ ∅, podemos definir:

a) Função Soma de f e g: (f + g) (x) = f(x) + g(x), sendo D(f + g) = A ∩ B.b) Função Diferença de f e g: (f – g) (x) = f(x) – g(x), sendo D(f – g) = A ∩ B.c) Função Produto de f e g: (f . g) (x) = f(x) . g(x), sendo D(f . g) = A ∩ B.

d) Função Quociente de f por g: ( ) ( )( ) ( ){ } φ≠≠∩∈=

=

0 ; sendo , xgBAx

gfD

xgxfx

gf

.

- Observação:Se f for uma função constante, digamos f(x) = k, k ∈ R, então o produto de f e g será kg. Desta forma, multiplicar uma função por uma constante é um caso particular de multiplicação de duas funções.

15

- Exemplo:Sejam as funções 1)( e 4)( 2 −=−= xxgxxf .Então { } { }1ou 1 ;)( e 4 ;)( ≥−≤∈==≤∈== xxRxBgDxRxAfD .Temos:( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=+−+−=+ xxRxBAgfDxxxgf

( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=−−−−=− xxRxBAgfDxxxgf

( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ;. ; 1.4. 2 ≤≤−≤∈=∩=−−= xxRxBAgfDxxxgf

( ) { } { }41ou 1 ;0)( ; ; 1

42

≤<−<∈=≠∩∈=

−−=

xxRxxgBAx

gfD

xxx

gf

( ) ( ) { }4 ;5 ; 4 5 )5( ≤∈==∩=−−−=− xRxAARfDxxf

Composição de Funções

Sejam RBgRAf →→ : e : duas funções tais que Im(f) ⊂ B, ou seja, para todo x ∈ A temos que o valor f(x) ∈ B. A função RAgof →: definida por (gof)(x) = g(f(x)) é denominada função composta de g e f.

- Exemplos:

1. Sejam f e g funções dadas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = x2 + 4x. Determinar as funções gof e fog.Temos: D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = R; Im(g) = [-4, ∞).Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g(3x – 2) = (3x – 2)2 + 4 (3x – 2) = 9x2 – 4 e D(gof) = D(f) = R.Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2 + 4x) = 3(x2 + 4x) – 2 = 3x2 + 12x – 2 e D(fog) = D(g) = R.Logo: 2123)(por dada : e 49)(por definida : 22 −+=→−=→ xxxfogRRfogxxgofRRgof .

2. Sejam f e g funções dadas por 2)( e )( xxgxxf == . Determinar as funções gof e fog.Temos: D(f) = R+; Im(f) = R+; D(g) = R; Im(g) = R+.Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x )2 = x = x, pois D(gof) = D(f) = R+.

Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2) = xx =2 , pois D(fog) = D(g) = R.

Logo: xxfogRRfogxxgofRRgof =→=→+ )(por dada : e )(por definida : .

- Observações:

1. A função h: R → R definida por h(x) = (x2 – 1)10 pode ser considerada como a composta gof das funções f: R → R dada por f(x) = x2 – 1 e g: R → R definida por g(x) = x10 .

2. O livro texto contempla a possibilidade de definir a composta gof, sendo Im(f) ⊄ D(g). Neste caso, { })()();()( gDxffDxgofD ∈∈= .

Por exemplo: xxgxxf =−= )( e 32)( . Temos:

16

D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = [0, +∞); Im(g) = [0, +∞).

Im(f) ⊄ D(g) ⇒ { } { }

+ ∞=≥−∈=∈∈=−= ,23032;)()();()( e 32)( xRxgDxffDxgofDxxgof .

Im(g) ⊂ D(f) ⇒ [ )+ ∞==−= ,0)()( e 32)( gDfogDxxfog . 2.4- Exercícios

Páginas 20, 21, 22, 23 e 24 do livro texto.

2.5- Funções Especiais

Função Constante

fixo real número um sendo ,)(por definida : kkxfRRf =→

D(f) = R e Im(f) = {k}

Exemplo: 3)( ;: −=→ xfRRf

Função Identidade

)(por definida : xxfRRf =→ (Notação: f = idR)

D(f) = R e Im(f) = R

Função do 1º Grau

0 a e reais números b e a sendo ,)(por definida : ≠+=→ baxxfRRf

D(f) = R e Im(f) = R

Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e de coeficiente linear.

Quando a > 0, a função f(x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) também cresce.

Quando a < 0, a função f(x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) decresce.

O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados.

Exemplos:

a) f(x) = 2x + 3 é uma função do 1º grau crescente pois a = 2 > 0.

b) f(x) = – 3x + 1 é uma função do 1º grau decrescente pois a = – 3 < 0.

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Função Módulo

)(por definida : xxfRRf =→

D(f) = R e Im(f) = [0, +∞)

Função Quadrática ou Função do 2º Grau

0 a e reais números c e b a, sendo ,)(por definida : 2 ≠++=→ cbxaxxfRRf

D(f) = R

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo vertical (y).

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.

Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

A interseção da parábola com o eixo horizontal (x) define os zeros da função.

, então )( quadrática função da zeros os são e Se 212

21 abxxScbxaxxfxx −=+=++=

).)(()( )( e . 212

21 xxxxaPSxxaxfacxxP −−=+−===

A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice, de

coordenadas

∆−−

aab

4,

2, sendo acb 42 −=∆ .

Dada uma função quadrática )( 2 cbxaxxf ++= , usando a técnica de completar os quadrados, podemos escrevê-la na forma ( ) vv yxxaxf +−= 2)( , sendo ( )vv yx , o vértice da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é dado por x = xv.

18

Função Polinomial

função.dagrau o determina que negativo não inteiro um e 0, es,coeficient chamados reais números

, , ... , , , sendo , x ... )(por definida : 1210012

21

1

naaaaaaaxaaxaxaxfRRf

n

nnn

nn

n

≠+++++=→ −

−−

D(f) = R

Exemplos:

a) A função constante f(x) = k é uma função polinomial de grau zero.b) A função f(x) = ax + b, a ≠ 0, é uma função polinomial do 1º grau (grau 1).c) A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma função polinomial do 2º grau

(grau 2).d) A função f(x) = x3 é uma função polinomial de grau 3 chamada função cúbica.

e) A função f(x) = x4 – 1 é uma função polinomial de grau 4.

Função Racional

Uma função racional f é uma função dada por )()()(

xqxpxf = , onde p e q são funções

polinomiais.19

{ }0)( ;)( ≠∈= xqRxfD

Exemplos:

a) A função 11)(

+−=

xxxf é racional de domínio { }1)( −−= RfD .

b) A função ( ) ( )( ) ( )3.12

9.43)( 2

22

+−+−−+=

xxxxxxxf é racional de domínio { }3,3,4)( −−−= RfD .

2.6- Função Par e Função Ímpar

Uma função RAf →: diz-se par quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf =− .

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.

Exemplo: 2)( ;: xxfRRf =→

Uma função RAf →: diz-se ímpar quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf −=−.

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Exemplo: 53)( ;: xxxfRRf +=→

2.7- Funções Periódicas

Uma função RAf →: é dita periódica quando existe um número real p > 0 tal que para todo Ax ∈ tem-se Apx ∈± e )()( xfpxf =+ .

O menor número p com esta propriedade é chamado o período de f.

O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento p.

Exemplos: xxgsenxxf cos)( e )( == são periódicas de período 2π.

20

2.8- Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras

Dizemos que uma função BAf →: é injetora quando, para quaisquer )()( se- tem, com , 212121 xfxfxxAxx ≠≠∈ . Em outras palavras, dizemos que BAf →: é injetora

se 212121 então , em e com , )()( xxAxxxfxf == .

Exemplo: injetora. é )(por definida : xxfRRf =→+

Dizemos que uma função BAf →: é sobrejetora quando, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que y = f(x). Em outros termos, BAf →: é sobrejetora quando Im(f) = B.

Exemplo: a.sobrejetor é )(por definida : 2xxfRRf =→ +

Dizemos que uma função BAf →: é bijetora quando é injetora e sobrejetora.

Exemplo: bijetora. é )(por definida : 3xxfRRf =→

2.9- Função Inversa de uma Função Bijetora

Seja BAf →: uma função bijetora. Sendo f sobrejetora, Im(f) = B, o que significa dizer que para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y, e esse x é único porque f é injetora. Podemos, então, definir uma função ABg →: que a y ∈ B associa o único x ∈ A tal que f(x) = y, ou seja, yxfxyg =⇔= )( )( .

Se BAf →: é uma função bijetora, a função ABg →: definida por yxfxyg =⇔= )( )( denomina-se função inversa da função f e denotada por 1−f .

AxidxyfxffAAidoff AA ∈∀===→= −−− (x),)())(( pois ,: 111

ByyidyxfyffBBidfof BB ∈∀===→= −− ),()())(( pois ,: 11

Graficamente podemos determinar se uma função f admite inversa passando retas paralelas ao eixo x por pontos do contradomínio de f; cada uma dessas retas deve cortar o gráfico de f em apenas um ponto.

Os gráficos da função bijetora BAf →: e de sua inversa ABf →− :1 são simétricos em relação à bissetriz y = x do 1º e 3º quadrantes, pois )(),()()()(),( 11 −− ∈⇔=⇔=⇔∈ fGxyyfxxfyfGyx

Tendo o gráfico da função bijetora f, para fazermos o gráfico da função inversa de f basta traçarmos a reta y = x e observamos a simetria.

21

Exemplos:

a) A função 13)(por dada : +=→ xxfRRf é bijetora. Logo, admite inversa RRf →− :1 .Vamos apresentar dois modos para se obter uma fórmula para 1−f .

1º modo: Sendo y = 3x + 1, basta tirar x em função de y, isto é, 3

1−= yx . Logo,

RxxxfRyyyf ∈∀−=∈∀−= −− ,3

1)( seja,ou , ,3

1)( 11 .

2º modo: Sendo seja,ou ,1)(3 que segue , ,))(( 11 yyfRyyyff =+∈∀= −−

Ryyyf ∈∀−=− ,3

1)(1 .

b) A função x

xfRRf 1)(por dada : ** =→ é bijetora. Logo, admite inversa **1 : RRf →−

dada por x

xf 1)(1 =− . Excepcionalmente temos 1−= ff .

c) O gráfico abaixo ilustra a função 2)(por dada : xxfRRf =→ que não possui inversa. Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por exemplo, a função [ ) [ ) 2)(por definida ,0 ,0: xxff =∞+→∞+ tem como inversa a função [ ) [ ) xxff =∞+→∞+ −− )(por dada ,0 ,0: 11 .

22

2.10- Algumas Funções Elementares

Função Exponencial de base a

A função ,10 real, número um sendo ,)(por definida : ≠<=→ aaaxfRRf x é denominada função exponencial de base a.

D(f) = R e Im(f) = *R + = (0, + ∞)

O gráfico de xaxf =)( está todo acima do eixo das abscissas (x), pois 0>= xay para todo x ∈ R.

O gráfico de xaxf =)( corta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0, 1), pois a0 = 1.

Quando a > 1, xaxf =)( é crescente.

Quando 0 < a < 1, xaxf =)( é decrescente.

Um caso particular importante é a função exponencial xexf =)( , onde e é o número irracional conhecido por constante de Euler (e ... 597182818284,2≅ ).

Propriedades:

Se a, x, y são números reais e a > 0, então:

( )

( )

x

x

xxx

y

xyxyxyx

xxxyyx

aa

bbabaaaaaaa

aaaa

11

0 para , ..

particular em , .

1 particular em ,

=

>=

==

==

−+

−

Função Logarítmica de base a

A função ,10 real, número um sendo ,log)(por definida : * ≠<=→+ aaxxfRRf a é denominada função logarítmica de base a.

D(f) = *R + e Im(f) = R

23

O gráfico de xxf alog)( = está todo à direita do eixo y.

O gráfico de xxf alog)( = corta o eixo das abscissas (x) no ponto (1, 0), pois loga1 =0.

Quando a > 1, xxf alog)( = é crescente.

Quando 0 < a < 1, xxf alog)( = é decrescente.

As funções xxfRRf alog)(por definida : * =→+ e xaxgRRg =→ + )(por definida : * , sendo a um número real, 0 < a ≠ 1, são inversas uma da outra, pois y

a axxy =⇔= log . Assim, o gráfico de f é simétrico ao gráfico de g em relação à reta y = x.

Um caso particular importante é a função logarítmica de base e, chamada função logarítmica natural, que denotamos por xxf ln)( = .

Propriedades:

Se 0 < a ≠ 1 e x e y números reais positivos, então:

( )

yxyx

yxyxdxdx

aaa

aaa

ad

a

logloglog

loglog.log real númeroqualquer para , loglog

−=

+==

Funções Trigonométricas

• Medida de ângulo em radiano (rad)

É fato que a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o raio do círculo é um número real que só depende do ângulo, isto é, não depende do raio do círculo. Esta propriedade nos permite definir o seguinte:

A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o comprimento do raio do círculo.

24Rs

Rs

RsÔBA

RsAÔB

ÔBAAÔB

.

radianos ''''

radianos

''

αα

α

=⇒=

=

=

==

A medida de um ângulo de “uma volta”, ou seja, 360o, em radianos é 2π rad, pois rad 2 2 πααπα =⇒=⇒= RRRs .

Um ângulo mede 1 radiano quando o comprimento do arco determinado por ele em um círculo,

cujo centro é o seu vértice, é igual ao raio do círculo.

≅

= o

o

rad 5723601

π .

Quando o raio R do círculo é igual a 1, a medida do ângulo em radianos coincide com o comprimento do arco determinado pelo ângulo; isto nos permite fazer uma identificação entre ângulos e números reais.

• Círculo Trigonométrico

• Relações Fundamentais

xgxx

x

tgxsenx

xgx

tgxgx

xsenxtgx

senxxxxsen

22

22

22

cot1seccos cos

1sec

x 1sec coscot

1cot cos

1seccos 1cos

+==

+==

==

==+

• Ângulos Notáveis

06π

4π

3π

2π π

23π 2π

0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

Seno 021

22

23 1 0 -1 0

Cosseno 123

22

21 0 -1 0 1

Tangente 033 1 3 Não existe 0 Não existe 0

25

. eixo u: eixo dos cossenos

. eixo v: eixo dos senos

. eixo t: eixo das tangentes

. eixo c: eixo das cotangentes

xOD

xOS

gxBC

tgxAT

xOP

senxOP

OA

seccos

sec

cot

cos

1

2

1

=

=

=

=

=

=

=

• Fórmulas de Transformação

( )( )( )( )

( )

( )tgbtga

tgbtgabatg

tgbtgatgbtgabatg

senbsenababasenbsenababa

asenbbsenabasenasenbbsenabasen

.1

.1

.cos.coscos

.cos.coscoscos.cos.cos.cos.

+−=−

−+=+

+=−−=+−=−+=+

( )

( )ba

basentgbtga

babasentgbtga

babasensenbsena

babasensenbsena

basenbasenba

bababa

cos.cos

cos.cos

2cos.

22

2cos.

22

2.

22coscos

2cos.

2cos2coscos

−=−

+=+

+−=−

−+=+

−+−=−

−+=+

• Função SenosenxOPxfRRf ==→ 1)(por definida :

D(f) = R e Im(f) = [-1, 1] A função senxxf =)( é ímpar, pois ( ) senxxsen −=− . A função senxxf =)( é periódica de período 2π, pois ( ) senxxsen =+ π2 . A função senxxf =)( é crescente nos intervalos [0, π/2] e [3π/2, 2π] e decrescente

no intervalo [π/2, 3π/2]. O gráfico da função senxxf =)( é denominado senóide.

• Função CossenoxOPxfRRf cos)(por definida : 2 ==→

D(f) = R e Im(f) = [-1, 1] A função xxf cos)( = é par, pois ( ) xx coscos =− . A função xxf cos)( = é periódica de período 2π, pois ( ) xx cos2cos =+ π . A função xxf cos)( = é decrescente no intervalo [0, π] e crescente no intervalo

[π, 2π]. O gráfico da função xxf cos)( = é denominado cossenóide.

26

aaatg

aa

aasen

atgtgaatg

asenaasenaaasenaasen

2cos12cos1

22cos1cos

22cos1

122

211cos2cos2coscos.22

2

2

2

2

2222

+−=

+=

−=

−=

−=−=−==

• Função Tangente

xsenxtgxATxfRZkkxRxfcos

)(por definida ,2

;: ===→

∈+≠∈ ππ

∈+≠∈= ZkkxRxfD ,

2 ;)( ππ

e Rf =)Im(

A função tgxxf =)( é ímpar, pois ( ) tgxxtg −=− . A função tgxxf =)( é periódica de período π, pois ( ) tgxxtg =+ π . A função tgxxf =)( é crescente nos intervalos [0, π/2), (π/2, 3π/2) e (3π/2, 2π]. O gráfico da função tgxxf =)( é denominado tangentóide.

• Função Cotangente

{ }tgxsenx

xgxBCxfRZkkxRxf 1coscot)(por definida , ;: ====→∈≠∈ π

{ }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( π e Rf =)Im( A função gxxf cot)( = é ímpar, pois ( ) gxxg cotcot −=− . A função gxxf cot)( = é periódica de período π, pois ( ) gxxg cotcot =+ π . A função gxxf cot)( = é decrescente nos intervalos (0, π) e (π, 2π).

• Função Secante

xxOSxfRZkkxRxf

cos1sec)(por definida ,

2 ;: ===→

∈+≠∈ ππ

∈+≠∈= ZkkxRxfD ,

2 ;)( ππ

e ( )1,1)Im( −−= Rf

A função xxf sec)( = é par, pois ( ) xx secsec =− . A função xxf sec)( = é periódica de período 2π, pois ( ) xx sec2sec =+ π . A função xxf sec)( = é crescente nos intervalos [0, π/2) e (π/2, π] e decrescente

nos intervalos [π, 3π/2) e (3π/2, 2π].

27

• Função Cossecante

{ }senx

xODxfRZkkxRxf 1seccos)(por definida , ;: ===→∈≠∈ π

{ }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( π e ( )1 ,1)Im( −−= Rf A função xxf seccos)( = é ímpar, pois ( ) xx seccosseccos −=− . A função xxf seccos)( = é periódica de período 2π, pois

( ) xx seccos2seccos =+ π . A função xxf seccos)( = é crescente nos intervalos [π/2, π) e (π, 3π/2] e

decrescente nos intervalos (0, π/2] e [3π/2, 2π).

Funções Trigonométricas Inversas

• Função Arco Seno

É impossível definir uma função inversa para a função senxxfRRf =→ )(por dada : , pois a função seno não é injetora e não é sobrejetora. Para definirmos a função inversa de

senxxf =)( necessitamos restringir o domínio. Este fato ocorre com todas as funções trigonométricas.

Seja [ ] senxxff =−→

− )(por definida função a 1 ,1

2 ,

2: ππ

. Esta função é bijetora e,

portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco seno e denotada por

[ ] xsenarcxff )( onde 2

,2

1 ,1: 11 =

−→− −− ππ

.

Simbolicamente, para : temos,22ππ ≤≤− y xsenyxsenarcy =⇔= .

senxxf =)( xsenarcxf )(1 =−

28

Observação: Na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de senxxf =)( a qualquer dos seguintes intervalos: [π/2, 3π/2], [3π/2, 5π/2], [5π/2, 7π/2], ... ou

[-3π/2, -π/2], [-5π/2, -3π/2], [-7π/2, -5π/2], ... .

• Função Arco Cosseno

Seja [ ] [ ] xxff cos)(por definida função a 1 ,1 ,0: =−→π . Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco cosseno e denotada por

[ ] [ ] xarcxff cos )( onde ,01 ,1: 11 =→− −− π . Simbolicamente, para : temos,0 π≤≤ y xyxarcy =⇔= cos cos .

xxf cos)( = xarcxf cos )(1 =−

Observação:

A função xarcy cos = pode ser definida também pela equação xsenarcxarc 2

cos −= π.

• Função Arco Tangente

Seja tgxxfRf =→

− )(por definida função a

2 ,

2: ππ

. Esta função é bijetora e,

portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco tangente e denotada por

xtgarcxfRf )( onde 2

,2

: 11 =

−→ −− ππ

.

Simbolicamente, para : temos,22ππ <<− y xtgyxtgarcy =⇔= .

tgxxf =)( xtgarcxf )(1 =−

29

• Função Arco Cotangente, Arco Secante e Arco Cossecante

( ) bijetora é cot)( ; ,0: gxxfRf =→π .

( ) tgxarcgxarcxfRf 2

cot )( ; ,0: 11 −==→ −− ππ .

( ] [ ) bijetora é sec)( ; ,1 1 , ,2

2

,0: xxff =∞+−∞−→

πππ.

( ] [ )

==

→∞+−∞− −−

xarcxarcxff 1cos sec )( ; ,

2

2 ,0 ,1 1 ,: 11 πππ

.

( ] [ ) bijetora é seccos)( ; ,1 1 ,2

,0 0 ,2

: xxff =∞+−∞−→

−

ππ.

( ] [ )

==

−→∞+−∞− −−

xsenarcxarcxff 1 seccos )( ;

2 ,0 0 ,

2 ,1 1 ,: 11 ππ

.

Funções Hiperbólicas

• Função Seno Hiperbólico

2)(por definida :

xx eesenhxxfRRf−−==→

D(f) = R e Im(f) = R

• Função Cosseno Hiperbólico

2cosh)(por definida :

xx eexxfRRf−+==→

D(f) = R e Im(f) = [1, +∞)

30

Observação: A figura abaixo representa um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola; no entanto, é possível mostrar que a equação

correspondente é

=

axy cosh , onde a ∈ R e a ≠ 0. Esta curva recebe a denominação de catenária.

• Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas

As funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas, denotadas respectivamente por tgh, cotgh, sech e cossech, são definidas por:

( ) ( ) ( )1 ,1Im e ; cosh

−==+−== −

−

tghRtghDeeee

xsenhxtghx xx

xx

( ) { } ( ) ( ) ( )∞+−∞−=−=−+== −

−

,11 ,cotIm e 0cot ; coshcot ghRghDeeee

senhxxghx xx

xx

( ) ( ) ( ]1 ,0secIm e sec ; 2cosh

1sec ==+

== − hRhDeex

hx xx

( ) { } ( ) { }0seccosIm e 0seccos ; 21seccos −=−=−

== − RhRhDeesenhx

hx xx

• Identidades Hiperbólicas

xghxhxtghxh

ghxtghx

xsenhx

22

22

22

cot1seccos1sec

cot1

1cosh

−=−−=

=

=−

31

Funções Hiperbólicas Inversas

• Função Inversa do Seno Hiperbólico

Analisando o gráfico da função senhxxf =)( vemos que ela é bijetora; logo admite inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e denotada por arg senh, é definida por:

senhxxfRRf arg)( ; : 11 =→ −− .

RfRfD == −− )Im( e )( 11

senhyxsenhxy =⇔= arg

• Função Inversa do Cosseno Hiperbólico

Seja [ ) [ )∞+→∞+ ,1 ,0:f a função dada por xxf cosh)( = . Esta função é bijetora. A sua inversa, chamada argumento do cosseno hiperbólico e denotada por arg cosh, é definida por:

[ ) [ ) xxff cosharg)( ; ,0 ,1: 11 =∞+→∞+ −− .

[ ) [ )∞+=∞+= −− ,0)Im( e ,1)( 11 ffD

0 , cosh cosharg ≥=⇔= yyxxy

• Funções Inversas da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas

( ) bijetora é )( ; 1 ,1: tghxxfRf =−→ . ( ) tghxxff arg)( ; R1 ,1: 11 =→− −− .

{ } ( ) ( ) bijetora é cot)( ; 1, 1,0: ghxxfRf =+ ∞−∞−→− . ( ) ( ) { } ghxxfRf cotarg)( ; 01, 1,: 11 =−→+ ∞−∞− −− .

[ ) ( ] bijetora é sec)( ; 1 ,0,0: hxxff =→+ ∞ . ( ] [ ) hxxff secarg)( ; ,01 ,0: 11 =+ ∞→ −− .

{ } { } bijetora é seccos)( ; 00: hxxfRRf =−→− . { } { } hxxfRRf seccosarg)( ; 00: 11 =−→− −− .

32

• Expressões das Funções Hiperbólicas Inversas

( )( )

0 , 11lnseccosarg

10 , 11lnsecarg

1 , 11ln

21cotarg

11 , 11ln

21arg

1 , 1lncosharg

, 1lnarg

2

2

2

2

≠

++=

≤<

−+=

>

−+=

<<−

−+=

≥−+=

∈++=

xx

xx

hx

xx

xhx

xxxghx

xxxtghx

xxxx

Rxxxsenhx

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2.11- Aplicações

1. Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis e condensou as informações recebidas na tabela seguinte:

Opções Diária Preço por km rodadoLocadora 1 R$ 50,00 R$ 0,20Locadora 2 R$ 30,00 R$ 0,40Locadora 3 R$ 65,00 km livre

a) Obtenha uma equação que defina o preço y da locação por dia, em função do número de km rodados, em cada uma das situações apresentadas na tabela.b) Represente, no mesmo plano cartesiano, os gráficos dessas equações.c) A partir de quantos quilômetros o turista deve preferir a Locadora 1 ao invés da Locadora 2?d) A partir de quantos quilômetros o turista deve optar pela Locadora 3?

2. Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna máxima a receita da companhia?

3. A massa de materiais radioativos, como o rádio, o urânio ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de meia-vida desses materiais. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade. Denotando por M0 a massa inicial (corresponde ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por kteMM −= 0 , sendo k > 0 uma constante. Essa equação é conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante k depende do material radioativo considerado e está relacionada com a meia-vida dele. Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determinar:a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial, para esse material;b) a quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M0;c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da quantidade original.

4. Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total em mil reais, dada por 47520)( 2 ++= qqqCT , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada

por qqR 120)( = . a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo?

5. Veja outros exemplos no livro texto, páginas 43 a 53.

2.12- Exercícios

Páginas 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59 do livro texto.

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