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VIBRAÇÕES DE CASCAS CILÍNDRICAS DELGADAS CONTEIWO FLUIDO
FERNANDO LU IS FORTUNY GASS ER
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE
Pós-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO
DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M,Sc,) EM ENGENHARIA CIVIL
APROVADA POR:
P F RONALD CARVALHO (PRESIDENTE)
~ B~,w
RIO DE JANEIRO, kJ - BRASIL OUTUBRO DE 1987
i i
FORTUNY GASSER, FERNANDO LUIS
Vibrações de cascas cilíndricas delgadas contendo
(Rio de Janeiro) 1987.
xiv, 124 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia
1 9 8 7)
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE.
1. Dinâmica I. COPPE/UFRJ II. Título (serie)
flui do
Civil,
i i i
A mis padres y hermanos.
A la memoria del Nato MÕnico
(1958-1986) que fue um gran
amigo y buena gente.
i V
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Ronaldo Carvalho Batista pela amizade, orienta
çao e incentivo brindados em todos os momentos.
Ao chefe do Laboratõrio de Estruturas, Prof. Ney Roitman,
pela amizade, interesse demonstrado e valiosa colaboração na
realização dos ensaios experimentais.
Ao Prof. Paulo Batista Gonçalves por sua solicitude e
auxilio na obtenção de resultados teõricos pertinentes ao seu
trabalho de tese de D.Se.
Aos funcionários do Laboratõrio de Estruturas, especial
mente ao Sr. João Pinto pela construção e montagem do modelo ex
perimental, e também ao Flávio e Carlos pelo auxilio durante os
ensaios.
Aos colegas do Laboratõrio de Estruturas pela amizade e
apoio inestimável.
A meus pais, irmãos e sobrinhos, pelo apoio e
sempre demonstrados.
carinho
Ao Laboratõrio de Estruturas Navais pelo empréstimo de
diversos equipamentos.
A todos os colegas e professores que direta ou indireta-
V
mente contribuiram para a elaboração deste trabalho.
A Eneida, Regina e Mãrio pela confecção tipogrãfica e
gráfica deste trabalho.
A CAPES/MEC pelo apoio financeiro.
vi
Resumo da Tese Apresentada ã COPPE/UFRJ como parte dos requisi-
tos necessãrios para a obtenção do grau de Mestre em
(M.Sc.)
Ciências
VIBRAÇÕES DE CASCAS CILTNDRICAS DELGADAS CONTENDO FLUIDO
Fernando Luís Fortuny Gasser
Outubro, 1987
Orientador: Ronaldo Carvalho Batista
Programa: Engenharia Civil
Apresenta-se neste trabalho um resumo dos principais re-
sultados teõricos e experimentais da interação dinâmica entre
uma casca cilindrica delgada e fluido interno, resultante de
forte acoplamento entre modos de vibração. Ênfase ê dada aos
resultados experimentais que têm confirmado resultados teõricos
recentes sobre a interação fluido-casca delgada [6,7]. A anãli
se, discussão e comparação desses resultados são
ao longo do texto.
apresentados
Vi i
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial
fulfillment of the requirements for the degree of Master of
Science (M.Sc.)
VIBRATION OF THIN CYLINDRICAL SHELLS WITH INTERNAL FLUID
Fernando Luís Fortuny Gasser
October, 1987
Chairman: Ronaldo Carvalho Batista
Department: Civil Engineering
The main theoretical and experimental results for the
dynamic interaction occuring between f1 uid and thin cyl indrical
shells, which result from a strong coupling among the vibration
modes, are presented herein.
Emphasis is given to the used experimental techniques
and obtained test results which have corroborated recently
reported theoretical results [6,7] on the fluid-thin shell
interactive problem. Through out the text these results are
analysed and comparisons are made.
CAPITULO I - INTRODUÇ~O
I .1. Descrição do Problema
I.2. Escopo do Trabalho
Vi i i
IrmICE
CAPITULO II - MODELO TEÕRICO
II.1. Introdução
II.2. Equações de Movimento
II.2.1. Equações de movimento para vibrações livres
no ar da casca, com extremos
apoiados
II.2.2. Equação de movimento do fluido
II.3. Interação Fluido-Estrutura
simplesmente
II.3.1. Equações de movimento para vibrações "livres"
da casca com extremos apoiados contendo flui-
do em repouso
II.3.2. Equações de movimento para vibrações "livres''
da casca contendo fluido em repouso sob a con
2
5
5
6
6
1 1
14
1 6
dição de extremos engastados 18
II.4. Equações de Movimento para Resposta em Frequincia
sob impacto lateral da casca cilindrica contendo
Fluido em Repouso 19
ix
CAPITULO III - RESULTADOS DA ANALISE TEÕRICA
III.1. Resultados em Termos de Frequência para o Caso
da Casca com Extremos Simplesmente Apoiados
III.2. Resultados em Termos de Frequência para o Caso
da Casca com Extremos Engastados
III.3. Comentários sobre o Fenômeno de Acoplamento Mo
dal
CAPITULO IV - MODELO EXPERIMENTAL
IV .1. Introdução
IV.2. Construção do Modelo
IV.3. Condições de Apoio
IV.4. Montagem do Ensaio
IV.5. Instrumentação
IV.6. Descrição dos Ensaios
IV.7. Sistema de Aquisição e Anâlise de Dados
CAPITULO V - RESULTADOS DA ANALISE EXPERIMENTAL
CAPITULO VI - ANALISE E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS TEÕRI
COS E EXPERIMENTAIS
VI .1. Resultados para a Casca Simplesmente Apoiada, Vi
21
21
28
31
32
32
33
36
42
47
49
49
55
74
brando no Ar 75
VI.2. Resultados para a Casca Engastada Vibrando no Ar 79
VI.3. Resultados para a Casca Simplesmente Apoiada Con
tendo Fluido 84
VI.4. Resultados para a Casca Engastada Contendo Fluido 87
VI.5. Anâlise Paramétrica 97
CAPITULO VII - CONSIDERAÇÕES FINAIS 1 1 3
X
REFERtNCIAS BIBLIOGRAFICAS
ANEXO A - SOLUÇAO DAS EQUAÇÕES DE EQUILIBRIO PELO
MtTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
1 1 6
1 1 8
Xi
NOMENCLATURA
Letras Maiüsculas
A,B - constantes arbitrãrias
[A] - matriz de rigidez
Aij - coeficientes da matriz de rigidez
Aci - acelerômetro
C - coeficiente de rigidez de membrana
D coeficiente de rigidez i flexão
E - mõdulo de Young de elasticidade longitudinal
F(t) - força excitadora axial
F(w) - função resultante da aplicação da transformação de
Fourier
H - altura do nTvel de fluido
In,Kn - funções modificadas de Bessel de ordem n
[IJ - matriz identidade
L - comprimento da casca
Xi i
L* - função de Lagrange
Lij - operadores diferenciais
[MJ - matriz de massa
M .. 1 J
- coeficientes da matriz de massa normalizados
M .. 1 J
- momentos fletores
N .. 1 J
- esforços internos
p - carga axial
p ( ) - mõdulo bâsico de massa
R - raio da casca
s ( ) mõdulo bâsico de rigidez
T - energia cinêtica
U,V,Y - amplitude de deslocamentos
U.,V.,W. - deslocamentos (em diferenças finitas) 1 1 1
V - energia potencial
Z - numero de Batdorf
Letras Minúsculas
f(t) - força excitadora radial
f ( w) - função de f r e quê n c ia
h - espessura
m - numero de semi-ondas longitudinais
n - numero de ondas circunferenciais
Xi i i
n ,n 8 - esforços adimensionalizados X o o
p - pressao radial uniforme
Pe - força pontual excitadora radial
Pr - pressao irradiada pelo fluido
q(t) - função temporal
r - eixo coordenado radial
t - tempo
t 0 ,t 1 - tempo inicial e final
~ 0 .~ 1 - campos de deslocamentos
u,v,w - deslocamentos
x - eixo coordenado longitudinal
Letras Gregas
s,ç,y - constantes adimensionais
À - parãmetro de carga
ó - variação
ó( - vetor de deslocamento
0( ) - função delta de Dirac
{~} - vetor de amplitudes de deslocamentos
- parãmetro de massa de fluido adicionada
e
s .. 1 J
V
w
<P
xiv
- densidade do fluido
- densidade da casca
- eixo coordenado circunferencial
- deformação espec1fica
- mudança de curvatura
- coeficiente de Poisson
- parãmetro de frequência
- frequência angular
- função potencial de velocidade
Operadores
V2( ; V•V( ) - operador de Laplace
F{ } - transformação de Fourier
CAPITULO I
INTRODUCAO
1.1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
A variada gama de aplicações nas industrias naval, aero
espacial, petroquimica, e nuclear e ern estruturas 066-1.,ho11.e., fa
zem das cascas cilindricas delgadas, elementos estruturais ex
tensivamente utilizados, sendo particularmente indicadas para
suportar cargas axiais e pressões radiais.
Em muitas destas aplicações, tem-se que a casca cilindri
case encontra em contato parcial ou total com um meio fluido
de alta densidade (liquido).
A presença do fluido tem uma grande influência no compoi
tamento estático e principalmente no comportamento dinâmico des
te tipo de cascas delgadas.
As frequências naturais de vibração de uma casca conten
do um fluido de alta densidade são bastante inferiores ãs fre
quências naturais de uma casca vibrando no ar. Esta diferença
2
e função das caracteristicas fisicas e geométricas da casca e
do fluido.
A solução do problema de interação fluido-estrutura de
formável exige a consideração da pressão resistente do fluido,
que tradicionalmente tem sido considerada como proporcional a
aceleração do sólido sendo tomada como uma massa adicional a
massa do sólido deformável, provocando, portanto, um aumento da
inercia do sistema. Deve-se enfatizar que o sucesso dessa for
ma de ataque ao problema fisico depende obviamente da consistê~
eia da formulação matemática empregada no tratamento do fenôme
no de interação fluido-estrutura, no qual a estrutura deve ser
considerada como sendo localraente flexivel (isto e, casca del
gada).
A análise teõrica deste fenômeno de interação dinâmica
entre fluido e casca cilindrica delgada contida em trabalho cien
ti fico recentemente apresentado, [ 6], tem utilizado uma formu
lação matemática consistente que leva em conta a não-linearida
de envolvida no problema, destacando-se ai a consideração do
acoplamento não-linear entre vários modos de vibração da casca
durante a resposta dinâmica.
1.2. ESCOPO DO TRABALHO
O principal objetivo deste trabalho de tese e o da inves
tigação experimental do parâmetro de massa de fluido adicionada
expresso por esta formulação teórica [ 6 J.
3
Adianta-se aqui que a comprovaçao experimental dos resul
tados teõricos, obtida com sucesso através de modelagem física
cuidadosa, possibilitará a extensão da análise da interação di
nâmica entre fluido e estrutura delgada para geometrias mais
complexas, atravês de formulações teõrico-numêricas de
potencial em aplicações práticas, como o mêtodo dos
finitos.
grande
elementos
Para tais fins foram construidos modelos experimentais
de cascas cilíndricas delgadas nos quais foram simuladas as con
<lições de extremos simplesmente apoiados e de extremos engasta
dos, para serem ensaiados em vibração ''livre'', contendo ou nao
fluido.
Os resultados experimentais desses ensaios, j un tamente
com os resultados teõricos obtidos são apresentados, analisados
e comparado~ levando a algumas conclusões e observações impor
tantes.
No Capitulo II apresenta-se o modelo teõrico usando, um
resumo do desenvolvimento teõrico e as principais equações uti
lizadas e, no Capitulo III, são sumarizados os principais resul
tados obtidos atravês da análise teõrica.
Jã no Capitulo IV apresenta-se o modelo experimental o
qual e ilustrado atravês de fotos e figuras explicativas. Alem
disso, apresenta-se em detalhes o projeto, fabricação e instru
mentação desse modelo, descrevendo-se tambêm os sistemas de aqu~
sição e interpretação dos sinais dinâmicos com o intuito de pe~
mitir uma transparência da precisão das medições realizadas.
Os resultados obtidos nos ensaios do modelo experimental
4
para algumas condições de nivel de fluido e apoios extremos sao
mostrados no Capitulo V, através de espectros de frequencia e
das respostas dinâmicas no tempo.
No Capitulo VI sao analisados e comparados os resultados
teõricos e experimentais obtidos para o modelo com as caracte
risticas da casca ensaiada e tambem neste capitulo e feito um
estudo paramétrico para melhor aclarar o comportamento dinâmico
das cascas cilindricas delgadas com outras geometrias contendo
fluidos de diversas densidades em niveis distintos.
As conclusões e considerações finais, junto com algumas
sugestões, são apresentadas no Capitulo VII, onde e ressaltado o
aspecto mais relevante do trabalho: a comprovaçao da ocorren
cia de forte acoplamento modal, que não tem sido considerado em
anãl ises anteriores a da referencia [ 6 J e, conseqüentemente, a
comprovaçao experimental do novo parâmetro de massa de fluido
adicionada.
5
CAPITULO II
MODELO TEORICO
11.1, INTRODUÇÃO
Primeiramente, apresenta-se a formu1ação matemãtica usa
da para o estudo da casca ci1indrica circu1ar sob a condição de
extremos simp1esmente apoiados, e posteriormente a formu1ação
para o caso da casca com extremos engastados, que foram desen
vo1vidas de forma independente.
Na primeira formu1ação, o caso de casca com apoios sim
p1es sob carga de impacto, e parte de desenvo1vimento teõrico
apresentado na forma de Seminãrio de DSc. ao PEC da COPPE/UFRJ
por Pau1o Batista Gonçalves.
A segunda, para o caso de engaste, e parte da presente
contribuição ã anãlise de vibrações de cascas delgadas em meio
f1uido.
No final deste capitu1o, sao apresentados os principais
resultados teõricos obtidos da anãlise de cascas com as caracte
6
r1sticas f1sicas e geomêtricas do modelo experimental ensaiado.
11.2. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
11.2.1. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO PARA VIBRAÇÕES LIVRES NO AR DA
CASCA~ COM EXTREMOS SIMPLESMENTE APOIADOS
As equaçoes de movimento da casca podem ser deduzidas di
retamente do princ1pio de HAMILTON [ 1 J
L*; V - T (II.1)
onde V e a energia potencial, T, a energia cinêtica e L*, a fun
ção de Lagrange.
[ 2 J
No estudo que segue sao adotadas as seguintes hipõteses
1 - A casca ê delgada.
2 - Efeitos devidos a forças de inêrcia a rotação sao des
prezíveis.
3 - O amortecimento e excluído na anãlise de
livres.
vibrações
4 - Os deslocamentos sao pequenos de modo que e vãlida a
teoria elãstica linear.
Considere-se uma casca cil,ndrica delgada de comprimento
L, espessura h e raio da superf,cie mêdia R, constitu,da de ma-
7
+
L H
(o) 1 1 R R
N~ M:..
1 1'" ...
.. :p I N~
----- ,;1 ;* -::r :+ o(w)
~Nxe N~
lNx ! .... (b)
fit (ll -1 l - Geometria, sistu.ca de coor•n•d• da c•sco e dir~ positivas • dlsktcaffleftto e ruuttoat. dl esforços internoe
8
terial elãstico, homogêneo e isõtropo de densidade Pc·
u, v e w os deslocamentos, respectivamente, na direção
Sendo
axial,
circunferencial e radial, como mostrado na figura (11.1) tem-se
que a energia cinêtica pode ser expressa na forma
T =- P 2 c f
l f21T h º º (ü2 + v2 + w2l R de dx
e a energia interna de deformação, estabelecendo as
(11.2)
relações
constitutivas adequadas e integrando ao longo da espessura, na
forma
1 f L f2n V = - (N .. e. 2 o o lJ lJ
(11.3)
onde o primeiro termo sob a integral corresponde a energia de
membrana e o segundo, a energia de flexão.
Sendo o material isõtropo, os esforços N .. e M .. sao da-1 J l J
dos por:
N12 = C(1-v) s12 = N21 M12 = 0(1-v) X12 = M21
(11.4)
onde vê o coeficiente de Poisson, C(= Eh/(1-v 2)), a rigidez de
membrana, D(= Eh 3 /12(1-v 2)), a rigidez ã flexão e E, o
de elasticidade longitudinal.
mõdulo
Adotando-se a teoria de Donnell para cascas abatidas, as
deformações especificas, sij' e as mudanças de curvatura, xij,
sao: [2]
9
= u ,X W XX
'
R (v
8 + w)
' R2 ( w ee l
'
=- Xxe = -R- w ,xe 2
(II.5)
Substituindo-se (II.5) e (II.4) em (II.3) e, a seguir,
substituindo-se (II.3) e (II.2) em (II.1) e empregando as têc-
nicas usuais do cãlculo variacional [ 1], tem-se as
equaçoes de equil1brio em termos dos deslocamentos
R2 u ,xx +
R ( 1-v)
2
( 1-v)
2 u,ee + R
u ,x e + v 'ee + R2
h2
( 1+v)
2
(1-v)
2
V 8 + R V W X = y2 U ,X '
V,xx + W ,8 = y2 V
seguintes
(II.6a)
(II.6b)
R v u,x + v,e + w + --- [R w,xxxx + 2 R2 w,xxee + w,eeee] = Y2 w 12 R2
(II.6c)
onde
y2 = p c R 2 ( 1 - v 2 ) / E
Considerando-se que a casca ê simplesmente apoiada em
ambos os bordos (w = w xx = u x = v = O em x = O e x = L), tem-' '
se que os deslocamentos, cuja forma geral ê dada por
ó (x , e , t ) = g (x , e ) • f ( t ) (II.7)
1 O
podem ser representados pelas funções
(. mnx ,\ iwt u(x,e,t) = lJ ,cos -L- cos n~e
v(x,e,t) = V (sen _m_~_ sen ne) eiwt (II.la)
( mnx V w(x,e,t) = W sen -- cos ne eiwt
L
iwt - - - - -onde e e a resposta tempor~ a excitaçao, w e a frequencia an
gular, m ê o numero de semiondas longitudinais e n, o numero de
ondas circunferenciais, que descrevem cada um dos modos de vi
bração livre.
Substituindo-se (II.la) em (II.6), obtêm-se um problema
de autovalor da forma
([A] - íl' [!]) G} • (O) (11.8)
onde [IJ e a matriz identidade e íl 2 e o parâmetro de frequên
cia dado por
1; 2 Íp (1-v2) l
íl = w R L_c __ E ___ J
A equaçao caracteristica de
(II.9)
DET i A - íl 2 I i = O (II.8a)
fornece para cada configuração modal (m,n) três raizes reais
1 1
positivas que correspondem ãs frequências associadas aos dois
movimentos tangenciais (u e v) e ao movimento radial (w). Para
cascas delgadas a menor frequência corresponde ao deslocamento
radial e as outras duas frequências, aos movimentos circunferen
cial e longitudinal.
11,2.2. EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DO FLUIDO
Para o movimento irrotacional de um fluido
não-viscoso e incompresslvel, o potencial de
q,(r,e,x ,t) satisfaz a equação de Laplace [ 3 J
'v2 <P = o
Newtoniano,
velocidade
(II.10)
Para pequenas amplitudes de excitação externa e de vibra
çao da casca cillndrica, a qual se constitui como fonte excita
dora do fluido nela contido, como ilustrado na figura (II.1),
tem-se que a solução da equação (II.10) ê da forma
q,(r,e,x,t) = q,(r,e,x) eiwt (II.11)
onde q, deve ser uma função harmônica, e satisfazer as condi-
çoes de contorno:
1 - Na base da casca (x=O), a velocidade do fluido na di
reçao vertical ê zero
(r,e,O,t) = O (Il.12)
2 - A velocidade radial da casca e do fluido adjacente a
superficie da casca e a mesma
ar (r,e,x,t)I =
r=R
1 2
aw
at (e,x,t) (II.13)
No presente estudo considera-se que as pequenas amplitu
des radiais de vibração da parede da casca não excitam perturb~
çoes da superficie do fluido em repouso no interior da casca.
Alêm disso, as frequências naturais de vibração da casca delga
da são muito mais elevadas que as das ondas de superficie.
Sendo os deslocamentos da casca periÕdicos com respeito
a x e e (veja equação (II.7a)), o movimento do fluido pode ser
tomado como periÕdico com respeito a essas coordenadas. Tem-se
pois que
mTIX cos ne eiwt (II.14) ~(r,e,x,t) = ~(r) sen
L
Esta forma adotada para o potencial de velocidade impli-
cana existência de uma superficie livre em x=H (veja figura
II.1) e velocida.de axial nula em x=O, o que concorda com as con
dições de contorno adotadas [ 2 ].
Substituindo-se (II.14) em (II.10), verifica-se que a
solução na forma
~ ( r) = A I n ( m TI r / L ) + B Kn ( m TI r / L ) (II.15)
satisfaz a equaçao diferencial, onde ln e Kn sao as funções mo
dificadas de Bessel de ordem n [ 4 J e A e B são constantes arbi
trãrias que podem ser determinadas atravês das condições de con
torno.
1 3
Para resolver o problema de interação devem ser emprega
dos mêtodos aproximados, devido ã descontinuidade do fluido em
X=H.
Observa-se que, dependendo das caracteristicas do fluido
e das frequências, pode-se ter diversas soluções para a ampli
tude cp(r).
Para a classe de problemas tratados no presente trabalho
(cascas cilindricas contendo fluido) considera-se apenas a solu
çao (II.15).
Considerando fluido interno, Kn e singular em r=O, e
(11.15) se reduz a
cp(r)=Aln (II.16)
e desta forma, substituindo-se (11.16) em (11.14),
mTTX cos ne eiwt (r :â R) (11.17) <P = A ln sen
L
A constante A e obtida empregando-se a condição de comp~
tibilidade (11.13), que fornece a partir de (11.17) e (11.7a)
i w vi A = (11.18)
I ' n
onde
I ' d!n
n dr r=R
(11.19)
Determinada a função potencial <P, pode-se, usando-se o
14
teorema de BERNOULLI [ 3 J, obter a pressao irradiada, Pr [ 2 J.
Em virtude de (II.13) e (II.la), tem-se que esta pressão
e dada por
- 2 iwt ( ) Pr = W PF w e f w sen ~~ cos ne L
mrrx (II.20)
A função f(w), usando-se as fórmulas de derivação e re
corrência para funções de BESSEL [ 4 J, ê dada por:
f(w) (II.21)
onde
S = m rr R/ L
11.3. lNTERACÃO FLUIDO-ESTRUTURA
Seja uma casca cilíndrica delgada simplesmente apoiada
contendo um fluido Newtoniano, não-viscoso, irrotacional, em r~
pouso [ 2 J, [ 3 J e [ 5 J. A casca estã submetida a uma pressao
radial uniforme, p, e a uma carga axial, P. Considerando-,se,
por simplicidade e por ser uma hipótese razoãvel nos casos pra
ticos, um estado inicial de membrana, tem-se que a casca estã
submetida a uma distribuição de esforços axiais e circunferen
ciais dados por
p
2 rrR (11.22) N = xo
1 5
que serao considerados positivos quando de tração.
Os esforços de membrana podem ser adimensionalizados com
a introdução de um parãmetro de carga À de tal modo que os tor
ne compativeis com o sistema (11.6)
(11.23)
onde À= p R/Eh e ç(= P/2rrR 2 p) e uma constante adimensional que
relaciona nxo e n80 sendo que, para o caso de pressão hidrostá
tica uniforme, tem-se Ç=1/2.
O campo de deslocamentos da casca consiste em um campo de
deslocamentos axissimetricos relativo ao carregamento estático Uo e
um campo de deslocamentos adicional U1 resultante da excitação harmônica
{ U o } T = { - \ ( v- ç) , O , À ( 1 - v ç ) }
( 1 I. 24)
{ul} T = {u V W} 1 , 1 , 1
Substituindo-se o campo de deslocamentos~º + ~1 em
(11.5) e a seguir, aplicando-se o principio de Hamilton (11.1)
chega-se ãs equações finais de equilibrio dinâmico da casca sob
tensões iniciais vibrando em um meio fluido.
a 2 [, o
J (L .. - y2 ) u = o (II.25) 1 J at 2
+
onde Pr e a pressao irradiada (11.20) devida a excitação da cas
ca, Pe e a força pontual excitadora na direção radial e Lij os
operadores diferenciais que dependem da teoria de cascas adota
da. Neste trabalho são usadas as expressões lineares da teoria
1 6
de Donnel l para cascas abatidas [ 2 J.
l 1.3.1, EQUAÇÕES DE MOVIMENTO PARA VIBRAÇÕES "LIVRES" DA CASCA
COM EXTREMOS SIMPLESMENTE APOIADOS CONTENDO FLUIDO EM
REPOUSO
Substituindo-se (II.20) e (II.la) no sistema (II.25), e
considerando Pe=O, tem-se as equações de movimento finais do
problema de vibração livre considerando-se o acoplamento flui
do-casca esbelta. Essas equações podem ser convenientemente es
critas na forma matricial
([A] - íl 2 [M]) {6} = {O}
onde
{6}T = {U, V, W}
os coeficientes de rigidez sao:
( 1-v)
2 n2 A12 =
( 1 +v)
2
A13 = - v S A22 = n2 + ( 1-v)
2
h2
(II.26)
A33 = 1 + --- (S 2+n2
) + <j,(n 2+ç S2 ) 12R2
e os coeficientes de massa normalizados dados por
M .. = O l J
para i ,, j
1 7
(11.27)
A solução nao trivial deste problema de auto-valor forne
ce as frequências naturais e modos de vibração normalizados.
Verifica-se que a influência da pressao Pr aparece no
termo M33 em consonãncia com o fato de, sendo o fluido não-vis
coso e irrotacional, haver apenas ondas de expansão [ 3 ]. A
quantidade ç em M33 reflete o aumento de inercia com a conse
qüente redução de frequência em virtude da presença do fluido.
Este parãmetro ç ê dado para cascas em contato parcial com fluido, por
[ 5 J
ç = (~)(~) [~ -pc h L
sen 2 m : H/L j f(w) (11.28)
2 m
Cor.siderando o fluido incompressivel e atravês de uma
aproximação assintõtica, tem-se que [ 2 J e [ 3 J
f(w) = (11.29) n
Desta forma, o parãmetro ç fica
ç = (~) (~)(~) [~ c
sen 2mTI H/L J (11.30)
e pode ser chamado de "massa adicionada adimensional" ou de "mas
sa adicionada" de fluido. Quando H=L em (11.30), tem-se a solu
ção exata obtida a partir de (11.20) e compativel com (11.27).
18
11.3.2, EQUAÇÕES DE MOVIMENTO PARA VIBRAÇÕES "LIVRES" DA CASCA
CONTENDO FLUIDO EM REPOUSO SOB A CONDIÇÃO DE EXTREMOS
ENGASTADOS
A partir das equaçoes de equilíbrio em termos dos deslo
camentos apresentadas nas equações (II.6), foi adotado um campo
de deslocamentos aproximado da forma
u = Ux • se n n e c os w t
v = Vx • cos ne cos wt
w = Wx sen ne cos wt
onde
Ux = U(x), Vx = V(x) e Wx = W(x)
Substituindo o campo de deslocamentos adotados
nas equações (II.6),
( 1-v) ( 1 +V)
R2 Ux - n2 Ux - R n Vx + R v Wx = - y2 w2 .. ,XX 2 2 ,X ,x
( 1-v) (1-v) R n Ux - n2 Vx + R2 Vx + n Wx = _ Y2 w2 V
2 ,x 2 ,xx X
h'
(II.31)
(11.31)
Ux
(II.32a)
(I1.32b)
R v Ux - n Vx + Wx + --- [R Wx - 2 R2 n2 Wx + n4 Wx] = ,X 12R2 ,xxxx ,XX
= - y 2 w2 Wx + p r R2 (1-v2
)
Eh (II.32c)
19
O ultimo termo da equaçao (II.31c) define o efeito da
pressão irradiada pelo fluido, que foi especificada na equaçao
(II.20), que neste caso adota a forma
sen 2 m 1T
(II.33) 2 m 1T
No Anexo A apresenta-se a forma de resolução do sistema
de equações, usando o mêtodo das diferenciais finitas, e a es
trategia computacional adotada.
O sistema apresentado nas equaçoes (II.32) forma um pr~
blema de autovalor do mesmo tipo que o descrito atravês da equ~
ção (II.26).
II,4. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO PARA RESPOSTA EM fREQU~NCIA SOB
IMPACTO LATERAL DA CASCA CILÍNDRICA CONTENDO FLUIDO EM
REPOUSO
A resolução do problema de autovalor enunciado na
equaçao (II.26) fornece as frequências naturais e as formas mo
dais de vibração associadas a cada frequência.
Uma vez determinados os modos de vibração Umn(x,e),
Vmn(x,8) e Wmn(x,e) correspondentes a uma frequência natüral
wmn' a solução para o problema de vibrações forçadas em termos
dos modos normais ê da forma [ 7 J
20
u = l l Umn q(t) cos(S x/R) cos ne m n
v = I 1 Vmn q(t) sen(S x/R) sen ne m n
w = L L wmn q(t) sen(S x/R) cos ne m n
(II.34)
Nesta situação, o parãmetro Peda equaçao (II.25) ê dif!
rente de zero e representa a força radial excitadora. Esta for
ça excitadora de impacto ê representada de maneira aproximada
utilizando-se o a de Dirac, como:
pe(x,e,t) = a(t,) ô(x1l ô(8 1) (II.35)
Deve-se salientar aqui a consideração do acoplamento mo
dal na formulação do problema expresso pelas equaçoes (II.33).
Assim, a pressão irradiada (II.20), passa a ser escrita na for
ma [ 8 J:
. t m1Tl< I 1 Wmn pf w2 e
1w sen -- cos ne
m n L (II.36)
Substituindo-se as expressoes (II.34), (II.35) e (II.36)
em (II.25), e aplicando-se Galerkin com relação ãs coordenadas
espaciais, obtêm-se um sistema de mxn equações diferenciais or
dinãrias no tempo que são resolvidas por meio da transformação
de Fourier que ê definida por [ 9 J
F {f(x)} = F(w) -iwt e dx (II.37)
Desta maneira sao obtidas as amplitudes de deslocamento
para cada valor dado de frequência.
2 1
CAPÍTULO III
RESULTADOS DA ANÁLISE TEÓRICA
Apresentam-se neste capitulo os resultados teôricos obt~
dos para a casca sob a condição de extremos simplesmente apoi~
dos e de extremos engastados; também são apresentados comentã
rios acerca do fenômeno de acoplamento modal.
III.l, RESULTADOS EM TERMOS DE FREQUÊNCIA PARA O CASO DA CASCA
COM ExTREMOS SIMPLESMENTE APOIADOS
As figuras (IIl.1), (111.2), (IIl.3) e (11!.4) mostram o
comportamento da casca cilindrica delgada com parâmetros fisi
cos e geomêtricos definidos no Capitulo IV, com extremos sim
plesmente apoiados, para diversos valores da relação altura do
nivel do fluido sobre comprimento da casca (H/L), em espectros
de frequência vs modos de vibração. Para a obtenção desteses
pectros foi usada a equação (11.26).
A influência do numero de semi-ondas longitudinais, m,
nas frequências naturais da casca com extremos simplesmente
22
20
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3 5 7 9 li 13 15 17 19
n. ondas circunferenciais. n
FIG.III.1. ESPECTROS DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES - R/h=300
H/L=O.O
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3 5 7 9 li 13 15 ! 7 19 n. ondas circunferenciais, n
FIG.III.2. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO H/L=0.5 ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES - R/h=300
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FIG.III.3. ESPECTROS DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO - H/L=0.75
ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES -R/H=300 -
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FIG.III.4. ESPECTROS DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO H/L=1.0 ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES - R/H=300 -
N
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26
apoiados, pode ser verificada atravês das citadas figuras. Ob-
serva-se que a menor frequência natural da casca ocorre para
m=1, ou seja, para uma semi-onda longitudinal, e que a medida
que n cresce, os valores das frequências tendem a um valor co
mum para qualquer m, jã que para modos de vibração altos (n
grande), o comportamento dinãmico da casca ê dominado por ener
gia de flexão. Verifica-se tambêm a grande influência do flui
do para qualquer valor de m.
t apresentada na figura (111.5), através de um espectro
de frequência vs modos de vibração, a variação da frequência,
calculada a partir da equação (11.25), com o numero de ondas
circunferenciais, n, para uma semi-onda longitudinal (m=1), e
distintos valores da relação H/L (0,0, 0,50, 0,75 e 1 ,0). Para
os quatro casos, verifica-se que a frequência decresce com n
atê atingir um minimo para um dado n, passando novamente a cres
cera medida que n cresce. Pode-se observar o fato do aumento
da divergência entre os valores de frequências com o acrêscimo
do numero de ondas circunferenciais, n, a partir do valor de n
correspondente ãs frequências naturais. Esta divergência ê de
vida ã influência do parãmetro de massa de fluido adicionada,
que ê diretamente proporcional a H/L e inversamente proporcio
nal ao numero de ondas circunferenciais, n, como pode ser visto
na equação (11.30).
Observa-se nessa figura (111.5), que tanto para a casca
no ar (H/L=O,O) quanto para aquelas contendo fluido (H/L~O), as
frequências atingem um valor minimo (frequências naturais) para
o mesmo valor de n. Isto indica que a energia interna de àefo~
mação elãstica ê praticamente idêntica nos quatro casos de H/L.
Pode-se concluir que o decrêscimo acentuado das frequências com
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15 17 19
FIG.III.5. ESPECTROS DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO - m=1 -ANALISE TEORICA - APOIO SIMPLES - R/H=300 -
28
o aumento de H/L ê explicado pelo aumento acentuado da energia
cinêtica do sistema fluido-estrutura, que ê traduzido pelo acrê~
cimo do valor do parâmetros (veja equação (II.30)).de massa de
fluido adicionada, sem um aumento correspondente da energia po
tencial do sistema. Sempre que isto ocorre em um sistema dinâ
mico conservativo hã um decrêscimo nas frequências naturais.
111.2, RESULTADOS EM TERMOS DE FREQUÊNCIA PARA O CASO DA CASCA
COM ExTREMOS ENGASTADOS
Na figura (III.6), para a casca com extremos engastados,
verifica-se um comportamento das frequências naturais, para va
ries valores da relação H/L, similar ao detectado para o caso
de extremos simplesmente apoiados (vide figura (III.5)). Ova
lor minimo das frequências ocorre tambêm para o mesmo valor de
n, devido ao acrêscimo da energia cinêtica do sistema pela pre
sença do fluido (parâmetros de massa de fluido adicionada) sem
um aumento correspondente da energia potencial. Nota-se tambêm
o aumento da divergência entre os valores de frequência doses
pectros (para valores de H/L iguais a 0,0, 0,5, 0,75 e 1 ,O) com
o acrêscimo do numero de ondas circunferenciais, n. Isto ê de
vido ã influência do parâmetro s, que ê diretamente proporcio
nal a H/L e inversamente proporcional a n.
Cabe destacar que o estudo da casca sob a condição de ex
tremos engastados foi feito a partir da equação II.32, como in
dicado no Anexo A.
16
15 semi ondas 1 on g i_tjLJ~_i-~ c1_if ..... , ........ , ....... : ....... , ....... , ....... . . . . . . . . ..... .. , ....... , ....... , ....... :. !".".".ni.-. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
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2 4 6 8 !O 12 14 16 18 20 n. ondas e ircun ferenc ia is, n
FIG.III.ô. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO m=1 ANALISE TEORICA - ENGASTE - R/H=300 -
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Fi9 .Dl 7 - E..-cttes teóricoa clit -,Htllde • •••sillla-lM••••• a tNqulacio.
3 1
111.3, COMENTÁRIOS SOBRE O FENÔMENO DE ACOPLAMENTO MODAL
Observa-se nos espectros de frequência vs modos de vibra
çao apresentados atravês das figuras (III.1 atê 111.6), a forma
abatida das curvas na região de menores valores de frequência.
Essa caracteristica evidencia a possivel ocorrência de acopl~
mento entre uma certa quantidade de modos de vibração envolvi
dos numa faixa estreita de frequências.
Nota-se tambêm que a presença do fluido faz com que os
espectros sejam ainda mais abatidos, aumentando desta forma a
possibilidade da ocorrência do acoplamento entre modos de vibra
çao.
Isto pode ser melhor ilustrado atravês da observação das
figuras (111.7a) e (111.7b), que mostram espectros de amplitude
de deslocamentos vs frequência, obtidos a partir das equaçoes
(Il.25), (11.34), (11.35) e (II.36), para o caso da casca com
extremos simplesmente apoiados sob impacto lateral pontual
(x=L/2; 8=n) especificado atravês da equação (11.35), para dois
valores da relação H/L (0,0 e 1 ,O).
Uma anãlise mais ampla de todos esses resultados, assim
como uma análise paramêtrica do problema, serã feita mais adian
te no Capitulo VI ã luz de comparações com observações e resul
tados experimentais.
32
CAPÍTULO IV
MODELO EXPERIMENTAL
IV.l. INTRODUÇÃO
O modelo experimental da casca cilindrica foi projetado
em função das relações raio sobre espessura, R/h, e comprimento
sobre raio, L/R, sendo que foram escolhidos os valores R/h = 300
e L/R - 1,4 satisfazendo a condição de casca delgada.
As dimensões geométricas deste modelo sao mostradas na
figura (IV.1).
Os ensaios dinãmicos da casca foram realizados sob as
seguintes condições:
a - vibrações da cascà sem fluido;
b - vibrações da casca com fluido interno em
niveis;
distintos
c - vibrações da casca sem fluido sob açao de uma pequa
na carga vertical,
33
todas para as condições de extremos simplesmente apoiados ou en
gastados.
IV.2. CONSTRUÇÃO DO MODELO
O modelo foi construido em aço inox, conformando-se uma
chapa de mm de espessura, de 1885 mm de comprimento e 430 mm
de largura (vide figura (IV.1)).
Foram praticados furos de 3 mm de diâmetro (segundo indl
cado na figura (IV.2)) para permitir o preenchimento adequado,
com material vedante, das ligações dos extremos da casca com as
placas circulares de fechamento.
Uma vez conformada, a chapa foi soldada mediante um pro
cesso com resfriamento de gâs argõnio.
Esta costura soldada foi bem acabada, evitando-se a for
maçao do cordão de solda para não enrijecer longitudinalmente o
cilindro. A solda foi executada no laborat6rio do PEM - COPPE/
UFRJ.
O modelo se completa com 2 chapas circulares, de aço, de
15,9 mm de espessura, nas quais foram torneadas ranhuras, mos
tradas em detalhe na figura IV.3, com as quais se reproduziram
aproximadamente as condições de apoio te6ricas da casca estuda
da.
L
Dimensões em milímetros
~
34
•
h -~
1
Ver fig. IV - 3
\ '
1
R, 300.0
R' 320.0
•
\ 1
1 1
Fig. IV - 1 _ Geometria e· dimensões do modela experimental.
o. o; ~,
B..., 300 h
L 1.4 -= R
•
•
35
30.0-ttt-30.0 A furos 16 3.0 mm.
o <D
. . . . . . . . -...... -....... . . . . . . . . . . . . . . ......... ...........
·o ci "' <t
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .• . . . . . .............................
1 1
C> 1D
1885
,2.1,107 2 Dimensões em E 11/m
milímetros Y, 0.3
.f' , O. 785 2 4
ti. s /m
Fig. IV. 2 - Detalhe da chapa de aço inox usada para a construção do modelo.
'
,
5.0
1 ~Tompo c;"''M PI,.,;,
-M-1
1 o . ,ri
1 ~
o ~ ,ri
"'
1
-
/ a, ..,
i 1
R, 297.0
1 1
R, 299.0 'e::~ Cilíndrica
1 Casca
R, 300.0 1
" . R' 3_9_1.0
1 R a 303.0 11 - -1 Dimensões em - 1 mi IÍmetr~s
1 R, 320.0
1 1
Fig. IV. 3 - Detalhe da ranhura torneada nos tampas circulares para apoio da casca.
36
IV.3. CONDIÇÕES DE APOIO
Foram realizados 2 tipos de apoios para o modelo:
- extremos simplesmente apoiados;
- extremos engastados.
A condição de simplesmente apoiada foi obtida introduzin
do os bordos da casca nas ranhuras (descrita5 no item IV.2 e
mostradas na figura IV.2) embebidas de silicone, o que tambem
permitiu a vedação do cilindro (ver figura IV.4 e foto IV.1).
Para conseguir a condição de engaste nos bordos da cas
ca, foi usada resina epõxica, sendo que para garantir um perfel
to nivelamento e ajuste concentrico das tampas com o eixo do c!
lindro durante o endurecimento da resina, foi construida a es
trutura em perfis (mostradas nas fotos IV.2 e IV.~) que consta
va de parafusos niveladores e um sistema de prumos de madeira.
Para garantir o engaste perfeito entre a casca e tampas
de fechamento, formas circulares foram coladas ao longo das ra
nharas• (ver figura IV.5), conseguindo-se assim uma maior supe!
ficie de contato entre cilindro e resina. Alem disso, essa
maior superficie de contato permitiu uma transferincia de ten
s&es axiais - oriundas do carregamento vertical sobre a .tampa
realizado por macaco hidrãulico - mais uniforme ao longo dos
bor~os extremos da casca. Observa-se que esta transferincia de
tens&es axiais i realizada por tens&es de cisalhamento longitu
dinal entre a parede da casca e a resina endurecida (vide fo
to IV.4).'
1
37
Casca
Tampa Circular
='to mm Silicone-
Fig :az: 4 - Detalhe da ligação tampa-casca para a condição de extremos simplesmente apoiados
Resina EpÓxica
m:.;~~4"h,Ç,;L,/,ç,jl-- Formas de Fórmica
25 mm
Fig :rsr 5 - Detalhe da ligação tampa - casca para a condicão · de extremos engastados.
39
Foto IV .2 - Deta l he da estrutura para nivelamento e ajus te concêntrico das · tampas com o ei xo do cilin dro durante o endurecimento da resina
42
IV.4. MONTAGEM DO ENSAIO
O esquema de montagem do modelo para os ensaios e ilus
trado na foto (IV. 5), e figura (IV.6), e a montagem geral e apr!
sentada na foto IV.6.
Destaca-se a utilizaçio de aparelhos de apoio de borra
cha sobre a tampa de aço superior e sob a tampa inferior do mo
delo, com o objetivo de isolar o sistema de vibrações espurias
e de qualquer interaçio com o ambiente.
Para os ensaios com fluido interno, foi instalado um tu
bo transparente vertical para mediçio do nivel de igua conforme
pode ser visto na foto (IV.7). ·
Ainda foi usado um bloco de concreto armado, sobre o
qual foi montado todo o sistema, permitindo uma melhor observa
çao visual durante o ensaio.
Cabe destacar que todo o conjunto foi perfeitamente ni-
velado.
'!\ ' ..
=
1
·:: 1 00 1
o o
r-2.- Lauadro de Reação /=
-,:
' . --- Macaco Hidráulico .
- ,::_ -..
~ /_Placa de aço
/ /
' Placa de borracha
Nivel D1aoua ___ .
-~ _ Modelo
'1r _Placa de borracha ({ ,' / / / / /1>1/ n -Base de madeira
. . -Bloco de Concreto Armado .
~-
- /_Placa de reação ( tf 'h 1 "
/ / / / / / / / / . , / , , / /////; / , / , . , / , , / , / / / / / / / /
Fio. IV - 6 _ Montagem do modelo para os ensaios
47
IV.5. INSTRUMENTAÇÃO
Para registrar a resposta dinimica no tempo nos ensaios
realizados, foram usados tris micro-ace1er6metros, dispostos ao
longo da circunferincia da seçio media, (ver figura IV.7 e foto
IV.5) igualmente espaçados num comprimento equivalente a uma
semi-onda do modo clãssic~ de vibração associado ã primeira fre
quincia natural da casca cilindrica com a geometrta· usada, de
forma d~ garantir a medição ventres dos modos de vibração.
Estes aceler6metros foram colados ã superficie da casca
na direção radial, permitindo assim medições de componentes de
acelerações transversais ã parede do modelo.
Deve-se tambem salientar que componentes verticais e cir
cunferenciais de aceleração foram analisadas com instrumentação
das tampas de fechamento. Esta instrumentação permitiu uma ava
liação das faixas de frequincia relativas aos movimentos de cor
po rigido da casca sobre o apoio de borracha e tambem aquelas
relativas a vibrações das pr6prias tampas.
Pode-se adiantar jã nessa seção que essas faixas de fre
quincia são distintas das da casca, não mascarando portanto a
interpretação dos resultados.
48
Acl Ac2 Ac3 f
L/2[--'-==·\::::::l::·==,========:!:::::::============::::S.---~~ ~ i !
1 40 Impactas c/peteleca
Ace lerôme tros
Kyowa
Capacidade 100 g
.. '\
' , \
Fig .m 7 - Instrumentação com acelerômetros e direções dos impactos localizados.
1
49
IV.6. DESCRIÇÃO DOS ENSAIOS
Os ensaios foram realizados, para a casca vibrando sem
fluido e com fluido interno, com preenchimento parcial ou total,
e com pequeno carregamento axial.
A casca foi ensaiada sob a condição de extremos simples
mente apoiados e extremos engastados.
A vibração foi causada, ou por impactos sucessivos na P!
rede lateral da casca dados com o dedo ("petelecos") em região
diametralmente oposta ã posição dos acelerômetros, ou·no centro
da tampa superior, dados com um martelo, como mostrado na figu
ra IV . 7 .
IV.7. SISTEMA DE AQUISIÇÃO E ANÁLISE DE DADOS
Durante a aplicação dos impactos sucessivos (descritos no
item IV.6), os sinais dos aceler·ômetros, depois de amplificados.e
filtrados, foram gravados simultaneamente, utilizando-se um gr!
vador de quatro canais. Isto i ilustrado no esquema A da figu
ra IV.8, que, tambim,.no seu esquema B, apresenta a ticni.ca pa
ra a determinação das principais frequincias naturais (relati
va.s a modos globais).
O sinal de aceleração no tempo foi obtido atravis de um
registrador grâfico de 3 canais.
Os equipamentos utilizados sao mostrados tambim nas fo
tos IV.à, IV.9, IV.10 e IV.11.
'
50
ESQUEMA A - Gravação dos sinais dos acelerômetros nos ensaios de vibração livre.
PRÉ-AMPLIFICADOR t----o FILTRO Acl AC t------< · PASSA- BAIXA o o o (6 CANAIS) (G CANAIS) Ac2 r--'
• • GRAVADOR DE , FITA CASSETE
(+CANAIS)
ESQUEMA B - Análise e~pectrol poro.determinação dos freqUenc1os naturais.
GRAVADOR DE i-. ANALISADOR - MICRO-COMPUTADOR FITA CASSETE , DE ESPECTROS
HP-85 (4 CANAIS) ~ (2 CANAIS) -.
. .. J. p p L L o o T T T T E E
" R 'R '---
FI G.IV.8:Esquemas dos equipamentos utilizados poro gravação e análise dos sinais dos áceterõmetros nos ensaios de vibrações livres.
53
Foto IV . 10 - Vista geral da montagem para os ensaios onde pode-se observar parte dos equipamentos usados (amplificador, gravador e osciloscõpio)
55
CAPITULO V
RESULTADOS DA ANÁLISE EXPERIMENTAL
As figuras (V.1a) e (V.1b) mostram, respectivamente, pa
ra a casca em vibração livre sem fluido e cheia d'ãgua, respos
tas tipicas de aceleração radial no tempo.
A figura (V.2), por sua vez, mostra para a casca sob a
condição de extremos simplesmente apoiados e sem fluido interno
(tendo sido excitada com "petelecos"), o espectro de frequência
obtido pela aplicação automãtica da transformação rãpida de
Fourier ao sinal de aceleração no tempo dos três acelerômetros
com os quais foi instrumentada. Pode-se observar que os espec
tros destes acelerômetros têm forma e valores idênticos; fenôme
no este que ficou evidenciado em todos os ensaios realizados.
Da mesma forma, os espectros de frequência resultantes
dos ensaios com excitação mediante impacto com martelo no cen
tro da tampa superior, foram tambêm idênticos aos anteriormente
descritos. Por esta razão serão mostrados, para todos os en
saios, somente os resultados obtidos da anãlise do acelerômetro
2 (vide figura IV.7) correspondentes a excitações mediante im
pactos laterais com petelecos.
7.9
O>
> O.O e ~
"' ú ...
-7.9 Ac.3
(a) Sem fluido
4.6
0 O.O
> e ~
"' ú -4.6 ...
Ac.3
( b) Com fluido
56
1------1 l/ 500 seg
t------1 1
-seg 500
Fi9 V - 1 _ Resposta de aceleração x tempo
Casca com extremos simplesmente apoiados
tempo (seg)
tempo (seg)
S7
41.3~--~-----"'-~--~--~--~-----,------,-----.---,---,
20.7
o
41.3
M N
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' -(\J OI :ll 20.7 ..... 5 -u
e o o e:
,a, :,
~8 ... -G)
-o
"' o ... -() 25. \li
G) Q.
"' w
w :t 6 Hz
(a)
w! 6 Hz
( b)
w!6Hz
Ac 2
Ac l
Ac 3
· Frequência (Hz) ·~
~ Q
Fig V 2- Espectros e~perimentais de frequência Apoios simples _sem fluido_ impacto lateral H/L = O.O
58
~ A.figura (V.3) mostra o espectro jã ilust~ado na figur~
(V.2a) em forma ampliada.
Pode-se observar através da figura (V.4) o espectro de
frequéncia para o caso da casca cheia d'ãgua, com extr~mbs sitl=
plesmente apoiados. · :'. ·
Os ensaios realizados sob a condição de extremos engast~
dos, estão ilustrados através dos espectros apresentados atra
vés das figuras (V.5), (V.6), (V.7) e (V.8) mostrando, respect__!__
vamente, o caso de casca vibrando sem fluido, com ãgua atê a
metade, com 3/4 partes de ãgua e com preenchimento total de
agua.
Ji a figura (V.9) mostra o comportamento da casca com e~
tremas simplesmente apoiados, através de um espectro de frequé~
eia, para~ caso de vibração com uma flambagem local (mostrada
na foto V.1) produzida por uma concentração de tensões na zona
de apoio inferfor devido sob a ·aplicação de uma pequena carga com o me
canismo mostrado na figura (IV.6). Pode-se observar neste. es
pectro, ao ser comparado com o da figura (V,.3), que a flambagem
local não altera as caracterTsticas dinãmicas da casca, fato jã
comprovado para pequenas imperfeições geométricas. Este fenôme
no serã abordado mais adiante no Capitulo VII.
Os espectros de frequência x modos de vibração mostrados
nas figuras (V.10), (V.11), (V.12), (V.13), (V.14) e (V.15) fo
ram obtidos a partir de comparações com os resultados teôricos,
considerando-se a proximidade dos valores de frequências, jã
que resulta praticamente impossTvel reconhecer expe~imentalmen
te os modos de vibração da casca.
Uma anãlise mais profunda destes resultados sera feita..f
-N :e ......
t\J o :ll ..... E u
LI
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Ao 2
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Frequência ( Hz)
Fig 1Z" 3 -, Espectro e?.<perimental de frequência - casca simplesmente apoiada H / L = 0.00 - Impacto la tera 1
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M N J: .....
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Ac 2
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20.7
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"'
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o+-----t-------1----1----1----+----+----t----1-----+-----100 200 300 400 500 600
Frequência {Hz)
Fig !l.' 4 - Espectro experimental de frequência - casca simplesmente apoiada
H/L = 1.00 - Impacto lateral
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Fig 'l2" 5 - Espect,ro e~perimental de frequência - casca engastada H/L = O.O - Impacto lateral
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Frequência (Hz)
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Frequància
Fig lZ' 6 - Espectro experimental de frequência - casca engastada
H/ L = 0.5 - Impacto lateral
Q) N O')
1000
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Fig 1Z" 7 - Espectro experimental de frequência - casca engastada H/L=0.75 - Impacto lateral.
"' o <D
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o -+----i-----t-----+----t-----+-----t----+-------lf------+----1 150 250 350 450 550 650
Frequência ( Hz}
Fig 12: 8 - Espectro experimental de frequência- casca engastada
H/L = 1.0 - Impacto l,ateral.
~
N :e ...... ~
(\J
l ..... E o
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2 -o CD Q.
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CD .,. "'
CD
"' "'
CD N
"'
.,. o ...
o-1----+----+----t-~~-1-----1------11-------l-----+-----+------, 250 350 450 550 650 750
Frequência ( Hz)
Fig ll 9 - Espectro ~~perimental de frequência - casca engastada
H/L = 0.00 - Impacto la tera 1 #- flambagem local #
o, u,
66
Foto V.1 - F1ambagem loca1 devida a concentração de ten
sões no apoio sob a aplicação de uma pequena carga axia1
10 -.--~~~~~~~~--r-~~~~~~~~~~~~---.-~~~~~~---------,
j I m=n.semi-ondas longitudinais! 9 - ........ , ........ : ........ , ........ , ........ , ........ ; ........ :.... 11 m= 1 exper im. -f ··· ··+······· ······+······'.·········(·······
: : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . · ' ' ' ' ' ' <> m=2 · ·
8 _ ········!········l········/········j-·······/········f ········/···· exper 1m. -\········(······· ········?·······!·······+······ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7 - ........ ~ ........ ( ........ ~ ........ ~ ........ ~ ........ ~ ........ ; ........ ~ ........ ; ........ ; ........ :, ........ ~ ........ ; ................ ~ ....... ; ........ ~ ...... . o : : : : : : : : : : : : : : : : ..... X
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6 - ........ ; ........ : ....... ; ........ ; ........ j ........ ; ........ j ........ ; ........ j ........ f ........ , ........ ; ....... , ................ , ....... ; ......... , ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : : : ~ : : Ili : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
< 5 - ········:······--:-···············:-······/·····t·····/······:·······:········t················i··· ···t-······· ·······{·····)·······-:······· H : : : : : : : ; : : : : : : : :
~ 4 - ...... .,: ........ :. ....... L ..... ). ...... ,: ....... L ..... .1 ..... .) ..... -) ....... ~ ....... L ...... t ... .. ) ....... ....... .[.. ... ) ........ .; ...... . UJ • • . • . . • . . . . . • • • . ::i : : : a : : : : 111 : : : : , : : ~ . . . . . . . . . . . . . . . ~ 3 - ........ : ........ j ........ : ........ : ....... , ....... ~·······~·······~········i········f ········: ........ ; ........ ; ........ : ....... {·······j········-f ·······
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - ········:········:········:········'········:········:········'········:········:········'········:········,········,········'········,·······'·········,······· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t - ........ : ........ ; ........ : ........ : ........ : ........ : ........ ; ........ :,,, .. , .. : ........ ;- ........ ~ ........ : ........ ;- ........ ; ........ ;- ....... ~ ......... ;- ...... .
o ---.-. --;.,--,.---..-,-..;.,--,.---..-,--.,--,.-----;.., --;.,--.---.--.,--',.-----;-, -2 4 6 B 10 12 U 16 18 20
n. ondas circunferenciais. n FIG.V.10. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO ANALISE EXPERIMENTAL - APOIO SIMPLES - H/L=O.O - R/h=300
a -.--~-~~~~--~ .. --.--------------,--~-~ .. -~-~-~--, m=n.semi-ondas longitudinais
pontos experimentais a m=1
7 - ·••··••· ....... ···•• .. :-·······:···· ··r··· .. ··:~~-~--,1 : ~=~ 1.---~--4.·················=··························=········
. . . . o : : : : . : . . : . o 6 - ............... ·······:········:········:-········:-·······:········:·······-:········-:········:········:········:-·······-:········:········:-·······-:········~········ .... : : : : : : : : : : : : : : : ; ~ . . . . .. . . . . . . . . . . .
: : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .:; + : : ~ : : : : : : : : 9 . 1111 : E. 5 - ................ ·······!······"!'"""''':'········:········-:········!· .... ,.,; ........ ~ ........ !········~········:-········:········!·"·"·"':········-:········!········
: : : : : : : : : : : ~ : + : : . . . . . 6 . . . . . . . . . . < : : : : : : : : : ~ : : 1111 : : H • . . . • . . . • • • . .
§i! 4 - ...................... :.· ....... t ........ .-.: ....... i. ........ i ......... :.· ....... i ......... ? ........ ? ........ J ........ , ....... i .......•....... , ....... j. ....... ]. ...... . w . . . . . . . . . . . . . . . . :::, : : : : : : : : : : : : : : : : C?t • . . . • • . • • • • • . . •
li! : : : + : : : : : : : ~ : : : : Lr.. : : : : : : : : : : : : : :
3 - .............••. ·······~········!········~········i·······+·······i········(········~········!·······+······•········\········~········~·······~········i········ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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n.ondas circunferenciais n FIG. V. 11. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODO's DE VIBRACAO
ANALISE EXPERIMENTAL - APOIO SIMPLES - H/L=1.0 - R/h=300
"' 00
m=n.semi-ondas longitudinais • m=1 experimental
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n. ondas circunferenciais. n FIG.V.12. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO
ANALISE EXPERIMENTAL - ENGASTE - H/L=O.O - R/h=300
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2 4 6 B iO 12 14 16 iB 20
n. ondas e ircun f erenc ia is. n FIG.V.13.ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO
ANALISE EXPERIMENTAL - ENGASTE - H/L=0.50 - R/h=300
o o
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2 4 6 e w ~ ~ ~ ~ 20 n. ondas e ircunferenc ia is, n
FIG.V.14. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO ANALISE EXPERIMENTAL - ENGASTE - H/L=0.75 - R/h=300
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• m=1 experimental 1 - ········\········~········!········?········!·········~········~·······~·········~·······~········~········~········~········~········!········~········:········
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• 4 8 1 W ~ ~ d ~ 20
n. ondas e ircun ferenc ia is, n FIG.V.15. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS DE VIBRACAO ANALISE EXPERIMENTAL - ENGASTE - H/L=1.0 - R/h=300
73
no Capitulo VI, onde serao comparados aos resultados
através da análise teõrica realizada.
obtidos
74
CAPÍTULO VI
ANÁLISE E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS
TEóRICOS E EXPERH18ffAIS
Pode ser notada, nos sinais experimentais de aceleraçio
vs tempo ilustrados nas figuras (V.1a) e (V.1b), a diversidade
de modos de vibraçio envolvidos na resposta dinãmica, indicando
a ocorrência de acoplamento modal, fenômeno que se torna eviden
te pela quantidade e proximidade de picos de banda estreita de
frequência, nos espectros experimentais apresentados nas figu
ras ( V . 2 ) e ( V . 3 ) .
A análise e comparaçao teôrico-experimental desses e ou
tros resultados ê feita a seguir para a casca com a geometria e
caracteristicas fisicas do modelo experimental apresentado no
Capitulo IV.
75
Vl.l. RESULTADOS PARA A CASCA SIMPLESMENTE APOIADA~ VIBRANDO
NO AR
t notãvel a proximidade entre valores das frequências n~
turais te6ricas e experimentais, indicada pela comparação entre
picos dos espectros ilustrados nas figuras (VI.1 ), para o caso
da casca vibrando no ar, sob a condição de extremos simplesmen
te apoiados.
Deve-se enfatizar que a boa comparaçao entre esses resul
tados ê devida, principalmente, i formulação te6rica adotada.
Esta formulação, apresentada no Capitulo II, permitiu a
identificação dos modos de vibração associados is frequências
naturais, pois leva em conta o acoplamento modal resultante.
Esta identificação modal seria impraticãvel atravês da simples
utilização dos resultados clãssicos encontrados na · :1 iteratura
têcnica, os quais não levam em conta o acoplamento entre modos
de vibração.
A correlação favorãvel entre os valores experimentais e
te6ricos, indica ainda uma simulação experimental adequada da
condição de apoio simples nos extremos da casca.
Atravês da figura (VI. 2), pode-se observar a concordãn
cia entre valores te6ricos e experimentais, em um espectro de
frequência vs modos de vibração, onde os valores te6ricos foram
representados por linhas continuas e os val0res ,exper~mentais
por simbol os. A concordância entre ambos o,s, .estudos~podem ser vis
ta tambêm atravês da tabela VI.1, que indica ainda os modos de
vibração associados is frequências.
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318
290 278
(A) Experimental
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200 300 (8) Teórico
339
"
76
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418
390
400 500
550
626
600
Frequência ( H z)
656
700
Fig 1ZT l - Espectros de frequência - Vibrações da casca sem fluido estremos simplesmente apoiados.
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26
24
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1 3 5 7 9 11 13
n. ondas circunferenciais. n 15 17 19
FIG.VI.2. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL
APOIO SIMPLES - H/L=O.O
78
Tabela VI .1 - Comparação teõrica-experimental e modos de
vibração - Casca simplesmente apoiada -
H/L = O.O
Frequência [Hz] Modo
Teõrico Experim. ( m, n )
283 278 ( 1 , 8 )
292 290 ( 1 , 9 )
306 ( 1 , 7 ) 318
322 (1,10)
367 (1,11) 362
369 ( 1 , 6 )
424 418 (1,12)
486 ( 1 , 5 ) 478
489 (1.13)
561 (1,14) 550
566 (2.11)
608 (2,13) 626
640 (1,15)
79
VI.2. RESULTADOS PARA A CASCA ENGASTADA VIBRANDO NO AR
A condição de extremos engastados teve tambêm uma simula
çao experimental adequada. Pode-se concluir isto atravês da
comparação entre os valores teõricos e experimentais ilustrados
na figura (VI.3), e especificados atravês da tabela (Vl.2).
Novamente, conclui-se que a formulação teõrica adotada,
com a. consideração de acoplamento modal, permitiu a identifica
çao modal e conseqüente correlação entre os resultados experi
mentais e teõricos.
Na figura (VI.4) faz-se uma comparaçao entre resultados
teõricos e experimentais da casca no ar sob condição de extre
mos simplesmente apoiados e engastados, atravês de espectros de
frequência vs modos de vibração. Nestes espectros e possivel
notar que os valores minimos de frequência dos dois espectros
ocorrem para valores diferentes do numero de ondas circunferen
ciais, devido ã influência das condições de apoio. t possivel
comprovar ainda que a medida que n cresce, os valores de fre
quências da casca engastada e simplesmente apoiada, tendem rap~
damente a um mesmo valor. Este fenômeno ê devido ao fato de
ser dominante a energia de flexão, para valores de n superioresao
correspondente ã frequência natural.
Cabe lembrar que um dos parâmetros que influencia o com
portamento dinâmico da casca, ê a variação da relação L/R. Um
estudo da influência deste parâmetro sera feito mais adiante,
com a anãlise dos resultados obtidos.
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12
11
10
9
B
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4 .............. . .
-- teorico + experimental
2 -+----.---,---,-~-.---.---,---r---,---,---,----,----r--;---;----,----r--;-----;
2 4 6 B 10 12 14 n. ondas circunferenciais.
FIG.VI.3. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL
16 1B 20 n
- ENGASTE - H/L=O.O
o:, o
81
Tabela IV.2 - Comparação teõrica-experimental e modos de
vibração. Casca engastada - H/L = O.O
Frequên4:ia [Hz] Modo
Teõrico Experim. ( m, n )
373 366 ( 1 , 9 )
379 370 (1,10)
393 394 ( 1 , 8 )
405 41 O (1,11)
441 442 ( 1 , 7 )
449 450 (1,12)
505 506 (1,13)
522 526 ( 1 , 6 )
571 570 (1,14)
643 634 ( 1 , 5 )
646 654 (1,15)
728 720 (1,16)
81 7 (1,17) 800
818 ( 1 , 4 )
91 3 928 (1,18)
16
15
14
13
12 o o 11 -X
10
N 9 .e ~
B <( H 7 u z w 6 :::, e, w CC
5 LL
4
3
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1
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engaste .. •'· ........ ~- ...... . . . . . experimental . . . ... ··············~·"'''"········· . . . . . .
--tearica ..... ··>·······<·········-:········ , : : , apoio simples
\: : : ....... \ ....... ·: ...... ··!· .... ·..._ _________ t_e_x_p_e_r_1_· m_e_n_t_a_l~
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. ..... ~· ........................ . . . . . . . . . . . . .
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n. ondas circunferenciais, n
FIG.VI.4. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS H/L=O.O COMPARACAO ENTRE AS CONDICOES DE ENGASTE E APOIO SIMPLES
o:, N
., "C
i UI w
l! ai E e 8 :
"111
CI)
"C
CI)
"C ~ -a. E
<(
83
~---------·---------------
w!l.2Hz
(A) Experimental
100
"'· -
(B) Teorice
? -.
w! 6 Hz
214
"' N
,n -.
346
-"'
.. ) - Vide Tabs.
402
462 520
(. .. ) - Vide Tabs.
"' - ~ --in- .. a,
O) .- ,..._ ,,., ......
.;.r-.- N --~ -
Frequência (Hz)
Fig 'lZl .S - Espectros de frequência- vibrações do casco com flui do. Extremos simplesmente apoiados.
84
Vl.3, RESULTADOS PARA A CASCA SIMPLESMENTE APOIADA CONTENDO
FLUIDO
O fenômeno de acoplamento modal, mencionado anteriormen
te, e mais forte e evidente com a presença de fluido.
Foi visto no Capitulo III que o aumento da energia cinê
tica do sistema (que na formulaçã~ teôrica adotada ê traduzido
atravês do acrêscimo do parãmetro ~ de massa de fluido adiciona
da) implica na redução dos valores das frequências naturais.
Esta redução torna os espectros mais abatidos, envolvendo uma
quantidade maior de modos de vibração em faixas estreitas de
frequência, indicando a ocorrência de acoplamento modal.
Isto pode ser comprovado atravês dos espectros de fre-
quência ilustrados na figura (VI.5), para a casca completamen
te cheia de fluido (H/L=1 ,O), onde a grande quantidade de picos
envolvidos em faixas estreitas de frequência confirma a ocorren
eia do fenômeno. Tambêm nas figuras (VI.5) pode-se comparar
os resultados teõricos e experimentais para a casca cheia d'agua
sob a condição de extremos simplesmente apoiados.
A figura (Vi.&) mostr• atravês do espectro de frequência
vs modos de vibração, a boa comparação entre os resultados teõ
ricos e experimentais. Isto pode ser observado mais claramente
atravês da tabela (VI.s), e pela forma desses espectros, que, como
comentado anteriormente neste ítem, ê mais abatida que no caso
da casca vibrando no ar.
A influência da altura do nivel de fluido (traduzido pe
lo parãmetro H/L) nas frequências naturais da casca simplesmen-
10
9
, ' m=n. semi-ondas longitudinais : ': . . 1 . ·······,········,.;······:·······,-······· m=1 teor ico A m= exper 1m. . ... , ....... , ........ , ....... . ' ' ' ' ' ------· m=2 teor ico x m=2 exper im. 1 1 1 ' : : ' : : : : :
B
~
o 7 o -X
6 ~
N .e
5 <( H u z 4 w ::, e, w 3 a: LL
... ~-_ .. , ........ ; ...... \ ...... ;........ - - - m=3 teorico v m=3 experim. ····:·······, ........ , ....... .
'\\ l 1 ', 1 : . . : = . : . . . : : • • /
r>,L\I t<:J r I T J I I i r T T~t;iJ? .... , ...... [ ..... :t,<:-1- .. ·····[··· . f .>.~··,·;·~··L··~··l······ .. j . ·····[· ·~·-c·;··j;·~.Z~;:l-~.<~i········i·······
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....... ]. ... L .... : ....... 1 ........ 1·· .~1~.>~·-~~~~·~·~·;~~~·;·~·~~l~·--~k~.~}-...... \········f ... j ........ [ ..... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 . . . . . . . . . . . . . . ....... -·...... .. . . . . . . . .... -- ....................... ·- ....................... ·-..... . ...................... ·- ....................... -- .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . -. . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 ....... ·:· ...... ·~ ....... ! . . . . .. -:- - . . . . . . . ...... ~.... . . -:- ....... ! ....... ~· .... - - ·:· ....... ! ........ ! ...... -:• ....... •:• ....... ! ....... { ....... -:- ....... ! ...... . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . .
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
n. ondas circunferenciais. n FIG.VI.6. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES
ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL - H/L=1.0 -
(X)
U1
86
Tabela VI.3 - Comparação teõrica-experimental e modos de vibração. Casca simplesmente apoiada -H/L = 1.0
Frequenc,a [HzJ Mocto leor,co Exper,m. ( m , n )
11 8 ( 1 , 8 ) 120
1 2 O ( 1 , 7)
1 2 7 124 ( 1 , 9 )
1 36 134 ( 1 , 6 )
146 146 (1,10)
1 6 5 1 5 4 ( 1 , 5 )
1 7 3 182 (1,11)
207 (1,12) 214
21 O ( 1 , 4 )
246 (1,13)
266 254 (2,10)
267 (2,11)
290 (1,14)
300 298 ( 2 , 8)
306 (2,13)
334 ( 2 , 7) 346
340 (1,15)(2,14)
394 402 (1,16)
422 (3,12)
427 (3,11) 422
429 (2,5)(3,13)
431 (2,16)
452 450 (1,17)
469 462 ( 3 , 9)
474 482 (3,15)
51 2 (2,4)(3,16) 520
516 (1,18)
87
te apoiada foi comentada no Capitulo III com auxilio da figura
(111.5). Sendo o comportamento, sob influência de H/L similar
ao da casca com extremos engastados, a anâlise dos
serã feita na prõxima seção.
resultados
Vl.4, RESULTADOS PARA A CASCA ENGASTADA CONTENDO FLUIDO
Os resultados teõricos e experimentais do estudo do com
portamento da casca sob a condição de extremos engastados con
tendo fluido em repouso são apresentados atravês dos espectros
de frequência x numero de ondas circunferenciais ilustrados nas
figuras (VI.7), (VI.8) e (VI.9) para valores da relação H/L
iguais a 0,5, 0,75 e 1 ,O respectivamente.
Nota-se nestes espectros a excelente concordância entre
os valores teõricos e experimentais, o que pode ser visualizado
tambêm atravês das tabelas (Vl.4), (VI.5) e (VI.6).
Ainda para os casos de H/L iguais a 0,5, 0,75 e 1,0, mos
tra-se nas figuras (VI.1 O), (VI.11) e (Vl.12), comparações en
tre esses ultimas resultados para casca com extremos engastados
e aqueles obtidos do estudo da casca sob a condição de extremos
simplesmente apoiados.
Dessas figuras, pode-se notar os efeitos sobre valores
de frequência natural (frequência minima) das duas condições de
extremos distintas. Observa-se qu~ embora o comportamento das
cascas seja bastante similar, principalmente no caso de modos
mais altos na direção circunferencial, a casca simplesmente
9----------------------------~
o o
B
7 ··············· ................................................ .
-;:: 6
N
.... ~ ....... : ....... .
E 5 . . . . . . . . . . . . . . ...... ; ""." .. ~ .... '.": ...
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E 3
2
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. . . . . . ..... ; ........ ~- ........ : ....... ~- ...•... ·:· ........ ~- ....... ·> . . ....... : ........ ~- ....... ·)
_ m=i teorico:
+ m=1 experini.
. . . . . . ' . . . . . . . .
. .
1--+--~~-~--i---;----;_-;-_..;..---;..--;----;_-;-_-;----;..--+--r---+------1
2 4 6 B 10 12 14 n. ondas circunferenc1ais,
FIG.VI. 7. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS -ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL
16 18 20 n ENGASTE - H/L=0.5
o:, o:,
7-------------------------------,
6 ........................ .
~
o o - 5 X
N .e
<C H u z LU :::J
4 .............................. .
CI 3 ····· w CC lL
2 ..... : ..... .. : ......... :.. . ..
- m=1 teorico t m=1 experim.
..................................................... ;. ........ ; ........................ ; ....... .
+
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2
FIG.VI.8. 4 6 8 10 . 12 14 . 16
n. ondas c1rcunterenc1a1s, n ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE
ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL
18 20
- H/L=0.75
00 <O
~
7-----------------------------~ -- m=1 teorico
+ m=1 experim. 6 ·········:········,·········:········ ........ ········ ......... ········ ........•...........................................
o o .... 5 ········ ...................... •( X
N .e
<( H Ll z LW ::i
. . . . 4 ·······"!''"''···:·"····"!········ ....... , ................ . ········)········ ................................ ········>········~· .. ······:·········
. . CI 3 LW
·········. ······-~·········:········ ......................... ········ ........ ~,., ................................... . . . . . . . . . . . a: . . . . . . . LL . . . . . . . . . . . .
2 ................... . ................ ········· ········ ·······+. ·····:·········:·········'· . .......................................... . . .
1-+--i--_.,_--,...---,--i---i----i---i----,---.---i-----i---i---i----i---i----,-~
2 4 6 s ~o 12 14 t6 n. onoas circunferencia1s
18 20
FIG.VI.9. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE - H/L= 1. O ANALISE TEORICA E EXPERIMENTAL
<.O a
91
Tabela VI.4 - Comparação teórica-experimental e modo de vibração. Casca engastada - H/L = 0.50
Frequência [Hz] Modo
Teórico Experim. ( m , n )
212 ( 1 , 9 )
21 4 220 ( 1 , 8 )
222 (1,10)
230 2 32 ( 1 '7)
245 (1,11) 256
257 ( 1 , 6 )
279 280 (1,12)
297 300 ( 1 , 5 )
322 324 (1,13)
347 ( 1 , 4 ) 356
372 (1,14)
411 ( 1 , 3 ) 420
429 (1,15)
482 480 ( 1 , 2 )
492 496 (1,16)
5 61 560 (1,17)
636 628 (1,18)
716 728 (1,19)
802 800 (1,20)
92
Tabela VI.5 - Comparação teõrica-experimental e modos de
vibração. Casca engastada - H/L = 0.75
Frequência [Hz] Modo
Teõrico Experim. ( m, n )
1 7 O ( 1 , 9 ) 172
1 71 ( 1 , 8 )
180 (1,10) 180
182 ( 1 , 7 )
199 (1,11) 192
2 02 ( 1 , 6 )
228 212 (1,12)
2 31 240 ( 1 , 5 )
264 (1,13) 276
269 ( 1 , 4 )
307 304 (1,14)
31 5 316 ( 1 , 3 )
355 (1,15) 364
366 ( 1 , 2 )
41 O 416 (1,16)
469 476 (1,17)
533 536 (1,18)
603 608 (1,19)
678 680 (1,20)
93
Tabela VI.6 - Comparação teórica-experimental e modos de
vibração. Casca engastada - H/L = 1.00
Frequência [Hz] Modo
Teórico Experim. ( m, n )
163 ( 1 , 9 )
1 6 4 168 ( 1 , 8 )
1 7 3 (1,10)
1 7 5 180 ( 1 , 7 )
192 (1,11) 200
1 94 ( 1 , 6 )
220 (1,12) 220
222 ( 1 , 5 )
258 ( 1 , 4 ) 264
259 (1,13)
2 96 (1,14) 304
301 ( 1 , 3 )
343 (1,15) 352
350 ( 1 , 2 )
396 392 (1,16)
455 448 (1,17)
51 7 516 (1,18)
584 584 (1,19)
657 656 (1,20)
9 ---,----,---,--..,---;===============,-----,-----,------------,
<> m=1 engaste teor. m=1 engaste exp. m=1 ap. simples teo 8 ............................... J....... _____ ;......_.......; ____ _. ________ .................................. •••••••• •••.•••
o o
7
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N .e 5
<( H u r5 4 ::J e, LLJ a: I.J.. 3
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2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n. ondas circunferenciais, n
FIG.VI.10. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - H/L=0.50 COMPARACAO ENTRE AS CONDICOES DE ENGASTE E APOIO SIMPLES
o o ..... X
N
5
< H u z UJ ::::i CI UJ a: LL...
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m=1 engaste teor. 6 .............................. . o m=1 engaste exp. ············· ········ ········
m=1 ap. simples teo.
5 .................................. \·········~········; ........ i······":·······-~·········(········-~·-· .. ··· ............... . ·--i········!········ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ......... " .......... "" .... "" ,; ........ ; ........ ; .. """ , .. " .... , .. " .... ;., ....... , ... "" .; ........ """" . """ "." ..... , ....... ,;"""" : .. """
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2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n. ondas circunferenciais. n
FIG.VI.11. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - H/L=0.75 -COMPARACAO ENTRE AS CONOICDES DE ENGASTE E APOIO SIMPLES
<.O u,
7 --r-----,----,---,--,-------------------r---,--:-------:---,---,...--, m=n. semi-ondas longitudinais
~~m=1 teorico apoio simples
6 ........................ ..
engaste
+ m=1 experimental
~~m=1 teorico
0 5 ........ ........ ........ . t:. m=1 experimental ........................ , .............. ..
o '--...-----,~~-~-...---~~-~-...---' -~ ..--, 4 ........ ········ ................ , ....... .: ........ ,: ......... : ........ ,: ......... ; ........ .: ......... ; ........ ~ ....... . N .e
<( H u z w ::, CI w ff: 2
. . . . . . . . . . . ······-~········r······-~·-·····-~·-······~········!······-~---······r······· ······!········~·······7·······-~---···· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
: : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : : . . . : . : . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ':' ....... :· ....... ·:· ....... -:·....... . . . ':' ....... ':' ....... ':' ....... ·:· ....... ·; ....... ':' ....... ·; ...... . . . . . . . . . . . . . . : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 ........ ·!· ....... ! ........ ·(· ....... ~- ....... •:• ....... ~- ....... ·(· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·!· ....... ·:· ........ ; ........ -~ ...... . : : : ; : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o -+---;-· --;·--;-· --;·--;---;·--;---;·--;---;·--;-· --;·e---;-· --,----;---.-· --;-----;
2 4 6 B 10 12 14 n.ondas circunferenciais. n
FIG.VI.12. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS COMPARACAO ENTRE AS CONDICOES DE ENGASTE E
16 18 20
- H/L=1. O -APOIO SIMPLES
97
apoiada apresenta um valor de frequência natural cerca de 28%
inferior ao da casca engastada para essa geometria.
Vl.5. ANÁLISE PARAMÉTRICA
A seguir, apresentam-se os resultados da análise parame-
trica realizada tanto para o caso da casca com apoios
quanto para o caso de engaste.
simples
As figuras (VI.13 atê 18) ilustram a influência da densi
dade do fluido sobre o comportamento da casca.
Foi feita uma análise para va 1 ores do parámetro pF/ Pc
iguais a O , O 9 , O , 127 e 0,173, que correspondem aos PF do êter,
agua e mercúrio, respectivamente, e ao Pc do aço. Foram esco-
lhidos êter e mercúrio por apresentar valores extremos de densi
dade de liquidos. Assim, atravês dos espectros de frequência
vs modos de vibração para uma semi-onda longitudinal (m=1) e
vários valores da relação H/L, e para as condições de casca sim
plesmente apoiada e engastada, mostrados nas figuras (VI.13 atê
VI.18), pode-se observar que a medida que a relação pF/p aumen c -
ta, os valores das frequências decrescem. t tambêm destacável
o fato do aumento da divergência entre os valores de frequên-
cias com o acréscimo do numero de ondas circunferencias, n, a
partir do valor de n correspondente às frequências naturais,
isto ê, minimas. Esta divergência e mais acentuada para o caso
da casca completamente cheia de fluido (H/L=1,0), jã que as fre
quências dependem do parâmetro de massa de fluido adicionada~.
o qual e inversamente proporcional ao numero de ondas circunfe
renciais, n e diretamente proporcional ã relação pF/Pc·
~
N
5
<t H u z UJ :::> e, UJ a: lL
a~-----~--------------------~-~-~-~-~-~ RELACAO DENSIDADE DO FLUIDO/ DENSIDADE DA CASCA
7 ...... ; ........ !., ..... i ....... j ........ ; ........ : ........ - - • DF /DC=O. 09 .. ; ........ , ......... , ....... .; ........ i ....... ! ........ ( ........ i .... /. .. ----- DF /DC=O. 12 : : : : : : : ~ / ,
. . . . . : : . . . / : ,' .\ ...... i ....... i ....... : ........ i ........ \ ....... :. ....... : -- DF /DC=O. 17 .. \ ........ ( ...... : ....... : ........ i ..... ] ..... .. i .. f. .. .. '.~< .. .. \ : : : : : : : : : : : : : y ~
1 ·.·. : : : : : : : : : : : : /: /: . . ' . . . . . . . . . . , .
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o -+---+---;----;.·--· ----· --· --+---+-. --;·,---;·'---;·---;·--,;,·----· --· --+----1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
FIG.VI.13. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - H/L=i.O - APOIO SIMPLES VARIACAD DO PARAMETRO DF/DC
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1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
n. ondas e ircunf erenc ia is. n FIG.VI.14. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES H/L=.75
PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO
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n. ondas circunferenciais. n FIG.VI.15. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES H/L=O.
PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO
o o
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7
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2
n. semi-ondas longitudinais. m=1
dens. do fluido . . . . dens. da casca
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----- df /dc=O. 127 agua
. . . . . . . . . , . : : : : : : : : /: ,,' : : : : : : : : : / :/ : : : : : : : : . - . . . . y' .. ~ :
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• • • •• t2 .. •• • • 2D
n. ondas e ircun f erenc ia is. n FIG.VI.16. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE - H/L=i.O
PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO
o
e~----------------------------.--------.
7
o 6 o ..... X
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2
n. semi-ondas longitudinais. m=1 dens do fluido dens. da casca
---df/dc=0.09 eter : . / ········!········:········!···· .. ··!· .. ·····i·"·····!········!·····.. ------ df /dc=O. 127 agua ·····!·········:········!··y····
: : : : : : : . i , . . . . . . . df/dc=0.173 mercurio . . , : : : : : : : . . . : / : / ........ r ....... i ........ ~- ....... ~- ........ i ........ r ........ i ........ r ....... ; ........ ~--...... ~- ...... -~- ....... ~- ....... ~- ....... ~-- ..... J.-~ .. -;?-< .. . . . . . . . . . . . . . . . . , . : : : : : : : : : : : : : : /; / ;
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2 • 6
FIG.VI.17. ESPECTRO DE
e w ~ t• ~
n. ondas circunferenciais, n FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE
te 20
- H/L=0.75 PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO
C)
N
9-,----------------------------,---r-~-~----, dens da fluida
B
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2
n. semi-ondas longituc:tinais, m=1 dens. da casca / . . .
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t -+---t---t---t-------t---+---t"---t---,--,---,,---...--.-------..---r----t
2 '
FIG.VI.18.
6 B 10 12 14 IB 18
n. ondas circunferenciais, n ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE
20
H/L=0.5 PARA DIFERENTES VALORES DA DENSIDADE DO FLUIDO
o w
1 04
Ao se desenvolver a análise paramêtrica, verifica-se que
a frequência da casca no ar (íl), obtida a partir do desenvolvi
mento do determinante da equaçao (1I.8a), ê função de quatro p~
rãmetros, a saber:
mnR/L; n; h2 /12 R2 ; (1-v)/2
Na formulação teõrica usada (teoria de Donnell para cas-
cas abatidas), pode-se calcular as frequências como função de
apenas dois parâmetros adimencionais: o parâmetro
n (L/m) n [ -n = = (VI.1)
n R n R
onde [ e o comprimento de uma semi-onda longitudinal, e o pare
metro
z = --R h
(VI.2)
conhecido como parâmetro de Batdorf e que engloba, juntamente
com o coeficiente de Poisson, todos os parâmetros geomêtricos
da casca.
O parâmetro nê tratado como uma variável continua, hi
põtese válida para cascas abatidas.
Usando-se (Vl.1) e (Vl.2) pode-se escrever a expressao
para a frequência minima de cascas abatidas no ar, na forma
2 = (1+n 2) + ----
(1+n2)2
12 z 2 (VI.3)
105
onde TI" e o parâmetro adimensional de frequência dado por
IITI wI (VI.4)
RhTI 2 JT
2 h
A partir de (VI.3) pode-se calcular o valor de n que ter
na esta expressao um minimo. Este valor e dado por
{
(12)1/2 z 1/11/2
n* = - 1 + [ 1! 2 j J (VI.5)
Substituindo-se (VI.5) em (VI.4) verifica-se que a f re-
quência minima ê função exclusiva de Z ou seja da geometria da
casca como expressa por Z. As curvas Z vs n* e z vs TI . min
sao
apresentadas nas figuras (VI .19) e (VI. 20). Observa-se que a
medida que Z cresce (a casca se torna mais longa e/ou mais del
gada), o parâmetro TI cresce. Isto ê, para um dado R, a frequê.1:!_
eia natural w decresce quando Z cresce, jâ que w e inversamente
proporcional ao quadrado de Z o qual ê diretamente proporcional
a (R/h) e ao quadrado de (L/R).
Conhecida a geometria e n*, pode-se determinar o numero
de ondas circunferenciais n* correspondente â frequência mini
ma.
Para o caso de presença de fluido, alêm dos parâmetros
Zen, a frequência minima ê função do parâmetros, que nao po
de ser expresso em termos de .Z e n. Entretanto, ê possivel es
tabelecer a relação [ 6 J
(VI.6)
Fazendo uma aproximação para cascas curtas e cascas lon-
1 O 6
26~------------------~ N ························~······································································ 22 ······················~····································································
~ ························-······································································ 1B
I* 16 e 14
························~········································································
12 ·················································· ....................... ························· 10 ························~························ .............................................. .
e ························~·-······················ .............................................. . 6 ························~············ ........ ························ ........................ .
2 ························~························ ························ ·························
0-1------------,,-..---------~ 10 10
2 1cr 10• 1cr
Numero de BATDORF, Z FIG. VI .19. VARIACAO DO PARAMETRO n* EM FUNCAO
DO PARAMETRO GEOMETRICO Z
1 ......................... , ...... . --NO AR
o ~ 0.9 ------COM FLUIDO X - o.e ......................... , ......................... , ......................... , ...................... ..
' ' ' . . . ' : : : , <t O. 7 ..................... · ... , ......................... , ........................ · ·>··· .................. ,. .. H
~ o. 6 .... ' ........ ' .. ' .. ' .. '.' i- ... ' '. '.'' .. ' '.' ..... ' '·f ... ''' .. ' ' .... ' ' .... ' .. ' ·f'.' ' .. ' .... '. >/ .. .. ~ 0.5 ·························~·························:··························~·············,~··········
CC •••••••••••••••••••..•••• i ......................... ~ ......................... ~ ......... ,~~ ........... . u.. 0.4 . . . ,
~ 0.3 ......................... ~ ......................... i ......................... t. }/.~~--·············· . ' •/
: : ... ·< ~ 0.2 ......................... , ......................... , ................ 7 ... , ........................ . UJ : : , ... "" : 8 0.1 ......................... ( ....... ~~~~-=)-;::"_i ........... i' ....................... . ... o ---------
10 102 1cr 1cf 1
FIG.VI.20. VARIACAO DOS PARAMETROS EM FUNCAO DO PARAMETRO GEOMETRICO Z
1 O 7
gas [ 6 ] ' verifica-se que elas sao iguais para n=1. Assim,
tem-se que para n<1
ílF (1 PF [ )-1/2
= + ílv
p '1T h c
(VI. 7)
e para n> 1 ,
ílF (1
PF R ~)-1/2 = +
ílv Pc h (Vl.8)
Pode-se assim para valores dados de Zen; determinar a
frequência da casca contendo fluido. Deve-se notar que nos ca
sos de cascas curtas (Z pequeno) ou muito longas (Z grande), os
valores das frequências no ar e com fluido são aproximadamente
iguais (vide figura (VI.24)).
Esta formulação bastante simples, que dâ uma boa aproxi
maçao para a teoria de cascas abatidas [ 6 J, pode ser usada com
vantagem no projeto estrutural. Em estudos de otimização des
tas estruturas, quando devido ao grande numero de câlculos re
queridos não seria indicado o uso da teoria geral, esta vanta
gem ê mais evidente.
Deve-se, entretanto, lembrar que esta formulação estâ su
jeita ãs limitações inerentes ã teoria de cascas abatidas.
Nas figuras (VI. 21), (VI. 22), (VI. 23) e (VI. 24), mostra-
se através de espectros de frequência vs modos de vibração, a
influência do parâmetro L/R nos casos de cascas
apoiada e engastada com e sem fluido.
simplesmente
Pode-se comprovar através da observação destas figuras a
diminuição das frequências minimas e do numero de ondas circun-
11 ...... , ........ , ........ , ...... : ........ , ..... n.semi-ondas longitudinais. m= .... , ........ , ....... : ....... . . \: : : ' : : : : ;
16 ····· ·i·······!······+··\,{·······!·······i······+······-f-··· ---- L/R=O. 5 i········,········i·······i·······!········ . · · ~ · · · · -·- L/R=1 o !. ...... L ...... '. ...... L ..... ! ....... .
15 ······\·····-(······/········:· \···(······i·······<·······)···· - - - L/R=5: O : : ( ( 1
14 ·······!\····j·······i·······/·····~·····:-······i ······\···· ------ L/R=10. O i········,········:-······:·······:········
g :: : : : : : : : :1::: :\{:::::: :t::::::: i:::: :: : :t:: :~~$~~: :i::::::: :t:::: ... -:- ....... 1 .~:.~1--~. °. °.
1: .º .... .t:::::: :t::::::: :t:::::: :i::: :~~t< .. - . .;\ . . . . ~ . . . . . . . . ,/ .
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. . . . . . . . . . . . . . . . 4 ········(········i········\········i········f·······!········i········~········!········: ······(········i········\········~········?·······!········i········
: : : : : : : : . : : : : : : : : 3 .. "'~'.' ..... ··j- ...... t··· .... :······.). ······:·· .. ···j····· .. ·;·· ··t·······: .... ···j·····. ··j······ · t .. ·····:··· .... ·:· ...... :· .. ····j······ .. 2 ·······~·:.:.:··~·-·····-~·-·····(········~·-·····=··· :········;········~·······!·······~········1·······~········~·······-~·-·····!·······~········ 1 JC.~:·:..~· ~it~.:~~-:.:~t~-:.::::-: ... ::. ·=· ,':'"""~ .. =·:=":'.~.·e~.-~··~·. ·11
-~·. ~" 'J)~ .. -~··~·. ·r; -~ ... ~. 'J..!-~"~" -~"L; "~"~" ·1~-~ .. ~· .. ~.'Li.-~"~" ·1·1·~" -~"Jº .;[. ·~·. -~"l'; .~ .. ~· .J .. ;[. -~·. ·~· ·:~--~· .J .... : : : : : : : : : : ; : : o . . . . . . . . . . . . . 2 4 6 e 10 12 14
n. ondas circunferenciais, n 16 18 20
FIG.VI. 21. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES PARA DIFERENTES VALORES DO PARAMETRO L/R - H/L=O.O
C> 00
12
11 ·······:······'········,······i·······;·······:·······,······i·······;·······;.........:...-:.............;..........; ....... , ...... 0······:·······'·······
10 ..... ; ....... t.:~_t~.~.~:º.~~.f.5 ... .1[º.n.~l:.' .... ,~? .. J ....... -- L/R=O. 5 ....... ; ...... .!.. .. J.. ... J ...... .
9 õ o ..
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( '\ \ \ ( \ \ \ \ - - L/R=5 . O \ : : j ·······>······!·· '('''~·······!·······~·······=········:·······!·······:······· ·······~·-·····:·······!·······!·······
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' ' i ', i i j j j i - L/R=100. O i i i ,./ . .... 6 u
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5 UJ a: u.
4
3
2
. . . . . . . 1 o 1·~;;;,~J·:;__~··,,;·~;,.·1~· ··~·~=· .. bL=· ··=··±r=· ··=· .±.
1·=· ·=···:·:=·· ·=··=··,_··_·. ·_--L..· ·_· ·L··_··-···11·_·· ·_· ·1-r_··_·· ·j·:_···_··j· 1_···_· .j. ·:_··_···_··Li .. _.·_·. ·1: .. _· ·_·. ·lr_ .. ·_· ·l-:-_· .J ....
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 n. ondas circunferenciais. n
FIG VI.22 ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - APOIO SIMPLES - H/L=i.O PARA DIFERENTES VALORES DA RELACAD L/R
= e:, <.D
. semi-ondas longitudinais. m=1 L/R=O. 5 . . . . 2, ··',····'.··········.··········.·········.·········.·········.········ L/R--1.0 . . . . . . ... ·····:·········: ········:······ ··:··· ·····: .. ·······:········ '\: : : : : : : : : : : 22 ........ '\ ...... ; ...... ) ........ : ....... ; ........ : LL//RR:510· º. O ........ j ......... ; ........ ( ........ j ........ j. ....... j. ...... .
. ' . . . . . . . . . . . : ' : : ·. : •• / . . . . . .
20 · \. · · · · · L R=100. o ........ J ........ L ...... L ....... : ........ !... ..... J ....... . ~ ........ r- .... 'K ...... r·· .. ··-:-· .. ····r .... ·r··· ... , , , , , i i i i i : o . . ... . . . . . . . . . . . . . .
2 : •<LI>F<[I••••LT••••••r••L LI L! TLr••t•••••••• N E u
<( 12 H u z 10 IJJ :::, e, IJJ 8 CC LL..
8
. . . 4 ········f ·······-j-········~········/········1········j········t·······-I-········?······· : ······+········~········~········~········f ·······+········j·········
...... : . . . . . . . . . . : . . . . .
jE~---1·:~'~2,~~·=· ==='~:'cJ':1= =J,=1' =J'cJ==i= =J==1= =J,LJ,=J 2 •••....• ;... ....... :. ........ : ........ : ..... , •• ;,,, .••.. :. .. ............................................................................ ~ ............................ . ____ ;_:-:_j- - ~ - ~ . 1 1 1 ~ 1 l 1 l 1 1 l o : : : : : : : : : : :
2 4 6 8 10 12 U tB tB 20
n. ondas circunferenciais, n FIG.VI.23. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE PARA DIFERENTES VALORES DO PARAMETRO L/R - H/L=O.O
o
a~--------------~~--,--~--,-~-~__,--,----, n. semi-ondas circunferenciais. m=1
. . . . . . . . . . ~
7 ········!· ······ ·1··· ····-1··· .. ··i········f · ··· · ··l·····"-l · -· ····l····· -·f ········!·· ·· ····f ··· · -·· r·····f ··· ·· ···!······-!-·· ·· ···i··· >f : .... ----- : : : : : : : : : : : : : : / : .
º ª ·······i-··-~·:t.,-~~~-:-······+·····-1-······-1·-·····l········l ·······I·····+······-f--·····!······+··>·f<~-l--···:#···· ;! . . . ~-. . . . . . . . . ./ . /,/ .
; · ·· ··· · ··· ·· 11 ··· I ·· :t::>,"-<,,~"! :csc:=·-~<< I ·· z · i ··· · · i ·· ···· : : : : : : : : : : : : : ,.0'::
~ 4 ····----~--z__··r·····:········t·······(-·····1·······1·······(·····t·······[--····r;.·7···; ·····:---····r·····1········
~ 3
·······j-·······f ····->~~-~:c.I·~---1······:1·······.I~~:i;;:r .. ··;·· ···j········l·······j-······-f ·······j-······· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 ........ : ...••... ; ••••.••• ;. ..••.•• ; .•••.••• ; •••..•. ; ....••.• ; ................. ;. ..•••••••....• ; •••.•.•• ;. .•.•••• ; •• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ······-~········:········~·······1·······-~·-·····~·-····· ·····~·-······:········:········:·······-~·······:·· .... : : : : : . : : : : : : ...._ : . : . : : : : : :
---- L/R=0.5 -·- L/R=1.0 - - - L/R=5.0
------- L/R=10.0 -- L/R=100.0 : -~-~-~ : : : : : :
-~--~-=;:-~~-i--+--~--___j_·· ~-----~-----+-·. L,_--,--........-..---l .. ____ _
o . . . . . .
2 4 e e w ~ 14 ~ ~ ~
n. ondas circunferenciais, n FIG.VI.24. ESPECTRO DE FREQUENCIA x MODOS - ENGASTE PARA DIFERENTES VALORES DO PARAMETRO L/R - H/L=1.0
1 1 2
ferenciais correspondente a essas frequências naturais, em fun
ção do decréscimo do parâmetro L/R.
Observa-se tambêm que para cascas 1ongas (L/R > 10) o
numero de ondas circunferenciais, n, correspondente ã frequên
cia minima, ê igua1 a 2.
Note-se tambêm nas figuras (VI.21 atê VI.24) que fixando
o parâmetro R/H em um va1or tipico de cascas de1gadas, por exem
p1o, R/h=300, as frequências naturais obtidas para cascas cur
tas (L/R ~ 1) e para cascas 1ongas (L/R ~ 10) tendem a va1ores
comuns a medida que o numero de ondas circunferenciais cresce,
jâ que o comportamento ê dominado pe1a energia de f1exão.
1 1 3
CAPÍTULO VII
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Foi apresentada neste trabalho, uma anãlise teórico-exp~
rimental do problema de vibrações de cascas cil1ndricas
das contendo fluido não viscoso e incompressTvel.
delg~
A análise foi feita a partir da teoria de cascas abati
das de Donnel l, e para o estudo do problema de interação entre
fluido e estrutura deformável, foi aplicada a expressão teórica
de ''massa de fluido adicionada'', obtida para cascas cil1ndricas
delgadas por GONÇALVES [ 6 J, com a consideração do acoplamento
mo da 1 •
A análise experimental foi feita no Laboratório de Estr~
turas do PEC-COPPE/UFRJ, e aporta ã 1 iteratura técnica novos re
sultados que se somam a alguns outros publicados anteriormente.
Entretanto, contrariamente a comparações teórico-experi
mentais anteriores [11], os resultados obtidos na presente in
vestigação são plenamente consistentes, como demonstrado no Ca
p1tulo VI, para todo o campo de variação do parâmetro H/L anali
sa do.
1 1 4
Talvez, seja esta a maior contribuição do presente trab~
lho que, demonstrando a validade dos modelos teóricos analiti
cos utilizados, possibilita a extensão da análise da interação
dinâmica fluido-estrutura delgada para geometrias mais comple
xas, atravês de formulações teoricamente mais consistentes apll
cadas ao mêtodo dos elementos finitos.
A partir da formulação apresentada, dos resultados obti
dos atravês da mesma, e atravês da análise experimental, podem
ser feitas algumas considerações importantes:
1 - Verifica-se, atravês da análise e comparaçao dos re
sultados experimentais e teõricos para vibrações no ar, que os
modelos teõrico, com a consideração do acomplamento modal do
problema dinâmico, e experimental, demonstram validade e confia
bilidade. Isto ê objetivamente demonstrado atravês do estudo
do problema de interação entre fluido e estrutura. Observa-se
que o fluido tem uma grande influência nas frequências naturais
de vibração da casca. Essa influência ê expressa na formulação
teõrica atravês de uma "massa de fluido adicionada'' que e fun
ção dos parâmetros do fluido e da casca. Verificam-se tambêm
excelentes comparações entre os resultados teõricos e experime~
tais obtidos para respostas dinâmicas sob ação de força de im
pacto lateral na parede da casca.
2 - Conclui-se que não ê possivel se detectar flambagens
localizadas junto aos apoios extremos de uma casca cilindrica
delgada e alongada, pelo menos quando L/R>1 corno no presentem~
dela experimental, atravês de medições de frequências naturais,
jâ que ê demonstrado que estas não sofrem alterações significa
tivas quando o fenômeno de flambagem local se apresenta.
1 1 5
Sugere-se fazer um estudo dos modos de vibração, que e
provãvel que tenham alterações perceptíveis no caso da casca com
grandes imperfeições geométricas como as causadas por uma flam
bagem local.
3 - Sugere-se também um estudo do comportamento dinâmico
das cascas cilíndricas delgadas sob a açao de cargas axiais cre~
centes, comprovando-se experimentalmente a redução das frequên
cias com o crescimento das tensões de compressão. Este procedi
mento possibilitaria se determinar através do comportamento di
nâmico, a carga crítica da estrutura sem leva-la ao colapso.
~este estudo experimental deverá ser aprimorada a simulação das
condições de contorno, para conseguir uma transferência unifor
me de tensões axiais e evitar pontos de concentração que pode
riam levar ã flambagem local da estrutura na zona de apoios.
4 - O desenvolvimento de um estudo experimental do com
portamento não-linear de cascas cilíndricas contendo fluido,
também ê sugerido, construindo-se um modelo experioental com
geometria e características tais que tornem este fenõmeno evi
dente. Tal qual o presente trabalho, esta investigação experi
mental seria uma forma de aferir a consistência dos resultados
teõricos obtidos recentemente no PEC-COPPE/UFRJ [ 6 ].
11 6
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[ 1 J ELSGOLTZ, L., Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacio
nal, MIR, 1977.
[ 2 J GONÇALVES, P.B., Vibrações Lineares de Cascas Esbeltas em
um Meio Fluido, Seminário D.Se., COPPE/UFRJ, 1985.
[ 3 J LAMB, H., Hydrodynamics, Dover Publications, 1945.
[ 4 J WATSON, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions,
Cambridge University Press, 1950.
[ 5 J GONÇALVES, P.B., Vibrações Livres de Cascas Cilindricas
Semi-Submersas, Seminário D.Se., COPPE/UFRJ, 1985.
[ 6 J , Interação Dinâmica Não-Linear entre Fuido e -----Cascas Delgadas, Tese D.Se., COPPE/UFRJ, 1987.
[ 7 J GASSER, F.L.F., BATISTA, R.C., GONÇALVES, P.B., ROITMAN,
N., Interação Dinâmica entre Fluido e Casca Cilíndrica
Delgada, Colloquia 87, Porto Alegre, 1987.
[ 8 J GONÇALVES, P.B. e BATISTA, R.C., Frequency Response of
Cylindrical Shells Partially Submerged or Filled with
Liquid, J. of Sound and Vibration, vol. 119, nQ 1, 1986.
1 1 7
[ 9 J WYLIE, C.R. and BARRET, L.C., Advanced Engineering
Mathematics, McGraw-Hill, 1982.
[10] WILKINSON, J.H., Algebraic Eingenvalue Problem, Claredon,
Oxford, 1965.
[11] LAKIS, A.A. e PAIDOUSSIS, M.P., "Free Vibration of
Cylindrical Shells Partially Filled with Liquid'',
J. Sound Vibration, vol. 19, pp. 1-15, 1971.
118
ANEXO A
SOLUÇÃO DAS EQUACÕES DE EQUILÍBRIO PELO MÉTODO DAS DIFERENCAS FINITAS
Considere-se o sistema de equaçoes de equi1ibrio (11.32).
Ap1icando o mêtodo das diferenças finitas para pontos com
espaçamento uniforme na direção x e com interva1o 6;L/N, onde N
ê o numero de pontos adotado, as equações (II.32) podem seres
critas como:
r u. R2 L l+l
R ( 1-v)
2
- zu. 1
62
1-1 + u. j (1-v) n2
2 U. - R
1
( 1 +v)
2
[W. -W. J
+ R V _1_+_1 _2_6_1-_1_
r_ u. n L 1+1
- u. J 26 1-1 - n2 V. + R2
1
( 1-v)
2
+ n w. + y 2 w2 V. O 1 1
[ V.
n 1+1 - V. J 26 1-1 . +
(A.1a)
1+1 [
v. - 2V. + V. J 1 1-1 +
62
(A.1b)
11 9
tu. - u. j h2 R v 1+1 1-1 - n v. + w. [R(W. - 4W. + 6W. -
26 l l
12R2 1+2 l+l l
1 ( w. - 2W; + w. ) +W. )--- 2 R2 n2 l+l 1-1
l - 2 6 4 6 2
R2 (1-v 2)
+ y 2 w2 W. - p -----· w2 wi = Q 1 F Eh n
Coletando termos,
2R2
r-6-2-
R(1-v) n
46
R v
(1-v) n2
J R2
----- + y 2 w2 U1. + -- (U. - U. ) -
2 62 l+l 1-1
R(1+v)
46
Rv n (V. - v. ) + -- (w
1.+
1 - w
1. _
1) = o
l+l 1-1 26
[
R2 (1-v) (U. - U. ) + - n 2 - ----
1+1 1-1 62
R2 (1-v) +---- (V. - V. ) + n W
1. = O l+l 1-1
4W. + 1-1
+ n4 w;] +
(A.1c)
(A. 2a )
(A.2b)
(U. - U. ) - n V1.
26 l+l 1-1 ( 6aR 4aR2 n2
+ 1 + -- + ---- + a n 4 + y2 w2 -6' 6 2
aR +--
6 4
R2 (1-v 2)
Eh n
(W. +W. )=0 1+2 1-2
(A.2c)
1 2 O
e reescrevendo o sistema na forma simbÕlica,
[- A10 + M11] (U;) + [A11] (Ui+i - U;_ 1 ) + [B11] (Vi+l - Vi_1
) +
+ [C11] (Wi+l - Wi_ 1 ) = O
(A. 3a)
+ [- C2D] (Wi) = O
(A.3b)
[A31] (U. - U. ) + [- B30] (V1.) + [- C30 + M33] (W
1.) +
1+1 1-1
+ [- C31] (W. + W. ) + [C32] (W. + W. ) = O 1+1 1-1 1+2 1-2
(A.3c)
onde os coeficientes Aij, Bij e Cij sao relativos a rigidez e
os coeficientes Mii correspondem ã parte inercial do sistema.
Definido desta maneira, e possivel formar dois mõdulos
bãsicos que irão gerar as matrizes globais de rigidez e de mas
sa do problema de antovalor como o da equaçao (11.26).
Para gerar a matriz de rigidez se define o mõdulo bâsico
5(3,13),(fig. A.1) e a geraçao da matriz de massa e feita a par
tir do mõdulo bâsico P(3,13) (fig. A.2).
1 21
o A 11 - B 11 -e 11 -A10 o o A 11 B 11 e 11 o o o
o -A21 B21 o o -B20 -C20 A21 B21 o o o o C32 -A31 o -C31 o -B30 C30 A31 o - C31 o o C32
Fig. A.1 - MÕdulo básico de rigidez - S(3,13)
o o o o M 11 o o o o . o O, o o
o o o a o M22 o o o o o o o
o o o o o o M33 o o o o o o
Fig. A.2 - MÕdulo básico de massa - P(3,13)
Condições de contorno:
Engaste
U = V = W = W •x = O (A.4)
que em forma de diferenças finitas, fica:
u. = o
V o = o
w, = o
w = w 0+1 O - 1
(A. 5)
122
Simetria axial
Nesta situação o ponto N fica no eixo de simetria, e as
condições para este caso são:
un = o
u n-1 = - u n+1
V n-1 = vn+1
w = wn+1 n-1
w = wn+2 n-2 (A. 6)
Algoritmo de formação das matrizes globais de rigidez de
massa
O algoritmo usado gera as matrizes globais de rigidez e
de massa em banda, tomando como referência a diagonal principal,
que fica posicionada na sêtima coluna das matrizes retangulari
za das.
Na figura (A.3), se esquematiza a formação das matrizes
em banda.
Uma vez geradas as matrizes globais, a resolução do pro-
blema de autovalor foi feita atravês do mêtodo Inve~-0e Powe~
Ite~ation com acelerador de Doolittle, cujas subrotinas sao a
presentadas no livro Eigenvalue Algeb~aic P~oblem-0 [10] de
Wilkinson.
Com o objetivo de generalizar o programa e verificar a
convergência, foi considerado tambêm, o caso de extremo simple~
Diagonal Principal-. . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . ... . ... .. . . . . . . ... ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... : • • • • I • •!• • .• • t• · • • • • ,:, • •:• • •:• • ,:, .. :, · •:· · ·:• • •:• • ,;, · .. ) • •> .. > • •! • • • • I • • ! • • I • ~, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ...... .. .......... .. ...................................... .............. ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ......... ........... .. ...................................... ..... , .......... , .. , .. , .•.
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,••i••i·•i••i••(•• ...... , •. , ... ; •• ,: .•• ;,,,:,,,:,. • . . •• i• . . . . . . . ..... . : i : : : i ' : i : : Df.-'-:--=-;_.;....;....;· f 3' ...;.._;.....,..,'--E] : : . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..
MATRIZ GLOBAL
/
COLUNA 7
.......... ··:1.rno··,··, ·"·s:1·c. :o, ··~'~ ... , .. , P+ .. · ... ............ . .......... . ::+{dq:J::;··;As:ító:
. . . . . . . . . . . . . ·!,.ê'R·r4·. ! .. ! .... ·:·r1·;1·~ .r:i. ·-~~1.1-,,··, ~A·~~·~-1:;1·
::~q:J:t t4$~:G~: ............ ··'k.tno· .. , .. , •1i·s·,.·r"o· .. ~:",t.\J. ..• j .. ; l~ .JJ.4' . .. ............ ............
··:r.tno···:-·: •i·s:··I··r::o:. .. ;(:'ll...J: .• , .. , lH- .~ . ............ .............. . . . . . . . . . . . . . . ...................................... . . . . . . . . . . . . . . 1, .~, ,:, , .;. , ;. • i, ,O',,:,,.;,• 1, ,; , ,:, , ,:, • I
Htt:l:tt H::!::l:lti ~+:rr+++ F:++r:i:~ : : : : : : : : : : : : : : . ............ . . ............ . : : : : : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . . . . . . . . . . . . .
MATRIZ EM BANDA FIG.A.3. ESQUEMA DE FORMACAO DAS MATRIZES EM BANDA
N w
124
mente apoiado.
Simplesmente apoiado
Nx = V = w = MX = o (A. 7)
V
Nx = u + -- (V ,e - W) = o ,X R
V = o
w = o V
MX = w + (V , e + w , e e l = o ,XX R2
(A. 8)
Substituindo o campo de deslocamentos (11.31) e aplican
do o mêtodo das diferenças finitas, as condições (A.7) ficam:
UO+l = Uo-1
V o = o
Wo = o
w = - w 0+1 O - 1
(A. 9)