campos sonoros gerados por circulação humana em escadas … · momentos de maior dificuldade....

Outubro de 2007

Campos Sonoros Gerados por Circulação Humana em

Escadas de Edifícios de Habitação

JOANA MARIA COSTA MARIANO

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

ENGENHARIA CIVIL

Júri

Presidente: Prof. Jorge Manuel Caliço Lopes de Brito

Orientador: Prof. Albano Luís Rebelo da Silva das Neves e Sousa

Vogais: Prof. Luís Manuel Coelho Guerreiro

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu coordenador Prof. Albano Neves e Sousa, pelo

constante apoio e incentivo, indicando sempre a direcção a ser tomada nos

momentos de maior dificuldade. Agradeço especialmente o empenho que

colocou neste trabalho. Agradeço ainda a análise rigorosa de cada

capítulo, as sugestões, os esclarecimentos e os comentários sempre

oportunos e que espero ter sabido aproveitar.

Aos meus pais e irmão, agradeço o apoio e incentivo constante.

Ao João Paulo Inácio, sempre pronto e dedicado, agradeço a ajuda no

arranjo gráfico deste texto.

RESUMO

O ruído de impacto com frequências inferiores a 200 Hz constitui, hoje em dia, um problema de

conforto em edifícios de habitação. De facto, embora o ser humano consiga detectar sons com

frequências entre os 20 e os 20000 Hz, as normas correntemente utilizadas na prática

profissional são válidas apenas para frequências entre os 100 e os 3150 Hz. Recentemente,

alguns desenvolvimentos permitiram adaptar as normas para frequências até aos 5000 Hz. No

entanto, embora, existam algumas propostas de adaptação para frequências entre os 50 e os

100 Hz, os métodos normalizados não se adequam às baixas frequências e, por esse motivo,

as propostas de adaptação normativa têm produzido resultados insatisfatórios.

Os equipamentos mecânicos são normalmente as fontes sonoras de baixa frequência mais

problemáticas, no entanto em edifícios de habitação, o movimento sincronizado do passo

humano é correntemente identificado como a fonte mais comum de ruído de impacto de baixa

frequência.

Assim, é importante definir métodos de previsão da transmissão sonora de ruído de impacto

válidos na região das baixas frequências.

Neste contexto, pretende-se desenvolver um método simplificado de análise da propagação de

ruído de impacto de baixa frequência de uma escada para um compartimento. Para tal, serão

utilizados modelos de elementos finitos do campo de vibração do sistema escada/parede.

Infelizmente não está disponível no Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do IST

nenhum programa de elementos finitos capaz de modelar também o campo sonoro de

compartimentos. Assim, será necessário estimar analiticamente a interacção estrutural

escada/parede para depois avaliar, de forma aproximada e também analítica, o campo sonoro

gerado no interior do compartimento. O método de avaliação do campo sonoro será

posteriormente aplicado ao caso em que a excitação estrutural corresponde ao movimento

humano sobre a escada.

Analiticamente não foi possível prever com precisão o campo de vibração do sistema estrutural

escada/parede. No entanto, podem ser obtidas estimativas razoáveis com base no modelo de

uma parede com propriedades mecânicas cuidadosamente escolhidas de modo a se obter um

campo de vibração onde os modos ocorrem com frequências próprias semelhantes às obtidas

pelo método de elementos finitos. Foi ainda considerado um modelo de uma parede sujeita a

um conjunto de forças equivalentes à acção da escada, porém os resultados obtidos foram

menos satisfatórios.

PALAVRAS-CHAVE

Campos de vibração; Campos sonoros; Transmissão sonora por impacto; Acção humana;

Modelos de previsão; Baixas frequências.

ABSTRACT

Impact sound transmission at frequencies below 200 Hz is nowadays an issue in dwellings.

Although human beings are able to detect sounds from 20 to 20000 Hz, current standards apply

only to frequencies in the range 100 – 3150 Hz. Recently, this interval was extended to 5000 Hz

in some standards. An extension to 50 Hz is also suggested in standards dealing with sound

insulation measurements but results have been unsatisfactory because the standard methods

are not adequate for low frequencies.

Mechanical devices are generally the most problematic sources of low frequency noise, but

footsteps are identified as the most common source of low frequency impact sound in dwellings.

Thus, it is important to develop prediction methods for low frequency impact sound

transmission. The alternatives are the finite element method (FEM) and analytical methods

based on natural mode analysis.

FEM will be used to model the vibration field of a stair/wall structural system. Unfortunately, at

the moment, computer programs using FEM to model sound fields are not available at the

Department of Civil Engineering and Architecture of IST and therefore analytical methods will

have to be used. Thus, analytical predictions of the structural interaction between the stair and

the wall and then of the sound field in the room will have to be performed. The method will then

be applied to describe sound fields generated by human footsteps on stairs.

The vibration field of the stair/wall structural system cannot be accurately predicted by analytical

methods. However, reasonable estimates can be obtained by considering a wall with

mechanical characteristics carefully chosen in order to obtain a vibration field described by

similar modes occurring at the same natural frequencies as those provided by FEM. This

vibration field should be generated by a single unit point impact force. Poorer estimates can be

obtained by considering the effect of the stair on the wall as a set of force couples.

KEYWORDS

Vibration fields; sound field; Impact sound transmission; Load induced by people; Prediction

models; Low frequency.

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO..............................................................................................1

1.1. MOTIVAÇÃO........................................................................................................................1

1.2. OBJECTIVOS.......................................................................................................................2

1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO.............................................................................................2

2. MODELOS DE VIBRAÇÃO DE PLACAS ....................................................5

2.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................................5

2.2. MÉTODOS DE PREVISÃO UTILIZADOS ....................................................................................5

2.3. EQUAÇÃO DE ONDAS DE FLEXÃO EM PLACAS .......................................................................6

2.4. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE UMA PLACA HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA8

2.4.1.Construção do modelo ............................................................................................8

2.4.2.Implementação do modelo ....................................................................................12

2.5. MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS HOMOGÉNEAS SIMPLESMENTE APOIADAS13

2.6. MODELAÇÃO DA VIBRAÇÃO DE UMA PLACA HOMOGÉNEA COM DIFERENTES CONDIÇÕES DE

APOIO...............................................................................................................................15

2.7. CONCLUSÕES ...................................................................................................................17

2.8. REFERÊNCIAS...................................................................................................................18

3. MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DO SISTEMA ESTRUTURAL

ESCADA/PAREDE .....................................................................................21

3.1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................21

3.2. HIPÓTESES INICIAIS DE MODELAÇÃO ..................................................................................21

3.3. CASO DE ESTUDO: ESCADAS EM BETÃO ARMADO E PAREDES DE ALVENARIA.......................23

3.3.1. Escada em betão armado ....................................................................................23

3.3.2. Parede de alvenaria .............................................................................................24

3.4. MODELO DO SISTEMA ESTRUTURAL PAREDE/PLACA INTERMÉDIA ................... 26

3.4.1. Modelação numérica ............................................................................................26

3.4.2. Modelação analítica da placa horizontal com binários equivalentes ...................26

3.4.3. Validação numérica da modelação analítica........................................................29

3.5. MODELO DO SISTEMA ESTRUTURAL PAREDE/PLACA A 2/3 DE ALTURA DA PAREDE ...............31

3.6. MODELO DO SISTEMA PAREDE/ESCADA..............................................................................34

3.6.1. Modelação analítica da escada por binários equivalentes e validação numérica34

3.6.2. Modelação analítica do sistema estrutural por parede equivalente e validação

numérica .........................................................................................................................37

3.7. CONCLUSÕES ...................................................................................................................39

3.8. REFERÊNCIAS...................................................................................................................40

4. MODELO DO CAMPO SONORO...............................................................41

4.1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................41

4.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS – CAMPO SONORO .....................................................................42

4.2.1. Equação da onda sonora no ar ............................................................................42

4.2.2. Solução da equação homogénea da onda sonora ..............................................43

4.3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS – ACOPLAMENTO ENTRE CAMPO DE VIBRAÇÃO E CAMPO SONORO

........................................................................................................................................45

4.4. IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO ...........................................................................49

4.5. MODELO NUMÉRICO DO SISTEMA PLACA/CAMPO SONORO – VALIDAÇÃO..............................50

4.6. MODELO ANALÍTICO DO SISTEMA ESCADA / PAREDE / CAMPO SONORO ................................54

4.7. CONCLUSÕES ...................................................................................................................58

4.8. REFERÊNCIAS...................................................................................................................59

5. CAMPO SONORO GERADO POR MOVIMENTO HUMANO EM ESCADAS

....................................................................................................................61

5.1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................61

5.2. ACÇÃO DINÂMICA INDUZIDA PELA CIRCULAÇÃO HUMANA EM ESCADAS E PAVIMENTOS..........61

5.2.1. Caracterização Geral ...........................................................................................61

5.2.2. Força Dinâmica Vertical .......................................................................................62

5.2.3. Sinal no Tempo da Força Dinâmica Horizontal....................................................70

5.2.4. Influência do Número de Pessoas .......................................................................71

5.2.5. Espectros típicos da força dinâmica induzida em pavimentos e escadas pela

circulação humana..........................................................................................................72

5.3. CASO DE ESTUDO .............................................................................................................73

5.4. CONCLUSÕES ...................................................................................................................75

5.5. REFERÊNCIAS...................................................................................................................75

6. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS..............................................77

6.1. CONCLUSÕES ...................................................................................................................77

6.2. TRABALHOS FUTUROS ......................................................................................................78

ANEXO I...........................................................................................................79

GLOSSÁRIO DE SÍMBOLOS

B’ – rigidez de flexão em placas (Nm2/m);

B’ – rididez de flexão na forma complexa em placas (Nm2/m);

B0 – módulo adiabático de volume (Pa);

Cmn – factor de acoplamento estrutura-fluido;

D – módulo de elasticidade do material (N/m2);

D – módulo de elasticidade em forma complexa do material (N/m2);

E – módulo de elasticidade (N/m2);

Eeq – módulo de elasticidade equivalente para uma placa homogénea (N/m2);

F – força (N);

F(t) – força dinâmica vertical induzida pela acção humana

Fp(t) – força dinâmica vertical induzida por locomoção em passo de corrida e por pequenos saltos

G – módulo de distorção (N/m2); também utilizado como peso estático de um indivíduo;

I – momento de inércia (m4);

I’ – momento de inércia em placas (m4/m);

Ieq – momento de inércia equivalente numa placa homogénea (m4);

Le – dimensão do espelho de um degrau (m);

Lc – dimensão do cobertor de um degrau (m);

Lp – nível de pressão sonora (dB);

M – momento (Nm);

M’ – momento por unidade de área (Nm/m2);

N – número de modos do sistema de vibração;

NF – número de forças aplicadas numa placa;

P – pressão instantânea (Pa);

Patm – pressão atmosférica ≈ 1.013 × 105 Pa do nível do mar;

P0 – pressão instantânea estática do ar (Pa);

Q – esforço transverso por unidade de comprimento (N/m);

RH – humidade relativa (%);

S – área de todas as superfícies envolventes do compartimento (m2);

Si – área da superfície de um elemento do compartimento (m2);

T – período (s);

Tp – período do passo;

TR – tempo de reverberação (s);

V – volume (m3);

Va – volume aparente (m3);

a – dimensão segundo o eixo x (m); também utilizado como aceleração (m/s2);

b – dimensão segundo o eixo y (m);

c – dimensão segundo o eixo z (m);

c0 – velocidade de propagação sonora no ar (m/s);

f – frequência (Hz);

fs – frequencia do movimento humano (Hz)

g – aceleração gravitica ≈ 9.8 m/s2;

h – espessura da placa (m);

j – constante = -1;

k – número de onda (rad/m);

kp – factor de impacto dinâmico

ls – comprimento do passo (m)

m – massa (kg);

m’’ – massa por unidade de área numa placa (kg/m2);

p – pressão sonora (Pa);

s – condensação volúmica do ar;

t – tempo (s);

tp – duração de contacto (s);

v – velocidade (m/s);

vs – velocidade de marcha (m/s)

∆ – variação;

∆G – Coeficientes de amplitudes das componentes harmónicas da força dinâmica;

Χ – termo fonte (m-1s-1);

Φ – termo fonte de velocidade potencial (m/s);

Ψ – velocidade potencial (m/s);

Σ – operador de soma;

α __

– coeficiente de absorção sonora média das superfícies do compartimento

αi – coeficiente de absorção sonora das superfícies do compartimento; também utilizado como coeficiente

de amplitude da componente harmónica;

χ – curvatura por flexão (m-1);

δ – coeficiente de absorção temporal (s-1); também utilizado como símbolo de Kronecker;

ε – deformação; também utilizado como coeficiente de amortecimento;

iφ – ângulo de desfasamento da componente harmónica

γ – razão do calor especifico = 1.402 do ar;

η – factor de perdas;

λ – comprimento de onda (m); também utilizado como tensor das tensões principais

λB – máximo comprimento de onda por flexão numa placa (m);

ϕlmn – funções forma do campo sonoro de compartimentos;

ϕm1n1 – funções forma do campo de vibração de placas;

µ – deslocamento paralelo ao eixo x (m);

ν – Coeficiente de Poisson;

π – constante = 3.141592654…;

θ – temperatura (ºC);

ρ – massa volúmica (kg/m3);

ρa – massa volúmica aparente (kg/m3);

ρ0 – densidade estática do ar (kg/m3);

σ – tensão (N/m2);

σij – tensor das tensões faciais num elemento sólido (N/m2);

υ – parâmetro de viscosidade (s);

ω – velocidade angular (rad/s);

ωlmn – frequências próprias do campo sonoro de compartimentos (rad/s);

ωωωωlmn – frequências próprias na forma complexa do campo sonoro de compartimentos (rad/s);

ωm1n1 – frequências próprias do campo de vibração de placas (rad/s);

ωωωωm1n1 – frequências próprias na forma complexa do campo de vibração de placas (rad/s);

ξ – deslocamentos laterais paralelos ao eixo y (m);

ζ – deslocamentos laterais paralelos ao eixo z (m);

∂ – diferencial infinitesimal;

∇ – operador divergência;

∇2 – operador Laplaciano tridimensional;

∫ – operador de integral.

1

1. INTRODUÇÃO

1.1. MOTIVAÇÃO

Um dos problemas que tem permanecido sem resolução na área da acústica de edifícios é a

caracterização e controlo da transmissão de ruído de impacto de baixa frequência (20 –

200 Hz). De facto, embora o ser humano consiga detectar sons com frequências entre os 20 e

os 20000 Hz, as normas correntemente utilizadas na prática profissional são válidas apenas

para frequências entre os 100 e os 3150 Hz. Recentemente, alguns desenvolvimentos

permitiram adaptar as normas para frequências até aos 5000 Hz. No entanto, embora, existam

algumas propostas de adaptação para frequências entre os 50 e os 100 Hz, os métodos

normalizados não se adequam às baixas frequências e, por esse motivo, as propostas de

adaptação normativa têm produzido resultados insatisfatórios [N.1, N.2].

As normas utilizadas na acústica de edifícios para caracterizar a transmissão sonora baseiam-

se em métodos clássicos que assumem campos difusos, quer em termos de vibração estrutural

quer em termos de distribuição da pressão sonora no interior dos compartimentos. No entanto,

esta hipótese não é válida na região das baixas frequências, onde os elementos de construção

e os campos sonoros, com frequências próprias dentro do intervalo de frequências em análise

(20 – 200 Hz), apresentam um comportamento claramente modal. Quando as fontes sonoras

são também de baixa frequência, este problema é agravado.

Os equipamentos mecânicos são normalmente as fontes sonoras de baixa frequência mais

gravosas, mas, nos edifícios de habitação, a locomoção humana, em passo normal, no caso

dos adultos, ou em passo de corrida ou em saltos, no caso das crianças, é correntemente

identificada como a fonte mais comum de ruído de impacto de baixa frequência [1].

Assim, é importante definir métodos de previsão da transmissão sonora de ruído de impacto

válidos na região das baixas frequências. Os métodos mais correntes são o método numérico

dos elementos finitos e o método analítico da análise modal. Neves e Sousa [1] utiliza este

último método para caracterizar a transmissão sonora de ruído de impacto de baixa frequência

em diversos tipos de pavimentos sobre compartimentos rectangulares com dimensões

correntes em edifícios de habitação. Este método apresenta algumas vantagens sobre o

método dos elementos finitos, mas tem a grande desvantagem de estar limitado a casos de

excitação directa de placas rectangulares sobre compartimentos rectangulares, pelo que não é

ideal para a modelação do campo sonoro gerado num compartimento por acção de uma força

de impacto numa escada adjacente a uma das paredes desse mesmo compartimento. Esta é

uma situação comum nos edifícios de habitação, para a qual é importante definir ferramentas

de análise que auxiliem os projectistas a encontrar mecanismos de correcção de transmissão

sonora.

2

1.2. OBJECTIVOS

O principal objectivo desta dissertação é encontrar um método simplificado de análise da

propagação de ruído de impacto de baixa frequência de uma escada para um compartimento.

Para tal, serão utilizados modelos de elementos finitos do campo de vibração instalado em

elementos estruturais (escada e parede), os quais permitirão avaliar a interacção

escada/parede. Infelizmente não está disponível no Departamento de Engenharia Civil e

Arquitectura do IST nenhum programa de elementos finitos capaz de modelar também o campo

sonoro de compartimentos. Assim, será necessário estimar analiticamente a interacção

estrutural escada/parede para depois avaliar, de forma aproximada e também analítica, o

campo sonoro gerado no interior do compartimento.

Uma vez definido o método de avaliação do campo sonoro, pretende-se aplicá-lo ao caso em

que a excitação estrutural corresponde ao movimento humano sobre a escada. Para tal, será

necessário efectuar uma pesquisa bibliográfica para caracterização dinâmica da locomoção

humana.

1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

A modelação do campo sonoro gerado num compartimento habitacional, por uma força de

impacto numa escada adjacente a uma das paredes do compartimento constitui um problema

que pode ser resolvido em duas fases. Na primeira fase é modelado o campo de vibração de

uma parede induzida por uma força de impacto aplicada numa escada adjacente (sistema

estrutural escada/parede). Na segunda fase é definido o campo sonoro gerado no

compartimento, pela vibração da parede.

Nos Capítulos 2 e 3 é desenvolvida a primeira fase do problema. No Capítulo 2 é construído,

através do método dos elementos finitos, um modelo numérico do campo sonoro de uma placa

homogénea simplesmente apoiada sujeita a uma força de impacto pontual. A comparação

deste modelo com um modelo analítico validado experimentalmente, permite verificar a sua

fiabilidade, sendo possível eliminar desde uma fase inicial do estudo eventuais erros de

propagação. Uma vez validado o modelo numérico para placas homogéneas simplesmente

apoiadas, é agora possível utilizá-lo para validar o modelo analítico disponível para aplicação

em placas com diferentes condições de apoio. Esta tarefa não constitui um objectivo central da

dissertação mas dá um contributo importante para a implementação do método analítico de

análise modal como um método alternativo

No Capítulo 3 é modelado o campo de vibração de uma parede de alvenaria, na qual se

encastra um pavimento em betão armado, sujeito a uma força de impacto (sistema estrutural

escada/parede). Foram utilizados o método dos elementos finitos e o método analítico de

análise modal. São analisados três casos de estudo, correspondentes a diferentes disposições

de pavimento: a meia altura da parede; a dois terços de altura; e inclinado (escada). A

3

comparação dos modelos permite quantificar a fiabilidade da aplicação de modelos analíticos

aproximados.

A segunda fase do problema foi analisada no Capítulo 4. Neste capítulo é modelado

analiticamente o acoplamento entre o campo sonoro do compartimento e o campo de vibração

gerado, na parede de alvenaria, pela aplicação de uma força de impacto numa escada

adjacente (sistema estrutural escada/parede).

No Capítulo 5, o modelo analítico do campo sonoro gerado, num compartimento, por uma força

de impacto actuante numa escada adjacente a uma das suas paredes envolventes é aplicado

ao caso em que as escadas são excitadas pelo movimento humano.

REFERÊNCIAS

[1] Neves e Sousa, A. - Low frequency Impact Sound Transmission in Dwellings, Tese de

Doutoramento, The University of Liverpool, 2005;

[N.1] EN ISO 140 – 6: Acoustics: Measurement of sound insulation in buildings and of buildings elements

– Part 6: Laboratory measurements of impact sound insulation of floors, Comité Europeu de

Normalização, Bruxelas, Bélgica, 1998;

[N.2] EN ISO 140 – 7: Acoustics: Measurement of sound insulation in buildings and of buildings elements

– Part 7: Field measurements of impact sound insulation of floors, Comité Europeu de

Normalização; Bruxelas, Bélgica, 1998.

5

2. MODELOS DE VIBRAÇÃO DE PLACAS

2.1. INTRODUÇÃO

Neste trabalho pretende-se desenvolver um modelo de previsão do campo sonoro no interior

de um compartimento habitacional devido à vibração de uma escada adjacente a uma das

paredes do compartimento. Para tal, o problema é separado em duas fases distintas. Na

primeira fase é estudado o campo de vibração do sistema estrutural escada/parede de

separação entre a zona comum da caixa de escadas e o compartimento habitacional. Na

segunda é analisado o campo sonoro no interior do compartimento.

Neste capítulo é abordada a primeira fase do problema, na qual se pretende aplicar, através do

método dos elementos finitos, um modelo numérico representativo do campo de vibração de

uma placa homogénea, sujeita a uma força de impacto pontual. Este modelo será comparado

com um modelo analítico baseado no método da análise modal, o qual foi validado

experimentalmente em estudos anteriores [8]. Na parte final deste capítulo, este modelo será

utilizado para placas homogéneas com diferentes condições de apoio e permitirá validar a

aplicação do modelo analítico neste tipo de placas.

2.2. MÉTODOS DE PREVISÃO UTILIZADOS

Os métodos normalizados para a previsão da transmissão sonora em edifícios são indicados

na norma EN ISO 12354 [N1, N2]. Estes métodos baseiam-se nas teorias clássicas de acústica

de salas e assumem campos sonoros difusos, os quais não se estabelecem para salas com

volumes inferiores a 50 m3 ou para frequências abaixo dos 200 Hz. Para estas frequências, os

métodos de previsão normalizados não podem ser aplicados, sendo necessário recorrer a

métodos alternativos de previsão.

Neste trabalho, foram utilizados dois métodos alternativos de previsão: o método analítico,

baseado na análise modal; e o método numérico baseado no método dos elementos finitos

(MEF). A utilização dos dois métodos permitiu verificar a fiabilidade dos modelos. Por um lado,

a validação do método dos elementos finitos será feita, para aplicações simples, pelo método

analítico de análise modal. Por outro lado a utilização dos elementos finitos servirá para

validação numérica de modelos analíticos de campos sonoros em aplicações mais complexas,

como é o caso de um patamar ou escada adjacente a uma parede.

O método de análise modal utiliza a sobreposição modal para o cálculo da resposta dinâmica

de uma estrutura, envolvendo portanto um elevado número de somas, o qual depende do

número de modos considerados. Embora tratando-se de um método analítico, o elevado

número de operações torna necessário recorrer a um programa computacional para a

aplicação do método. Este método é limitado a placas rectangulares. Uma desvantagem do

6

método é a necessidade de se desenvolver uma solução para cada tipo de condição de

fronteira da placa.

Para a aplicação do método dos elementos finitos foi necessário recorrer ao programa

computacional SAP2000 [11]. Este programa de cálculo automático é adequado para

modelação de campos de vibração de sistemas estruturais complexos.

Ambos os métodos partem da teoria da equação do movimento, ou mais simplesmente da

equação da onda de flexão pura, a qual é válida se o comprimento das ondas de flexão no

elemento estrutural for grande relativamente às dimensões da secção transversal [8]. Para

elementos de construção correntes, estas dimensões são limitadas pela simples regra,

6B

hλ = , onde B

λ (m) corresponde ao máximo comprimento de onda analisado e h (m) é a

espessura da placa. O comprimento de onda de flexão em placas é dado por

4' 2

''B

B

m f

πλ = , (2.1)

onde B’ corresponde à rigidez de flexão do elemento estrutural (Nm), normalmente uma placa,

e m’’ é a massa por unidade de área, obtida pela massa volúmica do material homogéneo

constituinte da placa, ''m hρ= (kg/m2) [3].

Em baixas frequências (grandes comprimentos de onda), em geral esta limitação não é critica.

2.3. EQUAÇÃO DE ONDAS DE FLEXÃO EM PLACAS

A equação de movimento é a responsável pela caracterização do comportamento vibratório de

uma placa. Tal equação é apenas influenciada por ondas de flexão, dado que, na análise da

transmissão sonora, estas são as mais importantes. Em seguida, é determinada a equação

diferencial de movimento de uma placa fina no plano y-z, com deslocamentos, µ (m),

perpendiculares a este e paralelos ao eixo x. Os deslocamento laterais ξ (m) e ζ (m) ocorrem

paralelamente ao eixo y e z, respectivamente.

As vibrações, geradas numa dada estrutura por um impacto, dão origem a campos de

deformação pequenos, pelo que é possível considerar a hipótese dos pequenos

deslocamentos. Em estado plano de tensão, as extensões segundo x são nulas e os

deslocamentos laterais ξ e ζ são desprezáveis. Torna-se assim possível analisar o campo de

deformações, y yε µ= ∂ ∂ e z

zε µ= ∂ ∂ , e de tensões σy e σz (N�m2) segundo o plano médio da

placa, na sua configuração indeformada.

Por outro lado, a lei de Hooke é válida, isto é, o campo de deformações, εy e εz, relaciona-se

com o campo de tensões, σy e σz, através do módulo de elasticidade, E, do material

constituinte. Em estado plano de tensão, a aplicação da lei de Hooke, tendo em conta o efeito

de Poisson, conduz a: y y zEε σ νσ= − e z z yEε σ νσ= − , onde ν é o coeficiente de Poisson do

material. As expressões anteriores e as relações de compatibilidade, 2 2y yx x yε χ µ= − = − ∂ ∂ e

7

2 2,z z

x x zε χ µ= − = − ∂ ∂ em que yχ e z

χ são as curvaturas segundo a direcção y e z,

respectivamente, conduzem às seguintes expressões:

( )2 2

2 2 2 2,

1 1y y z

E Ex

y z

µ µσ ε νε ν

ν ν ∂ ∂

= + = − + − − ∂ ∂

(2.2.a)

( )2 2

2 2 2 2.

1 1z z y

E Ex

z y

µ µσ ε νε ν

ν ν ∂ ∂

= + = − + − − ∂ ∂

(2.2.b)

Figura 2.1– Esforços e tensões num elemento de placa [8].

Conforme indicado na Figura 2.1, os momentos flectores segundo y e z são dados por:

/2 /22 2 2 2' '

2 2 2 2/2 /2

d ' ; d ' ;h h

yz y zy z

h h

M x x B M x x By z z y

µ µ µ µσ ν σ ν

− −

∂ ∂ ∂ ∂= − = + = − = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ (2.3)

onde o sinal negativo corresponde a compressões acima da linha neutra.

/2 32

2 2 2/2

''

121 1 1

h

h

E E h EIB x dx

ν ν ν−

= = =− − −∫ é a rigidez de flexão do elemento de placa.

Os momentos torsores podem ser determinados por

/2 /22 22

/2 /2

' ' d 2 d '(1 )h h

yy zz yz

h h

M M x x G x x By z y z

µ µτ ν

− −

∂ ∂= − = = − = − −

∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ , (2.4)

onde G é o módulo de distorção, o qual é dado por

νν ν

−= =

+ − 2

(1 )

2(1 ) 2(1 )

E EG . (2.5)

8

Para baixas frequências, os comprimentos de onda de flexão são grandes quando comparados

com a secção transversal dos elementos correntes estruturais dos edifícios [3,8]. Portanto a

energia cinética utilizada no movimento de rotação é desprezável face à energia cinética

utilizada no movimento de translação transversal. Os esforços transversos podem assim ser

determinados a partir do equilíbrio dos momentos do elemento de placa da Figura 2.1. Estes

esforços são dados por

2 22

2 2

' '' ' ,yz zz

y

M MQ B B

y z y yy z

µ µµ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + = ∇

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ (2.6.a)

2 22

2 2

' '' ' ,zy yy

z

M MQ B B

z y z zy z

µ µµ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − = + = ∇

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ (2.6.b)

onde 2∇ é o operador Laplaciano.

A relação entre os esforços transversos e o movimento transversal é estabelecida pela

segunda lei de Newton, expressa por

2

2'' .y z

Q Qm

y z t

µ∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂ (2.7)

Introduzindo as equações (2.6) na equação (2.7), obtém-se

24

2' '' ,B m

t

µµ

∂− ∇ =

∂ (2.8)

que corresponde à equação geral das ondas de flexão em placas [3,8]. Esta equação será

posteriormente utilizada para o desenvolvimento de uma expressão para o cálculo do campo

de vibrações induzido numa placa por uma força de impacto pontual.

2.4. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE UMA PLACA HOMOGÉNEA

SIMPLESMENTE APOIADA

2.4.1. Construção do modelo

O elemento estrutural mais simples para a análise dinâmica do efeito de um impacto consiste

numa placa homogénea de espessura constante, simplesmente apoiada em todo o seu

contorno. Nestas condições, existe uma solução exacta para a acelerância pontual da placa,

isto é, para a função de transferência entre uma força de impacto e o campo de acelerações

gerado na placa. Esta solução poderá ser posteriormente generalizada para outras condições

de apoio.

Para a determinação da aceleração num dado ponto da placa, considera-se que o campo de

deslocamentos, µ, se desenvolve através de uma função harmónica no tempo, expressa por

j( , , ) ( , ) ty z t y z e ωµ µ= , (2.9)

9

em que j 1= − e ω (rad�s) é a velocidade angular da onda sonora.

A equação da onda de flexão na placa, dada por (2.8), pode ser então escrita na forma

4 4( , ) ( , ) 0y z k y zµ µ∇ − = , (2.10)

onde 4 2'' 'k m Bω= é o número de onda de flexão, que caracteriza a periodicidade da onda no

espaço e no tempo. A sua forma inicial é k cω= , onde c (m�s) é a velocidade com que um

ponto se move de modo a permanecer sempre na mesma fase da onda.

A solução desta equação diferencial depende apenas da definição dos parâmetros geométricos

da placa, como a espessura, h, as condições de apoio, e as características do material

constituinte, nomeadamente a massa volúmica, ρ, o coeficiente de Poisson, ν , e módulo de

elasticidade, E.

Pelo método de Rayleigh, é possível determinar a função de forma da deformada modal da

placa a partir das funções de forma da deformada modal de vigas fictícias, dispostas segundo

as direcções y e z da placa, de largura unitária e com condições de apoio idênticas às da placa.

A função forma da placa é dada por

1 1 1 1( , ) ( ) ( )m n m n

y z y zµ µ µ= , (2.11)

onde µm1 e µn1 são as funções de forma das vigas.

Numa placa rectangular, de largura b e comprimento c, como se indica na Figura 2.2, os

deslocamentos segundo o eixo z terão de ser nulos em todo o seu contorno, assim como os

momentos flectores. Para que deformadas modais das vigas sejam compatíveis, os

deslocamentos µm1(y) e µn1(z) terão de ser nulos nas coordenadas y=0, y=b, z=0, e z=c. Para

as mesmas coordenadas, também as suas segundas derivadas das funções forma terão de ser

nulas.

Figura 2.2 – Dimensões da placa rectangular homogénea [8].

Uma vez que, as funções µm1(y) e µn1(z) têm variáveis independentes, a resolução da equação

(2.8) poderá ser resolvida para cada direcção y e z, também de uma forma independente.

Assim, para a direcção y, a equação (2.8) é dada por

10

4 2

4 2' '' .y y

B my t

µ µ∂ ∂− =

∂ ∂ (2.12)

A deformada modal µm1(y), da viga fictícia tem a seguinte forma

1 1 2 3 4sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( ),m

C Ky C Ky C Ky C Kyµ = + + + (2.13)

em que K é uma constante. A função µm1(y) é determinada de uma forma análoga.

Resolvendo-se a expressão (2.13) para as condições de fronteira atrás indicadas, obtém-se a

função de forma dos deslocamentos modais da placa,

π πµ

= ⋅

1 1

1 1 1 1( , ) sin sin ,m n m n

m y n zy z A

b c (2.14)

onde Am1n1 é uma constante de integração.

As frequências fundamentais da placa podem agora ser determinadas pela substituição da

equação (2.14) na equação (2.10), de acordo com a expressão

2 2

1 11 1

'.

''m n

m nB

m b c

π πω

= +

(2.15)

A determinação das frequências próprias de um elemento estrutural baseia-se no princípio de

conservação de energia de um sistema a oscilar em regime livre. O regime forçado é imposto

pela introdução de uma parcela p(y,z,t) no lado esquerdo da equação (2.7), que corresponde à

actuação de uma força externa num ponto (y,z) da placa, com direcção perpendicular a esta e

intensidade em função do tempo. A equação (2.8) é então reescrita como

24

2

( , , )' ( , , ) '' ( , , ).

y z tB y z t m p y z t

t

µµ

∂∇ + =

∂ (2.16)

Para se obter uma equação que exprima a aceleração de um dado ponto da placa, devido a

essa força, introduz-se a relação 2( , , ) ( , , )x

a y z t y z tω µ= − ⋅ . A equação (2.16) transforma-se

assim em

4 2 2' ( , ) '' ( , ) ( , ).x xB a y z m a y z p y zω ω⋅∇ − ⋅ = − ⋅ (2.17)

A solução para a equação (2.17) é dada por

[ ]1 1 1 11, 1 1

( , ) ( , ) ,x m n m n

m n

a y z A y zϕ∞

=

= ∑ (2.18)

em que ( ) ( )1 1 1 1( , ) sin sinm n y z m y b n z cϕ π π= ⋅ são as funções de forma que satisfazem as

condições de fronteira de uma placa simplesmente apoiada.

Substituindo as equações (2.15) e (2.18) em (2.17) obtém-se

11

( )2

2 21 1 1 1 1 1

1, 1 1

( , ) ( , )''m n m n m n

m n

A y z p y zm

ωω ω ϕ

∞

=

− = − ∑ . (2.19)

A constante de integração Am1n1 é determinada pela multiplicação de ambos os membros da

equação (2.19) por φm2n2 e posterior integração na área da placa. Tendo em conta a condição

de ortogonalidade dos modos de vibração, obtém-se

( )1 12

0 01 1 2 2

1 1 1 1

( , ) ( , )d d

,''

b c

m n

m n

m n m n

p y z y z y z

Am

ϕω

ω ω= −

− Λ

∫ ∫

(2.20)

onde 21 1 1 1

0 0

( , )d db c

m n m n y z y zϕΛ = ∫ ∫ . Para uma placa simplesmente apoiada 1 1 4m n

bcΛ = .

Considerando que a acção externa corresponde a uma força pontual aplicada no ponto (y0, z0)

de amplitude F = p(y,z)dydz, a função de p(y,z) é dada por

0 0( , ) ( ) ( ),p y z F y y z zδ δ= − − (2.21)

onde 0( )y yδ − é a função de Dirac, tal que 00

0

1,( )

0,

se y yy y

se y yδ

= − =

≠ . A função 0( )z zδ − é

similar.

Introduzindo as equações (2.20) e (2.21) em (2.18) obtém-se

( )1 1

21 1 1 1 0 0

2 2, 1 1 1

( , ) ( , )4( , ) ,

''m n m n

x

m n m n

y z y zFa y z

m bc

ϕ ϕω

ω ω

∞

=

= − −

∑ (2.22)

Que é a acelerância pontual de uma placa homogénea, simplesmente apoiada, sem perdas por

amortecimento [3]. O efeito de amortecimento no sistema pode ser considerado pela adição, às

forças elásticas, de forças viscosas, proporcionais à derivada no tempo da deformação [3]. A lei

de Hooke toma assim a forma

( )( ) ( ) ,

d tt D t

dt

εσ ε υ

= + (2.23)

onde D e υ são, respectivamente, a rigidez e o parâmetro de viscosidade do material

constituinte. Para ( ) cos( ),t tε ε ω= e depois de alguma manipulação matemática, a equação

(2.23) é dada por

[ ]= + ⋅ +2 2( ) 1 cos arctg( ) .t D tσ ε ω υ ω ωυ (2.24)

Deste modo, para a variação periódica da deformação, o principal efeito de amortecimento é

produção de uma diferença de fase entre a deformação e tensão [3]. Isto pode ser expresso,

em notação complexa, pela rigidez complexa D = D1 + j D2, obtendo-se

12

{ } [ ]= = −j1 2( ) Re e cos( ) sen( ) .tt D t D tωσ ε ε ω ωD (2.25)

Se o factor de perdas da placa for definido como = 2 1D Dη , em que =η ωυ para o modelo de

viscosidade descrito anteriormente, então = +1(1 j )D ηD . Assim, a rigidez de flexão da placa é

dada, em notação complexa, por

3

2' (1 j ) '(1 j ).

121

E hBη η

ν= + = +

−B (2.26)

A introdução da equação (2.26) na equação (2.10) obriga a que as frequências próprias, ωm1n1

tenham também de ser expressas em notação complexa por 1 1 1 1 1 jm n m n

ω η= −ωωωω .

Assim, a equação que descreve a acelerância de um dado ponto da placa é expressa por

( )

21 1 m1n1 0 0

2 21, 1 1 1 1

( , ) ( , )4( , ) .

'' 1 j

ϕ ϕωω η ω

∞

=

= −

+ − ∑ m n

x

m n m n

y z y zFa y z

m bc (2.27)

2.4.2. Implementação do modelo

Com o apoio de um programa computacional, os resultados provenientes da equação (2.27)

são obtidos com relativa facilidade.

O programa de execução é composto por uma fase de leitura de dados, input, uma fase de

tratamento dos dados, e uma última fase de apresentação dos resultados obtidos, output.

A fase de tratamento de dados organiza-se em duas partes. A primeira parte determina os

modos de vibração da placa, sendo estes posteriormente contados, ordenados e armazenados

numa matriz com a forma [m, n, lmn

ω x Nplaca]. O parâmetro Nplaca corresponde ao número de

modos da placa considerados, o qual depende da frequência máxima que será analisada.

Neste estudo são analisadas as frequências compreendidas entre os 18 Hz e os 225 Hz, que

correspondem aos limites inferior e superior das bandas de terços de oitava de 20 e 200 Hz,

respectivamente. Porém, de acordo com a equação (2.27), o campo de vibração da placa

resulta do somatório de contribuições de cada modo de vibração, sendo portanto necessário

considerar um intervalo de frequências mais largo. Considera-se suficiente admitir uma

frequência quatro vezes superior ao limite anteriormente estabelecido, pelo que a frequência

máxima adoptada será de 900 Hz (4 x 225 Hz).

A segunda parte corresponde à resolução da equação (2.27). Esta parte implica a soma de

Nplaca parcelas, para cada frequência compreendida entre os 18 Hz e os 225 Hz.

O método descrito para a definição do campo de vibração de uma placa homogénea induzido e

uma força de impacto pontual, quando aplicado a baixas frequências, envolve um número

relativamente baixo de operações, o que o torna extremamente rápido. O código computacional

encontra-se no Anexo I.

13

2.5. MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS HOMOGÉNEAS

SIMPLESMENTE APOIADAS

O método descrito pela equação (2.27) foi validado numérica e experimentalmente por Neves e

Sousa [8]. Assim, o método é adequado para efectuar uma validação prévia de um modelo de

vibração de uma placa homogénea simplesmente apoiada a construir utilizando o programa de

elementos finitos SAP2000 [11].

Considerou-se uma placa simplesmente apoiada de forma rectangular, com dimensões

5,00×4,00 m2 e uma espessura de 0,20 m. A placa foi modelada com elementos de casca do

tipo “Shell – Thin”, sendo este o tipo de secção mais corrente na modelação de elementos

estruturais planos. Considerando os limites de aplicabilidade do método numérico, na definição

da placa considerou-se uma malha de elementos rectangulares de largura máxima igual a um

sexto do maior comprimento de onda analisado. A partir da expressão (2.1) e das propriedades

do material constituinte, descritas em seguida, esta largura máxima toma o valor de 0,43 m

para a frequência de 200 Hz. A largura máxima adoptada foi de 0,30 m.

Figura 2.3 – Modelo da placa simplesmente apoiada com dimensões e 5,00 × 4,00 m2.

Como material constituinte, optou-se pelo betão armado, com uma massa volúmica de

2400 kg/m3, onde é contabilizado a massa do betão 2300 kg/m3 e a massa do aço

100 kg/m3 [1]. Para o módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson assumiu-se E = 30 GPa

e ν = 0,2, respectivamente [1]. O factor de perdas da placa pode ser descrito em função da

frequência a partir da expressão

10,015,η = +

f (2.28)

onde a primeira parcela representa uma aproximação das perdas devidas à ligação da placa ao

longo do seu perímetro a outros elementos estruturais, e a segunda corresponde às perdas de

energia de vibração sob a forma de calor [2]. O coeficiente de amortecimento introduzido no

modelo numérico, ε, é um parâmetro de amortecimento que se relaciona com o factor de

perdas por / 2ε η= .

14

Definidas as propriedades da placa, é aplicada, num dado ponto, a acção dinâmica vertical de

intensidade constante e unitária ao longo da frequência.

Este programa de modelação da placa é relativamente rápido, possibilitando a modificação das

definições iniciais facilmente. O programa SAP2000 [11] possibilita a extracção das respostas

no tempo dos deslocamentos, velocidades e acelerações nodais. Para a análise dos resultados

no domínio da frequência é necessário aplicar a Transformada Rápida de Fourier (FFT)

externamente ao programa, o que constitui uma das desvantagens do programa. Note-se que,

o SAP2000 [11] também consegue, supostamente, efectuar a FFT e apresentar os resultados

no domínio da frequência. No entanto, os resultados assim obtidos não foram satisfatórios.

Embora se possa tratar de um erro do utilizador a consulta do manual não permitiu detectar a

origem desse erro.

Para efeitos de validação deste modelo, foram medidas as acelerações em dois pontos da

placa de betão armado, em resposta à força de impacto aplicada em (y0, z0) = (b�3, c�3) =

(1,67; 1,33) m. A acelerância, ou seja, a função de transferência entre a força de impacto e a

aceleração, foi obtida para o mesmo ponto e para o ponto (y, z) = (2b�3; c�0,95) =

(3,33; 2,86) m. A Figura 2.4 mostra as magnitudes das funções de transferência obtidas com os

métodos numérico e analítico.

(3,2)(1,3)(3,1)(2,2)(1,2)(2,1)(1,1)

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220f [Hz]

a/F [m/Ns2]

a1/F1, MEF a1/F1, eq.(2.27)

a2/F1, MEF a2/F1, eq.(2.27)

Modos vibração Analíticos

Figura 2.4 – Amplitude das funções acelerância a1�F1 e a2/F1, nos pontos

(y, z) = (1,67; 1,33) m e (y, z) = (3,33; 2,86) m, respectivamente, com F1

aplicada em (y0, z0) = (1,67; 1,33) m.

Para ambos os pontos, observa-se que a magnitude da acelerância obtida através do método

numérico se aproximam bastante dos valores teóricos. Os modos de vibração da placa surgem

também em frequências semelhantes às obtidas teoricamente. Como exemplo, o modo

(m1,n1) = (1,1), doravante designado apenas por modo (1,1), surge nas frequências 33,4 Hz e

33,5 Hz para o método MEF e analítico, respectivamente.

15

Para reforçar estas conclusões foram ainda medidas as funções de acelerância para os

mesmos pontos, mas com a força de impacto aplicada no ponto (y0,z0) = (3,33; 2,86) m. Os

resultados apresentam-se na Figura 2.5.

(3,2)(1,3)(3,1)(2,2)(1,2)(2,1)(1,1)

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]

a1/F2, MEF a1/F2, eq. (2.27)

a2/F2, MEF a2/F2, eq. (2.27)

Modos vibração Analíticos

Figura 2.5 – Amplitude das funções acelerância a1�F2 e a2/F2, nos pontos (y, z) =

(1,67; 1,33) m e (y, z) = (3,33; 2,86) m, respectivamente, com F2 aplicada em

(y0,z0) = (3,33; 2,86) m.

Da mesma forma, as funções acelerância nos dois pontos da placa tomam valores bastante

próximos dos valores analíticos. As figuras 2.4 e 2.5 mostram que a previsão da magnitude da

acelerância da parede obtida pelo programa SAP2000 [11] está de acordo com a previsão

obtida pelo modelo numérico. O programa SAP2000 [11] é um programa comercial de

modelação de elementos estruturais e, portanto, esta conclusão era já esperada.

Essencialmente, estes resultados permitem concluir que os procedimentos adoptados na

modelação numérica estão correctos e que podem, assim, ser seguidos para a modelação de

estruturas mais complexas.

2.6. MODELAÇÃO DA VIBRAÇÃO DE UMA PLACA HOMOGÉNEA COM DIFERENTES

CONDIÇÕES DE APOIO

Tendo em conta o objectivo de modelação de uma escada encastrada numa parede,

considera-se em seguida uma placa homogénea simplesmente apoiada (A) em todos os seus

bordos, excepto num que se admite ser encastrado (E).

Ao contrário do caso de uma placa homogénea simplesmente apoiada (AAAA), para placas

com diferentes condições de fronteira, os modelos analíticos desenvolvidos por Neves e Sousa

[8] não foram validados numericamente. O programa SAP2000 [11] permite proceder a essa

validação e assim de complementar o trabalho desenvolvido por Neves e Sousa [8]. Neste

trabalho, essa validação será efectuada para o modelo analítico de uma placa homogénea com

condições de apoio do tipo AAEA.

16

Figura 2.6 – Condição de fronteira da escada tipo AAEA.

Analiticamente não existe uma solução exacta para a acelerância de uma placa com apoios

que não estejam simplesmente apoiados. Porém, pode ser obtida uma solução aproximada

através do método de Rayleigh, sendo a função de forma da placa, 1 1( , ),m n

y zϕ obtida pela

multiplicação das funções de forma de duas vigas independentes, nas direcções y e z, que

satisfaçam as condições de fronteira das vigas [5],

1 1 1 1( , ) ( ) ( )m n m n

y z y zϕ ϕ ϕ= , (2.29)

Para as condições de fronteira do tipo AAEA, ou seja, encastrada em z = 0 e simplesmente

apoiada em y = 0 = b e z = c, as funções forma são dadas por

1( ) sen ,m

m yy

b

π =

ϕ (2.30.a)

= − − −

2

1 2 22

sen( 2)1 1( ) sen senh ,

2 2 senh( 2) 2 2n

z zz

c c

γϕ γ γ

γ (2.30.b)

onde 2

γ são as raízes da equação

2 2tan( 2) tanh( 2) 0.γ γ− = (2.31)

As frequências fundamentais da placa são então dadas pela equação

( )( )

44 2 2 24

12 1 11 1 1

1

1' 1 1 1 42 1 .

1'' 44

m n

nm mBn

m b b c cn

πω

π

+ = + + − + +

(2.32)

A forma geral da solução da equação (2.17) para uma força de impacto pontual de amplitude F,

com consideração do amortecimento da placa é

( )1 1

21 1 1 1 0 0

2 2, 1 1 1 1 1

( , ) ( , )( , ) ,

'' 1 jm n m n

x

m n m n m n

y z y zFa y z

m

ϕ ϕω

ω η ω

∞

=

= − + − Λ

∑ (2.33)

onde 1 1m nΛ toma agora a forma

17

22 2 2

1 1 22 22

sin ( 2) sin( ) sin( )1 1 .

4 sinh ( 2)m n

bc γ γ γγ γγ

Λ = − + +

(2.34)

Para efeitos de validação do modelo analítico, foi construído, através do programa SAP2000

[11], um modelo de elementos finitos de uma placa em betão armado com dimensões

5,0×4,0 m2 e uma espessura de 0,2 m. Tal como em 2.5, a placa foi modelada com elementos

de casca tipo “Shell – Thin”, com dimensões máximas de 0,3 m. Considerou-se propriedades

mecânicas do betão armado idênticas às definidas na secção 2.5.

A Figura 2.7 mostra as magnitudes de acelerância da placa obtidas com AAEA para os

métodos numérico e analítico nos pontos (y, z) = (b/3, c/3) = (1.67, 1.33) m e (y, z) =

(3,33; 2,86) m, devido à força de impacto aplicada em (y0, z0) = (b/3, c/3) = (1.67, 1.33) m.

(3,2)(2,2)(3,1)(1,2)(2,1)(1,1)

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F[m/Ns2]

a1/F1, MEF a1/F1, eq. (2.33) a2/F1, MEF a2/F1, eq. (2.33)Modos de vibração Analítico

Figura 2.7 – Amplitudes das funções acelerância a1�F1 e a2/F1, nos pontos

(y, z) = (1.67,1.33) m e (y, z) = (3.33, 2.86) m, respectivamente, com F1

aplicada em (y0, z0) = (1.67, 1.33) m, para uma placa AAEA.

Tal como no caso de uma placa simplesmente apoiada, os espectros de acelerância obtidos

pelo método numérico são semelhantes aos obtidos pelo método analítico. Mais uma vez, os

modos de vibração ocorrem em frequências idênticas. Assim, uma vez que a previsão analítica

do campo de vibração induzido numa placa homogénea, com condições de apoio AAEA, por

uma força pontual de impacto, está em concordância com a previsão numérica, conclui-se que

o modelo analítico está validado.

2.7. CONCLUSÕES

Recorrendo ao programa computacional SAP2000 [11], foi possível reproduzir, numericamente,

o campo de vibração de uma placa homogénea rectangular simplesmente apoiada. Pela

comparação dos resultados com os obtidos pelo modelo analítico validado experimentalmente

por Neves e Sousa [8], validaram-se os procedimentos de modelação numérica a utilizar em

estruturas mais complexas.

18

O programa computacional SAP2000 [11] foi utilizado para validar numericamente o modelo

analítico de placas homogéneas com diferentes condições clássicas de apoios. Na presente

dissertação é ilustrado o procedimento para placas encastradas num bordo e simplesmente

apoiadas nos restantes.

Neste capítulo foi confirmado que o programa SAP2000 [11] é uma ferramenta expedita para a

caracterização dinâmica de elementos estruturais correntes em edifícios. O modelo numérico é

rapidamente executado e tem como vantagem a possível modificação expedita das condições

de fronteira e materiais constituintes. O método analítico implica a dedução da equação de

acelerância para cada tipo de condição de apoio, mas depois de definida a solução é mais

rápido do que o método numérico.

No capítulo seguinte, os dois métodos serão utilizados para a modelação do sistema estrutural

escada/parede, o qual é responsável pelo campo sonoro que se pretende analisar nesta

dissertação.

2.8. REFERÊNCIAS

[1] Brazão Farinha, J.S.; Correia dos Reis, A. – Tabelas Técnicas, Edições Técnicas, Lisboa, 1996;

[2] Craik, R. – Sound transmission through buildings using statistical energy analysis, Gower,

Cambridge, Reino Unido, 1996;

[3] Cremer, L.; Heckl, M.; Ungar, E.E. – Struture-borne sound: structural vibrations and sound

radiation at audio frequencies – 2ª Edição, Springer-Verlag, Berlim, Alemanha, 1973;

[4] Computers and Structures Inc. - Analysis Reference Manual for SAP2000 ADVANCED v.10.0.7,

Berkeley, California, USA, 2005;

[5] Leissa, A. – Vibration of plates, Acoustical Society of America, Columbus, Ohio; EUA, 1993;

[6] Maluski, S. – Low frequency sound insulation in dwellings, Tese de Doutoramento, Sheffield

Hallam University, Sheffield, Reino Unido, 1999;

[7] Meirovitch, L. – Elements of vibration analysis, McGraw-Hill, Nova Iorque, EUA, 1986;

[8] Neves e Sousa, A. – Low frequency Impact Sound Transmission in Dwellings, Tese de


[9] Timoshenko, S.; Goodier, J. – Theory of elasticity, McGraw-Hill, Nova Iorque, EUA, 1970;

[10] Timoshenko, S.; Woinowski-Krieger, S. – Theory of plates and shells, McGraw-Hill, New Iorque,

EUA, 1959;

[11] Warburton, G. B. – The vibration of rectangular plates, Proceedings of the Institute of

Mechanical Eng., Ser. A, Vol. 168 (12), pp. 371 – 384;

[N.1]

EN ISO 12354 – 1: Building acoustics – Estimation of acoustic performance of building from the

performance of elements – Part 1: Airborne sound insulation between rooms, Comité Europeu

de Normalização, Bruxelas, Bélgica, 2000;

19

[N.2]

EN ISO 12354 – 2: Building acoustics – Estimation of acoustic performance of building from the

performance of elements – Part 1: Impact sound insulation between rooms, Comité Europeu de

Normalização, Bruxelas, Bélgica, 2000;

21

3. MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DO SISTEMA

ESTRUTURAL ESCADA/PAREDE

3.1. INTRODUÇÃO

No Capítulo 2 foram apresentados modelos do campo de vibração de placas sujeitas a uma

força de impacto pontual. Pretende-se agora modelar o campo de vibração de um sistema mais

complexo em que a força de impacto actua numa placa de betão armado encastrada numa

parede de alvenaria.

Na primeira fase, o sistema de placas ortogonais será modelado numericamente através do

programa SAP2000 [2]. Posteriormente, este modelo será utilizado para quantificar o erro

cometido na modelação analítica do sistema. Serão consideradas duas abordagens. Na

primeira abordagem, o sistema será modelado por uma parede simplesmente apoiada [8]

sujeita à acção combinada de um conjunto de binários equivalentes ao efeito da placa sobre a

parede. Esta abordagem será testada para três posições distintas da placa: placa na horizontal

(pavimento) a meia altura da parede; placa na horizontal (pavimento) a dois terços de altura da

parede; e placa inclinada ao longo da diagonal da parede (escada).

Na segunda abordagem, o sistema será modelado por uma parede equivalente sob a acção

directa de uma força de impacto pontual e arbitrária.

No Capítulo 4, os campos de vibração da parede determinados pelos métodos acima descritos

serão utilizados na modelação, também analítica, do campo sonoro do compartimento

adjacente.

3.2. HIPÓTESES INICIAIS DE MODELAÇÃO

O problema em estudo é a modelação da ligação entre uma escada e uma parede, a qual se

esquematiza na Figura 3.1.

Por simplificação, nesta modelação foram apenas consideradas escadas de tiro (lanço único),

no entanto, nos edifícios de habitação, o mais corrente é existir um patim intermédio (patamar).

Assim, foram também considerados sistemas estruturais constituídos apenas por uma placa

horizontal, representativa do patamar.

No que se refere à modelação da escada (placa inclinada), existiu ainda o cuidado de verificar

se a inclinação era admissível. Admitindo que a parede apresenta dimensões de 3 m de altura

e 5 m de comprimento, a escada de lanço único pode ser constituída por degraus com espelho

(Le) e cobertor (Lc), respectivamente iguais a 0,167 m e 0,278 m. Estes valores satisfazem os

requisitos estipulados no Regulamento Geral das Edificações Urbanas [5] e ainda a chamada

regra de conforto, dada por 60 2 64e c

L L< + < .

22

Figura 3.1 – Pormenor do sistema escada/parede.

A escada é então modelada a partir de uma placa com 31º de inclinação e espessura h,

correspondente à espessura da laje estrutural, sendo desprezada a resistência dos degraus

(Figura 3.2). Porém, é necessário ter em consideração a sua massa volúmica. Considerando

que o volume dos degraus pode ser uniformemente distribuído sobre a placa com uma altura

de Le� 2, então a massa volúmica a adicionar à massa volúmica do material constituinte da

placa é dada por deg 2raus em L hρ= ⋅ .

Figura 3.2 – Espessuras da laje estrutural e dos degraus.

Em relação à ligação da escada à parede existem diversas opções, limitadas por duas

condições clássicas de apoio: apoio simples e encastramento. Na primeira, a placa da escada

é livre de rodar segundo a linha de intersecção, impossibilitando a propagação de ondas de

flexão da escada para a parede. Neste caso, a acção de impacto sobre a escada promove

apenas impulsos verticais nos apoios simples. Assim, a parede é apenas sujeita a acções

segundo o seu plano, sendo estas geralmente desprezáveis para os campos sonoros gerados

nos compartimentos adjacentes à parede vibrante. Na opção de encastramento, a ligação entre

placas é concretizada construtivamente pelo prolongamento da escada para o interior da

parede, tal como ilustrado na Figura 3.3. Uma vez que as acções dinâmicas de origem humana

geram campos de vibração de pequena amplitude, assume-se que a ligação entre as placas é

suficientemente rígida para impedir qualquer tipo de deslocamentos ou rotações independentes

entre elas, ou seja, o modelo de encastramento pode ser utilizado.

23

Figura 3.3 – Pormenor da ligação escada e parede.

Assumindo que a impedância (relação entre força de impacto e velocidade de vibração) da

escada é muito maior do que a impedância da parede, então o sistema pode ser dividido em

dois subsistemas: um subsistema (escada) que produz uma acção dinâmica (binários) e um

subsistema (parede) sujeito a essa mesma acção. Infelizmente, esta hipótese de grande

diferença de impedâncias não é verdadeira. De facto, sabendo que a impedância característica

de uma placa é calculada por 8 ' ''Z B m= , a impedância de uma parede de alvenaria é cerca

de 8000 kNm/s e a de uma escada em betão armado é de cerca de 18000 kNm/s.

Estruturalmente estes valores são da mesma ordem de grandeza, ou seja, a divisão do sistema

estrutural em dois subsistemas é uma aproximação grosseira cujo erro interessa, no entanto,

avaliar.

3.3. CASO DE ESTUDO: ESCADAS EM BETÃO ARMADO E PAREDES DE ALVENARIA

Nas secções seguintes será modelada a vibração de uma parede de alvenaria adjacente a uma

escada de betão armado.

3.3.1. Escada em betão armado

Nas situações em que a placa ortogonal à parede se coloca na horizontal, à massa volúmica

do betão armado não é adicionada a massa dos degraus, pelo que, a densidade do betão

armado é de 2400 kg/m3 [1]. Na situação em que a placa fica inclinada (escada) é necessário

considerar a massa adicional dos degraus, cujo valor é, para h = 0,15 m, de mdegraus =

1340 kg/m3, obtendo-se uma massa volúmica total da placa de 3740 kg/m3. A placa em betão

armado tem um módulo de elasticidade de 30 GPa e um coeficiente de Poisson de 0,20 [1]. O

coeficiente de amortecimento é dado por / 2ε η= , onde o factor de perdas η é dado pela

equação (2.28).

Foi considerada uma escada com 1 m de largura. Os elementos de placa são definidos tal

como no Capítulo 2. A partir da expressão (2.1) e das propriedades do material constituinte, a

largura máxima dos elementos é de 0,33 m para a frequência de 200 Hz. A largura máxima

adoptada foi de 0,30 m.

24

3.3.2. Parede de alvenaria

Para uma aplicação correcta do modelo do campo de vibração de uma placa homogénea

simplesmente apoiada ao caso de uma parede de alvenaria, é fundamental caracterizar

adequadamente as propriedades da alvenaria. Em Portugal, o material mais correntemente

utilizado em paredes de alvenaria é o tijolo cerâmico furado, o qual não tem características

isotrópicas (Figura 3.4).

No caso em estudo, assume-se que a parede tem uma espessura total de 20 cm, conseguidos

com uma alvenaria de tijolo furado do tipo 15×30×20 cm e reboco e estuque em ambas as

faces. Na modelação da parede utilizou-se o método anteriormente desenvolvido para placas

homogéneas simplesmente apoiadas. Para baixas frequências a condição de apoio

simplesmente apoiada é, de facto, a mais adequada [6,8]. Relativamente ao material, é

necessário efectuar algumas adaptações para representar, com material homogéneo

equivalente, o comportamento dinâmico de uma parede de alvenaria constituída por tijolos não

homogéneos.

Figura 3.4 – Tijolo furado do tipo 15×30×20 cm.

Na definição do material da parede é necessário ter em atenção que o tijolo furado é

constituído por vazios. Assim, a massa volúmica a considerar é a massa volúmica aparente, a

qual é determinada por

,ρ

ρ⋅

=a

a

V

V (3.1)

onde V (m3) é o volume real de material cerâmico do tijolo, ρ (kg�m3) é a massa volúmica do

material de barro vermelho, e Va = 0,30×0,20×0,15 = 9×10-3 m3 é o volume aparente do tijolo

furado. Assim, o volume real do material cerâmico é de V = 4×10-3 m3, o qual se obteve por

medição directa. O tijolo da Figura 3.4 apresenta espessuras de 1,1 cm e 0,9 cm para os

septos exteriores e interiores, respectivamente, e um afastamento entre septos de 3,7 cm.

Segundo Cremer [4], a massa volúmica do barro vermelho encontra-se entre 1900 e

2200 kg�m3, porém o trabalho de Pina dos Santos [9] sugere o intervalo entre 1800 e

2000 kg�m3. Neste trabalho, o valor adoptado é de 2000 kg�m3, obtendo-se a massa volúmica

aparente do tijolo furado de ρa = 900 kg�m3.

25

Uma vez que o tijolo é um material ortotrópico, é necessário avaliar a rigidez de flexão em cada

direcção, como ilustrado na Figura 3.5.

Figura 3.5 – Placa ortotrópica (para o referencial da Figura 3.4).

O módulo de elasticidade de uma placa equivalente, com h = 0,15 m e 1,00 m de largura, é

dado, em cada direcção i, pela relação

onde Ieq corresponde ao momento de inércia da placa equivalente, Ii e Ei são, respectivamente,

o momento de inércia e o módulo de elasticidade da placa ortotrópica na direcção considerada.

Para o material cerâmico E é dado por 16 GPa [4,9]. O cálculo do módulo de elasticidade final,

pela teoria clássica da laje ortotrópica equivalente é complexo [8,4,10], no entanto, pode ser

conseguida uma aproximação grosseira considerando que

O momento de inércia e o módulo de elasticidade da placa ortotrópica segundo a direcção y

são dados por Ey = 6,7 GPa e Iy = 1,2×10-4 m4, respectivamente. Na direcção z, os valores

encontrados foram Ez = 3,9 GPa e Iy = 6,9×10-5 m4, respectivamente. Para uma placa

equivalente, com um momento de inércia de I = 0,153�12 = 2,8×10-4 m4, obtém-se um módulo

de elasticidade de Eeq = 5,1 GPa.

Foi ainda considerada a existência de uma camada de reboco e estuque com 2,5 cm de

espessura total em cada face da parede. Considerando para as camadas de revestimento um

módulo de elasticidade mínimo de 7,7 GPa [1], o módulo de elasticidade equivalente da parede

de alvenaria rebocada com 20 cm de espessura total, será de 6,6 GPa. Este valor encontra-se

bastante próximo do valor 6 GPa sugerido por Mateus [7] para paredes de alvenaria

rebocadas.

Para o coeficiente de Poisson é considerado o valor de 0,2 [7]. O coeficiente de amortecimento,

introduzido no modelo numérico, é dado por / 2ε η= . O factor de perdas η é, mais uma vez,

determinado pela expressão (2.28), a qual é apresentada por Craik [3] para paredes e

pavimentos de alvenaria e betão armado.

,eq eq i iE I E I= (3.2)

.eq y zE E E= ⋅ (3.3)

26

Na definição dos elementos finitos foi tida em conta a expressão (2.1) e as propriedades do

material constituinte. A largura máxima dos elementos é de 0,35 m para a frequência de

200 Hz. A largura máxima adoptada foi, foi mais uma vez, de 0,30 m.

3.4. MODELO DO SISTEMA ESTRUTURAL PAREDE/PLACA INTERMÉDIA

3.4.1. Modelação numérica

Como primeiro caso de estudo, desenvolveu-se, com o apoio do programa SAP2000 [2], um

modelo simples de um sistema parede de alvenaria e placa horizontal intermédia, em betão

armado, posicionada a meia altura da parede, tal como ilustrado na Figura 3.6.

Figura 3.6 – Modelação em elementos finitos de uma placa horizontal de betão armado

colocada a meia altura de uma parede de alvenaria.

Consideraram-se as dimensões indicadas nas secções 3.2 e 3.3 para a parede e pavimento.

As rotações segundo a direcção perpendicular à parede foram restringidas na ligação entre as

duas placas. Como indicado nas secções anteriores, à excepção dos nós de ligação entre as

placas, todos os nós de extremidade foram considerados simplesmente apoiados.

3.4.2. Modelação analítica da placa horizontal com binários equivalentes

Na hipótese de encastramento, a aplicação de uma força de impacto num dado ponto da placa

horizontal produz esforços de flexão na ligação entre esta e a parede. Estes momentos M(z, t),

em Nm, poderão ser transformados em binários equivalentes, constituídos por forças

horizontais com intensidade

=( , )

( , ) ,e

M z tF z t

h (3.4)

onde he (m) corresponde à espessura da placa horizontal. Assim, para cada ponto da ligação

entre placas, existe um binário cuja intensidade varia em função do tempo. O momentos

flectores M(z, t) dependem da rigidez de flexão do sistema de placas ortogonais, das condições

de fronteira da placa que representa o pavimento ou escada e da posição da força pontual de

impacto, pelo que apenas podem ser analisados correctamente por intermédio de modelação

numérica (Figura 3.6).

27

O modelo analítico é constituído por uma parede homogénea simplesmente apoiada cujas

propriedades são idênticas ao modelo numérico. Esta parede é sujeita à acção combinada de

um conjunto de binários correspondentes aos momentos flectores obtidos numericamente para

a ligação placa intermédia/parede.

Os binários são constituídos por um par de forças aplicadas, perpendicularmente à parede, nas

coordenadas (y, z) dos pontos constituintes da linha de intersecção do modelo numérico. Para

a formação de cada binário foram introduzidas duas forças de espectro unitário, com sentidos

contrários (Figura 3.7).

Figura 3.7 – Aplicação de binários na linha imaginária de intersecção de placas.

Como output, o programa de modelação analítica fornece NF funções acelerância de um dado

ponto da placa, onde NF é o número total de forças aplicadas na placa, igual a duas vezes o

número de binários de espectro unitário. Uma vez que os binários introduzidos são de espectro

unitário, posteriormente, cada função acelerância é multiplicada pelas correspondentes

intensidades dos binários equivalentes obtidos, conforme a equação (3.4), a partir dos

momentos M(z,t) fornecidos pelo modelo numérico indicado na Figura 3.8, o qual corresponde

à placa horizontal encastrada num dos bordos e simplesmente apoiada nos restantes.

Figura 3.8 – Modelação de uma placa horizontal com condições de fronteira AAEA e uma

força de impacto aplicada em (y, z) = (b e�3,ce�3).

Pelo princípio da sobreposição de efeitos, válido em regime de vibração elástico, todas as NF

funções complexas de acelerância, obtidas anteriormente, são então somadas, dando lugar ao

espectro de acelerância de um dado ponto da placa devido à aplicação da totalidade dos

binários equivalentes.

Estando a placa na posição horizontal, sujeita a uma força de impacto unitária vertical, as

reacções que realmente têm interesse são os momentos flectores segundo a direcção

28

horizontal (z). Existem outras reacções que poderiam ser transformadas em forças aplicadas

perpendicularmente à parede, nomeadamente, os momentos flectores segundo y e as forças

segundo x, porém, neste caso, estes esforços são desprezáveis quando comparados com os

momentos flectores segundo z.

Validação numérica do princípio da sobreposição de efeitos

A aplicação do princípio de sobreposição de efeitos ao modelo analítico descrito no início da

presente secção pode ser validada por comparação com um modelo numérico da parede de

alvenaria simplesmente apoiada, sujeita à acção combinada do um conjunto de binários

correspondentes aos momentos flectores na ligação da placa horizontal à parede.

As componentes de força dos binários são definidas por funções no tempo dependentes da

posição segundo z. Estas forças são aplicadas na mesma posição que no modelo analítico

descrito no início da presente secção.

Nas Figuras 3.9 e 3.10 são apresentados os espectros de amplitude de acelerância obtidos

com o modelo analítico e com o modelo de elementos finitos para os pontos da parede

(y, z) = (bp�3, cp�3) = (1.00, 1.67) m e (y, z) = (bp�1.4, cp�1.2) = (2.15, 4.17) m, respectivamente.

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]

MEF Parede Parede eq.(2.27) Modos vibração Analítico

Figura 3.9 – Amplitude das funções de acelerância no ponto da parede

(y, z) = (bp�3, cp�3) = (1.00, 1.67) m para uma força de impacto aplicada na

coordenada (be�3, ce�3) = (0.33, 1.67) m.

As figuras mostram que existe concordância entre as funções acelerância fornecidas pelos dois

modelos. Desta forma, confirma-se que o princípio de sobreposição de efeitos está

correctamente aplicado na modelação analítica.

29

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220f [Hz]

a/F [m/Ns2]

MEF Parede Parede eq.(2.27) Modos vibração Analítico

Figura 3.10 – Amplitude das funções de acelerância no ponto da parede (y, z) =

(bp�1.4, cp�1.2) = (2.15, 4.17) m para uma força de impacto aplicada na


3.4.3. Validação numérica da modelação analítica

As Figuras 3.11 e 3.12 representam as funções acelerância obtidas, com o modelo numérico

da parede com uma placa horizontal encastrada (secção 3.4.1) e com o modelo analítico da

parede sujeita à acção de um conjunto de binários equivalentes à acção da placa horizontal

(secção 3.4.2), para os pontos da parede (y, z) = (bp�3, cp�3) = (1.00, 1.67) m e

(y, z) = (bp�1.4, cp�1.2) = (2.15, 4.17) m. Considerou-se uma força de impacto actuando na placa

horizontal na posição (be�3, ce�3) = (0.33, 1.67) m.

(2,3)(3,2)(3,1)(2,2)(2,1)

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220f [Hz]

a/F [m/Ns2]

MEF Parede/Placa horizontal Parede eq. (2.27)

Modos vibração MEF Modos vibração Analítico




30

(2,3)(3,2)(3,1)(2,2)(2,1)

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]

MEF Parede/Placa horizontal Parede eq.(2.27)



(bp�1.4, cp�1.2)= (2.15, 4.17) para uma força de impacto aplicada na


Verifica-se que as funções de acelerância previstas pelo modelo analítico da parede com

binários equivalentes se desenvolvem paralelamente às funções de acelerância previstas pelo

modelo numérico, com uma redução em frequência de cerca de 15% para o primeiro modo.

Através do conceito de equivalência modal, é possível estimar um limite superior da diferença

entre as frequências de ocorrência dos modos de vibração da parede obtidos pelos dois

métodos. De acordo com este conceito, o modo (1,1) de uma placa de dimensão b�2×c,

encastrada no bordo de comprimento c, será equivalente ao modo (2,1) de uma placa com as

mesmas características mecânicas, agora com dimensão b×c, simplesmente apoiada em

todos os bordos (Figura 3.13).

Figura 3.13 – Equivalência modal entre os modos (1,1) e (2,1) das placas a) e b).

De acordo com a equação (2.15), a frequência correspondente à ocorrência do modo (2,1) na

placa b) na Figura 3.13 é dada por

2 2

) 22,1

' 2 1.

''b B

m b cω π

= +

(3.5)

31

De acordo com a equação (2.32), a frequência correspondente à ocorrência do modo (1,1) na

placa a) na Figura 3.13 é dada por

4 4 2 2 2 4

) 21,1

' 5 1 5 1 1 5 4 12 .

'' 2 2 5a B

m b b c c

πω π

π

− = + +

(3.6)

Assim, ) )2,1 1,1 0.70,b aω ω ≃ ou seja, a máxima redução entre as frequências próprias será de 30%.

De facto, embora as funções de acelerância sejam semelhantes para ambos os modelos, a

função acelerância obtida pelo modelo analítico apresenta uma diminuição significativa das

frequências de ocorrência dos modos de vibração (2,1) e (2,2), o que traduz uma flexibilização

da estrutura relativamente ao modelo numérico. Este efeito era esperado e deve-se à ausência

do efeito de rigidificação do patamar intermédio no modelo analítico. Devido à existência da

placa horizontal a meia altura da parede, a qual funciona como travamento desta, os modos de

vibração (1,1) e (1,2) não são excitados no modelo numérico. No modelo analítico, em que a

placa é representada por um conjunto de binários, os modos (1,1) e (1,2) também não são

excitados, não devido à presença de um travamento, mas devido à acção dos próprios

binários, os quais contrariam os modos de vibração do tipo (1,n) e promovem os modos do tipo

(2,n) (Figura 3.13).

As figuras anteriores permitem concluir que, apesar da diferença de rigidez, o modelo analítico

apresenta valores máximos para a amplitude de acelerância bastante próximos dos obtidos

pelo modelo numérico.

Figura 3.14 – Modos de vibração do tipo (2,n) da parede.

3.5. MODELO DO SISTEMA ESTRUTURAL PAREDE/PLACA A 2/3 DE ALTURA DA

PAREDE

Analogamente ao modelo numérico da secção 3.4.1, foi construído um modelo do sistema

parede e placa horizontal, em que esta é colocada a dois terços de altura da parede, tal como

ilustrado na Figura 3.15. Este modelo permite eliminar os efeitos de simetria da estrutura

analisada na secção 3.4.

32

Figura 3.15 – Modelação em elementos finitos de uma placa horizontal de betão armado

colocada a dois terços de altura de uma parede de alvenaria.

O processo de execução do modelo analítico é idêntico ao seguido em 3.4.2. A modificação da

posição da placa horizontal implica apenas a modificação das coordenadas dos pontos de

aplicação das forças unitárias.

Nas Figuras 3.16 a 3.18 são apresentadas as funções de transferência entre a força de

impacto actuante na placa horizontal, nas coordenadas (be�3, ce�3) = (0.33, 1.67) m, e a

aceleração obtida com os dois modelos, numérico e analítico, para as coordenadas (y, z) =

(bp�3, cp�3) = (1.00, 1.67) m, (y, z) = (bp�1.4, cp�1.2) = (2.15, 4.17) m, e (y, z) = (bp�2, cp�2) =

(1.50, 2.50) m.

(1,3)(1,2)(1,1)

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]

MEF Parede/Escada Parede eq.(2.27)





33

(1,3)(1,2)(1,1)

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-08

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]






As Figuras 3.16 a 3.18 mostram que, mais uma vez, no modelo analítico ocorre uma

flexibilização da estrutura escada/parede, traduzida por diminuição significativa das frequências

correspondentes aos modos de vibração.

Pelas figuras verifica-se também, que tal como no caso anterior, o modelo analítico da parede

excitada por binários equivalentes prevê amplitudes máximas próximas das previstas pelo

modelo MEF.

(1,3)(1,2)(1,1)

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]



Figura 3.18 – Amplitudes das funções de acelerância no ponto da parede (y, z) =

(bp�2, cp�2) = (1.50, 2.50) m para uma força de impacto aplicada na


Verifica-se que existe um desfasamento médio em frequência de cerca de 55% entre as

funções de acelerância fornecidos pelos dois modelos. Analogamente ao procedimento

adoptado em 3.4.3, pode ser estimado um limite superior do desfasamento em frequência das

funções de acelerância. Considerando a equivalência modal entre os modos (1,1) de uma

34

placa de dimensão b�3×c, encastrada no bordo de comprimento c (Figura 3.19 a1)) e o modo

(3,1) de uma placa com as mesmas características mecânicas, agora com dimensão b×c,

simplesmente apoiada em todos os bordos (Figura 3.19 c)), a redução entre frequências

próprias é de 35%. Por outro lado, considerando que o modo (1,1) da placa a1) da Figura 3.19

é equivalente ao modo (2,1) da placa b) da Figura 3.19, obtém-se uma redução entre

frequências próprias de 70%. Considerando agora que o modo (1,1) de uma placa de

dimensão 2b�3×c (Figura 3.19 a2)) é equivalente ao modo (2,1) de uma placa com as mesmas

características mecânicas, agora com dimensão b×c (Figura 3.19 b)), obtém-se uma redução

entre frequências próprias de 15%. A equivalência modal entre os modos (1,1) e (3,1) das

placas a2) e c) da Figura 3.19 leva a uma redução de frequências de 60%.

Conclui-se que o limite superior do desfasamento em frequência das funções acelerância seria

aproximadamente 70%.

Figura 3.19 – Equivalência modal entre os modos das placas das placas a1), b) e c).

3.6. MODELO DO SISTEMA PAREDE/ESCADA

3.6.1. Modelação analítica da escada por binários equivalentes e validação numérica

Analisados os casos mais simples de uma placa horizontal acoplada à parede, foi

posteriormente analisado um caso mais próximo da situação real, com uma parede em

alvenaria e uma escada de tiro em betão armado, como ilustrado na Figura 3.20.

Para a modelação analítica deste sistema estrutural, foram considerados binários equivalentes

às reacções M(z, t), M(y, t) e F(x, t), obtidas numericamente no apoio encastrado de uma placa

com condições de fronteira do tipo AAEA (Figura 3.21). Os binários são calculados pela

expressão (3.4), onde o parâmetro he toma os valores ilustrados na Figura 3.21.

35

Figura 3.20 – Modelação em elementos finitos de uma escada de betão armado adjacente a

uma parede de alvenaria.

Neste caso, os momentos flectores segundo y e as forças segundo x apresentam valores um

pouco mais significativos do que anteriormente, pelo que a sua contribuição para o campo de

vibração da parede deve ser contabilizada. Uma vez que a introdução da força horizontal

segundo x e dos binários nas duas direcções y e z é morosa, interessa comparar a acelerância

num dado ponto da parede obtida com a contribuição de todas estas acções com a acelerância

obtida considerando apenas o efeito dos momentos M(z,t). Esta comparação pode ser

efectuada a partir da Figura 3.22, onde se apresentam as amplitudes das funções de

acelerância da parede para as coordenadas (y, z) = (bp�3, 2cp�3) = (1.00, 3.33) m para uma

força de impacto actuando nas coordenadas (be�3, ce�3) = (0,33; 1,94) da escada. Conclui-se

que o erro cometido ao considerar apenas a contribuição M(z,t) é significativo, sendo portanto

necessário contabilizar a contribuição das restantes componentes de força e momento.

Figura 3.21 – Valores do parâmetro h, no cálculo do binário, para placa inclinada.

Na Figura 3.22 é também apresentada a função acelerância obtida numericamente. Para

comparar as previsões de acelerância obtidas numérica e analiticamente, apresentam-se, nas

Figuras 3.23 e 3.24, os resultados obtidos para o mesmo ponto de impacto nas coordenadas

da parede (y, z) = (bp�1.4, cp�3.5) = (2.14, 1.43) m e (y, z) = (bp�3, cp�2) = (1.00, 2.50) m,

respectivamente.

36

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]

MEF Parede/ Escada Par. Binários eq.(2.27), M(z,t)

Par. Binários eq.(2.27) Modos vibração MEF

Modos vibração Analítico


(bp�3, 2cp�3) = (1,00; 3,33) m para uma força de impacto aplicada na


(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]

MEF Parede/Escada Modos vibração MEF

Par. Binários eq.(2.27) Modos vibração Analítico




A identificação dos modos de vibração da parede obtidos com o modelo de elementos finitos é

dificultada pela presença da escada, pelo que nas Figuras 3.22 a 3.24 as frequências em que

esses modos ocorrem não são apresentados.

As Figuras 3.22 a 3.24 mostram que, também para o caso da escada, o modelo analítico

diminui a rigidez da estrutura escada/parede, fornecendo, no entanto, uma boa aproximação

para a amplitude máxima da função de acelerância de um dado ponto da parede.

37

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]

MEF Parede/ Escada Par. Binários eq.(2.27)



(bp�3, cp�2) = (1.00, 2.50) m para uma força de impacto aplicada na


Embora os modelos forneçam amplitudes máximas de acelerância semelhantes, a forma das

funções difere mais significativamente do que nos casos de placas horizontais encastradas na

parede. Enquanto que nestes casos existia apenas um desfasamento das funções de

acelerância em frequência, na presença da escada, além desse desfasamento, existem ainda

outras diferenças entre os resultados obtidos dos modelos numérico e analítico,

nomeadamente ao nível do número de modos excitados.

3.6.2. Modelação analítica do sistema estrutural por parede equivalente e validação

numérica

Na secção anterior concluiu-se que o modelo analítico do campo de vibração da parede gerado

por binários equivalentes à acção da escada, além de ser de aplicação complicada e morosa,

apresenta um erro considerável. Desta forma, interessa testar uma alternativa de modelação

analítica com base numa parede equivalente submetida a uma força de impacto pontual de

espectro unitário.

A parede é modelada como uma placa simplesmente apoiada com dimensões no plano

idênticas às da parede de alvenaria com a escada encastrada. O ponto de actuação da acção

de impacto deve estar o mais próximo possível da posição em que a placa é excitada. As

propriedades mecânicas do material constituinte da parede, nomeadamente o módulo de

elasticidade e a massa volúmica, assim como a espessura, são ajustados iterativamente de

modo a obter um campo de vibração semelhante ao obtido numericamente na secção anterior.

Este processo de modelação pode ser dividido em três fases. Inicialmente é escolhido o ponto

de actuação da acção de impacto, devendo este ser o mais próximo possível da posição em

que a placa é excitada. Posteriormente, através de um processo iterativo, a função acelerância

para um dado ponto da parede equivalente é ajustada à função acelerância obtida

numericamente. Na primeira iteração o módulo de elasticidade do material é obtido

38

directamente, para a espessura e massa reais da parede, através da equação (2.15), o que

simplifica bastante o processo iterativo. Nas iterações seguintes, as propriedades mecânicas

do material são determinadas a partir das seguintes princípios: a variação da massa do

material origina a translação na direcção diagonal da função acelerância, e a variação da

espessura da parede equivalente origina a translação horizontal da função acelerância. Após a

aplicação do processo iterativo ao caso de estudo, obteve-se uma espessura de 0,45 m, um

módulo de elasticidade de 30 GPa e uma massa volúmica de 3500 kg�m3.

Nas Figuras 3.25 a 3.27 são apresentadas as amplitudes das funções de transferência entre

uma força de impacto pontual e a aceleração da parede obtidas para os pontos

(y, z) = (bp�3, 2cp�3) = (1.00, 3.33) m, (y, z) = (bp�1.4, cp�3.5) = (2.14, 1.43) m e (y, z) =

(bp�3, cp�2) = (1.00, 2.50) m, com o modelo numérico, para o caso da força aplicada na escada

nas coordenadas (be�3, ce�3) = (0,33; 1,94) m, e com o modelo analítico da parede equivalente,

para o caso da força aplicada directamente na parede em (y, z) = (bp�3, cp�3) = (1.00, 1.67) m.

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

(1,2)(1,1)

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2 ]

MEF Parede/ Escada Modos vibração MEF

Parede Binários Modos vibração Par. Binários

Parede Equivalente Modos vibração Par. Equivalente


(bp�3, 2cp�3) = (1.00, 3.33) m.

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

(1,2)(1,1)

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]

MEF Parede/Escada Modos vibração MEF



39


(bp�1.4, cp�3.5) = (2.14, 1.43) m.

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

(1,2)(1,1)

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2 ]

MEF Parede/ Escada Modos vibração MEF




=(bp�3, cp�2) = (1.00, 2.50) m

As Figuras 3.25 a 3.27 mostram que não é possível obter um ajustamento perfeito entre o

modelo analítico da parede equivalente e o modelo numérico. No entanto, ao contrário do

modelo analítico da parede sujeita à acção de binários equivalentes à acção da escada, o

modelo de parede equivalente apresenta uma rigidez estrutural semelhante à do modelo

numérico, permitindo ajustar com algum rigor pelo menos as frequências dos primeiros modos

de vibração. Apesar de, em geral, existir alguma semelhança entre as amplitudes de

aceleração fornecidos por cada modelo, principalmente para frequências inferiores a 180 Hz,

os espectros de acelerância apresentam diferenças que, em alguns casos, podem ser

significativas. A acelerância no ponto (y, z) = (bp�3, cp�2) = (1,00; 2,50) m, em que o modo (1,2)

da parede equivalente não é excitado, configura um desses casos.

O modelo analítico de parede equivalente apresenta algumas vantagens: o processo iterativo

de determinação das propriedades da parede equivalente é simples; o modelo tem aplicação

simples e rápida; e o ajustamento das frequências de vibração possibilitará considerar mais

correctamente o efeito de acoplamento com o campo sonoro do compartimento.

3.7. CONCLUSÕES

Neste capítulo foi calculado numérica e analiticamente o campo de vibração de uma parede

com uma escada encastrada sobre a qual actua uma força vertical pontual de espectro unitário.

A comparação do modelo numérico (MEF) com os modelos analíticos desenvolvidos (parede

sujeita à acção de binários equivalentes à acção da escada e parede equivalente) permitiu

quantificar o erro cometido na avaliação do campo de vibração do sistema escada/parede com

os modelos analíticos.

40

Uma vez que o modelo analítico da parede sujeita à acção combinada de um conjunto de

binários equivalentes à acção da escada não considera o efeito de travamento que a escada

provoca sobre a parede, a rigidez do sistema estrutural escada/parede é subestimada. No

entanto, apesar da diferença de rigidez, este modelo analítico fornece uma boa aproximação

para a amplitude máxima do campo de vibração gerado numa parede por uma força de

impacto aplicada numa escada adjacente.

O modelo analítico de parede equivalente apresenta uma rigidez estrutural semelhante ao

modelo MEF, permitindo aproximar com algum rigor as frequências dos primeiros modos de

vibração do sistema escada/parede. Desta forma, é possível considerar com maior rigor o

efeito de acoplamento entre o campo de vibração da parede e o campo sonoro do

compartimento adjacente. Em geral, este modelo também fornece uma boa aproximação da

amplitude de acelerância do sistema escada/parede, o que, aliado à sua maior simplicidade e

rapidez de implementação, permite concluir que se trata de um modelo adequado na previsão

de campos de vibração de uma parede com uma escada encastrada. No entanto, a aplicação

deste método pode fornecer, em certos casos, campos de vibração que diferem

significativamente dos obtidos numericamente.

3.8. REFERÊNCIAS

[1] Brazão Farinha, J.S.; Correia dos Reis, A.; - Tabelas Técnicas, Edições Técnicas, Lisboa, 1996;

[2] Computers and Structures Inc. - Analysis Reference Manual for SAP2000 ADVANCED v.10.0.7,

Berkeley, California, EUA, 2005;

[3] Craik, R. – Sound transmission through buildings using statistical energy analysis, Gower,

Cambridge, Reino Unido, 1996;

[4] Cremer, L.; Heckl, M.; Ungar, E.E. – Struture-borne sound: structural vibrations and sound

radiation at audio frequencies – 2ª Edição, Springer-Verlag, Berlim, Alemanha, 1973;

[5] Decreto-Lei n.º 38382 de 7 de Agosto de 1951, Diário da Républica – Regulamento Geral das

Edificações Urbanas;



[7] Mateus, Diogo; - Isolamento Acústico de elementos de compartimentação, Tese de

Doutoramento, DEC – Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de Coimbra,

Coimbra, 2004;

[8] Neves e Sousa, A.; - Low frequency Impact Sound Transmission in Dwellings, Tese de


[9] Pina dos Santos, C.; Vasconcelos de Paiva, J. – Caracterização térmica de paredes de alvenaria;

ITE12, Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Lisboa, 1997;

[10] Timoshenko, S.; Goodier, J. – Theory of elasticity, McGraw-Hill, Nova Iorque, EUA.

41

4. MODELO DO CAMPO SONORO

4.1. INTRODUÇÃO

A modelação do campo sonoro induzido num compartimento pela vibração de uma escada

adjacente constitui um problema cuja resolução pode ser dividida em duas fases. A primeira

fase foi descrita nos capítulos anteriores, onde se procedeu à modelação do campo de

vibração do sistema parede/escada. A segunda fase é descrita neste capítulo, no qual se

procederá à modelação do campo sonoro do interior do compartimento, tendo em conta o

acoplamento do campo de vibração do sistema estrutural escada/parede com o campo sonoro.

Para tal, seria desejável utilizar, como nos capítulos anteriores, um modelo numérico de

aplicação do método dos elementos finitos e um modelo analítico de análise modal.

Infelizmente, o programa SAP2000 [2] não permite modelar a propagação de ondas mecânicas

em fluidos, ou seja, não permite modelar a propagação do som no ar. Por outro lado, o

programa de elementos finitos para aplicação acústica que está actualmente a ser

desenvolvido no Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do IST ainda não está pronto

para ser utilizado, o que obrigaria a recorrer a programas comerciais como o ABAQUS [1] ou o

SYSNOISE [11]. O elevado custo de aquisição destes programas impossibilita a sua aplicação

no âmbito desta dissertação.

Apesar destas condicionantes, o programa SAP2000 [2] é utilizado, neste capítulo, para

modelar o campo sonoro no compartimento adjacente à escada com elementos finitos sólidos

com um módulo de elasticidade calculado a partir da impedância acústica do ar. Esta é uma

aproximação correntemente utilizada para frequências mais elevadas mas que perde

aplicabilidade para frequências mais baixas, onde o campo sonoro tem um comportamento

claramente modal. Nesta dissertação é avaliado o erro cometido pelo recurso a esta

aproximação.

Neste capítulo é ainda modelado analiticamente, recorrendo à análise modal, o campo sonoro

do compartimento tendo em consideração o acoplamento modal com o campo de vibração do

sistema estrutural escada/parede. São consideradas duas situações. No primeiro caso, o

campo sonoro do compartimento é gerado por uma parede sujeita à acção de um conjunto de

binários equivalentes à acção da escada. No segundo caso, o campo sonoro do compartimento

é induzido por uma força aplicada numa parede com o comportamento dinâmico equivalente ao

do sistema estrutural escada/parede.

42

4.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS – CAMPO SONORO

4.2.1. Equação da onda sonora no ar

O campo sonoro no interior de um compartimento resulta da sobreposição de um grande

número de ondas sonoras simples (esféricas ou planas), as quais se propagam através de um

fluído compressível e sem perdas. No caso de compartimentos de dimensões correntes, as

ondas sonoras são de pequena amplitude, pelo que a variação da densidade do ar devida às

as flutuações de pressão sonora é, também, pequena quando comparada com o valor estático

da densidade do ar. Se as flutuações de pressão e de densidade ocorrerem sem transferência

de calor, o processo acústico é adiabático e

0 0

P

P

γρρ

=

e

(4.1)

00 0

0

,p P P B B sρ ρ

ρ−

= − = = ⋅ (4.2)

onde: p (Pa) é a pressão sonora; P e P0 (Pa) são as pressões instantânea e estática totais,

respectivamente; ρ e ρ0 (kg/m3) são as densidades do ar instantânea e estática,

respectivamente; γ é a razão dos calores específicos do ar ( )p vc cγ = , a qual, para as

condições de temperatura e pressão normais, toma o valor de 1,4012 [9]; 0-s V V ρ ρ= ∆ = ∆ é

a condensação volúmica do ar, a qual é muito pequena; e ( )= ∂ ∂00 0B P ρρ ρ , em Pa, é o

módulo adiabático de volume (compressibilidade).

Uma vez que as variações de densidade e pressão, as quais são consideradas variáveis

independentes, dependem do tempo, é possível relacionar a velocidade de uma partícula de ar,

v→

, com a densidade instantânea do ar. Para tal, considera-se um elemento infinitesimal

dV = dx dy dz fixo no espaço. Devido à conservação de massa, a taxa à qual a massa flui para

o interior do elemento através de uma superfície é igual à taxa ( )∂ ∂ dt Vρ , à qual a massa no

interior do volume do elemento aumenta. Assim, obtém-se

( ) 0,vt

ρρ

∂+ ∇ ⋅ =

∂

�

(4.3)

onde ()∇ ⋅ é o operador divergência: ∇ ⋅ =( ) div( )v vρ ρ� �

.

Escrevendo ρ na forma ( )0 1 sρ ρ= + e considerando que a variação de ρ0 no tempo e no

espaço é suficientemente pequena, então a equação (4.3) pode ser simplificada para

43

∂ ∂+ ∇ ⋅ ≈ ∂∂

2

020.

v

tt

ρρ

�

(4.4)

Assumindo que o elemento fluido dV, cuja massa infinitesimal é de ρ dV, se movimenta como

fluido, é possível aplicar o teorema da quantidade de movimento, obtendo-se a expressão de

Euler

∂∇ ⋅ = −∇ ∂

20 ,

vp

tρ

�

(4.5)

onde 2∇ = ∇ ⋅∇ é o operador Laplaciano tridimensional.

Introduzindo as equações (4.2) e (4.5) na equação (4.4), obtém-se a equação que governa a

propagação das ondas sonoras num fluido

22

2 20

1,

c

pp

t

∂∇ =

∂ (4.6)

onde c0 (m�s) é a velocidade do som, definida por 20 0 0c B ρ= [5,7]. Assumindo que o ar é

essencialmente ar seco, a velocidade de propagação do som, pode ser aproximada pela

expressão

0c 331,4 1 ,273,15

θ= + (4.7)

em que θ é a temperatura do ar [9].

4.2.2. Solução da equação homogénea da onda sonora

Em seguida é deduzida a solução da equação homogénea da onda sonora em meios fluidos

sem perdas (4.6) para um compartimento com a configuração ilustrada na Figura 4.1.

Figura 4.1 – Dimensões do compartimento com forma rectangular.

Assume-se que todas as paredes são rígidas, ou seja, a sua impedância é muito superior à do

ar através do qual se propagam as ondas sonoras. Portanto, a velocidade das partículas do ar

na direcção normal às paredes é zero sobre as paredes. Assumindo, tal como no Capítulo 2.4,

44

que a velocidade é uma função harmónica do tempo, 0

j tv v e ω=� ��

, a equação (4.5) pode ser

escrita na forma

0 ,p j vωρ∇ = −�

(4.8)

pelo que as condições de fronteira da equação (4.6) são dadas por:

(0, , , ) ( , , , )0;

p y z t p a y z t

x x

∂ ∂= =

∂ ∂ (4.9.a)

( ,0, , ) ( , , , )0;

p x z t p x b z t

y y

∂ ∂= =

∂ ∂ (4.9.b)

( , ,0, ) ( , , , )0.

p x y t p x y c t

z z

∂ ∂= =

∂ ∂ (4.9.c)

Assumindo que a pressão sonora instantânea também é uma função harmónica no tempo,

j( , , , ) ( , , ) e ,tp x y z t p x y z ω= a equação (4.6) adquire a forma

2 2( , , ) ( , , ) 0,p x y z k p x y z∇ + = (4.10)

onde 0ck ω= representa o número de onda.

A solução da equação (4.10) para as condições de fronteira (4.9) é obtida pelo método de

separação de variáveis. Após alguma manipulação matemática, obtém-se

( , , ) cos cos cos ,lmn lmn

l x m y n zp x y z A

a b c

π π π =

(4.11)

onde Almn é uma constante de integração.

Embora as condições iniciais de = j( , , , ) ( , , ) e tp x y z t p x y z ω não tenham sido definidas, estas

existem, e é necessário encontrar uma solução que as satisfaça. Esta solução pode ser obtida

aplicando-se o princípio da sobreposição de efeitos, segundo o qual, a soma das soluções

plmn(x,y,z) é também uma solução de p(x,y,z). Assim, p(x,y,z,t) é dado por uma série de Fourier,

ou seja, por uma série de funções de forma dos modos acústicos

j

, , 0

( , , , ) cos cos cos .tlmn

l m n

l x m y n zp x y z t A e

a b c

ωπ π π∞

=

=

∑ (4.12)

As frequências próprias correspondentes são obtidas por introdução da equação (4.12) na

equação (4.6), o que conduz a

2 2 2

0c .lmn

l m n

a b c

π π πω

= + +

(4.13)

45

4.3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS – ACOPLAMENTO ENTRE CAMPO DE VIBRAÇÃO E

CAMPO SONORO

Anteriormente foi deduzida a solução teórica para o campo sonoro no interior de um

compartimento delimitado por paredes rígidas. Agora é necessário encontrar uma solução para

o campo sonoro excitado pelo movimento oscilatório induzido por uma força pontual numa das

paredes do compartimento.

Tal como já foi referido na secção anterior, a onda de propagação num meio fluido contínuo,

compressível e sem perdas, é dada pela equação (4.6). De acordo com Kihlman [4], esta

equação pode ser escrita em função do potencial da velocidade, Ψ (x,y,z,t), através de

22

20

1 ( , , , )( , , , ) 0.

c

x y z tx y z t

t

ΨΨ

∂∇ − =

∂ (4.14)

Considerando um compartimento com geometria idêntica ao da Figura 4.1, onde todas as

paredes são rígidas, à excepção de uma, em x = a, que exibe um campo de velocidades,

f (y, z) ejωt as condições de fronteira a satisfazer pela equação (4.14) são:

2 2j

2 2(0, , , ) 0 e ( , , , ) ( , , ) ( , ) ;txy z t a y z t v y z t f y z e

x x

ωΨ Ψ∂ ∂

= = =∂ ∂

(4.15.a)

2 2

2 2( ,0, , ) ( , , , ) 0;x z t x b z t

y yΨ Ψ

∂ ∂= =

∂ ∂ (4.15.b)

2 2

2 2( , ,0, ) ( , , , ) 0.x y t x y c t

z yΨ Ψ

∂ ∂= =

∂ ∂ (4.15.c)

Introduzindo o termo fonte Φ(x,y,z,t), a equação (4.14), escrita em termos de Ψ(x,y,z,t), com

condições de fronteira não homogéneas, pode ser transformada numa equação, em termos de

Ψ1(x,y,z,t), com condições de fronteira homogéneas [3], em que

= −( , , , ) ( , , , ) ( , , , ).x y z t x y z t x y z tΨ Ψ Φ1

(4.16)

O termo Φ(x,y,z,t) satisfaz as mesmas condições de fronteira que Ψ(x,y,z,t):

(0, , , ) 0 ( , , , ) ( , ) ;j ty z t e a y z t f y z ex x

ω∂ ∂Φ = Φ =

∂ ∂ (4.17.a)

( ,0, , ) ( , , , ) 0;x z t x b z ty y

∂ ∂Φ = Φ =

∂ ∂ (4.17.b)

∂ ∂Φ = Φ =

∂ ∂( , ,0, ) ( , , , ) 0.x y t x y c t

z z (4.17.c)

Na função Φ(x,y,z,t), t pode ser considerado um parâmetro porque a análise se restringe a

funções harmónicas no tempo. Assumindo que, para as condições de fronteira (4.17), Φ(x,y,z)

46

satisfaz a equação de Laplace, ∇ =2 ( , , ) 0x y zΦ , a qual é separável, então a sua solução é

dada por Kihlman [3] como

2 2

, 1

( , , , ) 2cosh cos cos ,j t

mn

m n

m n m y n zx y z t A x e

b c b c

ωπ π π π∞

=

Φ = + ∑ (4.18)

onde Amn é uma constante de integração. Introduzindo a equação (4.18) na equação (4.17.a)

para x = a e multiplicando-se ambos os termos da equação resultante pela função ortogonal

( ) ( )* *cos cosm y b n z cπ π , obtém-se, após integração na superfície da parede,

( )=

1 1

2,

sinh

mnmn

CA

bc C C a (4.19)

onde

= +

2 2

1

m nC

b c

π π e Cmn é dado por

0 0

( , )cos cos d d .b c

mn

m y n zC f y z y z

b c

π π =

∫ ∫ (4.20)

Como Φ(x,y,z,t) satisfaz a equação de Laplace, introduzindo a equação (4.16) em (4.14),

obtém-se

∂ ∂∇ − = = −

∂ ∂

2 22 1

2 2 2 20 0

( , , , )1 1 ( , , , )( , , , ) ( , , , ),

x y z t x y z tx y z t x y z t

c t c t

Ψ ΦΨ Χ

1

(4.21)

onde o termo fonte Χ (x,y,z,t) é dado por uma série de funções de forma

2 22j

2, 1 0

2( , , , ) cosh cos cos .tmn

m n

m n m y n zx y z t A x e

b c b cc

ωωΧ

∞

=

π π π π = + ∑ (4.22)

Como definido anteriormente, as condições de fronteira da equação (4.21) são homogéneas e

podem ser escritas como

1 1(0, , , ) ( , , , ) 0y z t a y z tx x

∂ ∂Ψ = Ψ =

∂ ∂

e

(4.23.a)

∂ ∂ ∂ ∂Ψ = Ψ = Ψ = Ψ =

∂ ∂ ∂ ∂1 1 1 1( ,0, , ) ( , , , ) ( , ,0, ) ( , , , ) 0.x z t x b z t x y t x y c ty y z z

(4.23.b)

Portanto, o potencial da velocidade Ψ1(x,y,z,t) pode também ser escrito como uma expansão

de Fourier,

∞

=

= ∑1 1,, , 1

( , , , ) ( , , ) ,j t

lmn lmn

l m n

x y z t A x y z e ωΨ ϕ

(4.24)

47

onde φlmn(x,y,z) são as funções de forma que satisfazem a equação homogénea da onda

sonora,

∂∇ − =

∂

22

2 20

( , , , )1( , , , ) 0.lmn

lmn

x y z tx y z t

c t

ϕϕ (4.25)

Para condições de fronteira análogas à equação (4.23), as funções φlmn(x,y,z) têm a forma, já

apresentada no secção 4.2.2,

=

( , , ) cos cos cos ,lmn

l x m y n zx y z

a b c

π π πϕ (4.26)

sendo as frequências próprias correspondentes dadas pela equação (4.13).

Introduzindo as equações (4.13), (4.24) e (4.26) na equação (4.21) e multiplicando ambos os

lados da equação resultante a função φl*m*n*(x,y,z), obtém-se, após integração volúmica e tendo

em conta pelas condições de ortogonalidade, a solução estacionária de Ψ1(x,y,z,t) [3],

∞

=

=−∑

20

1 2 2, , 1

8 ( , , )( , , , ) ,

( )j tlmn lmn

l m n lmn

c x y zx y z t e

abc

ωΧ ϕΨ

ω ω (4.27)

onde Χlmn é dado por

( )21

2 20

11

( 1) sinh.

12 1

l

lmn mn

bc C aA

c lC

C a

ωΧ

−=

π +

(4.28)

O potencial da velocidade, Ψ(x,y,z,t), que satisfaz a equação (4.14), também pode ser escrito

como uma série de funções de forma, que satisfazem condições de fronteira homogéneas [3].

Logo, as funções de forma e as frequências próprias podem ser dadas pelas equações (4.13) e

(4.26). A equação (4.16) pode ser agora escrita na forma

∞

=

− = ∑ j2, 1

, , 0

( , , ) ( , , , ) ( , , , ).t

lmn lmn

l m n

A x y z e x y z t x y z tωϕ Ψ Φ (4.29)

Introduzindo as equações (4.18), (4.19), (4.27) e (4.28) na equação (4.29) e multiplicando

ambos os lados da equação resultante pela função ortogonal φl*m*n*(x,y,z), obtém-se, após

integração volúmica e tendo em conta as condições de ortogonalidade, a constante

( )−

=−

20

2, 2 2

8 ( 1).

l

mnlmn

lmn

c CA

abc ω ω (4.30)

A solução estacionária de Ψ(x,y,z,t) é então dada por

( )∞

=

−=

−∑

20

2 2, , 1

8 ( 1) ( , , )( , , , ) .

lj tmn lmn

l m n lmn

c C x y zx y z t e

abc

ωϕΨ

ω ω (4.31)

48

O campo de pressões sonoras pode ser calculado, com base na equação (4.8), fazendo

= − Ψ0( , , , ) ( , , , ).p x y z t j x y z tωρ (4.32)

Através das equações (4.31) e (4.32) é possível estabelecer, para uma dada frequência, ω,

uma relação entre o campo de vibração de uma parede e o campo sonoro no interior de um

compartimento. O campo sonoro total é determinado por sobreposição modal.

A solução (4.31) foi desenvolvida para compartimentos sem perdas. No entanto, a solução

também pode ser utilizada para salas com pequenas perdas, através da introdução de

frequências próprias na forma complexa, as quais são dadas por

(1 j 2),lmn lmnω η≈ +ωωωω (4.33)

em que η é o factor de perdas. O factor de perdas pode ser obtido a partir do tempo de

reverberação, TR (s), do compartimento, através de

6ln10 13,8.

lmn R lmn RT Tη

ω ω= ≈ (4.34)

O tempo de reverberação pode ser calculado pela expressão de Sabine

0,161,R

VT

Sα= (4.35)

Onde: V (m3) e S (m2) são, respectivamente, o volume e a área total das superfícies

envolventes da sala; e α é o coeficiente de absorção sonora médio da sala. Este coeficiente é

calculado através do coeficiente de absorção, i

α , do material de cada superfície Si, utilizando-

se a fórmula

1.

n

i i

i

SS

α α= ∑ (4.36)

Para baixas frequências, a absorção sonora das superfícies das paredes e pavimentos

correntes nos edifícios de habitação é pequena [10,8,13]. Por outro lado, nessa gama de

frequências, a variação dos coeficientes de absorção das superfícies numa sala é pequena. A

norma EN12354-6 [N.1] afirma que, desde que os compartimentos tenham geometria regular e

absorção sonora distribuída uniformemente, a equação (4.35) pode ser utilizada para as baixas

frequências, onde a atenuação do ar é muito baixa e a presença de objectos de dimensão

corrente é desprezável (inferior aos comprimentos de onda em análise) [13].

Introduzindo a equação (4.34) em (4.33), obtém-se

6,9 6,91 j j j ,lmn lmn lmn lmn

lmn R RT Tω ω ω δ

ω

≈ + = + = +

ωωωω (4.37)

onde 6,9R

Tδ = representa um coeficiente de absorção temporal.

49

O campo sonoro gerado pela vibração de uma placa, com pequenas perdas, no interior de um

compartimento é dado então pela expressão

( )

∞

=

−= −

+ −

∑2

j00 2 2, , 1

8c ( 1) ( , , )( , , , ) j .

j

ltmn lmn

l m nlmn

C x y zp x y z t e

abc

ωϕωρ

ω δ ω (4.38)

Neste trabalho é analisado apenas o caso em que a parede se encontra simplesmente

apoiada. Neste caso, o parâmetro Cmn é determinado pela introdução, na equação (4.20), do

campo de velocidades vx (y, z) gerado por uma força pontual aplicada em placas homogéneas

simplesmente apoiadas, o qual se relaciona com o campo de acelerações complexas da placa,

dada pela equação (2.27), através de ( , ) ( , ) jx x

v x y a x y ω= . Após integração obtém-se o factor

de acoplamento

( )

1 1

1 1

1 1 1 1

0 0

2 2 2 2 21

1 11 1

( 1) 1 ( 1) 1( , )4j .

'' 11 1

m m n n

m n

mnm n m n

y zFC

m j m nm n

m n

ϕωω η ω

+ +∞

=

− − − − = ⋅ π + −

− −

∑ (4.39)

O campo de pressões sonoras de um compartimento, gerado pela vibração de uma parede, é

obtido pela introdução da equação (4.39) em (4.38).

O modelo analítico apresentado foi experimentalmente validado num estudo desenvolvido por

Neves e Sousa [10]. O método é adequado para o cálculo de campos sonoros em salas

rectangulares com uma das superfícies sujeita a uma força de impacto pontual.

4.4. IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO

Analogamente ao modelo teórico descrito na secção 2.4, o modelo descrito pela equação

(4.38) também é de fácil implementação num programa computacional.

Neste caso, a fase de tratamento de dados divide-se em três partes. A primeira parte determina

os modos de vibração da placa, sendo estes posteriormente contados, ordenados e

armazenados numa matriz, tal como foi descrito na secção 2.4.2. Na segunda parte são

determinados os modos acústicos do compartimento, os quais são posteriormente contados,

ordenados e armazenados numa matriz com a forma [l, m, n, lmn

ω x Nsala], onde Nsala é o

número de modos acústicos do compartimento considerado. Como já foi referido, neste estudo,

são analisadas as frequências compreendidas entre os 18 e os 225Hz. Porém, de acordo com

a equação (4.38), o campo sonoro no compartimento resulta do somatório de contribuições de

cada modo acústico do compartimento e de cada modo de vibração da placa, sendo assim

necessário considerar um intervalo de frequências mais extenso, com uma frequência máxima

de 900 Hz [10].

50

A terceira parte corresponde à resolução da equação (4.38). Esta parte implica a soma de

Nplaca×Nsala parcelas, para cada frequência compreendida entre os 18 Hz e os 225 Hz. Apesar

do número exaustivo de operações, a aplicação do método analítico através de um programa

computacional tem a vantagem de ser bastante rápida.

O código computacional correspondente às três fases de tratamento de trabalhos é

apresentado no Anexo I.

4.5. MODELO NUMÉRICO DO SISTEMA PLACA/CAMPO SONORO – VALIDAÇÃO

Pretende-se avaliar o erro cometido ao modelar, com elementos finitos sólidos com módulo de

elasticidade estimado a partir da impedância acústica do ar, o campo de pressões sonoras

gerado numa sala por uma parede sujeita a uma força de impacto pontual de espectro unitário.

Para tal, foi utilizado o programa SAP2000 [2]. Foi considerado um compartimento de teste de

forma rectangular com 4 m de largura (segundo x), 3 m de altura (segundo y) e 5 m de

comprimento (segundo z).

Considerando os limites de aplicabilidade do MEF indicados na secção 2.2, todo o interior do

compartimento foi modelado com elementos sólidos paralelepípedos com um máximo de 30 cm

de lado. Considerou-se uma temperatura ambiente de 15ºC, com uma humidade relativa de

50%, para a qual o ar apresenta uma densidade volúmica de 1,23 kg�m3 [10]. Nestas condições

o módulo de elasticidade do ar, que é estimado pela expressão ≈ 20 0cE ρ , toma o valor de

1,41×105 Pa. Para o coeficiente de Poisson, ν, foi adoptado o valor de 0,001.

Considera-se que a parede em vibração é idêntica à parede de alvenaria de tijolo cerâmico

furado estudada na secção 3.3.2. A malha da placa foi definida de modo a coincidir com os nós

da malha de elementos sólidos que lhe são complanares.

Figura 4.2 – Modelo numérico do campo sonoro do compartimento.

O amortecimento dos materiais é introduzido no programa pela expressão 2ε η= , onde o

factor de amortecimento η é dado pelas expressões (2.28) e (4.34), respectivamente, para a

parede de alvenaria e para o ar. Para o coeficiente de absorção,α do compartimento foi

51

considerado o valor 0,02 [10]. Por defeito, o programa SAP2000 [2], apenas permite a

introdução de valores constantes na definição do amortecimento de cada material. O

amortecimento em função da frequência é apenas permitido na definição da acção dinâmica,

actuando de igual modo sobre todos os materiais constituintes do modelo. No caso dos

modelos estruturais descritos nos capítulos anteriores, onde se considerava apenas um

material, esta limitação não constituía problema. No caso agora em estudo, com dois materiais

presentes, o problema já se coloca. Optou-se por definir, para cada material, um coeficiente de

amortecimento médio entre as frequências de 18 Hz e 225 Hz. Os valores adoptados estão

indicados na Tabela 4.1.

Tabela 4.1 – Valores adoptados para o coeficiente de amortecimento dos materiais.

Material f [Hz] εεεε εεεεmédio

18 0,133 Alvenaria

225 0,048 0,091

18 0,012 Ar

225 0,001 0,006

A Figura 4.3 mostra a amplitude da função acelerância da parede, obtida, no ponto (y, z) =

(bp�3, cp�3) = (1,67;1,33) m, para um coeficiente de amortecimento constante de 0,091. Verifica-

se que a variação face à aceleração obtida com coeficiente de amortecimento variável em

frequência não é muito significativa. Como esperado, com coeficiente de amortecimento

constante, obtêm-se maiores amplitudes da acelerância nas frequências mais baixas, onde o

valor médio do coeficiente de amortecimento é inferior ao valor indicado pela equação (2.28).

Para frequências mais altas, acontece o contrário.

(1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) (3,2)

1,E-04

1,E-03

1,E-02

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

a/F [m/Ns2]

a1/F1, MEF Amortecimento variável

a1/F1, MEF Amortecimento constante

Modos vibração MEF

Figura 4.3 – Amplitudes das funções de acelerância no ponto de uma placa (y, z) =

(bp�3, cp�3) = (1,67;1,33) m, idêntica à descrita no Capítulo 2, para uma força

de impacto aplicada na coordenada (bp�3, cp�3) = (1,67;1,33) m.

52

A parede em alvenaria tem apenas como condições de fronteira apoios simples em todo o seu

contorno. As paredes e pavimentos rígidos foram modelados através da restrição dos

deslocamentos dos nós, segundo a direcção perpendicular ao plano da fronteira em causa. Os

nós dos elementos sólidos do compartimento são impedidos de rodar segundo as três

direcções.

Na análise modal numérica, foi considerado um número de modos de vibração do sistema

parede e compartimento suficiente para atingir a frequência de 250 Hz.

O campo de pressões sonoras foi determinado considerando a hipótese de o ar, no interior do

compartimento, se comportar como um fluido perfeito, no qual as tensões tangenciais do fluido

em movimento podem ser desprezadas [12]. Portanto, a pressão, p, pode ser relacionada com

o tensor das tensões faciais, σij, pela expressão

,ij ijpσ δ= − (4.40)

onde δij é o símbolo de Kronecker, o qual é unitário para i = j e nulo para i j≠ .

Para cada elemento sólido em movimento, o programa SAP2000 [2] regista o tensor das

tensões faciais em função do tempo. As componentes principais, λ, do tensor das tensões são

calculadas a partir da equação característica λ 0ij ijσ δ− = [12]. As pressões são então

calculadas pela equação (4.40). A pressão total no centro de massa do elemento sólido é dada

pela raiz da soma dos quadrados das pressões, em cada instante. O espectro das pressões é

então obtido por aplicação da Transformada Rápida de Fourier.

Este processo de cálculo é de difícil aplicação e, devido ao tempo que consome, é também

pouco prático para utilização corrente.

Por outro lado, para as dimensões do compartimento atrás referidas, o modelo numérico é

constituído por mais de 3000 elementos, sendo necessário calcular um total de 500 modos de

vibração do sistema parede e compartimento, de modo a atingir a frequência de 250 Hz. Um

computador Intel Pentium Centrino (CPU 1.86 GHz; RAM 1.00 GB) necessita de cerca de cinco

horas para completar a análise modal e dinâmica do problema.

O erro cometido na avaliação do campo de pressões sonoras com o modelo numérico foi

quantificado por comparação com os resultados obtidos com o método analítico de análise

modal descrito pela equação (4.38). Em seguida, são apresentadas as funções de

transferência, obtidas com os dois modelos, entre a força de impacto pontual actuante na

parede, no ponto (bp�3,cp�3) = (1.00,1.67) m, e a pressão sonora num dado ponto (x,y,z) do

compartimento. As Figuras 4.4 a 4.6 mostram as funções de transferência obtidas em três

pontos no compartimento: (x, y, z) = (ac�1.1, bc�3,cc�3) = (3.73,1.00,1.67) m; (x, y, z) =

(ac�14, bc�3,cc�18) = (0.29,1.00,0.28) m e (x, y, z) =(ac�14, bc�2,cc�1.1) = (0.29,1.50,4.72) m. Para

frequências superiores a 100 Hz, os modos acústicos do compartimento surgem com

frequências muito próximas entre si, pelo que a sua representação torna a leitura das figuras

pouco perceptível. Assim, doravante estes modos acústicos não serão representados.

53

2,31,42,22,11,31,21,1

0,031,1,2

2,0,1

0,1,22,0,01,1,1

1,0,2

1,1,0

0,0,2

0,1,11,0,1

0,1,00,0,1 1,0,0

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

p/F [m-2]

p1/F1, MEF p1/F1, eq.(4.38)

Modos Parede, eq.(2.15) Modos C.Sonoro, eq.(4.13)

Média de p1/F1, MEF Média de p1/F1, eq.(4.38)

Figura 4.4 – Amplitudes das funções de transferências entre a força aplicada na parede em

(y0,z0) = (bp�3,cp�3) =(1.00,1.67) m e a pressão sonora no ponto do

compartimento (x,y,z) = (ac�1.1, bc�3,cc�3) = (3.73,1.00;1,67) m.

2,31,42,22,11,31,21,1

0,031,1,2

2,0,1

0,1,22,0,01,1,1

1,0,2

1,1,0

0,0,2

0,1,11,0,1

0,1,00,0,1 1,0,0

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

p/F [m-2]

p2/F1, MEF p2/F1, eq.(4.38)

Modos Parede, eq.(2.15) Modos C.Sonoro,eq.(4.13)

Média p2,F1, MEF Média p2,F1, eq.(4.38)



compartimento (x,y,z) = (ac�14, bc�3,cc�18) = (0.29,1.00,0.28) m.

As Figuras 4.4 a 4.6 mostram que as amplitudes da transmissão sonora de ruído de impacto

obtidas com o modelo numérico estão subestimadas em relação às obtidas com o modelo

analítico. O comportamento da função de transferência obtido pelo método numérico apresenta

algumas semelhanças com a previsão analítica. Porém, a discrepância das amplitudes de

pressão sonora obtidas com os dois modelos é grande, particularmente para frequências

inferiores a 70 Hz, onde o acoplamento, descrito na equação (4.39), entre o modo (1,1) da

parede e o modo (1,0,0) do campo sonoro e entre o modo (1,2) da parede e o modo (1,0,1) do

campo sonoro não é convenientemente descrito pelo modelo numérico. As figuras 4.4 a 4.6

também mostram que, para além dos modos acústicos do campo sonoro identificados

analiticamente, o modelo numérico apresenta ainda outros modos, correspondentes à vibração

54

da parede e à interacção entre a parede e o compartimento. A dispersão da energia por um

número mais elevado de modos de vibração pode ser uma justificação para a menor amplitude

da função de transferência obtida numericamente, cuja média é apresentada nas Figuras 4.4 a

4.6 para comparação com a média da amplitude da função de transferência obtida

analiticamente. Verifica-se que o desfasamento entre as amplitudes médias das funções de

transferência, de cerca de 0,008 m-2 (14 dB), é muito elevado.

2,31,42,22,11,31,21,1

0,031,1,2

2,0,1

0,1,22,0,01,1,1

1,0,2

1,1,0

0,0,2

0,1,11,0,1

0,1,00,0,1 1,0,0

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

p/F [m-2]

p3/F1, MEF p3/F1, eq.(4.38)

Modos Parede, eq.(2.15) Modos C.Sonoro, eq.(4.13)

Média de p3/F1, MEF Média de p3/F1, eq.(4.38)



compartimento (x,y,z) = (ac�14, bc�2,cc�1.1) = (0.29,1.50,4.72) m.

Conclui-se que, como esperado, os resultados obtidos pelo modelo numérico não são

satisfatórios e, portanto, o campo sonoro não pode ser modelado, pelo programa SAP2000 [2],

com elementos finitos sólidos com propriedades mecânicas estimadas a partir da impedância

acústica do ar.

4.6. MODELO ANALÍTICO DO SISTEMA ESCADA / PAREDE / CAMPO SONORO

Nos capítulos anteriores ficou demonstrado que o programa de cálculo automático SAP2000 [2]

é adequado para a modelação do comportamento dinâmico de sistemas estruturais complexos

sujeitos a forças de impacto, como é o caso de escadas encastradas em paredes. No entanto,

este programa não permite a modelação do comportamento acústico de compartimentos, o que

obriga ao recurso a programas que utilizam uma formulação de elementos finitos adequada.

Uma vez que estes programas ainda não estão disponíveis no Departamento de Engenharia

Civil e Arquitectura do IST, a alternativa reside na utilização de modelos analíticos, como o

descrito na secção 4.3.

Este modelo só é válido para compartimentos de forma rectangular, o que, tendo em conta a

geometria mais comum dos compartimentos de habitação, não constitui uma desvantagem

importante. Mais limitativo é o facto de o campo de velocidades da parede em vibração,

responsável pela geração do campo sonoro, ter de ser também modelada analiticamente. No

55

caso da excitação directa de paredes, com condições de fronteira clássicas, não é difícil

calcular o campo de vibração de forma analítica. No entanto, para sistemas estruturais

complexos, como o da escada encastrada na parede, a modelação analítica é apenas

aproximada.

Considerando os modelos analíticos do sistema escada/parede descrito no Capítulo 3, existem

duas possibilidades de modelação analítica do campo sonoro no compartimento adjacente à

escada, as quais se esquematizam na Figura 4.7.

Modelo numérico do sistema escada/parede

de referência.

Modelo analítico de uma parede, equivalente ao

sistema escada/parede de referência, sujeita a uma

força de impacto pontual.

Modelo analítico da parede de referência

sujeita a um conjunto de binários equivalentes

à acção da escada

Modelo analítico do campo sonoro de um

compartimento gerado pela parede em vibração por

acção da força pontual actuante na escada.

Figura 4.7 – Esquema ilustrativo das vias de modelação analítica do campo sonoro gerado,

num compartimento, por uma força de impacto pontual aplicada numa escada

adjacente.

Uma das vias de modelação analítica do campo sonoro considera o modelo, descrito na

secção 3.6.1, da parede de alvenaria sujeita a um conjunto de binários equivalentes às forças e

momentos flectores na ligação entre a escada e a parede, o qual subestima as frequências

naturais do sistema escada/parede.

56

A segunda via de modelação analítica do campo sonoro considera a utilização do modelo,

descrito na secção 3.6.2, de uma parede equivalente sujeita a uma força de impacto pontual

com o qual se obtêm frequências próprias mais próximas das indicadas pelo sistema numérico

escada/parede. Esta condição é essencial para uma caracterização correcta do acoplamento

entre o campo de vibração da parede e o campo acústico do compartimento.

As Figuras 4.9 a 4.11 mostram as funções de transferência entre a força de impacto e o campo

sonoro gerado no comportamento, obtidas pelas duas vias, para os pontos indicados na

Figura 4.8.

Figura 4.8 – Identificação de pontos de verificação de funções de transferência em força de

impacto e pressão sonora: p1 - (ac�1.1, bc�3,cc�3) = (3,73; 1,00; 1,67) m,

p2 - (ac�14, bc�3,cc�18) = (0,29; 1,00; 0,28) m, p3 - = (ac�14, bc�2,cc�1.1) =

(0,29; 1,50; 4,72) m.

A proximidade dos pontos de avaliação do campo sonoro aos cantos do compartimento visa a

obtenção de campos sonoros em que a maioria dos modos acústicos é excitada [10]. Por outro

lado, essas posições são aquelas que, com maior probabilidade, correspondem à localização

dos ouvidos de uma pessoa sentada num sofá, ou deitada numa cama.

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

0,03

1,1,2

2,0,1

0,1,2

2,0,01,1,1

1,0,2

1,1,0

0,0,2

0,1,11,0,1

0,1,00,0,1 1,0,0

(1,2)(1,1)

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

p/F [m-2]

Modelo Parede - Binários Modelo Parede Equivalente

Modos de Vibração da Par. - Binários Modos do Campo Sonoro, eq.(4.38)Modos de Vibração da Par. Equivalente

Figura 4.9 – Amplitudes das funções de transferência entre a força aplicada na escada em

(y, z) = (be�3, ce�3) = (0.33, 1.94) m e a pressão sonora no ponto do

compartimento (x ,y, z) = (ac�1.1, bc�3,cc�3) = (3.73, 1.00, 1.67) m.

57

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

0,03

1,1,2

2,0,1

0,1,2

2,0,01,1,1

1,0,2

1,1,0

0,0,2

0,1,11,0,1

0,1,00,0,1 1,0,0

(1,2)(1,1)

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

p/F [m-2]

Modelo Parede - Binários Modelo Parede EquivalenteModos de Vibração da Par. - Binários Modos do CampoSonoro, eq.(4.13)Modos de Vibração da Par. Equivalente



compartimento (x, y, z) = (ac�14, bc�3,cc�18) = (0.29, 1.00, 0.28) m.

(2,3)(1,4)(2,2)(2,1)(1,3)(1,2)(1,1)

0,03

1,1,2

2,0,1

0,1,2

2,0,01,1,1

1,0,2

1,1,0

0,0,2

0,1,11,0,1

0,1,00,0,1 1,0,0

(1,2)(1,1)

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

p/F [m-2]

Modelo Parede - Binários Modelo Parede EquivalenteModos de Vibração da Par. - Binários Modos do C.Sonoro, eq.(4.13)Modos de vibração Par. Equivalente



compartimento (x, y, z) = (ac�14, bc�2,cc�1.1) = (0.29, 1.50, 4.72) m.

As Figuras 4.9 a 4.11 mostram que, embora o campo de vibração da parede seja diferente para

cada modelo analítico (Figuras 3.25 a 3.27), as funções de transferência obtidas apresentam

um comportamento semelhante para frequências entre os 70 Hz e 170 Hz. Este fenómeno

pode ser explicado pelo facto de, para baixas frequências, o campo sonoro dos

compartimentos ser essencialmente controlado pelos modos acústicos [10].

Para frequências fora do intervalo 70 – 170 Hz, o modelo da parede equivalente prevê, em

geral, pressões sonoras mais baixas do que o modelo que utiliza binários equivalentes para

representar a acção da escada em vibração. Este comportamento já era esperado porque,

nesta gama de frequências, o modelo da parede equivalente prevê um campo de acelerações

58

com amplitudes inferiores ao campo de aceleração previsto pelo modelo em que a acção da

escada é representado por binários aplicados na parede (Figuras 3.25 a 3.27).

Para frequências entre 70 Hz e 170 Hz, as funções acelerância obtidas com os dois modelos

analíticos são semelhantes e, portanto, os campos de sonoros gerados no compartimento são,

em geral, semelhantes. Exceptua-se o caso da frequência correspondente ao modo acústico

(1,1,2) que, no modelo da parede equivalente, é cancelado devido à proximidade da frequência

própria do modo (1,1) da parede.

4.7. CONCLUSÕES

Neste capítulo foi descrita a modelação analítica do campo sonoro gerado por uma força de

impacto aplicada numa das paredes do compartimento, o qual foi validado experimentalmente

em estudos anteriores [10]. Através deste modelo analítico foi possível quantificar o erro

cometido na modelação de campos sonoros de compartimentos com recurso a elementos

finitos sólidos. O modelo de elementos finitos subestima significativamente as funções de

transferência entre a força de impacto e a pressão sonora, pelo que não pode ser utilizado para

a modelação de campos sonoros de compartimentos.

Em alternativa, o campo sonoro de um compartimento gerado por uma força de impacto

aplicada numa escada adjacente a uma das paredes, pode ser calculado analiticamente com

base nas duas aproximações, também analíticas, do campo de vibração do sistema

escada/parede, descritas no Capítulo 3.

Conclui-se que o modelo da parede sujeita à acção de um conjunto de forças equivalentes à

acção da escada fornece maiores amplitudes de pressão sonora nas frequências mais baixas,

o que se deve ao facto de este modelo subestimar as frequências próprias da sistema

escada/parede.

O modelo analítico da parede equivalente, além de ter aplicação mais simples, permite modelar

com maior aproximação o efeito de acoplamento entre o campo de vibração do sistema

escada/parede e o campo sonoro. No entanto, como salientado na secção 3.7, uma vez que o

grau de aproximação do campo de vibração não é o mesmo para todos os pontos da parede,

também as estimativas do campo sonoro poderão ser menos aproximadas para determinados

pontos de aplicação da força (Figura 3.27).

59

4.8. REFERÊNCIAS

[1] ABAQUS - http://www.simulia.com/products/structural_acoustics.html;

[2] Computers and Structures Inc. – Analysis Reference Manual for SAP2000 ADVANCED v.10.0.7,

Berkeley, California, EUA, 2005;

[3] Kihlman, T. – Sound radiation into a rectangular room. Application to airborne sound

transmission in buildings, Acustica, Vol.18 (11), pp. 11-20, 1967;

[4] Kihlman, T.; Kropp, W.; Pietrzyk, A. – Sound insulation at low frequencies, ISBN: 91-540-5685-3;

[5] Kinsler, L.E.; Frey, A.R.; Coppens, A.B.; Sanders, J.V. – Fundamentals of acoustics – 4ª Edição,

Jonh Wiley & Sons, Carolina do Norte, EUA, 2000;

[6] Kreyszig, E. – Advanced engineering mathematics – 8ªEdição, John Wiley & Sons, Nova Iorque,

EUA, 1999;

[7] Kuttruff, H. – Room Acoustic, Elsevier Applied Science, Nova Iorque, EUA, 1991;



[9] Munson, B.; Young, D.; Okiishi, T. – Fundamentals of fluid machanics – 2ª Edição, John Wiley &

Sons, Nova Iorque, EUA, 1994;

[10] Neves e Sousa, A. – Low frequency Impact Sound Transmission in Dwellings, Tese de


[11] SYSNOISE Manual – Revesion 5.5. LMS International, Leuven, Bélgica, 2000;

[12] Tovar de Lemos, A. F. – Mecânica dos Meios Contínuos, Lisboa;

[13] Vieira de Melo, G. – Measurement and prediction of sound absorption of room surfaces and

contents at low frequencies, Tese de Doutoramento, Universidade Federal de Santa Catarina,

Florianópolis, Brazil;

[N.1] EN ISO 12354 – 6: Building acoustics – Estimation of acoustic performance of building from the

performance of elements – Part 6: Sound absorption in enclosed spaces, Comité Europeu de

Normalização, Bruxelas, Bélgica, 2003.

61

5. CAMPO SONORO GERADO POR MOVIMENTO HUMANO EM

ESCADAS

5.1. INTRODUÇÃO

Nos capítulos anteriores foi analisado o caso genérico dos campos de vibração induzidos em

escadas por uma força de impacto unitária e dos correspondentes campos sonoros nos

compartimentos adjacentes. Neste capítulo pretende-se avaliar o campo sonoro nos mesmos

compartimentos, mas agora para uma acção de impacto equivalente à acção humana na

escada.

As forças dinâmicas induzidas pela acção humana podem ser divididas em forças periódicas e

em forças não periódicas [1]. Na categoria das forças periódicas, que se repetem em intervalos

de tempo regulares (período), estão inseridas as actividades ritmadas, como é o caso da

locomoção em passo normal, em passo de corrida ou em pequenos saltos, entre outras. As

forças não periódicas também dependem do tempo, mas não apresentam nem repetição

periódica nem duração fixa. O impacto de um pé num pavimento após um salto de grande

altura ou o impacto de um ombro numa parede são exemplos de acções que induzem forças

não periódicas. No presente estudo serão analisadas apenas as acções periódicas mais

correntes em zonas de circulação comum de edifícios de habitação, tais como a locomoção em

passo normal ou em passo de corrida e os pequenos saltos.

Para a previsão do campo sonoro do compartimento, serão aplicados os modelos analíticos

descritos nos Capítulos 3 e 4.

5.2. ACÇÃO DINÂMICA INDUZIDA PELA CIRCULAÇÃO HUMANA EM ESCADAS E

PAVIMENTOS

5.2.1. Caracterização Geral

Ao caminhar ou correr, um indivíduo induz uma acção dinâmica sobre o pavimento, a qual

pode ser caracterizada pela frequência do movimento, velocidade da marcha e pela variação

da força ao longo do tempo.

A frequência do movimento fs (Hz) caracteriza, através do número de passos por segundo, o

tipo de acção humana. A frequência da locomoção em passo normal numa superfície horizontal

assume valores entre os 1,5 e 2,1 Hz [1, 4], enquanto que, para uma corrida em ritmo lento a

frequência do movimento sobe para cerca de 2,5 Hz [1].

A velocidade da marcha, vs (m�s), depende do comprimento do passo, ls (m), e da frequência do

movimento. Para a mesma velocidade de marcha, dois indivíduos com comprimentos de perna

diferentes e portanto, com comprimentos de passo distintos, conduzem a diferentes números

62

médios de passos por segundo. A Figura 5.1, deduzida por estudos anteriores [1], ilustra a

correlação entre estes três parâmetros.

Figura 5.1 – Correlação entre a frequência do movimento, fs, a velocidade de marcha, vs, e

o comprimento do passo, ls, [1].

O terceiro parâmetro de caracterização da acção dinâmica é a variação da força ao longo do

tempo. Quando um indivíduo caminha ou corre sobre um pavimento exerce uma força dinâmica

que se pode decompor em três componentes: uma vertical e duas horizontais (direcções

longitudinal e transversal). Tais forças dinâmicas são definidas em função do tempo e

dependem essencialmente dos seguintes parâmetros: frequência do movimento, forma

ergonómica do pé, peso e sexo da pessoa; tipo de calçado e características da superfície do

pavimento. Dada a sua complexidade, a caracterização das forças dinâmicas será efectuada

de uma forma mais detalhada nas secções seguintes.

5.2.2. Força Dinâmica Vertical

A força dinâmica vertical pedestre foi caracterizada em vários estudos [1, 4, 5].

A Figura 5.2, obtida por Kerr et al. [4], para um indivíduo do sexo masculino a caminhar sobre

uma plataforma horizontal rígida, com uma frequência de movimento de 1.9 Hz, mostra a

variação da força vertical (normalizada pelo peso estático do indivíduo) ao longo da duração de

um único passo.

O primeiro pico reflecte o peso estático do indivíduo e a componente inercial no instante do

contacto com o pavimento. O segundo pico ocorre no período em que o indivíduo empurra o

pavimento com os dedos do pé. No período entre picos, em que o indivíduo dobra o joelho,

balança a perna oposta e transfere o peso do corpo para o outro pé, observa-se um patamar

com valores de força próximos do peso estático do indivíduo.

63

Figura 5.2 – Sinal no tempo da força dinâmica exercida por um único passo em locomoção

normal [4].

Analisando agora a variação da força vertical ao longo de passos consecutivos, verifica-se que

a força dinâmica é, de facto, contínua e periódica. Durante a locomoção, um dos pés está

sempre em contacto com o pavimento, existindo um pequeno intervalo de tempo onde ambos

os pés estão em contacto com o pavimento. Segundo Kerr et al. [4], é possível admitir que o pé

esquerdo e o direito induzem a mesma variação temporal da força dinâmica. Desta forma, a

força dinâmica vertical induzida por um indivíduo em locomoção, exibe uma sobreposição

parcial dos sinais obtidos para um único passo. A duração desta sobreposição é cerca de 30%

da duração total de um passo único. A Figura 5.3 ilustra o sinal temporal da força dinâmica

vertical induzida por passos consecutivos de um indivíduo em locomoção.

Figura 5.3 – Sinal no tempo da força dinâmica induzida por um indivíduo em locomoção

lenta [4].

Em passo de corrida, o contacto dos pés com o pavimento é interrompido no instante em que o

corpo da pessoa se encontra suspenso no ar. Quanto maior for a frequência do movimento

menor será a razão entre a duração do contacto e a duração da interrupção [1].

A Figura 5.4 mostra os sinais no tempo obtidos por Bachmann et al. [1] para a força dinâmica

vertical, exercida por um indivíduo com 1100 N de peso, sobre uma placa horizontal, para

diferentes velocidades de locomoção. Com o aumento da frequência de movimento, o sinal no

tempo da força dinâmica vertical descrito por Kerr et al. [4] para locomoção em passo normal

desenvolve-se para um sinal com um único pico. Verifica-se ainda que na locomoção em passo

64

lento ou normal, a força máxima excede pouco o peso estático do indivíduo. Porém, com o

aumento da frequência do movimento, a força máxima vai aumentando, atingindo valores

máximos de cerca de três vezes o peso estático do indivíduo para a corrida rápida (em

aceleração).

Figura 5.4 – Variação do sinal da força dinâmica, com a frequência do movimento, induzida

por uma pessoa em movimento [1].

Por outro lado, o tempo de actuação da força dinâmica, que corresponde ao tempo de contacto

do pé com o pavimento, diminui com o aumento da velocidade de locomoção. O ábaco da

Figura 5.5 mostra a relação entre a amplitude máxima da força e a duração de contacto.

Figura 5.5 – Relação entre a amplitude máxima e o tempo de contacto da acção

dinâmica [1].

Um outro trabalho, desenvolvido por Shi et al. [5], analisa o modo como a acção dinâmica é

influenciada pelo tipo de passo, tipo de calçado e o peso do indivíduo. Este estudo considera o

movimento de indivíduos do sexo feminino e masculino com massas entre os 20 e os 90 kg.

Foram analisados sapatos com sola de borracha e sapatos de salto alto de senhora. Os

valores máximos registados para a força de impacto induzida por locomoção em passo normal,

65

em passo de corrida ou em pequenos saltos, aumentam linearmente com a massa do indivíduo

(Figura 5.6). Por outro lado, a variação da massa apresenta uma influência muito pequena na

duração do contacto, registando-se um aumento de apenas 80 ms para uma variação de 70 kg.

Conclui-se ainda que o uso de diferentes tipos de calçado tem influência desprezável nos

valores máximos da força dinâmica.

Fmáx = 5,4 m + 64,1

Fmáx = 58,8 m + 21,6

10

100

1000

10000

10 100

Massa [kg]

Fmáxima [N]

Sapatos com sola de borracha Sapatos de saltos altos

Locomoção em passo normal Saltos

Figura 5.6 – Variação da força dinâmica máxima com a massa do indivíduo, para a

locomoção em passo normal e para saltos.

A influência do tipo de calçado e do tipo de pavimento foi também considerada por Bachmann

et al. [1] num estudo onde são analisados os casos de uma pessoa em locomoção lenta,

calçada com sapatos ou com meias, sobre pavimentos rígidos e flexíveis. Mais uma vez, os

resultados mostram que estes parâmetros são pouco importantes quando comparados com a

frequência de movimento.

Estes estudos vêm reforçar a ideia de que a acção dinâmica é, basicamente influenciada pelo

tipo de movimento, humano e pelo peso do indivíduo.

Modelação analítica da força dinâmica vertical induzida por locomoção em passo normal

A força dinâmica vertical, F(t), induzida por um indivíduo a caminhar sobre um pavimento

pesado é do tipo periódico e pode ser definida analiticamente por séries de Fourier através da

expressão

[ ]= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −1 2 2 3 3( ) 1 sen(2 ) sen(4 ) sen(6 ) ,s s sF t G f t f t f tα π α π φ α π φ (5.1)

onde: G (N) é o peso estático do indivíduo; αi é o coeficiente de amplitude de cada uma das

três componentes harmónicas consideradas; e φi é o ângulo de desfasamento correspondente

a cada harmónica [1, 2, 4].

Segundo Bachmann et al. [1], o coeficiente α1 situa-se entre 0,4, para fs = 2,0 Hz, e 0,5, para

fs = 2,4 Hz, com interpolação linear para frequências intermédias. Para os coeficientes de

66

amplitude da segunda e terceira componentes harmónicas, Bachmann et al. [1] sugerem

α = 0,1, para fs = 2,0 Hz. Os ângulos de desfasamento, φi, dependem de vários parâmetros.

Contudo, a acção induzida pela locomoção humana é controlada essencialmente pela primeira

componente harmónica, pelo que, para efeitos de cálculo, o valor de φi não é relevante [1, 4].

Ainda assim, Bachmann et al. [1] sugerem que φ2= φ3=π�2.

Um outro estudo [4] expressa o coeficiente de amplitude da primeira componente harmónica

por três funções polinomiais da frequência do movimento (Figura 5.7). De acordo com este

estudo, os coeficientes de amplitude da segunda componente harmónica encontram-se entre

0,04 e 0,07, enquanto que os da terceira componente harmónica são 0,03.

3 21

3 21

3 21

) 0,35 1,74 2,32 1,00

) 0,18 0,90 1,20 0,52

) 0,27 1,32 1,76 0,76

a f f f

b f f f

c f f f

α

α

α

= − + − +

= − + − +

= − + − +

Figura 5.7 – Funções polinomiais de terceiro grau para definição do coeficiente de

amplitude da primeira componente harmónica, onde as equações a) e b)

correspondem aos limites superior e inferior, respectivamente.

A Tabela 5.1 apresenta uma compilação dos parâmetros adoptados para a definição da acção

dinâmica vertical induzida por um indivíduo a caminhar.

Tabela 5.1 – Amplitude harmónica, αi, e o ângulo de desfasamento, φi utilizados por vários

autores para a caracterização da acção caminhar

Harmónica de ordem i Estudo

Parâmetro 1 2 3 fs [Hz]

αi 0,40 0,10 0,10 Bachmann, H.; Ammann, W. [1]

φi 0 π/2 π/2 2,00

αi 0,40 0,20 0,06 Camposinhos, R.; et al. [2]

φi 0 0 0 2,00

αi 0,35 0,06 0,03 Kerr, S.C.; Bishop. N.W.M. [4]

φi 0 0 0 1,95

Modelação analítica da força dinâmica vertical induzida por locomoção em passo de corrida e

por pequenos saltos

A acção dinâmica induzida por um indivíduo em corrida é periódica e apresenta um sinal no

tempo com um único pico (Figura 5.4). Matematicamente, este tipo de sinais podem ser

expressos por

67

( ) ≤=

< ≤

sin( ) ,

0

p p p

p

p p

k G t t t tF t

t t T

π (5.2)

onde: kp = Fp,máx�G é o factor de impacto dinâmico fornecido pelo ábaco da Figura 5.8 em

função de tp � Tp; Fp,máx é a força dinâmica de pico; tp é a duração de contacto; e Tp = 1�fs é o

período do passo [1].

Figura 5.8 – Sinal no tempo da acção vertical induzida por um indivíduo a correr (Figura a))

e relação tp � Tp em função do factor de impacto kp (Figura b)) [1].

De acordo com Bachmann et al., a força dinâmica vertical produzida por um indivíduo a correr

pode também ser definida em série de Fourier através da expressão

0

( ) 1 cos(2 ,2

kp

p i

i

tF t G if t

iα π

=

= ⋅ + −

∑ (5.3)

onde i é o número de componentes harmónicas e αi, são dados em função da razão tp � Tp pela

Figura 5.9.

Figura 5.9 – Coeficientes de amplitude das componentes harmónicas para locomoção

humana em passo de corrida [1].

Segundo Živanović et al. [7], a expressão (5.1) pode ser utilizada para a caracterização da

acção vertical induzida por um indivíduo a correr. A Tabela 5.2 apresenta os parâmetros

68

sugeridos por vários autores para a caracterização da força dinâmica vertical induzida pela

locomoção humana em passo de corrida.

Tabela 5.2 – Coeficientes de amplitude das componentes harmónicas, αi, utilizados na

caracterização da força dinâmica vertical para corrida humana.

Harmónica de ordem i Valores de αi apresentados por

1 2 3 fs [Hz] tp [s]

Bachmann, H.; Ammann, W. [1] 1,35 0,35 0,15 3,00 0,19

Zivanovi´c, S; e [7] 1,60 0,70 0,20 3,00 -

Camposinhos, R.; et al. [2] 1,40 0,40 0,10 3,00 -

O sinal no tempo da força dinâmica exercida por saltos sobre o pavimento pode ser também

definido pela equação (5.1). Segundo Živanović et al. [7], a frequência do movimento é de

2,0 Hz e os valores a adoptar para os coeficientes de amplitudes das componentes harmónicas

são os indicados na Tabela 5.3.

Tabela 5.3 – Coeficientes de amplitude das componentes harmónicas, αi utilizados para

saltos sobre o pavimento.


1 2 3 fs [Hz]

Zivanovi´c, S. et al. [7] 1,60 a 1,80 0,85 a 1,30 0,25 a 0,70 2,00

Modelação analítica da força dinâmica vertical induzida e subir ou descer escadas

Um trabalho desenvolvido por Kerr et al. [4] caracteriza a acção vertical induzida por um

indivíduo a subir e a descer uma escada. A Figura 5.10 mostra o sinal no tempo da força

vertical, normalizada pelo peso próprio do indivíduo, exercida pelo indivíduo ao subir um

degrau de uma escada. A curva designada por “subida lenta” é caracterizada por um

movimento em que o indivíduo coloca primeiro uma parte do pé, utilizando posteriormente os

dedos para impulsionar o corpo para cima. A curva designada por “subida rápida” caracteriza

um movimento em que o indivíduo utiliza apenas os dedos dos pés. Analogamente ao caso de

um pavimento horizontal, no caso de uma escada, os sinais no tempo da força dinâmica

vertical apresentam uma forma de sela (com dois picos) que progride para um único pico com o

aumento da frequência de movimento. Os resultados indicam que a frequência mais comum

para o movimento de subida numa escada em ritmo lento é de 2,0 Hz. No caso da subida

rápida a frequência sobe para 3,3 Hz.

Na Figura 5.11 são apresentados os sinais no tempo da força dinâmica vertical exercida por

um indivíduo a descer um degrau de uma escada em ritmo lento e rápido. Tal como na subida

da escada os ensaios mostram que a frequência do movimento mais comum é,

aproximadamente, de 2,0 Hz na descida lenta e de 4,3 Hz na descida rápida. Observa-se

também que, com o aumento da frequência do movimento, o sinal passa a apresentar um

único pico. A força exercida na descida de escadas apresenta picos mais acentuados devido à

forma como é aplicada a carga. Ao descer, o pé é colocado de uma forma rápida, sendo

69

também retirado rapidamente quando o corpo transfere o peso para a outra perna. Portanto, o

tempo de contacto é menor do que no movimento ascendente, o que, para o mesmo impulso,

aumenta a intensidade da força.

Figura 5.10 – Sinal no tempo da acção vertical exercida por um indivíduo a subir umas

escadas [4].

Figura 5.11 – Sinal no tempo da acção vertical exercida por um indivíduo a descer umas

escadas [4].

A força dinâmica vertical induzida por um indivíduo a subir ou a descer escadas também pode

ser modelada pela expressão (5.1). Neste caso, os coeficientes de amplitude das componentes

harmónicas, apresentados na Tabela 5.4, são substancialmente mais elevados do que os

utilizados para o caso de um pavimento horizontal [2]. Kerr et al. [4] referem ainda que, para

movimentos em ritmo lento, as magnitudes das componentes harmónicas de terceira ordem

têm uma contribuição significativa, representada por um coeficiente α3 = 0,08. Para a subida ou

descida rápida de escadas, verifica-se que os coeficientes de amplitude das componentes

harmónicas são inferiores aos apresentados para o pavimento horizontal na Tabela 5.2.

Verifica-se ainda que as magnitudes das componentes harmónicas de terceira ordem têm uma

contribuição menos significativa do que na subida ou descida lenta.

Subida em corrida 3.5Hz

Subida em passo normal 1.6Hz

Descida em corrida 4.3Hz

Descida em passo normal 1.6Hz

Misto 2.6Hz

Misto 2.8Hz

70

Tabela 5.4 – Coeficientes da amplitude das componentes harmónicas, αi, utilizados na

caracterização da subida e descida de escadas.


1 2 3

fs [Hz]

Subida lenta 0,43 0,17 0,08 2,00

Descida lenta 0,60 0,23 0,08 1,85

Subida rápida 0,95 0,10 0,05 3,30 Kerr, S.C.; Bishop. N.W.M. [4]

Descida rápida 0,90 0,15 0,06 4,30

5.2.3. Sinal no Tempo da Força Dinâmica Horizontal

Como referido em 5.2.1, além da componente vertical, a força dinâmica induzida por um

indivíduo em movimento é ainda composta por duas componentes horizontais, uma transversal

e outra longitudinal, cujas intensidades são muito inferiores à da componente vertical. A Figura

5.12 mostra o resultado de um estudo [1] onde são comparadas as três componentes da acção

dinâmica induzida por um indivíduo, com um peso estático de 587 N, em movimento lento

(fs = 2 Hz).

Figura 5.12 – Sinal no tempo das componentes da força dinâmica induzida por um indivíduo

em movimento lento [1,7].

Na Figura 5.13 são apresentados os valores ∆G das amplitudes das componentes harmónicas

da força dinâmica.

Os resultados mostram que as amplitudes ∆G das componentes harmónicas na direcção

transversal e longitudinal têm uma contribuição muito pouco significativa para a acção total,

podendo portanto ser desprezadas. Adicionalmente, deve ser tido em conta o facto de, em

pavimentos, a radiação sonora acontecer principalmente por vibração vertical do pavimento.

71

Figura 5.13 – Amplitudes ∆G das componentes harmónicas da força dinâmica na direcção

a) vertical; b) transversal; e c) longitudinal [1].

Assim, na situação corrente da locomoção sobre pavimentos, as componentes horizontais da

força dinâmica provocam apenas radiação dos elementos de apoio do pavimento, observando-

se então uma perda na transmissão de vibração entre elementos que deve ser somada a um

valor já reduzido da amplitude de vibração. No caso das escadas o problema não é tão simples

porque a vibração horizontal das escadas excita directamente as paredes adjacentes, as quais,

por sua vez, radiam ruído para os compartimentos. No entanto, tendo em conta que a

amplitude de vibração horizontal da escada é pequena quando comparada com a amplitude de

vibração vertical e que existe ainda uma perda de transmissão de vibração na ligação

escada/parede, é possível continuar a afirmar que as componentes horizontais da força

dinâmica induzida pelo movimento humano em escadas podem ser desprezadas.

5.2.4. Influência do Número de Pessoas

Anteriormente foi definida a acção dinâmica induzida em pavimentos por uma única pessoa em

movimento lento, com frequências entre 1,7 e 2,1 Hz. Para um maior número de pessoas, a

área de circulação individual diminui, tornando difícil o natural sincronismo do movimento. Um

indivíduo isolado pode movimentar-se com frequências até 3,5 Hz, enquanto que um conjunto

de pessoas só consegue movimentar-se a ritmos mais baixos, entre os 1,5 e 2,8 Hz [2].

Portanto, o aumento do número de pessoas diminui a frequência do movimento e modifica

também os coeficientes de amplitude das componentes harmónicas, αi, apresentados na

Tabela 5.1. De acordo com Bachmann et al. [1], a taxa de ocupação do pavimento, assumindo

que os indivíduos se deslocam em marcha lenta, será da ordem dos 1,6 a 1,8 pessoas�m2,

apontando-se, no entanto, para um valor mais realista de 1,0 pessoa�m2.

Estruturalmente, o número de pessoas pode ser um parâmetro condicionante, principalmente

em estruturas muitos flexíveis, com frequências fundamentais próximas da acção dinâmica

humana. Nestes casos, a resposta da estrutura é constituída pela sobreposição dos campos de

vibração devidos a cada indivíduo, podendo resultar elevadas amplitudes totais de vibração.

Nesta dissertação, o caso de estudo incide sobre escadas e paredes rígidas, ou seja,

216N=37% do peso

72

frequências fundamentais bastante mais altas que a acção dinâmica humana, pelo que este

problema não se coloca. Por outro lado, num edifício habitacional, a não ser em situações de

emergência, as escadas não devem apresentar grande afluência de pessoas. A este respeito,

convém salientar que, para uma taxa de ocupação máxima de 1,0 pessoa�m2, referido numa

escada com 1,0 m de largura poderiam circular em simultâneo não mais de uma pessoa por

metro de desenvolvimento linear da escada. Assim, em lanços de escada de dimensões

correntes poderão circular em simultâneo 2 a 3 pessoas.

5.2.5. Espectros típicos da força dinâmica induzida em pavimentos e escadas pela

circulação humana

Na Figura 5.14 são apresentados os espectros típicos da força dinâmica vertical induzida em

pavimentos e escadas pelo movimento de um indivíduo de 80 kg de massa. Os espectros

foram obtidos pela aplicação da Transformada Rápida de Fourier.

F = 116,37 f -1,0228

F = 49,41 f -1,0076

F = 8,17 f -1,0211

F= 1957,00 f -2,0508

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

10 100 1000

f [Hz]

F [N] Circulação rápida numa Escada Circulação lenta numa Escada

Circulação lenta sobre Pavimento Circulação rápida e Salto sobre Pavimento

Figura 5.14 – Espectros da força dinâmica vertical induzidos por vários tipos de movimento

humano sobre pavimentos e escadas.

Na secção seguinte será analisado um caso de estudo, onde será estimado o campo sonoro

num compartimento adjacente a uma escada sujeita ao movimento de um indivíduo. Os

espectros de pressão sonora serão calculados para os espectros da acção apresentados na

Figura 5.14 para o movimento humano em escadas, os quais podem ser descritos pelas

expressões seguintes

⋅ -1,0076( ) = 49,41 ;F f f (5.4)

-1,0228( ) = 116,37 .F f f⋅ (5.5)

A expressão (5.4) descreve a subida e descida lenta de escadas e a expressão (5.5) descreve

a subida e descida rápida de escadas.

73

5.3. CASO DE ESTUDO

O objectivo deste trabalho é avaliar o ruído gerado, no interior de um compartimento, por

circulação de indivíduos numa escada adjacente a uma das paredes.

No Capítulo 4, foram desenvolvidos dois modelos analíticos do campo sonoro gerado em

compartimentos por uma força de impacto pontual aplicada sobre uma escada adjacente a uma

das paredes do compartimento. A acção dinâmica induzida pela circulação de pessoas foi

definida na secção anterior (ver Figura 5.14). Considerou-se que as forças dinâmicas actuam

apenas num dado ponto da escada na coordenadas (be �3,ce�3) = (0,33;1,94) m. O sistema

estrutural escada/parede e o compartimento apresentam características semelhantes às

descritas ao longo deste trabalho.

Os espectros de nível sonoro no interior do compartimento podem ser determinados com

relativa facilidade, sendo apenas necessário multiplicar o campo sonoro obtido para uma força

de espectro unitário pelo espectro da força dinâmica vertical exercida por um indivíduo em

movimento numa escada.

Nas Figuras 5.15 a 5.17 são apresentadas as envolventes dos espectros de nível sonoro

obtidos, para movimento lento e rápido, com o modelo analítico de parede equivalente e com o

modelo analítico da parede sujeita a uma série de binários equivalentes à acção da escada,

para os pontos do compartimento indicados na Figura 4.9.

0

10

20

30

40

50

60

70

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]

Lp [dB] Mov. lento e rápido, Par. Binários Mov. lento e rápido, Par. Equivalente

Figura 5.15 – Espectros do nível sonoro no ponto do compartimento (ac�1.1, bc�3, cc�3) =

(3.73, 1.00, 1.67) m para a força dinâmica humana aplicada na escada em

(be�3, ce�3) = (0.33, 1.94) m.

As figuras 5.15 a 5.17 são, como se esperava, idênticas às Figuras 4.9 a 4.11 multiplicadas,

em cada frequência, pelas expressões (5.4) e (5.5). Constata-se que o nível de pressão sonora

não sofre variações significativas derivadas à mudança de ritmo e velocidade do movimento

dos indivíduos.

74

0

10

20

30

40

50

60

70

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]


Figura 5.16 – Espectros do nível sonoro no ponto do compartimento (ac�14, bc�3, cc�18) =


(be�3, ce�3) = (0.33, 1.94) m.

0

10

20

30

40

50

60

70

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

f [Hz]


Figura 5.17 – Espectros do nível sonoro no ponto do compartimento (ac�14, bc�2, cc�1.1) =


(be�3, ce�3) = (0.33, 1.94) m.

Constata-se também que, para a escada de betão armado e parede de alvenaria consideradas

no caso de estudo, o nível sonoro de impacto máximo é sempre inferior a 60 dB, o que, para

frequências abaixo de 90 Hz, não traduz incómodo [6].

75

5.4. CONCLUSÕES

Neste capítulo foi estimada a pressão sonora gerada, no interior de um compartimento

habitacional, pela circulação de pessoas numa escada adjacente a uma das suas paredes. A

Figura 5.14 mostra que as maiores amplitudes da força dinâmica vertical são obtidas para a

subida e descida rápida, sendo, portanto, esta a acção que origina maiores níveis de pressão

sonora no compartimento. Assim, a expressão (5.5) pode ser utilizada para obter um limite

superior do campo sonoro gerado em compartimentos adjacentes a escadas pesadas. Para

escadas interiores às habitações construídas em materiais leves, como é o caso das escadas

metálicas ou em madeira, a expressão (5.5) não pode ser utilizada porque uma parte da força

dinâmica é transmitida ao próprio indivíduo em movimento [3].

5.5. REFERÊNCIAS

[1] Bachmann, H.; Ammann, W., Vibrations in structures induced by man and machines, Structural

Engineering Documents, International Association for Bridge and Structural Engineering, Zurique,

Suíça, 1987;

[2] Camposinhos, R.S.; Neves, A.S.; Delgado, R., Estados limite de vibração em pavimentos

unidireccionais, Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas, Vol.54, 2005, pp. 3-15;

[3] Cremer, L.; Heckl, M.; Ungar, E.E. – Struture-borne sound: structural vibrations and sound radiation

at audio frequencies – 2ª Edição, Springer-Verlag, Berlim, Alemanha, 1973;

[4] Kerr, S.C.; Bishop, N.W.M., Human induced loading on flexible staircases, Engineering Structures,

Vol. 23, 2001, pp. 37-45;

[5] Shi, W.; Johansson, C.; Sundbäck, U., An Investigation of the Characteristics of Impact Sound

Sources for Impact Sound Insulation Measurement, Applied Acoustics, Vol. 51(1), 1997, pp. 85-108;

[6] Smith, B. J.; Peter, R. J.; Owen, S. – Acoustics and noise control – 2ª Edição, Addison Wesley

Logman, Reino Unido, 1996;

[7] Živanović, S.;Pavic, A.; Reynolds, P.: Vibration serviceability of footbridges under human-induced

excitation: a literature review, Journal of Sound and Vibration, Vol. 279, 2005, pp. 1-74.

77

6. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

6.1. CONCLUSÕES

Utilizando o programa computacional SAP2000, foi possível reproduzir numericamente o

campo de vibração de uma placa homogénea rectangular simplesmente apoiada, sujeita a uma

força de impacto pontual. Os resultados numéricos foram coincidentes com os resultados

obtidos com a equação (2.27), ficando assim validado o procedimento de modelação de

campos de vibração estruturais com o programa SAP2000. Este programa foi então utilizado

para validar o modelo analítico da acelerância de placas homogéneas AAEA, descrito pelas

equações (2.32) a (2.34).

O programa SAP2000 foi também utilizado para a definição do campo de vibração de uma

parede com uma escada encastrada sujeita à acção de uma força de impacto pontual. Este

modelo permitiu avaliar a validade de dois modelos analíticos: modelo do campo de vibração

de uma parede sujeita a um conjunto de binários equivalentes à acção da escada; e modelo do

campo de vibração de uma parede equivalente sujeita à acção de uma força de impacto

pontual e arbitrária. Por comparação com os resultados do modelo numérico, conclui-se que

nenhum dos dois métodos analíticos considerados fornece aproximações de erro desprezável

da acelerância da parede.

O primeiro modelo foi construído sobre a hipótese, falsa, de que a impedância da escada é

muito superior à impedância da parede, o que permitiu dividir o sistema escada/parede em dois

sistemas: o sistema (escada) que transfere a acção dinâmica; e o sistema (parede) que é o

receptor final dessa mesma acção. Verificou-se que o modelo da parede sujeita a um conjunto

de binários conduz a um sistema escada/parede menos rígido do que o obtido com o modelo

numérico. Apesar da diferença de rigidez, este modelo analítico fornece uma boa aproximação

para a amplitude da acelerância de uma parede com uma escada encastrada.

Com o segundo modelo, constituído por uma parede equivalente ao sistema escada/parede de

referência, foi possível obter uma rigidez idêntica à do modelo numérico, pelo que as

frequências próprias são, de forma geral, coincidentes. Desta forma, é possível considerar com

maior rigor o efeito de acoplamento entre o campo de vibração da parede e o campo sonoro do

compartimento adjacente. Em geral, este modelo também fornece uma boa aproximação da

amplitude de acelerância da parede com a escada encastrada, o que, aliado à sua maior

simplicidade e rapidez de implementação, permite concluir que se trata de um modelo

adequado à utilização combinado com modelos analíticos do campo sonoro de

compartimentos. No entanto, é importante ter presente que se trata de um modelo aproximado,

com erros que, pontualmente, podem ser significativos.

A necessidade de recorrer a modelos analíticos simplificados da transmissão de ruído de

impacto em escadas adjacentes a paredes resulta da elevada dimensão dos modelos de

78

elementos finitos de campos sonoros, o que se traduz em elevado consumo de tempo

dispendido no cálculo. No âmbito da presente dissertação, não foram utilizados modelos de

elementos finitos adequados para campos sonoros porque estes ainda não estão disponíveis

no Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do IST.

Assim, foi utilizado um modelo analítico de análise modal que considera o efeito de

acoplamento modal entre o campo de vibração do sistema escada/parede e o campo sonoro

do compartimento adjacente. A vibração do sistema escada/parede foi introduzida através dos

dois modelos analíticos desenvolvidos no Capítulo 3. Os resultados obtidos para as funções de

transferência entre a força de impacto na escada e a pressão sonora no compartimento

confirmam as conclusões resultantes da comparação entre as acelerâncias fornecidas pelos

dois modelos do sistema estrutural escada/parede.

Os modelos de previsão desenvolvidos foram aplicados ao caso em que a escada é sujeita à

circulação de pessoas. Em primeiro lugar foram definidos os espectros da acção humana para

vários tipos de locomoção em escadas e pavimentos: movimento lento, movimento rápido, em

passo de corrida e em pequenos saltos. Concluiu-se que, numa escada, é a subida ou descida

rápida que origina a maior amplitude da força dinâmica e, portanto, maiores níveis de pressão

sonora no compartimento. Assim, o limite superior do campo sonoro gerado em

compartimentos adjacentes a escadas pesadas pode ser obtido utilizando a expressão (5.5).

Para escadas interiores às habitações construídas em materiais leves, como é o caso das

escadas metálicas ou em madeira, a expressão (5.5) não pode ser utilizada porque uma parte

da força dinâmica é transmitida ao próprio indivíduo em movimento.

6.2. TRABALHOS FUTUROS

Uma vez que o campo sonoro estimado analiticamente não foi comparado com resultados

numéricos previamente validados nem com resultados experimentais, sugerem-se estas tarefas

de validação como trabalhos futuros.

É também importante desenvolver modelos para a caracterização da transmissão de ruído de

impacto em diferentes tipos de escadas, com diferentes formas de ligação às paredes

adjacentes.

No caso das estruturas leves, é importante definir os espectros característicos das forças

dinâmicas exercidas pelo movimento humano.

O estudo efectuado nesta dissertação é importante para uma série de aplicações,

nomeadamente ao nível da avaliação subjectiva da qualidade sonora de um espaço fechado e

também ao nível da chamada auralização da fonte, que é o processo de tornar audível, através

da modelação física ou matemática, o campo sonoro de uma fonte no espaço, de forma a

simular a experiência de audição biaural numa dada posição do espaço modelado.

79

ANEXO I

Os programas computacionais utilizados neste trabalho foram escritos em Visual Basic,

Versão 6.0 [1]. Os códigos seguintes apresentam apenas o cálculo para as equações (2.27) e

(4.38).

MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DE UMA PLACA

O código seguinte descreve a equação (2.27), correspondente ao campo de vibração de uma

placa simplesmente apoiada sujeita a uma força de impacto pontual.

As variáveis escritas a negrito são fornecidas como input do programa.

Private Sub Command1_Click()

‘Parte 1: Modos de vibração da placa

b = ym * (t ^ 3) / 12 / (1 - (pr ^ 2)) ‘ym = módulo de elasticidade; t = espessura; pr = coef. Poisson

mass = ro * t ‘ro = densidade do material

cpi = 3.14159265358979

testfi = 0

testfj = 0

i = 0

j = 0

Do While testfi = 0 ‘Rotina que conta o número de modos de vibração

i = i + 1

Do While (testfj < (fscale * mf)) ‘fscale = factor(4); mf = frequência máxima em análise (200Hz)

j = j + 1

testfj = (Sqr(b / mass) * ((i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2)) / 2 / cpi ‘ly, lz = dimensões da placa

Loop

nmodesf(i) = j - 1

If nmodesf(i) = 0 Then testfi = 1

j = 0

testfj = 0

Loop

nlines = i - 1

nmodesft = 0

For i = 1 To nlines ‘Rotina que cria uma matriz não ordenada dos modos de vibração

80

For j = 1 To nmodesf(i)

wf = Sqr(b / mass) * ((i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2)

ff(i, j) = wf / 2 / cpi

nmodesft = nmodesft + 1

Next j

Next i

nmodesftcount = 0

fmax = 0

fmin = 0

rep = 0

Do While (nmodesftcount < nmodesft) ‘Rotina que cria uma matriz ordenada dos modos de vibração

nmodesftcount = nmodesftcount + 1

fmax = fscale * mf

For i = 1 To nlines


If (ff(i, j) <= fmax And ff(i, j) > fmin) Then

fmax = ff(i, j)

ny = i

nz = j

End If

Next j

Next i

fmin = fmax

fford(nmodesftcount, 1) = ny

fford(nmodesftcount, 2) = nz

fford(nmodesftcount, 3) = fmax

fford(nmodesftcount, 4) = 2 * cpi * fmax

Loop

‘ Parte 2: Equação (2.27)

For i = fstart To mf ‘fstart = frequência mínima em análise (18Hz)

lf = 1 / Sqr(i) + rlf ‘rlf = factor de perdas

npoints = 0

ReV = 0

ImV = 0

81

For n = 1 To nmodesft

ReVnum = Sin(fford(n, 1) * cpi * coord(1) / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * coord(2) / lz) * Sin(fford(n, 1) * cpi * yf / ly)

* Sin(fford(n, 2) * cpi * zf / lz) * (fford(n, 4) ^ 2) ‘coord(1), coord(2) = coordenadas y e z do ponto em análise do

campo de vibração; yf, zf = coordenadas do ponto onde é aplicada a força

Vden = ((((fford(n, 4) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2)) ^ 2) + (lf ^ 2) * (fford(n, 4) ^ 4))

ReVadd = ReVnum / Vden

ImVnum = Sin(fford(n, 1) * cpi * coord(1) / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * coord(2) / lz) * Sin(fford(n, 1) * cpi * yf / ly)

* Sin(fford(n, 2) * cpi * zf / lz) * ((fford(n, 4) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2))

ImVadd = ImVnum / Vden

ReV = ReV + ReVadd

ImV = ImV + ImVadd

Next n

ReV = 4 * (2 * cpi * i) * lf * fint / mass / ly / lz * ReV ‘fint = amplitude da força

ImV = 4 * (2 * cpi * i) * fint / mass / ly / lz * ImV

ReA = -(2 * cpi * i) * ImV

ImA = (2 * cpi * i) * ReV

MagA = Sqr((ReA ^ 2) + (ImA ^ 2))

PhaA = (Atn(ImA / ReA)) * 180 / cpi

Next i

End Sub

ACOPLAMENTO ENTRE O CAMPO SONORO DE UM COMPARTIMENTO E CAMPO DE

VIBRAÇÃO DE UMA PLACA

O código seguinte descreve a equação (4.38), correspondente ao campo sonoro gerado num

compartimento pela aplicação de uma força de impacto pontual numa das paredes do

compartimento.

As variáveis escritas a negrito são fornecidas como input do programa.

Private Sub Command1_Click()

‘Parte 1: Modos de vibração da placa

b = ym * (t ^ 3) / 12 / (1 - (pr ^ 2)) ‘ym = módulo de elasticidade; t = espessura; pr = coef. Poisson

mass = ro * t ‘ro = densidade do material

cpi = 3.14159265358979

testfi = 0

testfj = 0

82

i = 0

j = 0

Do While testfi = 0 ‘Rotina que conta o número de modos de vibração

i = i + 1

Do While (testfj < (fscale * mf)) ‘fscale = factor(4); mf = frequência máxima em análise (200Hz)

j = j + 1

testfj = (Sqr(b / mass) * ((i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2)) / 2 / cpi ‘dimensões da placa

Loop

nmodesf(i) = j - 1

If nmodesf(i) = 0 Then testfi = 1

j = 0

testfj = 0

Loop

nlines = i - 1

nmodesft = 0

For i = 1 To nlines ‘Rotina que cria uma matriz não ordenada dos modos de vibração


wf = Sqr(b / mass) * ((i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2)

ff(i, j) = wf / 2 / cpi

nmodesft = nmodesft + 1

Next j

Next i

nmodesftcount = 0

fmax = 0

fmin = 0

rep = 0

Do While (nmodesftcount < nmodesft) ‘Rotina que cria uma matriz ordenada dos modos de vibração

nmodesftcount = nmodesftcount + 1

fmax = fscale * mf

For i = 1 To nlines


If (ff(i, j) <= fmax And ff(i, j) > fmin) Then

fmax = ff(i, j)

ny = i

nz = j

83

End If

Next j

Next i

fmin = fmax

fford(nmodesftcount, 1) = ny

fford(nmodesftcount, 2) = nz

fford(nmodesftcount, 3) = fmax

fford(nmodesftcount, 4) = 2 * cpi * fmax

Loop

‘Parte 2: Modos de acústicos do compartimento

c = 331.5 * Sqr(1 + teta / 273) ‘teta = temperatura do ar

testfi = 0

testfj = 0

testfk = 0

i = 0

j = 0

k = 0

Do While (testfi = 0) ‘Rotina que conta o número de modos acústicos

Do While (testfj = 0)

Do While (testfk < fscale * mf)

testfk = c * Sqr((k * cpi / lx) ^ 2 + (i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2) / 2 / cpi

‘lx, ly, lz = dimensões do compartimento

k = k + 1

Loop

nmodesr(i + 1, j + 1) = k - 1

If nmodesr(i + 1, j + 1) = 0 Then

testfj = 1

If j = 0 Then testfi = 1

End If

k = 0

testfk = 0

j = j + 1

Loop

84

nmodesrj(i + 1) = j - 1

j = 0

testfj = 0

i = i + 1

Loop

nlines = i - 1

nmodesrt = 0

For i = 1 To nlines ‘Rotina que cria uma matriz não ordenada dos modos acústicos

For j = 1 To nmodesrj(i)

For k = 1 To nmodesr(i, j)

wr = c * Sqr(((k - 1) * cpi / lx) ^ 2 + ((i - 1) * cpi / ly) ^ 2 + ((j - 1) * cpi / lz) ^ 2)

fr(k, i, j) = wr / 2 / cpi

nmodesrt = nmodesrt + 1

Next k

Next j

Next i

nmodesrt = nmodesrt - 1

nmodesrtcount = 0

fmax = 0

fmin = 0

Do While (nmodesrtcount < nmodesrt) ‘Rotina que cria uma matriz ordenada dos modos acústicos

nmodesrtcount = nmodesrtcount + 1

fmax = fscale * mf

For i = 1 To nlines

For j = 1 To nmodesrj(i)

For k = 1 To nmodesr(i, j)

If (fr(k, i, j) <= fmax And fr(k, i, j) > fmin) Then

fmax = fr(k, i, j)

nx = k - 1

ny = i - 1

nz = j - 1

End If

Next k

Next j

Next i

85

fmin = fmax

frord(nmodesrtcount, 1) = nx

frord(nmodesrtcount, 2) = ny

frord(nmodesrtcount, 3) = nz

frord(nmodesrtcount, 4) = fmax

frord(nmodesrtcount, 5) = fmax * 2 * cpi

Loop

' Parte 3: Equação (4.38)

rs = 2 * (lx * ly + ly * lz + lz * lx)

rv = lx * ly * lz

rt = 0.161 * rv / rs / alfa ‘alfa = coeficiente de absorção sonora média

delta = 6.9 / rt

pw = rh * 610.5 * Exp(17.269 * teta / (237.3 + teta)) ‘rh = humidade relativa

roa = (101325 - pw) / 287 / (273.15 + teta) + pw / 461 / (273.15 + teta)

For i = fstart To mf ‘fstart = frequência mínima em análise (18Hz)

lf = 1 / Sqr(i) + rlf ‘rlf = factor de perdas

npoints = 0

ReSP = 0

ImSP = 0

For m = 1 To nmodesrt

ReB = 0

ImB = 0

For n = 1 To nmodesft

If fford(n, 1) = frord(m, 2) Then

ReBadd = 0

ImBadd = 0

ElseIf fford(n, 2) = frord(m, 3) Then

ReBadd = 0

ImBadd = 0

Else

ReBnum = (((-1) ^ (fford(n, 1) + frord(m, 2))) - 1) * (((-1) ^ (fford(n, 2) + frord(m, 3))) - 1) * Sin(fford(n, 1) *

cpi * yf / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * zf / lz) * (fford(n, 4) ^ 2) ‘yf, zf = coordenadas do ponto onde é aplicada a força

Bden = fford(n, 1) * fford(n, 2) * (cpi ^ 2) / ly / lz * (((frord(m, 2) / fford(n, 1)) ^ 2) - 1) * (((frord(m, 3) /

fford(n, 2)) ^ 2) - 1) * ((((fford(n, 4) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2)) ^ 2) + (lf ^ 2) * (fford(n, 4) ^ 4))

ReBadd = ReBnum / Bden

86

ImBnum = (((-1) ^ (fford(n, 1) + frord(m, 2))) - 1) * (((-1) ^ (fford(n, 2) + frord(m, 3))) - 1) * Sin(fford(n, 1) *

cpi * yf / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * zf / lz) * ((fford(n, 4) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2))

ImBadd = ImBnum / Bden

End If

ReB = ReB + ReBadd

ImB = ImB + ImBadd

Next n

ReB = 4 * (2 * cpi * i) * lf * fint / mass / ly / lz * ReB ‘fint = amplitude da força

ImB = 4 * (2 * cpi * i) * fint / mass / ly / lz * ImB

filmn = Cos(frord(m, 1) * cpi * coord(1) / lx) * Cos(frord(m, 2) * cpi * coord(2) / ly) * Cos(frord(m, 3) * cpi *

coord(3) / lz) ‘coord(1), coord(2) = coordenadas y e z do ponto em análise do campo de vibração

ReSPnum = ((-1) ^ frord(m, 1)) * (2 * delta * frord(m, 5) * ReB - ((frord(m, 5) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2) - (delta ^ 2))

* ImB) * filmn

SPden = (((frord(m, 5) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2) - (delta ^ 2)) ^ 2) + 4 * (delta ^ 2) * (frord(m, 5) ^ 2)

ReSPadd = ReSPnum / SPden

ReSP = ReSP + ReSPadd

ImSPnum = ((-1) ^ frord(m, 1)) * (2 * delta * frord(m, 5) * ImB + ((frord(m, 5) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2) - (delta ^ 2))

* ReB) * filmn

ImSPadd = ImSPnum / SPden

ImSP = ImSP + ImSPadd

Next m

ReSP = 8 * (2 * cpi * i) * roa * (c ^ 2) / lx / ly / lz * ReSP

ImSP = 8 * (2 * cpi * i) * roa * (c ^ 2) / lx / ly / lz * ImSP

MagSP = Sqr((ReSP ^ 2) + (ImSP ^ 2))

PhaSP = (Atn(ImSP / ReSP)) * 180 / cpi

Next i

Next j

End Sub

REFERÊNCIAS

[1] Oliver, P. R.; Kantaris, N. – Using Visual Basic, Babani Computers Books, Londres, Reino

Unido, 2001.