cap.2 cargas axiais

Mecânica dos MateriaisPr

epar

ado

por:

Filip

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Capítulo 2

Tensão e Deformação:

Cargas Axiais

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Tensão e Deformação: Cargas Axiais - Sumário Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Tensão e Deformação: Cargas NormaisDeformação NormalEnsaio Tensão-DeformaçãoDiagrama Tensão-Deformação: Materiais

DucteisDiagrama Tensão-Deformação: Materiais

FrágeisLei de Hooke: Módulo de ElasticidadeComportamento Elástico vs PlásticoDeformação Devida a Carga AxialProblemas Estaticamente IndeterminadosTensões TérmicasCoeficiente de Poisson

Lei de Hooke GeneralizadaMódulo de CompressibilidadeDistorçãoRelação entre E, νννν, e GMateriais CompósitosPrincípio de Saint-VenantConcentração de TensõesExercícios ResolvidosExercícios Propostos

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Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• A adequabilidade de uma estrutura ou máquina pode depender das deformações da estrutura tal como das tensões. A análise estática, só por si, não é suficiente.

• Considerar as estruturas como deformaveis permite a determinação de forças e reacções em problemas estaticamente indeterminados.

• A determinação da distribuição das tensões numa secção requer a consideração das suas deformações.

• O Capítulo 2 preocupa-se com a deformação de membros estruturais sujeitos a cargas axiais. Os próximos capítulos lidarão com torção e flexão.

Tensão e Deformação: Cargas Axiais

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Deformação Normal Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

normal deformação

tensão

==

==

L

AP

δε

σ

L

AP

AP

δε

σ

=

==22

LL

AP

δδε

σ

==

=

22

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Teste Tensão-Deformação Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Máquina de ensaios de tracção uniaxiaisProvete para ensaio de tracção uniaxial

Um teste envolve:

! Provete de dimensões conhecidas (standardizadas)! Máquina de ensaios de tracção! Aplicação de carga axial! Medição da variação de comprimento e da carga correspondente.! Uso da variação de comprimento para cálculo da sua variação

percentual.! Uso da força aplicada e da área da secção recta do provete para cálculo

da tensão.

O comportamento Tensão-Deformação é obtido a partir de um ensaio de tracção.

A informação obtida permite determinar algumas das propriedades do material:

!! Tensão de cedência! Módulo de Elasticidade! Tensão de rotura! Extensão de Rotura! Ductilidade! Resiliência! Tenacidade

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Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Ducteis Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Liga de AlumínioAço de baixo teor em carbono

RoturaRotura

PescoçoEndurecimentoCedência

Os materiais dúcteis sofrem uma grande deformação plástica antes de romperem, providenciando um ‘aviso’ da roturaA deformação destes materiais deve-se inicialmente ao deslizamento de bandas (camadas) da estrutura cristalina, ao longo de planos oblíquos àforça e deve-se essencialmente a tensões de corte.Consoante a deformação aumenta, para materiais dúcteis, a tensão sobe até um valor máximo, conhecido como Tensão de Rotura ou Tensão de Resistência à Tracção. A partir deste ponto a tensão começa a decrescer.Esta inversão da progressão da tensão deve-se àformação de um ‘pescoço’ no componente.A tensão continuará a decrescer até à rotura.Quando um material dúctil rompe, a rotura dá-se formando-se uma superfície cónica com um ângulo de aproximadamente de 45º com a superfície original.À quantidade que o material consegue deformar antes de romper chama-se ductilidade.

Materiais Dúcteis

Materiais Dúcteis são caracterizados por terem uma grande capacidade de resistir a grandes deformações plásticas antes de romperem.

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Gráfico Tensão-Deformação: Materiais Frágeis

Os materiais frágeis rompem sem ‘aviso’. O material cede igualmente ao longo de todo o componente, e rompe abruptamente por uma superfície perpendicular àforça.A rotura destes materiais deve-se essencialmente às tensões normais.

Materiais Frágeis

Materiais Frágeis são tipicamente caracterizados por uma incapacidade em resistir a grandes deformações plásticas

Rotura

Diagrama tensão-Deformação para materiais frágeis

Tensão

Deformação

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Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Abaixo da Tensão de cedência

deElasticida de Modulo ou Young de Módulo=

=E

Eεσ

• A resistência é afectada pelos elementos de liga, processos de manufactura, tratamentos térmicos, etc, mas o módulo de elasticidade não é.

Ferro puro

Aço ao Carbono

Aço ligado

Aço de alta resistência (ligado e temperado)

Diagramas tensão-Deformação para várias ligas de ferro

2902200.44*105AZ31B (liga Mg)

6304700.7*105Al7175

9808701.4*105Ti6Al4V

10208902.07*10534CrNiMo6

7304902.07*105CK45σσσσr (MPa)σσσσc (MPa)E (MPa)

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Comportamento Elástico e Plástico Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Se a deformação desaparecer quando a carga é retirada, então o material comporta-se elasticamente.

• A partir do limite elástico o material comporta-se plasticamente.

• À máxima tensão para a qual ocorre o fenómeno anterior, chama-se Limite Elástico ou Tensão Limite de Proporcionalidade

Rotura

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Comportamento Elástico e Plástico Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Os materiais são formados por átomos, que se encontram arranjados num padrão regularEste padrão designa-se

por estrutura cristalina

Conforme um material écarregado, as ligações que o mantêm unido, começam a deformarEsta deformação resulta num alongamento do

material

Se a carga for retirada antes das ligações partirem, os átomos regressam à sua posição inicial, e o material retorna à sua forma inicial.Isto corresponde à porção elástica da curva tensão-

deformação do material.

Isto corresponde à porção plástica da curva tensão-deformação do

material.

Se o material for carregado para além da zona elástica, as ligações atómicas partem / deslizam.U ma vez que estas ligações tenham partido/deslizado, quando a carga éretirada, o material já não retorna à sua

forma original

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Deformações Normais Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

AEP

EE === σεεσ

• Da lei de Hooke:

• Da definição de extensão:

Lδε =

• Resolvendo em ordem à deformação,

AEPL=δ

• Se houver variação da secção, carga, ou propriedades do material,

∑=i ii

iiEALPδ

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Gráfico Tensão-Deformação Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

TensãoTensão de cedência

Deformação

Tensão de rotura ou Tensão de Resistência à Tracção

Tensão Limite Elástica ou Tensão Limite de Proporcionalidade

Módulo de Elasticidade

Extensão de rotura

Tensão

Resiliência

Deformação

TensãoTensão

Tenacidade

Deformação

Tensão

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Gráfico Tensão-Deformação

Compressão vs Tracção

Materiais dúcteis

Mesma tensão de cedênciaIgual curva tensão-deformação para baixas deformaçõesAs curvas divergem para grandes deformaçõesNa compressão não se forma o ‘pescoço’Materiais frágeis

Curvas diferentesMesmo modulo elásticoTensão de cedência superior (compressão)Tensão de rotura muito superior (compressão)

Tensão Verdadeira e Deformação Verdadeira

Até aqui temos visto a tensão e a deformação de engenharia, ou seja, baseados na curva tensão-deformação obtida num ensaio normal. Todavia, quando o material é traccionado, a área da secção recta do provete varia (reduz) devido ao aumento do comprimento. Nos gráficos anteriores, o valor da área da secção recta é considerado constante e igual à área inicial. A tensão verdadeira e a deformação verdadeira são obtidos com base nas dimensões instantâneas doprovete.

Tensão Verdadeira

É determinada usando a área instantânea da secção recta do provete, em vez da área inicial.

Deformação Verdadeira

É determinada usando o comprimento instantâneo doproveteRelação entre Tensão e Deformação Verdadeira, e Tensão e Deformação de engenharia

Tensão verdadeira

Deformação verdadeira

(Log) Deformação verdadeira

(Log) Tensão verdadeira

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Gráfico Tensão-Deformação Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Deformação

Tensão Aumento da velocidade de Deformação

Aumento da Temperatura

Velocidade de DeformaçãoTemperatura

Módulo de Elasticidade

Tensão de Cedência

Tensão de resistência à tracção

Ductilidade

Tenacidade

Expoente de endurecimento

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Exemplo 2.1 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Determine a deformação da barra de aço quando submetida às cargas indicadas.

SOLUÇÃO:• Divide-se a barra nas três partes

representadas na figura.

• Efectuam-se cortes em todas as partes, desenha-se o respectivo diagrama de corpo livre, e faz-se o equílibrio para cada uma das partes

• Somam-se as deformações parciais.

GPaE 200=

40 cm

200 KN

30 cm30 cm

300 KN500 KN

A=200 mm2A=600 mm2

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SOLUÇÃO:

• Divisão da barra em três componentes:

1 22

1 2

30

6

L L cmA A cm

= =

= =3

23

40

2

L cmA cm

=

=

• Análise de esforços internos através da análise de corpo livre em cada componente,

N10200200N10*100100

10*400400

33

32

31

×==

−=−=

==

KNPKNP

NKNP

• Avaliação da deformação total,

( ) ( ) ( )

3 31 1 2 2

1 2 3

3 3 3

9 6 6 6

3

1

400 10 0,3 100 10 0,3 200 10 0,41200 10 600*10 600*10 200*10

2,75 10 m= 2,75 mm

i i

i i i

PL P LPL P LA E E A A A

δ

− − −

−

= = + +

× − × × = + +

× = ×

∑

2,75 . mmδ =

Exemplo 2.1

40 cm

200 KN

30 cm30 cm300 KN500 KN

A=200 mm2A=600 mm2

200 KN

200 KN

200 KN

300 KN

300 KN500 KN

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Problema 2.1 Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

A barra rígida BDE é suportada por duas hastes AB e CD.

A haste AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) com uma área de secção transversal de 500 mm2. A haste CD é feita de aço (E= 200 GPa) e tem uma secção transversal de (600 mm2).

Para uma força de 30-kN, determine os deslocamentos a) do ponto B, b) do ponto D, e c) do ponto E.

SOLUÇÃO:

• Análise através do diagrama de corpo livre da barra BDE para achar as forças de ligação ao exterior, de AB e DC.

• Avaliação da deformação das barras AB e DC ou dos deslocamentos de Be D.

• Análise geométrica para determinar o deslocamento do ponto E, tendo os deslocamentos dos pontos B e D.

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Deslocamento de B:

( )( )( )( )

m10514

Pa1070m10500m3.0N1060

6

926-

3

−×−=

×××−=

=AEPL

Bδ

↑= mm 514.0BδDeslocamento de D:

( )( )( )( )

m10300

Pa10200m10600m4.0N1090

6

926-

3

−×=

×××=

=AEPL

Dδ

↓= mm 300.0Dδ

Diag. Corpo livre: Barra BDE

( )

( )D

0

0 30 kN 0.6 m 0.2 m90 kN

M 0

0 30 kN 0.4 m 0.2 m60 kN

B

CD

CD

AB

AB

M

FF tracçao

FF compressao

=

= − × + ×= +

=

= − × − ×= −

∑

∑

SOLUÇÃO:

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Deslocamento de D:

( )

mm 7.73

mm 200mm 0.300mm 514.0

=

−=

=′′

xx

xHDBH

DDBB

↓= mm 928.1Eδ

( )

mm 928.1mm 7.73

mm7.73400mm 300.0

=

+=

=′′

E

E

HDHE

DDEE

δ

δ

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Sistemas Estaticamente Indeterminados Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Estruturas para as quais as forças internas e as reacções não podem ser determinadas, unicamente com as expressões de equilibrio estático, são consideradas estaticamente indeterminadas.

0=+= RL δδδ

• As deformações devidas às cargas e às reacções redundantes são determinadas separadamente e depois são sobrepostas.

• As reacções redundantes são substituídas por cargas desconhecidas que, juntamente com as outras forças, devem originar deformações.

• A estrutura é estaticamente indeterminada sempre que possui mais apoios do que os necessários para manter o seu equilibrio.

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Determine as reacções em A e B na barra de aço submetida ao carregamento indicado. Admita que a barra está encostada a ambos os apoios antes da aplicação das cargas.

SOLUÇÃO:

• Considere a reacção B como redundante e liberte-se a barra desse apoio. A reacção RB é considerada agora como desconhecida e é determinada tendo em conta que o alongamento total, δ, da barra, deve ser igual a zero. A solução obtem-se considerando separadamente o alongamento δL causado pelas cargas aplicadas e o alongamento δR devido à reacção redundante RB.

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SOLUÇÃO:• Considere o deslocamento em B devido às cargas,

tendo libertado a reacção em B,

EEALP

LLLL

AAAA

PPPP

i ii

ii9

L

4321

2643

2621

34

3321

10125.1

m 150.0

m10250m10400

N10900N106000

×=∑=

====

×==×==

×=×===

−−

δ

• Considere o deslocamento em B devido à reacção redundante RB.

( )∑

×−==

==

×=×=

−==

−−

iB

ii

iiR

B

ER

EALPδ

LL

AA

RPP

3

21

262

261

21

1095.1

m 300.0

m10250m10400

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• Considerando o alongamento total da barra nulo e resolvendo em ordem a RB,

( )

kN 577N10577

01095.110125.1

0

3

39

=×=

=×−×=

=+=

B

B

RL

R

ER

Eδ

δδδ

• A reacção RA obtem-se do diagrama de corpo livre da barra

kN323

kN577kN600kN 3000

=

∑ +−−==

A

Ay

R

RF

kN577

kN323

=

=

B

A

R

R

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Tensões de Origem Térmica Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Uma mudança de temperatura origina uma deformação de origem térmica. Não existe tensão associada a esta deformação, a menos que haja restrições à deformação.

( ) coeficiente de expansao termica

T PPLT LAE

δ α δ

α

= ∆ =

=

• Nos casos em que existe restrição à deformação deve tratar-se a reacção como redundante e aplicar o princípio da sobreposição.

( ) 0

0

=+∆

=+=

AEPLLT

PT

α

δδδ

• A deformação térmica e a deformação originada pela reacção redundante devem ser compatíveis.

( )( )TE

AP

TAEPPT

∆−==

∆−==+=

ασ

αδδδ 0

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Coeficiente de Poisson Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Numa barra homogénea e carregada axialmente,

0=== zyx

x Eσσσε

• A deformação na direcção do eixo dos x é acompanhada por uma contracção nas outras direcções. Assumindo que o material é isotrópico,

0≠= zy εε

• O coeficiente de Poisson é dado por

deformaçao transversaldeformaçao axial

y z

x x

ε ενε ε

= = − = −

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Lei de Hooke Generalizada Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Num elemento sujeito a um estado multiaxial de cargas, as componentes das deformações resultantes do estado de tensão são determinados usando o princípio da sobreposição. Isto requer:

1) cada deformação é relacionada linearmente com a tensão2) as deformações são pequenas

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

+−−=

−+−=

−−+=

• Atendendo a estas restrições:

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Dilatação: Módulo de Compressibilidade Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Em relação ao estado sem tensões a variação do volume é

( )( )( )

( )

1 1 1 1 1 1

1 2

dilataçao (variaçao do volume em percentagem)

x y z x y z

x y z

x y z

e

E

ε ε ε ε ε ε

ε ε εν σ σ σ

= − + + + = − + + + = + +

−= + +

=

• Para um elemento sujeito a uma pressão hidrostática uniforme,

( )

( )

3 1 2

modulo de compressibilidade3 1 2

pe pE k

Ek

ν

ν

−= − = −

= =−

• Quando sujeito a pressão uniforme, a dilatação tem que ser negativa, logo

210 <<ν

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Distorções Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Um elemento cúbico sujeito a tensões de corte deforma-se num paralelipípedo oblíquo. As deformações correspondentes (distorções) são quantificadas em relação ao ângulo de distorção,

( )xyxy f γτ =

• A relação entre tensões de corte e distorções é similar à relação entre tensões normais e deformações. Para pequenas distorções,

zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===

Em que G é o módulo de distorção do material.

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Um bloco rectangular de um material, com módulo de distorção G = 600 Mpa é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior está fixa enquanto a placa superior é submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 0,8 mm sob a acção da força, determine a) a distorção média no material, e b) a força P exercida na placa superior.

SOLUÇÃO:

• Determina-se a distorção média do bloco.

• Usa-se a relação de tensão de corte com a força para achar a força P.

• Aplica-se a lei de Hooke para tensões e deformações de corte para se determinar as tensões de corte.

160 mm50 mm

40 mm

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• Determinação da distorção média do bloco.

0.8tan ; 0.020 rad40xy xy xy

mmmm

γ γ γ≈ = =

• Apicação da lei de Hooke para tensões e deformações de corte.

( )( )600 0.020 rad 12xy xyG MPa MPaτ γ= = =

• Uso da relação entre tensão de corte e força, para achar P.

( )( )( )6 312*10 0,160 0,050 96 10 NxyP A Pa m mτ= = = ×

96.0 kNP =

Exemplo 2.10

0,8 mm

40 mm

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Relação entre E, υυυυ e G Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Uma barra homogenea submetida a uma carga axial alonga na direcção axial e contrai nas direcções transversais.

( )ν+= 12GE

• As componentes normal e de distorção relacionam-se através da expressão,

• Se o elemento cúbico estiver orientado como na fig. B) vai deformar-se originando um losango. A carga axial resulta numa distorção.

• Um elemento cúbico orientado como na figura a) deforma-se num paralelipipedo rectangular. A carga axial produz uma deformação axial.

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Uma círcunferência de diâmetro d=200 mm está desenhada numa placa de alumínio, livre de tensões, e de espessura t=18 mm. A actuação posterior de forças na placa origina as tensões normais σx = 85 MPa e σz = 150 MPa.

Admitindo E = 70 Gpa e ν = 1/3, determine:

a) O comprimento do diâmetro AB,

b) O comprimento do diâmetro CD,

c) A espessura da placa, e

d) O volume da placa.

350 mm350 mm

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SOLUÇÃO:

• Aplica-se a lei de Hooke generalizada para achar as três componentes de extensão normal.

( ) ( )3

3

3

1 185 0 15070 GPa 30.500 10

1.119 10

1.738*10

yx zx

yx zy

yx zz

E E E

MPa MPa

E E E

E E E

νσσ νσε

σνσ νσε

νσνσ σε

−

−

−

= + − −

= − − = + ×

= − + −

= − ×

= − − +

= +

• Determinam-se as deformações.

( )( )30.500 10 200B A xd mmδ ε −= = + ×

( )( )31.738 10 200C D zd mmδ ε −= = + ×

( )( )31.119 10 18t yt mmδ ε −= = − ×

100B A mδ µ= +

348C D mδ µ= +

20,1t mδ µ= −

• Determina-se a mudança de volume

( )

3 -3

3 3

(0.500 1,119 1,738)*10 = 1,119*10

1.119 10 350 350 18 = +2470 mmx y ze

V eV

ε ε ε −

−

= + + = − +

∆ = = × × ×

32470V mm∆ = +

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a

Materiais Compósitos Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• Os materiais compósitos reforçados com fibras são formados por lâminas de fibras embebidas em matrizes de materiais poliméricos.

zz

zy

yy

xx

x EEEεσ

εσ

εσ ===

• As tensões e deformações normais são relacionadas pela Lei de Hooke mas com módulos de elasticidade dependentes da direcção,

x

zxz

x

yxy ε

ενεε

ν −=−=

• As contracções transversais são relacionadas por valores de coeficiente de Poisson dependentes da direcção,

• Os materiais com propriedades mecânicas dependentes da direcção são considerados anisotrópicos.

fibras

carga

cargaCamada

de material

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a

Princípio de Saint Venant Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

• As cargas transmitidas em corpos rígidos resultam numa distribuição uniforme das tensões e deformações.

• Principio de Saint-Venant:A distribuição de tensões pode assumir-se como independente da forma de aplicação da carga, com excepção da vizinhança de aplicação da carga.

• A distribuição das tensões e deformações torna-se uniforme a uma distância relativamente pequena do ponto de aplicação das cargas.

• Cargas concentradas dão origem a tensões mais elevadas na vizinhança do ponto de aplicação da carga.

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a

Concentração de Tensões: Furo Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Descontinuidades da secção recta podem resultar , localmente, numa elevada concentração de tensões.

maxK σσ

=

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a

Concentração de Tensões: Raio de Curvatura Cap. 2Mecânica dos Materiais - Beer-Johnston-DeWolf (adaptado)

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a


Determine o valor máximo da carga axial P que pode ser suportado, em segurança, por uma barra plana e aço com dois troços, ambos com 10 mm de espessura e 40 e 60 mm de largura, respectivamente, ligados por uma concordância circular de raio r = 8 mm. Considere uma tensão admissível de 165 MPa.

SOLUÇÃO:

• Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões, na Fig. 2.64b.

• Determine o valor máximo da carga, usando a relação entre tensão e carga.

• Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material.

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a


• Determine as relações geométricas e encontre o factor de concentração de tensões, na Fig. 2.64b.

82.1

20.0mm40

mm850.1mm40mm60

=

====

K

dr

dD

• Determine a tensão admissível levando em consideração a concentração de tensões e a tensão admissível do material.

max 165 MPa 90.7 MPa1.82K

σσ = = =

• Determine o valor máximo da carga, usando a relação entre tensão e carga.

( )( )( )3

40 mm 10 mm 90.7 MPa

36.3 10 N

P Aσ= =

= ×kN3.36=P

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a


Exercícios Resolvidos

Casca de alumínio

Alma de aço

25 mm250 mm

60 mm

Forças de compressão, de 30 KN, estão aplicadas nos extremos da montagem da figura. Sabendo queEaço=2,07x105 MPa e Ealumínio=0,70x105 MPa, determine: a) as tensões normais na alma de aço e na casca de alumínio

b) a deformação do conjunto

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2

* *25 1963

60 25 9346aço

Al

A r mm

A R r mm

π π

π π

= = =

= − = − =( )

( )( )

72 5

72 2 5

*250*6,15*10

*25 *2,07*10

*250 *3,82*10* 60 25 *0,70*10

aço açoaço aço

aço aço

al alal al

al al

P L Pδ P

A E

P L Pδ PA E

π

π

−

−

= = =

= = =−

( )

( )

2

2 2

)11480 5,84

2518520 1,9860 25

açoaço

aço

alal

al

aP

MPaA

P MPaA

σπ

σπ

= = =

= = =−

7 7*6,15*10 *3,82*10

0,62*

30

aço al aço al

aço al

aço al

ComoP P

P PComoP P KN

δ δ − −= ⇒ =

⇒ =

+ =

11, 4818,52

aço

al

P KNP KN

=

=

7

)

*7,54*10aço

aço alaço aço

bcomo

P Lmm

A Eδ δ δ −= = ⇒ =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



Dois varões cilíndricos, um de aço e outro de latão, estão ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo que Eaço=2,00*105

MPa e Elatão=1,05*105 MPa, determine:

a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C

Aço Latão

RA

RA

RA

RA

P1

P2

P3

P4

12

1

22

2

32

3

42

4

( *20 )60000

( *20 )60000

( *15 )60000 40000

( *15 )

A

A

A

A

P RA

P RA

P RA

P RA

π

π

π

π

=

== −

== −

== − −

=

RA RE 0 60000 40000 0

100000 (1)X EA

A E

F R R

R R N

= ⇔ + − − =

⇔ + =∑

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

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Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



Dois varões cilíndricos, um de aço e outro de latão, estão ligados em C e restringidos em A e em E. Para as cargas mostradas, e sabendo que Eaço=2,00*105

MPa e Elatão=1,05*105 MPa, determine:

a) as reacções em A e em E b) o movimento do ponto C

Aço Latão

( )( )( )

( )( )

( )( )

2 5 2 5

2 5 2 5

)

0

60000 *120*180*20 *2,00*10 *20 *2,00*10

60000 *100 60000 40000 *1000

*15 *1,05*10 *15 *1,05*10

62,8(1) 37, 2

i i

i i

AA

A A

A

E

aPLδA E

RR

R R

R KNde R KN

δπ π

π π

= = ⇔

−= + +

− − −+ =

⇒ =⇒ =

∑RA RE

RA

RA

RA

RA

P1

P2

P3

P4( )

( )( )

1 1 2 22 5 2 5

1 1 2 2

)62800 60000 *12062800*180 46,3

*20 *2,00*10 *20 *2,00*10c

bPL P Lδ mA E A E

µπ π

−= + = + =

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



0,5 m

0,6 m

0,07 m

0,05 m

0,07 m

60 KN

20 KN 20 KN

Dois varões cilindricos estão acoplados em B. O varão AB é feito de aço (E=2,07x105 MPa), e o varão BC de latão (E=1,05x105 MPa). Determine:

a) a deformação total do conjunto ABC.

b) a deformação do ponto B

( )( )( )

( )( )

2 5 2 5

2 5

)

60000 40000 *50060000*600 0,1132*25 *2,07*10 *35 *1,05*10

)60000 40000 *500

0,0247*35 *1,05*10

i iA

i i

A

B

aPLδA E

mm

b

mm

δπ π

δπ

= ⇔

−= + =

−= =

∑

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

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Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



Dimensões em mm O provete da figura foi cortado de uma placa devinyl com 5 mm de espessura (E=0,031*105

MPa) e está sujeito a uma carga normal de 1.5kN. Determine:

a) a deformação total do provete.

b) a deformação da zona central BC

( ) ( ) ( )9

9

)

1500 40 50 40 0,7940,031*10 5*25 5*10 5*25

)1500*50 0,484

50*0,031*10

i iAD

i i

BC

aPLδA E

mm

b

mmδ

= =

= + + + =

= =

∑

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



200 mm

200 mm

200 mm

350 mm

F

F

F

Para a treliça de aço (E=2,07x105 MPa) e cargas mostradas, determine a deformação dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm2 e 75 mm2, respectivamente.

F= 60 KN

200 mm

200 mm

200 mm

350 mm

F

F

F

FBD

FBE

FCE 5

0 60000*400 60000*200 *350 0102,86

102860 205,7500

102860*200 0,1987500*2,07*10

E BD

BD

BDBD

BD

BD

M FF KN

F MPaAPL mmAE

σ

δ

= ⇔ − − + =

⇔ =

= = =

= = =

∑

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

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Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



200 mm

200 mm

200 mm

350 mm

F

F

F

Para a treliça de aço (E=2,07x105 MPa) e cargas mostradas, determine a deformação dos membros BD e DE, sabendo que as respectivas secções rectas são 50 mm2 e 75 mm2, respectivamente.

F= 60 KN

200 mm

200 mm

200 mm

350 mm

F

F

F

FBD

FDE

FEG5

0 060000 60000

120000120000 160,0

750120000*350 0,2705

750*2,07*10

x DE

DE

DEDE

DE

DE

F F F FF

DE NF MPaAPL mmAE

σ

δ

= ⇔ + − =

⇔ + =⇔ =

= = =

= = =

∑

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

ilva

Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a


Exercícios ResolvidosCada uma das quarto ligações que ligam as duas barras horizontais são feitas de alumínio (E=0,70*105 MPa) e tem uma secção recta rectangular e uniforme de 10 x 40 mm. Para as cargas mostradas determine a deformação de:

a) ponto E.

b) ponto G.

δEδF δG

( )

( )

5

5

)7500*300 0,080

10*40 *0,7*10)

19500*300 0, 20910*40 *0,7*10

( )

400 400 250

E

F

G EF Eg

G

aPLδ mmAE

bPL mmAE

pontoG geometricamente

t

δ

δ δδ δα

δ

−= = =

= = =

++= =+

⇒ =

Do equílibrio estático da barra EFG, RF=-7500 N

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

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Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



Um tubo de aço (E=2,07*105 MPa) com um diâmetro exterior de 32 mm e 4 mm de espessura está colocado num torno sem que exista todavia pressão nos topos. São aplicadas então as duas forças mostradas. Depois destas forças serem aplicadas, aperta-se o torno em 0.2 mm. Determine: a) as forças exercidas pelo torno no tubo, em A e em D.

b)a variação de comprimento da porção BC do tubo.

( )( )( )

( )( )

( )( )

2 2 5 2 2 5

2 2 5

2 2 5

)

0,2

30000 *80*8016 12 2,07*10 16 12 2,07*10

42000 30000 *800,2

16 12 2,07*10

)30000 *80

...16 12 *2,07*10

i iAD

i i

DD

D

D

DBC BCBC

BC BC

aPLδ mmA E

RR

Rmm

Rb

RP L mmA E

π π

π

δπ

= = −

−= +

− −

+ −+ = −

−

⇒ =

−= = =

−

∑

RA RD

RD

RD

RD

P1

P2

P3

1 2 3

0; 42000 3000 0; 30000 ; 42000 30000

x A D

D D D

F R RP R P R P R

= − + − =

= + = − + =∑

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

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Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



( )

6

2 5

6

2 5

* * * *

*180011,7*10 *35*1800 ;

6* *22 *2,00*104

*18009,9*10 *35*1800 ;240*240 6* *22 *0,25*10

4

aço cim

T F T Faço aço cim cim

aço cim

açoaço

cimcim

PL PLT L T LAE AE

P

P

δ δ

δ δ δ δ

α α

δπ

δπ

−

−

=

+ = +

+ = +

= +

= + −

! !

O poste de betão está reforçado com seis barras de aço, cada uma com 22 mm de diâmetro. Determine as tensões normais induzidas no aço e no cimento devidas a uma subida de temperatura de 35ºC.

5 6

5 6

0,25*10 ; 9,9*10 /º

2,00*10 ; 11,7*10 /ºcim cim

aço aço

E MPa CE MPa C

αα

−

−

= =

= =

21667aço cimP P N= =* Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se, i.e. Paço=Pcim, logo,

( )

2

2

21667 9,56* *22

421667 0,392

240*240 6* *224

açoaço

aço

cimcim

cim

PMPa

A

P MPaA

σ π

σπ

−= = = −

= = = −

δTaço

δTcim

δFaço

δFcim

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

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Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



Casca de alumínio Alma de aço

Casca de alumínio

Alma de aço

A montagem consiste numa casca de alumínio ligada a uma alma de aço e está sem tensões, a uma temperatura de 20ºC. Considerando apenas deformações axiais, determine a tensão na casca de alumínio quando a temperatura atingir 180ºC.

5 60,70*10 ; 23,6*10 /ºal alE MPa Cα −= =

5 62,00*10 ; 11,7*10 /ºaço açoE MPa Cα −= =

( )

6

2 5

6

2 2 5

* * * *

*20011,7*10 *160*200 ;

*20 *2,00*104

*20023,6*10 *160*200 ;* 50 20 *0,7*10

4

aço al

T F T Faço aço al al

aço al

açoaço

alal

PL PLT L T LAE AE

P

P

δ δ

δ δ δ δ

α α

δπ

δπ

−

−

=

+ = +

+ = +

= +

= + −

! !

..aço alP P N= =* Como não há forças exteriores as forças internas opõem-se, i.e. Paço=Pal, logo,

alal

al

PA

σ = =

δTal

δTaço

δFal

δFaço

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

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Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



A temperatura da barra composta é elevada em 80ºC. Sabendo as características dos materiais e que não háforças aplicadas em B ou em D, determine: (Eaço=2,00*105 MPa e Elatão=1,05*105 Mpa; αaço=11,7*10-6/ºC; αlatão= 20,9*10-6/ºC)a) as tensões normais em AC e em CE b) a deformação da porção AC

Dimensões em mm

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

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Dep

. Eng

ª Mec

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a


Exercícios Resolvidos450 KN

1,5 m

Um tubo de aço de 1,5 m de comprimento, 300 mm de diâmetro exterior, e 12 mm de espessura é usado como coluna para suportar 450 KN. Usando a informação disponível, determine: (E=2,07*105 MPa; G=0,8*105MPa)

a) a mudança de comprimento do tubo.

b)a mudança do diâmetro exterior do tubo.

c)a mudança da espessura da parede do tubo.

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

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Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



Um pedaço quadrado, 20*20 mm, de aço foi retirado de um recipiente sob pressão de grandes dimensões. Quando sob pressão, a condição de tensões biaxiais é a que mostra a figura. Usando os dados disponíveis do aço, determine o variação de tamanho de: a) lado AB

b) lado BC

c) diagonal AC

E=2,00*105 MPa G=0,77*105 MPa

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

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Dep

. Eng

ª Mec

ânic

a



O provete de alumínio está sujeito às forças indicadas, de magnitude P.

Sabendo que E=0,70*105 MPa, e σadm=200MPa,

a) Determine a máxima força P, e o correspondente alongamento do provete

b) Resolva a alínea a, assumindo que o provete foi substituído por uma barra de alumínio, do mesmo comprimento, e secção recta rectangular uniforme de 60x15 mm.

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

uel S

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Dep

. Eng

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ânic

a


Exercícios PropostosOs membros deste sistema têm 2-cm-de diametro e são de aço (E = 200 GPa). A carga é aplicada em, x = 1.5 m e y = 0.5 m. Qual é a deformação do membro AC quando a carga de 10 kN é aplicada?

A barra AB é de alumínio (E = 70 GPa) e a barra CD é de aço (E = 200 GPa). Ambas têm uma secção recta de 1 cm x 3 cm. As dimensões da figura são x = 2 m, y = 2 m, e z = 3 m. Qual éa deformação da barra AB quando é aplicada a força de 40 kN?

O membro CE, de Aluminio (E = 70 Gpa) está montado como mostra a figura. Esta peça tem 2-cm de altura e uma secção recta de 0.5 cm x 1 cm. Um parafuso, de aço, (E = 200 Gpa), e com 4-cm de comprimento e 1-cm de diâmetro, é ajustado para exercer pressão na peça. Assumindo que o membro ABC é rigido, e sabendo que x = 4 cm, determine a máxima tensão que ocorre no parafuso quando o componente ABC estiver sujeito a 200 MPa?

Prep

arad

o po

r: Fi

lipe

Sam

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. Eng

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a


Exercícios PropostosO membro rígido ABCD é usado para suportar um peso de 2 KN. Este membro tem 6-m de comprimento. As barras BE e CF são de aço (E = 200 GPa) e têm um diâmetro de 0.5 cm e um comprimento de 2 m. Qual a deformação do ponto D quando a carga é aplicada?

A paçe BE é de aluminio (E = 70 GPa, α = 23.0 E-6 1/oC) e está suportada pelo membro rígido DEF. A peça BE tem 50 cm de comprimento e um diâmetro de 5 cm. Os membros AD e CF são de aço (E = 200 GPa, α = 11.7 E-6 1/oC) e têm 60 cm de comprimento e 0,5 cm de diâmetro. Inicialmente nenhuma carga está aplicada no conjunto. Determine as tensões que se desenvolvem nos membros AD e CF quando a temperatura subir 100ºC.

A placa da figura tem 0.5-cm de espessura e 2-cm de largura. Um furo de 0.5-cm de diametro está localizado no centro da placa. Qual a máxima tensão existente na placa quando uma força de 2 KN é aplicada?

cap.2 cargas axiais

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