cálculo de predicados prof. marcone sotéro [email protected]

Cálculo de Predicados

Prof. Marcone Soté[email protected]


A: Todos são mortais.

B: Alguém é bondoso.

Utilizando a lógica proposicional,

poderíamos explicitar a diferença entres

as sentenças acima?


•Na lógica proposicional as duas sentenças são tratadas como unidades

– Elas não podem ser decompostas em sentenças menores ligadas pelos conectivos lógicos

– Por isso não conseguimos falar da diferença entre elas na lógica proposicional


• Considere a premissa– “Sócrates é humano”.

Esse enunciado é uma declaração de que determinado indivíduo (Sócrates) possui uma propriedade específica (é humano).

• Na linguagem natural, o indivíduo que possui a propriedade é chamado sujeito, enquanto a propriedade descrita é chamada predicado.


O predicado explicita certas qualidades que o sujeito possui e que permite incluí-lo em uma categoria

– por exemplo, quando dizemos “Sócrates é humano” queremos dizer que o objeto chamado “Sócrates” possui certas características que permitem incluí-lo no conceito que fazemos daquilo que chamamos “humano”.


Nesta nova linguagem teremos, além dos conectivos do cálculo proposicional e dos parênteses, os seguintes novos símbolos:

variáveis: x,y,z,...– as variáveis representam objetos que não estão identificados

no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.);constantes: a,b,c,...– as constantes representam objetos identificados do Universo

("João", "o ponto A", etc. );

quantificadores: (universal), (existencial)

Quantificadores

Símbolo de quantificação universal;

leia-se “para todo”, “todo”.

Símbolo de quantificação existencial;

leia-se “algum”, “existe”.


Representamos o predicado por sua inicial maiúscula, e o sujeito a seguir, entre parênteses; assim, “Sócrates é humano” fica representado por

– H (Sócrates)

• Exemplos– "Maria é inteligente": I(m) ; onde "m" está identificando

Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente".

– "Alguém gosta de Maria": G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém".

Exemplos

• A Terra é redonda

R(t)

• Simba é um mamífero

M(s)

• Quatro é um número par

N(q)

Exemplos

Todo número inteiro par é divisível por 2.

Para qualquer x, se x for um número inteiro par, x é divisível por 2.

Para qualquer x, (P(x) D(x))

Exemplos

Todo número inteiro par é divisível por 2(x)(P(x) D(x))

Todo coala come folhas de eucalipto(x)(C(x) E(x))

Alguém estudou aqui(x)(E(x))

Exemplos

Ele foi para o Alasca(x)(I(x))

Ninguém estuda aqui(x)(~A(x))

Nem todo cão é manso(x)[C(x) (~(m(x)))]

Sentenças Abertas e Fechadas

O sujeito é uma constante

Ex.: “Sócrates é humano”, pode ser verdadeira ou falsa;

O sujeito é uma variável

Ex.: “Ele foi presidente do Brasil”, ela não é verdadeira nem falsa, dependendo de nome que assuma o lugar do pronome. Uma frase como essa não é, portanto, um enunciado.


Os enunciados são chamados sentenças

fechadas, enquanto que frases como:

– “x foi presidente do Brasil”– “y escreveu Os Lusíadas”– “z viajou para os Estados Unidos”

são chamadas sentenças abertas.


As sentenças abertas não são verdadeiras nemfalsas;

podemos dizer apenas que são satisfeitas para certos valores das variáveis, e não satisfeitas para outros.

A substituição das variáveis de uma sentença aberta por constantes chama-se instanciação ou especificação;

A instanciação transforma uma sentença aberta em um enunciado, e este sim, pode ser verdadeiro ou falso.

O Universo

• O Universo de uma variável é o conjunto de valores que ela pode assumir.

– O conjunto dos números– O conjunto dos números naturais maiores que

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Conjunto-Verdade

Chama−se Conjunto-Verdade (VP) de uma sentença aberta P(x), o conjunto de elementos do Universo que, quando instanciam a variável, satisfazem (tornam verdadeiro) o enunciado; ou seja

VP = { a U | VL [ P (a) ] = V }

VL (Valor Lógico)

Conjunto-Verdade

Por exemplo, seja U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e a expressão “x é primo” representada por P(x).

– Temos então VP = { 2, 3, 5, 7 }.

O conjunto-verdade em N da sentença aberta “x é divisor de 10” é:

– VP = { x N | x é divisor de 10} = {1, 2, 5, 10}

Proposição Universal Afirmativa

Tem a forma geral Todo S é P e indica que todos os elementos da classe S estão contidos na classe P.

– Forma simbólica:

x (S(x) P(x))

Proposição Universal Negativa

Tem a forma geral Nenhum S é P e indica que as classes S e P não possuem elementos em comum.


x (S(x) ~P(x))

Proposição Particular Afirmativa

Tem a forma geral Algum S é P e indica que alguns membros da classe S também pertencem à classe P.


x (S(x) ^ P(x))

Proposição Particular Negativa

Tem a forma geral Algum S não é P e indica que existem elementos de S que não estão contidos em P.


x (S(x) ^ ~P(x))

Diagramas de Venn

• Cada classe é representada por um círculo, rotulado com o nome da classe;

• Para representar a proposição que afirma que a classe não possui elementos sombreamos o interior do círculo;

• Para indicar que a classe possui pelo menos um elemento, incluímos um x no círculo.

Diagramas de Venn

Proposição Universal Afirmativa

Todo S é P

Forma simbólica: x (S(x) P(x))

Diagramas de Venn

Proposição Universal Negativa

Nenhum S é P

Forma simbólica: x (S(x) ~P(x))

Diagramas de Venn

Proposição Particular Afirmativa

Algum S é P

Forma simbólica: x (S(x) ^ P(x))

Diagramas de Venn

Proposição Particular Negativa

Algum S não é P

Forma simbólica: x (S(x) ^ ~P(x))

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