cad c1 exercicios 3serie 1opcao 1bim matematica

1. POTENCIAO

DefinioSendo a um nmero real e n um

nmero natural, chama-se potn ciade expoente inteiro o nmero an ou a n assim definido:

PropriedadesSendo a e b nmeros reais, m e

n nmeros inteiros e supondo que ode nominador de cada frao seja di -fe rente de zero, valem para as po tn -cias as seguintes propri e dades:

Observe que, se n 2 e m 2,

ento:

an . am = a . a . ... . a . a . a ... a =

n fatores m fatores

= a . a . a . ... . a =

(n + m) fatores

= an + m, a , n, m

Verifique, substituindo, a vali da de

da propriedade para (n = 0 e m = 0),

(n = 0 e m = 1) e (n = 1 e m = 1).

2. RADICIAO

DefinioSeja a um nmero real e n um

nmero natural no nulo. O nmerox chamado raiz ensima de ase, e somente se, elevado ao ex -poente n, reproduz a.

Simbolicamente:

2. EXISTNCIA (EM )

Se a = 0 e n , ento existeuma nica raiz ensima que o pr -prio zero.

Assim:

Se a estritamente posi -tivo e n par, ento existem duas esomente duas razes ensi mas de a.Estas duas razes so simtricas. A

raiz ensima es trita mente positiva

represen tada pelo smbolo na . A raiz

ensima estri tamente negativa, por

ser simtrica da primeira, re pre sen -

tada pelo smbolo na .

Se a estritamente ne ga -tivo e n par, ento no existe raizensima de a.

Se a e n mpar, entoexiste uma nica raiz ensima de a.Esta raiz ensima tem o mesmo sinalde a e representada pelo smbolo na . Observaes

No smbolona :

o radical;a o radicando;n o ndice da raiz.

Por conveno, na raiz qua -dra da omite-se o ndice.

Escreve-se, por exemplo, 4 em

lugar de24 .

Se a um nmero real po si tivoe n par, ento a raiz ensima po - sitiva de a chamada raiz arit mticade a, sempre existe, nica e re -pre sen tada pelo smbolo

na .

q PropriedadesSendo a e b nmeros reais posi -

tivos e n um nmero natural no nulo,valem as seguintes propriedades:

Observe que:

x = na xn = a y = nb yn = b

xn . yn = a . b (x . y)n = a . b

x . y = nab

na .

nb =

nab,

a *+, n *

3. POTNCIA DEEXPOENTE RACIONAL

q Definio

Sendo a um nmero real positivo,

n um nmero natural no nulo e

um nmero racional na forma ir re du -tvel, define-se:

n0 = 0

x a raiz ensima de a xn = a

Se n 2, entoan = a . a . a . ... a (n fatores)

Se n = 1, ento a1 = a

Se n = 0, ento a0 = 1

Se a 0, ento

1 1an = n

= a an

an . am = an + m

an = an mam

an . bn = (a . b)n

an a = n

bn b

(an)m = an . m

mn

amn =

nam

na .

nb =

nab

na a

= n

, com b 0 nb b

(na )m

= nam, com m

n

ma = nma, com m *

nam =

np

amp, com m e p *

1

FRENTE 1 lgebra

MDULO 1 Potenciao e Radiciao

C1_3oATeo_MAT_Rose_2011 06/11/10 10:27 Pgina 1

q PropriedadesDemonstra-se que todas as pro prie dades vlidas

para as potncias de expoentes inteiros valem tambm

para as potncias de expoentes racio nais.

4. RACIONALIZAO DE DENOMINADORES

Racionalizar o denominador de uma frao significaeliminar todos os radicais (ou potncias de expoen tesfracionrios) que existem no deno mi nador desta, semporm al te rar o seu valor.

2

1. DEFINIO

Fatorar transformar uma soma de duas ou maisparcelas num pro duto de dois ou mais fatores.

2. CASOS TPICOS

1.o Caso: FATOR COMUM

2 .o Caso: AGRUPAMENTO

3.o Caso: DIFERENA DE QUADRADOS

4.o Caso: QUADRADO PERFEITO

5.o Caso: SOMA E DIFERENA DE CUBOS

6.o Caso: CUBO PERFEITO

a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b) . (a b) . (a b) = (a b)3

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)3

a3 + b3 = (a + b) . (a2 ab + b2)

a3 b3 = (a b) . (a2 + ab + b2)

a2 2ab + b2 = (a b) . (a b) = (a b)2

a2 + 2ab + b2 = (a + b) . (a + b) = (a + b)2

a2 b2 = (a + b) . (a b)

ax + bx + ay + by = x(a + b) +

+ y(a + b) = (a + b) . (x + y)

ax + bx = x . (a + b)

MDULO 2 Fatorao

1. INTRODUO

Analisando as sentenas(I) 2 . 6 1 = 13

(II) 2 . 7 1 = 13(III) 2x 1 = 13podemos fazer as seguintes con -

sideraes:

a) A sentena (I) falsa, pois2 . 6 1 = 12 1 = 11 13.

b) A sentena (II) verdadeira,pois 2 . 7 1 = 14 1 = 13.

c) A sentena 2x 1 = 13 no verdadeira nem falsa, pois x, chama -do varivel, pode assumir qualquervalor. Este tipo de sentena umexemplo de sentena aberta.

Toda sentena aberta na for -ma de igualdade chamadaequa o.

d) Substituindo x por 7, a sen -tena aberta 2x 1 = 13 trans for ma-se em 2 . 7 1 = 13, que uma sen - tena verdadeira. Dize mos, en to,que 7 uma raiz (ou uma so luo)da equao 2x 1 = 13.

2. RAIZ, CONJUNTO VERDADE,RESOLUO

Raiz (ou soluo) de umaequao um nmero que trans for -ma a sentena aberta em sen tenaver da deira.

Conjunto verdade (ou con -jun to soluo) de uma equao ocon junto de todas, e somente, as ra -zes.

Resolver uma equao deter - minar o seu conjunto verdade.

Existem processos gerais dere soluo de alguns tipos de equa -

es, particularmente as do 1o. e do2o. grau, que, a seguir, passamos acomen tar.

3. EQUAO DO 1o. GRAU

q Definio

toda sentena aberta, redutvel

e equivalente a , com

a * e b .ExemplosSo equaes do 1o. grau as

senten as abertas 5x 3 = 12 e

= 1.

Resoluo

Notando que ax + b = 0

ax = b x = para a 0,

conclumos que o conjunto verdade

ba

3x2

x + 3

2

ax + b = 0

MDULO 3 Equaes do 1o. e do 2o. Grau


3

da equao V = .

q Discusso

Analisando a equao ax + b = 0,

com a, b , temos as seguintes

hipteses:

a) Para a 0, ax + b = 0

V= (a equao admite uma

nica soluo).

b) Para a = 0 e b 0, ax + b = 0

no tem soluo, pois a sentena

sempre falsa. Neste caso, V = .c) Para a = 0 e b = 0, a equa -

o ax + b = 0 admite todos os n -meros reais como soluo, pois asen tena 0x + 0 = 0 sempre ver -dadeira. Neste caso, V = .

ObservaoSentenas abertas redutveis ao

tipo 0x = 0 so chamadas identida -des. (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 umexem plo de identidade em .

4. EQUAES DO TIPO PRODUTO OU QUOCIENTE

q DefinioSo equaes dos tipos a . b = 0

(produto) ou = 0 (quociente), com

{a; b} .

ResoluoAo resolver equaes destes ti -

pos, lembrar das duas seguintes equi -valncias:

5. EQUAO DO 2o. GRAU

q Definio toda sentena aberta, em x,

redutvel e equivalente a ax2 + bx + c = 0,

com a *, b e c .

Resoluo para o caso

e

ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = 0

x .(ax + b) = 0 x = 0 ou x =

V = 0;

q Resoluo para o caso

e

ax2 + bx + c = 0 ax2 + c = 0

ax2 = c x2 =

V = , se a e c

forem de sinais contrrios, ou V = ,

se a e c forem de mesmo sinal, para

x .

Resoluo para o caso

e

ax2 + bx + c = 0 ax2 = 0

x2 = 0 V = { 0 }

q Resoluo do caso geralUtilizando alguns artifcios,

Bs ka ra verificou que a equao

ax2 + bx + c = 0 equivalente equa o (2ax + b)2 = b2 4ac.

De fato:ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = c

Multiplicando-se ambos os mem -bros desta ltima igualdade por 4a,obtm-se:

ax2 + bx = c

4a2x2 + 4abx = 4acSomando-se b2 aos dois mem -

bros da igualdade assim obtida,resul ta:

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 4ac

(2ax + b)2 = b2 4ac

Assim, representando por odis cri minante b2 4ac, temos:

a) < 0 a equao no temsoluo em .

b) 0 2ax + b =

2ax = b x =

Portanto, sendo V o conjunto ver -dade em , conclui-se que:

q Propriedades

Se 0 e {x1; x2} conjuntoverdade da equao ax2 + bx + c = 0,

com a 0, ento:

cP = x1 . x2 = a

bS = x1 + x2 = a

b + b > 0 V ={; }2a 2a b

= 0 V = {}2a < 0 V =

b

2a

b = 0 c = 0

ca

ca

b = 0 c 0

ba

ba

c = 0 b 0

a = 0 a = 0 e b 0b

a . b = 0 a = 0 ou b = 0

ab

ba

ba

MDULO 4 Equaes Redutveis a 1o. ou 2o. Graus eProblemas

1. OBTENO DE UMAEQUAO A PARTIR DAS SUAS RAZES

Sendo S = x1 + x2 e P = x1 . x2,

ento uma equao do 2o. grau, cujo

conjunto verdade {x1; x2}, ser:

De fato, supondo a 0, temos:

ax2 + bx + c = 0

+ + =

x2 ( ) x + = 0 x2 Sx + P = 0

q Equaes redutveis a 1o. ou 2o. graua) Se a equao estiver na forma

caba

0aca

bxaax2a

x2 Sx + P = 0


4

de produto ou na forma de quo -ciente, ser til uma das seguintesequiva lncias:

b) Se a equao proposta no for

do tipo ax + b = 0 nem ax2 + bx + c = 0,

com a 0, deve-se, se possvel,

1o.) Fatorar e utilizar a equiva -

lncia ab = 0 a = 0 ou b = 0.

2o.) Fazer uma troca de va ri -

veis e procurar recair em 1o. ou 2o. grau.

2. SISTEMAS DE DUASEQUAES E DUASINCGNITAS

Note que , ,

, so algumas

das solues da equao .

Alm disso, , ,

, so algumas das

solues da equao .

O sistema formado pelas equa -

es x + y = 9 e x y = 7, isto ,

, apresenta como

soluo, pois esses dois valo res tor -

nam ver da deiras as duas equa es

simultaneamente.

A soluo de um sistema de duas

equaes e duas incgnitas, x e y,

qual quer par ordenado de va lores

(x; y) que satisfaz ambas as equa -

es.

x = 8y = 1

x + y = 9x y = 7

x y = 7

x = 7y = 0

x = 8y = 1

x = 9y = 2

x = 10y = 3

x + y = 9

x = 1y = 10

x = 10y = 1

x = 8y = 1

x = 1y = 8

a = 0 a = 0 e b 0b

a . b = 0 a = 0 ou b = 0

MDULO 5 Inequaes do 1o. e do 2o. Grau

1. INEQUAO DO 1o. GRAU

DefinioChama-se inequao (desigual -

dade) do 1. grau, na varivel real x,toda sentena que pode ser reduzidaa uma das formas: ax + b > 0 ou ax + b 0 ou ax + b < 0 ou ax + b 0,em que a, b e a 0.

ResoluoResolver, em , uma inequao

do 1. grau determinar o conjuntode todos os valores da varivel x quetornam a sentena verdadeira.

Por ser mais prtico, costumeisolar o x da sentena. Para issoso utilizadas as seguintes proprie -dades da desigualdade em , sendox, y e a nmeros reais:

Exemplos

1) 2x + 10 < 0

2x < 10 x < 5

V = {x x < 5}2) 2x + 10 < 0

2x < 10 x > 5

V = {x x > 5}

3) < 1

<

3x 9 4x + 2 < 12

3x 4x < 12 + 9 2

x < 19 x > 19

V = {x x > 19}

2. INEQUAES DO 2o. GRAU

DefinioChama-se inequao (desigual -

dade) do 2.o grau, na varivel real x,toda sentena que pode ser reduzidaa uma das formas: ax2 + bx + c > 0 ouax2 + bx + c 0 ou ax2 + bx + c < 0 ouax2 + bx + c 0, com a, b, c e a 0.

ResoluoResolver, em , uma inequao

do 2.o grau determinar todos os va -lores da varivel x que tornam asentena verdadeira.

Sendo y = f(x) = ax2 + bx + c (a 0),podemos analisar a variao desinais da funo e chegar soluoda seguinte maneira:

1.o) Determinar as razes reais def, marcando esses valores no eixo x,

das abscissas.

2.o) Esboar o grfico que repre -senta f (parbola) passando por es -ses pontos.

3.o) Assinalar no eixo x os valoresque satisfazem sentena. Se afuno no admitir razes reais, ento f(x) > 0 x para a > 0 ou f(x) < 0 x para a < 0.

ExemploO conjunto soluo da inequao

x2 + 2x 8 0, em , V = {x 4 x 2}, pois, sendof(x) = x2 + 2x 8, temos:

1.o) As razes de f so x1 = 4 e x2 = 2. Como a > 0 (a = 1), ento aparbola tem a concavidade vol ta -da para cima.

2.o) O esboo do grfico de f :

3.o) Para 4 x 2, temos f(x) 0.

1212

3(x 3) 2(2x 1)

12

2x 1

6

x 3

4

x < y x + a < y + a, a

x < y ax < ay, se a > 0

x < y ax > ay, se a < 0


5

MDULO 6 Inequaes Tipo Produto e Quociente

1. INEQUAES PRODUTO E QUOCIENTE

Inequaes-produto so senten -as na varivel real x, que podem serreduzidas a uma das formas:

f(x) . g(x) > 0 ou f(x) . g(x) 0 ou

f(x) . g(x) < 0 ou f(x) . g(x) 0

No caso das inequaes-quo -ciente, ao invs de f(x) . g(x), temos

, com g(x) 0.

ResoluoPara resolver esses tipos de sen -

tenas, pode-se analisar isolada -men te a variao de sinais de f e g.Isso feito interpretando-se oesboo do gr fico de cada uma. Emseguida, cons tri-se um quadro desinais atravs do qual se obtm aresposta.

Como o produto e o quociente dedois nmeros reais no nulos tm omesmo sinal, convm salientar queas inequaes-quociente podem serresolvidas usando-se uma das se -guin tes equivalncias:

Exemplos

1.o) 0

(x + 1) . (x 3) 0 e x 3

x 1 ou x > 3, pois o gr fico

de f(x) = (x + 1) . (x 3) do tipo:

2 .o) 0

(x2 4x + 3) .(x 2) 0 e x 2.

Esboando-se o grfico de f(x) = x2 4x + 3, resulta:

Esboando-se o grfico de g(x) = x 2, resulta:

Construindo o quadro de sinais,temos:

O conjunto verdade, em , daine quao , portanto,

V = {x x 1 ou 2 < x 3}

x2 4x + 3

x 2

x + 1x 3

f(x) > 0 f(x) . g(x) > 0g(x)

f(x) 0 f(x) . g(x) 0 e g(x) 0g(x)

f(x) < 0 f(x) . g(x) < 0g(x)

f(x) 0 f(x) . g(x) 0 e g(x) 0g(x)

f(x)g(x)

MDULO 7 Vrtice da Parbola

b Vrtice o ponto V ; .2a 4a

Eixo de simetria da parbola

bEixo de simetria a reta de equao x = .

2a

Conjunto imagem de f(x) = ax2 + bx + c (a 0)

Im(f) = y y , se a > 0.4a

ou

Im(f) = y y , se a < 0.4a

SINAL DAS RAZES DA EQUAO ax2 + bx + c = 0 (a 0)

Lembrando que se x1 e x2 so razes da equao

do segundo grau ax2 + bx + c = 0, ento:

e ,

temos, para = b2 4ac: 0

x1 > 0 e x2 > 0 P > 0S > 0

0 x1 < 0 e x2 < 0 P > 0

S < 0

x1 e x2 com sinais contrrios P < 0.

cx1 . x2 = P = a

bx1+ x2 = S = a


6

MDULO 8 Funo Exponencial

Definio a funo f : +*, tal que

f(x) = ax, com 0 < a 1.

Domnio =

Conjunto imagem =

= Contradomnio = *+

ExemplosEsboar o grfico da fun o de -

finida em por f(x) = 2x.Resoluo

A funo exponencial de basea > 1 estritamente crescente e con -t nua em . Assim, para f(x) = 2x,temos o esboo:

Esboar o grfico da funo

definida em por f(x) = x

.

Resoluo

A funo exponencial de base

a, com 0 < a < 1, estritamente de -cres cente e contnua em .

Assim, para f(x) = x

, temos

o esboo:

Resumo

A funo exponencial assim defi -

nida :

Concluses

Grficos

Injetora e Sobrejetora

(Bijetora)

Estritamente Crescente,

se a > 1

Estritamente Decrescente,

se 0 < a < 1

12

x1 xf(x) = ()2

6 64

5 32

4 16

3 8

2 4

1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

4 1/16

5 1/32

6 1/64

12

x f(x) = 2x

6 1/64

5 1/32

4 1/16

3 1/8

2 1/4

1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

ax1 = ax2

x1 = x2, se 0 < a 1

ax1 < ax2

x1 < x2, se a >1

ax1 < ax2

x1 > x2, se 0 < a < 1


7

MDULO 9 Logaritmos: Definio e Propriedades

1. DEFINIO EPROPRIEDADES

Dados os nmeros reais estrita -men te positivos a e N, com a 1,chama-se logaritmo de N na base ao expoente a que se deve elevar apara que a potncia obtida seja iguala N.

Simbolicamente

NomenclaturaN o logaritmando ou antilogaritmoa a base. o logaritmo.

Condies de existncialogaN existe se, e somente se:

Consequncias da definioSendo a > 0, a 1, N > 0 e n real,

decorre da definio que:

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo do nmero

N na base a o logaritmo de na

base a.

Em smbolos:

Observao

AntilogaritmoDa nomenclatura apresentada

, decorre que N (logarit-

mando) o antilogaritmo de na

base a.

Em smbolos:

2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Sendo M > 0, N > 0, a > 0 e a 1, valem, para os logaritmos, asseguin tes propriedades:

Observe que:

az = M . N = ax . ay

az = ax + y z = x + y

Portanto,

loga(M . N) = logaM + logaN

MUDANA DE BASE

Sendo N > 0, a > 0, b > 0, a 1e b 1, temos:

Observe que:

(bz)x = N = by

bzx = by z . x = y x = .

Portanto, logaN =

Consequncias

e

satisfeitas as condies de existn -

cia.

xlogby

ax = . logbay

1logba =

logab

logbNlogba

yz

ax = N

by = N

bz = alogaN = x

logbN = y

logba = z

logbNlogaN =

logba

ax = M

ay = N

az = M . N

logaM = x

logaN = y

loga(M . N) = z

loga(M . N) = logaM + logaN

M loga = logaM logaNN

loga(Nm) = m . logaN,m

m log

nNm = . logaN,n

m ,n *

antiloga = N a = N

logaN =

1cologaN = loga = logaNN

1cologaN = loga N

1N

logaa = 1

alogaN = N

loga1 = 0

logaan = n

a 1a > 0N > 0

logaN = a = N

MDULO 10 Funo Logartmica, Equaes e Inequaes

Definio a funo f : *+ , tal que f(x) = logax, com

0 < a 1.

Domnio = *+

Contradomnio = Imagem =

Exemplos

Esboar o grfico da funo definida em *+por f(x) = log2x.


Resoluo

A funo logartmica de base a > 1 estritamente crescente e con -tnua em *+. Assim, para f(x) = log2x,temos o esboo:

Esboar o grfico da funode finida em *+ por f(x) = log1/2x.

Resoluo

A funo logartmica de base a, 0 < a < 1, es tritamente de crescentee contnua em *+. Assim, para f(x) = log1/2x, temos o esboo:

ResumoA funo logartmica, assim defi -

nida, :

Concluses

Grficos

Sinal do Logaritmo

Observao

De fato:

Seja f: *+ a funo bijetora,

tal que f(x) = logax, com a > 0 e a 1.Utilizando a regra prtica para a

determinao de sua inversa, temos1) y = logax;2) x = logay (trocando x por y e y

por x);3) y = ax (isolando y).

Logo, a inversa da funo

f: *+ , tal que f(x) = logax,

f1: *+ definida por f 1(x) = g(x) = ax.

Os grficos de f e f 1 so, por -tanto, simtricos em relao reta deequao y = x(bissetriz dos qua dran - tes mpares).

Sendo 0 < a 1, a funo f: *+ ,tal que f(x) = logax, a inversada funo g : *+, definidapor g(x) = ax.

logax > 0 0 < x < 1

logax < 0 x > 1

Para 0 < a < 1

logax > 0 x > 1

logax < 0 0 < x < 1

Para a > 1

logax1 = logax2

x1 = x2 > 0, se 0 < a 1

logax1 < logax2

0 < x1 < x2, se a > 1

logax1 < logax2

x1 > x2 > 0, se 0 < a < 1

x log1/2x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 1

4 2

8 3

x log2x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 1

4 2

8 3

Injetora e Sobrejetora(Bijetora)

Estritamente crescente se a >1

Estritamente decrescente se 0 < a < 1

8


Considerando f(x) = log2x e

f 1(x) = 2x, temos para alguns valores

de x:

f(1) = log21 = 0 e f1(0) = 20 = 1

f(2) = log22 = 1 e f1(1) = 21 = 2

f(4) = log24 = 2 e f1(2) = 22 = 4

f(8) = log28 = 3 e f1(3) = 23 = 8

f( ) = log2 = 1 ef 1(1) = 21 =

f( ) = log2 = 2 ef 1(2) = 22 =

f( ) = log2 = 3 ef1(3) = 23 =

LOGARITMOS DECIMAIS

Os logaritmos dos nmeros reaispositivos na base 10 denominam-selogaritmos decimais ou vul ga -res ou de Briggs.

NotaoO logaritmo decimal do nmero

N > 0 ser indicado por log10N ou

log N.

PropriedadesAlm das propriedades dos loga -

ritmos, j estuda das, bom lembrar

que:

N > 1 log N > 0

0 < N < 1 log N < 0

log10k = k, k e, assim,

podemos construir as tabelas a

seguir.

Observaes Os logaritmos das potncias

de 10, com expoen tes inteiros, so

iguais aos respectivos expoentes.

Se o nmero real N > 0 estiver

compreendido entre duas dessas

potncias consecutivas, o log N esta -

r entre dois inteiros consecutivos.

Assim, para c , temos:

10c N < 10c+1

log 10c log N < log 10c+1

c log N < c + 1

CARACTERSTICA E MANTISSA

Desta forma, podemos afirmar

que: , com c e

0 m < 1

O logaritmo decimal de N , pois,

a soma de um inteiro (c) com um

nmero decimal (m) no negativo e

menor que 1.

O nmero c , por definio, acaracterstica do log N.

O nmero decimal m , por defi -ni o, a mantissa do log N.

Determinao da caracterstica Regra 1A caracterstica do logaritmo de -

cimal de um nmero N > 1 igual ao

nmero de algarismos da sua parte

inteira menos 1.

Exemplos

Sendo c a caracterstica de

log N, temos:

log 5,213 c = 0

log 52,13 c = 1

log 3592,39 c = 3

Regra 2

A caracterstica do logaritmo de -

cimal de um nmero 0 < N < 1 igual

ao oposto do nmero de zeros que

precedem o primeiro algarismo

diferente de zero.

Exemplos

Sendo c a caracterstica do

log N, temos:

log 0,753 c = 1

log 0,0947 c = 2

log 0,00502 c = 3

Mantissa

A mantissa do log N pode ser

encontrada em tabelas chamadas

TBUAS DE LOGARITMOS.

Vale a seguinte propriedade:

Os logaritmos decimais de dois

nmeros, cujas representaes deci -

mais diferem apenas pela posio da

vrgula, tm mantissas iguais.

log N = c + m

N 1 log N

1 0

10 1

100 2

1000 3

10000 4

0 < N < 1 log N

0,0001 4

0,001 3

0,01 2

0,1 1

18

18

18

14

14

14

12

12

12

9


De fato, em log N = c + m, temos caracterstica c

e mantissa m.

Sendo p , decorre:

log(10p . N) = log 10p + log N = p + (c + m) = (p + c) + m, em

que a ca rac terstica (p + c) e a mantissa m.

Exemplos

log 2 = 0 + 0,3010 = 0,3010

log 20 = 1 + 0,3010 = 1,3010

log 2000 = 3 + 0,3010 = 3,3010

log 0,2 = 1 + 0,3010 = 1,3010 = 0,6990

log 0,02 = 2 + 0,3010 = 2,3010 = 1,6990

ObservaoPara passar um logaritmo negativo para a forma

mista (caracterstica negativa e mantissa positiva),basta somar 1 sua parte decimal e subtrair 1 da suaparte inteira.

Exemplo

log 0,02 = 1,6690 = 1 0,6990

1 + 1

2 + 0,3010 = 2,3010

(forma mista)

10

MDULO 11 Mdulo de um Nmero Real

DEFINIO

O mdulo de um nmero real x

indicado por |x| e assim definido:

Observaes

a) x 0, x

b) Na reta real, o mdulo de umn mero real a distncia daabs cissa desse nmero ori -gem.

AplicaesPara avaliar qual o conjunto de

valores assumidos por uma expres -so, que apresenta mdulo em pelomenos um de seus termos, fre -quen te estud-la suprimindo os si -nais de mdulo, usando a defini o.Assim, a anlise feita em intervalos.

Como exemplo, vamos esboar o

grfico da funo f: , tal que

f(x) = | x + 3| | x 2| .Marquemos na reta numrica os

valores x = 3 e x = 2, que so as

razes de x + 3 = 0 e x 2 = 0, res -pec tivamente.

Desse modo, a reta foi subdivi -

dida nos intervalos ] ; 3], [ 3; 2]

e [2; + [.

a) Para x 3, temos |x + 3| = = x 3 e |x 2| = x + 2.Logo, f(x) = ( x 3) ( x + 2) =

= x 3 + x 2 = 5, cujo

grfico :

b) Para 3 x 2, temos

x + 3 = x + 3 e

x 2 = x + 2.Logo, f(x) = (x + 3) ( x + 2) =

= x + 3 + x 2 = 2x + 1, cujo

grfico :

c) Para x 2, temos x + 3 = x + 3 e x 2 = x 2.

Logo, f(x) = (x + 3) (x 2) =

= x + 3 x + 2 = 5, cujo grfico

:

Portanto, o grfico de f :

x = x se x 0x = x se x 0


11

N101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354N

0000004140792113914611761204123042553278830103222342436173802397941504314447246244771491450515185531554415563568257985911602161286232633564356532662867216812690269907076716072437324

0

2008604920864120615231818209523552601283330543263346436553838401441834346450246544800494250795211534054655587570558215933604261496253635564546551664667396830692070077093717772597340

2

3012805310899123915531847212223802625285630753284348336743856403142004362451846694814495550925224535354785599571758325944605361606263636564646561665667496839692870167101718572677348

3

4017005690934127115841875214824052648287830963304350236923874404842164378453346834829496951055237536654905611572958435955606461706274637564746571666567586848693770247110719372757356

4

5021206070969130316141903217524302672290031183324352237113892406542324393454846984843498351195250537855025623574058555966607561806284638564846580667567676857694670337118720272847364

5

6025306451004133516441931220124552695292331393345354137293909408242494409456447134857499751325263539155145635575258665977608561916294639564936590668467766866695570427126721072927372

6

7029406821038136716731959222724802718294531603365356037473927409942654425457947284871501151455276540355275647576358775988609662016304640565036599669367856875696470507135721873007380

7

8033407191072139917031987225325042742296731813385357937663945411642814440459447424886502451595289541655395658577558885999610762126314641565136609670267946884697270597143722673087388

8

9037407551106143017322014227925292765298932013404359837843962413342984456460947574900503851725302542855515670578658996010611762226325642565226618671268036893698170677152723573167396

9

1004304530828117314921790206823302577281030323243344436363820399741664330448746394786492850655198532854535575569458095922603161386243634564446542663767306821691169987084716872517332

1

TBUA DE LOGARITMOS


12

N555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899N

0740474827559763477097782785379247993806281298195826183258388845185138573863386928751880888658921897690319085913891919243929493459395944594949542959096389685973197779823986899129956

0

2741974977574764977237796786879388007807581428209827483388401846385258585864587048762882088768932898790429096914992019253930493559405945595049552960096479694974197869832987799219965

2

3742775057582765777317803787579458014808281498215828083448407847085318591865187108768882588828938899390479101915492069258930993609410946095099557960596529699974597919836988199269969

3

4743575137589766477387810788279528021808981568222828783518414847685378597865787168774883188878943899890539106915992129263931593659415946595139562960996579703975097959841988699309974

4

5744375207597767277457818788979598028809681628228829383578420848285438603866387228779883788938949900490589112916592179269932093709420946995189566961496619708975498009845989099349978

5

6745175287604767977527825789679668035810281698235829983638426848885498609866987278785884288998954900990639117917092229274932593759425947495239571961996669713975998059850989499399983

6

7745975367612768677607832790379738041810981768241830683708432849485558615867587338791884889048960901590699122917592279279933093809430947995289576962496719717976398099854989999439987

7

8746675437619769477677839791079808048811681828248831283768439850085618621868187398797885489108965902090749128918092329284933593859435948495339581962896759722976898149859990399489991

8

9747475517627770177747846791779878055812281898254831983828445850685678627868687458802885989158971902590799133918692389289934093909440948995389586963396809727977398189863990899529996

9

1741274907566764277167789786079318000806981368202826783318395845785198579863986988756881488718927898290369090914391969248929993509400945094999547959596439689973697829827987299179961

1

TBUA DE LOGARITMOS


13

MDULO 12 Conjuntos Numricos (Aritmtica)

NMEROS NATURAIS

O Conjunto Os nmeros naturais so 0, 1, 2,

3, ... , n, ... e o conjunto formado poresses nmeros chamado conjun -to dos nmeros naturais. indi -ca do por .

Diviso euclidiana em TeoremaSe a e b *, ento existe

um nico par (q, r) de nmeros natu -rais, tais que:

Dispositivo prtico

Se , diz-se que a diviso

exata.

Se , ento: q = 0 e r = a

NMEROS INTEIROS

O Conjunto Os nmeros inteiros so:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...

O conjunto formado por esses n -

me ros chamado conjunto dos n - me ros inteiros. indicado por : = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}

* = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3, ...} =

= {0}

+ = {0, 1, 2, 3, ... } =

+* = {1, 2, 3, ...} = *

* = { 1, 2, 3, ... }

Mltiplo e divisor em DefinioSejam a e b dois nmeros intei ros.

Diz-se que b divisor (ou fator) de a eque a mltiplo de b se, e somente se,existe c inteiro, tal que

Assim, sendo a, b, c nmerosinteiros, temos:

Nmero par e nmero mparUm nmero inteiro a par se, e

somente se, a for mltiplo de 2.Um nmero inteiro a mpar se,

e somente se, a no for mltiplo de 2.

Em smbolos

Os nmeros pares so, portanto0, 2, 4, 6, ... .

Os nmeros mpares so, por -tanto 1, 3, 5, 7, ... .

NMERO PRIMO

Um nmero inteiro p, com p 0,p 1 e p 1, primo se ele pos -sui exatamente 4 divisores inteiros,que so 1, 1, p e p.

Em smbolos:

NMERO COMPOSTO

Um nmero inteiro a, com a 0, a 1 e a 1, composto se eletem mais de 4 divisores inteiros.

Em smbolos:

DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS, TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA

TODO nmero composto podeser decomposto (ou fatorado) numproduto de fatores primos. A menos

da ordem dos fatores e do sinal, taldecomposio nica.

NMERO DE ELEMENTOS DE D(a)

Indicando por D(a) o conjuntodos divisores inteiros e por D+ (a)o conjunto dos divisores naturaisdo nmero inteiro a, temos:1. D(a) = D( a), a 2. D(0) = e D(1) = D( 1) = { 1; 1}

3. Se a *, o nmero de elemen -

tos de D(a) finito. Alm disso, se

a * e se a = p .p . p ... p ,

em que os inteiros p1, p2, p3, ..., pnso os divisores primos naturais de a

e os na turais k1, k2, k3, ..., kn os

respec tivos expoentes, ento:

MXIMO DIVISOR COMUM

DefinioSejam a e b dois inteiros no

simultaneamente nulos. O mxi modivisor comum de a e b o mximoelemento do conjunto [D(a) D(b)].

Representa-se mdc(a, b).

Assim sendo,

MNIMO MLTIPLO COMUM

DefinioSejam a e b dois inteiros no

nulos. O mnimo mltiplo comum dea e b o menor elemento do conjun -to [M*+(a) M*+(b)].

Representa-se mmc(a, b).

Assim sendo,

a mltiplo de b e c.a = b . c b e c so ambos divi -sores (ou fatores) de a.

mmc (a, b) = mn [M*+(a) M*+(b)]

mdc (a, b) = mx [D(a) D(b)]

n [D+ (a)] = = (k1 + 1) (k2 + 1) (k3 + 1) ... (kn +1)

n [D (a)] = = 2 . (k1 + 1) (k2 + 1) (k3 + 1) ... (kn +1)

knn

k33

k22

k11

a 0, a 1, a 1a composton[D(a) ] > 4

p 0, p 1, p 1p primo D (p) = { 1, 1, p, p}

a PAR a M(2) k a = 2k

a MPAR a M(2) k a = 2k + 1

a = b . c

a < b

r = 0

a = b . q + rr < b

b 0q

ar

a = b . q + r e r < b

= {0, 1, 2, 3, ... , n, ... }* = {1, 2, 3, 4, ... , n, ... } = {0}


ObservaesSe a e b so dois inteiros no

nulos, ento:a) Os divisores comuns de a e b

so os divisores do mximo divisorcomum de a e b.

Em smbolos:

b) Os mltiplos comuns, estrita -mente positivos, de a e b so osmltiplos, estritamente positivos, domnimo mltiplo comum de a e b.

Em smbolos:

c)

NMEROS PRIMOS ENTRE SI

DefinioDois nmeros inteiros a e b,

no nulos, so chamados primosentre si se, e somente se, os nicosdivi sores comuns de a e b so 1 e 1 e, consequentemente, se, e so -men te se, mdc(a, b) = 1.

Em smbolos:

Propriedades Dois nmeros consecutivos

quaisquer so primos entre si. Se p e q so primos e p q e

p q, ento p e q so primos entre si. a e b so primos entre si

mmc(a, b) = a . b, a, b *.

Teoremas importantesSe x divide a e x divide b, ento

x divide a b.Simbolicamente

Se x divide a e x divide a b,ento x divide b.

Simbolicamente

Os pares de nmeros inteiros (a, b);(a; a b) e (b; a b) tm o mesmomximo divisor comum.

Simbolicamente

Se p primo e p divide a . b,ento p divide a ou p divide b.

Simbolicamente

Se a divide x, b divide x e, almdisso, a e b so primos entre si, entoa . b divide x.

Simbolicamente

CRITRIOS DEDIVISIBILIDADE

Divisibilidade por 2Um nmero inteiro a divisvel por

2 se, e somente se, o algarismo dasunidades for 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.

Divisibilidade por 3Um nmero inteiro a divisvel

por 3 se, e somente se, a soma deseus algarismos for divisvel por 3.


por 5 se, e somente se, o algarismodas unidades for 0 ou 5.


por 7 se, e somente se, a diferenaentre o nmero que se obtm de asuprimindo-se o algarismo das unida -des e o dobro deste ltimo (algaris modas unidades) for divisvel por 7.


por 11 se, e somente se, sendo x asoma dos algarismos de ordem m-par e y a soma dos algarismos de or-dem par, ento x y divisvel por11.


por 4 se, e somente se, o nmero for-mado pelos algarismos das dezenase das unidades de a (na ordem) fordivisvel por 4.


por 6 se, e somente se, a for divisvelpor 2 e tambm por 3.


por 10 se, e somente se, for divisvelpor 2 e tambm por 5.

Assim sendo, a divisvel por 10se, e somente se, o algarismo dasunidades de a for zero.


por 15 se, e somente se, a fordivisvel por 3 e tambm por 5.

NMEROS DECIMAIS EXATOS

So os que apresentam um n-mero finito de casas decimais nonulas.

Exemplos2357

2,357 = 100075

0,75 = 100

NMEROS DECIMAIS NO EXATOS

So os que apresentam um n-mero infinito de casas decimaisno nulas.

Podem ser

Peridicas (dzimas)Exemplos2,333 ...0,424242 ...3, 52626262 ...0, 73444 ...

No peridicas

Exemplos2,252552555255552

= 3,1415926535

e = 2,71822818284590453

2 = 1,4142

3 = 1,7320

Exemplos Obter as fraes geratrizes

das dzimas peridicas

a) 0,424242 b) 3,5262626

Resoluo

a) 0,424242 ... = =

a D(x) } ab D(x)b D(x)mdc (a, b) = 1

p primo } p D(a) ou p D(b)p D(a .b)

mdc(a; b) = mdc(a; a b) == mdc(b; a b)

x D(a) } x D(b)x D(a b)

x D(a) } x D(a b)x D(b)

a *e b *so primos entre si D(a) D(b) = {1, 1} mdc(a, b) = 1

mdc(a; b) . mmc(a; b) = = a . b, a, b *

M*+(a) M*+(b) = M*+[mmc(a; b)]

D(a) D(b) = D[mdc (a; b)]

1433

4299

14


b) 3,5262626= =

26 35 +

99= =

10

NMEROS REAIS

O Conjunto Um nmero chamado real

quan do inteiro ou decimal. Ocon junto formado por todos os nme -ros reais chamado conjunto dos n -meros reais e representado por .

NOTAES

* = {0}

+ = {x x 0}

*+ = {x x > 0}

= {x x 0}

* = {x x < 0}

NMEROS RACIONAIS ENMEROS IRRACIONAIS

O Conjunto Diz-se que um nmero real x

racional se, e somente se, existemn meros inteiros a e b, com b 0, tais

que x = .

O conjunto formado por todos osnmeros racionais chamado con-junto dos nmeros reais racionais e representado por .

= {x | x = , a , b *}Notar que

TeoremaSejam a e b *. O quo-

ciente (nmero racional) da divisode a por b, ou inteiro, ou deci -mal exato ou decimal noexato pe ri dico.

Consequncia do Teorema

Os nicos nmeros reais que no soracionais so os nmeros deci maisno exatos e no peridi cos. O Conjunto

Diz-se que um nmero real irracional se, e somente se, no

for racional. O conjunto formado portodos os nmeros irracionais cha ma -do conjunto dos nmeros ir -racio nais e representado por .

= {x | x }

Notar que

( ) =

( ) =

Propriedades do fechamento fechado em relao adi -

o (r + s), subtrao (r s), multi pli -

ca o (r . s) e diviso , s 0.

Assim, a soma, a diferena, o

produto e o quo ciente , s 0 dedois n me ros racionais so sempre

racio nais.

no fechado em re la -o adio, subtrao, multiplica -

o e diviso. Assim, a soma, a dife -

ren a, o produto e o quociente de

dois nmeros irracionais nem sempre

so irracionais.

ConclusoDo exposto, sendo r e s nmeros

racionais e e nmeros irracionais,temos

Radical duploSe os nmeros naturais a e b so

tais que

a b + e c = a2 b , ento

a b =

SISTEMAS DE NUMERAO

Ao escrevermos 2495, estamosrepresentando cinco unidades maisnove dezenas mais quatro centenase mais dois milhares. Dessa forma,2495 uma abreviao para

5 . 100 + 9 . 101 + 4 . 102 + 2 . 103.

Em cada nmero, alm do seuprprio valor (valor absoluto),cada algarismo possui um peso(valor relativo) que depende da suaposi o no nmero.

No nmero 2495, tem-se:

Esse tipo de sistema chamadoposicional. O peso de cada alga-rismo depender do lugar, da posi-o que ele ocupa no nmero.

O sistema de numerao posi-cional preponderante o decimal,cujos algarismos so 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8 e 9.

OUTROS SISTEMAS

No sistema de base sete, os al-garismos so 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Numsistema de base b maior que 1, osalgarismos vo de 0 a b1, inclusive(0, 1, ..., b1).

Ao escrevermos (1425)7 =1425(7),estamos, abreviadamente, represen-tando 5 . 70 + 2 . 71 + 4 . 72 + 1 . 73.

costume indicar a base quan -do o sistema no decimal.

algarismo valor absolutovalor

relativo

5 5 5 . 100 = 5

9 9 9 . 101 = 90

4 4 4 . 102 = 400

2 2 2 . 103 = 2000

a c

2a + c

2

r + s r + +

r s r

r . s r . (r 0) .

r (s 0)s

r (r 0)

rs

rs

ab

ab

3491990

35,262626...

10

15


No nmero 1425(7), tem-se:

Assim sendo,1425(7) = 5 + 14 + 196 + 343 = 558

Se a base maior que dez,torna-se necessrio representar osnaturais maiores que nove e menoresque a base por novos smbolos. Umacon ven o utilizar as letras doalfabeto latino a, b, c, ... para indicar o10, 11, 12, respectivamente. Outranota o exis ten te (10), (11), (12),..., que subs ti tuem 10, 11, 12, ...,respec tiva mente.

No sistema duodecimal, basedoze, os algarismos so 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, a e b, estes dois ltimospodendo ser substitudos, na ordem,por (10) e (11).

Representando

15a3b(12) = 15(10)3(11)(12),

estamos abreviando a soma

b . 120 + 3 . 121 + a . 122 + 5 . 123 + 1 . 124.

No nmero 15a3b(12), tem-se

Assim sendo,15a3b(12) = 11 + 36 + 1440 + 8640 + 20736 =

= 30863

MUDANA DE BASE

Como exemplo, vamos examinara representao do nmeroN = 558 = 1425(7) == 5 . 70 + 2 . 71 + 4 . 72 + 1 . 73

Todas as parcelas da soma in -dicada, com exceo da primeira,so divisveis por 7 e, portanto, o pri -meiro coeficiente (o algarismo 5) oresto da diviso de 558 por 7.

De modo anlogo, pode-se con -cluir que, dividindo, sucessivamente,por 7 cada quociente da diviso an te -rior, os restos so (na ordem inver sa)os algarismos do nmero na base 7.

No caso, tem-se

Exemplos1. Escrever o nmero 2134(5) no sis -

tema decimal.Resoluo

2134(5) =

= 4 . 50 + 3 . 51 + 1 . 52 + 2 . 53 =

= 4 + 15 + 25 + 250 = 294

2. Representar o nmero 44687 no

sistema de base 12.Resoluo

Resposta44687 = 21(10)3(11)(12) =

= 21a3b(12)

3. Representar o nmero 425(7) nabase 3.Resoluo

a) 425(7) = 5 . 70 + 2 . 71 + 4 . 72 =

= 5 + 14 + 196 = 215

Resposta 425(7) = 215 = 21122(3)

algarismo valor absolutovalor

relativo

b b (onze) 11 .120 = 11

3 3 3 .121 = 36

a a (dez) 10 .122 = 1440

5 5 5 .123 = 8640

1 1 1 . 124 = 20736

algarismo valor absoluto

valorrelativo

5 5 5 . 70 = 5

2 2 2 . 71 = 14

4 4 4 . 72 = 196

1 1 1 . 73 = 343

44687 1211 3723 12

2 1 a 3 b 3 310 1210 25 12

1 2

558 75 79 7

1 4 2 5 2 11 74 1 7

1 0

b) 215 32 71 3

2 23 3 1 7 3

1 2

16

MDULO 13 Nmeros Complexos: Forma Algbrica

Nmero complexo um par

orde nado (x, y) de nmeros reais.

Representando por o conjunto

dos nmeros complexos, temos

Sendo (a, b) e (c, d) ,definimos em :

Adio(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Multiplicao(a, b) . (c, d) = (ac bd, ad + bc)

(C, +, ) o corpo dos nmeros

complexos.

FORMA ALGBRICA

Decorre da definio que(x, 0) = x, isto , (x, 0) e x so

isomorfos.

Se i = (0, 1), ento i2 = 1

(0, y) = (y, 0) (0, 1) = yi

(x, y) = (x, 0) + (0, y)

(x, y) = x + yi

Nomenclaturaz a notao usual de um ele-

mento de C.x a parte real de z : x = Re(z).yi a parte imaginria de z.y o coeficiente da parte ima-

ginria: y = Im(z).i = (0, 1) a unidade imaginria.y = 0 z = x + yi = x z real.x = 0 z = x + yi = yi z

imaginrio puro.z = a bi chamado conjuga-

do de z.

= {(x, y) x e y }


OPERAES NA FORMA ALGBRICA

Adio: (a + bi) + (c + di) == (a + c) + (b + d) . i

Subtrao: (a + bi) (c + di) == (a c) + (b d) . i

Multiplicao: (a + bi)(c + di) =

= ac + adi + bci + bdi2 =

= (ac bd) + (ad + bc) i

a+bi a+bi cdiDiviso: = =

c+di c+di cdi

(...) + (...)i= =

c2 + d2

(...) (...)= + i

c2 + d2 c2 + d2

com c + di 0

POTNCIAS DE i

sendo n e r {0, 1, 2, 3} o resto

da diviso de n por 4.

Observe que

in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = 0, n .

in = iri3= ii2=1i1= ii0 =1

17

MDULO 14 Nmeros Complexos: Forma Trigonomtrica

Sendo z = x + yi, com x, y ,um nmero complexo, temos

Mdulo de zIndica-se z ou

Define-se

Argumento de z 0Indica-se arg z ou Define-se

1. FORMA TRIGONOMTRICA

Se z = x + yi um nmero com -plexo diferente de zero, ento a for -

ma trigonomtrica de z

Observe que

z = cos + isen z = (cos + i sen )

2. REPRESENTAO GEOMTRICAConsideremos num plano, cha -

ma do Plano de Argand-Gauss ouPlano Complexo, um sistema

de coordenadas cartesianas ortogo - nais xOy e nele, um ponto P decoorde na das x e y. Lembrando que z = (x;y) = x + yi, conclumos queexiste uma correspondncia biunvo -ca entre os pontos do plano e os n me - ros complexos. Em outras palavras,o conjunto dos nmeros com plexospode ser representado geometrica -mente pelos pontos do plano. Oponto P a imagem geomtrica de z ou o afixo de z.

forma

trigonomtrica

forma

algbrica

forma de par

ordenado

z=(x,y)=x+ yi = (cos + i.sen)

z = x + yix = cos y = sen

z = (cos + i sen )

0 < 2

xarg z = cos = ysen =

z = = x2 + y2

MDULO 15 Operaes na Forma Trigonomtrica

Sejam z, z1 e z2 trs nmeros complexos diferentesde zero, tais que:

Multiplicao

Diviso

Potenciao com expoente inteiro

Observe que:

z1 . z2 = [1(cos 1 + i sen 1)] . [2(cos 2 + i sen 2)] =

= (1 . 2) . (cos 1 . cos 2 + i . cos 1 . sen 2 +

+ i sen 1 . cos 2 + i2 sen 1 . sen 2) == (1 . 2) [(cos 1 . cos 2 sen 1 . sen 2) ++ i . (cos 1 . sen 2 + sen 1 . cos 2)] =

= (1 . 2) [cos(1 + 2) + i sen(1 + 2)]

z = (cos + i sen )z1 = 1(cos 1 + i sen 1)z2 = 2(cos 2 + i sen 2)

z1 . z2 = (1 . 2) . [cos (1 + 2) ++ i . sen (1 + 2)] (z1,z2 *)

z1 1 = [cos (1 2) + i . sen (1 2)]z2 2(z1,z2 *)

zn = n . [cos (n) + i . sen (n)](Frmula de Moivre) (n )


18

1. PRIMEIROS CONCEITOS

Conceitos primitivosSe A um conjunto e x um

elemento,

ExemploSeja A o conjunto dos nmeros

naturais maiores que 3 e menoresque 11 e seja B o conjunto formadopelos elementos de A que so pares.Represente os conjuntos A e B, sim -bolicamente:

I enumerando, um a um, osseus elementos;

II caracterizando seus ele -men tos por uma propriedade;

III construindo diagramas deVenn-Euler.

Respectivamente, tm-se:I A = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

B = { 4, 6, 8, 10 }II A = { x | 3 < x < 11 }

B = { x A | x par }III

Conjunto VazioSe, para TODO x, tem-se x A,

diz-se que A o CONJUNTO VAZIO.Usa-se o smbolo para indicar oconjunto vazio.

Exemplo = { x : x um nmero inteiro e

3x + 1 = 2 }

2. SUBCONJUNTO OU PARTE

DefinioSejam A e B dois conjuntos. Se

todo elemento de A tambm ele -mento de B, dizemos que A umSUBCONJUNTO ou PARTE de B eindicamos por A B.

Em smbolos:

Exemplo{ 1; 3 } { 1; 2; 3 }

ConsequnciasI) A, A AII) A, AExemplo{ 5; 6 } { 5; 6 } { 5; 6 }

3. IGUALDADE DE CONJUNTOS

DefinioSejam A e B dois conjuntos.

Dize mos que A igual a B e in -dicamos por A = B se, e somente se,A subconjunto de B e B tambmsubconjunto de A.

Em smbolos:

Exemplo{ 2, 2, 2, 4 } = { 4, 2 }, pois

{ 2, 2, 2, 4 } { 4, 2 } e

{ 4, 2 } { 2, 2, 2, 4 }

Propriedades da inclusoI) Reflexiva

A, A AII) Antissimtrica

A, B, A B e B A A = B

III)Transitiva

A,B, C, A B e B C A C

Propriedades da igualdadeI) Reflexiva

A, A = AII) Simtrica

A, B; A = B B = AIII)Transitiva

A, B, C; A = B e B = C A = C

4. CARACTERSTICAS GERAIS DOS CONJUNTOS

Se A um conjunto e x um ele -mento, ento:

5. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

DefinioDado um conjunto A, podemos

cons truir um novo conjunto formadopor todos os subconjuntos (partes)de A. Esse novo conjunto chama-seCONJUNTO DOS SUBCONJUNTOS(ou das partes) de A e indicadopor (A).

Em smbolos:

ExemploA = { 1, 2, 3 }

(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 },

{ 1, 3 }, { 2, 3 }, A }

TeoremaSe A tem k elementos, ento (A)

tem 2k elementos.

(A) = { x x A }

x (A) x A

x, x {x} A, A {A} {}

A, A A A, A A A, A x, x

A = B A B e B A

A B A B ou B A

A B (x),(x A x B)A B (x), (x A e x B)

A = x, x A

x A significa x elemento de A

x A significa x no elemento de A

FRENTE 2 lgebra

MDULO 1 Definio e Propriedades de Conjuntos


19

6. REUNIO OU UNIO

Dados dois conjuntos A e B, cha -ma-se REUNIO (ou UNIO) de A eB, e se indica por A B, ao conjuntoformado pelos elementos de A ou deB.

Em smbolos

Exemplo

{ 2, 3 } { 4, 5, 6 } = { 2, 3, 4, 5, 6 }

7. INTERSECO

Dados dois conjuntos A e B,

chama-se INTERSECO de A e B, e

se indica por A B, ao conjunto

formado pelos elementos comuns de

A e de B.

Em smbolos

Exemplo

{ 2, 3, 4 } { 3, 5 } = { 3 }

Observao

Se A B = , dizemos que A e

B so CONJUNTOS DISJUNTOS.

8. SUBTRAO

Dados dois conjuntos A e B,cha ma-se DIFERENA entre A e B, ese indica por A B, ao conjuntoformado pelos elementos que sode A e no so de B.

Em smbolos

O conjunto A B tambm co -

nhe cido por CONJUNTO COM -

PLEMENTAR de B em relao a A e,

para tal, usa-se a notao AB.

Portanto:

AB = A B = { x | x A e x B}

Exemplo

A = { 0, 1, 2, 3 } e B = { 0, 2 }

AB = A B = { 1, 3 } e

BA = B A =

Se X S, indicaremos por X o

CONJUNTO COMPLEMENTAR de X

em relao a S.

Portanto:

Exemplo

Seja S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Ento:

A = { 2, 3, 4 } A = { 0, 1, 5, 6 }

Propriedades

Sejam A e B subconjuntos de S

e A

= SA e B

= SB

I) AA =

II) A = A

III) A B

= A

B

IV) A B

= A

B

V) A A

= S

VI) A A

=

VII) A==

= A

VIII) A B B

A

9. NMERO DE ELEMENTOSDE UM CONJUNTO FINITO

Seja A um conjunto com um n -mero finito de elementos. Indicare -mos por n(A) o nmero de elementosde A. Sejam A e B dois conjuntosquais quer. Valem as seguintes pro -prie da des:

n(A B) = n(A) n(A B)

B A n(A B) = n(A) n(B)

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

A B = n(A B) = n(A) + n(B)

n(A) = k n [ (A) ] = 2kX S X

= S X = SX

A B = { x | x A e x B }

A B = { x x A e x B }

A B = { x | x A ou x B }


20

1. PRODUTO CARTESIANO

Par ordenadoO conceito de PAR ORDENADO

PRIMITIVO. A cada elemento a e acada elemento b est associado umnico elemento indicado por (a; b) echamado PAR ORDENADO, de talforma que se tenha:

(a; b) = (c; d) a = c e b = d

Dado o PAR ORDENADO (a; b),diz-se que a o PRIMEIRO ELEMEN -TO e b o SEGUNDO ELEMENTOdo par ordenado (a; b).

Produto cartesianoDados dois conjuntos A e B, cha -

ma-se PRODUTO CARTESIANO de Apor B, e indica-se por A x B, ao con -junto formado por todos os PARESOR DENA DOS (x; y), com x A e y B.

Em smbolos

Se A = ou B = , por definio,A x B = e reciprocamente.

Em smbolos

Nota: Se A = B, em vez de A x A,escre veremos A2.

Representao grfica doproduto cartesianoO PRODUTO CARTESIANO de

dois conjuntos no vazios pode serre pre sentado graficamente por DIA -GRAMAS DE FLECHAS ou por DIA -GRAMAS CARTESIANOS.

Por exemplo, se A = {1, 2, 3} e B = {2, 3}, ento A x B = {(1, 2), (1, 3),(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3,3)}, cujas repre -sentaes podem ser dadas por:

I) Diagrama de flechasConsideramos de um lado o

conjunto A e de outro de B e repre -sen tamos cada PAR OR DENADO poruma FLECHA, ado tan do a seguinteconveno: a flecha parte do pri mei -

ro elemento do par ordenado e che -ga ao segundo. Assim:

II)Diagrama cartesianoTomamos dois eixos ortogonais e

representamos sobre o eixo horizon -tal os elementos de A e sobre o eixovertical os elementos de B.

Traamos, por estes elementos,paralelas aos eixos considerados.

As interseces dessas para le -las representam, assim, os pares or -de nados de A x B.

Nmero de elementos deum produto cartesianoTeorema: Se A tem m ele -

mentos e B tem k elementos, ento A x B tem m.k elementos.

2. RELAO BINRIA

DefinioDados dois conjuntos A e B,

chama-se relao binria de Aem B a qualquer subconjunto fde A x B.

Ento:

Representao grfica de uma relaoSendo a RELAO BINRIA um

conjunto de pares ordenados, pode -mos represent-lo graficamente comoj o fizemos com o produto cartesiano.

ExemploSe A = , B = e

f = {(x ; y) 2 |y = x + 2}, ento f = {...(0, 2),( 2, 0), (1, 3), ( 1,1), ... } 2e o grfico de

f no plano euclidiano (cartesiano)

uma reta que passa por dois desses

pontos.

3. FUNES

DefiniesSeja f uma RELAO BINRIA

DE A EM B. Diz-se que f uma APLI -CAO DE A EM B ou que f umaFUNO DEFINIDA EM A COM VA -LO RES EM B se, e somente se:

I) TODO x A se relaciona comALGUM y B.

II) CADA x A que se relaciona,relaciona-se com um NICO y B.

Se (x, y) f, ento y se chamaIMAGEM DE x PELA APLICAO fou, ainda, VALOR DE f EM x e, emambos os casos, indicaremos estefato por y = f(x) [l-se: y imagemde x por f ou y valor de f em x].

f uma RELAO BINRIA DE A EM B f A x B

A = ou B = A x B =

A x B = { (x; y) | x A e y B }

MDULO 2 Produto Cartesiano, Relao Binria e Funo


21

Seja f a funo definida em *

com valores em *, tal que y = , ou

seja, f(x) = .

Portanto:

f = {(x; y) * x * | y = }

a imagem de 2 por f f(2) =

a imagem de 1 por f f( 1) =

= = 1

a imagem de x + 3 por f f(x + 3) =

=

f(x + h) =

4. DOMNIO, CONTRADO M -NIO E IMAGEM DE UMAFUN O

Se f uma APLICAO ou FUN -O de A em B, ento:

I) O conjunto de partida A passaa ser chamado DOMNIO DA APLI -CAO f e indicado por D(f).

Assim: D(f) = A

II) O conjunto de chegada B serchamado CONTRADOMNIO DAAPLI CAO f e denotado por CD(f).Logo, CD(f) = B.

III)O conjunto de todos os ele -

mentos y de B para os quais existe,

pelo menos, um elemento x de A, tal

que f(x) = y, denominado IMAGEM

DA APLICAO f e in dicado por

lm(f).

Assim:

Pela prpria definio de Im(f)de cor re que:

Sejam A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4,

6, 8} e seja f a funo de A em B, tal

que y = 2x, ou seja, f(x) = 2x. Ento:

f = {(x; y) AxB | y = 2x} == {(x, f(x)) AxB | f(x) = 2x}f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}

D(f) = A = {1, 2, 3}

CD(f) = B = {0, 2, 4, 6, 8}

Im(f) = {2, 4, 6} CD(f)

Notaes

Indicaremos uma APLICAO f

DE DOMNIO A e CONTRADOMNIO

B por uma das notaes:

ff : A B ou A B

Quando no houver dvidas sobre

o DOMNIO, o CONTRADO MNIO e a

definio de f(x), num elemento qual -

quer x do DOMNIO de f, usaremos a

notao: f : x f(x): [l-se "f associa a

cada x D(f) o elemento f(x) CD(f)" ].

5. REPRESENTAOGRFICA DE UMA FUNO

I) Diagramas de flechasUma RELAO f DE A EM B

uma FUNO se, e somente se, cadaelemento x de A se relaciona com umnico elemento y de B, o que equivaledizer que: "de cada ele mento x de Aparte uma nica flecha".

II) Diagrama cartesiano (Grfico)

Seja f uma RELAO BINRIADE A EM e consideremos oseu GRFICO CARTESIANO.

Ento, f uma FUNO DEFI -NIDA em A COM VALORES EM se,e somente se, toda reta paralela aoeixo Oy, que passa por um ponto de abscissa x A, "corta" o grfico fnum nico ponto.

Portanto, a RELAO f de A EM NO FUNO se, e somentese, existe, pelo menos, uma retaparalela ao eixo Oy que passa por umponto de abscissa x A e tal que ouintercepta o grfico em mais de umponto, ou no o intercepta.

Por exemplo, no grfico III, a retaparalela ao eixo Oy passando peloponto de abscissa 2 A no interceptao grfico f, logo f no FUNO de -finida em A com valores em . Noentanto, se restringirmos A ao conjuntoA' = {x 3 x < 2 ou 2 < x 6},ento a RELAO DE A' EM umaFUNO.

1x1x

1x

12

1 1

Im(f) = {y B x A tal que y = f(x)}

1x + h

1x + 3


22

9. EXEMPLOS

Sejam as funes f; , tal que f(x) = x2 e g: +, talque g(x) = x2.

D(g) =

CD(g) = +Im(g) = {y = x2, com x } = +

D(f) = CD(f) =

Im(f) = {0, 1, 4, 9, } = {y = n2, com n }

III) Domnio e imagem atravs do grfico

Um outro problema comum oda determinao do DOMNIO e daIMAGEM DE UMA FUNO f pelogrfico. De acordo com as de fi niese comentrios feitos at aqui, dado ogrfico de uma FUN O f, temos:

D(f) conjunto de todas asabs cissas dos pontos do eixotais que as retas verticais por elestra a das interceptam o grfico de f.

Im(f) o conjunto de todasas ordenadas dos pontos do eixoOy tais que as retas horizontais

por eles traadas interceptam o gr -fico de f.

Em outras palavras: D(f) o conjunto de todos

os pontos do eixo Ox que soob tidos pelas projees dospon tos do grfico de f sobre oreferido eixo.

Im(f) conjunto de todos ospontos do eixo Oy que so ob -tidos pelas projees dos pon -tos do grfico de f sobre o re -fe rido eixo.

6. CONVENES

A funo f de A em B fica deter -minada se especifi carmos o domnioA, o contradomnio B e o subconjuntof de A x B que satisfaz as proprie -dades que definem a funo. Emgeral, o subconjunto f de A x B subs titudo pela sentena aberta deduas variveis que o define (y = f(x)).

Quando dissermos "considere -mos a funo definida por y = f(x)" ou"seja a funo tal que x f(x)", ficaconvencionado, salvo meno emcontrrio, que o contradomnio eo domnio de f o "mais amplo" sub -con junto de , para o qual temsentido a sentena aberta y = f(x).

7. EXEMPLO

Seja a funo f definida por

f(x) = . Como no foi men -

ciona do o contradomnio, subenten -

de-se que B = CD (f) = .

Se , ento x 3 0 e

x 2 0, pois em no se define adiviso por zero e a raiz quadradaaritmtica s tem sen tido se o radi -cando for maior ou igual a zero.Assim, A = D(f) = {x | x 2 e x 3} e a imagem Im(f) = {y B | x A, talque y = f(x)}.

8. DOMNIO E IMAGEM PELO GRFICO

O domnio D(f) o conjunto detodos os pontos do eixo Ox que soobtidos pelas projees dos pontosdo grfico de f sobre o referido eixo.

A imagem Im(f) o conjunto detodos os pontos do eixo Oy que soobtidos pelas projees dos pontosdo grfico de f sobre o referido eixo.

x 2

x 3

x 2

x 3


23

1. FUNO SOBREJETORA

Uma funo f : A B sobreje -tora se, e somente se, para todoelemento y de B existe pelo menosum elemento x de A, tal que y = f(x).

Assim, f : A B SOBRE JETORA Im(f) = CD (f).Quanto representao grfica: f : A B sobrejetora se, e

somente se, todo elemento y B atingido por pelo menos uma flecha.

f : A B sobrejetora se, esomente se, a reta paralela ao eixoOx, passando por todo ponto deordenada y B, intercepta o grficode f pelo menos uma vez.

ExemploSe A = {1, 1, 2, 3}, B = {1, 4, 9, 10}

e C = {1, 4, 9}, ento a funo f : A B,definida por y = f(x) = x2, no so -bre jetora e a funo g : A C,definida por y = g(x) = x2, sobre -jetora.

D(f) = ACD(f) = BIm(f) = {1, 4, 9} CD(f)

D(g) = ACD(g) = C = Im(g)

2. FUNO INJETORA

Uma funo f : A B injetorase, e somente se, elementos dis -tintos de A tm imagens dis tintasem B.

f :A B INJETORA (x, x' A), (x x' f(x) f(x')), ou, ainda,f : A B INJETORA

(x, x' A), (f(x) = f(x') x = x').

Nos diagramas de flechas e nosgrficos cartesianos:

f : A B injetora se, e so -mente se, cada elemento y B atin gido no mximo por uma fle cha.

f : A B injetora se, e so -mente se, a reta paralela ao eixo Ox,passando por cada ponto de orde -nada y B, intercepta o grfico de f,no mximo, uma vez.

ExemploSe A = {1, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}

e C = {1, 4, 9, 10}, ento a funo f : A C, definida por y = f(x) = x2,no injetora e a funo g : B C,definida por y = g(x) = x2, injetora.

f(1) = f(1) e 1 1

g(1) g(2)g(2) g(3)g(1) g(3)

3. FUNO BIJETORA

Uma funo f : A B bijetorase, e somente se, f sobrejetora einjetora, ou, em outras palavras, separa cada elemento y B existe umnico elemento x A, tal que y = f(x).

Assim: f : A B BIJETORA f : A B SOBREJETORA EINJETORA.Quanto representao: f : A B bijetora se, e so -

mente se, cada elemento y B atin gido por uma nica flecha.

f : A B bijetora se, e so -mente se, a reta paralela ao eixo Ox,passando por cada ponto de or de -

nada y B, intercepta o grfico de fuma nica vez.

ExemploSe A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 9},

ento a funo f : A B, definidapor y = f(x) = x2, bijetora.

Sejam A , f : A uma fun -o e x1 e x2 dois elementos quais -quer do intervalo [a, b] A.

4. FUNO ESTRITAMENTE CRESCENTE

Uma funo f : A uma fun -o estritamente crescente em[a, b] se, e somente se, x1 < x2 f(x1) < f(x2).

5. FUNO ESTRITAMENTEDECRESCENTE

Uma funo f : A uma fun -o estritamente decrescen teem [a, b] se, e somente se, x1 < x2 f(x1) > f(x2).

ExemploA funo f : , tal que

f(x) = x2, no monotnica, pois estritamente decrescente em e estritamente crescente em +.

A funo f : + , tal quef(x) = x2, estritamente crescente.

MDULO 3 Propriedades de uma Funo


A funo f : {x x > 1} ,tal que f(x) = x2, estritamente cres -cente.

A funo f : , tal que f(x) = x2, estritamente decrescente.

6. FUNO CRESCENTE

Uma funo f : A B cres -cente em [a, b] se, e somente se,

x1 < x2 f(x1) f(x2).

7. FUNO DECRESCENTE

Uma funo f : A B decres -cente em [a, b] se, e somente se,

x1 < x2 f(x1) f(x2).

8. FUNO CONSTANTE

Uma funo f : A B cons -tante em [a, b] se, e somente se,

f(x1) = f(x2), x1, x2 [a, b].

ExemploSeja f : a funo defi ni da

por: 2x + 2, se x 1

f(x) = 4, se 1 < x < 32x 2, se x 3

f no monotnica.

f CRESCENTE em

[1; + [, por exemplo.

f DECRESCENTE em

] ; 2], por exemplo.

f CONSTANTE em

[ 1; 3], por exemplo.

A funo f:{x / x > 1} ,

tal que f(x) = ,

cres cente.

A funo f : {x / x 3} ,tal que f(x) = 2x 2, estritamentecres cente.

A funo f : {x / x 1} ,tal que f(x) = 2x + 2, estrita men tedecrescente.

A funo f : {x / x < 3} ,

tal que f(x) = ,

decrescente.

A funo f : , definida

por f(x) = 4, constante.

9. FUNO PAR

Seja A um subconjunto de .Uma funo f : A par se,

e somente se, f ( x) = f(x), para todox A.

Assim,f : A PAR f(x) = f(x), x A

O grfico de uma funo par simtrico em relao ao eixo Oy.

ExemploSeja f : a funo, tal que

f(x) = cos x (Funo cosseno).

Temos:f(x) = cos x = OMf(-x) = cos( x) = OMAssim, f( x) = f(x), x .Logo, f uma FUNO PAR.

10.FUNO MPAR

Seja A um subconjunto de .Uma funo f : A m par se,

e somente se, f(x) = f(x), para to -do x A.

Assim,

f : A MPAR f(x) = f(x), x A

O grfico de uma funo mpar simtrico em relao origem dosistema de coordenadas.

ExemploSeja f : a funo, tal que

f(x) = sen x (Funo seno).

Temos:

f(x) = sen x = OM

f( x) = sen( x) = OM'

Como|OM|= |OM'| e OM = OM',ento f( x) = f(x), x .

Logo, f uma FUNO MPAR.

2x + 2, se x 14, se 1 < x < 3

4, se 1 < x < 32x 2, se x 3

24


1. FUNO COMPOSTA

Sejam f : A B e g : B C duasfunes.

Chama-se composta de g com f funo h : A C, tal que h(x) = g[f(x)].

Sejam f : M N e g : L M.Chama-se composta de f com g

funo h : L N, tal que h(x) = f[g(x)].

Seja f : A A.Chama-se composta de f com f

funo h : A A, tal que h(x) = f(f(x)).

Seja g : B B.Chama-se composta de g com g

funo h : B B, tal que h(x) = g(g(x)).

ExemploSejam f : e g : duas

funes definidas por f(x) = x + 1 e

g(x) = x2 + 3. claro que neste caso

esto definidas as funes compos -

tas gof, fog, gog e fof e, alm disso:gof : , fog : , gog : , fof : .Assim sendo, (gof) (x) = g[f(x)] =

= (f(x))2 + 3 == (x + 1)2 + 3 == (x2 + 2x + 1) + 3 == x2 + 2x + 4, x

(fog)(x) = f[g(x)] == g (x) + 1 == x2 + 4, x

(fof) (x) = f[f(x)] == f(x) + 1 = x + 2, x

(gog) (x) = g[g(x)] == (g(x))2 + 3 = (x2 + 3)2 + 3 = = (x4 + 6x2 + 9) + 3 == x4 + 6x2 + 12, x

gof:

(gof) (x) = x2 + 2x + 4; x

fof:

(fof)(x) = x + 2, x

fog:

(fog)(x) = x2 + 4, x

gog:

(gog)(x) = x4+6x2 +12, x

25

11.FUNO PERIDICA

Seja A um subconjunto de . Definio

Uma funo f : A PERI-

DICA se, e somente se, EXISTE

p *, tal que f(x + p) = f(x), para

todo x em A.

PropriedadeSe f(x + p) = f(x), para todo x em

A, ento f(x + k . p) = f(x), para todox em A, em que k Z*.

PerodoSe f uma FUNO PERI DI -

CA, ento o MENOR valor ES TRI -TAMEN TE POSITIVO de p chama-sePERO DO DE f e indicado por P(f).

12.FUNO LIMITADA

Seja A um subconjunto de .

Se f : A uma FUNO LI -

MI TADA, ento EXISTE M *+, tal

que |f(x)| M, para todo x em A ereci procamente.

MDULOS 4 e 5 Funo Composta e Funo Inversa


2. FUNO INVERSA

Seja f : A B uma funo.Se existir uma funo g : B A,

tal que: gof = idA fog = idB

dizemos que g : B A a fun oinversa da funo f : A B e se in -dica por f 1.

y = f(x) x = f 1 (y)

3. TEOREMA

f : A B inversvel f bijetora.

4. PROPRIEDADES

f 1of = idA fof1 = idB fog = idB e gof = idA g = f

1

(fog)1 = g1of1

Os grficos de f e f 1 so sim -tri cos em relao bissetriz dosquadrantes mpares (1. e 3.).

5. REGRA PRTICA

Dada uma funo bijetora f :A B,a sua funo inversa ser a funof1: B A, cuja sentena assim ob -tida:

1.) substitui-se, na sentena def, f(x) por y;

2.) isola-se x num dos membros;3.) substitui-se na nova sentena

x por f 1(y).

ExemploConsideremos a funo f :

, definida por f(x) = 3x 3. Como f bijetora, ela inversvel. Determi ne -mos a sua funo inversa.

Pela REGRA PRTICA, temos:

f1 : e, alm disso:

f(x) = 3x 3 y = 3x 3

y + 3 = 3x x =

f1(y) =

Portanto,

f 1 :

f 1(y) =

ou, ainda:

f 1 :

f 1(x) =

Notemos que os grficos def e f 1 so simtricos em relao bissetriz do 1. e 3. quadrantes(grfico da funo identidade id).

Faamos, agora, a construodos grficos de f e de f 1 num s sis -tema de coordenadas cartesianas:

Consideremos a funo

g : +, definida por g(x) = x2.

Como g bijetora, ela inversvel.

Determinemos a sua funo inversa.

Pela REGRA PRTICA, temos:

g1 : +

e alm disso:

g(x) = x2 y = x2

x = y g1(y) = y

Portanto,g1 : + g1(y) = y

ou, ainda:

g1 : + g1(x) = y

Notemos que os grficos de g e

g1 so simtricos em relao

bissetriz do 1. e 3. quadrantes

(grfico da funo identidade id).

Faamos, agora, a construo

dos grficos de g e g1 num s siste -

ma de coordenadas cartesianas.

Observemos que

(1, 1) g (1, 1) g1

D(g) = Im(g1) e D(g1) = Im(g)

x + 3

3

y + 3

3

y + 3

3

y + 3

3

f : f 1 :

f(x) = 3x 3x + 3

f 1(x) = 3

g : g1 : +

g(x) = x2 g1(x) = x

26


1. DEFINIO DE SEQUNCIAS

Chama-se SEQUNCIA DE N -ME ROS REAIS, ou, simplesmente,se quncia real, a qualquer funof de * em .

f : *

n f(n) = an

Notaesf = (an) = (a1, a2, a3, , an, )

Os nmeros reais a1, a2, a3, ,an, so chamados TERMOS dasequncia.

2. LEIS DE FORMAO

Termo em funo da posioExpressa an em funo de n.Exemplo

Determine o domnio, o contra do -

mnio e a imagem da sequncia

f : * , tal que f(n) = an = (1)n+1.

Se (an) = (a1, a2, a3,, an, ) =

= (1; 1; 1;(1)n+1,), ento:

D(f) = *, CD(f) = , lm(f) = {1, 1}.

Lei de recorrnciaFornece o 1.o termo a1 e expressa

um termo qualquer an+1 em funo

do seu antecedente an.

Exemplo

Determine o domnio, o contra do -

m nio e a imagem da sequncia

f : * , tal que a1 = 2 e an+1 = an+ 2n.

Se (an) = (a1, a2, a3, , an,) == (2, 4, 8, 14, 22, ), ento:

D(f) = *, CD(f) = ,

lm(f) = {2, 4, 8, 14, 22,}.

3. CLASSIFICAO DAS SEQUNCIAS

Sequncias monotnicas1. (an) ESTRITAMENTE CRES -

CENTE se, e somente se,

an < an+1, n *.

2. (an) CRESCENTE se, e so -

mente se, an an+1, n *.

3. (an) ESTRITAMENTE DE CRES -

CENTE se, e somente se,

an > an+1, n *.

4. (an) DECRESCENTE se, e

so mente se, an an+1, n *.

5. (an) CONSTANTE se, e so -

men te se, an = an+1, n *.

Sequncias alternantesUma sequncia (an) ALTER-

NANTE se, e somente se, (an) NO

MONOTNICA.

4. DEFINIO DE P.A.

Sejam a e r dois nmeros reais.

Chama-se PROGRESSO ARITM -

TICA (P.A.) a SEQUNCIA f = (an), tal

que

ou seja,

(an) = (a, a + r, a + 2r, a + 3r, ...).

O nmero real r chama-se RAZO

da P.A.

Segue da definio que:

Assim,

r = a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = ...

Exemplos

(an) = ( 10, 8, 6, 4, ...)

uma P.A. de razo 2.

(an) = (10, 8, 6, 4,...) uma P.A.

de razo 2.

(an) = (10, 10, 10, 10, ...) uma

P.A. de razo 0.

5. CLASSIFICAO

Se (an) uma P.A., ento:

(an) estritamente crescente

r > 0

(an) estritamente decrescen -

te r < 0

(an) constante r = 0

6. TERMO GERAL DE UMA P.A.

Pela definio de P.A., podemosconcluir que:

Se an e am so dois termos quais -

quer de uma P.A., ento:

ExemploNa progresso aritmtica

(an) = (5, 8, 11, ...), o dcimo termo

pode ser obtido por:

a10 = 5 + 9 . 3 = 32

ou

a10 = 11 + 7 . 3 = 32

a10 = a3 + (10 3) . ra3 = 11 e r = 3

a10 = a1 + (10 1) . ra1 = 5 e r = 3

an = am + (n m) . r

an = a1 + (n 1) . r

r = an + 1 an, n *

a1 = aan + 1 = an + r, n *,

27

MDULO 6 Sequncias, Classificao e Termo Geral da P.A.


1. TERMOS EQUIDISTANTESDOS EXTREMOS

DefinioDois termos so chamados equi -

distantes dos ex tremos se o nmero

de termos que precede um deles

igual ao nmero que sucede o outro.

a1,............, ap,..........., ak,............, an

(p 1) termos (n k) termos

Se ap e ak so termos equidis -

tantes, ento:

p 1 = n k

TeoremaA soma de dois termos equi -

dis tantes dos extre mos igual soma dos extremos, isto ,

2. PROPRIEDADE DAPROGRESSO ARITMTICA

Cada termo de uma P.A. a

MDIA ARITMTICA entre o termo

anterior e o posterior.

Seja a P.A.:

(a1, a2, a3, ..., ap1, ap, ap+1, ...),

ento:

3. SOMA DOS PRIMEIROS nTERMOS DE UMA P.A.

TeoremaSe (an) uma P.A. e Sn a SOMA

DOS PRIMEIROS n termos de (an),

ento:

(a1 + an) . nSn = 2

ap 1 + ap + 1ap =

2

ap + ak = a1 + an

p + k = 1 + n

28

1. DEFINIO

Sejam a e q dois nmeros reais.Chama-se PRO GRESSO GEO -M TRICA (P.G.) a SEQUNCIA f = (an), tal que:

a1 = aan + 1 = an . q, n *Portanto:

(an) = (a, aq, aq2, aq3,...)

O nmero real q chama-se RA -ZO DA P.G.

Segue da definio que, se

a1 0 e q 0, ento:

an + 1q = , n *

ana2 a3 a4Assim, q = = = = ...a1 a2 a3

2. CLASSIFICAO

Se (an) uma P.G., ento:

(an) ESTRITAMENTE CRES -

CENTE

a1 > 0 e q > 1

oua1 < 0 e 0 < q < 1

(an) ESTRITAMENTE DE -

CRES CENTE

a1 > 0 e 0 < q < 1

oua1 < 0 e q > 1 (an) CONSTANTE q = 1 e

a1 0

(an) SINGULAR a1 = 0 ou

q = 0

(an) ALTERNANTE a1 0

e q < 0

3. TERMO GERAL DE UMA P.G.

Pela definio de P.G., podemos

concluir que:

Se an e am so dois termos quais -

quer de uma P.G. NO SINGULAR,

ento:

Exemplo

Na P.G. (an) = (1, 2, 4, 8, ...), o

dcimo termo pode ser obtido por:

a10 = a1.q10 1

a10 = 1 . 29 = 512a1 = 1 e q = 2ou

a10 = a4.q10 4

a10 = 8 . 26 = 512a4 = 8 e q = 2

an = am . qn m

an = a1 . qn 1

MDULO 7 Propriedades e Soma dos Termos da P.A.

MDULO 8 Definio, Classificao e Termo Geral da P.G.


1. TERMOS EQUIDISTANTES

O produto de dois termosequidis tantes dos extre mos igualao produto dos extremos.

com p + k = 1 + n

2. MDIA GEOMTRICA

Cada termo de uma P.G., a partir

do segundo, a MDIA GEOM TRI -

CA entre o termo anterior e o pos -

terior.Seja a P.G.:

(a1, a2, ..., ap 1, ap, ap + 1...)

Ento:

Exemplo

Se (an) = (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,

128, 256, ...) uma P.G., ento

a1 . a9 = a2 . a8 = a3 . a7 = a4 . a6 = a52 ,

pois 1 . 256 = 2 . 128 = 4 . 64 =

= 8 . 32 = 162

3. PRODUTO DOS nPRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.

TeoremaSe (an) uma P.G. e Pn

PRODUTO DOS n PRI MEI ROS TER -

MOS, ento:

ObservaoA frmula acima nos permite cal -

cular o mdulo do produto; paraobter o sinal de Pn, basta analisar osinal dos termos.

Exemplo

Na P.G. (an)=(1,3,9, 27, 81,),

o produto dos 8 primeiros ter mos

328, pois:

q = = = 3

a8 = a1 . q7 a8 = 1.(3)

7 = (1) . 37

|P8| = (a1 . a8)8 =

= (1. (1).37)8 = 356 |P8| = 328

Dos 8 termos, 4 so estritamente

positivos e 4 so estritamente nega -

tivos. Assim, como a quantidade dos

negativos par (4), o produto ser

po sitivo.

Logo, P8 = 328

4. SOMA DOS n PRIMEIROSTERMOS DE UMA P.G.

TeoremaSe (an) uma P.G. de razo q e

Sn a soma dos n primeiros termos

de (an), ento:

ExemploA soma dos 10 primeiros termos

da P.G. (an) = (1, 3, 9, 27, 81, )

29524, pois:

q = = = 3

S10 =

S10= =

= S10 = 29524

5. PROGRESSOHARMNICA (P.H.)

Seja (an) uma sequncia de ter -

mos no nulos. A sequncia (an)

uma PROGRESSO HARMNICA

(P.H.) se, e somente se, a sequncia

( ) for uma PRO GRESSO ARIT -MTI CA (P.A). Isto , a sequncia (a1,a2, ..., an ...) uma P.H. se, e somentese, a sequncia:

( ; ; ; ; ) for uma P.A.ExemploO nono termo da P.H.

(an) =( , , , ) , pois:

Se ( , , , ) P.H.,ento (9, 7, 5 ) P.A.

Na P.A. (9, 7, 5, ...), o nono ter -mo : a9 = a1 + 8r

a9 = 9 + 8 . ( 2) a9 = 7 O nono termo da P.H.

=

6. SRIE GEOMTRICA

DefinioUma srie (Sn) GEOMTRICA

se, e somente se, a SEQUNCIA (an)

que a gerou for uma PROGRESSO

GEOMTRICA.Exemplo

Da P.G. (an) = (1, 3, 9, 27, ...)

obtm-se a srie geomtrica

(Sn) = (1, 4, 13, 40, ...).

Srie geomtricaconvergente

TeoremaUma srie GEOMTRICA CON -

VERGENTE se, e somente se, a

razo q da PROGRESSO GEO M -TRICA que a gerou for tal que:

1 < q < 1.

1

7

1

7

15

17

19

17

15

17

19

1an

1a3

1a2

1a1

1an

310 1

2

1 . (310 1)

3 1

a1 . (q10 1)

q 1

31

a2a1

Sn = n . a1, se q = 1

a1 . (1 qn )

Sn = =1 q

a1 . (qn 1)

= , se q 1q 1

3

1

a2a1

|Pn| = (a1 . an)n

ap2 = ap 1 . ap + 1

ap . ak = a1 . an

29

MDULO 9 Propriedades e Soma dos Termos da P.G.


Soma da srie geomtrica convergente

(1 < q < 1)

ExemploA srie geomtrica

1 1 1(Sn) = (1, 1 + , 1 + + , ...) =2 2 4

3 7 = (1, , , ...) gerada por 2 4

1 1 1 (an) = (1, , , , ...) 2 4 8

convergente, pois1

a razo da P.G. (an) q = .2

A soma da srie geomtrica (Sn):

a1 1S = lim Sn = = = 2

n 1 q 11 2

S = a1 + a2 + a3 + + an + ... =

a1=

1 q

30

1. DEFINIES

Definio de matriz m x n

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n

M = ......am1 am2 ... amn

ou M = (aij)mxn

m = nmero de linhas

n = nmero de colunas

m n matriz retangular

m = n matriz quadrada

m = 1 matriz linha

n = 1 matriz coluna

Exemplo

M = [aij]2x3, tal que aij = i + j, a

matriz retangular de ordem 2x3 com

a11 = 1 + 1 = 2;

a12= 1 + 2 = 3;

a13= 1 + 3 = 4;

a21 = 2 + 1 = 3;

a22= 2 + 2 = 4;

a23= 2 + 3 = 5.

Logo:

2 3 4 M =

3 4 5

Matriz nula de ordem m x n

0 = (xij)mxn, tal que xij = 0.

0 ... 0 ...... 0 0 ... 0 ...... 0

0mxn = ....

0 ... 0 ...... 0 m x n

Matriz unidade (ou identidade de ordem n)

In = (xij)nxn, tal que:

xij = 1, se i = j

xij = 0, se i j

1 0 0 .......... 0 0 1 0 .......... 0

In = ................... 0 ................... 1 00 0 .............. 1 n x n

Exemplo

1 0 0 I3 = 0 1 0

0 0 1

a matriz identidade de ordem 3.

Matriz oposta

Sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn,

define-se

B = ( A) bij = aij.

a11 a12 ........... a1n....................................

A =....................................

am1 am2 ........... amn

a11 a12 ....... a1n......................................

A =...................................... am1 am2 ....... amn

Matriz transpostaSendo A = (aij)mxn, define-se a

matriz transposta de A como a matriz

At = (a'ji)nxm, tal que a'ji = aij.

a11 a12 ......... a1na21 a22 ......... a2nA =..............................

am1 am2 ........ amn m x n

a11 a21 ......... am1a12 a22 ......... am2. . .

At = . . .. . .

a1n a2n ......... amn n x m

ExemploA matriz linha Mt = (1 2 3) a

matriz transposta da matriz coluna

1 M = 2( 3 )

2. IGUALDADE

Sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn,define-se

A = B aij = bij

a11 a12 ... a1n ... =am1 am2 ... amn

b11 b12 ... b1n = ..

bm1 bm2 ... bmn

a11 = b11a12 = b12....................a1n = b1n....................amn = bmn

MDULO 10 Matrizes: Definies e Operaes


3. OPERAES

Adio

Sendo A = (aij)mxn, B = (bij)mxn e

C = (cij)mxn, defi ne-se

C = A + B cij = aij + bij

a11 a12 ... a1n............................ +am1 am2 ... amn

b11 b12 ... b1n+ ............................... =

bm1 bm2 ... bmn

(a11 + b11) (a12 + b12) ... (a1n + b1n)

= .........................................................(am1 + bm1) (am2 + bm2) ... (amn + bmn)

Exemplo

1 2 c d + =

a b 3 4

1 + c 2 + d =

a + 3 b + 4

Subtrao

A B = A + ( B)

Multiplicao escalar (de nmero real pormatriz)

Sendo A = (aij)mxn, B = (bij)mxn e

um nmero real qualquer, define-se

B = . A bij = . aij

a11 a12 ... a1n . .......................... =

am1 am2 ... amn

( . a11) ( . a12)( . a1n)

= ............................................

( . am1) ( . am2)( . amn)

31

Exemplo

a b c 5a 5b 5c5 . =

1 2 3 5 10 15

Multiplicao (de matriz por matriz)

Sendo A = (aik)mxp, B = (bkj)pxn e C = (cij)mxn, define-se

Assim sendo:

4. PROPRIEDADES

De um modo geral, valem para as operaes vistas at aqui com as

matrizes AS MESMAS PROPRIE DADES das operaes correspon dentes com

NME ROS REAIS.

Na MULTIPLICAO DE MA TRIZES, NO VALEM as proprie dades

comutativa, anula mento do produto nem cancelamento, ou seja,

a multiplicao de matrizes no comutativa, isto , EXISTEM MA TRI ZES A

e B CONFORMES PARA A MUL TI PLICAO, TAIS QUE A . B B . A.

Na multiplicao de matrizes, NO VALE A LEI DO ANULAMENTO DO

PRODUTO, isto , SENDO A e B DUAS MATRIZES CONFORMES PA RA A

MULTIPLI CAO, PODEMOS TER A . B = 0, MESMO COM A 0 e B 0.

Na multiplicao de matrizes, NO VALE A LEI DO CANCELA MENTO,

isto , SENDO A e B CON FORMES PARA A MULTIPLICAO E O MESMO

ACON TECENDO COM A e C, PODEMOS TER A . B = A . C, MESMO COM

B C e A 0.

P

C = AB cij = (aik bkj)k = 1


32

1. DEFINIES

Seja um tringulo ABC, retngulo

em A. Os outros n gu los B^

e C^

so agu -

dos e comple men tares (B^

+ C^

= 90).

Para ngulos agudos, temos asseguintes defini es das funestrigonomtricas:

Com base nessas definies, notrin gulo retngulo da figura, temos:

Observando que:

conclumos que as cofunes dengulos com plementares soiguais.

2. VALORES NOTVEIS

A partir de tringulos retngulosconvenientes, as definies de seno,cosseno e tangente permitem a ob -ten o do seguinte quadro de valo -res notveis (decore-os).

A seguir, temos a obteno de al -guns valores dessa tabela.

No trin gulo equiltero de lado ,

a altura vale h = , assim:

sen 30 = cos 60 = =

cos 30 = sen 60 = =

tg 30 = = =

tg 60 = = 3

3. RELAESFUNDAMENTAIS E AUXILIARES

Seja x um ngulo agudo numtrin gulo retngulo. De acordo comas definies das funes trigono m -tricas, podemos verificar que:

F. 1) sen2x + cos2x = 1

sen2x = 1 cos2x{cos2x = 1 sen2x

sen xF. 2) tg x = cos x

1F. 3) cotg x =

tg x

1F. 4) sec x = cos x

1F. 5) cossec x =

sen x

A. 1) sec2x = 1 + tg2x

A. 2) cossec2x = 1 + c otg2x

x sen x cos x tg x

30 1 2

3

23

3

45 2 2

2

21

60 32

1 2

3

bsen

^B =

ac

sen ^C =

a

ccos

^B =

ab

cos ^C =

a

btg

^B =

cc

tg ^C =

b

c cotg

^B =

b b

cotg ^C =

c

asec

^B =

ca

sec ^C =

b

acossec

^B =

ba

cossec ^C =

c

cateto opostoseno =

hipotenusa

cateto adjacentecosseno =

hipotenusa

cateto opostotangente =

cateto adjacente

cateto adjacentecotangente =

cateto oposto

hipotenusasecante =

cateto adjacente

hipotenusacossecante =

cateto oposto

. 3 / 2

/ 2

33

13

/ 2 . 3 / 2

32

.3 / 2

12

/ 2

. 3

2

sec ^B = cossec

^C

cossec ^B = sec

^C

tg ^B = cotg

^C

cotg ^B = tg

^C

sen ^B = cos

^C

cos ^B = sen

^C

FRENTE 3 Trigonometria

MDULOS 1 e 2 Funes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo


33

1. ARCOS DECIRCUNFERNCIA

Seja uma circunferncia em queso tomados dois pontos, A e B. Acircunferncia ficar dividida emduas partes chamadas arcos. Ospontos A e B so as extremidadesdesses arcos.

Representao: AB

Se A e B coincidem, esses arcosso chamados:

arco nulo (de me di da 0);

arco de uma volta (de me di -

da 360).

Dessa forma,

1 grau (1) = do arco de

uma vol ta. Como subml tiplos do grau, te -

mos:

1 minuto (1) = do grau ou

60 minutos = 1 grau (60 = 1);

1 segundo (1) = do mi nuto

ou 60 segundos = 1 mi nuto (60 = 1).

2. MEDIDA DE ARCOS EM RA DI ANOS

q DefinioA medida de um arco, em radi -

anos, a razo entre o com -primento do arco e o raio da cir - cun ferncia sobre a qual este arcoest determi nado.

q Observaes O arco de uma volta, cuja

medida em graus 360, tem com -pri mento igual a 2 r, portanto suamedida em radianos :

O arco AB

mede 1 radiano, se o

seu comprimento igual ao raio da

circunferncia. A medida de um arco, em

radia nos, um nmero real, portanto costume omitir-se o smbolo rad.Se, por exemplo, escrevermos queum arco mede 3, fica subentendidoque sua medida de 3 radianos.

Seja AOB^

o ngulo central,

determinado pelo arco AB

. Adota-se

como medida (em graus ou radia -

nos) do ngulo central a prpria

me dida do arco AB

.

3. CONVERSES

As converses entre as medidasde arcos (ou ngulos) em graus e ra -dia nos so feitas por uma regra de trssimples (direta), a partir da re la o:360 so equivalentes a 2 radia nos,ou 180 so equivalentes a radianos.

ExemploConverso de 210 em radianos.

180 rad 180 =

210 x rad 210 x

6 7. = x =

7 x 6

Portanto, 210 equivalem ara dia nos.

4. CICLO TRIGONOMTRICO

O ciclo trigonomtrico uma circunferncia de raio unitrio,sobre a qual fixamos um ponto (A)como ori gem dos arcos e adotamosum sen tido (o anti-horrio) como oposi tivo. O ciclo trigonomtrico divi dido em 4 partes, deno minadasqua dran tes.

2. ARCO (NGULO) TRIGONO MTRICO

Chama-se arco trigonom -trico AP

ao conjunto dos infinitos

arcos que so obtidos partindo-seda origem A at a extremidade P,giran do no sentido positivo (ou ne -gativo), seja na primeira passagemou aps vrias voltas completas nociclo trigonomtrico.

O ngulo trigonomtrico

AOP^

o conjunto dos infinitos n -

gu los centrais associados ao arco

trigonomtrico AP

.

76

comp(AB)

2r = = =2 6,28

r r

comprimento AB

= raio

160

160

1360

MDULO 3 Medidas de Arcos e ngulos Ciclo Trigonomtrico


Se, por exemplo, escrevemosque um arco trigo no m trico mede1120, significa que, partindo daorigem, no sen tido , foram dadas3 voltas com pletas (3.360 = 1080)e ainda percorremos mais 40(1120 = 3.360 + 40) no ciclo trigo -no mtrico. Dessa for ma, todas asfunes tri go nomtricas do arco de1120 so iguais s corres pon den -tes funes do arco de 40.

3. CONJUNTO DAS DETERMI -NAES DE UM ARCO (OUNGULO) TRIGONOMTRI CO

A determinao de um arcoAP

a medida desse arco precedidade um sinal ou , conforme osentido de percurso de A para P sejao anti-horrio

cad c1 exercicios 3serie 1opcao 1bim matematica

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