capÃtulo_3

Prof. Delma – Mecânica dos Fluidos – 2012/2 23

EXERCÍCIOS: 1) Calcular a pressão em A, B, C e D da figura ao lado em pascals. 2) Determinar as alturas das colunas de água, de querosene (d=0,83) e de acetileno tetrabromado (d=2,94) equivalentes a 200 mmHg. 3) Na figura ao lado, d1=d3=0,83, d2 = 13,6, h1= 150 mm, h2 = 70 mm e h3 = 120 mm. a) determinar pA se pB = 10 psi. b) se pA = 20 psia e a leitura barométrica for 720 mm, determinar pB em metros de água na escala efetiva. c) determinar o desnível h2 no manômetro se pA = pB. 4) O pistão mostrado ao lado apresenta peso desprezível e área de seção transversal igual a 0,28 m². O pistão está em contato com um óleo (d = 0,90) e o cilindro está conectado a um tanque pressurizado que armazena ar, óleo e água. Observe que uma força P atua sobre o pistão para que ocorra o equilíbrio. a) calcule o valor de P b) Determine a pressão no fundo do tanque em metros de coluna de água. 5) O manômetro inclinado da figura abaixo indica que a pressão no tubo A é 0,6 psi. O fluido que escoa nos tubos A e B é água e o fluido manométrico apresenta d = 2,6. Qual é a pressão no tubo B que corresponde a condição mostrada na figura ?


3. Princípios da Conservação na forma integral 3.1 Descrição de fluido em movimento (Cinemática dos fluidos) A descrição de escoamento de um fluido é mais complexa que a análise de uma partícula ou de um corpo rígido. No escoamento de um fluido tem-se um número muito grande de partículas, além dos deslocamentos aleatórios das moléculas, o que torna praticamente inviável a descrição de escoamento de um fluido através dos movimentos individuais de suas partículas ao longo de suas trajetórias. Para tanto existem duas formas de abordagens para descrever o movimento de um fluido: o método langrangeano e o método euleriano. a) Métodos para descrição do movimento de fluido

LAGRANGE (não usual) - SISTEMAS: neste método descreve-se o movimento das partículas fluidas ao longo de sua trajetória em função do tempo, ou seja, as coordenadas de posição das partículas são funções do tempo. Assim, o campo de velocidade pode ser descrito como a seguir, considerando-se coordenadas retangulares:

V = V [ x(t), y(t), z(t), t ] (1)

EULER (mais usual – VOLUMES DE CONTROLE) : o movimento do fluido é descrito à medida que as partículas passam por determinados pontos em função do tempo , ou seja, as coordenadas de posição são variáveis independentes, de forma que o campo de velocidade do escoamento pode ser expresso (considerando igualmente coordenadas retangulares) como:

V = V (x, y, z, t ) (2)

Na análise dos escoamentos o método de Euler é, em muitas situações, mais adequado pois é difícil identificar e seguir partículas fluidas ao longo de suas trajetórias e também porque as medidas das propriedades são, em geral, mais facilmente realizadas em pontos fixos do escoamento. b) Campo de velocidade de escoamento e aceleração A aceleração das partículas fluida é obtida determinando-se a taxa de variação do campo de velocidade de escoamento expresso pela equação (1), sendo então determinado por:

ttztytxVdtda ),(),(),(

(3)

de forma que:

tV

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xVa

(4)

Mas tem-se que dx/dt, dy/dt e dz/dt são as componentes escalares das velocidades das partículas designadas por Vx , Vy e Vz , respectivamente, de maneira que a equação (4) pode ser descrita como

tV

zVV

yVV

xVVa zyx

)( (5)

A equação (5) é uma equação vetorial que pode ser decomposta em três equações escalares que, em relação a um sistema de coordenadas retangulares, são dadas por:

t

Vz

VV

yV

Vx

VVa xx

zx

yx

xx

(6 a)

t

Vz

VV

yV

Vx

VVa yy

zy

yy

xy

(6 b)

t

Vz

VVy

VVx

VVa zzz

zy

zxz

(6 c)

A equação (5) pode ser escrita como a = aconvectiva + alocal onde

zVV

yVV

xVVa zyxconvectiva

e tValocal


-100

-50

0

50

100

150

200

250

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

C=100C=50C=0C= -50

A aceleração convectiva é a taxa de variação da velocidade das partículas fluidas em função da mudança de posição no campo do escoamento. A aceleração local é a taxa de variação da velocidade das partículas fluidas em um ponto do campo de escoamento. Exemplo: Os componentes do vetor velocidade de um escoamento nas direções x e y são, respectivamente, dados por u = 0,9 [m/s] e v = 0,84.x² [m/s], onde x é medido em metros. Determine a equação das linhas de corrente e as represente no meio plano superior . Resolução: u = 0,9 e v = 0,84.x² e as linhas de corrente são dadas por:

22

.933,09,0.84,0 xx

uv

dxdy

e

dxxdy ²..933,0 →

Cxy 3.31,0 3.2 Sistema e Volume de Controle

No estudo de movimento dos fluidos são aplicadas três leis físicas fundamentais: a) princípio de conservação de massa; b) segunda lei de Newton para ao movimento e c) princípio de conservação da energia. A abordagem de sistema (lagrangeano) se torna, em muitas situações, inadequada, porque geralmente um sistema fluido se deforma de tal maneira ao longo do escoamento que deixa de ser identificável. Para isso, será apresentado um método adequado para a análise de escoamentos – a formulação de volume de controle (euleriano). Trata-se de focalizar a atenção numa determinada região do espaço através do qual o fluido escoa e descrevê-lo à medida que o fluido cruza essa região. Definições:

a) SISTEMA: é uma quantidade definida de matéria. No movimento de fluidos é muito difícil identificar e acompanhar essa quantidade definida ao longo do escoamento, pois as partículas fluidas têm mobilidade relativa muito grande.

b) VOLUME DE CONTROLE: é uma região arbitrária e imaginária no espaço através do qual o fluido escoa. c) SUPERFÍCIE DE CONTROLE: é a superfície do contorno geométrico do volume de controle, podendo ser

real ou imaginária, indeformável ou deformável, estacionária ou em movimento, conforme a conveniência para o problema em estudo.

A figura 4 ao lado mostra uma superfície do controle adequada para a análise de escoamento no interior de um duto. Como o fluido está em movimento, têm-se diferentes sistemas ocupando o volume de controle em diferentes instantes de tempo.

Figura 4: Superfície de controle para análise de escoamento em um duto.

d) VAZÃO : a vazão Q numa seção é o volume de fluido que escoa através da seção por unidade de tempo

e sua equação é dada por:

seçãoárea

dAnVQ )..(

(9)

No caso de escoamento com distribuição uniforme de velocidade na seção, a vazão é dada por Q = Vn .

A onde Vn é o componente da velocidade de escoamento na direção normal à seção e A é a área da seção.


Como se define a vazão em volume, podem ser definidas as vazões em massa (Qm) e em peso (QG). QG = g . Qm

e) FLUXO DE MASSA: numa seção é a massa de fluido que escoa através da seção por unidade de tempo e representa-se por m . Pela equação da vazão, considerando a definição de massa específica , tem-se que o fluxo de massa é dado por

seçãoárea

dAnVm ).(

(10)

Quando o perfil (distribuição) de velocidade é uniforme na seção resulta m = . Vn . A

As distribuições (perfis) reais de velocidade numa seção geralmente não são uniformes pois os fluidos viscosos apresentam a propriedade de aderência às superfícies sólidas com as quais estão em contato. O conceito de perfil uniforme é um artifício para simplificar os cálculos e consiste na velocidade média de escoamento na seção. A velocidade média é determinada a partir da igualdade das vazões dadas pela distribuição real de velocidade de escoamento e pela distribuição uniforme de velocidade média de forma que

Vmed.A = seçãoárea

dArV )..( Vméd =

2

0

max

0

2

max2 2...1

.1 Vddrr

RrV

R

R

OBS.: Para um escoamento laminar e permanente, a velocidade em um ponto permanece invariante com o

tempo:

2

max 1.)(Rrvrv

Para um escoamento turbulento o perfil de velocidade tende a ficar uniforme no centro da seção, mas apresentando uma flutuação aleatória de velocidade instantânea em torno da velocidade média

em relação ao tempo: 7/1

max 1.)(

Rrvrv

EQUAÇÃO BÁSICA DA FORMULAÇÃO DE VOLUME DE CONTROLE:

....

..)...(.CVCS

sist dt

dAnVdt

dB

(11)

Onde: B : grandeza extensiva genérica (depende do volume e representam propriedades do sistema como um todo – exemplos: massa, momento linear, energia) : grandeza intensiva genérica (representa propriedades de um ponto – exemplos: massa específica, concentração, velocidade, temperatura)

Essa equação estabelece que a taxa de variação de uma grandeza extensiva genérica de um sistema é igual ao fluxo líquido dessa grandeza extensiva genérica que atravessa a superfície de controle mais a taxa de variação dessa grandeza extensiva genérica dentro do volume de controle.


3.3 Equação da Continuidade – Princípio de Conservação de Massa O princípio de conservação de massa estipula que a massa de um sistema permanece constante, desprezando-se os efeitos nucleares e relativísticos de forma que:

0dt

dM sist onde Msist é a massa do sistema (grandeza extensiva)

que resulta na equação integral

.. ..

0.)...(CS CV

dt

dAnV

(12)

A equação da continuidade na forma integral (12) representa matematicamente um balanço de massa para o volume de controle considerado. Em algumas situações, a equação (12) pode ser simplificada em formas particulares da equação da continuidade:

I) Caso de um regime permanente: neste caso, as propriedades do fluido e as características do escoamento ficam invariantes com o tempo, ou seja, qualquer derivada em relação ao tempo é nula, de forma que a equação (12) fica:

0)...(..

CS

dAnV (13)

mostrando que o fluxo de massa que sai é igual ao fluxo de massa que entra no volume de controle.

II) Caso de escoamento permanente e incompressível: neste caso, a massa específica é constante de maneira que a equação (13) fica reduzida a

0)..(..

CS

dAnV (14)

e tem-se que a vazão que sai é igual à vazão que entra no volume de controle. Exemplo: Aplicar a equação da continuidade na análise de um escoamento permanente e com propriedades uniformes nas seções transversais do duto com seção redutora, conforme mostrado no desenho a seguir.


Exemplo: Um óleo incompressível é despejado com uma vazão Q constante em um reservatório cilíndrico de diâmetro D. O óleo vaza através de um orifício de diâmetro d, localizado na base do reservatório, com uma velocidade de

saída dada por V = hg..2 , em que h é o nível do óleo, conforme é mostrado na figura a seguir. Considerando que o jato de óleo possui diâmetro d do orifício de saída, determine:

a) a equação diferencial que descreve a evolução, com o tempo, do nível h do óleo no reservatório supondo um nível inicial qualquer;

b) o nível máximo hmax de óleo no reservatório a partir do qual o escoamento fica em regime permanente.

Exemplo: A vazão de água na turbina de uma hidroelétrica é igual a 12,6 m³/s. Determine o diâmetro mínimo da tubulação de alimentação desta turbina sabendo que a velocidade máxima permissível é 9,2 m/s.


3.4 Equação da energia – Princípio de Conservação de energia no Volume de Controle

Princípio de Conservação de Energia Na Termodinâmica arbitra-se como positivo o calor que entra no sistema e o trabalho realizado pelo

sistema sobre a vizinhança, sendo então negativos o calor que sai do sistema e o trabalho realizado pela vizinhança sobre o sistema. Considerando-se o sistema representado a seguir, a primeira lei da termodinâmica pode ser escrita como

dtW

dtQ

dtdEsist

(15)

A primeira lei da termodinâmica aplicável a um volume de controle pode ser obtida a partir da

equação (11) – equação básica da formulação de volume de controle – e fazendo B = E e = e, onde E é a energia total do sistema e e é a energia total específica (por unidade de massa) do sistema:

....

..)...(.CVCS

sist det

dAnVedt

dE

(16)

A combinação de (16) em (15) resulta na expressão da primeira lei da termodinâmica na formulação de

volume de controle e ela fornece um balanço global de energia para o volume de controle (V.C.) considerado expresso como “fluxo líquido de calor que entra no V.C. menos taxa líquida de trabalho realizado pelo fluido do V.C. sobre a vizinhança é igual fluxo líquido de energia total que atravessa a superfície de controle (S.C.) mais a taxa de variação da energia total dentro do V.C. , ou seja:

....

..)...(.CVCS

det

dAnVedtW

dtQ

(17)

onde:

e : energia total específica (por unidade de massa) do fluido dada por e = g. + 2

2V + u

Existem diferentes formas de realização de trabalho. Na mecânica dos fluidos é conveniente

considerar o termo potência (taxa de realização de trabalho) dtW composto da seguinte forma:

dt

Wdt

Wdt

WdtW tocisalhamenescoamentoeixo

(18)

onde: Weixo é o trabalho realizado pelo fluido dentro do V.C. e transmitido para a vizinhança através de um eixo que atravessa a S.C. (trabalho de turbinas e bombas); Wescoamento é o trabalho realizado pelo fluido ao escoar através da S.C. resultante das forças devidas às tensões normais (trabalho realizado pelas forças de pressão); Wcisalhamento é o trabalho realizado pelo fluido contra as tensões cisalhantes (efeito viscoso) no V.C., representando a energia mecânica que é dissipada pelo atrito viscoso no V.C. (representado por W) Equação da Energia: fornece um balanço global de energia para o V.C. considerado, incluindo as potências mencionadas na equação (18):

....

..)...(.CVCS

eixo det

dAnVpedt

WdtQ

(19)


Exemplo: Aplicar a equação da energia na análise de um escoamento, em regime permanente, através de um volume de controle (V.C.) mostrado a seguir, considerando o fluxo líquido de calor e a potência de eixo indicados na figura a seguir e que não há dissipação de energia mecânica por atrito viscoso. Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli pode ser obtida como um caso particular da equação de energia (19) ou pela integração da equação de Euler (equação diferencial do movimento para um escoamento sem atrito viscoso) ao longo de uma linha de corrente. Em nosso curso será mostrado que a equação de Bernoulli representa a conservação de energia mecânica ao longo de uma linha de corrente ou de um filete líquido (tubo de corrente delgado).

Ela relaciona as variações de pressão, velocidade e elevação ao longo da linha de corrente ou de um filete fluido (tubo de corrente delgado) para um escoamento com as restrições consideradas que são um escoamento incompressível, em regime permanente, sem efeitos viscosos e com propriedades uniformes nas seções transversais no tubo de corrente coincidente com o V.C. mostrado na Figura 5 a seguir, além de não haver trocas de calor nem realização de trabalho de eixo.

Na equação de energia no V.C. (19) são substituídas as seguintes hipóteses:

(1) escoamento incompressível: massa específica é constante

(2) regime permanente: 0....

CV

det

(3) escoamento sem efeitos viscosos : não há dissipação de energia mecânica


(4) propriedades constantes nas seções transversais

(5) não há trocas de calor: 0dtQ

(6) não há realização de trabalho no eixo: 0dt

Weixo

Figura 5: Esquema de um escoamento em um tubo de corrente coincidente com o V.C. Com essas hipóteses, a equação (19) fica reduzida a:

..

0)...(.CS

dAnVpe

(20)

Por integração e considerando as seções transversais (1) e (2) com suas respectivas áreas de seção A1 e

A2 obtém-se:

11

11

21

1 ...2

. AVpuVyg

0...2

. 222

2

22

2

AVpuVyg

(21)

A equação (21) pode ser reescrita substituindo-se .V1.A1 = .V2.A2 = m onde m é o fluxo de massa

do escoamento no tubo de corrente. Como pelas hipóteses (3) e (5) se conclui que o escoamento é isotérmico, tem-se também que u1 = u2 e a equação de Bernoulli se resume a três possibilidades de escritura:

(a) com a dimensão de energia específica:

12

11 2

.pVyg

22

22 2

.pVyg (22)

(b) com a dimensão da pressão:

.g.y 1 + 21.V1

2 + p1 = .g.y 2 + 21.V2

2 + p2 (23)

(c) com a dimensão do comprimento:

y1 + g

pg

V

12

1

2 = y2 +

gp

gV

2

22

2 (24)

Fazendo H = zg

vp

2

2

(25) onde H é a energia total por unidade de peso numa seção ou carga

total na seção. Com essa noção, a equação (24) pode ser escrita como H1 = H2 (26) , que corresponde ao seguinte enunciado:


“se, entre duas seções do escoamento, o fluido for incompressível, sem atritos, e o regime permanente, se não houver máquinas nem trocas de calor, então as cargas totais se mantêm constantes em qualquer seção, não havendo nem ganhos nem perda de carga.”

Exemplo: Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e s propriedades uniformes nas seções. A área 1 é 20 cm2 enquanto que a garganta 2 é 10 cm2. Um manômetro cujo fluido manométrico é o mercúrio (Hg = 136.000 N/m3) é ligado entre as seções 1 e 2 e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi (H2O = 10.000 N/m3). R.: Q = 5,8 x10-3 m3/s ou 5,8 L/s

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