189

3.18 EXERCCIOS pg. 112

1. Investigue a continuidade nos pontos indicados

(a) ( )

=

=

0,0

0,

x

xx

xsen

xf em 0=x .

( ) 001lim0

==

fx

xsen

x. Portanto f(x ) no contnua em 0=x .

(b) ( ) xxxf = em 0=x .

( ) 00lim)(limlim000

===+++ xxx

xxxf .

( ) ( ) 02limlimlim000

==+=

xxxxfxxx

.

( ) ( )00lim0

fxfx

==

. Portanto f(x ) contnua em 0=x .

(c) ( )

=

=

2,3

2,48

2

3

x

xx

x

xf em 2=x .

( ) ( )( )( ) ( )234

1222

422lim48lim

2

22

3

2f

xx

xxx

x

x

xx===

+

++=

. Portanto, a funo contnua em

2=x .

(d) ( )x

senxf 1

1= em 2=x .

( )22

11

11lim

2f

senx

senx===

. Portanto, a funo contnua em 2=x .

(e) ( )

=

=

0,0

0,12

x

xx

senxxf em 0=x .

Conforme exerccio 16 da lista 3.6 item (c), temos

190

01lim 20

= x

senxx

. Como f(0)=0, a funo contnua em 0=x .

(f) ( )

=

>

191

2. Determine, se existirem, os valores de ( )fDx , nos quais a funo ( )xf no contnua.

(a)

=

=

1,0

1,1)(

22

x

xx

x

xf

Temos que em 1=x a funo no contnua porque no existe 1

)(limx

xf .

(b) ( )xsen

xxf

+

+=

3cos1

03 + xsen para todo ( )+ ,x . Portanto, a funo no tem pontos em que no contnua.

(c) ( )

==

=

=

0,22

0,00

xx

x

x

xx

xxx

xx

x

xxxf

A funo no tem pontos em que no contnua em seu domnio: ( ) ( )+ ,00, .

(d)

>

192

(f) xx ee

xf

=2)(

Esta funo contnua em todo o seu domnio: { }0 .

(g)

=

+=

1,1

1,1

43)(

2

x

xx

xx

xf

Temos que:

=

+ 1

43lim2

1 x

xx

x. Portanto, f no contnua em x=1.

(h) pi+

=

x

xxf )(

A funo contnua em todos os pontos de seu domnio: { }pi

3. Construa o grfico e analise a continuidade das seguintes funes:

(a)

>

=

0,0,0)(

xx

xxf

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

x

f(x)

193

Analisando o grfico visualiza-se uma funo contnua em todo o seu domnio, ou seja, em todo o conjunto dos nmeros reais.

(b)

=

+

=

2,1

2,24

)(2

x

xx

x

xf

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

f(x)

A visualizao grfica mostra que a funo no contnua em 2=x .

(c)

=

=

0,1

0,||)(x

xx

x

xf

194

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

x

f(x)

A visualizao grfica mostra que a funo no contnua em 0=x .

(d)

195

(e)34

33)( 223

++

+=

xx

xxxxf

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

f(x)

A visualizao grfica mostra que a funo no contnua em 3=x e em 1=x . Observa-se que esses pontos no pertencem ao domnio dessa funo. Assim, temos a continuidade em todos os pontos do domnio.

4. Calcule p de modo que as funes abaixo sejam contnuas.

(a) ( )

=

++=

3,33,22

x

xpxxxf

Devemos ter: ( ) ( ) 33lim112lim3

2

3==+=++

fpxpxx

xx.

Assim,

.

3883

8lim

113lim

3

3

=

=

=

=

p

p

px

px

x

x

(b) ( )

>

+=

1,1,2

2 xp

xpxxf

Temos que:

196

( ) ppxpp

x

x

212lim

lim

1

22

1

+=+

=

+

Para que o limite exista devemos ter a relao:

.12

022

442

01221

2

2

=

=

=

=+

+=

p

pp

pp

(c)

=

=

0,70,)(

3

2

xp

xexf

x

Temos que 1lim 20

=

x

xe . Assim devemos ter 173 =p ou 2=p .

5. Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funes no so contnuas.

(a) ( ) ( ) ( )73 += xxx

xf

Neste caso temos os pontos que no pertencem ao domnio da funo: 3=x e 7=x .

(b) ( ) ( ) ( )xxxf = 63

( ) ( ) 063 xx

Neste caso a funo no contnua em )6,3(x , pois esses pontos no pertencem ao domnio da funo.

(c) ( )xsen

xf21

1+

=

Esta funo no contnua nos pontos em que 21

=xsen , ou seja, em

+=

+=

kkx

kkx

k

k

,26

7

,26

2

1

pipi

pipi

197

(d) ( )10613

2

2

+

+=

xx

xxxf

contnua em todo o seu domnio, ou seja, em todo o conjunto dos nmeros reais.

6. Prove que se ( )xf e ( )xg so cont nuas em 30 =x , tambm o so gf + e gf . .

Se ( )xf contnua em 3=x ento ( ) ( )xffx 3lim,3

e ( ) ( )3lim

3fxf

x=

(1)

Se ( )xg contnua em 3=x ento ( ) ( )xggx 3lim,3

e ( ) ( )3lim

3gxg

x=

(2)

Temos que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )333limlimlim333

gfgfxgxfgfxxx

+=+=+=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).3..3.3lim.lim.lim333

gfgfxgxfgfxxx

===

7. Defina funes f, g e h que satisfaam: (a) f no contnua em 2 pontos de seu domnio; (b) g contnua em todos os pontos de seu domnio mas no contnua em IR; (c) fh0 contnua em todos os pontos do domnio de f.

Podemos ter infinitas respostas para o presente exerccio. Segue um exemplo para cada uma das funes:

=

=

=

2,11,2

21,)2)(1(1

)(x

x

xexxx

xf

21)(+

=

xxg

xxh =)(

198

Para as funes exemplificadas temos que )()]([ xfxfhfh ==o . Essas funes satisfazem as condies dadas nos trs itens e podem ser visualizadas a seguir. (a) Grfico da funo )(xf definida em ),( + e contnua em ),( + -{1,2}.

-3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

f(x)

(b) Grfico da funo )(xg contnua em todos os pontos de seu domnio, mas no contnua em ),( + . O ponto 2=x no pertence ao domnio da funo exemplificada.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

g(x)

(c) Grfico da funo xxh =)( , cuja composio com a funo )(xf resulta a prpria funo )(xf .

199

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

h(x)

8.D exemplo de duas funes f e g que no so contnuas no ponto a=0 e tais que gfh = contnua neste ponto. Faa o grfico das funes f, g e h.

Existem infinitos exemplos. Segue um deles:

200

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

f(x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

g(x)

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

h(x)=f(x).g(x)

9. Sejam f, g e h funes tais que, para todos x, )()()( xhxgxf . Se f e h so contnuas no ponto ax = e )()()( ahagaf == , prove que g contnua no ponto a. Se f e h so contnuas no ponto ax = , temos que:

)()(lim afxfax

=

)()(lim ahxhax

=

Como )()( ahaf = temos que )(lim)(lim xhxfaxax

= .

Usando o Teorema do Confronto, considerando que )()()( xhxgxf , existe )()()()(lim agahafxg

ax===

. Isto garante a continuidade da funo )(xg em ax = .

10. Sejam IRa e IRIRf : uma funo definida no ponto a. Se max

afxfax

=

)()(lim , prove que f contnua no ponto a.

201

Para que a funo f seja contnua no ponto a devemos ter que )()(lim1

afxfx

=

, ou

que 0))()((lim =

afxfax

.

Temos,

00)(lim)()(lim)()()(lim))()((lim ==

=

=

maxax

afxfax

ax

afxfafxf

axaxaxax.