Medidas deMedidas de

DispersãoDispersão Prof. Gercino Monteiro FilhoProf. Gercino Monteiro Filho

DispersãoDispersão ObjetivoObjetivo Como se sabe, uma variável em uma pesquisa, quando Como se sabe, uma variável em uma pesquisa, quando

coletado os seus resultados, para cada elemento da coletado os seus resultados, para cada elemento da amostra pode assumir valores diferentes entre si, amostra pode assumir valores diferentes entre si, ocorre que estes valores podem situar-se próximos ocorre que estes valores podem situar-se próximos entre si ou não, e em alguns casos chegam a serem entre si ou não, e em alguns casos chegam a serem discrepantes.discrepantes.

Medidas de dispersão visa exatamente atribuir um Medidas de dispersão visa exatamente atribuir um valor numérico, da melhor forma possível, pelo qual valor numérico, da melhor forma possível, pelo qual expresse esta homogeneidade ou não entre os expresse esta homogeneidade ou não entre os diversos valores obtidos.diversos valores obtidos.

DesvioDesvio

ObjetivoObjetivo

Avaliar o quanto que cada valor obtido em uma Avaliar o quanto que cada valor obtido em uma

pesquisa encontra-se afastado do centro do grupo pesquisa encontra-se afastado do centro do grupo

todo, ou seja, da média, podendo ser para mais todo, ou seja, da média, podendo ser para mais

(+) ou para menos (-).(+) ou para menos (-).

Desvio - DefiniçãoDesvio - Definição

Denomina Desvio do i-ezimo valor de uma Denomina Desvio do i-ezimo valor de uma variável, em relação à média ao número variável, em relação à média ao número dado por:dado por:

xxd ii −=

Desvio - ExemploDesvio - Exemplo

Pesquisa:Pesquisa: Avaliar valores de achados em Avaliar valores de achados em

pacientes com osseosporose submetidos à pacientes com osseosporose submetidos à

cirurgia do Baço. (Dr. Walter ) (Já citada)cirurgia do Baço. (Dr. Walter ) (Já citada)

No tocante àNo tocante à Albumina Albumina, os valores observados no pré-, os valores observados no pré-

operatório foram:operatório foram:

3,5 - 3,6 - 3,7 - 3,7 - 3,8 - 4,0 -3,5 - 3,6 - 3,7 - 3,7 - 3,8 - 4,0 - 4,2 -4,2 - 4,2 - 4,4 -4,2 - 4,4 -

4,8 -4,8 - 4,84,8

Iremos calcular cada desvio em relação à médiaIremos calcular cada desvio em relação à média

Desvio - ExemploDesvio - Exemplo Inicialmente necessita de achar a média, que é:Inicialmente necessita de achar a média, que é:

d1 = 4,4 – 4,06 = 0,34;d1 = 4,4 – 4,06 = 0,34;

d2 = 3,7 – 4,06 = – 0,36;d2 = 3,7 – 4,06 = – 0,36;

d3 = 3,6 – 4,06 = – 0,46;d3 = 3,6 – 4,06 = – 0,46;

d4 = 4,8 – 4,06 = 0,74;d4 = 4,8 – 4,06 = 0,74;

d5 = 4,2 – 4,06 = 0,14;d5 = 4,2 – 4,06 = 0,14;

06,4

11

8,42,47,30,48,35,32,48,46,37,34,4=

++++++++++=x

Desvio – Exemplo – Cont.Desvio – Exemplo – Cont.

d6 = 3,5 – 4,06 = – 0,56;d6 = 3,5 – 4,06 = – 0,56;

d7 = 3,8 – 4,06 = – 0,26;d7 = 3,8 – 4,06 = – 0,26;

d8 = 4,0 – 4,06 = – 0,06 ;d8 = 4,0 – 4,06 = – 0,06 ;

d9 = 3,7 – 4,06 = – 0,36;d9 = 3,7 – 4,06 = – 0,36;

d10 = 4,2 – 4,06 = 0,14;d10 = 4,2 – 4,06 = 0,14;

d11 = 4,8 – 4,06 = 0,74 d11 = 4,8 – 4,06 = 0,74

Propriedade dos DesviosPropriedade dos Desvios Todo rol, a soma dos desvios é sempre igual a zero, isto Todo rol, a soma dos desvios é sempre igual a zero, isto

é: é:

Comentário sobre esta propriedadeComentário sobre esta propriedade

Esta propriedade nos diz que não pode usar os desvios Esta propriedade nos diz que não pode usar os desvios

de forma como aparecem para achar uma medida de de forma como aparecem para achar uma medida de

dispersão, pois seria sempre zero;dispersão, pois seria sempre zero;

Devido a esta propriedade, o que a estatística criou uma Devido a esta propriedade, o que a estatística criou uma

medida de dispersão baseada em um modelo quadrático medida de dispersão baseada em um modelo quadrático

(elevar ao quadrado) e não no linear.(elevar ao quadrado) e não no linear.

∑ = 000,0id

VariânciaVariância Para calcular a variância, a estatística partiu do Para calcular a variância, a estatística partiu do

principio da média quadrática, porem com modelos principio da média quadrática, porem com modelos matemáticos diferentes para a População e para Amostra matemáticos diferentes para a População e para Amostra cuja única razão disto é o fato de que o valor da amostra cuja única razão disto é o fato de que o valor da amostra sendo uma estimativa da população, prova-se por sendo uma estimativa da população, prova-se por Esperança Matemática que para ser Não-tendenciosa Esperança Matemática que para ser Não-tendenciosa deve existir estes dois modelos matemáticos.deve existir estes dois modelos matemáticos.

Para perceber isto, note que para achar cada desvio, Para perceber isto, note que para achar cada desvio, é necessário calcular a média, se de população ela é é necessário calcular a média, se de população ela é exata, porem se de amostra é uma estimativa, ou seja, usa exata, porem se de amostra é uma estimativa, ou seja, usa uma estimativa para calcular este novo parâmetro e uma estimativa para calcular este novo parâmetro e quando isto ocorre reduz em uma unidade no que é quando isto ocorre reduz em uma unidade no que é denominado Graus de Liberdade.denominado Graus de Liberdade.

VariânciaVariância

NotaçãoNotação

DefiniçãoDefinição

2

2

:

:

samostraumaareferiremsedadososSe

populaçãoumaareferiremsedadososSe σ

−++++

=

++++=

1

...:

...:

223

22

212

223

22

212

n

ddddsamostraSe

n

ddddpopulaçãoSe

n

nσ

Variância - ExemploVariância - Exemplo

Pesquisa:Pesquisa: Avaliar valores de achados em pacientes com Avaliar valores de achados em pacientes com

osseosporose submetidos à cirurgia do Baço. (Dr. Walter ) osseosporose submetidos à cirurgia do Baço. (Dr. Walter )

No pré-operatório os desvios de Albumina, foram:No pré-operatório os desvios de Albumina, foram: 0,34 / - 0,36 / - 0,46 / - 0,74 / 0,14 / -0,56 / -0,26 / 0,34 / - 0,36 / - 0,46 / - 0,74 / 0,14 / -0,56 / -0,26 /

- 0,06 / -0,36 / 0,14 / 0,74- 0,06 / -0,36 / 0,14 / 0,74

Assim a variância éAssim a variância é::

Resposta: Resposta: 0,21056 0,21056

111

74,014,0...74,0)46,0()36,0(34,0 2222222

−++++−+−+

=s

21056,0

10

1056,22 ==s

Desvio PadrãoDesvio Padrão

ObjetivoObjetivo Transformar a variância, que é uma medida Transformar a variância, que é uma medida

quadrática em uma medida linear de análise.quadrática em uma medida linear de análise.

DefiniçãoDefinição Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância.Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância.

Notação:Notação:

samostraumaareferiremsedadososSe

populaçãoumaareferiremsedadososSe

:

: σ

Desvio Padrão - ExemploDesvio Padrão - Exemplo

Dos dados da pesquisa anterior, sobre Dos dados da pesquisa anterior, sobre osseosporose, referentes à Albumina tem-osseosporose, referentes à Albumina tem-se:se:

Resposta: 0,4589Resposta: 0,4589

4589,021056,0 ==s

Coeficiente de VariaçãoCoeficiente de Variação Objetivo.Objetivo.

Avaliar a variação dos dados de pesquisa de Avaliar a variação dos dados de pesquisa de

uma população através de um número índice uma população através de um número índice

(porcentagem).(porcentagem).

Definição.Definição. Coeficiente de variação é o número dado por:Coeficiente de variação é o número dado por:

x

sCV =

Coeficiente de Variação - ExemploCoeficiente de Variação - Exemplo

Da pesquisa sobre osseosporose, no Da pesquisa sobre osseosporose, no tocante à Albumina, tem-se:tocante à Albumina, tem-se:

No pré-operatórioNo pré-operatório

Já CalculadoJá Calculado

Assim:Assim:

Resposta: 11,30%Resposta: 11,30%

4589,006,4 == sex

1130,0

06,4

4589,0==CV

Escore ReduzidoEscore Reduzido

Objetivo:Objetivo: Transformar cada valor obtido na variável em Transformar cada valor obtido na variável em

estudo para um número relativo, ou seja, um estudo para um número relativo, ou seja, um número índice, sendo que este número índice número índice, sendo que este número índice é em torno da média.é em torno da média.

DefiniçãoDefinição Denomina escore reduzido do i-ézimo valor de um rol ao número:Denomina escore reduzido do i-ézimo valor de um rol ao número:

s

xxz ii

−=

Escore Reduzido - ExemploEscore Reduzido - Exemplo

Transforme cada valor de pesquisa atual do Transforme cada valor de pesquisa atual do pré-operatório em escore reduzido.pré-operatório em escore reduzido.

SoluçãoSolução Os dados originais são:Os dados originais são: 3,5 - 3,6 - 3,7 - 3,7 - 3,8 - 4,0 -3,5 - 3,6 - 3,7 - 3,7 - 3,8 - 4,0 - 4,2 -4,2 - 4,2 - 4,4 4,2 - 4,4

-4,8 - 4,8-4,8 - 4,8

Pelos quais obteve:Pelos quais obteve:

4589,006,4 == sex

Escore Reduzido - ExemploEscore Reduzido - Exemplo

O escore reduzido do primeiro valor é:O escore reduzido do primeiro valor é:

Do segundo valor é:Do segundo valor é:

E assim chega a:E assim chega a:

7409,0

4589,0

06,44,41 =

−=z

7845,0

4589,0

06,47,32 −=

−=z

Escore Reduzido - ExemploEscore Reduzido - Exemplo

Escore Reduzidos da Albumina Pré-OperatórioEscore Reduzidos da Albumina Pré-Operatório

7409,04589,0

06,44,41 =

−=z

7845,04589,0

06,47,32 −=

−=z

0024,14589,0

06,46,33 −=

−=z

6126,14589,0

06,48,44 =

−=z

Os demais forneceram:

z5 = 0,3051

z6 = 1,2203

z7 = – 0,5666

z8 = – 0,1307

z9 = – 0,7845

z10 = 0,3051

z11 = 1,6126

Amplitude Semi-InterquartílicaAmplitude Semi-Interquartílica O que é e objetivoO que é e objetivo É outra medida de dispersão, cujo objetivo é o de É outra medida de dispersão, cujo objetivo é o de

substituir o desvio padrão em variáveis pelos substituir o desvio padrão em variáveis pelos quais ocorram valore distorcidos, em que a quais ocorram valore distorcidos, em que a tendência central utilizada tenha sido a mediana.tendência central utilizada tenha sido a mediana.

Definição:Definição:

213 QQ

ASI−

=

Amplitude Semi-Interquartílica Amplitude Semi-Interquartílica ExemploExemplo

Da pesquisa anterior, no tocante a albumina Da pesquisa anterior, no tocante a albumina obteve:obteve:

Q1 = 3,7 e Q3 = 4,4.Q1 = 3,7 e Q3 = 4,4.

Assim:Assim:

RespostaResposta: 0,35: 0,35

35,0

2

7,34,4=

−=ASI

Box PlotBox Plot O que é e objetivoO que é e objetivo

Box Plot é um gráfico de Dispersão em que relaciona Box Plot é um gráfico de Dispersão em que relaciona

visualmente os valores de uma variável e os relaciona com visualmente os valores de uma variável e os relaciona com

as diversas medidas estatística, principalmente as as diversas medidas estatística, principalmente as

separatrizes, oferecendo assim de forma simples valores separatrizes, oferecendo assim de forma simples valores

que poderão serem utilizados como pontos de corte em que poderão serem utilizados como pontos de corte em

uma pesquisa.uma pesquisa.

Construção:Construção: Devido à complexidade não será esclarecido, Devido à complexidade não será esclarecido,

mas sugerido a usar algum Software Estatístico, caso mas sugerido a usar algum Software Estatístico, caso

necessite.necessite.

Box Plot - ExemploBox Plot - Exemplo Pesquisa:Pesquisa: Avaliar a freqüência cardíaca em pacientes Avaliar a freqüência cardíaca em pacientes

submetidos à cirurgia cardiovascular – Dr. Salvador Rassi submetidos à cirurgia cardiovascular – Dr. Salvador Rassi

203N =

VAR00003

140

120

100

80

60

40

7927

3751

18549

Box Plot - InterpretaçãoBox Plot - Interpretação A caixa fechada (A caixa fechada (em vermelhoem vermelho) indica o intervalo de ) indica o intervalo de

confiança da média;confiança da média; Os limites pelos segmentos horizontais delimitam os Os limites pelos segmentos horizontais delimitam os

valores pelos quais são homogêneos entre si, ou seja, tem valores pelos quais são homogêneos entre si, ou seja, tem um comportamento dentro de uma característica normal;um comportamento dentro de uma característica normal;

Círculos, bem como quadradinhos indicam valores em Círculos, bem como quadradinhos indicam valores em uma pesquisa pelos quais diferem de grandeza dos uma pesquisa pelos quais diferem de grandeza dos demais, isto é, são dados distorcidos. demais, isto é, são dados distorcidos.

203N =

VAR00003

140

120

100

80

60

40

7927

3751

18549

Box Plot – Com dois ou mais gruposBox Plot – Com dois ou mais grupos

Imagine um traço horizontal sobre o risco interno preto de Imagine um traço horizontal sobre o risco interno preto de um deles e o prolongue até os demais caso intercepte a um deles e o prolongue até os demais caso intercepte a caixa do outro é porque são similares, caso contrário não-caixa do outro é porque são similares, caso contrário não-similaressimilares

Feminino

13N =

V AR 00001

7

6

5

4

3

2

1

Masculino

36N =

V AR 00002

7

6

5

4

3

2

1

Fim Fim Prof. Gercino M. FilhoProf. Gercino M. Filho