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8/15/2019 calculo_1_-_capitulo_5(2).pdf

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CAPÍTULO 5

DERIVADAS E APLICAÇÕES

A derivada de uma função é a parte da matemática que permiteestudar a rapidez com que determinada quantidade está variando emrelação a uma outra. Por exemplo, por meio das derivadas podemos deduzira velocidade com que uma determinada população está crescendo, ou umasolução química está se dissolvendo, ou o melhor ponto para se pôr umacoluna num edifício...

As aplicações das derivadas sã !"i#as e variadas$C%verse c! s se"s pr&essres da 'rea #(c%ica) "pes*"ise e! livrs da s"a 'rea) e desc"+ra as

aplicações pss,veis$$$ aprese%#e res"l#ad da s"a+"sca para se"s cle-as de classe...

amos ! teoria"

#. $%&'(')*+A derivada de "!a &"%çã & e! relaçã a / é a função f ´ definida por

f ' ( x )=limh → 0

f ( x+h ) − f ( x )h

quando o limite existe.

+s.- A derivada de uma função f em relação a x no ponto a, é dada por-

f ' (a )=limh→ 0

f ( a+h ) − f (a )h

O"#ras 0#ações para derivadas1 D x f ( x ) l/se 0d su x de f de x1dy

dx 2 0d 3 d x1

y ´ 2 y linha.

E/erc,ci1 4sando a definição, calcule a derivada das se5uintes funç6es-a7 f ( x )= x2

7 g ( x )= x2− 5 xc7 h ( x )= x2 −5 x+6d7

f ( x )=

x

3

e7 g ( x )=3 x2+2 x

57 g ( x )=4 xh7 g ( x )=−2i7 g ( x )=6

87 f ( x )= senx97 f ( x )=2 x


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f7 h ( x )=3 x

:espostas dos %xercícios-

a7 f ' ( x )=2 x ; 7 g ' ( x )=2 x − 5 ; c7 h' ( x )=2 x −5 ; d7 f ' ( x )=3 x2 ;e7 g

' ( x )=6 x+2 ; f7 h' ( x )=3

57 g '

( x )=4 ; h7 g '

( x )=0 ; i7 g '

( x )=0 ; 87 f '

( x )=cosx ; 97 f

' ( x )=2 x ln 2

A partir do cálculo das derivadas das funç6es acima, procure encontrarre5ras práticas para as funç6es 5enéricas- f ( x )= xn , f ( x )=kx , f ( x )=k ,

f ( x )=ak


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2$ RE3RAS 4SICAS DE DERIVAÇ6On. &unção $erivada# f ( x )=k , k ∈ R f ' ( x )=0< f ( x )=c . g ( x ) f ' ( x )=c . g ' ( x )= f ( x )= g ( x ) ± h ( x ) f ' ( x )= g ' ( x ) ± h ' ( x )

> f ( x )= g ( x ) .h ( x ) :e5ra do produto f ' ( x )= g ' ( x ) . h ( x )+ g ( x ) . h ' ( x )?

f ( x )= g ( x )h ( x )

f ' ( x )=

g ' ( x ).h ( x ) − g ( x ) .h ' ( x )

[h ( x ) ]2

@ f ( x )= xn f ' ( x )=n x n− 1

7 f ( x )= g (h ( x )) Re-ra da cadeia f ' ( x )= g ' (h ( x )) . h ' ( x ) f ( x )=e x f ' ( x )=e x

B f ( x )=e g ( x ) f ' ( x )=e g ( x ) . g ' ( x )#C f ( x )=a x f ' ( x )=a x .lna## f ( x )=ln ∨ x∨

f ' ( x )=

1

x#< f ( x )=loga x f ' ( x )=

1

x . lna#= f ( x )= senx f ' ( x )=cosx#> f ( x )=cosx f ' ( x )=−senx#? f ( x )=tgx f ' ( x )= sec2 x#@ f ( x )=cossecx f ' ( x )=− cossecx . cotgx#D f ( x )= sec x f ' ( x )= secx .tgx# f ( x )=cotgx f ' ( x )=− cossec2 x#B f ( x )=arcsenx

f ' ( x )= 1

√ 1− x2


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AL3U8AS 9:R8ULAS TRI3O0O8;TRICAS I8PORTA0TESIde%#idades Tri-%!(#ricas

sen2 x+cos

2 x=1 1+tg 2 x= sec2 x 1+cotg 2 x=cossec 2 x

secx= 1

cosx cossecx=

1

senx cotgx=

1

tgx=

cosx

senx

tgx= senxcosx

sen (− x )= senx cos (− x )=cosx tg (− x )=−tgx

sen( π 2 − x)=cosx cos( π 2 − x)= senx tg (π

2 − x)=cotgx

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=. DERIVADAS SUCESSIVAS

Podemos calcular derivadas sucessivas para as funç6es, ou se8a,podemos calcular derivadas das derivadas. E isto que chamamos dederivadas sucessivas.

(otação-

f ´ ´ ( x )=d

2 f

d x2

- representa a derivada se5unda da função f.

f (n ) ( x )=

d n

f

d xn

- representa a derivada nésima da função f.

E/e!pl =1 Falcular a derivada terceira da função f ( x )=2x5− 3x+9df

dx=10 x

4−3

d 2

f

d x2=40 x

3

d 3

f

d x3=120 x

2

E/e!pl 21 Falcular a derivada se5unda da função f ( x )= sen2x

f ´ ( x )=df

dx=2cos2x

f ´ ´ ( x )=d 2

f

d x2=− 2sen2x

>. >UAL O SI30I9ICADO 3EO8;TRICO DA DE9I0IÇ6O DE DERIVADA?

Fonsidere uma função 5enérica f ( x ) . Fonsidere ainda dois pontos ( x , y ) e ! ( x! , y! ) sore o 5ráfico de y= f ( x ) . Assim, ( x , f ( x )) e ! ( x! , f ( x! )) .


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A%alise -r'&ic e i!a-i%e si-%i&icad da e/pressã1 f ( x! )− f ( x )

x! − x $

A que conclusão voc/ che5ou" + que essa expressão tem a ver com aexpressão do limite na definição de derivada"

e8amos as respostas...

A expressão f ( x! )− f ( x )

x! − x representa a i%cli%açã da re#a seca%#e !

curva, que passa por e ! . 'sto é-

"ncl"na #$ o sec != f ( x!) − f ( x )

x! − x G#7

+s.- %ssa expressão é tamém conhecida como a que nos fornece a #a/ade variaçã !(dia da &"%çã entre os pontos e ! .

A5ora, estamos querendo interpretar 5eometricamente adefinição de derivada. A expressão que temos aqui não éexatamente a que aparece na definição de derivada. O *"eas di&ere? >"al si-%i&icad dessa di&ere%ça? O+serve)

a%alise e disc"#a c! se"s cle-as$$$

Huando fazemos ! → , G#7 tornase-

lim! →

"ncl"na #$o sec !=lim

! →

f ( x! )− f ( x )

x! − x +u se8a-

"ncl"na #$ o tg = lim! →

f ( x! ) − f ( x ) x! − x

G


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"ncl"na#$ otg = limh →0

f ( x+h )− f ( x )h

que é exatamente a definição de derivada de uma função. Assim, podemosdizer que a derivada de uma função num ponto x=a é a i%cli%açã da

re#a #a%-e%#e ! curva nesse ponto, que tamém é chamada de #a/a devariaçã i%s#a%#@%ea da função nesse ponto. oltaremos ao assunto 0taxade variação1 depois... antes, um exemplo de como encontrar a equação deuma reta tan5ente, usando a derivada...

E/e!pls$#. %ncontre a equação da reta tan5ente ! paráola f ( x )= x2 nos pontos

1 (1,1 ) , 2 (0,0 ) e 3 (− 1,1) .

Le!+re#e1 Podemos encontrar a equação de uma reta,quando são dados a inclinação da reta e um ponto, por meio

da fIrmula y − y0=% ( x − x0 ) , em que % é a inclinaçãoda reta Gno caso da reta tan5ente, % é o valor daderivada da função no ponto em que se quer a retatan5ente7, e ( x0 , y0 ) são as coordenadas do ponto.

Solução do exemplo 1:

&açamos para o ponto 3 (− 1,1 ) . Aqui, ( x0 , y0 )=(−1,1 ) . 'niciamoscalculando a i%cli%açã da re#a #a%-e%#e em 3 , ou se8a,

f ´ ( x0 )= f ´ (− 1 )=2. (−1 )=−2 .

A equação da reta tan5ente será-

y − y0=% ( x − x0 )⇒ y −1=− 2 ( x − (−1 ) )⇔ y −1=− 2x − 2⇔ y=−2x −1+ 5ráfico se5uinte apresenta a função f ( x )= x2 com a reta

tan5ente em 3 (− 1,1 ) , de equação y=−2x−1 -

E%c%#rar a e*"açã da re#a #a%-e%#e c"rva %s"#rs dis p%#s &ica c! e/erc,ci pravcB...........


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Pra qu/ precisamos dessas informaç6es"

%m Fi/ncias, muitas funç6es não são descritas por equaç6esexplícitas; elas são definidas por dados experimentais. + exemplo a se5uirmostra como estimar a inclinação da reta tan5ente ao 5ráfico de umadessas funç6es.

E/e!pl 21 o flash de uma cLmera opera armazenando car5a em umcapacitor e lierandoa instantaneamente quando o flash é disparado. +sdados da taela se5uinte descrevem a car5a ! armazenada no capacitorGmedida em microcouloms7 no instante t Gmedido em se5undos apIs oflash ter sido disparado7. 4se os dados para fazer o 5ráfico dessa função eestime a inclinação da reta tan5ente no ponto onde t =0,04 . GA inclinaçãoda reta tan5ente representa um fluxo de corrente elétrica do capacitor para

o flash, medido em microampOres7.t C,CC C,C< C,C> C,C@ C,C C,#C

! #CC,CC #,D @D,C= ?>, >>,B= =@,D@

Molução-...Para estimar a inclinação da reta tan5ente há vários modos, doisdeles são...

a7 %ncontre a inclinação aproximada da reta tan5ente por meio dosvalores da taela prIximos de C,C>.

4m exemplo- "ncl"na #$ o ! (0,06 )− ! (0,02 )

0,06− 0,02 =

54,88−81,87

0,04 −675

7 Plote os pontos do 5ráfico, trace uma curva por esses pontos.Fonstrua um triLn5ulo retLn5ulo onde a hipotenusa se8a parte da retatan5ente ! curva em t =0,04 . eça os catetos oposto e ad8acenteao Ln5ulo de inclinação da reta. A razão entre essas medidas é ovalor estimado da inclinação da reta tan5ente.

+s.- o si5nificado físico da resposta desse exemplo é que a corrente queflui do capacitor para o flash apIs C,C> s é cerca de @D? microampOres.

E/erc,cis1#. 4m tanque com capacidade de #CCC 5al6es de á5ua é drenado pela

ase em meia hora. +s valores da taela mostram o volume deá5ua remanescente no tanque Gem 5al6es7 apIs t minutos.

t ? #C #?


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c7 4se o 5ráfico da função para estimar a inclinação da reta tan5enteem G%ssa inclinação representa a taxa se5undo a qual a á5uaflui do tanque apIs #? minutos7.

d7 4sando o %xcel, interpole uma função Gfaça um 5ráfico dedispersão dos dados, adicione linha de tend/ncia, e marque paraexiir a equação e o :quadrado no 5ráfico7 polinomial de 5rau =.

e7 Falcule a derivada da função otida no item d7 no ponto(15,250 ) .

f7 Fompare o valor otido em e7 com os otidos nos itens 7 e c7.Fomente os resultados.

:esultado da letra d7

C >< >>QatimentosFardíacos


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deslocamento em relação ao tempo7. $a mesma forma, se &=ds

dt é a

velocidade instantLnea, a=d&

dt =

d 2

&

d t 2

é a aceleraçã instantLnea Gtaxa

de variação da velocidade em relação ao tempo7

E/e!pl1 A posição de uma partícula é dada pela equação s= f ( t )=t 3 −6 t 2+9t , onde t é medido em se5undos e s é medido em

metros.a7 %ncontre a velocidade no instante t ;7 Hual é a velocidade depois de


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O"#rs e/e!pls G!a#e!'#icsH1

#. %stá sendo omardeado ar para dentro de um alão esférico, e seuvolume cresce a uma taxa de 100 c%3/ s . Huão rápido o raio doalão está crescendo quando o diLmetro é ?C cm"

:-dr

dt =

1

25π c% / s

0

a7 $etermine uma expressão 5enérica para a taxa de variação daquantidade de oxi5/nio no la5o em qualquer instante no tempo t .

7 Fom que rapidez a quantidade de oxi5/nio no la5o está mudando #dia, #C dias e


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T=do raio da ase.A7 determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da ase.Q7 Me o raio da ase varia a uma taxa de


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y não é uma função de x no círculo inteiro Gpor qu/"7. Porém

y=√ 4− x2 Gparte superior do círculo7 e y=−√ 4 − x2 Gparte inferior docírculo7 são funç6es.

as a equação do círculo inteiro representa uma curva que tem uma

reta tan5ente em cada ponto. + coeficiente an5ular dessa reta tan5entepode ser encontrado derivandose a equação do círculo em relação a x -

d

dx ( x2 )+ d

dx ( y2 )= d

dx (4 )

Ao pensarmos em y como uma função de x e ao usarmos a

re5ra da cadeia, otemos- 2 x+2 y .dy

dx=0 , donde-

dy

dx=

− x

y .

A derivada aqui depende tanto de y como de x , isso porquepara muitos valores de x existem dois valores de y e a curva tem umainclinação diferente em cada um deles.

A%alise ce&icie%#e a%-"lar da re#a #a%-e%#e ac,rc"l %s di&ere%#es *"adra%#es$ O *"e ( pss,velperce+er? 9aça "!a descriçãJ$

E/e!pl =- A equação x2+

1

2 y −1=0 define implicitamente a função

y=2 (1 − x2 ) .

E/e!pl 21 Me y= f ( x ) é definida por x2 y2+ xseny=0 , determinar y '

.Solução:'nicialmente, oserve que não conhecemos explicitamente a função

y= f ( x ) cu8a derivada queremos calcular. %ntão, usando a re5ra dacadeia e derivando implicitamente em relação a x, temos-

( x2 y2 ) ' + ( xseny ) ' =(0 ) ' ( x2 )

' y

2+( x2 ) ( y2 )

' + ( x )' seny+ x ( seny ) ' =(0 ) '

2 x . y2+( x2 )2 y . y ' +1. seny+ xcosy . y ' =0

( x2 )2 y . y ' + xcosy . y ' =− 2 x . y2 −1. seny y

' ( 2 x2 y+ xcosy )=− 2 x . y 2−1. seny

y' =

−2 x . y2−1. seny

2 x2 y+ xcosy


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y' =

−2 x . y2+1. seny

2 x2

y+ xcosy

que é a derivada da função y que atende ! condição x2 y2+ xseny=0 .

amos tentar por tudo o que vimos até a5ora em prática" :esolva osexercícios se5uintes... e se houver dNvidas, consulte a professora, ou omonitor da disciplina, ou seus cole5as de classeUU

E/erc,ci =1 $eterminar a equação da reta tan5ente ! curva

x2+

1

2 y −1=0 no ponto (−1 )0 ) .

E/erc,ci 21 %ncontre todos os pontos da curva y3− xy=− 6 onde a retatan5ente é horizontal ou vertical.

E/erc,ci 1 %ncontredy

dx para a equação x2+ y2 −4 x+7 y=15 . Mo que

condiç6es em x ou 3 a reta tan5ente é horizontal" % vertical"

E/erc,ci M1 Falculed

2 y

d x2

aplicando derivação implícita sore a relação

4 x2+9 y

2=36 .

+QM.- (ote que a diferenciação implícita será usada quando a funçãoexplícita não for fácil de ser calculada, ou não for possível de ser otida. (ocaso do exemplo #, acima, a derivada da função poderia ter sido calculada

usando a diferenciação implícita na equação x2

+

1

2 y −1=0

ou a diferenciação explícita Gcomo usamos até a5ora7 em y=2 (1 − x2 ) . +resultado otido seria o mesmo nos dois casos. Tes#e....

E/e!pls1#. 4ma escada com #C pés de comprimento está apoiada em uma parede

vertical. Me a ase da escada desliza, afastandose da parede a uma taxade # péTs, quão rápido o topo da escada está escorre5ando para aixo naparede quando a ase da escada está a @ pés da parede"

Solução:

'nformaç6es do prolema-dx

dt =1

/-

sdy

dt =0

x=6 /-s 3 #C

x


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:elação entre as variáveis envolvidas- x2+ y2=100Maemos que y= f ( t ) e x= g (t ) pois amas estão se movendo emfunção do tempo.Vo5o, precisamos derivar implicitamente, em relação a t , a equação

x2+ y2=100 , para otermos dydt

.

Assim,

2x dx

dt +2y

dy

dt =0⇒

dy

dt =

− x

y

dx

dt =

−6

8 .1=−0,75 /- / s


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De#alNe1 #a%# !elNres serã as es#i!a#ivas) *"a%# !e%res&re! as variações e! x $

Me y= f ( x ) é uma função diferenciável, então a diferencial dx éuma variável independente, isto é, a dx pode ser dado um valor real

qualquer. A diferencial dy é então definida em termos de dx pelaequação- dy= f ' ( x ) dx

Wráfico-

%xemplos-#. Fompare os valores de + y e dy se

y=

x

3+

x

2

−2x+1 e x

variar -a7 $e < a


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Huando estudamos limites de funç6es racionais em que numerador edenominador tendiam a zero, ou ao infinito, uscamos alternativas para ocálculo desses limites, e usamos a fatoração, ou a divisão de polinômios, ouaté mesmo uma taela pra resolver nosso prolema. (o entanto, nessemomento temos condiç6es de fazer os mesmos cálculos de limites semprecisarmos das manoras usadas anteriormente. 'sso é feito usando are5ra de VYJôspital.

Muponha que f e g são funç6es diferenciáveis e g ' ( x ) 1 0 prIximo a a , exceto possivelmente no prIprio a . Muponha que-

lim x→ a

f ( x )=0 e lim x→ a

g ( x )=0

ou quelim x→ a

f ( x )=± 3 e lim x→ a

g ( x )=± 3

%ntão,

f ( x ) g ( x ) =lim x →a

f ' ( x ) g ' ( x )lim x →a

❑

se o limite do lado direito existir.%m síntese, quando um limite é da forma indeterminada, podemos

calcular o limite usando as derivadas das funç6es que 5eraram aindeterminação no limite. 9aça iss %s e/e!pls se-"i%#es$ Calc"les #a!+(! pels !(#ds *"e vcB "s" *"a%d es#" li!i#escap,#"l MJ e c!pare s res"l#ads$

E/e!pls1 Falcular-a7 x

2−25

x −5 =¿ lim

x →5

❑

7 lnx

x −1=¿ lim

x → 1

❑

c7 e

x

x2=¿ lim

x → 3

❑

B. 8I8OS E 8Í0I8OS

+utra aplicação das derivadas é a otenção de máximos e mínimos defunç6es. %ssa ideia pode ser usada para encontrar as dimens6es ideais deuma emala5em, por exemplo, mas tamém é usada para o esoço de5ráficos de funç6es polinomiais de 5rau maior que


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• 4ma função f tem um !'/i! rela#iv em c , se existir umintervalo aerto 4 , contendo c , tal que f ( c ) 5 f ( x ) , para todo

x∈ 4 6 D ( f ) .• 4ma função f tem um !,%i! rela#iv em c , se existir um

intervalo aerto 4 , contendo c , tal que f ( c) ( f ( x ) , para todo x∈ 4 6 D ( f ) .

Prpsiçã =1 Muponha que f ( x ) existe para todos os valores de x∈ (a , b ) e que f tem um extremo relativo em c , onde a


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Prpsiçã 21 Me8a f [ a , b ] → R uma função contínua, definida em umintervalo fechado [ a , b ] . %ntão f assume máximo e mínimo relativo em

[ a , b ] .

Tere!a de Rlle1 Me8a f uma função definida e contínua em [ a , b ] ederivável em (a , b ) . Me f ( a )= f ( b )=0 , então existe pelo menos umponto c entre a e b tal que f ´ (c )=0 .

Tere!a d Valr 8(di1 Me8a f uma função contínua em [ a , b ] ederivável em (a , b ) . %ntão existe um nNmero c tal que

f ´ (c )= f ( b )− f ( a )

b − a.

E/e!pl1 $etermine o extremo relativo da função f ( x )= x2+6x − 3

Prpsiçã 1 Me8a f uma função contínua em [ a , b ] e derivável em(a , b ) .

a7 Me f ´ ( x )>0 ∀ x∈ ( a , b ) então f é cresce%#e em [ a , b ] .

7 Me f ´ ( x )0 para todo x


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intervalo, isto é, f ´ (c )=0 , com a


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. $eterminar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ( x ) .?. %ncontrar os máximos e mínimos relativos.

@. $eterminar a concavidade e os pontos de inflexão.D. %ncontrar as assíntotas verticais e horizontais, se existirem.. %soçar o 5ráfico.

%xemplo- %soçar o 5ráfico das se5uintes funç6es-a7 f ( x )=2x − x2

7 g ( x )=1

3 x

3+3 x

2−7x+9

c7 h ( x )=1

4 x

4−5

3 x

3+4 x

2−4x+8

d7 % ( x )= x4

−32x+8

#C.PRO4LE8AS DE OTI8IAÇ6O1

A teoria mostrada até aqui nos permite resolver al5uns prolemas deotimização. + se5uinte roteiro é Ntil para a solução destes.

R#eir para reslver pr+le!as de #i!iaçã1

#. Atriua uma letra a cada variável mencionada no prolema. Meapropriado, desenhe e nomeie uma fi5ura.

. +timize a função f em seu domínio determinando os pontos críticos.?. $etermine a solução do prolema.

%xemplos#. 4m homem dese8a ter um 8ardim de forma retan5ular no seu quintal.

%le tem ?Cm de material para cercar seu 8ardim. %ncontre asdimens6es do maior 8ardim que ele pode ter se usar todo o material.


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>. 4m fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Fom umdeles se fará um círculo e com o outro um quadrado. Fomo devemoscortar o fio a fim de que a soma das suas áreas compreendidas pelasfi5uras se8a mínima"

?. 4ma companhia exi5e que os recipientes de seus emutidos tenhamuma capacidade de 54c%3 . Kenham forma de cilindros circularesretos e se8am feitos de estanho. $etermine o raio e a altura dorecipiente que requer a menor quantidade de material.

@. 4m homem dese8a ter uma horta cercada em seu quintal. Me a hortaocupar uma área retan5ular de 300%2 , encontre as dimens6es damesma que minimizem a quantidade necessária de material para acerca.

D. 4m silo de 5rãos tem a forma de um cilindro circular reto coerto porum hemisfério Gsemiesfera7. Me o silo deve ter a capacidade de504π %3 , encontre o raio e a altura do silo que requer a

quantidade mínima de material para a sua construção.GMu5estão- +

volume do silo é π r 2

h+2

3 π r

3, e sua área superficial é π (3 r 2+2!" ) .


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LISTA DE EERCÍCIOS

#. #ncont!e a e%&a'(o da !eta tangente ) c&!*a y=2 x2+3 no +onto c&a abscissa - 2.

. #ncont!e a e%&a'(o da !eta tangente ) c&!*a y=1− x2 , %&e sea +a!alela ) !eta

y=1− x

?. sando a de/ini'(o calc&le a de!i*ada das seg&intes /&n'es

a7 f ( x )=2 x3 −3 x2+2

7 f ( x )=2 x

c7 f ( x )=cosx

d7 f ( x )=3−2x

e7 y=1− x

x+3

@. adas as /&n'es f ( x )=5− 2x e g ( x )=3 x2 −1 , dete!mina!

a7 f '

(1 )+ g '

(1 )

7 [ g ' (0 ) ]2+

1

2 g

' (0 )+ g (0 )

c7 f ( 52 )− f ' ( 52 ) g ' ( 52 )

D. ada a /&n'(o f

( x

)=2 x

2

−3x

−2 , dete!mine os inte!*alos em %&e

a7 f ' ( x )>0 b f ' ( x )


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#C. e f ( x )=13− 8x+√ 2 x2 e f ' ( r )=4 , encont!e r.

##. sando as !eg!as de de!i*a'(o, calc&le a de!i*ada +!imei!a das seg&intes/&n'es

a7 f ( x )= x5

b f ( x )=3 x−2

c

f ( x )=5

√ (3 x −1 )4

d7 f ( t )=1

2 (t 2+5) (t 6+4t ) e g (% )=14− 1

2 %

−3/

f ( t )=2t +1−lnt

g y=( x2+5x+2)7 " y=3√ 6 x2+7x+2 i

y=32 x

2+3x − 1

y=e x. lnx ; f ( x )=ln(

e x

x+1 ) l y= sen ( x2 )

m y= cosx

1+cotgx n f ( x )=(2x −5 )4+

1

x+1− √ x

o f ( t )= e− t

2

+1

t + f ( t )=e2x . cosx %

f ( x )=( x2 −√ x )3 x

! y=4 x7 s f ( s )=π 3

#. ost!e %&e y= x3+3x+1 satis/a a e%&a'(o y ' ' ' + x y ' ' −2 y ' =0 .

#?. ost!e %&e se x 1 0 , ent(o y=1

x satis/a a e%&a'(o

x3 y' ' + x2 y ' − xy=0

#@. se a di/e!encia'(o im+l


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#B. A lei da g!a*idade a/i!ma %&e a intensidade = da /o!'a exe!cida +o! &m +onto

com massa sob!e &m +onto com massa m - 7 =8%9

r 2 onde @ - &ma constante, e !

- a distncia ent!e os +ontos. &+ondo os +ontos em mo*imento, ac"e &ma />!m&la +a!a a

taxa de *a!ia'(o instantnea de = em !ela'(o a !.


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7 Com %&e taxa est *a!iando a +!o/&ndidade do l

com %&e *elocidade a +!o/&ndidade da g&a esta! c!escendo %&ando ela ti*e! 16 m de

+!o/&ndidade?

!m&la * =l 3 +a!a o *ol&me de &m c&bo de lado l +a!aencont!a!

a7 A taxa m-dia seg&ndo a %&al o *ol&me do c&bo *a!ia com l %&ando l c!esce de2 +a!a 4.

7 A taxa de *a!ia'(o instantnea seg&ndo a %&al o *ol&me de &m c&bo *a!ia com l

%&ando l B5.

=C. Muponha que a eficácia % de um remédio para dor t horas

depois de entrar na corrente san5uínea é dada por- %R1

27 GBt [ =t\

t]7, C ( t ( >,?. %ncontre a taxa de variação de % em relação a tquando-

a7 tR# 7tR< c7 tR= d7 tR>

=#. %m uma determinada reação química, a quantidade H em5ramas, de uma sustLncia produzida em t horas é dada pela equação-HR #@t 2 >t\, C ^ t (


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são medidas em ohms. R1 e R2 estão crescendo a uma taxa de # e#,? ohms por se5undo, respectivamente. Hual a taxa de variação de :quando R1 R?C ohms e R2 RD? ohms"

=D. Huando um 5ás poliatômico sofre expansão adiaática, suapressão / e seu volume & satisfazem /. &1,3=k onde k é

constante. %ncontre a relação entre as taxasd/

dt e

d&

dt .

=. Huando uma 5ota esférica de chuva cai, ela atin5e umacamada de ar seco e começa a evaporar a uma taxa proporcional ! suaárea de superfície G ? =4πr 2 7. ostre que o raio diminui a uma taxaconstante.

=B. A tra8etIria de um pro8étil lançado a um Ln5ulo de >?_ com o

chão é descrita por y= x − 9,8

& o2 ( x2 ) onde a velocidade inicial está em

mTs. ostre que dorandose a velocidade inicial do pro8étil multiplicasetanto a altura máxima quanto a distLncia horizontal total por >.

>C. 4sando diferenciais, estime o valor de

a7 √ 80,9 7 sen@ ,1 c7 (1,97 )3

>#. + lado de um cuo mede


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quantidade de A presente é de a 5ramas. %m um instante t se5undos depois, a quantidade de presente é de y 5ramas. A taxada reação, em 5ramas por se5undo, é dada por >axa=ky (a − y ) , k constante positiva.

a7 Para que valores de y a taxa é não ne5ativa"

7 Para que valores de y a taxa é máxima"

>@. + momento de torção de uma vi5a, apoiada em umaextremidade, a uma distLncia x do suporte é dado por

9 =1

2 x−

1

2 x

2, onde é o comprimento da vi5a e é a

car5a uniforme por unidade de comprimento. %ncontre o ponto da vi5aonde o momento é o maior possível.

>D. Huais são as dimens6es de uma lata de alumínio que podeconter 40❑3 G Rpole5adas; # ❑3≅16,4c%3 →40❑3≅ 656 c%3 7 desuco e que usa a quantidade mínima de material Gisto é, de alumínio7"Muponha que a lata é cilíndrica e fechada nas duas extremidades.

>.4ma caixa fechada tem uma área de superfície fixa A e uma asequadrada de lado x.

a7 %ncontre uma fIrmula para o volume da caixa em função de x7 %soce um 5ráfico de em função de xc7 %ncontre o valor máximo de .

>B. 4ma vi5a retan5ular é retirada de um tronco cilíndrico de raio=C cm. A resist/ncia de uma vi5a de lar5ura b e altura h é proporcionala = h2 . %ncontre a lar5ura e a altura da vi5a de resist/ncia máxima.

?C.4ma população P em um amiente restrito pode crescer, em função do

tempo t, de acordo com a função lo5ística =

1+C.e− kt onde é

chamada de capacidade de sustentação e ,C e k são constantespositivas.

a7 %ncontre limt → 3

. %xplique por que V é chamada de capacidade de

sustentação.

7 ostre que o 5ráfico de P tem um ponto de inflexão em =

2.

?#. 4m traalhador rural em 45anda está plantando cravo paraaumentar o nNmero de aelhas que fazem suas colmeias na re5ião.%xistem #CC aelhas que moram naturalmente na re5ião e, para cadaacre plantado com cravo,


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?


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tempo em anos. Muponha que 0=1 . Huão depressa estão crescendo ospreços Gem centavosTano7 quando t =10 "

@C. A população do mundo, em ilh6es de pessoas, pode se modelada pelafunção f (t )=5,3 (1,018 )t , onde t é a quantidade de anos apIs#BBC. %ncontre f

(0

) e

f

'

( 0 ). %ncontre f

(30

) e

f

'

(30 ). 4sando

unidades, explique o que cada uma dessas respostas lhe diz sore apopulação mundial"

@#. a7 %ncontre a inclinação do 5ráfico de f ( x )=1− e x no ponto onde elecruza o eixo x.7 %ncontre a equação da reta tan5ente ao 5ráfico nesse ponto.c7 %ncontre a equação da reta perpendicular ! reta tan5ente nesse pontoG%ssa reta é conhecida como a reta normal7.@. A profundidade y da á5ua, em pés, em Qoston, é dada, em função do

nNmero de horas t apIs a meianoite, por y=5+4,9cos( π 6 t ) .a7 %ncontre

dy

dt . Hual o si5nificado de

dy

dt em termos de nível de á5ua"

7 Para 0( t ( 24 , quandody

dt é zero" %xplique o que si5nifica

dy

dt

ser nulo Gem termos do nível de á5ua7.

RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS

#. y B 8x L 5

. y=− x+5

4

?. A f ' ( x )=6 x2 −6x7 f ' ( x )=2 x ln2c7 f ´ ( x )=−senxd7 f ' ( x )=− 2

e7 f ' ( x )= 4

( x+3 )2


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@. A 47 L1c7 2F15

D. A x Q R b x S R

. A= B=1

2B. L1 e 5#C. r =3√ 2

##.A f ' =5 x4 b f ' =− 6 x−3 c f ' =

12

55√ 3x − 1

d f ' =4 t

7+15 t

5+6 t

2+10 e g

' (% )=32

%−4

/ f ' ( t )=2t +1 ln 2 −

1

t g

y' =7 ( x 2+5 x+2 )6 (2 x+5 )

" y' =

12x+7

33

√ (6 x2+7x+2 )2 i

y' =3

2 x2+3x − 1

. ln. (4x+3 ) y ' =e xlnx ( lnx+1 ) ; f ' ( x )=

x

x+1

l y' =2x.cos x

2 m y' =

−sen3 x −cosx . sen

2 x+1− sen

2 x

1+2 cosxsenx

n f ' ( x )=8 (2 x − 5 )3−

1

( x+1 )2−

1

2√ x o f

' ( t )=− e

− t 2

(2 t 2+1 ) −1t

2

+ y=e2 x (2cosx+ senx ) %

f ' ( x )=3 x(2 x −

12√ x )+3

xln 3 ( x2 − √ x )

! y' =28 x

6 s f ' ( s )=0

13. /5 B 625 T alt&!a da d&na de+ois de 5 anos

=U5B L30 dec!-scimo da alt&!a da d&na no 5 ano

#@. dy

dx=

y − x2

y2

− x#D. x V y B 3

#. 0,0 , (21

3 . 2

2

3 )#B. − 2@mr 3


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?=. r =3√ 2?>. f (8 )=0 e f (n )=0??. y=2x−1?@. a7 y=12x−16 7 menor

?D. n= 1

13?. / ' (10 )= 0 (1,05 )

10ln (1,05 )

?B. f ( 0 )=5,3 ilh6es de pessoas e f ' ( 0 )=5,3.ln (1,018 ) ilh6es depessoasTano

f (30 )=5,3 (1,018 )30 ilh6es de pessoas f ' (30 )=5,3 (1,018 )30 .ln (1,018 ) ilh6esde pessoasTano@C. a7 %=− 1 7 y=− x c7 y= x@#. y=3x−5@

calculo_1_-_capitulo_5(2).pdf

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