MatemticaFrente IICAPTULO 8 INEQUAO PRODUTO E QUOCIENTE

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1- INTRODUOAt agora, estudamos diversos tipos de equaes e mtodos para resolv-las. Para estudar as inequaes, vamos primeiro nos lembrar do procedimento que costumvamos fazer para resolver uma equao do primeiro grau.

EXEMPLO:1. Para resolver a equao 3x + 5 = 2x + 11, procedemos da seguinte maneira:- 3x + 5 = 2x + 11- Passamos 2x para a esquerda e 5 para a direita:- 3x 2x = -5 + 11- x = 6

Podemos escrever a soluo desse problema como:Soluo: x {6}

Conclumos ento que x = 6 o nico valor que satisfaz nossa equao. Porm, se, ao invs disso, quisssemos saber os valores de x tais que 3x + 5 maior do que 2x + 11? Ou ainda para quais valores 3x + 5 menor ou igual a 2x + 11? Para resolver esse tipo de problema, surgem as chamadas inequaes.

2- REPRESENTAO DE INEQUAESEscrever matematicamente uma equao, como, por exemplo, 2x + 5 = 3x + 11, uma representao que quer dizer trs xis mais cinco igual a dois xis mais onze. O que veremos agora uma maneira de representar matematicamente frases como trs xis mais cinco menor do que dois xis mais onze.Para representar inequaes, substituiremos o sinal de igual ( = ) por diferentes termos para representar outras afirmaes:1. Para dizer maior que, utilizamos o smbolo >2. Para dizer menor que, utilizamos o smbolo 3 5x (l-se sete maior que trs menos cinco xis)4. 3 x (l-se trs maior, ou igual que xis)

Veremos mais adiante como resolveremos esses tipos de inequaes.

3- REGRAS PARA INEQUAESPraticamente todas as regras que regem as equaes se aplicam s inequaes.

1. Podemos somar ou subtrair um nmero qualquer aos dois lados da inequao:EXEMPLO:5x + 1 > 8Somando 9 dos dois lados:5x + 1 + 9 > 8 + 9 5x + 10 > 17Subtraindo 10 dos 2 lados:5x + 10 10 > 17 10 5x > 7

2. Podemos passar um membro da equao de um lado para o outro trocando de sinal:EXEMPLO:8x - 3 2x + 4Passando 2x para a esquerda e 3 para a direita:8x 2x 4 + 3 6x 7

MAS AGORA TOME MUITO CUIDADO!Existem duas coisas que podemos fazer em equaes que, quando feitas em inequaes, exigem muito cuidado para que faamos corretamente:

1. Trocar o lado da equaoSe tomarmos, por exemplo, a seguinte: equao 5x + 1 = 3 2xIsto equivalente a dizer:3 2x = 5x + 1 Simplesmente trocamos os lados da equao.

Porm, para fazer isso na inequao, TEMOS QUE INVERTER O LADO DA DESIGUALDADE!Isso pode ser interpretado de forma lgica. Se dissermos, por exemplo, que xis maior que oito, uma afirmao anloga a esta seria dizer que oito menor que xis.

EXEMPLOS:1. Para inverter a inequao x + 5 > 2x + 3:- ERRADO dizer que: 2x + 3 > x + 5- CORRETO dizer que: 2x + 3 < x + 5Observe que, ao trocarmos o lado da inequao, mudamos o sinal de menor que para maior que. Analogamente, devemos trocar o sinal de menor, ou igual que para maior, ou igual que e vice-versa.

2. Invertendo 3 8x 7, temos 7 3 8x3. Invertendo x < 9 - 5x, temos 9 5x > x4. Invertendo 2x + 5 x 8, temos x 8 2x + 55. Invertendo 2x + 3 > 8, temos 8 < 2x + 3

2. Multiplicar/dividir a equao por um nmeroQuando estudamos equaes, vimos que podemos multiplicar ou dividir todos os membros da equao pro um nmero que no seja zero.

EXEMPLOS:1. Se multiplicarmos a equao 2x + 8 = 4x + 3 por 3: 2x + 8 = 4x + 3 (.3)6x + 24 = 12x + 9

2. Se multiplicarmos a equao x = 5 2x por -2:x = 5 2x (.-2)-2x = -10 + 4x

Nas inequaes, a regra a seguinte:- Se multiplicarmos ambos os lados da inequao por um nmero positivo, mantemos o lado da desigualdade- Porm, se multiplicarmos ambos os lados da inequao por um nmero negativo, devemos inverter o lado da desigualdade!

EXEMPLOS:Seja a inequao 3 2x 4 3x.1. Se multiplicarmos ambos os lados da inequao pelo nmero 5, teremos:

3 2x 4 3x (.5)15 10x 20 15x

2. Se multiplicarmos ambos os lados da inequao pelo nmero -4, teremos:

3 2x 4 3x (.-4)-12 + 8x -16 + 12x

Observe que, no exemplo acima, ao multiplicar a inequao pelo nmero negativo -4, mudamos a desigualdade de maior, ou igual que para menor, ou igual que.

Em posse dessas observaes, agora aprenderemos a resolver inequaes do primeiro grau e inequaes produto/quociente.

4- RESOLUO DE INEQUAES DO PRIMEIRO GRAU

Veremos aqui como utilizar as regras de inequaes para resolver inequaes do primeiro grau e de quocientes.

Exerccio Resolvido 1:Resolva a inequao 2x - 5 > 5x - 3

Resoluo:

1. Passando 2x para a direita e -3 para a esquerda: -5 + 3 > 5x 2x-2 > 3x2. Trocando o lado da desigualdade:3x < -23. Dividindo todos os membros por 3:x < -2/3

Assim a soluo da inequao o conjunto:

Ou, utilizando a representao por intervalos:

A resposta pode ser dada de ambos os jeitos, mas importante atentar: A soluo de inequaes sempre deve ser dada na forma de intervalos! Para os exerccios que faremos, iremos adotar a notao por colchetes.

Exerccio Resolvido 2:

Seja f(x) = 2x + 7 e g(x) = -3x. Analise para quais valores de x a funo f maior ou igual funo g.

Resoluo:1. A funo f maior ou igual funo g significa:f(x) g(x)2. Substituindo as expresses de f e g:2x + 7 -3x3. Passando -3x para a esquerda e 7 para a direita:2x + 3x -75x -7x -7/5A soluo ento Mais uma vez importante ratificar: A soluo sempre deve ser dada na forma de intervalos!

Exerccio Resolvido 3:

Resolva o sistema de inequaes:

Resoluo:1. Primeiramente, analisemos a primeira inequao:3 2x 3 1 2x-2 2x -1 xx -12. Agora analisemos a segunda inequao3x 1 53x 5 + 13x 6x 3

3. A nossa soluo deve satisfazer simultaneamente as duas equaes, logo:- x deve ser maior, ou igual a -1- x deve ser menor, ou igual a 3:Logo -1 x 3 e nossa resposta ser

5 RESOLUO DE INEQUAES COM PRODUTO E QUOCIENTE

Aprendemos ento a resolver inequaes do primeiro grau. Nossa meta agora resolver inequaes que envolvam o produto ou o quociente de equaes do primeiro grau.

Como exemplo, suponhamos que deparemos com a seguinte inequao:

Para quais valores de x essa inequao verdadeira? Observe que estamos multiplicando dois nmeros, 2x + 4 e x 5. Se ambos forem positivos, o produto dos dois ser positivo e a inequao ser satisfeita. Da mesma forma, se ambos forem negativos, o seu produto ser positivo e a inequao tambm ser satisfeita. Porm, se um deles for positivo e o outro negativo, o produto dos dois ser negativo (menor que zero), e ento a inequao no se satisfaz. Para resolver essa inequao ento, seguiremos os seguintes passos:

1. Analisar para quais valores 2x + 4 positivo, ou seja: 2x + 4 > 0:2x + 4 > 02x > -4x > -4/2x > -2Analisando na reta real, temos:

2. Analisar para quais valores x - 5 positivo, ou seja, x 5 > 0:x 5 > 0x > 5Analisando na reta real, temos:

Se analisarmos atentamente essas duas retas, percebemos que:

- Se x < -2, tanto x - 5 quanto 2x 4 sero negativos, logo (2x 4)(x 5) ser positivo

- Se x > -2 e x < 5, 2x + 4 ser positivo e x 5 ser negativo, logo (2x 4)(x 5) ser negativo

- Se x > 5, tanto x 5 quanto 2x 4 sero positivos, logo (2x 4)(x 5) ser positivo

Isto pode ser analisado melhor se observarmos as retas reais abaixo:

Como estamos interessados nas solues positivas, o intervalo que representa a soluo so trechos positivos da reta, ou seja, ] e Como x pode pertencer a qualquer um dos intervalos, nossa soluo :

Aqui fizemos a unio para indicar que x pode pertencer a qualquer um dos dois intervalos.

Agora que sabemos esta tcnica das retas reais, podemos resolver todo tipo de inequao produto-quociente que quisermos. Basta passar todos os termos para um lado da inequao e reduzi-la a um produto/quociente de termos que maior/menor que zero.

Exerccio Resolvido 4:

Determine para quais valores de x a inequao abaixo satisfeita:

Resoluo:Apesar de termos a tentao de simplesmente fazer a multiplicao em cruz, isso , na maioria das vezes, proibido nas inequaes, ento evitemos essa tcnica.

A primeira coisa a atentar : No se pode dividir por zero! Ento os denominadores devem ser diferentes de zero, ou seja:

- x + 3 0 x -3- 3x + 8 0 x -8/3

Agora podemos proceder com a inequao: - Passemos para o lado esquerdo:

- Tirando o MMC:

- Desenvolvendo:

Reduzimos nossa equao a uma seqncia de produtos/quocientes com 0 do lado direito. Agora procedemos como fizemos no exemplo:

1. Analisemos para quais valores x + 1 positivo ou zero:x + 1 0x -1Reta real:

2.Como vimos no incio do problema, x + 3 no pode ser 0, ento analisaremos apenas os valores para os quais ele positivo:x + 3 > 0x > - 3Reta real:

3. Da mesma forma, 3x + 8 no pode ser zero, veremos apenas quando ele positivo:3x + 8 > 03x > -8x > -8/3 Reta real:

4. Agora analisaremos o produto/quociente dos trs:

Como queremos os trechos positivos ou nulos do intervalo, a nossa soluo ser:

OBS: Em alguns casos, encontraremos quadrados perfeitos multiplicando todos os termos da inequao. Nesses casos, precisamos apenas tomar cuidado com os valores que tornam esses termos iguais a zero, aps isso, podemos simplesmente elimin-los da inequao.

EXEMPLOS:1. Na inequao (2x+5)(x+3)4 < 0Observe que o termo (x+3)4 zera para x = -3. Como no queremos solues nulas, devemos nos lembrar de elimin-lo da resposta. Fora isso, (x+3)4 nunca ser negativo. Para saber se o produto negativo, basta ento analisar o sinal de 2x + 5, logo:(2x+5)(x+3)4 < 02x+5 < 02x < -5x < -5/2Lembrando que devemos remover o valor -3 da nossa soluo, a resposta ser ento:

2. Para resolver a inequao (2x+8)5(3x+7)4(x+5)6(4x+3)15

Observemos que o termo (3x+7)4 zera para x = -7/3. Como queremos solues nulas, este valor deve ser includo na nossa soluo.Observemos tambm que o termo (x+5)6 zera para x = -5. Assim, -5 tambm dever estar incluso na nossa soluo.

Feitas estas observaes, por terem expoente par, estes termos nunca sero negativos, podemos ento elimin-los da inequao, restando-nos:

(2x+8)5(4x+3)15 0

1. Analisemos quando (2x+8)5 0:

(2x+8)5 02x+8 0x -4

2. Analisemos quando (4x+3)15 0:

(4x+3)15 04x+3 0x -4/33. Na reta real:

O que resulta em x -4/3 ou x -4 . Lembrando que temos que incluir -5 e -7/3, a nossa soluo ento:

Estas so as regras primordiais para a soluo de inequaes. Para nos familiarizarmos melhor, fundamental que resolvamos exerccios com calma e seguindo as regras do que podemos fazer nas inequaes.

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Resolva as inequaes em R:a) 4x + 5 > 2x - 3b) 5(x + 3) 2(x + 1) 2x + 3c) 3(x + 1) 2 5(x 1) 3(2x 1)

2. Resolva, em R, a inequao:

3. Resolva em R as inequaes:

a)

b) c) (3x + 1)(2x + 1) (2x 1)(3x + 2) (4 5x)

d) (3x 2)2 (3x 1)2 > (x + 2)2 (x 1)2

e) 4(x 2) (3x + 2) > 5x 6 4(x 1)

f) 6(x + 2) 2(3x + 2) > 2(3x 1) 3(2x + 1)

4. Numa escola adotado o seguinte critrio: A nota da primeira prova multiplicada por 1, a nota da segunda multiplicada por 2 e a da ltima multiplicada por 3. Os resultados, depois de somados, so divididos por 6. Se a mdia obtida por esse resultado por maior ou igual a 6,5 , o aluno dispensado das atividades de recuperao. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisar tirar na terceira para ser dispensado da recuperao?

5. Resolva em R a inequao:

6. Resolva em R as inequaes a seguir:

a-) b-)

c-)

7. Resolva as inequaes em R:a) 2 < 3x 1 < 4b) 4 < 4 2x 3c) 3 < 3x 2 < xd) x + 1 7 3x < (x/2) 1e) 3x + 4 < 5 < 6 2xf) 2 x < 3x + 2 < 4x + 1

8. Resolva, em R, os sistemas de inequaes:

a)3 2x 13x 1 5

b)3x 2 > 4x + 15x + 1 2x 55 2x < 0

c) 3x + 1 4x 5x 3 0

3x + 2 5x - 2d)4x 1 > 3x - 43 2x < x 6

3x + 2 < 7 2xe)48x < 3x + 1011 2(x 3) > 1 3(x 5)

f)

9. Com base nos grficos das funes f, g e h definidas em R, determine os valores de x real, tais que:

a) f(x) < g(x) h(x)b) g(x) f(x) < h(x)c) h(x) f(x) < g(x)

10. Resolva, em R, as inequaes:a) (3x + 3)(5x 3) > 0b) (4x 2)(5x 2) < 0c) (5x + 2)(2 x)(4x + 3) > 0d) (3x + 2)( 3x + 4)(x 6) < 0e) (6x 1)(2x + 7) 0f) (5 2x)(7x 2) 0g) (3 2x)(4x + 1)(5x + 3) 0h) (5 3x)(7 2x)(1 4x) 0

11. Resolva, em R, as inequaes:a) (x 3)4 > 0 b) (3x + 8)3 < 0 c) (4 5x)6 < 0d) (1 7x)5 > 0 e) (3x + 5)2 0 f) (5x + 1)3 0g) (4 + 3x)4 0 h) (3x 8)5 0

12. Resolva em R a inequao: (x 3)5.(2x + 3)6 < 0

13. Resolva, em R, as seguintes inequaes:a) (5x + 4)4.(7x 2)3 0b) (3x + 1)3.(2 5x)5.(x + 4)8 > 0c) (x + 6)7.(6x 2)4.(4x + 5)10 0d) (5x 1).(2x + 6)8.(4 6x)6 0

14. Determine, em R, a soluo da inequao:(3x 2)3.(x 5)2.(2 x).x > 0

15. Resolva as inequaes em R:

a) b)

c) d)

16. Resolva, em R, as inequaes:

a) b)

c) d-)

e-) f-)

17. Resolva as inequaes em R:

a)

b)

c)

d)

18. Resolva, em R, as inequaes:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

19. Ache os valores reais de x para os quais vale a desigualdade:

GABARITO

1. a) x > -4 b) c) x -5/4

2.

3. a-) b) c)

d) e) no existe x f) x

4. 7,9 ou mais 5. x > 1

6. a) b) c)

7. a) b) c)

d) no existe x e) f)

8. a) b) c) d) e) f)

9. a) b) c) no existe x

10. a) ou b) ou

c) ou d) ou

e) ou f)

g) ou h) ou

11. a) b) c) no existe x d) e) f) g)

h)

12. e

13. a) b)

c) ou ou

d) ou x = -3

14. ou

15. a) ou b) ou

c) d) ou

16. a) ou b)

c) d) ou

e) f)

17.

a) ou

b) ou

c) ou

d) ou

18.

a) ou b) ou

c) d) ou

e) ou

f) ou ou

g) ou ou

19. ou