caderno de atividades t... · 2020. 1. 6. · itens de cada ficha, baseando-se nas suas...

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática CADERNO DE ATIVIDADES UMA PROPOSTA PARA O ENSINO SIGINIFICATIVO DA TRIGONOMETRIA Rialdo Luiz Rezende Orientadora: Profª Drª Eliane Scheid Gazire Belo Horizonte 2015

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

CADERNO DE ATIVIDADES

UMA PROPOSTA PARA O ENSINO SIGINIFICATIVO DA TRIGONOMETRIA

Rialdo Luiz Rezende

Orientadora: Profª Drª Eliane Scheid Gazire

Belo Horizonte

2015

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SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO .................................................................................................................................... 142

ATIVIDADE 1 – TUTORIAL DO MANUSEIO DOS ESQUADROS, COMPASSO E RÉGUA .......... 146

ATIVIDADE 2 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................. 150

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO RETÂNGULO COM O USO DE ESQUADROS, RÉGUA E

COMPASSO .............................................................................................................................................. 150

ATIVIDADE 3 – TUTORIAL DO MANUSEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA ................................. 151

ATIVIDADE 4 - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS COM O USO DO GEOGEBRA153

ATIVIDADE 5 - ARCOS CÔNGRUOS e CICLO TRIGONOMÉTRICO .............................................. 155

CONSTRUINDO O SIGNIFICADO DE RADIANOS COM O USO DE RÉGUA E COMPASSO ...... 155

ATIVIDADE 7 - REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE COM O USO DE RÉGUA E

COMPASSO .............................................................................................................................................. 161

ATIVIDADE 8 - CONSTRUINDO O CICLO TRIGONOMÉTRICO COM O USO .............................. 164

DO GEOGEBRA E GENERALIZANDO A REUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE ...................... 164

ATIVIDADE 9 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO E COSSENO .......................... 167

ATIVIDADE 10 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE NO GEOGEBRA ...... 171

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APRESENTAÇÃO

O presente produto é proveniente de uma pesquisa no Mestrado de Ensino de Ciências e Matemática da

PUC-Minas e tem como objetivo apresentar ao educador uma possibilidade complementar de intervenção

pedagógica no ensino da trigonometria com atividades preparadas, definidas e testadas sob uma linha

metodológica voltada para a construção do fazer matemático.

Este caderno é composto por dez atividades complementares que se destinam a melhorar a compreensão

do tema pelos alunos da Educação Básica e/ou Ensino Superior, abordando os seguintes tópicos: triângulo

retângulo, círculo trigonométrico e funções trigonométricas, envolvendo construções, interpretações e

fundamentações geométricas.

A consolidação de cada um desses conceitos poderá ocorrer ao final de dois momentos: no primeiro, eles

constroem o solicitado manipulando régua, compasso e esquadros, aqui designados como materiais

manipulativos, para, depois, responder perguntas, preencher tabelas e realizar cálculos. Num segundo

momento, mas abordando o mesmo conceito, empregam o software Geogebra e seguem preenchendo os

itens de cada ficha, baseando-se nas suas construções realizadas.

Visando oportunizar o confronto de ideias entre os estudantes, que requer uma organização concatenada e

estruturada do pensamento, sugerimos as duplas flexíveis de trabalho, tanto nas carteiras ou cadeiras de

sala de aula como no laboratório de informática. Assim, enquanto um aluno lê em voz alta o roteiro, o

outro manipula os instrumentos ou opera o computador. Porém, vale enfatizar que é desejável que eles se

alternem de funções, com o decorrer dos encontros, procurando dar condições a todos de manipularem.

Logo em seguida, ambos discutem e preenchem os itens.

Culturalmente, a maioria de nossos alunos está acostumada com aulas expositivas, cuja postura em sala

pouco extrapola a de assistir. Como reflexos desse modelo, percebem-se poucas interações entre os

colegas de sala e inclusive com o próprio professor sobre os assuntos, exercícios e tarefas propostas.

Comumente, essa prática dificulta a percepção do docente no processo de significações construídas pelos

estudantes, devido ao baixo nível de feedbacks, retardando os possíveis ajustes nas mediações

pedagógicas.

Portanto, procura-se, também, estimular as interações verbalizadas entre alunos e aluno-professor,

buscando criar um ambiente favorável de aprendizagem, livre de constrangimentos, quando externadas

proposições quaisquer, sejam elas simples, complexas, corretas, equivocadas ou infundadas. Portanto, o

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estudantes devem ser estimulados a expor os seus pontos de vista e/ou escreverem suas conjecturas, seja

em papel ou no quadro, testando e esclarecendo-as verbalmente, de preferência.

Nesse formato apresentado, os aprendizes precisam ter a liberdade de se agruparem em duplas e, num

constante diálogo, confirmarem, rebaterem e/ou solicitarem explicações para responderem as atividades e

construírem o seu conhecimento, refinando-o através de um constante ir e vir ideológico.

Durante as atividades, exigem-se habilidades de organização concatenada do pensamento, assim como o

domínio de um vocabulário com palavras específicas de significados próprios, reafirmando que ler,

interpretar, conjecturar, propor, negar ou aceitar determinada tese ou hipótese é um labor enriquecedor

nesse processo de ensino e aprendizagem. Portanto, o trabalho em equipe pode favorecer a socialização e

a cooperação, atendendo aos diferentes níveis e ritmos de aprendizagem. (ZABALA, 1999, p.112).

Sugere-se, ainda, que na aplicação das atividades, cada dupla receba uma ficha contendo um roteiro de

construção, com questões a serem respondidas, cálculos a executar e/ou quadros para completar. O

professor, então, inicia o encontro com uma explicação dos objetivos almejados para aquela aula. No

decorrer, faz-se mister que ele transite acompanhando e mediando, ora esclarecendo certas dúvidas, ora

realizando observações sobre o que está sendo produzido, mas sempre respeitando o ritmo do grupo e

procurando estimular a autonomia dos alunos.

A prática investigativa também deverá ser exercitada por meio de observações, comparações, procurando

direcionar, levando os alunos a estabelecerem hipóteses e a proporem generalizações nas frequentes

discussões socializadas, que finalizam em sistematizações de todo o grupo. O professor poderá realizar

intervenções diretamente nas duplas, caso as dúvidas ou entraves sejam específicos, mas, numa situação

generalizada, o mediador poderá socializar os esclarecimentos necessários, procurando conduzir o grupo

para uma direção do caminho almejado.

As tarefas aqui apresentadas procuram resgatar os elementos subsunçores da vida escolar pregressa e no

cotidiano do sujeito, não-arbitrários e essenciais para o desenvolvimento cognitivo do pensamento

matemático aplicáveis à trigonometria. Dessa maneira, busca-se preencher as possíveis lacunas

pedagógicas existentes, para, em seguida, aprofundar no assunto, procurando respeitar a temporalidade e

a singularidade do sujeito, presentes no processo de aprendizado, oportunizando uma crescente

autonomia do saber fazer.

As atividades 1 e 3 são tutoriais, elaboradas para auxiliar e familiarizar os discentes ao manuseio dos

instrumentos e do software Geogebra. Para tanto, foram incluídos traçados com elementos básicos que os

preparam para tarefas seguintes.

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Diante disso, acredita-se que os estudantes desenvolvam as respectivas competências e habilidades, de

acordo com o quadro 1, que esclarece os tópicos abordados, objetivos previstos e tempo estimado para

execução das atividades 2, 5, 7 e 9, que empregam material manipulativo, e das atividades 4, 6, 8 e 10,

que utilizam o software Geogebra.

Quadro 1 - Tópicos, objetivos e tempo previsto das atividades

Ativ. Tópicos Objetivos Tempo previsto do

encontro e Mídias

utilizadas

Tu

tori

ais

1

1. Manual do material de desenho

geométrico.

2. Paralelismo.

3. Perpendicularismo.

Conhecer e manusear os instrumentos.

Traçar retas paralelas.

Traçar retas perpendiculares.

100 minutos.

Régua, compasso e

esquadros.

3

4. Tutorial do software Geogebra. Conhecer a apresentação do Geogebra.

Manusear a partir de comandos básicos.

Familiarizar com o software.

100 minutos.

Software Geogebra.

2 5. Triângulo retângulo.

6. Razões trigonométricas.

7. Leitura de texto.

8. Interpretação de texto.

Reconhecer um triângulo retângulo.

Identificar os elementos do triângulo

retângulo.

Montar razões trigonométricas.

Calcular as razões trigonométricas.

100 minutos.

Régua, compasso e

esquadros.

4 9. Razões e proporções.

10. Semelhança de triângulos.

Reconhecer um triângulo retângulo.

Identificar os elementos do triângulo

retângulo.

Montar razões trigonométricas.

Calcular as razões trigonométricas.

Reconhecer triângulos semelhantes.

100 minutos

Software Geogebra

5 11. Medidas de arco central.

12. Unidades de medidas de arcos.

13. Linearização do arco.

Relacionar diferentes unidades de medidas de

ângulo.

Compreender a representação de arcos em

circunferências de arcos distintos.

100 minutos

Régua, compasso e

esquadros.

6 14. Expressão geral dos arcos. Determinar uma expressão geral dos arcos.

100 minutos.

Software Geogebra.

7 15. Redução ao primeiro quadrante.

Perceber o círculo trigonométrico como campo

de estudos dos triângulos retângulos em seus

quadrantes.

Generalizar expressões de redução ao primeiro

quadrante.

100 minutos

Régua, compasso e

esquadros.

8 16. Calculo do seno e cosseno de um

ângulo agudo do triângulo retângulo

inscrito no círculo trigonométrico.

17. Representação do seno, cosseno e

tangente no plano cartesiano.

Reconhecer a equivalência de ângulos no ciclo

em quadrantes diferentes.

Generalizar expressões de redução ao primeiro

quadrante.

Representar a razão seno e cosseno e tangente

no círculo trigonométrico.

100 minutos.

Software Geogebra.

9 18. Construir o gráfico da função seno e

cosseno no plano cartesiano, a partir do

círculo trigonométrico.

19. Análise do comportamento do

gráfico da senoide e cossenoide.

Identificar o comportamento das funções seno

e cosseno, representando-o algébrica e

graficamente.

Familiarizar com o comportamento da função

seno e cosseno.

Identificar regularidade em situações

100 minutos

Régua, compasso e

esquadros.

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semelhantes, relacionando padrões a

algoritmos e propriedades a partir do

comportamento dos gráficos das funções

trigonométricas seno e cosseno.

10 20. Construir o gráfico da função

tangente no plano cartesiano, a partir do

círculo trigonométrico.

21. Análise do comportamento do

gráfico da tangentoide, gerado a partir do

círculo trigonométrico.

Identificar o comportamento de valores

trigonométricos com o da função tangente,

representando-o algébrica e graficamente.

Familiarizar com o comportamento da função

tangente.

Identificar padrões de regularidade em

situações gráficas, percebendo algoritmos e

propriedades da função trigonométrica

tangente e como são suas representações.

100 minutos.

Software Geogebra.

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ATIVIDADE 1 – TUTORIAL DO MANUSEIO DOS ESQUADROS, COMPASSO E RÉGUA

MATERIAIS Régua flexível transparente, esquadro isósceles, esquadro escaleno, compasso, folha

A4, lápis, lapiseira com grafite, lápis de cor e borracha.

Essa atividade visa à familiarização mínima necessária com os instrumentos de desenho para as

construções futuras. A precisão necessária será atingida quando alguns cuidados forem atendidos como

medidas corretas, posicionamento das mãos em cada situação e utilização de instrumentos adequados

para cada ocasião.

CONHECENDO OS INSTRUMENTOS

ESQUADRO ESCALENO – Trata-se de um triângulo escaleno, onde dois ângulos internos são agudos

com medidas de 30o e 60

o. O terceiro ângulo é reto (90

o), conforme mostra a figura abaixo.

ESQUADRO ISÓSCELES - Trata-se de um triângulo isósceles, onde dois ângulos internos são agudos

com medidas iguais de 45o. O terceiro ângulo é reto (90

o), conforme mostra a figura abaixo.

POSIÇÃO DA FOLHA – A folha de A4 pode estar em uma das duas posições, retrato (em pé)

ou paisagem deitada.

COMPASSO – Instrumento utilizado para traçar arcos e circunferências, com medidas de raios diversos.

Formado por duas hastes, com grafite em uma das pontas e ponta seca na outra. A ponta seca é metálica e

serve para fixar o compasso na folha, evitando que o mesmo escorregue no momento de traçar.

LÁPIS OU LAPISEIRA – Esses instrumentos são bem conhecidos por todos. Porém, poucos sabem que

a dureza do grafite recebe uma classificação de 2H, H, HB, B, 2B e outros. Essa categorização parte do

mais duro- 2H, para os mais macios 2B, como mostra a figura abaixo. É importante lembrar que o lápis

ou lapiseira precisam ficar levemente inclinados, ao traçar, por conta do conforto e da precisão no

desenho.

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TRAÇANDO ELEMENTOS BÁSICOS

TRAÇANDO UMA RETA HORIZONTAL – Para o traçado dessa reta, observe as imagens abaixo e

siga as instruções. Com a folha A4 na posição paisagem, alinhe o menor lado do esquadro escaleno com a

borda esquerda da folha e com o outro lado do esquadro, obtenha uma linha horizontal imaginária no

centro da folha. Agora incline o lápis, confortavelmente e trace a horizontal da esquerda para direita.

TRAÇANDO UMA RETA VERTICAL - Na mesma folha A4 que você utilizou para traçar a reta

horizontal, na posição paisagem, alinhe o menor lado do esquadro escaleno, com a borda superior da folha.

Com o outro lado do esquadro, obtenha uma linha vertical imaginária no centro da folha. Trace a vertical de

cima para baixo.

TRAÇANDO RETAS PARALELAS – Alinhe o lado do esquadro escaleno na reta horizontal da folha A4

que você já traçou, obtendo o outro lado do esquadro na posição vertical. Apoie o maior lado do esquadro

isósceles naquele lado que está na vertical. Firme o esquadro isósceles e deslize o escaleno para a posição de

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interesse e trace a paralela. Sem soltar o esquadro isósceles, reposicione o escaleno e trace novas retas

paralelas. Observe as imagens para facilitar o manuseio.

TRAÇANDO UMA RETA PERPENDICULAR – Com o esquadro isósceles, alinhe um dos lados iguais

na reta vertical que você já traçou. Assim, o outro lado estará na posição horizontal, onde você apoiará o

maior lado do esquadro escaleno. Firme o esquadro escaleno (servindo de apoio), deslize o isósceles para a

posição de interesse, e trace qualquer reta perpendicular. Sem soltar o esquadro escaleno, reposicione o

isósceles e trace novas retas perpendiculares. As imagens ajudaram no manuseio.

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TRAÇANDO CIRCUNFERÊNCIAS E ARCOS – Marque um ponto no centro de uma folha A4. Abra as

hastes do compasso com uma abertura de raio qualquer. Pegue no apoio do compasso, coloque a ponta seca

no ponto marcado, e levemente inclinado, rode-o traçando a circunferência ou arco desejado.

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ATIVIDADE 2 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULO RETÂNGULO COM O USO DE ESQUADROS, RÉGUA E

COMPASSO

MATERIAIS – Folha A4, régua flexível transparente, esquadros isósceles e escaleno, compasso, lápis e

borracha.

ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO

Siga os passos abaixo, na sequência em que são apresentados:

1. No centro da folha A4, em posição retrato, trace um segmento horizontal AB de 10 cm;

2. Encontre o ponto médio M do segmento AB;

3. Coloque a ponta seca do compasso no ponto M, abra a haste grafitada até A e trace a

semicircunferência AB;

4. Em qualquer local do arco AB, marque um ponto C;

5. Trace os segmentos AC e BC obtendo o triângulo ABC;

6. Nomeie os ângulos α = CÂB, β = ABC e θ = ACB.

7. Nomeie o lado “a” como oposto ao ângulo α, o lado “b” oposto ao ângulo β e o lado “c” como

oposto ao θ;

A partir de sua construção, responda as questões seguintes:

ITENS

a) Como é classificado o triângulo ABC quanto aos ângulos? Por quê?

b) Os seus lados recebem nomes especiais? Quais?

c) Qual é a soma dos ângulos α e β?

d) Como você fez para descobrir a soma do item anterior?

e) De uma maneira geral, como se calcula seno, cosseno e tangente de um ângulo, em um triângulo

retângulo?

f) Complete corretamente a tabela a seguir utilizando o triângulo que você construiu.

OBSERVAÇÃO - A partir das razões trigonométricas obtidas, encontre as medidas dos ângulos.

Comprimento do lado “a” (cm) Comprimento do lado “b” (cm)

Seno α = Seno β =

Cosseno α = Cosseno β =

Tangente α = Tangente β =

Medida do Ângulo α = Medida do Ângulo β =

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ATIVIDADE 3 – TUTORIAL DO MANUSEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

O programa Geogebra é um software de Matemática dinâmica, gratuito, que permite construções

geométricas, auxiliando no processo de ensino e aprendizagem de Matemática. Pode ser instalado em várias

plataformas (Windons, Mac, Linux e outros). Também há a possibilidade de manuseá-lo diretamente on-

line, quando conectado à internet.

Clicando no ícone do programa Geogebra , ele abrirá e aparecerá a primeira tela representada pela

figura 1. Observe as escritas em vermelho como barra de menu, barra de ícones, janela de álgebra, eixos

ortogonais e barra de entrada.

Figura 1

Na barra de ícones, há vários ícones e em cada um deles existe uma seta, que está na parte inferior direta,

como mostra a figura 2.

Figura 2

Quando você clicar nessa seta, vários outros ícones internos abrirão, conforme a figura 3. Na caixa diálogo,

em cada ícone selecionado, aparecerá o comando a ser realizado na área de trabalho.

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Figura 3

A visualização da tela pode ficar mais confortável para você. Para isso, selecione o ícone deslocar eixos ou

ampliar (observe a figura 4) ou com o scroll do mouse (figura 5) ajuste a tela.

Figura 4

Figura 5

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ATIVIDADE 4 - CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS COM O USO DO

GEOGEBRA

ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO

Siga os passos abaixo:

1. Abra o programa;

2. Na barra de entrada (parte inferior esquerda da tela), entre com o ponto A, digitando o seguinte

comando: A= (0,0). Agora, aperte a tecla enter e observe que aparecerá o ponto A sobre o eixo

horizontal;

3. Da mesma forma que anteriormente descrito, entre com o ponto B= (10,0);

4. Agora entre com o ponto C= (10,3);

5. Selecione o ícone ponto médio e encontre D, ponto médio de AB;

6. Repetindo a etapa anterior, encontre o ponto E, médio de BD;

7. Localize o ícone: segmento definido por dois pontos , trace os segmentos AB, BC e AC. No final,

você terá construído o triângulo ABC.

8. Localize o ícone: retas perpendiculares e trace duas perpendiculares ao segmento AB, sendo uma

passando por D e outra por E;

9. Com a ferramenta: ponto de intersecção entre objetos , identifique o encontro entre a reta

perpendicular que passa por E e o segmento AC, obtendo o ponto F;

10. Com a mesma ferramenta: ponto de intersecção entre objetos , identifique o encontro entre a reta

perpendicular que passa por D e o segmento AC, obtendo o ponto G sobre AC;

11. Agora, selecione o ícone: medida de comprimento , e identifique as medidas de todos os lados dos

triângulos ABC, AEF e ADG e a medida do ângulo Â. Observe que as medidas informadas pelo

programa estão em centímetros;

12. Selecione a ferramenta: ângulo , e encontre a medida do ângulo BAC, clicando nos pontos B, A e

C, na seguinte sequência: primeiro no B, depois no A e, por último, no C. Observe que aparecerá um

ângulo α, com a medida em graus.

Agora com a construção que você fez no Geogebra, complete a tabela abaixo corretamente.

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Triângulo Triângulo ABC Triângulo AEF Triângulo ADG

Medida do cateto menor

Medida do cateto maior

Medida da hipotenusa

Seno A = Seno A = Seno A =

Cosseno A = Cosseno A = Cosseno A =

Tangente A = Tangente A = Tangente A =

Medida do Ângulo A Medida do Ângulo A Medida do Ângulo A

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ATIVIDADE 5 - ARCOS CÔNGRUOS e CICLO TRIGONOMÉTRICO

CONSTRUINDO O SIGNIFICADO DE RADIANOS COM O USO DE RÉGUA E COMPASSO

MATERIAIS Régua flexível, esquadros isósceles e escaleno, compasso, folha A3, lápis, transferidor e

borracha.

Para construirmos esse conceito, temos que entender, primeiramente, o que é linearizar o ciclo

trigonométrico. Observe a figura 1 e perceba que o processo consiste em tornar a curva da circunferência

uma reta. O zero (0) da reta real e a origem do ciclo coincidem e é necessário “rolar” o ciclo sobre a reta

real. E assim faremos em nossa atividade seguinte, nos orientando pelos passos do roteiro de construção.

Porém, como reflexão fica pergunta: Qual a necessidade de linearizar o ciclo trigonométrico?

Figura 1

ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO

Siga os passos abaixo:

1. Coloque a folha A3 na posição paisagem. Na parte superior esquerda, trace um sistema de eixos

ortogonais, em que cada eixo terá aproximadamente 24 cm, e que a origem esteja 12 cm da duas

bordas da folha;

2. Nomeie a origem do sistema cartesiano como ponto O;

3. Considerando o centímetro como unidade de medida, marque com a régua o ponto A de coordenada

(10,0);

4. Trace com o compasso uma circunferência centrada em O, partindo de A, no sentido anti-horário.

Chamaremos essa circunferência de círculo trigonométrico;

5. No sistema cartesiano, marque os pontos B (0,10), C (-10,0) e D (0,-10). Observe que teremos a

circunferência dividida em quatro partes, chamados de quadrantes;

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6. Assumindo como o sentido positivo dos arcos o anti-horário e como a origem do ciclo

trigonométrico o ponto A, nomeie os quadrantes na sequência como 1º, 2º, 3º e 4º;

7. Com a medida do segmento OA, centre o compasso em A, gire-o no sentido anti-horário,

encontrando o círculo trigonométrico no 1º quadrante. Marque somente esse encontro e nomeie-o

como ponto E;

8. Sem alterar a abertura do compasso, repita o processo centrando-o em E e obtendo o ponto “F” no

segundo quadrante;

9. Novamente, com a mesma abertura do compasso, repita o processo centrando-o em F e obtendo o

ponto G que coincidirá com C;

10. Escolha um local abaixo do círculo trigonométrico que você construiu e trace uma reta horizontal - h.

Em sua extremidade esquerda, marque um ponto e nomeio-o de Ah, como o ponto A da reta h;

11. Iniciaremos, então, agora, o processo de linearização do círculo trigonométrico. Posicione a régua

flexível SOBRE o círculo, meça o comprimento do arco AE e transfira-o para a reta h, iniciando a

medida a partir do ponto Ah e finalizando na reta, com o ponto Eh da reta;

12. Obtenha a medida do arco EF e transfira-o para a reta h, iniciando a transferência de medida a partir

do ponto Eh e finalizando em Fh;

13. Obtenha a medida do arco FG e transfira-o para a reta h, iniciando a transferência de medida a partir

do ponto Fh e finalizando em Gh;

14. Com a régua flexível, obtenha o comprimento do raio e transfira-o para o círculo trigonométrico.

Essa transferência de medida será SOBRE o círculo, e iniciará pelo ponto A (origem do ciclo) e

finalizará no ponto H, que estará no primeiro quadrante do círculo;

15. Repita a transferência da medida iniciando por H e obtendo o ponto I;

16. Repita a transferência da medida iniciando por I e obtendo o ponto J;

17. Num processo semelhante ao passo 11, posicione a régua flexível SOBRE o círculo, transferindo a

medida do arco AH para a reta h, a partir do ponto Ah e marque o ponto Hh na reta;

18. Repita a transferência a partir de Hh, obtendo o ponto Ih na reta;

19. Repita a transferência a partir de Ih, obtendo o ponto Jh na reta.

A partir dessas construções, investigue, pesquise e responda os questionamentos seguintes:

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ITENS

1. Pesquise o que é um radiano?

2. Complete a tabela corretamente

Arcos Medida em radianos

AH

AI

AJ

3. Com o raio do círculo trigonométrico que você construiu, calcule o comprimento dos arcos em

centímetros e sua medida em radianos.

Arcos Comprimento dos arcos Medida em radianos

AB

AC

AA

4. Utilizando o transferidor, complete a tabela com as medidas dos arcos pedidos:

Arcos Medida em Graus Medida em radianos

AE

AB

AF

AC

AD

5. Complete a tabela abaixo. Na coluna central, complete entre quais pontos do ciclo está cada medida

de arco em radiano e na coluna da direita, informe a equivalência da medida do arco em graus,

mostrando as etapas do cálculo. Observe o exemplo:

Arco em

Radiano

Entre quais pontos do ciclo

trigonométrico está o arco?

Medida em Graus a

partir de A

0,5 A e H 28,66o

1,3

1,6

2,5

4,2

5,2

6. Marque os locais da reta h, onde temos os primeiros quatro valores de radianos da tabela do item E.

7. Agora responda: Qual a finalidade de linearizarmos o ciclo?

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ATIVIDADE 6 – USANDO E GEOGEBRA PARA CONSOLIDAR O CONCEITO DE RADIANO

ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO

Siga os passos abaixo:

1. Abra o programa;

2. Na barra de entrada, entre com o ponto O= (0,0);

3. Entre com o ponto A= (1,0);

4. Selecione a ferramenta: compasso , e trace uma circunferência centrada em O, com o raio sendo

do segmento AO;

5. No ícone: intersecção entre dois objetos , marque a circunferência e o eixo das ordenadas

(vertical) obtendo os pontos B na parte positiva do eixo e C na parte negativa. Caso seja necessário,

renomeie os pontos, clicando sobre eles com o botão direito do mouse e selecionando a opção

renomear;

6. Com o mesmo ícone: intersecção entre dois objetos , encontre o ponto D, intersecção entre a

parte negativa do eixo das ordenadas e a circunferência (encontro da circunferência com o eixo das

abscissas);

7. Caso apareça um ponto não mencionado na barra de ferramentas, selecione: exibir e janela de

álgebra. Nessa janela de álgebra, clique o círculo azul do ponto indesejado, então ele apagará da tela;

8. Usando novamente a ferramenta: compasso, trace outra circunferência de raio AO centrada em A;

9. Marque a intersecção entre essa circunferência e a primeira traçada, obtendo o ponto E no primeiro

quadrante;

10. Clique com o botão direito do mouse, sobre essa última circunferência traçada, clique em

propriedades e mude sua cor, para cinza claro. Assim, teremos uma construção com visual mais

limpo e visualização menos carregada;

11. Apague da tela o ponto do quarto quadrante, que surgiu dessa última intersecção e o círculo

trigonométrico;

12. Usando novamente a ferramenta: compasso, trace outra circunferência de raio AO centrada em E;

13. Marque a intersecção entre essa circunferência e a primeira traçada obtendo o ponto F, no segundo

quadrante;

14. Altere a cor da circunferência que passa no ponto F, repetindo o passo 10;

15. Usando novamente a ferramenta: compasso, trace outra circunferência de raio AO centrada em F;

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16. Marque a intersecção entre essa circunferência e a primeira traçada obtendo o ponto G, que

coincidirá com o ponto C do eixo das abscissas;

17. Altere a cor da circunferência que passa no ponto G, repetindo o passo 10;

18. Com a ferramenta: polígono , trace o polígono OAE;

19. Com a ferramenta: polígono , trace o polígono OEF;

20. Com a ferramenta: polígono , trace o polígono OFG;

21. Utilizando a ferramenta: medida do ângulo , clique sequencialmente nos pontos A, O e E,

obtendo a medida o ângulo agudo AOE referido anteriormente;

22. Repita o processo do passo 20, obtendo a medida dos ângulos internos dos três triângulos de vértice

em O. Esteja atento na sequência de cliques sobre os pontos, para obter o ângulo correto (o segundo

clique, deverá ser no vértice do ângulo).

23. Você poderá alternar a medida do ângulo entre graus e radianos, abrindo a janela OPÇÕES;

avançado e unidade de medida de ângulo, escolhendo a unidade desejada. Agora, responda os itens.

ITENS

1. Qual o raio do círculo trigonométrico que você construiu?

2. Qual o comprimento desse círculo trigonométrico linearizado?

3. Qual o comprimento do arco AC?

4. Qual a medida, em radianos, do ângulo α, β e γ?

5. Observando a figura 1 e sua construção, complete a tabela abaixo corretamente. Na coluna do centro,

informe o valor do arco com extremidade no ponto e com uma casa decimal, em radianos. Como a

extremidade do arco se encontrará em algum local da reta, na coluna da direita, escreva os extremos

do intervalo numérico, com uma casa decimal, onde se encontrará cada ponto do referido arco,

quando linearizarmos o círculo trigonométrico sobre o eixo das abscissas, coincidindo as origens.

Siga o exemplo:

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Pontos Valor do arco em radiano, a

partir da origem do ciclo, e

em seu sentido positivo.

Intervalo numérico, de

extremidades com intervalo

máximo de 0,1 u.m.

A (origem do ciclo) 0 0 – 0,1

E 1,05 1,0 – 1,1

B

F

G

C

D

A (volta inteira)

6. Escolha um ponto qualquer do círculo trigonométrico. Em seguida, informe o arco côngruo para o

número de voltas pedido e a medida do arco. Por fim, escreva uma generalização para os arcos

côngruos do ângulo escolhido.

Ponto do ciclo Medida do arco

(a partir da origem do ciclo e no

sentido positivo)

Número de voltas Expressão dos arcos

côngruos

Medida do arco

0

1

2

“n”

Socialize com o grupo da sala seus resultados e veja como se generaliza uma expressão geral dos arcos.

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ATIVIDADE 7 - REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE COM O USO DE RÉGUA E

COMPASSO

MATERIAIS Régua flexível, transferidor, esquadros isósceles e escaleno, compasso, folha A3, lápis e

borracha.

ATENÇÃO - O retângulo inscrito no círculo a ser construído será mais preciso de acordo como seu rigor

nos traçados. Portanto, observe bem as fotos e siga os passos do tutorial ao traçar as retas paralelas

solicitadas.

TUTORIAL DO TRAÇADO DE RETAS PARALELAS

Alinhe o lado numerado do esquadro escaleno com a reta que deseja traçar a paralela. Apoie o

maior lado do esquadro isósceles no lado esquerdo do esquadro escaleno, permitindo o

deslocamento vertical e, assim, o traçado de qualquer paralela, conforme as figuras. Firme o esquadro

isósceles e deslize o escaleno para a posição de interesse e trace a paralela. Observe as imagens para facilitar

o manuseio dos instrumentos.

Figura 1 Figura 2

Figura 3

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ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO

Siga os passos abaixo:

1. Coloque a folha A3 na posição paisagem. Na parte superior esquerda, trace um sistema de eixos

ortogonais, onde a origem esteja a 12 cm das duas bordas (vertical e horizontal) e cada eixo com

aproximadamente 24 cm;

2. Nomeie a origem do sistema cartesiano como ponto O;

3. Considerando o DECÍMETRO como unidade de medida, marque com a régua o ponto A de

coordenada (1,0);

4. Trace com o compasso, o círculo trigonométrico centrado em O e origem em A, no sentido anti-

horário;

5. No sistema cartesiano, marque os pontos B (0,1), C (-1,0) e D (0,-1). Observe que teremos a

circunferência dividida em quatro partes, chamados de quadrantes;

6. Assumindo como o sentido positivo dos arcos o anti-horário, e a origem do ciclo trigonométrico o

ponto A, nomeie os quadrantes na sequência como 1º, 2º, 3º e 4º;

7. Com o transferidor, marque o ponto E sobre o círculo trigonométrico com abertura de 30º em relação

a origem A, no sentido positivo;

8. Utilizando os esquadros, trace uma reta paralela ao eixo das ABSCISSAS partindo do ponto E,

chegando ao ciclo no 2º quadrante, no ponto F (observe o tutorial no início desta atividade);

9. Nomeie o cruzamento do segmento EF com o eixo das ordenadas como ponto M;

10. Com um processo semelhante à etapa 8, trace o segmento FG, paralelo ao eixo das ORDENADAS

partindo de F e tocando o círculo trigonométrico em G, no 3º quadrante;

11. Nomeie o cruzamento do segmento FG com o eixo das abscissas como ponto N;

12. Com um processo semelhante à etapa 8, trace uma reta paralela ao eixo das abscissas partindo do

ponto G, chegando no ciclo no ponto H, no 4º quadrante;

13. Nomeie o cruzamento do segmento GH com o eixo das ordenadas como ponto R;

14. Com um processo semelhante à etapa 10, trace o segmento HE, paralelo ao eixo das ordenadas

partindo de H e tocando o círculo trigonométrico em E, no 1º quadrante;

15. Nomeie o cruzamento do segmento HE com o eixo das abscissas como ponto S.

OBSERVAÇÃO – Se os procedimentos e traços foram precisos, ao traçar o segmento EG e FH eles

passaram pelo ponto O.

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ITENS

1. Em sua construção há 8 triângulos retângulos, onde as hipotenusas estão sobre os segmentos EG e

FH. Encontre os ângulos internos (em graus) de todos os triângulos retângulos, marque os valores em

sua construção e justifique seus cálculos.

2. Em sua construção, com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e o sentido positivo dos arcos

o anti-horário, complete a tabela corretamente:

Arcos Medida em Graus Medida em radianos

AE

AB

AF

AC

AG

AS

AH

AA

3. O ângulo AÔE tem a mesma medida de abertura que o arco AE? Por quê? Isso se repete para EOM e

a abertura do arco EB? Explique.

4. Em sua construção, com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e o sentido positivo dos arcos,

complete a tabela corretamente:

Arcos Medida em graus Arcos Medida do em graus Soma da medida dos

dois ângulos

AOE EOB

AOB BOC

BOF FOC

AOF FOC

AOC COG

AOH HOA

5. Generalize uma expressão de redução ao primeiro quadrante, para cada parte do círculo

trigonométrico:

2º Quadrante -

3º Quadrante -

4º Quadrante -

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ATIVIDADE 8 - CONSTRUINDO O CICLO TRIGONOMÉTRICO COM O USO

DO GEOGEBRA E GENERALIZANDO A REUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE

ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO

Siga os passos abaixo:

1. Abra o programa Geogebra;

2. No campo exibir, habilite a janela de álgebra, caso essa já esteja sendo visualizada;

3. Entre com os pontos O= (0,0) e A= (1,0) na barra de comando;

4. Aproxime a tela girando o scroll do mouse;

5. Habilite o ícone: mover e centralize os eixos, visualizando-os confortavelmente no centro da

tela. Se precisar de novos ajustes, proceda da mesma maneira;

6. Com a ferramenta: compasso , clique no ponto O, abra a circunferência até o ponto A e

centralize-a em O;

7. Com o ícone: ponto , crie B, clicando sobre o primeiro quadrante da circunferência. Renomei-o

se for necessário;

8. Selecione o ícone: segmento entre dois pontos e trace o segmento BO;

9. Selecionando a ferramenta: ângulo , clique nos pontos A, O e B nessa sequência. Caso a janela de

álgebra não esteja aparecendo o ângulo α, habilite-a na barra de ferramentas no campo: exibir;

10. Com a ferramenta: girar em torno de um ponto , clique em O e, depois, arraste B, girando o

segmento BO sobre a circunferência, dentro do primeiro quadrante;

11. Com a ferramenta: arco circular , clique em O e, depois, nos pontos A e B;

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12. Clique com o botão direito do mouse sobre o arco AB, selecione propriedade e, depois, altere a cor

para outra de sua preferência;

13. Utilizando o ícone: reflexão com relação a uma reta , clique em B e, logo em seguida, no eixo das

ordenadas, obtendo ponto B’ no segundo quadrante;

14. Renomeie B’ como C, clicando com o lado direito do mouse sobre ele e selecionando renomear;

15. Utilizando o ícone: reflexão com relação a uma reta , clique em C e, logo em seguida, no eixo das

abscissas, obtendo ponto C’ no terceiro quadrante;

16. Renomeie C’ para D;

17. Reflita D, em relação ao eixo das ordenadas, obtenha D’ no quarto quadrante e renomeie para E.

18. Trace os segmentos BC, CD, DE e EB;

19. Com a ferramenta: intersecção entre objetos , obtenha essa intersecção entre o segmento BC e o

eixo das ordenadas, nomeando esse ponto como J.

20. Repita o processo do passo 18, criando o ponto N para o cruzamento do segmento EB com o eixo das

abscissas e renomei-o.

21. Crie o segmento ON com a ferramenta: segmento de reta , e nas propriedades altere sua cor,

dando um destaque para o segmento;

22. Crie o segmento OJ com a ferramenta: segmento de reta , e nas propriedades altere sua cor,

dando um destaque para o segmento;

23. Com a ferramenta: girar em torno de um ponto , clicando no ícone, depois no ponto O e

arrastando B, movimente o conjunto construído. Observe a janela de álgebra para as solicitações das

atividades seguintes.

ITENS

1. Em sua construção, após rotacionar o ponto B, observe e generalize as expressões de redução ao

primeiro quadrante.

Quadrantes Expressão

Segundo

Terceiro

Quarto

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2. Em sua construção, tomemos como origem do ciclo trigonométrico o ponto A e o sentido positivo.

Movimente o segmento BO e, observando a janela da álgebra, escolha vários ângulos, completando a

tabela corretamente, a partir do exemplo:

3. Rotacione o segmento BO, escolha três ângulos para cada quadrante, e complete a tabela

corretamente, observando janela de álgebra de sua construção. Como auxilio, siga o exemplo:

Quadrante Ângulo α Valor da

abscissa de B

Comprimento do

segmento ON

Valor da

ordenada de B

Comprimento do

segmento OJ

1º 10º

4. Reposicione o ponto B no primeiro quadrante para montar a tabela abaixo. Informe a fórmula de

cálculo e segmento representativo em cada situação pedida.

Fórmula de cálculo Expressão

matemática

Segmento

representativo

Seno de α

Cosseno de α

CORRESPONDENTE

Ângulo α No segundo

quadrante

No terceiro

quadrante

No quarto

quadrante

10º 170º 190º 350º

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ATIVIDADE 9 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO E COSSENO

MATERIAIS Régua flexível, esquadros isósceles e escaleno, transferidor, compasso, folha A3, lápis,

lápis de cor e borracha.

ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO

1. Na folha entregue pelo professor com o círculo trigonométrico e eixos já impressos, marque dois

pontos no primeiro e outros dois no segundo quadrante. Nomeie esses pontos como E, F, G e H, onde

o primeiro é o E, o segundo é o F e assim sucessivamente;

2. Reflita ortogonalmente ao eixo das abscissas esses pontos para o terceiro e quarto quadrantes

seguindo a ordem: Ponto E gera o ponto L, Ponto F gera o ponto K, G gera J e H gera I;

3. Nomeie o cruzamento dos segmentos com a reta numerada da seguinte maneira: EL - M, FK – N; GJ

– P e IH – Q;

4. Utilizando a mesma régua flexível, inicie a linearização do ciclo, transferindo o comprimento do arco

AE (sobre a circunferência), para o eixo horizontal, onde o início dessa transferência será o ponto A

(origem dos eixos ortogonais) e o final o ponto E’;

5. Continue a linearização transferindo o arco EF para o eixo, obtendo o ponto F’ e dando sequência até

chegar em A’, quando lineariza-se completamente o círculo;

6. Meça o comprimento do segmento ME, e transfira essa medida vertical sobre o ponto E’; Prossiga da

seguinte forma: NF sobre F’; OB sobre B’; PG sobre G’; QH sobre H’, QI sobre I’; PJ sobre J’; OD

sobre D’; NK sobre K’, ML sobre L’;

7. Partindo do ponto A, una as extremidades dos segmentos obtendo uma curva chamada senoide;

8. No mesmo sistema de eixos ortogonais e ciclo, transfira o segmento OA, para o eixo vertical sobre

A;

9. Repita o passo 8 para OM, porém, transferindo-o verticalmente sobre o ponto E’. Prossiga da

seguinte forma: ON sobre F’; OP sobre G’; OQ sobre H’; OC sobre C’, OQ sobre I’; OP sobre J’;

OD sobre D’; ON sobre K’, OM sobre L’ e OA sobre A’;

10. Partindo da extremidade do segmento OM marcada sobre o eixo vertical em A, una as extremidades

dos segmentos obtendo uma curva chamada cossenoide. Agora responda as questões a seguir:

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ITENS

1. No ciclo que você recebeu há dois eixos, um vertical e outro horizontal. Qual deles REPRESENTA

o eixo dos senos? Qual deles REPRESENTA o eixo dos cossenos? Explique.

2. Sobre a senoide, qual o máximo e mínimo valor que o seno admite , indicando os pontos (abscissas)

onde isso acontece? Agora qual o máximo e mínimo valor do cosseno, indicando o ponto onde isso

acontece?

SENOIDE

Valor

MÁXIMO

Ponto(s) do EIXO

onde o gráfico

atinge o valor

máximo

Ponto(s) do

CICLO

linearizado

(no eixo

horizontal)

Abertura do

ARCO em

GRAU

(a partir da

origem)

SENOIDE

Valor

MÍNIMO

Ponto(s) do EIXO

onde o gráfico

atinge o valor

mínimo

Ponto(s) do

CICLO

linearizado

(no eixo

horizontal)

Abertura do

ARCO em

GRAU

(a partir da

origem)

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COSSENOIDE

Valor

MÁXIMO

Ponto(s) do EIXO

onde o gráfico

atinge o valor

máximo

Ponto(s) do

CICLO

linearizado

(no eixo

horizontal)

Abertura do

ARCO em

GRAU

(a partir da

origem)

COSSENOIDE

Valor

MÍNIMO

Ponto(s) do EIXO

onde o gráfico

atinge o valor

máximo

Ponto(s) do

CICLO

linearizado

(no eixo

horizontal)

Abertura do

ARCO em

GRAU

(a partir da

origem)

3. Complete a tabela com os pontos onde a curva senoide e cosssenoide CRUZAM O EIXO DA

ABSCISSA. Logo em seguida, informe o grau de abertura do ângulo que esse ponto faz a partir da

origem do ciclo.

SENÓIDE COSSENÓIDE

Ponto Arco Ponto Arco

4. Observando sua construção, a origem do ciclo trigonométrico no ponto A, e o ciclo positivo do arco,

complete a tabela corretamente colocando se o seno e cosseno são POSITIVOS, NEGATIVOS OU

NULOS.

Arcos Quadrante seno cosseno

AA

AE

AF

AB

AG

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Arcos Quadrante seno cosseno

AH

AC

AI

AJ

AD

AK

AL

AA

Generalizando o comportamento do sinal das funções seno e cosseno a partir do gráfico que você construiu:

QUADRANTE SENO COSSENO

I

II

III

IV

5. Observando o ciclo trigonométrico e os gráficos que você construiu, complete o quadro

corretamente:

SENO COSSENO

Quadrante Sinal Crescente/Decrescente Sinal Crescente/Decrescente.

I

II

III

IV

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ATIVIDADE 10 - CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE NO GEOGEBRA

ROTEIRO DE CONSTRUÇÃO

1. Abra o programa Geogebra;

2. No ícone: ARQUIVO, abra o ATIV. 10 - tangente;

3. Com a ferramenta: girar em torno de um ponto , clique em O e depois no ponto B;

4. Gire o ponto B sobre a circunferência até obter α próximo de 90º;

5. Se o ponto T não estiver traçando o rastro, habilite, clicando com o botão direito do mouse no ponto

T e clique em exibir rastro;

6. Gire o ponto B sobre a circunferência para qualquer valor de α. Observe o gráfico gerado para

realizar as atividades propostas a seguir:

ITENS

1. Posicione o ponto B no primeiro quadrante. Observando a figura gerada, qual razão entre segmentos

do triângulo OAC que representa a tangente de α?

2. Monte essa razão e mostre qual o segmento que equivale a tangente de α? Explique seu raciocínio.

3. Para o ângulo α no PRIMEIRO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?

4. Para o ângulo α no SEGUNDO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?

5. Para o ângulo α no TERCEIRO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?

6. Para o ângulo α no QUARTO quadrante, qual é o menor e maior valor da tangente?

7. Complete a tabela com os pontos do círculo trigonométrico, onde a curva tangentoide cruza o eixo

da abscissa. Logo em seguida, informe o grau de abertura do ângulo α.

PONTO GRAUS RAD

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8. Observando sua construção com a origem do ciclo trigonométrico no ponto A e sentido positivo do

arco, complete a tabela corretamente.

SINAL COMPORTAMENTO

QUADRANTE POSITIVO/NEGATIVO CRESCENTE/DECRESCENTE

I

II

III

IV

9. Quando a medida do arco AB se aproxima muito da medida do arco AD e AF, o que acontece com a

reta w?

10. Quais os valores das tangentes dos ângulos de 90º e 270º?

11. Para quais ângulos a tangente vale zero?

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ZABALA, Antoni. Como trabalhar os conteúdos procedimentais em aula. Trad. Ernani F. da Rosa. Porto

Alegre: Artmed, 1999.