caderno didático - introdução a Álgebra abstrata

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Equipe multidisciplinarAntnio Charleskson Lopes Pinheiro Diretor de Produo de Material DidticoUlisses de Melo Furtado Designer InstrucionalGerlandia Joca de Castro Assessora Pedaggicangelo Gustavo Mendes Costa - Assessor PedaggicoFrancisca Monteiro da Silva Perez - Assessora PedaggicaAdriana Mara Guimares de Farias ProgramadoraCamilla Moreira Uchoa WebdesignerJssica Estr Frutuoso de Souza - ProgramadoraThiago Henrique Rossato - ProgramadorFelipe Yuri Silva - Suporte de InformticaJssica de Oliveira Fernandes - Comunicao e MarketingRamon Ribeiro Vitorino Rodrigues - Diretor de ArteMikael Oliveira de Meneses DiagramadorAlberto de Oliveira Lima DiagramadorJos Antonio da Silva - DiagramadorFrediano Arajo de Sousa Ilustrador

Arte da capaFelipe de Arajo Alves

Equipe administrativaRafaela Cristina Alves de Freitas Assistente em AdministraoIriane Teresa de Arajo Responsvel pelo fomentoBruno Layson Ferreira leo EstagirioThayssa Teixeira Lira - EstagiriaPaulo Augusto Nogueira Pereira - EstagirioAntonio Romrio Bezerra Nogueira - Estagirio

Equipe de apoioNayra Maria da Costa Lima Reviso DidticaAlvaneide Maria de Morais Moura Reviso DidticaMrcio Vinicius Barreto da Silva Reviso LingusticaJssica de Oliveira Fernandes - Reviso LingusticaJosenildo Galdino dos Santos - Reviso Conceitual

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Setor de Informao e Referncia (SIR-BCOT/UFERSA)

Bibliotecrio-DocumentalistaMrio Gaudncio CRB-15/476

D85i Duarte, Suene Campos.

Introduo lgebra abstrata / Suene Campos Duarte. Mossor: EdUFERSA, 2014. 60 p. : il. ISBN: 978-85-63145-72-7

1. lgebra abstrata. 2. Matemtica. I. Ttulo. UFERSA/BCOT CDD 512.02

APRESENTAO DA DISCIPLINA

Caro(a) aluno(a);

O estudo da Matemtica, alm de permitir o exerccio de algumas aes prticas cotidianas (clculo financeiro, gerenciamento de estoque, etc), fornece uma ferramenta simblica para o pensamento humano (explicita intensidade, relaes lgicas e de grandezas, entre outros).

A lgebra Abstrata, estabelecendo os seus fundamentos, onde a linguagem matemtica definida e onde a compreenso dos conceitos, pelos seus nveis de abstraes, requer o desenvolvimento de raciocnios que ajudaro no estabelecimento de pontes entra a Matemtica e outras cincias.

O curso Introduo lgebra Abstrata objetiva estabelecer um primeiro contato com um mundo de conceitos e estruturas operatrias que, a primeira vista parecem distantes da realidade, mas nada mais so do que a formalizao de teorias j fixadas em diversos temas, tais como Teoria dos Conjuntos, Teoria dos Nmeros, lgebra Linear, etc. Este curso foi estruturado para estudantes que no tiveram nenhum contato anterior explcito com a disciplina, podendo tambm ser realizado por estudantes ou profissionais de outras reas que pretendam ter uma ideia do que Matemtica.

Bons estudos!

SOBRE O AUTOR

Suene Campos Duarte bacharel em Matemtica pela Universidade Federal da Paraba e Mestre em Matemtica pela Universidade Federal de Campina Grande. Foi professora substituta na Universidade Estadual da Paraba, professora assistente na Universidade Federal de Campina Grande e atualmente professora assistente da Universidade Federal Rural do Semi-rido.

Seu trabalho na modalidade educao distncia consiste na participao como tutora, professora formadora e conteudista em

disciplinas da rea de Matemtica, junto Licenciatura em Matemtica da Universidade Federal Rural do Semi-rido / Ncleo de Educao Distncia.

SUMRIO

UNIDADE I

NMEROS INTEIROS

Preliminares: Terminologia dos conjunTos 13

ProPriedades bsicas dos inTeiros 15

mximo divisor comum mdc 17

relao de equivalncia 19

UNIDADE II

TEORIA DOS GRUPOS

gruPos e subgruPos 25

Homomorfismo de gruPos 32

classes laTerais e subgruPos normais 35

UNIDADE III

ANIS, IDEAIS E HOMOMORFISMOS

anis 41

subanis 45

ideais e anis quocienTes 47

Homomorfismos 51

I NMEROS INTEIROSNesta unidade, faremos uma breve discusso sobre o Conjunto

dos Inteiros. Caso o leitor se interesse por uma construo axiomtica de tal conjunto, sugerimos a leitura de Nmeros: Uma introduo a matemtica, do autor Cesar Polcino Milies. Trabalharemos, no apenas a notao mas alguns conceitos bsicos amplamente conhecidos (Conjuntos, Mximo Divisor Comum) e que sero teis no curso de lgebra Abstrata.

Objetivos:

Rever conceitos bsicos da Teoria dos Conjuntos;

Apresentar propriedades do Conjunto dos Inteiros importantes

para o estudo dos captulos seguintes.

INTRODUO LGEBRA ABSTRATAIAAAutora: Suene Campos Duarte

13

I - NMEROS INTEIROS

Preliminares: Terminologia dos ConjuntosUN 01

Nesta seo, apresentaremos um breve resumo da teoria bsica de conjuntos, necessria para o desenvolvimento deste captulo. Definio 1:Um conjunto uma coleo de objetos os quais chamaremos de elementos do conjunto. til, na prtica, empregar smbolos para denotar certos conjuntos. Por exemplo, chamamos de Z o conjunto de todos os inteiros. Isto ,

{ }, , , 1, 0, 1, , ,k m= ZOutros conjuntos numricos mais conhecidos so:{ }0,1,2,3, , ,m= (Nmeros naturais) ; , , 0m m n n

n =

Q Z (Nmeros racionais) { }Nmeros reais, isto , nmeros racionais e nmeros irracionais=R{ }; , 1a bi a b ei= + = C R (Nmeros complexos)Se x um elemento do conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x A. O conjunto sem elemento

chamado de conjunto vazio e ser denotado por . Por conveno, sero utilizadas letras maisculas para simbolizar conjuntos e letras minsculas para simbolizar elementos.Quando todo elemento de um conjunto A tambm elemento de um conjunto B, dizemos que A um subconjunto de B ou que A est contido em B e denotamos A B. Se o conjunto A no est contido no conjunto B, usamos A B.Observao 1:O conjunto vazio est contido em qualquer conjunto.Dois conjuntos A e B so iguais se possuem os mesmos elementos. Assim, temos que A = B se, e somente se, A B e B A. Se A um subconjunto de B, mas A B, dizemos que A um subconjunto prprio de B.Exemplo 1:Z um subconjunto de Z e o conjunto dos inteiros positivos um subconjunto prprio de Z.Definio 2:Se A e B so conjuntos, a interseo de A e B, denotada por A B , o conjunto dos elementos que pertencem tanto a A quanto a B. Isto ,

{ }: = A B x x Aou x BA unio de A e B, denotada por A B, o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B. { }: = A B x x Aou x B Podemos representar os conjuntos unio e interseo a partir dos diagramas de Venn.

I - NMEROS INTEIROS

INTRODUO LGEBRA ABSTRATAIAA Autora: Suene Campos Duarte

14

Ttulo da imagemBA

A B

BA

A B

Banco de ima

gens NEaD/U

FERSA

Definio 3:Se A e B so conjuntos, denotamos por A B o conjunto dos pares (x,x') com x A e x' B. EXERCCIO RESOLVIDO1. Prove os itens abaixo para quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C.(a) Se A B e B C, ento A C.

Soluo:Se x A, ento x B, pois A B. Se x B, em virtude a B C, temos que x C. Portanto, A C.

(b) A (B C) = (A B) (A C)Soluo:Seja x A (B C). Ento, x A ou x B C. Essa afirmao pode ser reescrita como x A ou x B e x C. Temos as seguintes possibilidades:(x A ou x B) ou (x A ou x C)Segue que x A B e x A C. Portanto, x (A B) (A C). 2. O nmero de elementos de um conjunto finito A denotado por n(A). Mostre que se A e B so conjuntos

finitos, verifica-se n (A B) = n (A) + n (B) - n (A B).Soluo:Considere A' como o conjunto dos elementos de A que no esto em A B e B' como o conjunto dos elementos de B que no esto em A B. Observe que

n (A B) = n(A' ) + n(A B) + n(B')Porm,n(A' ) = n(A) - n(A B) e n(B' ) = n(B) - n(A B)e assim,

n(A B) = [n(A) - n(A B)] + n(A B) + [n(B) - n(A B)] n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).

Diagramas de Venn representando interseo e unio, respectivamente.


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I - NMEROS INTEIROS

1. Prove que, quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se:a) Se A B e B A , ento A = B.b) ( ) ( ) ( ) = A B C A B A Cc) ( ) ( ) = A B C A B C2. Se A, B e C so conjuntos finitos, mostre que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C3. Apresente um exemplo envolvendo dois conjuntos B e C para os quais se verificam as seguintes relaes: , C B C e B C .4. Construa conjuntos A, B e C tais que = A B A B e = A B A C .5. Se A e B so conjuntos tais que A B = A B, prove que A = B.

EXERCCIO PROPOSTO

Propriedades Bsicas dos InteirosUN 01

Nesta seo, admitiremos que o leitor esteja familiarizado com as propriedades aritmticas elementares que envolvem a adio, a multiplicao e as desigualdades envolvendo inteiros. Considerando tambm que em Z, existem as noes de ordem e de mdulos ||, admitiremos algumas propriedades bsicas dessas ltimas operaes.Princpio da Boa Ordenao: Todo conjunto no vazio de inteiros maiores ou iguais a zero tem um menor elemento.Observao 1:O Princpio da Boa Ordenao pode ser interpretado da seguinte forma: Se A um conjunto no vazio de inteiros maiores ou iguais a zero, existe um inteiro n A tal que n x para todo x A.Usando a boa ordenao dos inteiros, podemos demonstrar uma importante propriedade chamada induo.Proposio 1 (Induo Primeira Forma): Suponha que, para cada inteiro n 1, seja dada uma afirmao A(n) e que podemos provar as duas seguintes propriedades:(i) A afirmao A(i) verdadeira.(ii) Para cada inteiro n 1, se A(n) verdadeira, segue-se que A(n + 1) tambm verdadeira. Ento, para todo inteiro n 1, a afirmao A(n) verdadeira.Demonstrao: Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos n para os quais A(n) falsa e suponha que S . Pelo Princpio da Boa Ordenao, existe um elemento n0 S. Por hiptese, n0 1 e ento n0 > 1. Como n0 o menor elemento de S, segue que n0 - 1 no est em S. Em outras palavras, A(n0 - 1) verdadeira. Neste contexto, pelo item (ii), conclumos que A(n0) tambm verdadeira, pois n0 = (n0 - 1) + 1. Isto uma contradio, o que prova a proposio.

I - NMEROS INTEIROS


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1. Prove, usando a induo, que para cada inteiro n 1, vale: A n n

n n( ) + ++ =

+( ):1 2

1

2

Soluo: De fato, para n = 1, a igualdade verdadeira, pois 1 1 1 12

=+( ) . Suponha que a equao seja verdadeira para n 1. Ento,

1 11

21

1 2 1

2

2 2

2

1

2

++ + +( ) =+( )

+ +( )

=+( ) + +( )

=+ + +

=+( )

n nn n

n

n n n

n n n

n n++( )22

Conclumos, por induo, que A(n) verdadeira para todos os inteiros n 1.Proposio 2 (Induo Segunda Forma):Suponha que para cada inteiro n 0, seja dada uma afirmao A(n), e que podemos provar as duas seguintes propriedades:1) A afirmao A(0) verdadeira.2) Para cada inteiro n > 0, se A(k) verdadeira para todo inteiro k satisfazendo 0 k < n, segue-se que A(n) verdadeira.Portanto, a afirmao A(n) verdadeira para todo inteiro n 0.Demonstrao: Considere S o conjunto dos inteiros maiores ou iguais a zero para os quais a afirmao falsa. Suponha que S no vazio e seja n0 o menor elemento de S (segundo o Princpio da Boa Ordenao). Ento, por (1), n00 e como n0 o menor elemento de S, a afirmao A(k) verdadeira para todo k inteiro satisfazendo 0 k < n0. Por (2), conclumos que A(n0) verdadeira, o que contradio. Observao 2:A Proposio 1 poderia ser enunciada a partir do inteiro 0 em vez de 1, assim como a Proposio 2 poderia ser enunciada a partir do inteiro 1 em vez de 0. As demonstraes funcionam com as devidas modificaes.Como exemplo de aplicao da induo, podemos provar o teorema abaixo. Este teorema muito importante e conhecido como algoritmo da diviso de Euclides.

EXERCCIO RESOLVIDO

SAIBA MAIS

Euclides de Alexandria foi um matemtico platnico e escritor muitas vezes referido como Pai da Geometria. A sua principal obra se chama Os Elementos e uma das mais influentes na histria da matemtica. Euclides escreveu tambm sobre perspectivas, sees cnicas, geometria esfrica, teoria dos nmeros e rigor. Banco

de imagens N

EaD/UFERSA

Teorema 1 (Algoritmo da Diviso de Euclides): Sejam m, n inteiros com n 0 e m > 0, ento existem nicos inteiros q, r maiores ou iguais a zero tais que n = qm + r e 0 r < d.


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I - NMEROS INTEIROS

Demonstrao: Provaremos a existncia usando induo (segunda forma) sobre n. Se n = 0, escolha q = r = 0. Suponha n > 0. Se n m< , considere q = 0 e r n= . Se n m , segue-se que 0 . Depois de efetuar a subtrao dos membros acima, obtemos q q m r r1 2 2 1( ) = . Ora, r r m2 1 < e r r2 1

0 > . Isto impossvel, pois o fato de q q1 2 ser um inteiro implica em q q m m1 2( ) , se q q m1 2

0( ) > . Conclumos que r r1 2= . Disso resulta que q m q m1 2= , ento q q1 2= .1. Mostre usando induo:a) ( ) ( )2 2 11 4 1 , 16nn n n n++ ++ = + inteiro.b) ( ) 21 3 2 1n n+ ++ =c) 11n n nm m m+ + = onde ,m n e 1.n m Lembre-se de que: ( )! ! !n nm n m n = e ( )! 1 3 2 1n n n= se 1n e 0! 1= .d) ! 2nn > , para todo n.2. Prove por induo a frmula da soma de uma P.A.:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 12 1 2n a n da a d a d a n d + + + + + ++ + =

EXERCCIO PROPOSTO

Mximo Divisor Comum - MDCUN 01Vamos provar a existncia do mximo divisor comum em Z.

Definio 1:Um subconjunto J do conjunto dos inteiros Z chamado ideal de 0 J quando satisfaz as seguintes condies:a) 0 Jb) Se , m n J , ento m n J+ c) Se m J e n Z , ento , n m Jd) Se n J , ento n J Exemplo:1. Se n um inteiro qualquer, o conjunto de todos os mltiplos inteiros de n um ideal de Z. Em termos matemticos, { };n nx x= Z Z um ideal de Z. (Verifique!).2. Sejam 1, , rm m nmeros inteiros. Seja J o conjunto de todos os inteiros que podem ser escritos na forma 1 1 r rx m x m++ ,onde 1 , , rx x so inteiros. Podemos verificar que J um ideal. De fato, se 1 , , ry y so inteiros, ento

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1r r r r r r rx m x m y m y m x y m x y m J++ + ++ = + ++ +

I - NMEROS INTEIROS


18

Se n um inteiro, ( )1 1 1 1 r r r rn x m x m nx m nx m J++ = ++ Finalmente, 10 0 0 rm m= ++ est em J. Logo, J um ideal. No segundo exemplo da pgina anterior, o ideal J gerado por 1, , rm m . e dizemos que 1, , rm m so geradores de J. Em particular, { }0J = um ideal chamado de ideal zero. Z tambm um ideal de Z denominado ideal unitrio. Esses dois ltimos ideais citados so chamados ideais triviais. Se J um ideal de Z tal que { }0 J Z, dizemos que J um ideal prprio de Z.

Teorema 2:Seja J um ideal de Z ento existe um inteiro d que gerador de J.Demonstrao:Se { }0J = , seu gerador ser 0. Suponha que { }0J , existe x J onde 0x . Pelo item (iv) da Definio 1, x J e, portanto, x J e J contm algum inteiro positivo. Seja d o menor dos inteiros positivos de J. Afirmao:d o gerador de J.De fato, considere n J e escreva n dq r= + , com 0 r d < . Ento, r n dq= pertence a J, e, como r d< , segue que r = 0. Isto prova que n = dq, isto , d um gerador de J.

Sejam n, d inteiros no nulos. Dizemos que d divide n se existir um inteiro q tal que n= dq. Escrevemos d|n.Definio 2: Se m, n so inteiros no nulos, definimos um divisor comum de m e n como inteiro d 0 tal que d|n e d|m. Um mximo divisor comum de m e n um inteiro d > 0 que divisor comum desses nmeros e satisfaz a seguinte propriedade: Se e|m e e|m com e d , ento e|d.Sempre existe um mximo divisor comum entre dois nmeros. O prximo Teorema comprova isso.Teorema 3: Sejam m1,m2 inteiros positivos. Seja d um gerador positivo do ideal gerado por m1 e m2. Ento d o mximo divisor comum de m1 e m2.Demonstrao:Considere J o ideal de Z gerado por m1 e m2, isto ,

{ }1 2 ; ,J xm ym x y= + ZTemos que 1m J , pois 1 1 21 0m m m= + . Deste modo, existe um inteiro q1 tal que 1 1m q d= . De modo anlogo, prova-se que 2|d m . Seja , 0e e Z , onde e|m1 e e|m2. Temos 1 1m h e= e 2 2m h e= , onde 1 2, h h Z. Visto que d J , existem 1 2, s s Z tais que 1 1 2 2d s m s m= + . Disso resulta

( )1 1 2 2 1 1 2 2d s h e s h e s h s h e= + = +Portanto, e|d.

Observao 3:A demonstrao acima continua vlida se dispomos de mais de dois inteiros. Se o mximo divisor comum dos inteiros 1 , ., rm m 1, dizemos que 1 , ., rm m so primos entre si. Neste caso, existem 1 , ., rx x inteiros tais que 1 1 . 1r rx m x m+ + =pois 1 pertence ao ideal gerado por 1 , ., rm m .


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I - NMEROS INTEIROS

1. Dados { }, 0a b , aplicando sucessivamente o algoritmo de Euclides, temos: 0 1 1, 0a q b r r b= + < 0 1 1, 0a q b r r b= + > , existe um inteiro s tal que 1 0sr + = . Neste caso, ( ),sr mdc a b= . Usando este algoritmo, calcule:a) ( )37,23mdcb) ( )542, 234mdcc) ( )4276,1234mdc2. Encontre inteiros x e y tais que:a) 93 81 3x y+ =b) 43 128 1x y+ =Um nmero inteiro positivo p > 1 chamado primo se possui somente dois divisores positivos: p e 1. Se p >1 no primo, dizemos que p composto. Dizemos que um inteiro negativo p< 1 primo se p o for. Mostre que se p primo e p|ab, ento p|a ou p|b.

EXERCCIO PROPOSTO

Relao de EquivalnciaUN 01

Nesta seo, faremos uma generalizao da igualdade a partir de um mecanismo formal chamado relao de equivalncia. Definio 1 (Relao de Equivalncia): Uma relao de equivalncia em um conjunto S um conjunto R de pares ordenados de elementos de S que apresenta as seguintes propriedades: (i) [Reflexiva] ( ),a a R para todo a S(ii) [Simtrica] Se ( ),a b R , ento ( ),b a R(iii)[Transitiva] Se ( ),a b R e ( ),b c R , ento ( ),a c RQuando R for uma relao de equivalncia no conjunto S, escrevemos aRb no lugar de ( ),a b R . Tendo em vista que a relao de equivalncia uma generalizao da ideia de igualdade, utilizamos os smbolos , , ou ~.Considere que ~ uma relao de equivalncia em um conjunto S e a S . O conjunto

[ ] { }a x S;x ~ a= chamado classe de equivalncia de S contendo a.

I - NMEROS INTEIROS


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Exemplo:1. Na Fsica e na Matemtica, estudamos o conceito de vetor. Usualmente, um vetor no espao 3R um terno de nmeros reais (a, b, c). Pensamos no vetor como o segmento orientado cuja origem (0,0,0) e cuja extremidade (a, b, c). Na introduo ao estudo dos vetores, entendemos que um segmento orientado uma grandeza que possui mdulo, direo e sentido e dois segmentos so iguais se possuem os mesmos mdulo, direo e sentido. Neste contexto, considere V o conjunto de todos os segmentos orientados do espao 3R . Determinando a relao:R: Dois segmentos orientados so equivalentes quando possuem o mesmo mdulo, mesmo sentido e mesma direo.Podemos construir classes de equivalncia chamadas de vetor. Assim, um vetor (a, b, c) o representante de qualquer segmento orientado do espao cujo mdulo 2 2 2a b c+ + e cuja direo e sentido so os do vetor (a, b, c).2. Em Z, definimos a relao de equivalncia a bmod n se, e somente se, n divide a b . Sendo assim,( ) |a bmod n n a b fcil ver que mod n uma relao de equivalncia, poisi) a amod n devido a |0n (propriedade reflexiva); ii) Se a bmod n , ento ( )|n a b . Porm, se ( )|n a b , ento ( )|n b a e, portanto, b amod n . (propriedade simtrica)iii) Se a bmod n e b c mod n , temos que ( )|n a b e ( )|n b c e, portanto, ( )|n a c . Isto mostra que a c mod n .As classes de equivalncia de mod nZ sero as classes dos restos da diviso por n. Com efeito, dado um inteiro, existem q, n e r inteiros tais que a qn r= + com 0 r n < . Isto mostra que a r mod n . Denotaremos por nZ o conjunto das classes de equivalncia de Z mdulo n. Usaremos a notao a para [a]. Assim,

{ }0, 1, , 1n n= ZDefinio 2:Uma partio P de um conjunto S uma coleo de subconjuntos no vazios de S (chamados de partes) de tal maneira que a interseo de duas partes quaisquer vazia e a unio de todas as partes o prprio S. Teorema 3:As classes de equivalncia de um conjunto S formam uma partio de S. Reciprocamente, para toda partio P de um conjunto S, existe uma relao de equivalncia em S cujas classes de equivalncia so os elementos de P.Demonstrao:Seja ~ uma relao de equivalncia em S. Para todo a S , temos que a a[ ]pela propriedade reflexiva. Assim, a[ ] e a unio de todas as classes de equivalncia de S S. Agora, suponha que [a] e [b] possuem um elemento x em comum. Isto implica em que x~a e x~b. Pela propriedade transitiva, a~b e, portanto, [a]=[b]. Deixaremos a recproca como exerccio.


21

I - NMEROS INTEIROS

Soluo:Vamos verificar as propriedades reflexiva, transitiva e simtrica. Considere a S . aRa, pois 2 0a (propriedade reflexiva). Se aRb, ento 0ab e, claro, 0ba onde bRa (propriedade simtrica). Se aRb e bRc, ento 0ab e 0bc , de modo que ( ( ) 2) 0ab bc ab c= e 0ac (propriedade transitiva).

EXERCCIO RESOLVIDO

1. Seja S um subconjunto de R. Se ,a b S , defina a relao aRb se 0ab . Determine se R uma relao de equivalncia.

2. Seja A um subconjunto do produto cartesiano S S . Se o par ( ),a b A , diremos que aRb. Em caso contrrio, b no est relacionado com b. Quais das seguintes relaes so de equivalncia?a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,2 , 2,3 , 1,3=A b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 1,1 , 2,2 , 1,2 , 2,1 , 1,3 , 3,1=A Soluo. A relao A1 reflexiva e transitiva, mas no simtrica, pois 1 est relacionado com 2, mas 2 no est relacionado com 1. A relao A2 simtrica, mas no reflexiva, pois ( ) 23,3 A .

EXERCCIO PROPOSTO1. Duas retas distintas r1 e r2 no plano so paralelas se 1 2r r = . Mostre que a caracterstica ser paralela define uma relao de equivalncia no conjunto das retas do plano.2. Seja E o conjunto das retas do plano , seja P um ponto dado de e seja 0r uma reta dada contida em . Se , x y E , ento xRy. Verifique se as relaes abaixo definidas sobre E so de equivalncia.a) no paralela a xRy x yb) e passam por xRy x y Pc) perpendicular ou paralela a xRy x yd) 0 e se cortam num ponto de xRy x y r3. Se x e y so dois nmeros reais quaisquer, dizemos que se e somente se xRy x y QMostre que R uma relao de equivalncia.a) Descreva a classe de equivalncia de 12x = .4. Sejam { }3, 2, 1, 0, 1, 2, 3E = e R a seguinte relao em E:

xRy x x y y + = +5. Mostre que R uma relao de equivalncia e encontre 3 e 0 .

II TEORIA DOS GRUPOSA Teoria dos Grupos a abstrao de ideias que se iniciaram com

conceitos de nmeros e logo se estenderam para reas maiores que estavam sendo estudadas simultaneamente. As trs principais reas que originaram esta teoria so: geometria, teoria dos nmeros e equaes algbricas. Grupos esto por trs de muitas estruturas algbricas, como corpos e espaos vetoriais e uma ferramenta de grande utilidade no estudo de simetrias.

Nesta unidade, descreveremos de forma sucinta a teoria abstrata de grupos: conceitos, propriedades e exemplos.

Objetivos:

Definir o que um grupo e um subgrupo;

Apresentar as principais propriedades dos grupos e seus

principais tipos, atravs de exemplos.

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II - TEORIA DOS GRUPOS


IntroduoUN 01O estudo da teoria dos grupos considerado o incio do estudo da lgebra abstrata. Estudamos lgebra quando passamos a utilizar variveis para representar nmeros. Neste contexto, o surgimento da teoria dos grupos est relacionado ao problema de encontrar razes de equaes algbricas, desenvolvido principalmente por variste Galois e outros matemticos. De modo bastante geral, os grupos fornecem

a linguagem matemtica mais adequada para a descrio de simetrias, classificao de molculas e estruturas cristalinas, entre outras aplicaes.SAIBA MAIS

variste Galois foi um matemtico francs. Ao determinar a condio necessria e suficiente para que um polinmio pudesse ser resolvido por razes, no s resolveu um antigo problema em aberto, como criou um domnio inteiramente novo da lgebra abstrata: a teoria dos grupos. Viveu em um perodo de grande agitao social e poltica, o que o afastou de sua brilhante carreira e tambm o levou morte, com apenas 20 anos, em um duelo. http:/

/en.wikiped

ia.org/wiki/

Galois_theo

ry#mediav

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File:Evariste_

galois.jpg

Grupos e SubgruposUN 01

Definio 1:Um grupo G um conjunto no vazio munido de uma operao G G G ( ), *a b a bque satisfaz as seguintes condies:

(i) [Associativa] ( ) ( ) * * * *a b c a b c= , quaisquer que sejam , , a b c G .(ii) [Existncia de Elemento Neutro] Existe um elemento e G tal que * *a e e a a= = , qualquer que seja .a G(iii) [Existncia de Elemento Simtrico] Para todo a G , existe b G tal que * *a b b a e= = .O grupo dito abeliano ou comutativo se satisfaz, alm dos itens acima:(iv) [Comutativa] * *a b b a= , quaisquer que sejam , a b G .Um grupo identificado por (G,*), onde o smbolo * indica a operao sobre G. Quando no houver possibilidade de confuso, o smbolo * poder ser omitido. Deste modo, ser comum usarmos apenas G para denotar o grupo (G,*) e escrevermos ab no lugar de a * b.Propriedades de um GrupoSeja (G,*)um grupo. Seguem as propriedades:1. O elemento neutro nico. De fato, suponha que e e e sejam elementos neutros de G, ento * 'e e e= (Devido e ser elemento neutro) 'e= (Devido e ser elemento neutro)

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2. O elemento simtrico nico.Seja a G e sejam ,b b G dois elementos simtricos de a. Temos: ( ) ( ) * * * ' b* * * 'b simtrico de ab simtrico de ab b e b a b a b e b b= = = = =

Denotamos o inverso de a G por a1.3. Seja a G , ( ) 11a a = (Verifique!)4. Seja a G , ( ) 1 1 1ab b a = De fato, ( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 ab b a a bb a aea aa e = = = =Um grupo cuja operao uma adio chamado de grupo aditivo. Tal grupo denotado por ( ), G + ou, quando no houver possibilidade de confuso, apenas G. Em um grupo aditivo, o elemento neutro ser 0 e o simtrico de um elemento a ser chamado de oposto de a e ser indicado por a.

Um grupo cuja operao uma multiplicao chamado de grupo multiplicativo e denotado por ( ), G ou, quando no houver possibilidade de confuso, apenas G. Neste caso, o elemento neutro do grupo ser o nmero 1 e o simtrico de um elemento a ser chamado de oposto de a e ser indicado por 1a .Exemplo de Grupos:A seguir, temos alguns exemplos de grupos. Muitos deles envolvem noes com as quais o leitor j teve contato em outros cursos. 1. O conjunto Q dos nmeros racionais um grupo aditivo ( ),+Q abeliano. Alm disso, os elementos no nulos de Q formam um grupo multiplicativo ( )* , Q abeliano.2. Os nmeros reais R e os nmeros complexos C formam grupos aditivos abelianos ( ),+R e ( ),+C . Alm disso, tanto os reais no nulos quanto os complexos no nulos formam grupos multiplicativos abelianos ( )* , R , ( )* , C .3. O conjunto Z dos nmeros inteiros um grupo aditivo abeliano ( ),+Z . O conjunto dos inteiros no nulos e a multiplicao sobre esse conjunto no forma um grupo. Isso acontece porque nenhum inteiro tem simtrico multiplicativo em Z, com exceo de 1 e -14. Seja K um dos seguintes conjuntos, Z, Q, R ou C. Denotaremos por ( )m nM K o conjunto das matrizes sobre K com m linhas e n colunas. ( )m nM K um grupo aditivo abeliano. De fato, sabemos que se

( )ij m nA a = , ( )ij m nB b = so matrizes em ( )m nM K . Ento, ( ) ij m nA B c + = , onde ij ij ijc a b= + , para 1 i m e 1 j n , a adio sobre ( )m nM K . Tal adio satisfaz as condies exigidas na Definio 1, pois ( ) ( )A B C A B C+ + = + + , o que satisfaz a associativa A B B A+ = + , que satisfaz a comutativa. Existe a matriz nula em ( )m nM K , 0 00 0 0m n

=

. E, finalmente, qualquer que seja a matriz ( )ij m nA a = , existe a matriz ( )ij m nA a = tal que ( ) 0m nA A + = .5. Seja K um dos seguintes conjuntos, Z, Q, R ou C. Denotaremos por ( )nM K o conjunto das matrizes sobre K de ordem n. Assim como no Exemplo 4, ( )nM K um grupo aditivo. Quanto multiplicao de matrizes, ( )nM K no ser um grupo. Isto acontece porque nem toda matriz de ordem n possui matriz inversa. 6. Seja K um dos seguintes conjuntos, Z, Q, R ou C. Denotamos por GL Kn( ) o conjunto das matrizes inversveis (lembre-se: uma matriz ( ) nA M K inversvel se, e somente se, det 0A ). O conjunto GL Kn( ) um grupo multiplicativo. De fato, sabemos que se ( )ij nA a= e ( )ij nB b= , ento ( )ij nAB c= , onde

( )1 , 1,2, ,nij ik kjkc a b i j n== = . Para a multiplicao em ( )nGL K , vale a associativa. O elemento neutro

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dado pela matriz identidade 1 0 00 0 1nI =

e toda matriz, devido prpria definio do conjunto, possui matriz simtrica.

Observao 1:O grupo ( )nGL K no comutativo quando 1n > . Isto acontece porque no se garante que AB = BA, onde ( ), nA B GL K (Verifique!). O grupo ( )nGL K chamado de grupo linear racional para o caso de K =Q , real para o caso de K =R ou complexo se K =C, de grau n.

Exemplo:7. Considere o conjunto das classes de resto mdulo m, ou seja, { }0, 1, 2, , 1m m= Z . Neste conjunto, definida a adio a b a b+ = + , onde valem as propriedades associativa e comutativa. Ademais, existe 0 mZ tal que 0 0a a a+ = + = e, para cada maZ , existe mm a Z tal que ( ) 0a m a a m a m+ = + = = . Pelo exposto acima, ( ), m +Z um grupo abeliano para 1m > . A multiplicao mdulo m em mZ definida por ab ab= para , ma bZ . Esta operao associativa, comutativa e seu elemento neutro a classe 1 porque 1 1a a a= = . importante observar que mZ no um grupo multiplicativo, pois 0 mZ e este no possui inverso multiplicativo.8. Uma bijeo de um conjunto A nele mesmo chamada permutao. Sendo A um conjunto no vazio, ( )S A ser o conjunto de todas as permutaes dos elementos de A, isto , ( ) { : , S A f A A f= bijeo}. O conjunto ( )S A com a composio de aplicaes associativa, possui a aplicao identidade : AI A A como elemento neutro e uma aplicao inversa 1f tambm bijetora para cada ( ) f S A . Segue que ( )S A um grupo quando munido da composio de aplicaes. Um grupo que consiste de um nico elemento chamado grupo trivial. Em geral, um grupo pode possuir

infinitos elementos ou apenas um nmero finito deles. No ltimo caso, chamamos o conjunto G de grupo finito. O nmero de elementos de G chamado ordem de G.Sendo um grupo um conjunto com uma operao binria, um conjunto com uma operao binria, um grupo finito pode ser especificado por uma tabela de operaes chamada Tabela de Cayley.

Exemplo:9. O conjunto { }1, 1, ,G i i= um grupo munido da multiplicao. Neste caso, a ordem de G 4. Este grupo pode ter sua operao representada pela tabela abaixo.* -1

-1

-1

-1

-1-1

-i-i -i

-i-i

-ii

i

ii

ii

11

11

1 1

Tabela de operao do grupo G

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EXERCCIO RESOLVIDO1. Mostre que R dotado da operao * tal que 3 33 * x y x y= + um grupo abeliano.Soluo. Devemos mostrar que R dotado de * apresenta a associatividade, um elemento neutro, um elemento inverso e comutativo. Ora, dados , , x y zR,

( ) ( )3 33 * * *x y z x y z= +( )33 3 333 x y z= + +( )3 3 33 x y z= + +

( )3 3 33 x y z= + +( )33 3 333 x y z= + +

3 33 * x y z= +( ) * *x y z=Portanto, a operao associativa. Alm disso, existe 0 R (elemento neutro) tal que

33 3 3 30 * 0x x x x= + = = , para todo x RDado x R, existe o simtrico x R tal que ( ) ( )3 33 3 33 * 0x x x x x x = + = = . Finalmente, 3 3 3 33 3 * *x y x y y x y x= + = + = , o que mostra a comutatividade.

2. Seja ( ){ }2, ; 0G a b a= R . Defina a seguinte operao:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , a b c d G a b c d ac ad b = +Mostre que ( ),G um grupo no abeliano.

Soluo. Devemos mostrar que ( ),G associativa, possui elemento neutro e simtrico, porm no comutativo. De fato, dados ( ) ( ) ( ), , , , ,a b c d e f G ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,a b c d e f ac ad b e f = +

( ) ( ) ( ), ac e ac f ad b = + + ( ) ( ) , a ce a cf d b = + + ( ) ( ) , , a b ce cf d= +

( ) ( ) ( ), , ,a b c d e f = Portanto, . associativa. Existe ( )1,0 G tal que para todo ( ),a b G , ( ) ( ) ( ) ( )1,0 , , 0 ,a b a b a b = + = . Analogamente, mostramos que ( ) ( ) ( ), 1,0 ,a b a b = . Para cada ( ), a b G , existe ( )1 1, a ba G tal que ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1, , , 1, 1,0a b a ba aa a ba b b aa b = + = + = . Analogamente, mostra-se que ( ) ( )1 1, ,a ba a b e = .Vamos mostrar agora um contra-exemplo simples que comprova a no comutatividade de G. Considere ( ) ( )1,2 , 2,1 G .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,2 2,1 2,3 2,1 1,2 2,5 = = .

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3. Sej am G um grupo e a, b, c seus elementos. Se ab = ac, mostre que b = c.Soluo. Se a G e G grupo, existe 1 a G tal que 1 1 a a aa e = = (e constitui elemento neutro). Neste caso, se ab ac= , ento ( ) ( )1 1 1 1 ( ) ( ) a ab a ac a a b a a c b c = = = .

4. Sejam a, b, c elementos de um grupo multiplicativo G. Prove que ( ) 1 1 1 1abc c b a = . Obtenha x G tal que abcxb = c.Soluo. Note que, devido associativa,

( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 abc c b a ab c c b a = 1 1 abeb a =( )1 1 a bb a = 1 aea= 1 aa=

e=Analogamente, mostramos que ( )( )1 1 1c b a abc e = . Portanto, ( ) 1 1 1 1abc c b a = .Se abcxb c= , multiplicando 1 1 1c b a pela esquerda, ( )( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 c b a abc xb c b a c xb c b a c = =Multiplicando 1b pela direita,

( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 xb b c b a c b x c b a c b = =

EXERCCIO PROPOSTO

1. Mostre que:a) R com a operao * tal que * 3x y x y= + um grupo.b) ( ){ }2 0,0R , com a operao * tal que ( ) ( ) ( ), * , , a b c d ac bd ad bc= + , um grupo.c) 2 { 2| , }a b a b = + Q Q um grupo aditivo.d) ( ){ : ;G f f x ax b= = +R R , com 0}, a com a composio de funes, um grupo.e) { }: ; A f A A e A= R R R , com as operaes ( )( ) ( ) ( ) , ,f g x f x g x x A+ = + um grupo. 2. Justifique por que os seguintes conjuntos com as respectivas operaes no constituem um grupo.a) Z_, adio.b) { } ; G x x mpar= Z , multiplicao.c) *C , *a b a b=d) { }: ; A f A A e A= R R R , ( )( ) ( ) ( ) , fg x f x g x x A=

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3. Sejam 1 , , nx x elementos de um grupo G. Mostre (por induo) que ( ) 1 1 11 1, , n nx x x x = 4. Seja G um grupo multiplicativo e , a b G . Determine x G tal que 1xax bba= .5. Mostre que se G um grupo multiplicativo e x x e = , x G , ento G abeliano (e o elemento neutro de G).6. Seja G um grupo finito. Mostre que, dado x G , existe um inteiro 1n tal que nx e= .Construa a tabela do grupo { }, , , , ,G e a b c d f= , de ordem 6, sabendo que G abeliano.Definio 2:Seja ( ),*G um grupo e H um subconjunto no vazio de G. Diremos que H um subgrupo de G (denotamos H G< ) se:i) * a b H , sempre que , a b Hii) ( )H,* tambm um grupo.Observao 2:a) Na Definio 2, * indica a operao em G, restrita ao conjunto H.b) A Definio 2 pode ser reescrita da seguinte maneira:Seja ( ),*G um grupo e H um subconjunto no vazio de G. H um subgrupo de G se:i) 1 2 1 2* , , h h H h h H ii) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( * )* * * , , , h h h h h h h h h H= iii) Existe He H tal que * * , H He h h e h h H= = iv) Para cada h H , existe k H tal que * * Hh k k h e= =c) O elemento neutro He H igual ao elemento neutro e G . De fato, considerando h H , *He h h= . Operando a igualdade direita por 1h , temos ( )1 1 1 ( * )* * * * * H H H He h h h h e h h e e e e e e = = = = .d) Dado h H , o inverso de h em H igual ao inverso de h G . Ora, se k H tal que * * Hh k k h e= = e He e= , ento 1 k h G= .Proposio 1 (1 Teste para Subgrupo):Seja ( ),*G um grupo. Um subconjunto no vazio H de G um subgrupo de G se, e somente se, as seguintes condies so satisfeitas:i) 1 2 1 2* , , h h H h h H ii) 1 , h H h H Demonstrao:Suponha que H seja um subgrupo de G. Temos que (i) satisfeita por definio e h H . Porque H um grupo, existe Hh H tal que *Hh h e= . Ora, vimos na Observao 2 (d) que 1 Hh h= e, deste modo, a condio (ii) satisfeita. Reciprocamente, supondo satisfeitos (i) e (ii), a condio (i) da Definio 2 satisfeita. As condies para que ( ),*H seja um grupo seguem do fato de que H G .

Observao 3:Se ( ),*G um grupo aditivo, a condio de subgrupo dada pela Proposio 1 escrita da seguinte maneira:i) 1 2 1 2 , , h h H h h H+ ii) , h H h H Se ( ),*G um grupo multiplicativo, as condies acima passam a ser escritas da seguinte forma: i) 1 2 1 2 , , h h H h h H ii) 1 , h H h H

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Proposio 2 (2 Teste para Subgrupo):Seja ( ),*G um grupo. Um subconjunto no vazio H de G um subgrupo de G se, e somente se, 11 2h h H , para quaisquer 1 2, h h H .Exemplos de Subgrupos:1. { }e e G so subgrupos de G chamados de subgrupos triviais.2. ( ) ( ), ,R+ < +Q 3. Dado um grupo G qualquer, o subconjunto ( ) { } ; , Z G x G xg gx g G= = subgrupo de G. Este subgrupo chamado de centro de G (G abeliano se, e somente se, ( )Z G G= ).EXERCCIO RESOLVIDO1. Mostre que o conjunto { , 0}A x x= >Q subgrupo de *Q .

Soluo. Dados 1 2 1 2, , 0x x A x x > e assim. Portanto, 1 2 x x A . Alm disso, 1 0, x x A > . Logo, A subgrupo de *Q .

2. Verifique que { }3 2, , B a b a b= + Q no subgrupo do grupo multiplicativo *R .Soluo. Considere 3 2a b+ , 3 2c d B+ . Temos que 3( 2a b+ )( ( )3 3 3 2) 2 4 c d ac ad bc bd B+ = + + + . Portanto, B no subgrupo.

3. O conjunto ; , a bA a bb a

= R , com a e b no simultaneamente nulos, constitui um subgrupo das matrizes reais inversveis de ordem 2?

Soluo. Sim. Dados 1 1 2 21 1 2 2, a b a b Ab a b a , ento1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2a b a b a a b b a b b ab a b a a b b a a a b b + = Observe que ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 21 1 2 22 1 2 1 1 2 1 2det 0a a b b a b b a a b a ba b b a a a b b + = + + .Portanto, 1 1 2 21 1 2 2 . a b a b Ab a b a Alm disso, se a bC A

b a

= , existe

2 2 2 21 2 2 2 2a b

a b a bC Ab a

a b a b

+ +=

+ + tal que 1 C C I = . O conjunto subgrupo.

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4. Seja G um grupo e a G . Mostre que o conjunto ( ) { } ;N a x G ax xa= = subgrupo de G.Soluo. Dados ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , x x G a x x ax x x a x x ax x x a x x a = = = = = e, portanto, ( )1 2 x x N a .Alm disso, dado x G , existe ( )1x N a tal que 1 x x e = . De fato, se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 . = = = = = = ax xa ax x xa x a xx x ax a xax x a x xax x a axx aN.

Definio 3:Seja G um grupo e S um subconjunto no vazio de G. O conjunto:{ }11 2 ; , n i iS a a a n a S oua S= um subgrupo de G chamado de subgrupo gerado por S. Por sua vez, S o conjunto gerador de S .

Exemplos de Subgrupos Gerados1. Dado G um grupo e a G . Se n um inteiro positivo, definimos na a a= , onde o produto tomado n vezes. Alm disso, definimos 0a e= . Segue que a gerador de H G< , onde { }; mH a m += Z .1. Verifique quais dos subconjuntos a seguir so subgrupos.a) { } ; A cos i sen = + R subconjunto do grupo multiplicativo * .Cb) 1 2 ; , 1 2mB m nn+ = + Z subconjunto do grupo multiplicativo *Q .2. Prove que:a) H Z subgrupo do grupo aditivo Z se, e somente se, existe m H , onde { } ;H km k= Z .b) Se 1H e 2H so subgrupos do grupo G, ento 1 2 H H tambm subgrupo de G.c) Se 2H e 2H so subgrupos do grupo G, ento 1 2 H H subgrupo de G se, e somente se, 1 2 H H ou 2 1 H H .d) Se A e B so subgrupos de um grupo G, ento { } ; AB ab a Ae b B= subgrupo de G se, e somente se,

AB BA= .

EXERCCIO PROPOSTO

Homomorfismo de GruposUN 01

Definio 1:Sejam ( ), *G e ( )', G grupos. Um homomorfismo de G em 'G uma aplicao : 'f G G tal que, quaisquer que sejam ( ) ( ) ( ), , *x y G f x y f x f y = .Observao 1:Quando no houver possibilidade de confuso, chamaremos um homomorfismo de G em 'G apenas de homomorfismo de grupos.

Se um homomorfismo uma aplicao injetora, chamado de homomorfismo injetor. Se for uma aplicao sobrejetora, chamado homomorfismo sobrejetor. Quando um homomorfismo injetor e sobrejetor, o chamamos de isomorfismo. Um isomorfismo de um grupo em si mesmo chamado automorfismo.

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Exemplos de Homomorfismos:1. A aplicao :f G G dada por ( ) 1f x x= um homomorfismo.2. A aplicao * *:f +C R onde ( )f z z= um homomorfismo sobrejetor. De fato, *C e *+R so grupos multiplicativos. Portanto, ( ) ( ) ( )f zw zw z w f z f w= = = e, ficando provado o homomorfismo. Para comprovar a sobrejetividade, seja * a +R , temos que existe * aC tal que ( )f a a a= = . 3. A aplicao ( ) ( ): , ,f + R R onde ( ) xf x e= um homomorfismo. De fato, ( ) ( ) ( )x y x yf x y e e e f x f y++ = = = ( ) ( ) ( )x y x yf x y e e e f x f y++ = = = 4. Dado aZ, a aplicao :f Z Z dada por ( )f m am= um homomorfismo do grupo aditivo Z. De fato, ( ) ( ) ( ) ( )f m n a m n am an f m f n+ = + = + = + . Se 0a , o homomorfismo injetor.Veremos agora uma sequncia de proposies sobre homomorfismos de grupos. Por brevidade, utilizaremos a notao multiplicativa para indicar as operaes entre os grupos.Proposio 1:Seja :f G G um homomorfismo de grupos e sejam , 'e e os elementos neutros de G e 'G , respectivamente. Ento, ( ) 'f e e= .Demonstrao:Em virtude de e ser o elemento neutro de G, temos e e e = e porque e ser consitu o elemento neutro de 'G , temos ( ) ( )e f e f e = . Ora, sabendo que f homomorfismo, segue que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )'f e f e f e e f e e f e = = = Multiplicando a igualdade ( ) ( ) ( )'f e f e e f e = por ( ) 1f e , obtemos ( ) 'f e e= . Proposio 2:Seja :f G G um homomorfismo de grupos e seja ,a G ento ( ) ( ) 11f a f a = .Demonstrao:Segundo a Proposio 1 ( )e f e = . Deste modo, ( ) ( ) ( ) ( )1 1e f e f a a f a f a = = = e, portanto, ( ) ( ) 11f a f a = ( ) ( ) 11f a f a = . Proposio 3:Sejam : 'f G G homomorfismo de grupos. Se 'e indica o elemento neutro de 'G , o ncleo de f consiste no conjunto de todos os elementos a G tais que ( ) 'f a e= . Denotamos tal conjunto por ( )N f . Deste modo,

( ) ( ){ }; 'N f a G f a e= =A imagem de f o conjunto de todos os elementos 'b G onde existe a G com ( )f a b= . Segue que( ){ } ; Im f f a b a G= =

Observao 2: ( )N f , pois ( ) 'f e e= , onde e constitui o elemento neutro de G e 'e constitui o elemento neutro de 'G , segundo a Proposio 1.Proposio 4:Seja : 'f G G um homomorfismo de grupos. Segue que:(i) ( )N f subgrupo de G;(ii) f homomorfismo injetor se, e somente se, ( ) { }N f e= ;(iii) A imagem de f subgrupo de 'G .Demonstrao: (i) Sabemos que ( )N f . Dados ( ),a b N f , segue que ( ) ( ) 'f a f b e= = e, deste modo, ( ) ( ) ( ) 'f ab f a f b e= ='e . Alm disso, considerando 1a G , onde 1 1aa a a e = = , ( ) ( ) 11 1( ') 'f a f a e e = = = .(ii) Suponha que f homomorfismo injetor e considere ( )a N f . Como ( ) 'f a e= e ( ) 'f e e= , ento a e= . Reciprocamente, se ( ) { }N f e= e , a b G , onde ( ) ( )f a f b= . Multiplicando a ltima igualdade por

( ) 1f a , obtm-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1f b f a f a f a f b f a e f ba e ba e b a = = = = =

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(iii) Se ( )aa f = e ( )bb f = com , a b G ento, ( ) ( ) ( )a b f a f b f ab = = e a b Imf . Ainda, se ( )a f a = para a G , sendo ( ) ( )11 1'a f a f a = = , com 1a G , ento 1'a Imf .

1. Sendo * a +R e 1a , mostre que :f GZ dada por ( ) nf n a= um isomorfismo, considerando Z um grupo aditivo e G um grupo multiplicativo.Soluo. Sejam , n mZ, ( ) ( ) ( )n m n mf n m a a a f n f m++ = = = e, portanto, f um homomorfismo. Alm disso, se ( ) ( ) n mf n f m a a n m= = = . Logo, f um homomorfismo injetor. A sobrejetividade segue de forma natural.

2. Seja : 'f G G homomorfismo, , 'G G grupos multiplicativos e H subgrupo de G. Mostre que o conjunto ( ) ( ){ }1 , f H x G f x H = subgrupo de G.Soluo. Considere 1 2, x x G tais que ( ) ( )1 2, f x f x H . Em virtude de f ser homomorfismo, ( ) ( ) ( )1 2 1 2 f x x f x f x G= ( ) ( ) ( )1 2 1 2 f x x f x f x G= . Mais especificamente, ( )1 2 f x x H , pois ( ) ( )1 2 , f x f x H e, portanto, ( )11 2, x x f H . Agora, dado x G tal que ( )f x H , temos que 1x G e sendo ( ) ( ) 11f x f x = , segue que ( )1f x H , onde ( )1 1x f H .

3. Considere :f Z Z Z Z , onde ( ) ( ), ,0f x y x y= . Mostre que f um homomorfismo e determine seu ncleo. Soluo. Vamos considerar ZXZ um grupo aditivo. Dados ( ) ( )1 1 2 2, , , x y x y Z Z, ento

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 1, 1 2 2, , , ,0,0 , 0 , f x y x y f x x y y x x y yx y x y f x y f x y+ = + + = + = + = + Portanto, f homomorfismo.

Sabemos que ( )0,0 o elemento neutro de ZXZ. Deste modo, ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ } ( ){ }

, , , 0,0 , , ,0 0,0, , 0 , , , ,N f x y f x y x y x yx y x y x y x y x x x= = = = = = = = = Z Z Z Z Z Z Z Z Z

EXERCCIO RESOLVIDO

1. Determine, em cada caso, se f um homomorfismo.a) : f G G , onde ( ) nf x x= para n inteiro positivo e G constitui um grupo abeliano.b) :f Z Z Z dada por ( ) ( ),0f x x= , sendo Z e ZXZ grupos aditivos.c) * *: f R R dada por ( )f x x= , sendo *R o grupo multiplicativo dos reais.d) *: ,f R R onde ( ) logf a a= , sendo *R um grupo multiplicativo e R, um grupo aditivo.

EXERCCIO PROPOSTO

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2. Determine o ncleo de cada homomorfismo.a) :f Z Z dada por ( )f x kx= , onde Z o grupo aditivo dos inteiros e kZ.b) :f Z Z Z dada por ( ) ( ),0f x x= , sendo Z e Z Z grupos aditivos.c) *:f +Z R dada por ( ) 2xf x = , onde Z um grupo aditivo e *+R um grupo multiplicativo. 3. Mostre que : 2f Z Z , onde ( ) 2xf x = um isomorfismo do grupo aditivo Z no grupo aditivo 2Z .4. Mostre que o conjunto dos automorfismos de um grupo G, ( )Aut G , tambm um grupo.5. Seja a um elemento fixo do grupo multiplicativo G. Mostre que : f G G , onde ( ) 1f x axa= um isomorfismo.

Classes Laterais e Subgrupos NormaisUN 01

Definio 1:Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Dado a G , o conjunto de todos os elementos ax, com x H , chamado de classe lateral esquerda de H em G, sendo denotado por aH. Deste modo,{ }, aH ax x H= O conjunto de todos os elementos xa, com x H , chamado de classe lateral direita de H em G, denotado por Ha. Deste modo,{ }, Ha xa x H=

Observao 1:Se G um grupo abeliano, aH Ha= . Na teoria que segue, indiferente usar classes laterais esquerda (com as quais trabalharemos) ou direita. Trataremos as classes laterais esquerda apenas por classes laterais.Teorema 1:Seja G um grupo e H, um subgrupo de G. Se , a b G , considere aH e bH classes laterais de H no grupo G. Temos aH bH= ou =aH bH .Demonstrao:Suponha que aH bH . Provaremos que aH bH= . Sejam , x y H tais que ax by= , temos que 1a byx=. Sabendo que 1yx H e sendo ax um elemento arbitrrio de aH com x H , ento

( )1 'ax b yx x=Em virtude de ( )1yx x H , ax bH . Portanto, aH bH . De modo anlogo, bH aH e podemos concluir que aH bH= .

Teorema 2:Seja G um grupo e H um subgrupo finito de G. Dado a G , o nmero de elementos de aH igual ao nmero de elementos de H.Demonstrao:Considere ,x x H , onde 'x x . Ento, 'ax ax , pois se 'ax ax= , multiplicando esquerda por 1a , teramos 'x x= . Segue ento que 1 , ., nx x so elementos distintos de H, e que 1 , ., nax ax so elementos distintos de aH.

Definio 2:Seja G um grupo e H um subgrupo de G. O nmero de classes laterais distintas de H em G chamado ndice de H em G. O ndice de um subgrupo pode ser finito ou infinito. Se G finito, o ndice de qualquer subgrupo H finito e denotado por ( ):G H .Corolrio 1 (Teorema de Lagrange):Seja H um subgrupo de um grupo finito G. Ento,

( ) ( ) : =ordem de G G H ordem de H

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Demonstrao:Suponha ( ):G H r= . Todo elemento de G pertence a alguma classe lateral (a saber, a aH , pois a=ae). Devido ao Teorema 1, todo elemento de G pertence precisamente a uma classe lateral, isto , 1 2 rG a H a H a H= com i ja H a H = sempre que i j . Pelo Teorema 2, quaisquer duas classes laterais possuem o mesmo nmero de elementos. Portanto, ordemdeG ordemde H ordemde H ordemde H= + ++ , onde o nmero de parcelas r. Logo, ( )( ) : ordemdeG G H ordemde H=

Definio 3:Seja G um grupo. Um subgrupo N dito normal se, para todo x G , verificada a igualdade xN Nx= . Denotamos N G .Exemplos de Subgrupos Normais:1. { }e e G so subgrupos normais de G.2. Se G abeliano, todo subgrupo de G normal. 3. Se H subgrupo de G tal que ( ): 2G H = , ento H subgrupo normal de G. De fato, se ( ): 2G H = , as classes laterais esquerda de H em G so H e aH, onde a G H , e as classes laterais direita de H em G so H e Ha. Segue que aH = Ha.4. ( ) { }; , Z G x G xg gx g G= = subgrupo normal de G.Teorema 4:Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. Se aH e bH so classes laterais de H, o produto ( )( )aH bH tambm classe lateral. O conjunto de todas as classes laterais um grupo com produto definido anteriormente.Demonstrao:Temos ( )( )aH bH abHH abH= = . Dessa maneira, o produto de duas classes laterais uma classe lateral. Deixaremos a demonstrao de que o conjunto das classes laterais munido do produto ( )( )aH bH abH= um grupo a cargo do leitor. O elemento neutro ser a classe lateral H e o elemento inverso da classe aH a classe 1a H .

Definio 4:Seja G um grupo e H um subgrupo normal de G. O grupo das classes laterais com a operao ( )( )aH bH abH= para , a b G o grupo quociente de G por H e ser denotado por /G H.Observao 2:Com base no que foi suposto para H na Definio 4, G / H um grupo formado tanto por classes laterais esquerda quanto por classes laterais direita. Enfatizamos que essa suposio que nos permite definir a multiplicao de classes laterais. Seja G um grupo, veremos que um subgrupo de H normal se o ncleo de algum homomorfismo de G em algum grupo. Corolrio 2:Seja G um grupo e H um subgrupo normal de G. Seja /G H o grupo quociente e seja : /f G G H a aplicao que a cada a G associa classe lateral ( )f a aH= , ento f um homomorfismo e seu ncleo precisamente H.Demonstrao:Considere , a b G . Temos que ( ) ( )( ) ( ) ( )f ab abH aH bH f a f b= = = , portanto f homomorfismo. Quanto ao seu ncleo, sabemos que ( )H N f , pois ( ) ( ){ } ;N f a G f a H= = e ( ) , f h hH H h H= = . Reciprocamente, se x G e se ( )f x xH= o elemento neutro de G / H, ento xH = H e x um elemento de H. Deste modo, ( )N f H e ( )H N f= .

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Corolrio 3 (Teorema do Homomorfismo para Grupos):Seja : 'f G G um homomorfismo de grupos e H um subgrupo normal de G, isto , ( ).H N f= A aplicao induzida ( ): / f G H f G ( ) aH f a um isomorfismo.

Demonstrao:Inicialmente, vamos verificar que f uma funo bem definida, isto , se aH = bH, ento ( ) ( )f a f b= . Ora, aH = bH implica, portanto, em que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 a b H f a b e f a f b e f a f b e f a f b = = = = Claramente, f uma funo sobrejetora. Para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , a b G f aH bH f abH f ab f a f b f aH f bH = = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , a b G f aH bH f abH f ab f a f b f aH f bH = = = = . Desta forma, f um homomorfismo. Para mostrar que f injetora, observe que ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }; ; ; G GN f aH f aH e aH f a e aH a N f H= = = = = = , isto , ( ) { }/G HN f e= .

1. Considere G um grupo, a G . O menor inteiro positivo n tal que na e= (e constitui o elemento neutro de G) chamado ordem de a. Denotamos ( )a . Quando no existe tal inteiro, denotamos ( )a = . Mostre que se G finito, a ordem de todo elemento de G divide a ordem de G.Soluo. Defina o conjunto { }, mH a m= Z .Afirmao: H < G e ( )H a= . De fato, H < G, pois H , pois a H . Alm disso, para 0m = , e H , sendo

( ), , p q p q p qa a H a a a H = . Pelo 2 Teste para Subgrupo, H G< .Para mostrar que ( )H a= , devemos considerar duas possibilidades: ( )a = ou ( )a n= . Suponha ( )a = . Neste caso, todas as potncias de a so distintas (Verifique!). Logo, H = . Por outro lado, se ( )a n= , considerando m nk= , ( )m nk n ka a a e= = = e se ma e= , escreva m nq r= + onde 0 r n (Algoritmo da Diviso) e observe que 0r m nqa a e r m nq= = = = , donde conclumos que n divide m. Conclumos que toda potncia de a igual a um dos seguintes elementos: 0 1 1, , , na e a a a = = e ( )a n H= = .

Utilizando a afirmao acima e o Teorema de Lagrange, como H divide G , ento ( )a divide G . 2. Seja G um grupo finito e sejam K H G< < , ento ( ) ( )( ): : :G K G H H K=

Soluo. A soluo utiliza o Teorema de Lagrange trs vezes. Se( ):H G G H G H< = e ( ):K G H K H K< = , ento ( )( ): :G K H K G H= . Alm disso, em virtude de ( ):K G G K G K< = , comparando os resultados, segue que ( ) ( )( ): : :G K G H H K= .H 3. Seja : 'f G G um homomorfismo de grupos e seja H um subgrupo de G, ento a funo

( )( )H f H

H N f

, onde ( )( )( ) ( )f h H N f f h= um isomorfismo.

Soluo. Considere o homorfismo f restrito a H: | : 'f H H G . Temos ( ) ( )|f H H f H= e ( ) ( )|N f H N f H= . Aplicando o Teorema do Homomorfismo para grupos em |f H, obtemos o resultado.

EXERCCIO RESOLVIDO

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1. Seja G um grupo de ordem np , no qual P primo e 1n > . Mostre que a ordem de um elemento qualquer de G uma potncia de P.2. Um grupo G chamado de grupo cclico quando gerado por um nico elemento. Mostre que se G um grupo de ordem prima, ento G cclico. Dica: Use o Teorema de Lagrange.3. Utilizando o Teorema do Homomorfismo para Grupos, mostre que:a) Se H G e k G< , ento K KHH K H

.b) Se K H G< < com K G e H G , ento //G K GH K H .4. A recproca do Teorema de Lagrange verdadeira? Justifique sua resposta.

EXERCCIO PROPOSTO

III ANIS, IDEAIS E HOMOMORFISMOSNesta unidade, definimos os conceitos bsicos da

lgebra Comutativa, como anis e ideais, e apresentamos suas propriedades elementares. Os exemplos apresentados seguem o contexto dos nmeros inteiros e polinmios.

Objetivos:

Definir o que um Anel e um Ideal; Definir Homomorfismo de Anis; Apresentar os principais exemplos e resultados da Teoria Bsica de Anis.

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III - ANIS, IDEAIS E HOMOMORFISMOS


Os anis so estruturas abstratas nas quais esto definidas uma adio e uma multiplicao. O modelo para esta teoria o conjunto dos nmeros inteiros Z. Por este motivo, este o exemplo que sempre apresentaremos. O objetivo desta teoria estender as propriedades dos nmeros inteiros.

AnisUN 03

Definio 1:Um anel A um conjunto no vazio onde esto definidas duas operaes as quais chamaremos de soma em A, (denotada por +) e produto em A, (denotado por .), que satisfazem as condies seguintes:A1) [Associatividade da Soma]( ) ( )a b c a b c+ + = + + , quaisquer que sejam , , a b c AA2) [Existncia de Elemento Neutro da Soma]Existe 0A A , tal que 0 0A Aa a a+ = + = , qualquer que seja a AA3) [Existncia de Inverso Aditivo]Para todo a A , existe b A tal que 0Aa b b a+ = + =A4) [Comutatividade da Soma]

a b b a+ = + , quaisquer que sejam , a b AM1) [Associatividade do Produto]( ) ( ) a b c a b c = , quaisquer que sejam , , a b c AA6) [Distributividade direita e Distributividade esquerda] ( ) a b c a c b c+ = + ; ( )a b c a b a c + = + , quaisquer que sejam , , a b c A

A um anel com unidade, se valer:M2) [Existncia de Elemento Neutro do Produto]Existe 1 0 A A A , tal que 1 1A Aa a a = = , qualquer que seja a AA um anel comutativo, se valer:M3) [Comutatividade do Produto] a b b a = , quaisquer que sejam , a b A

A um anel sem divisores de zero, se valer:M4) 0 0a b a = = ou b = 0 e 0 0b a a = = ou b = 0 para quaisquer , a b AA um anel com divisores, se valer M2 e:M5) [Existncia do Inverso do Produto] , 0, ; 1 e 1a A a b A a b b a = =Finalmente, um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero chamado domnio de integridade. Por sua vez, um domnio de integridade com divisores chamado de corpo.

Notao: ( ), ,A + denotar uma anel A com as operaes + e .

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Exemplos de Anis, Domnios de Integridade e Corpos1. ( ), ,+ Z um anel no qual + e so a adio e a multiplicao usuais dos inteiros. A operao comutativa e 1 o elemento neutro desta operao. Observe que este conjunto, no entanto, no corpo.2. ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,+ + + R Q C so anis, onde + e so a adio e a multiplicao usuais, respectivamente. Em cada caso, a operao comutativa e 1 o elemento neutro. Estes conjuntos so corpos.3. Seja A o conjunto das funes contnuas com valores reais, definidas no intervalo [ ]0,1 . A soma e o produto de duas funes f , g so definidos de maneira usual, ou seja, ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + e ( )( ) ( ) ( ) [ ], 0,1fg x f x g x x= Munido destas operaes, o conjunto A um anel onde o produto comutativo e a funo constante igual a 1 a unidade.

4. Seja A um anel qualquer. O conjunto das matrizes n n , com entradas em A, isto , ( ) ( ){ }; ,n ij ijn nM A a a A= ( ) ( ){ }; ,n ij ijn nM A a a A= munido das operaes A B C+ = , onde ( ) ( ), ij ijn n n nA a B b = = , alm de ( )ij ij ij n nC c a b = = + e ,AB D= onde ( ) ( ), ij ijn n n nA a B b = = e ( )1nij ik kjkD d a b== = , um anel com unidade se 1 A . De fato, ( ) 1 01 0 1n AM A A

=

. Observe que este anel no comutativo e no possui diviso, pois diviso,

pois nem toda matriz tem inverso.5. Para todo 0, n seja { } ;n na a= Z Z . Com as operaes induzidas pelas operaes de Z, segue que ( ), ,n + Z um anel comutativo. A multiplicao no tem elemento neutro caso 1n .6. O conjunto { }0, 1, , 1 , 0n n n= Z e as operaes + e assim definidas a b a b+ = + e a b ab = , para todo , na bZ , compem um anel comutativo e com unidade 1 .Observao 1:Podemos definir anis usando a definio de grupos da seguinte maneira:Um anel A um conjunto no vazio munido de duas operaes, adio e produto, satisfazendo as seguintes condies:a) Sob a adio, A um grupo aditivo (abeliano).b) Para todos , , a b c A , temos

( )x y z xy xz+ = + e ( )y z x yx zx+ = + .c) Para todos , , a b c A , temos ( ) ( )xy z x yz= .d) Existe um elemento e A tal que ea ae a= = para todo a A .Propriedades dos Anis

Podem-se deduzir vrias regras de aritmtica a partir das condies que definem um anel A. Vejamos a seguir tais regras.Teorema 1:Sejam , a b e c elementos de um anel A. Ento:1. Sea b a c+ = + , ento b c= .2. 0 0A Aa =3. O elemento neutro aditivo nico.4. O inverso aditivo nico.5. ( ) ( ) ( )a b a b ab = =

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6. ( )( )a b ab =7. ( )a b c ab ac = e ( )b c a ba ca = Se o anel A tem unidade 1A ,8. ( )1A a a = 9. ( )( )1 1 1A A A =10. O elemento neutro da multiplicao nico.11. O inverso multiplicativo nico.Demonstrao:1. Basta somar de ambos os lados o inverso aditivo de a.2. Temos ( )0 0 0 0 0A A A A Aa a a a = + = + . Portanto, utilizando a regra 1, 0 0A Aa = .3. Suponha que existam dois elementos neutros, por exemplo, 0A e 0 A . Em virtude de 0A ser elemento neutro, teremos: '0 0 0 'A A A+ = Em virtude de 0 'A ser elemento neutro, '0 0 0A A A+ = Visto que ' '0 0 0 0A A A A+ = + , ento '0 0A A= .4. Suponha que o elemento a possua dois inversos aditivos: b1 e b2. Temos que 1 2 0Aa b a b+ = + = . Utilizando a regra 1, segue que 1 2b b= .5. Temos ( ) ( ) 0 0A Aa b ab a b b a + = + = = . Deste modo, ( )a b o inverso aditivo de ab, onde ( )a b ab = . 6. ( )( ) ( ) ( )a b a b ab = = , pelo item anterior. fcil ver que ( )a a = para todo a A .7. ( ) ( )( ) ( ) ( )a b c a b c ab a c ab ac ab ac = + = + = + = 8. ( ) ( )1 1A Aa a a = = , utilizando a regra 5.9. Segue da regra 6.10. Suponha que existam duas unidades 1A e 1A. Em virtude de 1A ser unidade, segue que '1 1 1A A A = . Analogamente, em virtude de 1A ser unidade, '1 1 1 'A A A = . Como o anel comutativo, 1 1 'A A= .11. Suponha que o elemento a de A tenha dois inversos multiplicativos: b e c. Assim, 1Aba ab ac ca= = = = e 1 1A Ab b bac c c= = = = .

1. Determine os divisores de zero do conjunto 6Z .Soluo.

{ }6 0, 1,2, 3, 4, 5=Z . Estamos interessados em determinar os valores 6, a bZ , diferentes de zero tais que 0a b = . Lembrando que o conjunto 6Z o conjunto dos restos da diviso por 6, entendemos por 0 , todos os mltiplos de 6. Deste modo, os divisores de zero sero 2, 3 e 4 , pois 2 3 6 0 = = e 3 4 12 0 = = .

EXERCCIO RESOLVIDO

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2. Prove que o conjunto Z, dotado da lei usual de adio e da multiplicao definida por 0a b = , para quaisquer ,a bZ, um anel.Soluo. Devemos verificar se o conjunto Z satisfaz todas as seis primeiras condies da Definio 1. Ora, como a adio a usual, as condies A1, A2, A3 e A4 so satisfeitas sem problemas. Considere , ,a b c Z, arbitrrios. Teremos

( ) ( ) 0 0 0a b c c a a b c = = = = Verificando a condio M1, ( ) 0 0 0a b c a c b c+ = = + = + , analogamente, ( )a b c a b a c + = + . 3. Mostre que pZ , com p primo, corpo. Soluo. De fato, seja paZ , 0a , ou seja, aZ tal que p a . Assim, ( ), 1mdc p a = , o que implica na existncia de , ; 1r s rp sa + = Z . Logo,

( ) 11 1 ,rp sa sa s a + = = =o que mostra que pZ corpo. 4. Mostre que o conjunto Q, dotado das operaes e definidas por3a b a b = + e 3aba b a b = + , um anel comutativo com unidade.Soluo. Vejamos inicialmente as condies da adio. Ora, dados a, b e c elementos de Q, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3a b c a b c a b c a b c a b c a b c = + = + + = + + = + = , satisfazendo a condio A1. Existe 3Q tal que 3 3 3a a a = + = , satisfazendo a condio A2. Analogamente, mostramos que 3 .a a = Dado a Q , existe 6 a + Q tal que ( ) ( )6 6 3 3a a a a + = + + = . Portanto, a condio A3 satisfeita. Analogamente, mostramos que ( )6 3a a + = . Para a condio A4, 3 3 a b a b b a b a = + = + = . Passando para as condies que envolvem o produto,

( )

( )

33 3 333 3 3 9 3 3

bca b cbc bca b c a b c a b c a b c

aba b cbc ab ac abc aba b c a b c

+ = + = + + = + +

+ + = + + =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

33 3 33 3 333 3a b c ab aca b c a b c a b c a b c a

ab aca b a c a b a c

+ = + = + + = + + + =

+ + + =

Analogamente, ( ) ( ) ( ) a b c a c a b = .

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1. Mostre que os seguintes conjuntos, com respectivas operaes, representam um anel:a) ( ), , Q , onde 1a b a b = + e a b a b ab = + b) ( ), ,Z Z , onde ( ) ( ) ( ), , ,a b c d a c b d= + + e ( ) ( ) ( ), , ,a b c d ac ad bc= +2. Sendo A um conjunto no vazio e ( )P A o conjunto das partes de A , mostre que ( )( ), ,P A , onde ( ) ( )x y x y x y = e x y x y = um anel.3. Seja A um anel. Mostre que ( )a b c ab ac = e ( ) a b c ac bc = , quaisquer que sejam , , a b c A .4. Seja A um anel no qual 2 a a= , para todo a A . Mostre que ,a a a A = e A comutativo.5. Determine os elementos inversveis dos anis da questo 1.6. Determine os divisores de zero do anel ( ), ,Z Z da questo 1. 7. Mostre que ( ){ }1 2 2 1 1 2, , , , , A z z z z z z= C , com adio e a multiplicao definidas por

( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,a b c d e f g h a e b f c g d h+ = + + + +( ) ( ) ( ), , , , , , , , , a b c d e f g h ae bg af bh ce dg cf dh = + + + + um anel comutativo com unidade.8. Mostre que ( ){ }, , , ; ,A a b b a a b= Q , com adio e multiplicao definidas por ( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,a b c d e f g h a e b f c g d h+ = + + + + ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , a b c d e f g h ae bg af bh ce dg cf dh = + + + + , um corpo.9. Considere ( ){ }1 2 3 4, , , ; iA a a a a a= R , com adio e multiplicao definidas respectivamente por: ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , , , , a a a a b b b b a b a b a b a b+ = + + + + A

Sabendo que A um anel comutativo com unidade, mostre que A no um domnio de integridade. 10. Mostre que se A um domnio de integridade, a A e 2a a= . Ento, 0Aa = ou 1Aa = .Subanis

UN 03

Definio 1:Seja ( ), ,A + um anel e B um subconjunto no vazio de A. Diz-se que B um subanel de A, quando B, munido das operaes de A, tambm um anel. Em outras palavras, B um subanel de A se satisfizer:A0) [Fechamento Aditivo] a b B+ , para quaisquer , a b BA1) [Associatividade da Soma]( ) ( )a b c a b c+ + = + + , quaisquer que sejam , , a b c BA2) [Elemento Neutro da Soma]0A B , sendo 0A o elemento neutro de AA3) [Existncia de Inverso Aditivo]Para todo a B , existe b B tal que 0Aa b b a+ = + =A4) [Comutatividade da Soma]

a b b a+ = + , quaisquer que sejam , a b BM0) [Fechamento Multiplicativo] a b B , para quaisquer , a b B

EXERCCIO PROPOSTO

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M1) [Associatividade do Produto]( ) ( ) a b c a b c= , quaisquer que sejam , , a b c BA6) [Distributividade direita e Distributividade esquerda]

( ) a b c a c b c+ = + ; ( )a b c a b a c= + + , quaisquer que sejam , , a b c BObserve que das oito condies apresentadas na Definio 1, quatro so automaticamente satisfeitas porque B A . So elas: A1, A4, M1 e A6. Deste modo, para que um conjunto B A no vazio seja definido como um subanel, basta satisfazer as condies A0, A2, A3 e M0.Observao 1:Quando no houver possibilidade de confuso, indicaremos o inverso aditivo do elemento a A , por a .Teorema 1 (Teste de Subanel 1):Sejam A um anel e B um subconjunto no vazio de A. B um subanel de A se para todo , a b B tivermos , , .a b ab a B+ Demonstrao:Devemos mostrar que mediante satisfao das trs condies acima teremos 0A B . De fato, como B , podemos considerar . a B Por hiptese, a B . Utilizando o fechamento aditivo, ( ) 0Aa a B+ = . O prximo Teorema reduz ainda mais o nmero de condies para que um subconjunto de um anel seja um subanel.Teorema 2 (Teste de Subanel 2):Sejam A um anel e B um subconjunto no vazio de A. B um subanel de A se para todo , a b B tivermos , .a b ab B Demonstrao:Devemos mostrar que 0A B , ,a b B+ para quaisquer , a b B e a B , para todo a B . Observe que, em virtude de B , existe a B . Fazendo 0Aa a = , teremos a B . Alm disso, 0 Aa a B = . Logo,

a B . Por fim, se , a b B , ento , a b B , o que nos diz que ( ) a b a b B = + .

Observao 2:Sabemos que se A um anel, ento A um grupo aditivo. Alm disso, um subconjunto no vazio de um grupo aditivo um subgrupo desse grupo se, e somente se, fechado para a subtrao. Neste contexto, o teorema 2 pode ser formulado da seguinte maneira:Sejam A um anel e B um subconjunto no vazio de A. B um subanel de A se, e somente se, B um subgrupo do grupo aditivo ( ),A + e ab B , quaisquer que sejam os elementos , a b B .Exemplos de Subanis:1. { }0A e A so subanis de A.2. Os inteiros formam um subanel do conjunto dos nmeros racionais, que, por sua vez, um subanel do conjunto dos reais. 3. As funes reais diferenciveis definidas sobre os R formam um subanel do anel das funes contnuas.4. ( )nM Z subanel de ( ) ( ), n nM MQ R e ( )nM C ; ( )nM Q subanel de ( )nM R e ( )nM C ; ( )nM R e

( )nM R subanel de ( )nM C .5. { }0, 2, 4 subanel de 6Z . (Verifique!).1. Mostre que o conjunto { };m mx x= Z Z subanel de Z.

Soluo. De fato, considere , a b m Z , isto , b my= e ,x y Z , onde ,x y Z . Temos que ( )a b mx my m x y m = = Z e ( )( ) ( ) .ab mx my m xmy m= = Z Segue o resultado.

EXERCCIO RESOLVIDO

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3. Se B e C so subanis de A, mostre que B C subanel de A.

4. Mostre que { }2; ,L a b a b= + Q subanel de R.Soluo. Observe que 0 0 0 2 L= + . Considere 2, 2 a b c d L+ + , temos que ( ) ( )2 2a b c d+ + = ( ) ( ) 2 a c b d L + e ( )( )2 2 2 2 2a b c d ac ad bc bd+ + = + + + . Portanto, L subanel de R.

Soluo. Por hiptese, B C , pois 0 . A B C Considere , a b B C , ento , a b B e , a b C . Em virtude de B e C serem subanis, , , a b B a b C ab B e ab C . Segue que a b B C e ab B C . Segundo o Teorema 2, B C subanel de A.

Soluo. Seja S um subanel de Z. Claramente, 0 S . Se { }0S = , ento 0S = Z . Se { }0S . Seja n S , ento n S . Portanto, existe um inteiro positivo em S. Seja m o menor inteiro positivo em S. Devemos mostrar que S m= Z .Ora, temos que S m Z , pois se b S segue que - b S e, portanto, b S . Considere { } A conjuntodos inteiros positivos pertencentes a S= (m o menor deles). Como b m , podemos dividir b por m e obtemos, utilizando o algoritmo da diviso, que existem ,r s Z tais que

b ms r= + , onde 0 r m . Observe que r b ms= e, portanto, r S . O fato de que r m< contradiz a minimalidade de m. Ento, 0r = e, portanto, 0b ms b ms = =Logo, { };b ms s Z e b m Z. Reciprocamente, se ,a m Z ento a mx= para algum xZ . Temos 0a mx S = e, portanto, a S . Segue que m SZ .

EXERCCIO PROPOSTO1. Determine todos os subanis do anel 6Z .2. Mostre que { }3 0, 1, 2=Z no subanel de { }5 0, 1, 2, 3, 4=Z .3. Seja A um anel e a A . Prove que { };B x A xa ax= = um subanel de A.4. Seja A um anel. Prove que ( ) { }; , Z A x A xy yx y A= = um subanel (comutativo) de A.5. Seja ( )2A M= R e seja 0 ;0 0aB a = R . Mostre que B subanel de A. Ideais e Anis Quocientes

UN 03

Nesta seo, trataremos uma classe de subanis que nos permite definir novos anis.

Definio 1:Seja A um anel. Um ideal esquerda de A um subanel I de A, tal que se x I e a A , ento ( ) ax I AI I . Analogamente, definimos um ideal direita de A como um subanel J de A, tal que se e x I a A , ento ( ) xa I IA I . Finalmente, se o subanel I do anel A um ideal simultaneamente direita e esquerda de um anel A, dizemos que I um ideal de A se, considerando e x I a A , tivermos ax I e ( ) e xa I AI I IA I .

Observao 1:Se o anel A for comutativo, a definio acima deve ser reformulada da seguinte maneira:

2. Mostre que todo subanel de Z tem a forma mZ .

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Seja A um anel comutativo. Um subanel I de A dito um ideal de A se, para quaisquer x I e a A , tivermos Teorema 1 (Teste para Ideal). Um subconjunto no vazio I de um anel A um ideal de A se:i) Ia b , para todo , a b Iii) e xa I ax I , para todo a A e x IDemonstrao:Segue da definio de subanel e ideal.

Exemplos de Ideais1. Seja A um anel comutativo. { }0A e A so ideais de A chamados ideais triviais de A. Um ideal I de A dito ideal prprio de A quando I A .2. Seja o anel [ ] ( ) ( ){ ; x f x f x=R um polinmio com coeficientes em }R . O conjunto ( ) [ ] ( ){ }; 0 0S f x x f= =R ( ) [ ] ( ){ }; 0 0S f x x f= =R um ideal de [ ]xR . De fato, dados ( ) [ ]f x x R e ( ) ( ), g x h x I , ento ( )( ) ( ) ( ) h g x h x g x I = I, pois ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0h g h g = = e ( )( ) ( ) ( )fg x f x g x I= , pois ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0fg f g f= = =( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0fg f g f= = = .3. Sejam A um anel e a A . O conjunto dos elementos xa, com x A , um ideal esquerda, chamado ideal principal esquerda gerado por a (Denotamos a ). Mais geralmente, sejam 1 , , na a elementos de A. O conjunto de todos os elementos 1 1 n nx a x a++ , com ix A , um ideal esquerda, chamado ideal esquerda gerado por 1 , , na a (Denotamos 1 , , na a ). Analogamente, pode se definir ideal principal direita gerado por a e ideal direita gerado por 1 , , na a . Claramente, se A um anel comutativo, esses ideais so bilaterais. Observao 2:Todo ideal um subanel, porm a recproca no vale. De fato, Z um subanel de Q, mas no ideal de Q, considerando que, por exemplo, 1Z , 12Q , mas 1 112 2 Z .EXERCCIO PROPOSTO1. Verifique se so ideais:a) { }0,2,4 no anel 6Z .b) m nZ Z no anel Z Z .c) Z no anel ( ), , Q , onde 1a b a b = + e a b a b ab = + , para todo ,a bQ.2. Mostre que um corpo no possui outro ideal exceto o ideal zero e o ideal unitrio.3. Mostre que o conjunto 0 ; ,0aI a cc = R no ideal de ( )2M R .4. Mostre que a interseo de ideais de um anel A tambm um ideal de A.Seja A um anel e I um ideal de A. Defina a relao:~ a b a b I Afirmao: ~ uma relao de equivalncia.Demonstrao:De fato, quaisquer que sejam , , ,a b c I1. ~a a , pois 0 a a I = 2. Se a ~ b, ento b ~ a, pois a b I implica em ( )b a a b I = , pois I um ideal.3. Se a ~ b e b ~ c, ento a ~ c, pois se a b I e b c I , ento ( ) ( ) a b b c a c I + = .

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A partir da relao acima, definimos o conjunto{ } { } { }; ~ ; ; a b A b a b A b a I b A b a I= = = + ,o qual chamaremos de classe de equivalncia do elemento a A relativa relao ~. A partir das classes de equivalncia acima, podemos particionar o anel A da seguinte forma:

= a AA U aDenotaremos o conjunto de todas as classes de equivalncia por{ } { }/ ; , A I a a A a I a A= = + Tal conjunto chamado de conjunto quociente de A pelo ideal I e este pode ser transformado em um anel com as operaes seguintes:

( ) ( ) ( )1 2 1 2a I a I a a I+ + + = + + e ( ) ( ) ( )1 2 1 2a I a I a a I + + = +Proposio 1:Seja A um anel e I um ideal de A. As operaes

( ) ( ) ( )1 2 1 2a I a I a a I+ + + = + + e ( ) ( ) ( )1 2 1 2a I a I a a I + + = +sobre o conjunto /A I esto bem definidas.Demonstrao:Suponha que 1 1a I b I+ = + e 2 2a I b I+ = + . Ento, 1 1a b I e 2 2a b I . Como I um ideal, ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b I + = + + . Isto indica que ( ) ( )1 2 1 2a a I b b I+ + = + + e fica provado que a soma est bem definida.Ainda considerando 1 1a I b I+ = + e a I b I2 2+ = + , observe que ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2a a b b a a b a b a b b a b a a a b = + = + ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2a a b b a a b a b a b b a b a a a b = + = + . Como I um ideal, 1 1 2( )a b a I e 1 2 2( )b a b I e o produto fica bem definido.

Teorema 1:Seja A um anel e I um ideal de A. Se { }/ , A I a I a A= + , ento:( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 a a I a I a a I+ + + = + + e ( ) ( ) ( )1 2 1 2 a I a I a a I+ + = + definem duas operaes (denominadas soma e produto) em /A I.(b) ( / , , A I + ) um anel.(c) Se 1 a unidade de A, ento 1 I+ a unidade de /A I .(d) Se A comutativo, ento /A I comutativo.Demonstrao: (a) Na Proposio 1, as regras ( ) ( ) ( )1 2 1 2a I a I a a I + + = + e ( ) ( ) ( )1 2 1 2a I a I a a I + + = + definem operaes no conjunto /A I .(b) Exerccio.(c) Se 1 a unidade do anel A, ento 1 1 , a a a a A= = . Neste caso, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 , /I a I a I I a a I I I a I a I A I+ + = + + = + + + = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 , /I a I a I I a a I I I a I a I A I+ + = + + = + + + = + + .(d) Por hiptese, , ,ab ba a b A= , ento ( )( ) ( )( ) ( ) ( ), , /a I b I ab aI Ib I ab I ba I ba bI Ia I b I a I a I b I A I+ + = + + + = + = + = + + + = + + + + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ), , /a I b I ab aI Ib I ab I ba I ba bI Ia I b I a I a I b I A I+ + = + + + = + = + = + + + = + + + + .

Chamaremos o anel /A I de anel quociente. Exemplos de Anis Quocientes1. { }0 4 ,1 4 ,2 4 ,3 4 .4 = + + + +Z Z Z Z ZZ De fato, dado nZ , utilizando o algoritmo de Euclides, escrevemos 4n q r= + , onde qZ e 0 3r . Pela definio de classe de equivalncia, 4 4n r+ = +Z Z, com 0,1,2,3.r =

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2. Sejam [ ] ( ) ( ){ }; x f x f x umpolinmiocomcoeficientes em=R R um polinmio com coeficientes em R} e 2 1x + o ideal gerado por 2 1x + Portanto, [ ] { }22 1 ; ,1x ax b x a bx = + + + +R RDe fato, considerando o polinmio ( ) [ ]f x xR e dividindo-o por 2 1x + , obtemos o quociente ( )q x e o resto [ ]ax b x+ R . Podemos escrever ( ) ( )( )2 1f x q x x ax b= + + + e ( ) 2 1 ; ,f x ax b x a b= + + + R. Note que

( )22 2 21 1x x x x+ + = + +Como 2 1 0 x + = em [ ] 2/ 1x x +R , ento 2 1. x = Portanto, ( )22 2 2 21 1 1 1x x x x x+ + = + + = + + . Substituindo, [ ] { } { }2 22 1 ; , ; , e 11x ax b x a b ai b a b ix = + + + = + = =+R R R C

1. Considere A um anel com unidade. Mostre que /a I A I+ inversvel se, e somente se, existe r A tal que 1ar I .Soluo. Suponha que o inverso de a I+ seja r I+ . Teremos ( )( ) 1 1 1a I r I I ar I I ar I+ + = + + = + ( )( ) 1 1 1a I r I I ar I I ar I+ + = + + = + . Reciprocamente, se existe r A tal que 1 ar I , ento ( )( ) 1ar I a I r I I+ = + + = + e a I+ inversvel.

2. Determine [ ]22 1xx x+ +Z .Soluo. Se ( ) [ ]2p x xZ , ento existe ( ) [ ]2q x xZ tal que

( ) ( )( ) ( )2 1p x q x x x ax b= + + + +Deste modo, ( ) 2 1p x ax b x x= + + + + . Ora,[ ] { } { }2 2 22 1 ; , 0,1, ,11x ax b x x a b x xx x = + + + + = ++ +Z Z .

EXERCCIO RESOLVIDO

EXERCCIO PROPOSTO

1. Quantos elementos tem [ ]/ 3 ?i i+Z2. Em [ ]5 xZ , seja 2 1I x x= + + . Determine o inverso multiplicativo de 2 3x I+ + em [ ]5 /x IZ .3. Mostre que [ ]22 1xx x+ +Z um corpo.

.

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HomomorfismosUN 03

Vamos separar os anis em classes disjuntas, de maneira que os anis de uma mesma classe sejam equivalentes com respeito estrutura, mudando apenas suas notaes. Tal ideia formalizada a partir dos isomorfismos de anis, conceito central desta seo. Sejam A e 'A anis. Por comodismo, denotaremos as operaes desses anis pelos mesmos smbolos + e - .

Definio 1:Sejam A e 'A anis. Por homomorfismo de anis : 'f A A entendemos uma aplicao dotada das seguintes propriedades: para todos , ,a b A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), f a b f a f b f ab f a f b+ = + =

Um homomorfismo bijetor denominado isomorfismo de A sobre 'A . Neste caso, dizemos que A e 'A so isomorfos e denotamos .A A Um homomorfismo de A em A chamado automorfismo. Se um homomorfismo uma funo somente injetora, ento chamado homomorfismo injetor e se for uma funo somente sobrejetora, de homomorfismo sobrejetor.Exemplos de Homomorfismos1. Sejam A e B anis quaisquer, a aplicao : f A B , onde ( ) 0Bf a = um homomorfismo de anis, visto que:

( ) ( ) ( )0 0 0 , B B Bf a b f a f b+ = = + = +( ) ( ) ( )0 0 0B B Bf ab f a f b= = =Alm disso, a aplicao : I A A dada por ( )I a a= um automorfismo de A. De fato, ( ) ( ) ( ) , I a b a b I a I b+ = + = +

( ) ( ) ( )I ab ab I a I b= =2. Seja [ ]: x R R tal que ( ) ( )1f f = , ento um homomorfismo sobrejetor, pois ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1f g f g f g f g + = + = + = +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1fg fg f g f g = = =Para todo ( ), 1 ,a a f =R onde ( ) [ ]f x a x= R . Isto mostra que sobrejetivo.3. A aplicao a bi a bi+ um isomorfismo de C em C .4. Em geral, se I um ideal de um anel A, a aplicao : /A A I dada por ( ) , a a I a A = + um homomorfismo de A sobre /A I chamado projeo cannica. Proposies sobre Homomorfismos de AnisApresentaremos uma sequncia de resultados importantes envolvendo homomorfismos de anis.

Proposio 1:Se : 'f A A um homomorfismo de anis, ento:a) ( ) '0 0A Af =b) ( ) ( ) , f a f a a A = c) ( ) ( ) ( )f a b f a f b = d) Se A e 'A so domnios de integridade, ento ou f a funo constante ou ( ) '1 1A Af = .e) Se A e 'A so corpos, ento ou f a funo constante zero ou f injetora.

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Demonstrao:a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0A A A A A A A A A A A Af f f f f f f f f f= + = + = + =b) Seja .a A Temos ( ) 0Aa a+ = e, segundo o item anterior, ( ) ( ) '0Af a f a+ = . Segue que ( ) ( )f a f a = .c) Sejam , a b A , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f a b f a b f a f b f a f b = + = + = .d) Temos que 1 1 1A A A = . Ento, ( ) ( ) ( ) ( )( )2 '1 1 1 1 1 0A A A A A Af f f f = = . Por hiptese, 'A um domnio de integridade, seguindo que ( ) '1 0A Af = ou ( ) '1 1 0A A Af = . No caso de ( ) '1 0A Af = segue que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '1 1 0 0A A A Af a f a f a f f a = = == para todo a A .e) Considere A e 'A anis e suponha que f no a funo constante zero. Pelo item anterior, ( ) '1 1A Af = , devemos mostrar que f injetora. Ora, se , a b A e ( ) ( ) , f a f b= teremos ( ) '0 .Af a b = Se ,a b ento 0Aa b . Em virtude de A ser corpo, existe c A tal que ( ) 1Ac a b = , da ( ) ( ) ( ) '0 1A Af c f a b f c = = , o que contradio.

Proposio 2:Se : 'f A A um homomorfismo de anis e B um subanel de A, ento ( )f A subanel de 'A .Demonstrao:Considere ( ), c d f A , ento ( )c f a= e ( )d f b= , para convenientes elementos , a b A . Teremos

( ) ( ) ( )c d f a f b f a b = = Como a b A , pois este anel, ( ) c d f A .

Ncleo e Imagem de um Homomorfismo

Definio 2:Seja : 'f A A um homomorfismo de anis. Damos o nome de ncleo de f, e denotamos ( )N f , ao seguinte subconjunto de A:( ) ( ){ }'; 0AN f a A f a= =

Observao 1:Em virtude de ( ) '0 0A Af = , vale observar que ( )N f .Definio 3:Seja : 'f A A um homomorfismo de anis. Damos o nome de imagem de f, e denotamos ( )Im f , ao seguinte subconjunto de A:

( ) ( ){ };Im f f a a A= Teorema 1:Sejam A e 'A anis e : 'f A A um homomorfismo. Ento,a) ( )Im f subanel de 'A .b) ( )N f ideal de A.c) f injetiva se, e somente se, ( ) { }0AN f = .d) Os anis ( )A N f e ( )Im f so isomorfos.Demonstrao:a) Claramente, ( )'0A Im f , pois ( ) '0 0 .A Af = Supondo ( ) ( ), f a f b Im f , ento ( ) ( ) ( )f a f b f a b Imf = .

Por fim, ( ) ( ) ( ) f a f b f ab Im f= .b) ( )N f ideal de A, pois ( )0A N f em virtude de ( ) '0 0A Af = . Dados ( ), a b N f , ento ( ) ( ) ( ) ' ' '0 0 0A A Af a b f a f b = = = , ou seja, ( ) a b N f . Finalmente, seja x A e ( )a N f , ento ( ) ( ) ( ) ( ) '0 0A Af ax f a f x f x= = = e ( ) ( ) ( ) ( ) '0 0A Af xa f x f a f x = = = . Assim, ( )ax N f e ( )xa N f .c) Se f injetiva, segue que ( ) { }0AN f = , pois ( ) '0 0A Af = . Reciprocamente, se ( ) ( ) , , f a f b a b A= e( ) { }0AN f = , segue ( ) ( ) ( ) ( ) { }0 0 0A A Af a f b f a b a b N f a b = = = = .

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d) Defina a funo ( ): Af Im fN f por ( )( ) ( )f x N f f x+ = . Note que f est bem definida e biunvoca, pois se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0Ax N f y N f x y N f f x f y f x N f f x f y f y N f+ = + = + = = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0Ax N f y N f x y N f f x f y f x N f f x f y f y N f+ = + = + = = = + . Alm disso, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ } ; ; AIm f f x N f x N f f x x A Im fN f = + + = = . Portanto,

( ) A Im fN f .

1. Sabe-se que Z Z munido das operaes de adio e multiplicao abaixo definidas( ) ( ) ( ), , , a b c d a c b d+ = + +( )( ) ( ), , , a b c d ac ad bc= + um anel. Mostre que a aplicao :f Z Z Z onde ( ),f a b a= um homomorfismo de anis.

Soluo. Note que2. Considere os seguintes anis: ( ), ,+ R e ( ), , R , sendo 1a b a b = + + e a b a b ab= + + . Mostre que :f R R dado por ( ) 1, f x x x= R um isomorfismo de ( ), ,+ R em ( ), , R .

Soluo. f um homomorfismo, pois dados ,a b R, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1f a b a b a b f a f b+ = + = + + = e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1f ab ab a b ab a b f a f b f a f b f a f b= = + + + = + + = .Note que ( ) ( ){ } { }; 1 0N f a f a= = =R . Portanto, f injetiva. Como f vai de R em R, segue a bijeo desejada. Portanto, f isomorfismo.

EXERCCIO RESOLVIDO

EXERCCIO PROPOSTO1. D exemplo de um homomorfismo de anis ( )1 1A Bf tal que ( )1 1A Bf .2. Verifique se a funo :f A B ou no um homomorfismo do anel A no anel B:a) ( ), , 1A B f x x= = = +Z Z b) ( ), , 2A B f x x= = =Z Z c) ( ) ( ), , 0,A B f x x= = =Z Z Z d) ( ), , ,A B f x y x= = =Z Z Z ?3. Determine os ncleos dos homomorfismos do exerccio anterior.4. Considere os seguintes anis: ( ), ,+ R e ( ), , R , sendo 1a b a b = + + e a b a b ab= + + . Mostre que :f R R dado por ( ) 1, f

caderno didático - introdução a Álgebra abstrata

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