calcúlo

Clculo I

Arnaldo Barbosa LourenoClcio Freire da Silva

Genilce Ferreira Oliveira

Manaus 2007

FICHA TCNICA

GovernadorEduardo Braga

ViceGovernadorOmar Aziz

ReitoraMarilene Corra da Silva Freitas

ViceReitorCarlos Eduardo S. Gonalves

PrReitor de Planejamento

Osail de Souza Medeiros

PrReitor de Administrao

Fares Franc Abinader Rodrigues

PrReitor de Extenso e Assuntos Comunitrios

Roglio Casado Marinho

PrReitor de Ensino de GraduaoCarlos Eduardo S. Gonalves

PrReitor de PsGraduao e Pesquisa

Jos Luiz de Souza Pio

Coordenador Geral do Curso de Matemtica (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador PedaggicoLuciano Balbino dos Santos

NUPROMNcleo de Produo de Material

Coordenador GeralJoo Batista Gomes

Editorao EletrnicaHelcio Ferreira Junior

Reviso TcnicogramaticalJoo Batista Gomes

Loureno, Arnaldo Barbosa.

L892c Clculo I / Arnaldo Barbosa Loureno, Clcio Freire da Silva,Genilce Ferreira Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciaturaem Matemtica. 2. Perodo)

125 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia.

1. Clculo - Estudo e ensino. I. Silva, Clcio Freire da. II.Oliveira, Genilce Ferreira. III. Srie. IV. Ttulo.

CDU (1997): 517.2/.3

SUMRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 Funo ou Aplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE II Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

TEMA 02 Limites Definio e Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25TEMA 03 Continuidade de uma Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 TEMA 04 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30TEMA 05 Limites Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33TEMA 06 Limites Trigonomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36TEMA 07 Limites Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

UNIDADE III Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

TEMA 08 Derivada de uma Funo, definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 TEMA 09 A Reta Tangente ao Grfico de uma Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46TEMA 10 Regras de Derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 11 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56TEMA 12 Estudo do Sinal de uma Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60TEMA 13 Taxa de Variao e regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

UNIDADE IV Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

TEMA 14 Integrais Primitivas e Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73TEMA 15 Clculo de rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79TEMA 16 rea entre Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86TEMA 17 Mudana de Varivel na Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88TEMA 18 Integrao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TEMA 19 Integrais Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98TEMA 20 Integrais de Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Respostas de Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Arnaldo Barbosa LourenoLicenciado em Matemtica - UFPA

Licenciado em Cincias Contbeis - UFAM

Ps-graduado em Ensino da Matemtica - UFAM

Clcio Freire da SilvaLicenciado em Matemtica UFAM

Bacharel em Matemtica UFAM

Psgraduado em Instrumentao para o Ensino da Matemtica UFF

Genilce Ferreira OliveiraLicenciada em Matemtica UFAM

Especialista em Matemtica UFAM

PERFIL DOS AUTORES

UNIDADE IFuno

TEMA 01

FUNO OU APLICAO

1.1. Definio, elementos

Entendemos por uma funo f uma terna (A, B,a b) onde A e b so dois conjuntos e a b,uma regra que nos permite associar a cada ele-mento a de A um nico b de B. O conjunto A o domnio de f, e indica-se por Df, assim A = Df.O conjunto B o contradomnio de f. O nico bde B associado ao elemento a de A indicadopor f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) o valorque f assume em a ou que f(a) o valor que fassocia a a. Quando x percorre o domnio de f,f(x) descreve um conjunto denominado ima-gem de f e que se indica por Imf:

Imf = {f(x)|xDf}Uma funo de f de domnio A e contradomnioB usualmente indicada por f : A B (leia: f de Aem B).

Uma funo de uma varivel real a valoresreais uma funo f : A B, onde A e B so sub-conjuntos de IR. At meno em contrrio, strataremos com funes de uma varivel real avalores reais.

Seja f : A B uma funo. O conjunto

Gf = {(x,f(x))|xA}denomina-se grfico de f; assim, o grfico de f um subconjunto de todos os pares ordena-dos (x, y) de nmeros reais. Munindo-se o pla-no de um sistema ortogonal de coordenadascartesianas, o grfico de f pode, ento, ser pen-sado como o lugar geomtrico descrito peloponto (x, f(x)) quando x percorre o domnio def.

Observao Por simplificao, deixaremos,muitas vezes, de explicitar o domnio e o con-tradomnio de uma funo; quando tal ocorrer,ficar implcito que o contradomnio IR e odomnio o maior subconjunto de IR para oqual faz sentido a regra em questo.

Exemplo:

Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e

B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relao binriaR ={(x,y) Ax B/ y = x2} uma funo.

Soluo:

M = {0, 1 ,2}

N={0, 1, 4, 5}

R ={(x,y) Mx N/ y = x2}

x = 0 y = 02 = 0

x = 1 y = 12 = 1

x = 2 y = 22 = 4

No diagrama de flechas, temos que:

Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, entopodemos afirmar que f uma funo ou aplica-o, j que de cada elemento de M temos umanica correspondncia com elementos de N.

Veja tambm que D(f) = {0,1,2},

CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}.

Grficos de funes

Dizemos que uma relao binria R: A B fun-o ou aplicao no grfico, quando toda retavertical tocar em um nico ponto no grfico,para todo x A.

Exemplos:

1. Verificar se o grfico abaixo representa uma fun-o.

11

Clculo I Funo

Soluo:

Dado o grfico, temos que:

Observe que existem retas verticais que tocamem mais de um ponto no grfico, da podemosconcluir que f no funo ou aplicao.

2. Verificar se o grfico abaixo uma funo ouaplicao.

Soluo:

Dado o grfico abaixo, temos:

Observe que todas as retas verticais que tra-armos, tocaro em um e nico ponto no gr-fico. Logo g uma funo ou aplicao.

3. Dada a funo f:IR IR com a regra x x3, temosque:

Df = IR

Im(f) = {x3 / xIR} = IR O valor que f assume em x f(x) = x3. Esta

funo associa a cada real x o nmero realf(x) = x3.

f(1) = (1)3 = 1, f(0) = 03 = 0, f(1) = 13 = 1

O grfico de f tal que Gf = {(x,y) / y = x3,xIR}

Domnio de funes

O domnio de uma funo representa o conjun-to de valores para os quais ela existe. Dentreos principais casos, temos:

a) O domnio de uma funo polinomial sem-pre real.

b) Para o domnio de uma funo que possuivarivel no denominador, basta ser este dife-rente de zero.

c) Radical com ndice par no numerador pos-sui radicando maior ou igual a zero.

d) Radical com ndice par no denominadorpossui radicando maior que zero.

Exemplos:

1. Qual o domnio mais amplo para a funo

?

Soluo:

, ento 1 x 0 x 1. Logo o domnio

dado por D(f) = IR {1}.

2. Qual o domnio da funo ?

Soluo:

2x 6 0 x 3. Logo o seudomnio ser D(f) = {xIR/ x 3}.

3. Seja f: IR IR com a regra x x3. Temse:a) Df = IR

b) Im f = {x3|xIR}= IR, pois, para todo y emIR, existe x real tal que x3 = y.

12

UEA Licenciatura em Matemtica

c) O valor que f assume em x f(x) = x3. Estafuno associa a cada real x o nmero realf(x) = x3 .

d) f(1)=(1)3 = 1; f(0) = 03 = 0; f(1) = 13 = 1.

e) Grfico de f:

Gf = {(x,y)|y = x3, xIR}Suponhamos x > 0; observe que, medidaque x cresce, y tambm cresce, pois y = x3,sendo o crescimento de y mais acentuadoque o de x (veja: 23 = 8; 33 = 27, etc.);quando x se aproxima de zero, y aproxima-se de zero mais rapidamente quex((1/2)3 = 1/8; (1/33 = 1/27 etc.). estaanlise d-nos uma idia da parte do grfi-co correspondente a x > 0. Para x < 0, sobservar que f(x) = f(x).

4. Seja f a funo dada por . Temse:

a) Df = {xIR| x 0}b) Im f = {xIR/ y 0}c) f(4) = =2 (o valor que f assume em 4 2).

d)

e)

f) Grfico de f:

A funo f dada pela regra .Quando x cresce, y tambm cresce sendo ocrescimento de Y mais lento que o de x

; quando x seaproxima de zero, y tambm aproxima-sede zero, s que mais lentamente

que .

5. Considere a funo g dada por . Temse:

a) Dg = {xIR| x 0}b) Esta funo associa a cada x 0 o real

g(x) = 1/x

c)

d) Grfico de g:

Vamos olhar primeiro para x > 0; medidaque x vai aumentando, y = 1/x vai aproxi-mando-se de Zero

;

medida que x vai aproximando-se de zero,y = 1/x vai-se tornando cada vez maior

Voc j deve ter uma idia do que acontecepara x < 0.

Observao Quando uma funo vemdada por uma regra do tipo x | y, y = f(x), comum referir-se varivel y como vari-vel dependente, e varivel x como varivelindependente.

6. Dada a funo f(x) = x2 + 2x, simplifique:

a) b)

13

Clculo I Funo

Soluo:

a)assim

.

Observe: f(1) = 12 +2 = 1.

b) primeiro, vamos calcular f(x + h). Temosf(x + h) = (x + h)2 + 2(x + h) = x2 2xh h2 + + 2x + 2h.

Ento,

ou seja, = 2x h + 2, h 0.7. Funo constante Uma funo f: A IR

dada por f(x) = k, k constante, denomina-sefuno constante.

a) f(x) = 2 uma funo constante; tem-se:

(i) Df = IR; Im f = {2}

(ii) Grfico de f

Gf{(x,f(x))|xIR} = {(x,2) | xIR}.O grfico de f uma reta paralela ao eixox passando pelo ponto (0, 2).

8. g:] ;0] IR dada por g(x) = 1 umafuno constante e seu grfico

9. Seja

Temse:

a) Df = IR; Im f = {1,1}

b) Grfico de f

Observe que (0, 1) pertence ao grfico de f,mas (0, 1) no.

1.2 Funo composta

Dadas as funes f: A B e g: B C, dizemos queexiste uma funo h: A C, tal que:

h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), x A.

Representando essa situao por diagrama deflechas, temos:

Exemplos

a) Dadas as funes f(x) = 2x 1 e

g(x) = 3 4x, calcular o valor de

(fog)(x) (gof)(x).

Soluo

f(x) = 2x 1

14


g(x) = 3 4x

(fog)(x) = 2.( 3 4x) 1

= 6 8x 1

= 5 8x

(gof)(x) = 3 4(2x 1)

= 3 8x + 4

= 7 8x

(fog)(x) (gof)(x) = 5 8x (7 8x)

= 5 8x 7 + 8x

= 2

a) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = 2x + 3, entodetermine o valor de g(0).

Soluo:

(fog)(x) = 2x + 1

f(x) = 2x + 3

g(0) = ?

(fog)(x) = 2x + 1

2(g(x)) + 3 = 2x + 1

g(x) = x + 1. Logo g(0) = 1

1. Qual o domnio mais amplo da funo

?

Soluo:

(1) 1 x 0 x 1(2) 2x + 1 0 x 1/2Fazendo-se (1) (2), temos que:

D(f) = {xIR/ x 1 e x 1/2}

2. Determine o valor de k para que fog(x) = gof(x), dadas f(x) = 2kx +1 e

g(x) = 2 3x.

Soluo:

f(x) = 2kx +1

g(x) = 2 3x

fog(x) = gof(x)

2k.( 2 3x) + 1 = 2 3.( 2kx +1)

4k 6kx + 1 = 2 6kx 3

4k = 1 k = 1/4

3. Calcular o valor de f(1), sabendo se quef(2x 1) = 3 x.

Soluo

f(2x 1) = 3 x

2x 1 = 1 x = 0

f(1) = 3 0

f(1) = 3

4. Determine o domnio da funo .

Soluo:

x + 1 = t x = t 1

3 x > 0 x < 3

D(f) = ];3[

1.4 Funo polinomial do 1.o grau

Definio

Chama-se funo polinomial do 1.o grau, oufuno afim, a qualquer funo f de IR em IRdada por uma lei da forma

f(x) = ax + b, em que a e b so nmeros reaisdados e a 0.Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chama-do de coeficiente de x, e o nmero b chama-do termo constante.

Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 1.o

grau, y = ax + b, com a 0, uma retaoblqua aos eixos Ox e Oy.

Se a > 0, ento f ser crescente.15

Clculo I Funo

16


Para a > 0: se x1 < x2, ento ax1 < ax2.Da, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

Se a < 0, ento f ser decrescente;

Para a < 0: se x1 < x2, ento ax1 > ax2. Da,ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Observao Uma funo f : IR IR dadapor f(x) = ax, a constante, denomina-se funolinear; seu grfico a reta que passa pelospontos (0, 0) e (1, a):

Se a = 0, o grfico de f coincide com o eixo Ox.Exemplos:

1. Esboce os grficos.

a) f(x) = 2x. b) g(x) = 2x c) h(x) = 2 I x I

Soluo:

a) O grfico de f a reta que passa pelos pon-tos (0, 0) e (1, 2).

b) O grfico de g a reta que passa pelospontos (0, 0) e (1, 2).

c) Primeiro, eliminemos o mdulo

y = 2x

2. Esboce o grfico de f(x) = I x 1I + 2.

Soluo:

Primeiro, eliminemos o mdulo

ou

Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retasy = x + 1 e y = x + 3 e, em seguida, marcar, comtrao firme, a parte que interessa de cada uma:

para x 1, f(x) = x + 1para x < 1, f(x) = x + 3Sempre que uma funo for dada por vriassentenas, voc poder proceder dessa forma.

Um outro modo de se obter o grfico de f oseguinte: primeiro desenhe pontilhado o grfi-co de y = I x I; o grfico de y = I x 1 I obtm-se do anterior transladando-o para a direita deuma unidade; o grfico de f obtm-se desteltimo transladando-o para cima de duas uni-dades.

1.5 Funo quadrtica (funo polinomial do 2.o

grau)

Definio

Chama-se funo quadrtica, ou funo poli-nomial do 2.o grau, qualquer funo f de IR emIR dada por uma lei da forma

f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c sonmeros reais e a 0.

Grfico

O grfico de uma funo polinomial do 2.o

grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, uma curvachamada parbola.

a > 0, ento f ter concavidade voltada paracima;

a < 0, ento f ter concavidade voltada parabaixo.

Observao A quantidade de razes reais deuma funo quadrtica depende do valor obti-do para o radicando , chamado discrimi-nante, a saber:

quando positivo, h duas razes reais edistintas;

quando zero, h s uma raiz real; quando negativo, no h raiz real. Coordenadas do vrtice da parbola

Quando a > 0, a parbola tem concavidadevoltada para cima e um ponto de mnimo V;quando a < 0, a parbola tem concavidadevoltada para baixo e um ponto de mximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V

so . Veja os grficos:

Exemplo:

(PUC) Determine as coordenadas do vrtice da

17

Clculo I Funo

parbola y = x2 + 2x 5.

a) (1,4) b) (0,4)

c) (1,4) d) (2,2)

e) (1,3)

Soluo:

1. y = x2 + 2x 5, ento a = 1, b = 2 ec = 5

2. = b2 4ac = 22 4.(1).(5) = 16

3.

4.

5. Logo o vrtice dado pelo ponto (1,4)

Imagem

O conjunto-imagem Im da funo y = ax2 + bx+ c, a 0 o conjunto dos valores que y podeassumir. H duas possibilidades:

a < 0

Exemplo:

(USP) Construir o grfico da funo f(x) = x2 + 2x 1, no plano cartesiano.

Soluo:

(1) f(x) = x2 + 2x 1, ento a = 1, b = 2 ec = 1

(2) = b2 4ac, ento = 22 4.(1).(1) = 0,logo as razes de f so

(3)

(4)

(5) O vrtice da parbola dado pelo ponto(1,0)

(6) f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,1)

(7) Ento o grfico pode ser dado por:

Observao:

1. Funo polinomial Uma funo f: IR IRdada por

f(x) = a0xn + a1xn1+ ... + an 1x + an

em que a0, a1, a2, ..., an so nmeros fixos,denomina-se funo polinomial de grau n (nIN).

a) f(x) = x2 4 uma funo polinomial degrau 2, e seu grfico a parbola

18


O grfico de uma funo polinomial de grau

2 uma parbola com eixo de simetria pa-

ralela ao eixo Oy.

b) g(x) = (x 1)3 uma funo polinomial de

grau 3; seu grfico obtm-se do grfico de

y = x3, transladando-o uma unidade para a

direita.

2. Funo racional Uma funo f uma funo

dada por onde p e q so duas

funes polinomiais; o domnio de f o con-

junto {xIR|q(x) 0}.a) uma funo racional definida

para todo x 0. Como , segue

que o grfico de f obtido do grfico de

y = 1/x, transladando-o uma unidade para

cima (veja Ex. 3).

b) uma funo racional com

domnio {xIR|x 0}. Observe que . medida que I x I vai crescen-

do , 1/x vai aproximando-se de zero, e o gr-fico de g vai, ento encostando na retay = x (por cima se x > 0; por baixo se x < 0). medida que x aproxima-se de zero, o gr-

fico de g vai encostando na curva .

c) uma funo racional com

Domnio {xIR|x 2}. O grfico de h obtido do grfico de y = , transladando-o

duas unidades para a esquerda.

19

Clculo I Funo

1. Calcule:

a) f(1) e sendo f(x) = x2 + 2x

b) g (0), g (2) e g( ) sendo

c) sendo f(x) = x2 e ab 0

d) sendo f(x) = 3x + 1 e ab 0

2. Simplifique sendo dados:

a) f(x) = x2 e p = 1

b) f(x) = 2x + 1 e p = 2

c) f(x) = 1/x e p = 2

d) f(x) = e p = 3

e) f(x) = 5 e p = 2

3. Simplifique (h 0) sendo f(x)igual a:

a) 2x + 1b) x2

c) 2x2 + 3d) 5

e)

4. D o domnio e esboce o grfico.

a) f(x) = 3x

b)

c) h(x) =

d) g(x) =

e) f(x) =

5. Determine o domnio das funes:

a) b)

c) d)

e)

1.6 Funo exponencial

Chamamos de funes exponenciais aquelasnas quais temos a varivel aparecendo em ex-poente.

A funo f:IR IR+ definida por f(x) = ax, com aIR+ e a 1, chamada funo exponencial debase a. O domnio dessa funo o conjuntoIR (reais), e o contradomnio IR+ (reais posi-tivos, maiores que zero).

Grfico cartesiano da funo exponencial

Temos 2 casos a considerar:

quando a>1;

quando 0

Nos dois exemplos, podemos observar que:

a) O grfico nunca intercepta o eixo horizontal;a funo no tem razes.

b) O grfico corta o eixo vertical no ponto (0,1).

c) Os valores de y so sempre positivos (po-tncia de base positiva positiva), portantoo conjunto imagem Im=IR+.

Alm disso, podemos estabelecer o seguinte:

Se 0 < a < 1, ento f ser decrescente.

Se a > 1, ento f ser decrescente.

1.7 Funo logaritmica

Considere a funo y = ax, denominada funoexponencial, em que a base a um nmero po-sitivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que, nessas condies, ax um n-mero positivo, para todo xIR, onde IR oconjunto dos nmeros reais.

Denotando o conjunto dos nmeros reais po-sitivos por R+*, poderemos escrever a funoexponencial como segue:

f: R R*+ ; y = ax , 0 < a 1Essa bijetora, pois:

a) injetora, ou seja: elementos distintos pos-suem imagens distintas.

b) sobrejetora, pois o conjunto imagem co-incide com o seu contradomnio.

Assim sendo, a funo exponencial BIJETO-RA e, portanto, uma funo inversvel, ouseja, admite uma funo inversa.

Vamos determinar a da funo y = ax , onde0 < a 1.Permutando x por y, vem:

x = ay y = logaxPortanto a funo logartmica ento:

f: R*+ R ; y = logax , 0 < a 1.Mostramos, a seguir, os grficos das funesexponencial (y = ax) e logartmica

(y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a 1. Observe que, sendo as funes inversas, osseus grficos so curvas simtricas em relao bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes,ou seja, simtricas em relao reta y = x.

0

21

Clculo I Funo

Da simples observao dos grficos acima,podemos concluir que:

Para a > 1, as funes exponencial e loga-rtmica so CRESCENTES.

Para 0 < a 1, elas so DECRESCENTES. O domnio da funo y = logax o conjun-

to R+* .

O conjunto imagem da funo y = logax oconjunto R dos nmeros reais.

O domnio da funo y = ax o conjunto Rdos nmeros reais.

O conjunto-imagem da funo y = ax oconjunto R*+.

Observe que o domnio da funo exponencial igual ao conjunto-imagem da funo logart-mica e que o domnio da funo logartmica igual ao conjunto-imagem da funo exponen-cial. Isso ocorre porque as funes so inver-sas entre si.

0

22


UNIDADE IILimites

TEMA 02

LIMITES: DEFINIO E LIMITES LATERAIS

2.1 O papel dos limites de funes reais

O conceito de Limite de uma funo realizaum papel muito importante em toda teoria ma-temtica envolvida com o Clculo Diferencial eIntegral. H uma cadeia ordenada muito bemestabelecida no Clculo:

Conjuntos, Funes, Limites, Continuidade,Derivadas e Integrais

Para entender os conceitos mais importantesda lista acima, que so os ltimos, a Teoria deLimites fundamental.

O motivo para isso que nem tudo o que que-remos realizar ocorre no meio fsico, e quasesempre necessrio introduzir um modelo queprocura algo que est fora das coisas comuns,e essa procura ocorre com os limites nos estu-dos de seqncias, sries, clculos de razesde funes...

Por exemplo, obter uma raiz de uma funopolinomial de grau maior do que 4 somente possvel por meio de mtodos numricos queutilizam fortemente as idias de limite e con-tinuidade. Na verdade, esse clculo dependedo Teorema do Valor Intermedirio (apresenta-do no fim), que uma conseqncia do estu-do de continuidade de funes.

2.2 Idia intuitiva de limite

Estudaremos o comportamento de uma funof nas proximidades de um ponto. Para fixaridias, consideremos a funo f:R {1} R definida por:

lim

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada ereescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1.

Ao analisar o comportamento dessa funo nasvizinhanas do ponto x = 1, ponto este que nopertence ao domnio de f, constatamos que afuno se aproxima rapidamente do valor L =2, quando os valores de x se aproximam de x =1, tanto por valores de x < 1 ( esquerda de 1)

quanto por valores x > 1 ( direita de 1).

Do ponto de vista numrico, as tabelas abaixomostram o comportamento da funo f, paravalores x esquerda e direita de x = 1.

Pela esquerda de x = 1

Pela direita de x = 1

Nesse caso, dizemos L = 2 o limite da funof quando x se aproxima de 1, o que denotare-mos por:

limx1 f(x) = 2

Esse resultado pode ser visto por meio da anlisegrfica de f, cujo esboo vemos na figura abaixo:

2.3 Limite de uma funo real

Seja f uma funo real definida sobre o interva-lo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que per-tence a intervalo (a,b), Le e Ld nmeros reais.

Diz-se que o limite lateral direita de f no pontoc igual a Ld, se os valores da funo seaproximam de Ld, quando x se aproxima de cpor valores ( direita de c) maiores do que c.Em smbolos:

limx + f(x) = LdO limite lateral esquerda de f no ponto c igual a Le, se os valores da funo se aproxi-mam de Le, quando x se aproxima de c por va-lores ( esquerda de c) menores que c. Emsmbolos:

limx + f(x) = LeQuando o limite lateral esquerda Le coincidecom o limite lateral direita Ld, dizse queexiste o limite da funo no ponto c e o seuvalor Ld = Le = L. Com notaes simblicas,escrevemos:

25

Clculo I Limites

26


limx c f(x) = L

O que significa que, para qualquer e > 0 e arbi-trrio, existe um d > 0, que depende de e, talque

|f(x)L| < e para todo x satisfizando 0 < |xa|< d.

No caso em que um dos limites laterais noexiste ou no caso de ambos existirem, pormcom valores diferentes, diremos que a funono tem limite no ponto em questo.

O prximo resultado afirma que uma funono pode aproximar-se de dois limites dife-rentes ao mesmo tempo, e ele denominado oteorema da unicidade, porque garante que seo limite de uma funo existe, ento ele deverser nico.

Unicidade do limite Se Lim f(x) = A e Lim f(x)= B quando x tende ao ponto c, ento A = B.

Demonstrao Se e > 0 arbitrrio, entoexiste d' > 0 tal que |f(x)A| < e/2 sempre que0< |x a| < d'. Como tambm temos porhiptese que existe d">0 tal que|f(x)B| < e/2sempre que 0

27

Clculo I Limites

3. Consideremos agora o caso onde f(x) no estdefinida em x = c.

Apesar de f(x) no estar definida em x = 1, olimite de f(x), quando x se aproxima de 1, existee igual a 2:

Ora, x pode ser tomado to prximo de 1 quan-to quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que olimite de f(x) 2.

2.4 Generalizao do conceito de limite

Definio

Dados uma funo f: B IR e um ponto de acu-mulao a de B, diz-se que um nmero IR limite de f em a, e escreve-se:

limxa f(x) = ou f(x) , com x aquando vale a seguinte condio:

Para todo > 0, existe = () > 0 tal que: x B, 0 < |x a| < |f(x) | < .Exemplos:

1. Consideremos a funo

Note que f no est definida no ponto x = 1. Noentanto, para x 1 temos f(x)=2(x+1) e, por-tanto, natural suspeitar que lim

x1 f(x) = 4.Mostremos por meio da definio que este ocaso. De fato, se x 1 podemos escrever |f(x)4| = |2(x + 1) 4| = 2|x 1|.

Assim, dado > 0, se escolhermos = /2

obtemos 0 < |x 1| < 2|x 1|< , ouseja, |f(x) 4| < . Veja a figura abaixo:limx1 2(x

2 1)/(x 1) = 4 [ = /2]

2. limx2 (3x + 4) = 10. De fato, dado > 0, para encon-trar um > 0 que nos convenha, notemos queneste caso a = 2 e |f(x) | = |(3x + 4) 10| .Assim, se tomarmos = /3, temos: 0 > |x 2| < |(3x + 4) 10| = 3|x 2| < 3 = .

3. limx2 (x

2 + 1) = 5. De fato, dado > 0, vamosprocurar > 0 sob a restrio 1. Assim,|x 2| < implica 1< x < 3 e, portanto,|x+2| < 5. Logo, se 0 < /5, temos0 < |x 2| < , ento|(x2 + 1) 5| = |x + 2||x 2| < 5|x 2|< 5 .Portanto basta tomar 0 < min{1,/5}.

4. limxa cos x = cos a. De fato, observemos que sem-pre |cos x1 cos x2|||x1 x2|; confira com afigura abaixo. Assim, dado > 0, podemostomar = uma vez que, nesse caso: 0

28


1. Na funo f definida por

temos:

limx1+ f(x)= limx1+(3 x) = 2 e limx1 f(x) = limx1(x

2 4) = 3

Como os limites laterais so diferentes, dize-mos que lim

x1 f(x) no existe.

2. Dada a funo f definida por para to-

do xIR*, calcule limx0+ f(x) e limx0 f(x). Existe limx0 f(x)?

Soluo:

, temos:

e

Considerando que limx0+ f(x) limx0 f(x), conclu-

mos que no existe limx0 f(x).

3. Calcule limx1+ f(x) e limx1 f(x), sendo

.Soluo:

limx1+ f(x) = limx1+ 2x = 2 e limx1 f(x) = limx1 x

2 = 1.

1. Calcule, caso exista. Se no existir, justifique.

a) 1

b) n

c) 1

d) n

2. Dada a funo , verifique que

limx1+ f(x) = limx1 f(x).

TEMA 03

CONTINUIDADE DE UMA FUNO

3.1 Introduo

Dizemos que uma funo f(x) contnua numponto a do seu domnio se as seguintescondies so satisfeitas:

f(a)lim

xa f(x)

limxa f(x) = f(a)

3.2 Propriedade das funes contnuas

Se f(x) e g(x)so contnuas em x = a, ento:

f(x) g(x) contnua em a; f(x) . g(x) contnua em a;

f(x)g(x) contnua em a (g(a) 0).

3.3 Generalizao sobre continuidade de umafuno

Dizer que uma funo f contnua em umponto a significa que f(a) existe e que f levapontos prximos de a em pontos prximosde f(a). Isso pode ser resumido precisamentena seguinte definio:

Definio:

Uma funo f : B contnua em um pontoaB se, dado , existe > 0 de modo que xB, |x a| < |f(x) f(a)| < .Note que, se o domnio de f for um intervalo,B=(b,c), b

29

Clculo I Limites

do ser interior ao intervalo ou em qualquer dasextremidades.

Observao:

No grfico, observamos que a funo admiteum ponto de mximo local e um ponto de m-nimo local, ambos interiores ao intervalo.

Entretanto o ponto de mximo global da fun-o ocorre na extremidade b, e o ponto demnimo global ocorre na extremidade a do in-tervalo.

Tambm conveniente observar que o Teo-rema s vale se a funo contnua num inter-valo fechado. Se a continuidade for num inter-valo aberto, no possvel garantir a existnciade mximo e mnimo globais.

Exemplos:

1 Consideremos

medida que x se

aproxima de 2. Neste caso, f(x) est definidoem 2 e igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

medida que x aproximase de 2, f(x) aproxi-mase de 0.4 e consequentemente temos aigualdade lim

x 2 f(x) = 0.4. Sempre que se veri-fique a igualdade f(c) = lim

x c f(x), dizse que f contnua em x = c. A igualdade no vlidapara todas as funes.

2. Vejamos a funo:

O limite de g(x) medida que x se aproxima de

2 0.4 (tal como em f(x)), mas limx 2 g(x) g(2) e

consequentemente g no contnua em x = 2.

3. a funo f(x) = 2x + 1 definida em IR con-tnua em 1, pois

Notemos que f contnua em IR, pois paratodo a IR, temos:

4. A funo definida em IR

descontnua em 1, pois

Observemos que f contnua em IR {1} pois,para todo a IR {1}, temos:

5. Dada a funo , verificar se

existe algum ponto de descontinuidade .

Como limx 3 f(x) = limx 3 (x + 1) = 4; limx 3+ f(x) =

= limx 3 4 = 4 e f(3) = 4 temos que limx 3 f(x) = f(3)

o que implica que a funo contnua no pontox = 3.

Para k 3, limx k f(x) = limx k (x + 1) =

limx k x + limx k 1 = k + 1 e f(k) = k + 1

Para k > 3, limx k f(x) = limx k 4 = 4 e f(k) = 4

Ento, f contnua em IR e no h ponto dedescontinuidade.

Em geral, restringimos a anlise aos valores dex que no verificam as condies de existncia

de f ou que quebram o domnio de f (nesteexemplo, x = 3).

6. Verifique se a funo contnua

em x = 3.

Clculo de f(3):

Clculo de limx 3

f(x) =

Como limx 3

f(x) = f(3), f(x) contnua em x = 3

Verifique se a funo f contnua no pontoespecificado.

1.

2.

3.

4.

5.

TEMA 04

PROPRIEDADES DOS LIMITES

4.1 Introduo

Muitas funes do Clculo podem ser obtidascomo somas, diferenas, produtos, quocientese potncias de funes simples. Introduzire-mos propriedades que podem ser usadas parasimplificar as funes mais elaboradas. Emtodas as situaes abaixo, consideraremosxa. Se f(x) = C onde C constante, ento

Lim f(x) = Lim C = C.

Se k e b so constantes e f(x) = kx+b,ento Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b.

Se f e g so duas funes, k uma constante,A e B nmeros reais e alm disso Limf(x)=A e Lim g(x)=B, ento:

(1) Lim(f g)(x)=[Lim f(x)][Lim g(x)] = A B

(2) Lim(fg)(x) = [Lim f(x)][Lim g(x)] = AB

(3) Lim(kf)(x) = kLim f(x) = kA

(4) Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An

(5) Lim(fg)(x) = [Lim f(x)][Lim g(x)] = AB,se B no nulo.

(6) Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)

Se acontecer uma das situaes abaixo:Lim f(x) = 0.

Lim f(x)>0 e n um nmero natural.

Lim f(x)

31

Clculo I Limites

5.

6.

7.

8.

Observaes sobre as propriedades:

As propriedades que valem para duas funes,valem tambm para um nmero finito de fun-es.

As propriedades 31, 32 e 35 estabelecemque, se existem os limites das parcelas, entoexistir o limite da operao, mas a recprocadeste fato no verdadeira, pois o limite deuma operao pode existir sem que existam oslimites das parcelas.

4.2 Teoremas importantes

Teorema do anulamento Se f uma funolimitada e g uma funo tal que Lim g(x) = 0,quando xa, ento: Lim f(x)g(x) = 0.Esse resultado til para podermos obter cl-culos com limites.

Teorema do Confronto (regra do sanduiche) Se valem as desigualdades f(x)< g(x) < h(x)para todo x em um intervalo aberto contendo a,exceto talvez em x = a e se Lim f(x) = L = Limh(x), ento Lim g(x) = L.

Generalizao:

Sejam f, g, h : B tais que f(x) g(x) h(x)xB, e lim

xa f(x) = limxa h(x) = . Ento limxa g(x) = .

O grfico de g fica "preso'' entre os de f e h,como mostra a figura abaixo.

Demonstrao:

Seja > 0 um nmero qualquer. Comolim

xa f(x)= limxa h(x)= , existem 1,2>0 de modo quexA, 0

nada poderemos concluir. Assim, devemos sim-plificar a frao, eliminando a indeterminao.

Logo,

2. Calcular .

Nesse caso, devemos multiplicar e dividir afrao pelo conjugado do numerador.

3. Calcular .

4. Calcular .

1. Calcule limx 1 (log 10x).

a) 0 b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

2. Determine o Valor de .

a) 1/5

b) 2/6

c) 3/4

d) 4/3

e) 3/5

3. Calcule .

a) 10

b) 12

c) 15

d) 17

e) 19

4. Calcule

a) 2/5

b) 3/5

c) 3/2

d) 2/3

e) 2/4

5. Ache o valor de .

a) 1

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

6. O igual a:

a) 4 b) 1

c) 4 d) 2

e) 3

7. Calcular .

a) x b) 2x

c) 4x d) 3x

e) 5x

32


8. O igual a:

a) 1/9

b) 1/27

c) 1/243

d) 1/81

e) 1/54

9. O valor de :

a) 2

b) 0

c) 8

d) 4

e)

10. O limite

a) no existe;

b) no nenhum nmero real;

c) vale 2;

d) vale 0;

e) vale 4.

11. O vale:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 4

e) 6

12. O valor de :

a) 1

b) 2

c)

d) 0

e) 1

TEMA 05

LIMITES INFINITESIMAIS

5.1 Limites infinitos

Seja f a funo definida por f(x)=1/x. Iremosanalisar o comportamento numrico dessa fun-o por meio das tabelas abaixo.

Quando x 0, por valores maiores que zero(x 0+) os valores da funo crescem semlimite.

Quando x 0, por valores menores que zero(x 0), os valores da funo decrescem semlimite.

Observamos que prximo de x = 0, o compor-tamento da funo estranho.

Baseado nesse exemplo, podemos afirmar quequando x tende a 0, esta funo no tem os va-lores aproximando-se de um limite bem defi-nido.

Ao analisar o comportamento numrico def(x)=1/x, nas proximidades de x=0, observa-mos que:

33

Clculo I Limites

Observamos pelas tabelas, que se x 0, porvalores maiores ou menores do que 0, os va-lores da funo crescem sem limite. Assim, po-demos afirmar, por este exemplo, que, quandox 0 esta funo tem os valores aproximan-do-se de um limiar (inf = infinito = ). Nessecaso, dizemos que no existe o limite def(x)=1/x no ponto x=0, mas denotamos talfato por:

Por causa dessa notao, costuma-se dizerque algumas funes tm limites infinitos, epor causa desse limite, dizemos tambm que ogrfico desta funo tem uma assntota verti-cal, que uma reta cuja equao dada por x = 0, neste caso.

Definio:

Seja f uma funo definida para todo x em I,exceto possivelmente no ponto x = a em I umintervalo aberto contendo a. Diz-se que f temlimite infinito, quando x se aproxima de a, o que denotado por: limxa f(x)=+ Se, para todo nmero real L>0, existir um d>0tal que se 00, existe um nmero realM > 0 tal que |f(x)L| M.

y

x

x

y

x

y

34


Formalizaremos agora o conceito de assntotahorizontal.

Definio:

Dizemos que a reta y = L uma assntota ho-rizontal do grfico de f se

limx f(x) = L ou limxf(x) = L

5.3 Limite de uma funo polinomial para xSeja a funo polinomial

f(x) = anxn + an1xn1 +... + a2x2 + a1x + a0.Ento:

Demonstrao:

Mas:

Logo:

De forma anloga, para g(x) = bmxm +...b1x + b0,temos:

Exemplos:

1.

2.

3.

1. Calcule

a) 1/5 b) 2/6c) 1/2 d) 3/4e) 1/4

2. Calcule

a) 0

b) 1

c) 3

d) 2

e) 4

3. Calcule .

a) 0

b) 1

c) 6

d) 2

e) 2

4. Calcule .

a) 1

b) 4

c) 3

d) 2

e) 0

5. Calcule os limites:

a)

b)

c)

d)

e)

35

Clculo I Limites

TEMA 06

LIMITES TRIGONOMTRICOS

6.1 Introduo

Demonstrao:

Para x 0, temos sen x < x < tg x. Dividindoa dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

Invertendo, temos:

Mas:

limx0 1 = limx0 cos x = 1

g(x) < f(x) < h(x) so funes contnuas e selimxa g(x) = limxa h(x) = b ento, limxa f(x) = b. Logo,

6.2 Exemplos:

a)

b)

c)

d)

1. Determinar .

2. Determinar

Transformando, temos:

3. Calcular


1. Calcular os seguintes limites:

a)

b)

36


2. Determine:

a)

b)

c)

3. Calcular os seguintes limites:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

TEMA 07

LIMITES EXPONENCIAIS

7.1 Introduo

Nesse caso, e representa a base dos logarit-

mos naturais ou neperianos. Trata-se do n-

mero irracional cujo valor aproximado

2,7182818.

Veja a tabela com valores de x e de .

Notamos que medida que .

De forma anloga, efetuando a substituio

, temos:

Ainda de forma mais geral, temos :

As duas formas acima do a soluo imediata

a exerccios desse tipo e evitam substituies

algbricas.

Se ax 1 = u, ento ax + 1 = u.

Mas:

37

Clculo I Limites

Logo:

Como x 0 , ento u 0. Portanto:

Generalizando a propriedade acima, temos

.

1. Determinar

2. Determinar o .

Fazendo temos x = 3 u e x + impli-ca u + assim:

Logo:

3. Calcular .


Fazendo x = t, temos:

x t + Substituindo-se, vem:

1. Calcule

a) e b) e7

c) 1/e3 d) ex

e) e4

2. Calcule o

a) e b) e

c) e2 d)

e) e4

3. Calcule os limites:

a)

b)

c)

38


Augustin-Louis Cauchy

(Paris, 21 de agosto de 1789 Paris, 23 de maio

de 1857) foi um matemtico francs.

O primeiro avano na matemtica modernapor ele produzido foi a introduo do rigor naanlise matemtica. O segundo foi no ladooposto combinatorial. Partindo do ponto cen-tral do mtodo de Lagrange, na teoria das equa-es, Cauchy tornou-a abstrata e comeou asistemtica criao da teoria dos grupos. Nose interessando pela eventual aplicao doque criava, ele desenvolveu para si mesmoum sistema abstrato. Antes dele, poucos bus-caram descobertas proveitosas na simplesmanipulao da lgebra.

Foi um dos fundadores da teoria de grupos fini-tos. Em anlise infinitesimal, criou a noomoderna de continuidade para as funes devarivel real ou complexa. Mostrou a importnciada convergncia das sries inteiras, com asquais seu nome est ligado. Fez definies pre-cisas das noes de limite e integral definida,transformando-as em notvel instrumento parao estudo das funes complexas. Sua abor-dagem da teoria das equaes diferenciais foiinteiramente nova, demonstrando a existnciade unicidade das solues, quando definidasas condies de contorno. Exerceu grandeinfluncia sobre a fsica de ento, ao ser oprimeiro a formular as bases matemticas daspropriedades do ter, o fluido hipottico queserviria como meio de propagao da luz.

A vida de Augustin Cauchy assemelha-se auma tragicomdia. Seu pai, Louis-Franois,esteve muito prximo da guilhotina, apesarde ser advogado, culto, estudioso da Bblia,catlico fantico e tenente de polcia.Augustin era o mais velho dos seis filhos (doishomens e quatro mulheres). Seguia obsti-nadamente os preceitos da Igreja Catlica.Seu eterno louvor beleza e santidadecansava os que o ouviam.

39

Clculo I Limites

UNIDADE IIIDerivada

43

Clculo I Derivada

TEMA 08

DERIVADA DE UMA FUNO, DEFINIO

8.1 CLCULO DIFERENCIAL: UMA DUPLAAGITA O MEIO CIENTFICO

As primeiras idias sobre o clculo foram re-gistradas na Grcia, no sculo V a.C., e es-tavam ligadas ao clculo de reas, volumes ecomprimentos de arcos.

Supe-se que foi o matemtico grego Eudoxode Cnido quem teria dado os primeiros passosnesse campo, criando o mtodo de exausto,que mais tarde foi aplicado brilhantementepelo matemtico grego Arquimedes de Sira-cusa (287212 a.C.) para calcular a rea de umsegmento parablico. Para o clculo avanar,porm, era necessrio descobrir frmulas ge-rais, que permitissem, por exemplo, calcular area de qualquer figura geomtrica.

Contudo isso s veio a acontecer no sculoXVII, quando vrios matemticos, entre eles ofrancs Pierre de Fermat (16011665) e osingleses Jhon Wallis (16161703) e IsaacBarrow (16301677), deram importantes pas-sos nesse sentido, alm de abrirem caminhopara dois outros grandes matemticos daque-la poca: Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz.

Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz

Essa dupla, trabalhando separadamente e nomesmo perodo, estabeleceu as bases doclculo.

Newton fundamentava suas idias na mecni-ca e Leibniz, na geometria.

A partir do sculo XVIII, o clculo sofreria pro-fundas transformaes, principalmente por

causa dos trabalhos dos matemticos france-ses Augustin Louis Cauchy (17891857) eJoseph Louis Lagrange (17361813).

O clculo diferencial e integral, como co-nhecido hoje, um instrumento matemtico deextrema importncia. Suas aplicaes, alm damatemtica e da fsica, estendem-se tambm qumica, biologia, engenharia, etc.

8.2 INTRODUO DO ESTUDO DASDERIVADAS

O problema fundamental do clculo diferencial estabelecer uma medida para a variao dafuno com preciso matemtica. Foi investi-gando problemas dessa natureza, lidando comgrandezas que variam com continuidade, queNewton foi conduzido descoberta dos princ-pios fundamentais do clculo.

Da fsica, sabemos que quando uma partculase movimenta segundo a equao horria S =f(t), em que s a abscissa (posio) do pontoem que se encontra a partcula no instante t (s uma funo de t), a velocidade mdia do mo-vimento entre dois instantes (t0,t), que vamosindicar por Vm(t0;t) dada por:

A velocidade (instantnea) no instante t0, V(t0) definida pelo limite de Vm(t0; t) quando t tendea t0:

Exemplo:

Uma particula movimenta-se segundo aequao horria S = 2t2 + 5t + 10, s em me-tros e t em segundos. Obter a velocidade:

a) no instante t = 1;

b) num instante t = t0

44


Soluo:

a)

A velocidade mdia no instante t = 1 :

V(1) = 9m/s

b)

V(t0) = 4t0+ 5

equao da velocidade para

t = 1 V(1) = 4 1 + 5 = 9m/s

8.3 RAZO INCREMENTAL

Seja f (x) uma funo definida em um intervaloI de seu domnio, e sejam x0 e x = x0 + x doisvalores pertencentes a esse intervalo

x : acrscimo da varivel x : x = x x0x : acrscimo da varivel y : y = f(x) f(x0)ou y = f(x0 + x) f(x0) Denomina-se razo inceremental o quociente

Ento, temos:

ou

Exemplo:

Calcular a razo incremental da funof(x) = 3x 1, relativa ao ponto x0 = 2

Soluo:

f(x) = 3x 1 e f(x0) = f(2) = 3 . 2 1 f(x0) = 5Ento, temos:

8.4 DERIVADA DE UMA FUNO EM UMPONTO

Seja y = f (x) a funo que est representadano grfico, e sejam x0 e x0 + x dois valores deseu domnio.

Denomina-se derivada da funo f (x) no pontox0 o limite finito (se existir) da razo incremen-tal da funo quando x tende a zero, ou seja:

45

Clculo I Derivada

Exemplo:

1. Determinar a derivada da funo f(x) = 4x2 2no ponto x0 = 2

Soluo:

Como , temos:

2. Dada a funo f(x) = 3x2, definida em IR, calcu-lar a funo derivada f(x).

Soluo:

1. Calcule a razo incremental da funo f (x), re-

lativa ao ponto x0, nos seguintes casos:

a) f(x) = 3x2 + 1, no ponto x0 = 2

b) f(x) = x2 + 3x, no ponto x0 = 1

c) f(x) = x3, no ponto x0 = 1

2. Calcule a derivada da funo f(x) no ponto x0em cada caso:

a) f(x) = x2 + 1, no ponto x0 = 3

b) f(x) = x2 + 2x, no ponto x0 = 4

c) f(x) = x2 3x + 4, no ponto x0 = 1

d) f(x) = 2x 1, no ponto x0 = 2

3. Dada a funo f (x), definida em IR, determinef(x) nos seguites casos:

a) f(x) = x2 2x

b) f(x) = x

c) f(x) =

d) f(x) = 3x + 4

e) f(x) = x3 + 2x2

4. Determine o valor de x que anula a derivada dafuno f(x) = x2 4x

5. Um ponto percorre uma curva obedecendo equao horria s = t2 + t 2. Calcule a suavelocidade no instante t0= 2seg.

1. A derivada da funo f(x) = x2 3x no pontox = 0 igual a:

a) 0

b) 3

c) 1

d) 1

e) n.d.a.

2. Sendo f(x) = 2x2, ento f(3) igual a:

a) 4

b) 12

c) 18

46


d) 36

e) n.d.a.

3. Se f(x) = 6x3, ento f(x) igual a:

a) 9x2

b) x2

c) 18x2

d) 3x2

e) n.d.a.

4. A funo derivada de y = x3 definida por:

a) y = 3x

b) y = 3x2

c) y = x2

d) y = 3x3

e)

5. A funo derivada da funo :

a)

b)

c)

d)

e) n.d.a.

6. A funo derivada da funo f(x) = 3x2 2xanula-se para:

a) x = 0

b) x = 3

c)

d)

e) n.d.a.

TEMA 09

A RETA TANGENTE AO GRFICO DE UMAFUNO

9.1. Introduo

Imaginemos que o grfico cartesiano de umafuno y = f (x) admita uma reta tangente tnum ponto P de abscissa x0. Vamos represen-tar por t(x0) o ngulo de inclinao da reta tan-gente em relao ao eixo x.

Da geometria analtica, sabemos que o coefi-ciente angular da reta t, que vamos indicar pormt(x0), dado por: mt(x0) = tgt(x0).

Se Q um ponto qualquer do grfico de f, deabscissa x x0, a reta S = uma secanteao grfico. O coeficiente angular da secante,que indicaremos por

Fazendo x tender a x0, isto , imaginando P fixoe Q movimentando-se sobre o grfico, aproxi-

47

Clculo I Derivada

mando-se de P, observamos que a inclinao

da reta secante tende inclinao da reta tan-

gente: s t(x0)

Nesse caso, temos tambem: tgs tgt(x0)ms mt(x0)Ento, temos:

Quando existe o limite finito

Exemplo:

Calcular o coeficiente angular da reta tangenteao grfico da funo y = x no ponto de abscis-sa x = 1

Soluo

9.2 DEFINIO

Para estudar esse problema, consideremos ogrfico da funo y = f (x) indicado na figura:

Em que:

x= incremento da varivel xyincremento da funo

razo incremental

Na figura, temos:

s uma reta secante curva;

t uma tangente curva no ponto A(x0, y0);

(considerando o tringulo ABC)

Note que, quando x 0, o ponto B tenderao ponto A, e a reta secante s tender retatangente t; como conseqncia, o ngulo tender a , e teremos:

Enquanto x tende a zero, a reta secante tendea uma posio limite, que a reta tangente curva no ponto A de abscissa x0.

Portanto o coeficiente angular da tangente ovalor do limite dos coeficientes angulares dassecantes quando x tende a zero.

O valor desse limite denomina-se derivada dafuno f(x) no ponto de abscissa x0, e indica-mos f(x0).

48


Definio:

Seja a funo f (x) definida no intervalo [a, b], eseja um ponto de abscissa x0 desse inetrvalo.

Denomina-se derivada da funo f (x) noponto de abscissa x0, o limite, se existir e for

finito, da razo quando xtende a zero.

Ou ou

Exemplos:

Determinar a derivada da funo f(x) = 3x2no ponto de abscissa x0 = 2.

Soluo:

1. MANEIRA

Se x0 = 2 f(x0) = f(2) = 3 22 = 12Logo:

2. MANEIRA

f(x0 + x) = f(2 + x) = 3 (2 + x)2 = 12 + 12x + 3(x)2f(x0 ) = f(2) = 3 . 22 = 12

Logo:

f(2 ) = 12

Dada a funo , calcular a deriva-da de f(x) no ponto x = 0.

Soluo:

Da:

Observao: No possui derivada em x = 0

Determinar, pela definio, a funo deriva-da de f(x) = x2.

Soluo:

Qual a reta tangente ao grfico da funona origem?

SOLUO

A reta que procuramos passa no ponto (0;0)

(x 0+, pois definida s para x 0).

49

Clculo I Derivada

Quando o limite +, a reta tangente perpendicualr ao eixo x. Conclumos que areta tangente a na origem o eixo y.

Dada a funo f(x) = x2 2x, determinarf(6):

SOLUO

f(x) = x2 2x

f(x0) = f(6) = 62 2 . 6 = 24

Logo:

Dada a funo f (x) = sen x, determinar,pela definio, a funo derivada de f (x).

SOLUO

Como, pela triigonometria, sen a sen b =

, temos:

Pelo limite trigonomtrico fundamental,estudado anteriormente, temos:

Substituindo na igualdade anterior, temos:

Seja a funo f: IR IR tal que f(x) = 3x2 1.Determinar:

a) a derivada de f no ponto de abscissa 2, isto, f(2);

b) a equao da reta t tangente ao grfico de fno ponto P (2, 11).

SOLUO

a)

como

e

, temos:

b) Temos, da reta t, o ponto P(2,11) e o coefi-

ciente angular m = f(2) = 12. Pela equao

fundamental: obtemos a equacao da reta

t : y 11 = 12(x 2) y = 12x 13.Graficamente, temos:

= 10

50


A funo f : IR {3} tal que derivvel no intervalo ]1, 5[?

SOLUO

Para que uma funo f seja derivvel em umponto de abscissa a, a definio exige queexista f (a). Como 3 D(f), temos que f no derivvel no ponto de abscissa 3 e, por-tanto, no derivvel no intervalo ]1, 5[.

Mostrar que a funo f : IR {3} IR tal que derivvel em todo seu domnio.

SOLUO

Temos que: ,

para x 3.Existe f(a) se, e somente se, existe e fini-

to o limite:

Para qualquer a, a IR e a 3, temos:

Como esse limite existe e finito para todoelemento real a, a 3, temos que f derivvel em seu domnio.

1. Considerando a reta t, tangente curva defini-da por f (x) = x, no ponto de abscissa 2, deter-minar:

a) o coeficiente angular da reta t

b) a equao da reta t.

2. Considerando a reta t, tangente curva defini-da por , no ponto de abscissa 1,determinar:

a) o coeficiente angular da reta t

b) a equao da reta t

3. Qual a equao da reta tangente curva

y = x2 3x no seu ponto de abscissa 4?

4. A equao da reta tangente curva de equaoy = 2x2 1, no ponto de abscissa 1, :

a) y = 4x 3

b) y = 4x 1

c) y = 2x + 3

d) y = 2x + 1

e) y = 3x + 2

5. Aplicando a definio, calcule:

a) a derivada da funo f(x) = x2 + x no pontode abscissa x = 3.

b) a derivada da funo f(x) = x2 5x + 6 noponto x = 1.

6. Atravs da definio, ache a derivada def (x) = cos x

51

TEMA 10

REGRAS DE DERIVAO

10.1 DERIVADAS FUNDAMENTAIS

Regras que nos permitiro calcular a derivadade uma funo f(x) mais facilmente. A demons-trao dessas regras poder ser feita com aaplicao da definio; como esse processo demasiado longo, faremos algumas, e as ou-tras ficaro como exerccios complementares.

a) Derivada da funo constante

f(x) = k f(x) = 0; k IRDemonstrao:

Exemplo:

f(x) = f(x) = 0b) Derivada da funo identidade

A derivada da funo identidade f (x) = x 1, ou seja: f(x) = x f(x) = 1Demonstrao:

c) Derivada da funo potncia

A derivada da funo f(x) = xn (n N*) : f(x) = n xn1, ou seja: f(x) = xn f(x) = nxn1Exemplos:

f(x) = x3 f(x) = 3x31 = 3x2 f(x) = 4x2 f(x) = 2 4 x21 = 8xf(x) = x5 f(x) = 5 x x51 = 5x6 =

d) Derivada da funo seno

A derivada da funo f (x) = senx a funo

f(x) = cosx, ou seja:

f(x) = senx f(x) = cosx Demonstrao

Obs.:

e) Derivada da funo co-seno

A derivada da funo f (x) = cosx a funof(x) = senx

f) Derivada da funoe exponencial

A derivada da funo exponencial f(x) = ax

(a > 0 e a 1 a funo f(x) = ax . ln aDemonstrao:

Obs:

Exemplo:

f(x) = 5x f(x) = 5x . ln 5 g) Derivada da funo logartmica neperiana

A derivada da funo f (x) = lnx a funo

(x > 0)

Clculo I Derivada

Caso seja dado o logaritmo numa base a, a > 0 e a 1, fazemos a mudana para a base e.

Ento:

Exemplos:

(x > 0)

(x > 0)

10.2 REGRAS OPERATRIAS DE DERIVAO

Sejam u e v funes derivveis em um interva-lo aberto I. Para todo x, xI, tem-se que:a) Derivada da soma

f(x) = u(x) + v(x) f(x) = u(x) + v(x) Demonstrao:

f(x) = u(x) + v(x) c . q . d

b) Derivada da diferena

f(x) = u(x) v(x) f(x) = u(x) v(x)Obs.: A soma ou a diferena para n funes

f(x) = u1(x) + u2(x) +...+ un f(x) = u1(x) + u2(x) +...+ un(x)

f(x) = u1(x) u2(x) ... un f(x) = u1(x) u2(x) ... un(x)

1. Determinar a derivada de cada uma dasseguintes funes:

a) f(x) = x4 + sen x

Soluo:f(x) = 4x3 + cos x

b) g(x) = x5 x3

Soluo:g(x) = 5x4 3x2

c) h(x) = 3 x + cos x + ln x

Soluo:

2. Obtenha as derivadas das seguintes funes:

a) f(x) = 10 f(x) = 10b) f(x) = x5 f(x) = 5 . x51 = 5x4c) f(x) = x3 + x2 f(x) = 3x2 + 2xd) f(x) = x5 + 1 f(x) = 5x4 + 0 = 5x4d) f(x) = x5 + 1 f(x) = 5x4 + 0 = 5x4e) f(x) = sen x + cos x f(x) = cos x +

(sen x) = cos x sen x

f) f(x) = 2x f(x) = 2x ln 2g) f(x) = ex f(x) = ex . 1 = exh)

3. Encontre a equao da reta tangente curva:

a) y = x5 no ponto x0 = 1

SOLUO

y = x5 no ponto x0 = 1

f(x) = x5 f(x0) = f(1) = 1f(x) = 5x4 f(1) = 5 . 14 = 5No ponto (1,1): y f(1) = f(1)(x 1)

y 1 = 5(x 1) y = 5x 4b) y = ln x no ponto x0 = 2

SOLUO

4. Determine f(x), sabendo que:

a) f(x) = x2 . cos x

b) f(x) = (x2 + 3x + 1)(ln x)

52


53

SOLUO

a) f(x) = x2 . cos x

f(x) = (x2 . cos x) = (x2)cos x + x2 (cos x) =

2x . cos x + x2(sen x) = 2x . cos x x2 . sen x

logo, f(x) = 2x . cos x x2 . sen x

b) f(x) = (x2 + 3x + 1)(ln x)

f(x) = (x2 + 3x + 1)lnx + (x2 + 3x + 1)(ln x) =

(2x + 3) ln x + (x2 + 3x + 1) =

= 2x . ln x + 3 . ln x + 3 +

Logo, f(x) = 2x . ln x + 3 . ln x + x + 3 +


a)

b)

c) f(x) = tg x

d) f(x) = cot gx

Respostas:

a)

b)

c) f(x) = sec2 x

d) f(x) = cos sec2 x


a) f(x) = x2 + x + 1

b) f(x) = lnx cos x

c) f(x) = 3x5

d) f(x) = 3x2 + 2x + 1

e) f(x) = ax2 + bx + c

f) f(x) = lnx + 2cos x

2. Determine o coeficiente angular da reta tan-

gente curva y = x3 + x2 + x + 1 no pontox0 = 1.

3. Obter a reta tangente parbola y = x2 4x + 3no ponto de abscissa 4.

4. Determine a derivada de cada uma dasseguintes funes:

a) a(x) = x3 + x

b) b(x) = ln x sen x

c) c(x) = cos x ln x

d) d(x) = 6x4 3x2 + 7x 4

5. A equao da reta tangente curva y = x3 5x + 1no ponto de abscissa x = 1 :

a) x y 4 = 0

b) x y + 4 = 0

c) x + y 4 = 0

d) 2x +y 1 = 0

e) 2x + y + 1 = 0

6. Uma partcula move-se em linha reta. Aequao horria do espao s s(t) = t3 + 4t2,com s em metros e t em segundos.

a) Obter a velocidade instantnea da partculapara t = 1seg.

b) Obter a acelerao instantnea para t = 1seg.

7. Um corpo se desloca sobre uma linha reta, demodo que a equao horria do espao s s(t) = 6t3 2t + 3, com s em quilmetros e t emhoras.

a) Qual a equao horria da aceleraoinstantnea desse corpo?

b) Qual a acelerao instantnea dessecorpo no instante t = 2h?0

8. Considere as funes f e g dadas porf(x) = x2 cos x e g(x) = sen x + x. Calcule o

valor da expresso .

9. Considere f(x) = 2x3 15x2 + 36x 7 eg(x) = x3 6x2 + 11x 6 e determinef(0) 2 . g(1).

Clculo I Derivada

54


c) Derivada do produto

f(x) = u(x).v(x) f(x) = u(x).v(x)+u(x).v(x) d) Derivada do quociente

Sejam u e v funes derivveis em um inter-valo aberto I. Para todo x, xI e v(x) 0,tem-se que:

Obs.: As demonstraes b, c e d ficam paravoc fazer como exerccios.

10.3 OUTRAS DERIVADAS

a) f(x) = tg x f(x) = sec2 xb) f(x) = cot gx f(x) = cos sec2 xc) f(x) = sec x f(x) = sec x . tg xd) f(x) = cossec x f(x) = cosssec x . cot gxObs.: Faa as demonstraes como exerccios.

1. Determinar a derivada da funo f(x) = x5 . sen x.

Soluo:u(x) = x5 u(x) = 5x4v(x) = sen x v(x) = cos xf(x) = u(x) . v(x) + u(x) . v(x)

f(x) = 5x4 . sen x + x5 . cos x

2. Determinar a derivada da funo f(x) = (x4+8)ln x

Soluo:

3. Determinar a derivada da funo .

Soluo:

u(x) = 3 u(x) = 0v(x) = sen x v(x) = cos x

10.5 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE

Uma funo real y = f(x) denominada funoderivvel no ponto x0 quando existe (finita) aderivada f(x0). Quando f derivvel em todosos pontos do seu domnio, dizemos que ela uma funo derivvel.

Propriedade:

Se a funo f derivvel no ponto x0, ento f contnua em x0.

Demonstrao:

Provar que f contnua em x0 significa provarque limx0

f(x) = f(x0)

Admitindo que derivvel em x0, existe:

Ento:

limxx0

f(x) = limxx0

f(x) =[f(x) f(x0) + f(x0)]

limxx0

f(x) = 0 + f(x0) = f(x0)] e fica provado que,existindo f(x0), f contnua em x0.

A recproca desta propriedade no ver-dadeira. Podemos ter uma funo contnua emx0, mas no derivvel em x0. o que ocorrequando o grfico tem um bico em x = x0

Exemplo:

Mostrar que f (x) = |x| no derivvel em x = 0

55

SOLUO

Mas

e

Como os limites laterais so diferentes, noexiste f(0). Portanto f no derivvel em x= 0,entretanto f contnua em x = 0.

Reconhecimento prtico

a) Uma funo contnua nos pontos em queno h salto nem furo no grfico.

b) Uma funo derivvel nos pontos em que contnua e existe uma reta tangente aogrfico, no perpendicular ao eixo x. Numponto em que h um bico no grfico, afuno contnua, mas no derivvel.

1. Observando o grfico ao lado de uma funo fdefinida em IR, responda se f contnua e/ouderivvel em cada ponto seguinte:

a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 3

2. Obtenha a equao da reta tangente ao grfi-

co de y = tgx no ponto de abscissa .

3. Dada a funo de f:

a) f(x) = 2x4 3x2 + 4, calcule f(1)

b) , calcule f(3)

4. A derivada da funo no ponto de

abscissa x = 2 :

a) 2 b) 3

c) 4 d) 0

e) 1

5. A derivada da funo f (x) = tgx, calculada no

ponto de abscissa vale:

a) 1 b) 2

c)

d)

e) 0

6. Sendo g: IR IR tal que g(x) = x5, obtenha:a) g(2);

b) a equao da reta tangente ao grfico de gno ponto de abscissa 2.

7. Encontre a derivada de cada uma das se-guintes funes:

a) a(x) = x5 + x4 + 2

b) a(x) = x5 + x4 + 2

c) c(x) = x5 ln x

d) d(x) = (x2 + 3) sen x

e) e(x) = x5 sen x cos x

f) f(x) = 9x4

g) g(x) = 12x5 3x4 + 2x + 4

h) h(x) = log5 x

i) i(x) = 6log2 x

j)

Clculo I Derivada

56


k)

l)

m)

8. Seja f(x) = x2 x. Determine as equaes dasretas tangentes e normal no ponto de abscissa 0.

9. Determine as equaes das retas tangente enormal ao grfico da funo dada, no pontodado.

a) f(x) = x2 3x, no ponto de abscissa 0.

b) , no ponto de abscissa 8.

c) , no ponto de abscissa 1.

10. Seja f(x) = x2. Determine a equao da retaque tangente ao grfico de f e paralela reta

.

TEMA 11

A REGRA DA CADEIA

11.1 Introduo

Sejam g e f duas funes derivveis nos pon-tos x e u, respectivamente. Ento:

A derivada da funo composta (fog)(x) dada por:

(fog)(x) = g(x) . f(x) ou em que

y = f(u) e u = g(x)

Exemplos:

Determinar a derivada das seguintesfunes:

a) f(x) = (x2 + x)3

b) f(x) = cos 3x

Soluo:

a) u = g(x) = x2 + x e f(u) = u3

g(x) = 2x + 1 e f(u) = 3u2 = 3(x2 + x)2

Como f(x) = g(x) . f(u)

f(x) = (2x + 1) . 3(x2 + x)2

b) u = g(x) = 3x e f(u) = cos u

g(x) = 3 e f(u) = sen u = sen 3x

f(x) = g(x) . f(u) = 3(sen 3x)

f(x) = 3sen 3x

1. REGRAS DE DERIVAO

Decorreram pela regra da cadeia as seguintesregras de derivao, em que v(x) uma funoreal derivvel:

57

Matemtica Elementar II Conjuntos Numricos

2. DERIVADAS SUCESSIVAS

Seja f (x) a funo cuja derivada primeira f(x).

Se f(x) admite, tambm, a derivada f(x), essarecebe o nome de derivada segunda de f (x).

E assim por diante, define-se derivada terceira,derivada quarta e derivada n-sima da funo f(x).

Exemplo:

Seja f(x) = 2x5. Ento, temos:

f(x) = 10x4

f(x) = 40x3

f(x) = 120x2

f(4)(x) = 240x

f(5)(x) = 240

f(6)(x) = 0

................

f(n)(x) = 0, n 6

1. Obter a equao da acelerao de uma par-tcula que se movimenta segundo a lei horriaS = 2t2 + 4t + 5.

Soluo:

S = f(t) = 2t2 + 4t + 5

v = f(t) = 4t + 4

a = f(t) = 4 (acelerao constante)

2. Determinar as equaes da velocidade e daacelerao de uma partcula em movimentoharmnico simples cuja posio dada por

SOLUO

3. DERIVADA DA FUNO INVERSA

Se f uma funo que admite inversa e derivvel no ponto x, com f(x) 0, ento:

Ou seja, se a funo representada por y =y(x), a sua inversa ser dada por x = x (y). E,assim:

Se x = x(y), ento .

CONSEQUNCIAS:

1. DERIVADA DA FUNO LOGARTMICA

2. DERIVADA DA FUNO POTNCIA COMEXPOENTE REAL

y = x y = . x1 ; IR e x > 0

3. DERIVADA DA FUNO arc sen

4. DERIVADA DA FUNO arc cos

Clculo I Derivada

58


5. DERIVADA DA FUNO arc tg

Exemplo:

Se f(x) = 3x 6, determine (f1)(y)Soluo:

f(x) = 3x 6 f(x) = 3(f1)(x) = x + 2 (f1)(x) =

Ento

Se y = x2, determine a derivada da sua inversa.Soluo:

Se f(x) = 2x + 1, determine (f1)(y)SOLUO

y = f(x) = 2x + 1 y = f(x) = (2x + 1) = 2Portanto

1. Obtenha a derivada de cada uma dasseguintes funes:

a) f(x) = cos 2x

Soluo

y = f(x) = 2x e z = g(y) = cos y

y = f(x) = 2 e z = g(y) = sen y

f(x) = g(y) . f(x) = (sen y) . 2 = 2sen 2x

b) F(x) = (x2 + 1)10

Soluo

y = f(x) = x2 + 1 e z = g(y) = y10

y = f(x) = 2x e z = g(y) = 10y9

F(x) = g(y) . f(x) = 10y9 . 2x = 20x(x2 + 1)9

2. Determine a funo derivada das seguintesfunes:

a) f(x) = logx2

SOLUO

b) f(x) = logcos x2

SOLUO

f(x) = logcos x2

c) f(x) = arc sen x2

SOLUO

y = x2 e z = arc sen y

3. Calcular as derivadas sucessivas de:

a) f(x) = 3x2 + 5x + 6

b) f(x) = sen 2x

SOLUO

a) f(x) = 3x2 + 5x + 6

f(x) = 6x + 5

f(x) = 6

f(x) = f()(x) = ... = 0

b) f(x) = sen 2x

f(x) = 2 . cos 2x

f(x) = 4 . sen 2x

f(x) = 8 cos 2x

1. Dada f(x) = sen x, calcule

, onde f(4) indica

a derivada quarta de f.

59

2. Obtenha a equao da reta tangente ao grfi-

co de y = tgx no ponto de abscissa .

3. A derivada da funo f (x) = tgx, calculada no

ponto de abscissa vale:

a) 1 b) 2

c)

d)

e) 0

4. Sabe-se que a metade dos produtos exportadospelo Brasil vem de recursos naturais. A derivadaprimeira da funo E(x) = 4x3 3x2 + 5x 4,para x = 2 equivale porcentagem dos produ-tos primrios (caf, minrio de ferro, etc.), que de:

a) 36 %

b) 38 %

c) 41 %

d) 49 %

5. Determine as derivadas das seguintes funes:

a)

b) y = f(x) = arc tg x

c)

d) y = f(x) = arc sen x

e) y = f(x) = arc cos x

6. Calcule o valor da segunda derivada de

f(x) = cos 3x no ponto .

7. Determine a derivada de f(x) = senx3 . tg x.

8. Obtenha o coeficiente angular e a equao dareta tangente curva f(x) = ln(x2 3), no pontode abscissa x0 = 2.

9. Um mvel efetua um movimento retilneo uni-formemente variado obedecendo equaohorria s = 6 10t + 4t2, em que o espao s

medido em metros e o instante t em segundos.A velocidade do mvel no instante t = 4 s, emm/s, vale:

a) 10 m/s

b) 0 m/s

c) 10 m/s

d) 22 m/s

e) 32 m/s

10. Chama-se custo marginal de produo de umartigo o custo adicional para se produzir umartigo alm da quantidade j prevista. Na prti-ca, a funo custo marginal a derivada dafuno custo. Uma fbrica de sapatos tem umcusto para produzir x sapatos dado porC (x) = 3000 + 25 x, com C em reais.

Qual o custo marginal que essa fbrica terpara produzir mais um sapato?

11. Uma fbrica de componentes eletrnicos temum custo para produzir x componentes dado

por , com c em

reais. Qual o custo marginal que essa fbri-ca tem para produzir mais um componentequando x = 0, x = 100, x = 400 e x = 800 ?

12. Uma partcula movimenta-se sobre uma reta, ea lei horria do movimento dada pors = 2t2 5t 2 (SI). A acelerao escalar domovimento :

a) 2m/s2

b) 4m/s2

c) 5m/s2

d) 7m/s2

e) zero

Clculo I Derivada

60


TEMA 12

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNO

12.1 OS SINAIS DA DERIVADA PRIMEIRA

Consideremos uma funo real f definida numdomnio D, tal que f derivvel em D.

Os sinais da funo derivada festo relaciona-dos ao crescimento ou decrescimento de f. Evalem as seguintes propriedades:

I) Se f(x) positiva para todo x de um inter-valo I, ento f crescente em I.

f(x0) = tg > 0 f(x1) = tg > 0

f(x0) = tg > 0 f(x1) = tg > 0f(x) > 0, x I f crescente em I.

II) Se f(x) negativa para todo x de um inter-valo I, ento f decrescente em I.

f(x0) = tg < 0 f(x1) = tg < 0

f(x0) = tg < 0 f(x1) = tg < 0f(x) < 0, x I f decrescente em I.

Suponhamos f derivvel num intervalo aberto

contendo x0 e que f(x0) = 0.

A reta tangente ao grfico de f no ponto de

abscissa x0 tem coeficiente angular m = f(x0),

portanto paralela ao eixo x.

a)

f cresce antes de x0 e decresce depois de

x0. Nesse caso, x0 ponto de mximo local.

b)

f decresce antes de x0 e depois cresce de

x0. Nesse caso, x0 ponto de mnimo local.

c)

f cresce antes e depois de x0. Nesse caso,x0 um ponto de Inflexo de f.

d)

f decresce antes e depois de x0. Nessecaso, x0 ponto de inflexo de f.

Concluso:

Num intervalo em que f(x) > 0, f cres-cente.

Num intervalo em que f(x) < 0, f decres-cente.

Os pontos em que f(x) = 0 podem ser demximo ou de mnimo ou de inflexo. Essespontos so chamados pontos crticos de f.

Exemplo:

Determinar os pontos crticos e estudar a vari-ao da funo f(x) = x3 3x, xIR.Esboar o grfico.

Soluo:

f(x) = x3 3x f(x) = 3x2 3 f(x) = 0 x = 1 (pontos crticos)

Grfico de ff(x) = x3 3x, xIRx = 2 f(2) > 0x = 0 f(0) < 0x = 2 f(2) > 0

Concluso:f crescente nos intervalos ],1] e ]1,+] e decrescente em [1;1]. Os pontos crticos sox = 1, ponto de mximo local, e x = 1, pontode mnimo local.

12.2 OS SINAIS DA DERIVADA SEGUNDA

Consideremos uma funo real f, definida numdomnio D, tal que f derivvel at a segunda

61

Clculo I Derivada

ordem em D, isto , existem f(x) e f(x) em D.Os sinais da derivada segunda f(x) esto rela-cionados concavidade do grfico de f.

Propriedades:

I) Se f(x) positiva para todo x de um inter-valo I, ento f cncava para cima em I.

Concavidade para cima: pontos do grficoficam acima das retas tangentes

tg < tg < tg y f(x1) < f(x2) < f(x3)

f(x) crescente

f(x) > 0

f(x) > 0, x I f cncava para cima em III) Se f(x) negativa para todo x de um inter-

valo I, ento f cncava para baixo em I.

Concavidade para baixo: pontos do grficoficam abaixo das retas tangentes.

tg > tg > tg y f(x1) > f(x2) > f(x3) f(x) decrescentef(x) < 0

f(x) < 0, x I f cncava para baixo em IPontos de Inflexo So os pontos em que fmuda de concavidade . Num ponto de inflexo,a reta tangente ao grfico corta a curva.

Ponto de Inflexo: f muda de concavidade A reta tangente corta o grficof(x0) = 0 e f(x0) = tg 0

Ponto de Inflexo horizontal a reta tangente paralela ao eixo x.

f(x0) = 0 e f(x0) = 0

62


Um ponto x0 em que f(x0) = 0 e f muda desinal (antes e depois de x0) um ponto deinflexo de f. Se tambm f(x0) = 0, dizemosque um ponto de inflexo horizontal, poisa reta tangente paralela ao eixo x.

Se f(x0) = 0 mas f no muda de sinal(antes e depois de x0), ento f no muda deconcavidade em x0; portanto, nesse caso, x0no ponto de inflexo.

Exemplos:

1. Determinar os pontos de inflexo e estudar a

concavidade da funo .

Soluo:

f(1) = 2 < 0

f(1) = 2 > 0

x = 0 ponto de inflexo. A funo cncava parabaixo em ];0] e cncava para cima em ]0;+;].

2. Determinar os pontos de inflexo e estudar a

concavidade de .

Soluo:

No h ponto de inflexo. A funo cncavapara cima em todo domnio IR.

Grfico de f

12.3 MXIMOS E MNIMOS

Clculo de valores mximos ou mnimos defunes reais, que podem ser determinadospela anlise dos sinais da derivada primeira f.

Outro recurso que pode ser empregado naidentificao de pontos de mximos ou de m-nimos analisar o sinal da derivada segundanos pontos que anulam a derivada primeira.

Se f(x0) = 0 e f(x0) > 0, ento a reta tangenteao grfico de f em x0 paralela ao eixo x, e f temconcavidade positiva prximo de x0, portanto a

63

Clculo I Derivada

reta tangente deixa os pontos do grfico acimadela, logo x0 um ponto de mnimo relativo de f.

Ponto de mnimo: t//x; concavidade para cima

Ponto de mximo: t//x; concavidade para baixo

Concluso:

f(x0) = 0 e f(x0) > 0 x0 ponto de mnimode f.

f(x0) = 00 e f(x0) < 0 x0 ponto de mximode f.

Obs.: Se f(x0) = 0 e f(x0) = 0, no podemostirar concluso a respeito do ponto x0. Nestecaso, convm analisar os sinais de fantes edepois de x0. Pode ocorrer que x0 seja pontomximo, ou de mnimo ou de inflexo.

Exemplo:

Indentificar os pontos crticos da funo

f(x) = x6 6x2 + 4, xIRSoluo:

f(x) = x6 6x2 + 4 f(x) = 6x5 12x f(x) = 30x4 12

Aplicar os critrios dos sinais da derivada

segunda nos pontos crticos:

Para x = 0 f(x) < 0. Ento, x = 0 ponto demximo local de f.

Para .

Ento, ponto de mnimo local de f.

Para .

Ento, ponto mnimo local de f.

Outro modo: Critrio dos sinais da derivadaprimeira.

Obs.: Verifique:

x = 2 f(x) < 0x = 1 f(x) > 0x = 1 f(x) < 0 x = 2 f(x) > 0

1. Determine o maior e o menor valores de

f(x) = x3 + x32 x + 1 no intervalo .

Soluo:

Clculo dos extremos absolutos da funo nointervalo considerado.

f(x) = 3x2 + 2x 1

3x2 + 2x 1 = 0 x1 = 1 e x2 =

Tendo em vista o comportamento da funo,vemos que o valor mximo ocorrer em x = 1

64


ou

Como f(1) = 2 e , vemos que fM = 2

E o valor mnimo ocorrer em x = ou x = 2

Como e f (2) = 1, vemos que

fm = 1

2. Um corpo lanado verticalmente do solo para

cima tem posies, no decorrer do tempo,

dadas pela funo s = 40t 5t2 (t em segundos

e s em metros).

a) Qual o tempo gasto para atingir a altura

mxima?

b) Qual a altura mxima atingida?

Soluo:

a) s(t) = 40 10t

s(t) = 0 40 10t = 0 t = 4s

Estudo do sinal de s(t)

b) s(4) = 40 . 4 5 . 42 = 160 80 = 80m

4. Cortando-se um pequeno quadrado de cada

canto de uma cartolina de 10cm de lado, con-

forme indica figura abaixo, deseja-se construir

com a cartolina restante, dobrada conveniente-

mente, uma caixa de volume mximo. Determi-

nar esse volume.

Soluo:Ao suprimir os pequenos quadrados dos can-tos, as dimenses da caixa sero:

x,(10 2x) e (10 2x)

V(x) = (10 2x)2 . x

V(x) = 40x3 40x2 + 100x

Volume mximo

V(x) = 12x2 80x + 100

Sendo , ento:

5. determine os pntos crticos de f(x) = (x 4)3 + 2e esboce o seu grfico.

Soluo:

f(x) = 3(x 4)2

Pontos crticos:f(x) = 0 3(x 4)2 = 0 x = 4

Sinal de f(x) numa vizinhana de x = 4;65

Clculo I Derivada

x < 4 f(x) > 0 f(x) crescente;x > 4 f(x) > 0 f(x) crescente.

Ento, x = 4 no ponto de mximo local nemde mnimo local.

f(x) = 6(x 4) f(4) = 6(4 4) = 6 . 0 = 0f(x) = 6 f(4) 0f(4) = 3(4 4)2 = 3 . 02 = 0

Logo, x = 4 abscissa de um ponto de inflexohorizontal.

limx+f(x) = + e limxf(x) =

1. Qual a rea mxima que pode ter um retn-gulo de permetro igual a 40cm?

2. Dividir o nmero 30 em duas partes de modoque o seu produto seja mximo.

3. Entre todos os retngulos de rea igual a 64m,qual o que tem permetro mnimo?

4. Determinar os pontos crticos e estudar a vari-ao da funo f(x) = 3x4 4x3 + 5, xIR

5. Em qual conjunto a funo quadrtica definidapor f(x) = x2 x 6 crescente ou decres-cente?

6. Dada a funo f(x) = x3 6x2 + 9x + 1:a) Determine o conjunto em que f crescente

ou decrescente;b) ache os pontos nos quais a tangente ao

grfico de f(x) paralela ao eixo x;c) esboce o grfico de f(x).

7. Um ponto material se move de acordo com a

funo horria s(t) = 2t3 24t2 + 72t + 3 (sdado em metros e t dado em segundos), deter-mine em que instantes o ponto material temvelocidade:

a) crescente

b) decrescente

8. O custo total de fabricao de x unidades deum produto dado por c(x) = (3x2 + 5x + 192)reais. Quantas unidades devero ser fabri-cadas para que o custo mdio seja o menorpossvel?

66


TEMA 13

TAXA DE VARIAO E REGRA DE LHOSPITAL

13.1 Teorema do Valor Mdio (TVM)

Uma funo y = f (x) unvoca e contnua numintervalo [a, b] e derivvel nesse intervalo,admite um valor c desse intervalo tal que arelao entre os acrscimos f(b) f(a) e b a igual a f(c), isto :

para a < c < b

INTERPRETAO GEOMTRICA

A reta s passa pelos pontos (a, f (a)) e (b, f (b)). Existe um ponto (c, f (c)), com a < c < b, tal

que a reta tangente ao grfico de f, nesteponto, paralela reta s.

INTERPRETAO CINEMTICA

Sendo x = f (t) a funo de posio do movi-mento de uma partcula sobre o eixo ox e

a velocidade mdia entre os ins-

tantes t = a e t = b, pelo T.V.M, se f for contnuaem [a, b] e derivvel em ]a, b[ , ento a veloci-dade mdia ser igual velocidade (instantnea)da partcula em algum instante c entre a e b.

Exemplo:Achar um nmero c, como no teorema do valor

mdio, para cada uma das seguintes funes:

a) f(x) = x2, 1 x 2 Soluo:

f(c) =

c = um ponto tal que f(c) tem o valor

pedido.

b) f(x) = x3 + 2x, 1 x 2 Soluo:

3x2 + 2 = 5 x1 = 1 ou x2 = 1C = 1 um ponto tal que f(c) tem valor pedido.

13.2 REGRA DE LHOSPITAL

(limites do tipo e )

f(x) e g (x) sendo contnuas e g(x) 0 em V(a).Se lim

xa f(x) = 0, limxa g(x) = 0 e existe ,

ento

Exemplos:

1. ?

2. ?

3. ?

67

Clculo I Derivada

4. ?

Obs.: Neste exemplo, aplicam-se trs vezesseguidas a regra de LHospital, visto que oquociente das derivadas primeiras, segundas e

terceiras conduziu indeterminao para

x = 0.Quadro-resumo das derivadas e suas pro-priedades.

Tabela de derivadas

Propriedades operatrias das derivadas

1. Um homem anda razo de 5 milhas por horaem direo base de uma torre de 60 ps dealtura. Com que rapidez ele se avizinha dotopo quando est a 80 ps da base da torre?

Soluo:

x: distnica entre o homem e a base;

y: distncia entre homem e o topo da torre, emcada instante.

y2 = x2 + 3600 (teorema de Pitgoras)

Derivando, obtemos

ou

Isso significa que, em cada instante, (veloci-

dade de variao de vezes (velocidade

de variao de x).

x = 80, milhas por hora

68


EdnaldoComentrio do textovalor da acelerao 5 milha por hora sobre x a variao que sofre x com a caminhada.

= 5 x 5280 ps por hora

?

= ps por hora

= 4 milhas por hora

2. Um ponto move-se sobre a parbola 6y = x2 demodo tal que quando x = 6, a abscissa crescecom a velocidade de 2cm por segundo. Com quevelocidade cresce a ordenada nesse instante?

SOLUO

6y = x2

ou

Isso significa que, em cada ponto da parbola,

(velocidade da ordenada) = vezes (veloci-

dade da abscissa)

x = 6; = 2cm por segundo

;

por segundo

No ponto P (6, 6) a ordenada varia duas vezesmais rapidamente que a abscissa; no ponto

P (6, 6), temse cm por segundo, e o

sinal menos indica que a ordenada decres-cente quando a abscissa cresce.

3. A dilatao pelo calor de um prato circular demetal tal que o raio cresce com a velocidade

de 0,01cm por segundo. Com que velocidadede variao cresce a rea do prato qando oraio tem 2cm?

Soluo:

Seja, x = raio e y = rea do prato

Portanto, em cada instante, a rea do pratocresce, em cm quadrados, 2x vezes mais rap-idamente que o raio em centmetros.

por segundo.

4. A 12 ps de altura de um passeio reto e hori-zontal, est presa uma fonte de luz. Sobre opasseio e afastando-se da fonte com a veloci-dade de 168 ps por minuto, caminha umrapaz de 5 ps de altura. Com que rapidezvaria o comprimento da sombra do rapaz?

Soluo:

x: distncia do rapaz de um ponto situadodiretamente sob a luz L

y: comprimento da sombra do rapaz

ou

69

Clculo I Derivada

Portanto a rapidez com que varia o compri-

mento da sombra so os da rapidez com

que anda o rapaz, em 120 ps por minuto.

5. Um ponto move-se ao longo do grfico dey = x3 de modo que sua abscissa x varia razo de 2 unidades por segundo. Qual ,quando x = 3, a taxa de variao da ordenada y?

Soluo:

unidades por segundo

6. Dada f(x) = x3 + 3x2 5, verifique que ascondies para validade do teorema do valormdio esto satisfeitas para a = 1 e b = 2.Encontre todos os nmeros , ]1,2[, tal que .

Soluo:

Notemos que f derivvel e contnua em IR;portanto tambm no intervalo [1,2].

f(x) = 3x2 + 6x. Ento:

ou = 1 .Como queremos no intervalo ]1,2], s con-vm = 1 + .

1. Um quadrado expande-se de modo que seulado varia razo de 5cm/seg. Achar a taxa devariao de sua rea no instante em que o ladotenha 15cm de comprimento.

2. Um ponto move-se ao longo do grfico dey = x2 + 1de tal modo que a sua abscissa x variaa uma velocidade constante de 3cm/s. Qual ,quando x = 4cm, a velocidade da ordenada y?

3. O raio r de uma esfera est variando, com otempo, a uma taxa constante de 5m/s. Comque taxa est variando o volume da esfera noinstante em que r = 2m?

4. Um ponto P movese ao longo do grfico de

de tal modo que a sua abscissa

varia a uma velocidade constante de 5m/s.Qual a velocidade de y no instante em quex = 10m?

5. O lado de um tringulo equiltero mede a cm ecresce k cm por hora. Com que velocidadecrescer a rea do tringulo?

6. Uma escada de 8m est encostada em umaparede. Se a extremidade inferior da escada forafastada do p da parede a uma velocidade con-stante de 2m/s, com que velocidade a extremi-dade superior estar descendo no instante emque a inferior estiver a 3m da parede?

7. Usando as derivadas, calcular os limites abaixo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

70


UNIDADE IVIntegrais

73

Clculo I Integrais

TEMA 14

INTEGRAIS PRIMITIVAS E INDEFINIDAS

14.1 Introduo

Os dois mais importantes instrumentos do cl-culo so a derivada, j considerada anterior-mente, e a integral definida. A derivada foi mo-tivada por problemas de determinao do coe-ficiente angular de uma tangente e de definiode velocidade. A integral definida surge de mo-do natural quando consideramos o problemada determinao da rea de uma regio doplano xy. Essa , entretanto, apenas uma dasaplicaes. Como veremos posteriormente, autilizao das integrais definidas to abun-dante e variada como a das derivadas. O resul-tado principal estabelecido aqui o teoremafundamental do clculo, que demostraremoslogo a seguir. Este relevante teorema possibilitaachar valores exatos de integrais definidas uti-lizando uma antiderivada ou integral indefini-da. O processo pode ser encarado como oinverso da determinao da derivada de umafuno. Assim, alm de constituir um importan-te processo de clculo, o teorema fundamentalmostra que existe uma relao entre derivadase integrais, um resultado-chave para o clculo.

Nesse contexto, a integrao o processo usa-do para se achar uma funo quando se co-nhece a sua derivada (ou taxa de variao). EmEconomia, podemos usar a integrao paraachar uma funo de custo total quando dadaa funo de custo marginal, ou para achar afuno de receita total quando dada a funode receita marginal, e assim por diante.

Podemos definir tambm a integrao como oprocesso usado para se achar o valor limite deuma soma de termos, quando o nmero de ter-mos cresce indefinidamente, e o valor numri-co de cada termo aproxima-se de zero. nestecontexto que a integrao interpretada comoa determinao da rea existente sob umacurva. Com efeito, o clculo integral foi desen-volvido com o propsito de avaliar reas, su-pondo-as divididas num nmero infinito de par-tes infinitamente pequenas, cuja soma a rea

requerida. O sinal da integral o S alongadoque os primeiros autores usaram para indicarsoma.

Em muitos problemas, embora a derivada deuma funo seja conhecida, torna-se neces-srio calcular a prpria funo. o caso, porexemplo, de um Socilogo que, conhecendo ataxa de crescimento da populao, poderusar tal dado para prever futuras taxas de cres-cimento daquela populao, ou de um Fsicoque, conhecendo a velocidade de um corpo,ser capaz de determinar a posio futura docorpo.

Encerraremos com um estudo dos mtodos deintegrao numrica, utilizados para aproxi-mar integrais definidas que no podem ser cal-culadas por meio do teorema fundamental. Taismtodos so facilmente programveis parauso em calculadoras e computadores e tmampla aplicao nos mais diversos campos.

14.2 Antidiferenciao ou primitivas

Voc j est familiarizado com operaes in-versas. Adio e subtrao, mutiplicao e divi-so so operaes inversas, bem como poten-ciao e radiciao. Agora, vamos desenvolvera operao inversa da diferenciao chamadade antidiferenciao ou primitiva, Vamos come-ar introduzindo a antiderivada.

Definio Uma funo F(x) para a qualF(x) = f(x), para todo x pertencente ao domniode f uma primitiva (ou integral indefinida) de f.

Exemplo:

Se F for definida por F(x) = 4x3 + x2 + 5, ento,F(x) = 12x2 + 2x.

Assim, se f for a funo definida porf(x) = 12x2 + 12x, logo afirmamos que f aderivada de F, e que F uma antiderivada ouprimitiva de f. Se G for a funo definida porG(x) = 4x3 + x 17, ento G tambm ser umaantiderivada de f, pois G(x) = 12x2 + 2x. Narealidade, toda funo cujos valores funcionaisso dados por 4x3 + x2 + C, onde C umaconstante qualquer, um antiderivada de f.

Em geral, se uma funo F for antiderivada deuma funo f num intervalo I, e se a funo Gfor definida por G(x) = F(x) + C onde C uma

74


constante arbitrria, ento

G(x) = F(x) = f(x) e G tambm ser uma anti-derivada de f num intervalo I.

Passaremos, agora, a demonstrar que se F forqualquer antiderivada particular de f num inter-valo I, ento toda antiderivada de f em I serdada por {F(x) + C}, onde C uma constantearbitrria. Necessitaremos, primeiro, de um teo-rema preliminar.

Teorema Se f e g forem duas funes, taisque f(x) = g(x) para todo x no intervalo I, entohaver uma constante K, tal que f(x) = g(x) + Kpara todo x em I.

Prova Seja h a funo definida em I por h(x) = f(x) g(x), assim sendo, para todo x em I.h(x) = f(x) g(x)

Mas, por hiptese, f(x) = g(x) para todo x nointervalo I. Logo, h(x) = 0 para todo x no inter-valo I.

E como j sabemos, se a derivada de umafuno zero, podemos concluir que existeuma constante K, tal que h(x) = K para todo xno intervalo I.

Substituindo h(x) por, obtemos f(x) g(x), obte-mos f(x) = g(x) + K para todo x em I, e o teo-rema est provado.

O prximo teorema segue, imediatamente, doteorema anterior.

Teorema Se F for uma antiderivada particularde f em um intervalo I, ento toda antiderivadade f em I ser dada por F(x) + C (1)

onde C uma constante arbritrria, e todas asantiderivadas de f em I podero ser obtidas de(1), atribuindo-se certos valores a C.

Prova: Suponha que G represente qualquerantiderivada de f em I; ento G(x) = f(x) paratodo x em I. ( 2 )

Como F uma antiderivada particular de f em I,

F(x) = f(x) para todo x em I.

De ( 2) e ( 3 ), segue que G(x) = F(x) para todox em I.

Logo, pelo teorema anterior, exis

calcúlo

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