Cálculo Diferencial e Integral I

Aula 01

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Aula 01: Números reais e funções compostas

Objetivo: Recordar a hierarquia dos números reais, bem como resgatar os conceitos

e operações com funções compostas.

Números reais

N: conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Z: conjunto dos números inteiros Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,

...}.

Q: conjunto dos números racionais Z = {x = b

acom a Z e b Z*}.

R-Q: conjunto dos números irracionais R-Q = {..., - , ..., - 3 , ..., 2 , ...}.

Função composta

Chamamos de função composta de “g” e “f” a função (g f)(x): A C, na qual

g[f(x)] ou (g f)(x) , para todo “x” em “A”.

Esquematicamente:

Lembrando

I. A composta g f só está definida quando CDf = Dg .

II. Pode existir também a composta B A = f[g(x)] ou (f g)(x) , para todo

“x” em “B”.

f(x) : A B

g(x) : B C

Esquematicamente:

III. Na maioria das vezes temos g f fg

Exemplos

a. Considere:

Determine (g f)(x) e (f g)(x).

Resolução

(g f)(x) ou g[f(x)] = g( x + 4 ) = ( x + 4 )2 (g f)(x) = x2 + 8x + 16.

(f g)(x) ou f[g(x)] = f(x2) = (x2) + 4 (f g)(x) = x2 + 4.

f(x) = x + 4

g(x) = x2

b. Considere:

Determine (g f)(x) e (f g)(x), para x = 3.

Resolução

(g f)(x) ou g[f(x)] = g( x2 + 4 ) = 2( x2 + 4 ) – 1 = 2x2 + 8 – 1 (g f)(x) = 2x2 +

7.

(g f)(3) ou g[f(3)] = g( 32 + 4 ) = 2( 32 + 4 ) - 1= 2.(3)2 + 8 - 1 = 2.9 + 7 = 25.

Comprovando:

f(3) = (3)2 + 4 = 9 + 4 f(3) = 13.

Portanto, (g f)(3) = g[f(3)] = g(13) = 2.13 – 1 (g f)(3) = 25.

(f g)(x) ou f[g(x)] = f(2x - 1) = [(2x – 1)2 ] + 4 = 4x2 – 4x +1 + 4

(f g)(x) = 4x2 - 4x + 5.

(f g)(3) ou f[g(3)] = f(2(3)-1) = [(2(3)-1)2 + 4] = 4.(3)2 – 4.(3) + 1 +4 =

= 4.9 – 4.3 + 5 = 36 –12 + 5 = 29.

Comprovando:

g(3) =2.(3) – 1 = 6 - 1 g(3) = 5.

Portanto, (f g)(3) = f[g(3)] = f(5) = (5)2 + 4 = 25 + 4 (f g)(2) = 29.

f(x) = x2 + 4

g(x) = 2x –1

Considerações finais

Chegamos ao fim desta aula. Agora, acesse o AVA e faça os exercícios

propostos. Caso fique alguma dúvida, leve a questão ao Fórum e divida-a com seus

colegas e professor.

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REFERÊNCIAS

FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2009.