cálculo 1 & mathematica - each.usp.brmathematica.pdf · hidade 3-2l^81 ’2 vale a pena...

Cálculo 1 & Mathematica

Marcone Corrêa PereiraEscola de Artes, Ciências e Humanidades

Universidade de Sã o Paulo

Introduçã o

O objetivo desta aula é fornecer algumas noções básicas do programa Mathematicapara nos auxiliar na resoluçã o de exercícios e no entendimento da teoria dada nasdisciplinas de Cálculo 1 ministradas em nossa escola, a EACH-USP.O Mathematica consiste de duas partes: o Kernel e o Front End. O Kernel é amáquina computacional. Ela calcula e computa os resultados. O Front End é a inter-face do usuário com o Kernel do Mathematica.O Front End e o Kernel sã o separados. O primeiro envia comandos para o segundo,quando o usuário usa:i) a tecla <enter> ouii) a tecla <return>, enquanto o <shift> estiver seguro.A opçã o ii) chamaremos de <shift>+<return>.Qualquer documento criado enquanto usamos o Front End é chamado de Notebook.Tais documentos podem conter misturas de textos, gráficos e objetos matemáticos.

Manipulando números

Faça uma pergunta ao Mathematica que ele te responderá com um resultado. A cadapar de pergunta (entrada) e resposta (saída) ele associará um número. A ié simaentrada é rotulada por In[i] e a correspondente saída Out[i]. Nós podemos nos referirfacilmente a essas entradas e saídas através destes números a elas associados.A primeira pergunta que faremos ao Mathematica é qual o valor de 510:

5 ^ 10

9765625

Muitas vezes é necessário referir-se a recentes resultados. O caracter % refere-se aoresultado imediatamente anterior. Por exemplo, podemos checar o último resultadotomando sua raíz décima.

Muitas vezes é necessário referir-se a recentes resultados. O caracter % refere-se aoresultado imediatamente anterior. Por exemplo, podemos checar o último resultadotomando sua raíz décima.

% ^ H1 � 10L

5

Na verdade, podemos nos referir a resultados anteriores usando um ou mais sinais deporcentagem. % se refere ao resultado anterior, %% se refere ao segundo resultadoanterior, %%% ao terceiro resultado anteriror, e assim por diante. É também possívelse referir a um resultado particular usando %n, onde n é o número da linha de saídado resultado. É importante observar que os números associados à s perguntas erespostas podem mudar quando o Mathematica for reiniciado. Para evitar inconve-nientes, podemos associar um nome a um determinado resultado. O comandoidade=3 associa a palavra idade ao número 3.

idade = 3

3

Uma vez feito isso, podemos nos referir ao valor três através de nome idade.

idade

3

Também podemos realizar operações matemáticas usando o nome idade em vez donúmero 3:Podemos multiplicá-lo por 4. [O produto de dois números é realizado por * ou porespaço.]

idade 4

12

2 Calculo1&Mathematica.nb

idade * 4

12

Podemos dividí-lo por 2.

idade � 2

3

2

Podemos tomar o seu quadrado.

idade^ 2

9

Podemos multiplicá-lo por 3, subtraí-lo 2 e extraírmos a raiz quadrada do resultado.

Hidade 3 - 2L ^ 81 � 2<

: 7 >

Vale a pena observar que o nome idade vai estar associado ao número 3 até que a eleseja associado um outro valor (ou expressã o).

idade = 3 idade

9

idade

9

à Racionais

O Mathematica trata com os números racionais de uma forma diferente quando com-parado a muitas calculadoras. Se pedirmos para uma calculadora calcular a soma 2/4+ 24/144, ela nos retornará algo como 0.666666666667, um resultado aproximado.Já o Mathematica nos retornará o número racional correspondente.

Calculo1&Mathematica.nb 3

O Mathematica trata com os números racionais de uma forma diferente quando com-parado a muitas calculadoras. Se pedirmos para uma calculadora calcular a soma 2/4+ 24/144, ela nos retornará algo como 0.666666666667, um resultado aproximado.Já o Mathematica nos retornará o número racional correspondente.

2 � 4 + 24 � 144

2

3

à Irracionais

Se perguntarmos pelo número irracional 2 , obteremos o valor exato, isto é ,

Sqrt[2] (uma expressã o que representa 2 ).

Sqrt@2D

2

Note que, se perguntarmos a raiz quadrada de um floating-point, isto é , 2. , ele nosretornará um valor aproximado.

[email protected]

1.41421

É importante sabermos que a entrada de números aproximados no Mathematicaproduz resultados aproximados, ou seja, operações com floating-points produz float-ing-points.

2 * 3 � 4

3

2


2. * 3 � 4

1.5

à Aproximações

No Mathematica obtemos aproximações numéricas usando o comando N.

NB 2 F

1.41421

Tipicamente sã o utilizados seis dígitos significativos, mas podemos obter mais. Aqui

pediremos ao Mathematica para aproximar 17 com uma precisã o de 100 casasdecimais.

N@Sqrt@17D, 100D

4.1231056256176605498214098559740770251471992253736204343986�

33573094954346337621593587863650810684297

Existem vários comandos no Mathematica que convertem números aproximadospara um valor exato. Citaremos alguns: Rationalize converte um floating-point para um número racional.

[email protected]

10000

Observe que alguns números podem nã o ser racionalizados.

[email protected]

3.79087

Isto ocorre quando a precisã o padrã o do programa nã o é suficiente para representar onúmero. Neste caso, podemos utilizar o segundo argumento do comando Rationalize.O Mathematica sempre racionalizará um número quando o segungo argumento destecomando for igual a 0.


Isto ocorre quando a precisã o padrã o do programa nã o é suficiente para representar onúmero. Neste caso, podemos utilizar o segundo argumento do comando Rationalize.O Mathematica sempre racionalizará um número quando o segungo argumento destecomando for igual a 0.

[email protected], 0D159383445

42044003

O comando Round converte um dado floating-point para o número inteiro maispróximo.

[email protected]

3

[email protected]

0

[email protected]

2

à Iterações

Iteraçã o indica o número de vezes que um determinado cálculo será realizado. Exis-tem vários comandos de iteraçã o no Mathematica. Por enquanto usaremos apenas oscomandos Table e Sum.O comando Table gera uma lista de expr com i variando de min até max, com saltosde inc.

Table@expr, 8i, min, max, inc<D


Table@i ^ 2, 8i, 1, 10<D

81, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100<

No exemplo anterior produzimos uma lista de 10 valores: o quadrado dos 10primeiros números inteiros positivos maiores do que zero. Já no exemplo seguinte, executamos a mesma operaçã o apenas para os 5 primeirosinteiros ímpares positivos.

Table@i ^ 2, 8i, 1, 10, 2<D

81, 9, 25, 49, 81<

Podemos nos referir a apenas um elemento de uma dada lista acrescentando[[posiçã o do elemento]] no final do nome da lista. Por exemplo, se precisarmos nos referir ao terceiro elemento da lista produzida anteri-ormente, basta escrevermos [[3]] no final do comando % (que se refere ao resultadoanterior).

%@@3DD

25

Alguns outros exemplos:

lista = TableBNB i , 10F, 8i, 1, 13, 2<F

81.000000000, 1.732050808, 2.236067977,

2.645751311, 3.000000000, 3.316624790, 3.605551275<

%@@5DD

3.000000000


lista@@4DD

2.645751311

Table@i ^ 3 � 3 - 1, 8i, 1, 5<D@@4DD61

3

O comando Sum calcula a soma de expr com i variando de min até max, com incre-mentos inc.

Sum@expr, 8i, min, max, inc<DAbaixo somamos os 10 primeiros números inteiros positivos.

Sum@i, 8i, 1, 10<D

55

A seguir somamos os 5 primeiros números inteiros ímpares positivos usando umincremento de 2.

Sum@i, 8i, 1, 10, 2<D

25

Aqui produzimos um polinômio de grau 12 com um inc de 4.

Sum@Hk - 1L x ^ k, 8k, 0, 12, 4<D

-1 + 3 x4 + 7 x8 + 11 x12

à Encontrando Raízes

Os comandos NRoots e FindRoot encontram raízes de equações numericamente. Osímbolo = = é utilizado no Mathematica para denotar igualdade e especificar umaequaçã o matemática.O comando NRoots retorna uma aproximaçã o numérica para as raízes de umpolinômio.Quais sã o as aproximações numéricas para as raízes da equaçã o0 = -3 + 4 x + 2 x2 - 4 x3 + x4 cuja variável é a letra x ?


Os comandos NRoots e FindRoot encontram raízes de equações numericamente. Osímbolo = = é utilizado no Mathematica para denotar igualdade e especificar umaequaçã o matemática.O comando NRoots retorna uma aproximaçã o numérica para as raízes de umpolinômio.Quais sã o as aproximações numéricas para as raízes da equaçã o0 = -3 + 4 x + 2 x2 - 4 x3 + x4 cuja variável é a letra x ?

NRootsA-3 + 4 x + 2 x2 - 4 x3 + x4 � 0, xE

x � -1. ÈÈ x � 1. ÈÈ x � 1. ÈÈ x � 3.

O símbolo || é o comando lógico ou. Este resultado afirma que se x é igual a -1 ou 1ou 3 a equaçã o 0 = -3 + 4 x + 2 x2 - 4 x3 + x4 é satisfeita.O comando FindRoot encontra uma soluçã o numérica para a equaçã o exp1= = exp2começando com uma aproximaçã o x = x0.

FindRoot[exp1 == exp2, {x, x }] 0

Podemos encontrar uma raíz da equaçã o sen xx = 0 começando em x0 = 2?

FindRoot@Sin@xD � x � 0, 8x, 2<D

8x ® 3.14159<

A raiz encontrada pode estar próxima ou nã o do x0. Isto dependerá do valor absolutoda derivada da funçã o nas proximidades deste ponto, já que este comando utiliza oconhecido Método de Newton. Podemos verificar este resultado através do comando /. ou ReplaceAll. Ele aplicauma regra ou uma lista de regras a uma expressã o.

Sin@xD � x �. %

3.89817 ´ 10-17

Aqui nós aplicamos a regra x ® 3.14159 Hx -> 3.14159L à expressã o sen xx . Observe

que o resultado calculado é um valor muito próximo ao número zero. Podemos veristo através do comando Chop.


Chop@%D

0

Tal comando repôe números que sã o aproximadamente zero pelo número"exatamente" zero. Observe que ao aplicarmos este comando a um número que nã o éaproximadamente zero, obtemos um resultado diferente de zero.

[email protected]

1.76

[email protected]

0.78

[email protected]

0.0012

à Velhas conhecidas

A seguir vamos listar alguns comandos que representam algumas das funções conheci-das por nós:

Cos@xD - Cosseno do ângulo x em radianos.

Sin@xD - Seno do ângulo x em radianos.

Tan@xD - Tangente do ângulo x em radianos.

Log@xD - Logarítmo do número positivo x na base e.

Log@a, xD -Calcula o Logarítmo do número positivo x na base a > 0.

Exp@xD - Ex HE representa o número e neste programaL.Outras funções podem ser encontradas no Help do Mathematica. Junto com ocomando associado à funçã o procurada, existe uma descriçã o de como usá-lo ade-quadamente. Para isto, basta clicar em Help > Help Browser (ou digitar <shift>+F1)e digitar o nome (ou parte do nome) da funçã o (ou comando) procurado.O Help nos será muito útil.


Outras funções podem ser encontradas no Help do Mathematica. Junto com ocomando associado à funçã o procurada, existe uma descriçã o de como usá-lo ade-quadamente. Para isto, basta clicar em Help > Help Browser (ou digitar <shift>+F1)e digitar o nome (ou parte do nome) da funçã o (ou comando) procurado.O Help nos será muito útil.

Sin@ΠD

0

[email protected]

0.227978

Sin@Π � 4D1

2

[email protected]

0.540302

Exp@1D

ã

[email protected]

1.10517

Log@2, 8D

3


Log@3, 81D

4

à Exercícios

1- Calcule o número de minutos em um ano de 365 dias.2- Use o comando N para encontrar uma aproximaçã o para o número Π com 770 casas decimais de precisã o. Você notará seis dígitos consecutivos iguais a 9 em algum lugar.

3- Use o N para determinar quã o próximo está o número eΠ 163 de um número inteiro.4- Use o Sum para encontrar as seguinte somas:

a) 1 + 11 + 1

2 + ... + 110

b) 1 + 11! + 1

2! + ... + 110! [Use o comando fatorial !.]

c) 1 + 2 ln e2

2! + 3 ln e3

3! + ... + 10 ln e10

10!5- Encontre cinco raízes das seguintes equações: a) x5 + 5 x4 + 4 x3 + 3 x2 + 2 x + 1 = 0 b)sen2 HΠ xL - x2 cosHΠ xL = x Sugestã o: Tente usando Table e FindRoot. Procure no intervalo [-5,5]. c)1 = x tan x Sugestã o: Procure no intervalo [0,13].6- Encontre no Help os comandos associados à s funções trigonométricas inversas.

Realizando Cálculos

Até agora utilizamos o Mathematica como uma simples calculadora. Podemos fazerum pouco mais. Podemos utilizá-lo para calcular limites, derivadas, integrais; parapodermos determinar o Polinômio de Taylor de qualquer ordem de uma dada funçã oem um ponto determinado etc.A funçã o derivada toma dois argumentos: uma expressã o e uma variável.

D@expr, xDQual será a derivada da funçã o

Hx2+2 x-1Lx2+1

?


Qual será a derivada da funçã o Hx2+2 x-1L

x2+1?

D@Hx ^ 2 + 2 x - 1L � Hx ^ 2 + 1L, xD

2 + 2 x

1 + x2-2 x I-1 + 2 x + x2M

I1 + x2M2

Podemos simplificá-la? Acho que sim.

Simplify@%D

2 + 4 x - 2 x2

I1 + x2M2

Já a funçã o limite encontra o valor da expressã o expr quando x se aproxima de x0.

Limit@expr, 8x ® x0<DVocê se lembra do limite da expressã o cos x-1

x quando x se aproxima de zero?

Limit@HCos@xD - 1L � x, x ® 0D

0

E do limite de sen xx quando x se aproxima de zero ou tende ao + infinito?

Limit@Sin@xD � x, x ® 0D

1

Limit@Sin@xD � x, x ® InfinityD

0

Podemos também encontrar limites laterais com o Mathematica. Para isto, bastadizer a direçã o.Limite lateral à direita, direçã o -1.


Podemos também encontrar limites laterais com o Mathematica. Para isto, bastadizer a direçã o.Limite lateral à direita, direçã o -1.

Limit@expr, 8x ® x0<, Direction ® -1D

Limit@1 � x, x ® 0, Direction ® -1D

¥

Limite lateral à esquerda, direçã o 1.

Limit@expr, 8x ® x0<, Direction ® 1D

Limit@1 � x, x ® 0, Direction ® 1D

-¥

Nã o se confunda! Limite lateral a direira -1.Limite lateral à esquerda 1.Agora nós vamos obter a sé rie de potências da funçã o cos x no ponto x = 0 de ordem10.

Series@Cos@xD, 8x, 0, 10<D

1 -x2

2+x4

24-

x6

720+

x8

40320-

x10

3628800+ O@xD11

O termo O@xDn representa o termo de ordem n.Para determinarmos o valor desta sé rie no ponto x = 0.04, devemos primeiro nor-malizar a sé rie de potências, isto é , eliminar o termo O@xDn. Para isto usamos o comando Normal.

serieCos = Normal@%D

1 -x2

2+x4

24-

x6

720+

x8

40320-

x10

3628800

Agora basta utilizarmos o comando /. na regra x ® 0.04 para obtermos o resultado.


serieCos �. x ® 0.04

0.9992

Se você tentar substituir o x = 0.04 na sé rie sem normalizá-lo, o Mathematica nã orealizará a substituiçã o.

à Exercícios

1) Use Series para obter o polinômio de Taylor de ordem 10 no ponto x = 0 dasseguintes expressões: a) ex

b) 11-x

c) ln(1+x)

d) 1 + x2) Use o polinômio de Taylor obtido no exercício anterior para aproximar osseguintes valores: a) ln (1,1) b) e

c) 32

Compare os valores encontrados com os valores calculados pelo próprioMathematica.

Gráficos Unidimensionais

Neste momento chegamos a parte mais interessante de nossa aula: usaremos o pro-grama Mathematica para construir gráficos de funções de uma variárel real e paradesenhar curvas no plano xy. Aprenderemos a utilizar dois comandos, a saber o comando Plot e o comando Implic-itPlot. O comando Plot desenha gráficos de funções, já o comando ImplicitPlot plotano plano xy curvas dadas por equações matemáticas de duas variáveis.

� O comando PlotO comando Plot precisa de pelo menos dois argumentos: uma expressã o e um"domínio". O "domínio" é composto por três elementos: a variável da expressã o, porexemplo x, um valor mínimo xmin e um valor máximo xmax para a variável.


O comando Plot precisa de pelo menos dois argumentos: uma expressã o e um"domínio". O "domínio" é composto por três elementos: a variável da expressã o, porexemplo x, um valor mínimo xmin e um valor máximo xmax para a variável.

Plot@expr, 8x, xmin, xmax<DO seguinte comando produz o gráfico da cúbica Hx - 2L3 no intervalo [-1,4]:

Plot@Hx - 2L ^ 3, 8x, -1, 4<D

-1 1 2 3 4

-25

-20

-15

-10

-5

5

Também podemos plotar funções com singularidades, por exemplo tan x. Nessescasos, além de plotar o gráfico da funçã o, o Mathematica desenha aproximações paraas assíntitas verticais x = Π

2+ kΠ com k variando no conjunto dos números inteiros.


Plot@Tan@xD, 8x, -3 Pi, 3 Pi<D

-5 5

-6

-4

-2

2

4

6

O Mathematica nem sempre mostra a imagem inteira da funçã o. Permita-nos consid-

erar um outro exemplo: sen xx .

Plot@Sin@xD � x, 8x, -10 Pi, 10 Pi<D

-30 -20 -10 10 20 30

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Observe que neste exemplo, o comando Plot nã o inclui o valor máximo da funçã o,neste caso, o ponto onde o gráfico intercepta o eixo y.Quando o Mathematica plota o gráfico de uma funçã o, ele deve fazer muitas escol-has. Estas escolhas estã o baseadas em alguns valores de opções. Usando ??Plot pode-mos ver todas as opções padrões do comando Plot. [Na verdade, o comando ??mostra as opções padrões de qualquer comando.]


Observe que neste exemplo, o comando Plot nã o inclui o valor máximo da funçã o,neste caso, o ponto onde o gráfico intercepta o eixo y.Quando o Mathematica plota o gráfico de uma funçã o, ele deve fazer muitas escol-has. Estas escolhas estã o baseadas em alguns valores de opções. Usando ??Plot pode-mos ver todas as opções padrões do comando Plot. [Na verdade, o comando ??mostra as opções padrões de qualquer comando.]

?? Plot

Plot@ f , 8x, xmin, xmax<D generates aplot of f as a function of x from xmin to xmax.

Plot@8 f1, f2, … <, 8x, xmin, xmax<D plots several functions fi. �

Attributes@PlotD = 8HoldAll, Protected<

Options@PlotD = 9AlignmentPoint ® Center,

AspectRatio ®1

GoldenRatio, Axes ® True, AxesLabel ® None,

AxesOrigin ® Automatic, AxesStyle ® 8<,Background ® None, BaselinePosition ® Automatic,

BaseStyle ® 8<, ClippingStyle ® None,

ColorFunction ® Automatic, ColorFunctionScaling ® True,

ColorOutput ® Automatic, ContentSelectable ® Automatic,

CoordinatesToolOptions ® Automatic,

DisplayFunction ¦ $DisplayFunction, Epilog ® 8<,Evaluated ® System`Private`$Evaluated,

EvaluationMonitor ® None, Exclusions ® Automatic,

ExclusionsStyle ® None, Filling ® None,

FillingStyle ® Automatic, FormatType ¦ TraditionalForm,

Frame ® False, FrameLabel ® None, FrameStyle ® 8<,FrameTicks ® Automatic, FrameTicksStyle ® 8<,GridLines ® None, GridLinesStyle ® 8<,ImageMargins ® 0., ImagePadding ® All,

ImageSize ® Automatic, ImageSizeRaw ® Automatic,

LabelStyle ® 8<, MaxRecursion ® Automatic, Mesh ® None,

MeshFunctions ® 8ð1 &<, MeshShading ® None,

MeshStyle ® Automatic, Method ® Automatic,

PerformanceGoal ¦ $PerformanceGoal, PlotLabel ® None,

PlotPoints ® Automatic, PlotRange ® 8Full, Automatic<,PlotRangeClipping ® True, PlotRangePadding ® Automatic,

PlotRegion ® Automatic, PlotStyle ® Automatic,

PreserveImageOptions ® Automatic, Prolog ® 8<,RegionFunction ® HTrue &L, RotateLabel ® True,

Ticks ® Automatic, TicksStyle ® 8<,WorkingPrecision ® MachinePrecision=

As opções podem ser especificadas em qualquer ordem depois do "domínio" dafunçã o.


As opções podem ser especificadas em qualquer ordem depois do "domínio" dafunçã o.

Plot@expr, 8x, xmin, xmax<, opçõesDAs opções sã o especificadas pelo nome seguido de seu valor, da seguinte maneira:Nome da Opçã o -> Valor da Opçã o. Se uma opçã o nã o é especificada, o valorpadrã o é utilizado pelo comando.Discutiremos apenas algumas opções. As demais podem ser consultadas através doHelp ou através do comando ??.

à Opçã o PlotRange

Podemos plotar o gráfico da funçã o sen xx apenas quando sua imagem estiver no

intervalo [0,1]. Para isto usamos a opçã o PlotRange -> {0,1} do comando Plot.

Plot@ Sin@xD � x,8x, -10 Pi, 10 Pi<, PlotRange ® 80, 1<D

-30 -20 -10 0 10 20 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Se pretendemos plotar toda a imagem da funçã o, devemos usar o valor All na opçã oPlotRange.


Plot@ Sin@xD � x,8x, -10 Pi, 10 Pi<, PlotRange ® AllD

-30 -20 -10 10 20 30

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

à Opçã o PlotStyle

Através da opçã o PlotStyle podemos mudar a espessura, a cor e o estilo do gráficoplotado.A funçã o Thickness controla a espessura do gráfico. Seu valor padrã o é Thick-ness[0.004].

Plot@expr, 8x, xmin, xmax<, PlotStyle ® Thickness@ADD


Plot@x, 8x, 0, 5<,PlotStyle ® [email protected]

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Com a funçã o RGBColor podemos especificar uma cor.O primeiro argumento está relacionado com o vermelho, o segundo com o verde e oterceiro com o azul. Estes argumentos sã o números que devem variar entre 0 e 1. O 1indica a preseça da cor e o 0, sua ausência.

Plot@expr, 8x, xmin, xmax<,PlotStyle ® RGBColor@red, green, blueDD


Plot@ Sin@2 Pi xD Exp@-xD, 8x, 0, 4<,PlotStyle ® [email protected], 0.8, 0.5DD

1 2 3 4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Acima plotamos a funçã o sen H2 Π xL e-x na cor laranja e no intervalo [0,4].

à Opçã o Dashing

A funçã o Dashing produz o gráfico com sucessivos segmentos de comprimento d1,d2, d3, ... , que sã o utilizados como argumentos desta funçã o.

Plot@expr, 8x, xmin, xmax<,PlotStyle ® Dashing@8d1, d2, ...<DD

Nã o se esqueça da chave dentro do colchete!A seguinte entrada produz o gráfico da funçã o seno tracejada e na cor azul. Observeque a funçã o PlotStyle pode assumir vários valores.


Plot@Sin@xD, 8x, -2 Pi, 2 Pi<, PlotStyle ®

8RGBColor@0, 0, 1D, [email protected]<D<D

-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Na verdade, podemos plotar vários gráficos numa mesma tela com o comando Plot.O primeiro argumento especifica o conjunto de funções e o segundo o domínio detais funções.

Plot@8expr 1, expr 2, ...<, 8x, xmin, xmax<DO seguinte comando produz o gráfico das funções ex e xe na mesma tela e no inter-valo [0,5].


Plot@8Exp@xD, x ^ E<, 8x, 0, 5<D

1 2 3 4 5

20

40

60

80

100

120

140

Próximo do ponto 0, temos dificuldades de identificar os gráficos. Devemos entã outilizar algumas de nossas opções para diferenciá-las.

Plot@8Exp@xD, x ^ E<, 8x, 0, 5<,PlotStyle ® 88RGBColor@0, 0, 1D<,

8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D<<D

1 2 3 4 5

20

40

60

80

100

120

140

Observe, no exemplo anterior, que o PlotStyle foi dado como um vetor. A primeira"coordenada" {RGBColor[0,0,1]} está associada à primeira funçã o; e a segundacoordenada {RGBColor[1,0,0],Dashing[{0.04}]}, que neste caso é um outro vetor,está associada à segunda funçã o.


Observe, no exemplo anterior, que o PlotStyle foi dado como um vetor. A primeira"coordenada" {RGBColor[0,0,1]} está associada à primeira funçã o; e a segundacoordenada {RGBColor[1,0,0],Dashing[{0.04}]}, que neste caso é um outro vetor,está associada à segunda funçã o.

à O comando Show

Uma outra maneira de mostrar gráficos numa mesma tela é usando o comandoShow.Para isto, basta nomearmos cada gráfico separadamente e depois mostrá-los juntos.

a = Plot@Sin@xD, 8x, -2 Pi, 2 Pi<, PlotStyle ®


-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0


b = Plot@Cos@xD, 8x, -2 Pi, 2 Pi<,PlotStyle ® 8RGBColor@1, 0, 0D<D

-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Show@a, bD

-6 -4 -2 2 4 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

à O pacote ImplicityPlot

O Mathematica pode ser utilizado também como uma linguagem de programaçã o,isto é , podemos definir novos comandos através dos comandos padrões disponíveisnuma determinada versã o do programa. Esses novos comandos serã o salvos emarquivos que normalmente sã o chamados de pacotes. Existem pacotes disponíveis sobre vários assuntos dentro do programa Mathematica. Encontramos pacotes que tratam de: Estatística, Estatística Descritiva, Geometria,Á lgebra, Matemática Discreta, Cálculo, Física, Química etc. Uma lista de pacotes pode ser encontrada na Wolfram Research, Guide to StandardMathematica Packages. Neste momento nos restringiremos somente ao pacote gráfico ImplicitPlot, que nosdisponibiliza o comando de mesmo nome ImplicitPlot. Este comando desenha curvasno plano dadas implicitamente através de uma equaçã o matemática de duas variáveis.Para termos acesso à s funções definidas num determinado pacote, devemos primeiro"rodar" o pacote. Isto pode ser feito através do comando


O Mathematica pode ser utilizado também como uma linguagem de programaçã o,isto é , podemos definir novos comandos através dos comandos padrões disponíveisnuma determinada versã o do programa. Esses novos comandos serã o salvos emarquivos que normalmente sã o chamados de pacotes. Existem pacotes disponíveis sobre vários assuntos dentro do programa Mathematica. Encontramos pacotes que tratam de: Estatística, Estatística Descritiva, Geometria,Á lgebra, Matemática Discreta, Cálculo, Física, Química etc. Uma lista de pacotes pode ser encontrada na Wolfram Research, Guide to StandardMathematica Packages. Neste momento nos restringiremos somente ao pacote gráfico ImplicitPlot, que nosdisponibiliza o comando de mesmo nome ImplicitPlot. Este comando desenha curvasno plano dadas implicitamente através de uma equaçã o matemática de duas variáveis.Para termos acesso à s funções definidas num determinado pacote, devemos primeiro"rodar" o pacote. Isto pode ser feito através do comando

<< contexto`nomeÀTENÇÃ O: A sintaxe deve ser obedecida com rigor.

<< GraphicsÌmplicitPlot`

— General::obspkg :

GraphicsÌmplicitPlot` is now obsolete. The legacy version being

loaded may conflict with current Mathematica functionality .

See the Compatibility Guide for updating information. �Feito isso, estamos prontos para usarmos o comando de nosso interesse, ImplicitPlot.

ImplicitPlot@exp1 � expr2, 8x, xmin, xmax<, opçõesDCom ImplicitPlot podemos desenhar uma circunferência de raio 2 centrada naorigem.


ImplicitPlot@x ^ 2 + y ^ 2 � 4, 8x, -2, 2<,PlotStyle ® RGBColor@1, 0, 0DD

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Podemos plotar uma elípse com eixos 4 e 3 centrada no ponto (-1,2).


ImplicitPlot@Hx + 1L ^ 2 � 16 + Hy - 2L ^ 2 � 9 � 1,8x, -5, 5<, PlotStyle ® RGBColor@1, .5, 1DD

-4 -2 2

-1

1

2

3

4

5

Podemos plotar o Fólio de Descartes azul e tracejado.


ImplicitPlot@x ^ 3 + y ^ 3 � 6 x y,8x, -4, 4<, PlotStyle ®


-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

à Exercícios

1) Plote as funções ex e ln x no intervalo [0,4], na mesma tela, usando a funçã o Dash-ing e com cores diferentes.2) Use o comando Plot para estimar o valor das raízes do polinômio2 x3 - 7 x2 - 17 x + 10 no intervalo [-6,6] e verifique suas estimativas através docomando Roots.

3) a) Encontre o polinômio de Taylor da expressã o 1

1+sin2 Π2+x em x = 0.

b) * Use o comando Normal para converter a expansã o numa expressã o, paraentã o plotar o gráfico da funçã o junto com o da aproximaçã o. c) Determine em que regiã o a expançã o em sé rie aproxima bem a funçã o.4) Use o comando ?? para obter informações sobre uso e opções do comando Find-Root e ImplicitPlot. [Lembre-se de rodar o pacote ImplicitPlot antes.]5) Use o Mathematica para calcular a equaçã o da reta tangente ao Fólio de Descartesx3 + y3 = 6 x y no ponto (3,3) e desenhe a curva e sua reta tangente na mesma tela.Diferencie as curvas utilizando as opções de estilo do comando.


1) Plote as funções ex e ln x no intervalo [0,4], na mesma tela, usando a funçã o Dash-ing e com cores diferentes.2) Use o comando Plot para estimar o valor das raízes do polinômio2 x3 - 7 x2 - 17 x + 10 no intervalo [-6,6] e verifique suas estimativas através docomando Roots.

3) a) Encontre o polinômio de Taylor da expressã o 1

1+sin2 Π2+x em x = 0.

b) * Use o comando Normal para converter a expansã o numa expressã o, paraentã o plotar o gráfico da funçã o junto com o da aproximaçã o. c) Determine em que regiã o a expançã o em sé rie aproxima bem a funçã o.4) Use o comando ?? para obter informações sobre uso e opções do comando Find-Root e ImplicitPlot. [Lembre-se de rodar o pacote ImplicitPlot antes.]5) Use o Mathematica para calcular a equaçã o da reta tangente ao Fólio de Descartesx3 + y3 = 6 x y no ponto (3,3) e desenhe a curva e sua reta tangente na mesma tela.Diferencie as curvas utilizando as opções de estilo do comando.

Agradecimentos

Gostaria de agradecer a Dra. Raquel C. de Siqueira pela revisã o e pelas sugestões.

Referências

Blachman, N. R. Mathematica: A Pratical Approach. Prentice-Hall, Inc. NewJersey 1992.


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