cap12 projecto(parte b)

Moldagem do Ganho de Malha

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

CONTROLOCONTROLO3º ano – 1º semestre – 2007/2008

Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo 12 (Parte B) - Projecto por Moldagem p ( ) j p gdo Ganho de Malha

Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

o, A

ntón

io P

asco

alDezembro de 2001Revisão em Dezembro de 2004 e Dezembro de 2005

1/Cap.12-Parte IIDezembro.2007

©M

. Isa

bel R

ibei

ro

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores


Sistema de controlo por retroacção : esquema geral

G(s)K(s)

dyr e u

Controlador Sistema a controlar

G(s)_

K(s)

n

r – sinal de referência ( a seguir pela variável de saída y)

d – perturbação à saída do sistema a controlar

n – ruído no sensor

e – erro de seguimento

iá l d íd

o, A

ntón

io P

asco

al

y – variável de saída

u – variável de actuação


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



OBJECTIVOS DO SISTEMA DE CONTROLO

)(sKi) O controlador deve estabilizar )(sG

ii) A saída y deve seguir com fidelidade o sinal de referência r.

iii) Deve atenuar-se a influência da perturbação d e do ruído n na saída yperturbação d e do ruído n na saída y.

iv) O sistema de controlo deve exibir )robustez face a variações de parâmetros no sistema a controlar.

o, A

ntón

io P

asco

al


©M

. Isa

bel R

ibei

ro


Moldagem do Ganho de MalhaQUANTIFIÇÃO DOS OBJECTIVOS DE CONTROLO

É possível avaliar de modo independente o efeito de cada i l

Sistema Linear Princípio da Sobreposição

1. Atenuação do efeito da perturbação d

d

sinal externo

(Reduzir o impacte de d em y )

G(s)_

K(s)

dye

)()()()()( sEsKsGsDsY +=

ye ;GKedy −=+=

)()()()()()()()()(

sYsKsGsDsEsKsGsDsY

−=+

o, A

ntón

io P

asco

al)())()()(( sDsKsGsY =+1


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

)()()()(

)( sSsKsGsD

sY=

+=

11



ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO d

)()()()(

)( sSsKsGsD

sY=

+=

11

)(sSD(s) Y(s)

S(s) - FUNÇÃO DE SENSITIVIDADE

Possível Diagrama de Bode de S(s)

)( ωjS abaixo da ‘barreira’ de –x db para

0db

)( 1−dω

[ ]dωω ,0∈o,

Ant

ónio

Pas

coal

)( 1−radsωdω

-x db


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

xdbjS −≤)( ω



ATENUAÇÃO DE PERTURBAÇÕES SINUSOIDAIS

)( 1−radsω0

Banda de frequências de desempenho

Atenuação de pelo menos –x db

)(dω

menos x db

)(sSd y

d – sinais sinusoidais

Requisito de atenuação de d [ ]djS ωωω ,;)( 0∈

Limite superior a o,

Ant

ónio

Pas

coal

O limite superior –x db e a banda de frequências de desempenho [ ]dω,0 dependem do problema específico de controlo


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

[ ]d

considerado.



ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO d

O que acontece quando d não é sinusoidal?

d- modelizado como um processo estocástico estacionário com densidade espectral

)(ωdΦ

y - processo estocástico estacionário com densidade espectral

2)()()( ωωω jSdy Φ=Φo,

Ant

ónio

Pas

coal

ωωω djSd∫∞

Φ=2)()(Energia { }y2


©M

. Isa

bel R

ibei

rod∫0

{ }y



ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO d - Terminologia

)(ωdΦ

dω)( 1−radsω

Se 0)( ω>ωωΦSe dd ,0)( ω>ω≈ωΦ

conteúdo espectral de d está concentradona gama de frequências [ ]dω,0

Técnica para redução da energia associada a y:

Reduzir [ ]d,0 ,)j(S ω∈ωωo,

Ant

ónio

Pas

coal[ ]ddjS ωωεω ,,)( 0∈≤

C b j i d fi i í l d j i ã ε


©M

. Isa

bel R

ibei

roCabe ao projectista definir o nível de rejeição dε



ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃOd – constrições ao ganho de malha

[ ]dd ,0,1)j(S ω∈ω<ε≤ω

djKjGε

ωω≤

+ )()(11

11)j(K)j(G1d

>ε

≥ωω+

11d

>>ε

Se 1d <<ε

)()()()( ωωωω jKjGjKjG ≅+1

atenuação do efeito da perturbação d

o, A

ntón

io P

asco

al

11)j(K)j(G dd

>>β=ε

≥ωω

[ ]ωω 0∈


©M

. Isa

bel R

ibei

ro[ ]dωω ,0∈



ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃOd – constrições ao ganho de malha

11)j(K)j(G dd

>>β=ε

≥ωω

[ ]dωω ,0∈

jKjG βωω ≥)()(

0db

djKjG βωω ≥)()(dβ1020 log

0db

)( 1−radsωdωo,

Ant

ónio

Pas

coal

Barreira inferior ao ganho de malha )()( jKjG


©M

. Isa

bel R

ibei

ro)()( ωω jKjG

moldável através do controlador K(s)



2. SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r

G(s)K(s)r ye

_

GKey ;yre =−=

)()()()()( sEsKsGsRsE −=

GKere −=

)()())()(( sRsEsKsG =+1

)()( sSsE==

1

o, A

ntón

io P

asco

al

)()()()(

sSsKsGsR=

+=

1


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERENCIA r

r- modelizado como um processo estocástico estacionário com densidade espectral

)(ωrΦ

e - processo estocástico estacionário com densidade espectral

2)j(S)()( re ωωΦ=ωΦ

∞

o, A

ntón

io P

asco

alωωω djSr

2

0∫Φ= )()(Energia { }e2


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r

)(ωrΦ

rω)( 1−radsω

Se ;0)( >ΦSe rr ;0)( ω>ω≈ωΦ

conteúdo espectral de r está concentradona gama de frequências [ ]rω,0

Técnica para redução da energia associada ao erro de seguimento e:

Reduzir

[ ]r,0 ,)j(S ω∈ωω

o, A

ntón

io P

asco

al

[ ]rrjS ωωεω ,,)( 0∈≤


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

Cabe ao projectista definir o nível de rejeição rεINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008


SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r

[ ]rr ,0 ,1)j(S ω∈ω<ε≤ω

Constrição geométrica

)( ωjS abaixo da ‘barreira’ de db para [ ]rωω ,0∈

rε1020 log

0db

)( 1−radsωrω

rε1020 logo,

Ant

ónio

Pas

coal

rjS εω 1020 log)( ≤ db


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r- constrições ao ganho de malha

[ ]rr ,0,1)j(S ω∈ω<ε≤ω

1)j(K)j(G1

1r <ε≤

ωω+

11)j(K)j(G1r

>ε

≥ωω+

11r

>>ε

Se 1r <<ε

)()()()( ωωωω jKjGjKjG ≅+1

seguimento de sinais de referência r

o, A

ntón

io P

asco

al

11)j(K)j(G rr

>>β=ε

≥ωω

[ ]ωω 0∈


©M

. Isa

bel R

ibei

ro[ ]rωω ,0∈



SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA r- constrições ao ganho de malha

11)j(K)j(G rr

>>β=ε

≥ωω

[ ]rωω ,0∈

rjKjG βωω ≥)()(

0db

rβ1020 log

0db

)( 1−radsωrωo,

Ant

ónio

Pas

coal

Barreira inferior ao ganho de malha )()( jKjG


©M

. Isa

bel R

ibei

ro)()( ωω jKjG

moldável através do controlador K(s)



3. REDUCAO DO IMPACTE DO RUÍDO DO SENSOR n NA SAÍDARUÍDO DO SENSOR n NA SAÍDA

G(s)K(s)ye u G(s)

_K(s)

n

)(GK )(, yneGKey +−==

GKyGKny −−=

)())()(( sYsKsG =+1)()()(

)())()((sNsKsG

sYsKsG−

=+1

o, A

ntón

io P

asco

al)()()(

)()()()( sT

sKsGsKsG

sNsY

−=+

−=1


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n

n- modelizado como um processo estocástico estacionário com densidade espectral

)(ωnΦ

y - processo estocástico estacionário com densidade espectral

2)()()( ωωω jTny Φ=Φ

∞

o, A

ntón

io P

asco

alEnergia { }y2 ωωω djTn∫∞

Φ=0

2)()(


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n (concentrado na alta frequência)RUÍDO n (concentrado na alta frequência)

)(n ωΦ

1nω

)( 1−radsω

210)(

2nω

Se 2n

1nn , ;0)( ω>ωω<ω≈ωΦ

conteúdo espectral de n está concentradona gama de frequências [ ]21, nn ωω

Técnica para redução da energia associada a y por influência do ruído n

Reduzir

[ ]2n

1n , ,)j(T ωω∈ωω

o, A

ntón

io P

asco

al

[ ]2n

1nn ,,1)j(T ωω∈ω<ε≤ω


©M

. Isa

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ro

Cabe ao projectista definir o nível de rejeição nεINSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2007/2008


REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n

[ ]2n

1nn ,,1)j(T ωω∈ω<ε≤ω [ ]

210db

)( 1−radsωnjT εω ≤)(

2nω

1nω

nε1020 logo,

Ant

ónio

Pas

coal

Barreira superior de

)( ωjTldá l t é d t l d K( )


©M

. Isa

bel R

ibei

romoldável através do controlador K(s)



REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n - constrições ao ganho de malha

[ ]2n

1nn , ,1)j(T ωω∈ω<ε≤ω

n)j(K)j(G1)j(K)j(G

ε≤ωω+

ωω

Se 1n <<ε

)()()()(

ωωωω

jKjGjKjG

≅ )()()()(

ωωωω

jKjGjKjG

≅+1

Redução do impacte de n

o, A

ntón

io P

asco

al

1)j(K)j(G n <<ε≤ωω

[ ]21 ωωω∈


©M

. Isa

bel R

ibei

ro[ ], nn ωωω∈



REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO n - constrições ao ganho de malha

1)j(K)j(G n <<ε≤ωω

[ ]21[ ]21, nn ωωω∈

0db

1

2nω

1nω

)( 1−radsωnjKjG εωω ≤)()(

nε1020 logo,

Ant

ónio

Pas

coal

Barreira superior ao ganho de malha


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

moldável atraves do controlador K(s))()( ωω jKjG



LIMITES DO ACTUADOR

G(s)_

K(s)r ye u

)()(11

)()(

sKsGsRsE

+=

)()()(

)()(

sRsEsK

sRsU ==

)()()(

sKsGsK

+1

)(1

)()(1)()(

)()(

sGsKsGsKsG

sRsU

+=

Ad it

f.t.c.f.o,

Ant

ónio

Pas

coal

Admita-se que:

1<<ε≤ω p)j(G

ppara ω>ω O ganho do sistema a


©M

. Isa

bel R

ibei

ropp O ganho do sistema a controlar é menor do que um valor muito pequeno para w>wp



LIMITES DO ACTUADOR

Admita-se que:

1>>ωω )j(K)j(G

[ ]qp,ωω∈ω para

11 jGjKjG

jKjGjRjU

ωωωωω

ωω

+=

)()()()()(

)()(

111>>

ε=

ω≅

p)j(G

Sinais de actuação muito elevados, a menos que o ganho da f.t.c.a. tome valores pequenos para frequências

o, A

ntón

io P

asco

alpωω f

Regra de projecto: nunca tentar que a largura de banda do sistema em cadeia fechada se estenda muito para a região em


©M

. Isa

bel R

ibei

rop gque o ganho do sistema a controlar começa a ser menor do que 0dB.



LIMITES DO ACTUADOR

Técnica para limitar os sinais de actuação

1<<ε≤ωω l)j(K)j(G

1 >ω>ω k;k ppara

k,lεÉ tarefa do projectista seleccionar

o valor dos parâmetros

0db

)( 1−radsωε≤ωω )j(K)j(G

pkωo,

Ant

ónio

Pas

coal

lε≤ωω )j(K)j(G

lε1020 log


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

Limite superior (“barreira”) no ganho de malhamoldado por escolha apropriada de K(s)

)()( ωω jKjG



Conjugação dos requisitos de desempenho (resposta a sinais externos)

Constrições ao Ganho de Malha

)()( ωω jKjG

dβ1020 log

2ω1ωrβ1020 log

dβ1020 log

kω0db

)( 1−radsω

nlog ε1020

nωnω

dω rω

pkω

nlog ε1020

Barreira inferior de b i f ê i

Barreira superior de l f ê i

lε1020 logo,

Ant

ónio

Pas

coal

baixa frequênciar, d

alta frequêncian, u

OBJECTIVO: Moldar (por escolha adequada de K(s))o ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as


©M

. Isa

bel R

ibei

roo ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as barreiras, preservando a estabilidade do sistema emmalha fechada



Moldagem do Ganho de Malha – exemplos de projecto

Exemplo 1

2

1s

. Sistema a controlar

s

G(s)

. Objectivos do sistema de controlo

dControlador Sistema a controlar

G(s)_

K(s)y

n

r e uo,

Ant

ónio

Pas

coal

Projectar K(s) de modo a estabilizar G(s) e a cumprir os objectivos seguintes:


©M

. Isa

bel R

ibei

roos objectivos seguintes:


Moldagem do Ganho de MalhaMoldagem do Ganho de Malha

Exemplo 1

REQUISITOS A CUMPRIR

i) Aten ar de pelo menos 80db os sinais da pert rbação d nai) Atenuar de pelo menos –80db os sinais da perturbação d na gama de frequências

[ ] [ ] 11000 −= radsd .,,ω

ii) Seguir com erro menor ou igual a -40db os sinais de referência r na gama de frequências

[ ] [ ] 11 00 −=ω rads,, r

iii) Atenuar de pelo menos –20db os sinais de ruído n na gama de frequências

[ ] [ ] 13221 1010 −rads[ ] [ ] 132 10 10=ωω rads,, nn

iv) Erro estacionário de seguimento a parábolas

020)( ≤∞e

o, A

ntón

io P

asco

al

020.)( ≤∞pare

v) Margem de Fase 045≥ΦM

i) M d G h dbG 20+≥


©M

. Isa

bel R

ibei

rovi) Margem de Ganho dbGM 20+≥



Exemplo 1

Expressao geométrica das condições i), ii), iii)

[ ]i) [ ] 1110080 −−∈−≤ radsdbjS ,,)( ωω

[ ] 1110080 −−∈+≥ radsdbjKjG )()( ωωω [ ]10080 ∈+≥ radsdbjKjG ,,)()( ωωω

ii) [ ] 11040 −∈−≤ radsdbjS ,,)( ωω

[ ] 11040 −∈+≥ radsdbjKjG ,,)()( ωωω

iii [ ] 132 101020 −∈−≤ radsdbjT ,,)( ωω

o, A

ntón

io P

asco

al

[ ] 132 101020 −∈−≤ radsdbjKjG ,,)()( ωωω


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



Exemplo 1

)()( ωω jKjG

Constrições ao Ganho de Malha

)()( ωω jKjG

db40+

db80+

0db

)( 1−radsω

310210

10. 1

db20−

i i f i d

o, A

ntón

io P

asco

al

Barreira inferior de baixa frequência

r, d

Barreira superior de alta frequência

n


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



Exemplo 1

Expressão analítica da condição iv)

Erro estacionário de seguimento a parábolas

020.)( ≤∞pare

(realizável, porque G(s) tem dois pólos na origem)

)()()()(

sKsGsRsE

+=

1

na origem)

Seja

)()()(

sKsGssE

+=

112

3

Seja 10 == )(K~);s(K~K)s(K

o, A

ntón

io P

asco

al

0202

1

12

2

30

0

.KKs

slim

)s(sElim)(e

s

spar

≤=+

==∞

→

→


©M

. Isa

bel R

ibei

ro2s

100≥K



Exemplo 1

Proposta de controlador simples:

1001 K;)s(K~);s(K~K)s(K 100 1 === K;)s(K);s(KK)s(K

Verificação das constrições do Ganho de Malha

Controlador Proporcional


db80+

100)()( ωω jKjG

0db310210

db40+ 2)()()(

ωωω

jjKjG =

)( 1−radsω

db20−

10. 1 10o,

Ant

ónio

Pas

coal

)( 1−radsω

)()( ωω jKjG0180−

Fase de 00=ΦM


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

As constrições do ganho de malha são satisfeitas, mas .. 00=ΦM !



Exemplo 1

Necessidade de introduzir avanço de fase

045=Φ desMMargem de fase mínima desejada:

ε+Φ−Φ realM

desM

Avanço de fase necessário:

factor de segurança

margem defase real =0 graus

Factor de segurança = 0 graus ( a fase do ganho de malha não varia).

Avanço de fase necessário: 450

Uso de malha de avanço puroUso de malha de avanço puro

110 −=+

= radsz;z

zsK)s(Ko,

Ant

ónio

Pas

coal1 =ω K,)j(K

odb

090045

Fase de)( ωjK


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

z z)( 1−radsω )( 1−radsω



Exemplo 1

Verificação das constrições do ganho de malha

110100 −==+

== radsz;K;)zs()s(K~);s(K~K)s(K 10 100 ==== radsz;K;z

)s(K);s(KK)s(K

db80+ Novo

310210

db40+ )(~ ωjK

0db

)( 1−radsω

31010

10. 1

db20−

)()( ωω jKjGFase de 090−

o, A

ntón

io P

asco

al

)( 1−radsω

0180−

90−0135−


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

As constrições do ganho de malha são satisfeitas e .. 045=ΦM .



Exemplo 1

Verificação final de estabilidade e Margem de Ganho

10100 )s(~ +10

101002

)s(s

)s(G)s(K~K)s(K)s(G +==

USO DO TEOREMA DE NYQUIST

Contorno de NyquistNúmero de pólos em

malha aberta no interior do contorno de Nyquist:

xx

yqP=0

Número de voltas em torno do ponto –1

N=0

o, A

ntón

io P

asco

al

x-1

E á l!


©M

. Isa

bel R

ibei

roEstável!Margem de Ganho é infinita!



Moldagem do Ganho de Malha – exemplos de projecto

Exemplo 2

11+s

. Sistema a controlar

1+s

G(s). Objectivos do sistema de controlo

dControlador Sistema a controlar

G(s)_

K(s)y

n

r e uo,

Ant

ónio

Pas

coal

Projectar K(s) de modo a estabilizar G(s) e a cumprir bj i i


©M

. Isa

bel R

ibei

roos objectivos seguintes:



Exemplo 2

REQUISITOS A CUMPRIR

ii) Atenuar de pelo menos –40db os sinais de perturbação d na d f ê i

i) Erro estático de posição =0.

gama de frequências [ ] [ ] 1210,0,0 −−= radsdω

iii) S i i l 100db i i diii) Seguir com erro menor ou igual a -100db os sinais de referência r na gama de frequências

[ ] [ ] 1310,0,0 −−= radsrω

iv) Atenuar de pelo menos –40db os sinais de ruído n na gama de frequências

[ ] [ ] 13221 10,10, −= radsnn ωω

o, A

ntón

io P

asco

al

v) Margem de Fase 045≥ΦM


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

vi) Margem de Ganho dbGM 20+≥



Exemplo 2

Expressao geométrica das condições ii), iii), iv)

[ ]ii) [ ] 1210,0,40)( −−∈−≤ radsdbjS ωω

[ ] 1210040)()( −−∈+≥ radsdbjKjG ωωω [ ]10,0,40)()( ∈+≥ radsdbjKjG ωωω

iii) [ ] 1310,0,100)( −−∈−≤ radsdbjS ωω

[ ] 1310,0,100)()( −−∈+≥ radsdbjKjG ωωω

iv) [ ] 132 10,10,40)( −∈−≤ radsdbjT ωω

o, A

ntón

io P

asco

al

[ ] 132 10,10,40)()( −∈−≤ radsdbjKjG ωωω


©M

. Isa

bel R

ibei

ro



Exemplo 2

Expressão analítica da condição i)

Erro estático de posiçãoErro estático de posição

0)( =∞escalãoe

10 == )(K~);s(K~sK)s(K

(1 integrador puro na malha directa)

Proposta de controlador simples:

0 >= K;sK)s(K

Controlador Integral

o, A

ntón

io P

asco

al

Ganho de Malha

Controlador Integral


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

0 1

1>

+= K;

ssK)s(K)s(G



Exemplo 2


100 =ωω K;)j(K)j(G+80db

+100db

310

+40db

0db

db40−

10

)( 1−radsω210310−

1 10210− 110−

0180−

)()( ωω jKjGFase de

)( 1−radsω210310−

1 10210− 110−

090−o,

Ant

ónio

Pas

coal

As constrições do ganho de malha são satisfeitas, mas ..

0180−


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

00=ΦM !



A barreira de alta freq ência não permite tili ar ma


Exemplo 2 A barreira de alta frequência não permite utilizar uma

malha de avanço adicional

utilizar 0 >>++

= pz,pszs

zp)s(K~

+80db

1113 10;10 −−−− == radszradspescolha possível

310

+40db

80db

)()( ωω jKjGNovo

0db

db40−

310

)( 1−radsω210310−

1 10210− 110−

)(~ ωjK

o, A

ntón

io P

asco

al)( 1−radsω210310−

1 10210− 110−

090− )()( ωω jKjGFase de


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

0180−045=ΦM



Exemplo 2


31 1010100 −−+sk13 10

101010

)1(100)()(

~)()( −−+

++

==ss

sssGsK

sksKsG

o, A

ntón

io P

asco

al


©M

. Isa

bel R

ibei

ro

Margem de fase = 44º



Exemplo 2


31 1010100 −−+sk13 10

101010

)1(100)()(

~)()( −−+

++

==ss

sssGsK

sksKsG

USO DO TEOREMA DE NYQUIST

Contorno de NyquistNúmero de polos em

malha aberta no interior do contorno de Nyquist:

x

yqP=0

xx-p-z-1

Número de voltas em torno do ponto –1

N=0

o, A

ntón

io P

asco

al

x-1

E á l!


©M

. Isa

bel R

ibei

roEstável!Margem de Ganho é infinita!


cap12 projecto(parte b)

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