nêstor zouain - pantheon.ufrj.brpantheon.ufrj.br/bitstream/11422/3552/1/nestorzouainpereira...
TRANSCRIPT
UM ALGORITMO OF DTIMIZAÇAD PARA PROJETO
OF ESTRUT\IRAS ílE GRANDE POPTF
Nêstor Zouain
TESE SURMETIDA AO CORPO DOCENTF DA CDOR1FNACAD CDS PROGRAMAS DE .r
P~S-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO Riíl DE t JANEIRO COMO PARTE DOS REGil!ISITOS NECFSSÃRIOS PARA A ORTFNCPO DO
GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.J
Aprovada por:
evilacqua
Riíl DE JA~FIPO, RJ - ~RASIL
rrnVE:1bRD CE 1876
(, . -(
'
i
A mi gente
ii
AGRADECIMIENTDS
Al Prof. Sally A. Segenreich por la dedicada
orientación de esta tesis.
Al Prof, Luiz Bevilacqua por las ensenanzas que
recebí como su alumno, y por el apoyo moral que brindá a mitra
bajo.
Mucho de lo expuesto en esta tesis fue desarroll~
do en el intercambio de ideas con mi amigo Ing. José Herskovits
a quien quedo reconocido.
Al "Programa de Engenharia Mec;nica" de CDPPE en
la persona del Prof. Leopoldo Eurico G.Bastos.
Al CNPq por la ayuda ceonómica.
iii
RESUMEN
Se propone un algoritmo iterativo de optimización,
basado en un criterio de optimRlidad y se describe su aplicación
al proyecto de estructuras de gran porte.
El algoritmo básico es desarrollado a partir de la
introducción de variables de desvío en un esquema iterativo para
minimización con restricciones de igualdad, ampliando su aplica
ción al caso general de desigualdad. Se consigue generar una su
cesión de disenos factibles, y demostrar que, si converge, su lí
mite es un mínimo local de la función objetivo.
Para el proyecto de estructuras se desarrolló un
sistema automático de síntesis, implementado en computador, que
utiliza el método de optimización propuesto y conceptos de análi
sis estructural orientado al diseno. Este sistema proyecta estruc
turas de geometria fija para minimizar el peso, siendo estas di
senadas para varias estados de carga simultaneos y limitãndose las
tensiones y deformaciones resultantes mediante criterios usuales
en ingeniería.
iv
RESUMO
Um algoritmo iterativo de otimização, baseado num
critério de otimalidade, é proposto e descreve-se a sua aplica
çao ao projeto de estruturas de grande porte.
O algoritmo básico é desenvolvido a partir da in -
tradução de variáveis de desvio num esquema iterativo para mini
mização com restrições de igualdade, ampliando a sua aplicação
ao caso geral de desigualdade, Consegue-se gerar uma sequencia
de configurações factíveis e provar que, se a sequência conver
ge, seu limite é um mínimo local da função objetivo.
Para o projeto de estruturas, foi desenvolvido um
sistema automático de síntese, implementado em computador, que
utiliza o método de otimização proposto e conceitos de análise
estrutural orientada ao projeto. Este sistema projeta estrutu -
ras de peso mínimo com geometria fixa, sendo considerado múlti
plos estados de carregamento, e limitando-se as tensões e defor
mações resultantes por meio de criterios usuais em engenharia.
V
ABSTRACT
An iterativa algorithmfor, the minimization of an
objective function based on optimality criteria concept is
derived and its applications to the optimization of large scale
structures is described.
The basic algorithm for non equality constraints
\s developed by introducing slack variables in a previously
derived algorithm for strict equality constraints. The method
generates a sequence of feasible designs and it is shown that
if the sequence does converge, it will converge to a local
minimum.
The developed algorithm is used as the core of a
computar program for the automatic design of optimum structures
of real life size and complexity.
vi
INDICE
PAG.
1. INTRDDUCCIDN . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . 1
1.1. Dptimización Estructural
1.2. Métodos de Dptimización ......................... 1
2
1.3. Propósitos de este Trabajo . .. ........ .. .. .. .... .. 3
2. UN ALGORITMO DE OPTIMIZACIDN CON RESTRICCIONES OE
IGUALDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . 6
2.1. Formulación del Modelo Matemático ... .. .... .. .. .. . 6
2.2. Un Método de Resolución para el Caso de Res-
t ri cci one s de I gua 1 da d . • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . 7
3. OPTIMIZACION CON RESTRICCIDNES DE DESIGUALDAD, UTI
LIZANDD VARIABLES DE DESVIO .....•..................... 11
3.1. Introducción del Concepto de Variables de De~
vío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 V 3.2. Elección dinámica del Parámetro de Relajación a .. 16
3.3. Modificacion para restricciones positivas (i~
factiblesl 19
3.4. Restricciones de tipo x. > xM ................... 20 i - ,1
3.5. Restricciones consideradas en una Iteración ...... 22
3.6. Elección del Parâmetro de Central K ••• , .••••••••• 22
3.7. El Algoritmo de Iteración 24
4. CONSIDERACIDNES SOBRE CONVERGENCIA OEL ALGORITMO ...•.. 26
4.1. Condición de Kuhn-Tucker para el problema co~
siderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Proceso de Separación de Restricciones ..•..• ,, ,. , 27
4.3. Criterio de Oetención ............................ 29 V
4.4. Oiscusión del sistema que determina À •••••••••••• 30
5, OPTIMIZACION CON FUNCION OBJETIVO NO LINEAL 32
6. EJEMPLDS OE APLICACIDN DEL METDDO PARA FUNCIONES EX
PLICITAS , .....• , ...... , .. , ... , . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . 34
vii
6,1, Minimización de una función Lineal de dos Va
riables con Tres Restricciones Explfcitas
6.2. Mínimos Libre y de Frontera para Una Función
de dos Variables, con Tres Restricciones
6.3. Minimización de una Función no Lineal de Tre
ce Variables con Tres Restricciones .............
PAG.
34
41
44
7. ANALISIS ESTRUCTURAL ORIENTADO AL OISENO OPTIMO ...... 48
7.1. Formulación del Análisis de la Estructura ....•.. 48
7.2. Restricciones de Desplazamiento , .... .. .. .... .... 50
7.3. Restricciones de Tensión ...... ,, ,, . ......•. .• .. . 51
7.4. Derivadas de Desplazamientos ...•........••...... 53
7.5. Derivadas de Tensiones ..•...........•.... , ...•.. 54
8. UN SISTEMA AUTDMATICO DE PROYECTO DE ESTRUCTURAS Y
EJEMPLOS DE APLICACION •...........•............•..... 56
8.1. Tipo de Estructuras Proyectadas ...•.•.••........ 56
8.2. Descripción del Sistema Computacional , .. .• ...... 57
8.3. Ejemplos de Aplicación .. , ..•....•..••••..... ,,, • 59
8.3.1. Viga de placas y
8.3.2. Torre ( 16 V. d. ,
8.3.3, Torre (72 V. d. ,
8.3.4, Estructura plana
barras ( 21 V. d• , 41 elem.) ,
72 elem, l . ............... 72 elem. J ................
( 105 V. d. , 200 elem.)
60
65
72
72
9. CONCLUSIONES .•........•....•.•.........•....•........ 77
9.1. Sobre el Algoritmo .............................. 77
9.2. Sobre el Sistema de Proyecto ...................• 77
9.3. Posibilidades para continuación del Trabajo . .... 78
REFERENCIAS 80
NOTACION .. , . , , , •.•... , , ............................ , , , . . 82
1. INTROOUCCI~N
La preocupación de conseguir el proyecto mas efi
ciente posible es una de las motivaciones de gran cantidad dein
vestigaciones científicas, asi como está presente en la mayoria
de los desarrollos tecnológicos.
La definición del criterio de eficiencia y el co
nocimiento de los fenómenos físicos envueltos, presupuestos bá
sicos para emprender la bÚsqueda del mejor proyecto, son, en si
mismos, formidables tareas en la mayoria de los casos. Existen,
sin embargo, situaciones en que esta etapa de análisis puede ser
!levada a cabo con razonable facilidad y precisión, pero en los
cuales la síntesis es complicada y tiene características propias
que justifican el estudio de este problema enforma independie~
te del asunto original.
Frecuentemente es posible adaptar análisis y sín
tesis para funcionar con coherencia mútua. Se obtienen de esta
manera los mejores resultados [1,2].
Con esta Última idea han sido desarrollados méto
dos de proyecto de estructuras y es la misma que orienta estetra
bajo.
El desarrollo de la computación electrónica perm~
tió que se produjeran grandes avances en el área de proyecto de
estructuras y provocá grandes modificaciones en los métodos em
pleados. Asi en los Últimos quince anos [3] fue posible abordar
el proyecto Óptimo de estructuras de tamano real, en que las d~
mensiones a elegir son numerosas asi como lo son las exigencias
de resistencia y deformación impuestas generalmente.
1.1. Optimización Estructural
El objetivo es proyectar una estructura que cumpla
con ciertas restricciones que le son impuestas y que sea Óptima
de acuerdo a un criterio de calidad preestablecido.
Las variables de diseno, que se procura determi -
nar son las dimensiones de los elementos estructurales, en tan-
2
to que las restricciones son las condiciones exigidas para que
la estructura satisfaga los criterios de funcionalidad y segur!
dad adaptados, en cada uno de los estados de carga para los que
es proyectada.
El criterio de calidad mencionado anteriormente eva
lúa cuantitativamente el mérito de cada diseno posible y se con
sidera un diseno 6ptimo~ cuando le corresponde el "mejor" valor
de ésta funci6n objetivo.
Se llama optimizaci6n geométrica cuando la forma
de la estructura a proyectar depende de las variables de diseno
y optimizaci6n de geometría fij~ cuando la forma de la estructu
ra es definida a priori.
Cuando los valores posibles para las variables con~
tituyen una regi6n densa diremos que se trata de optimizaci6n con
variable continua y si éstos solo pueden ser elegidos de un co~
junto numerable, estamos frente a un problema de optimizaci6n
con variable discreta.
1.2. Métodos de Optimizaci6n
Identificada la optimizaci6n estructural como un
problema de programaci6n matemática no lineal, fueron aplicados
a ésta los métodos matemáticos ya conocidos, que se tornaron uti
lizables en estructuras cuando se dispuso de los computadores
electr6nicos.
Entre los métodos clásicos de programaci6n matemá
tica se encuentran:
- el método de las direcciones factibles
- el método de la funci6n de penalidad
El primero es ampliamente usado en optimizaci6n es
tructural [4,5].
Los funciones de penalidad, adecuadamente elegi -
das, permiten tratar inclusive casos de restricciones no deriva
bles, como se presentan cuando el diseno es limitado por normas
(discontinuas) de aceptaci6n.
Aun cuando estas métodos de programación matemáti
ca tienen sus fundamentos bastante esclarecidos desde el punto
de vista formal, ellos se muestran muy poco eficientes cuando
el tamano del problema es grande en términos de número de varia
bles y de restricciones. Es asi que abordar el proyecto de es
tructuras de gran porte mediante la utilización de programación
matemática clásica y análisis estructural "exacto", se presentó
completamente imposible en tiempo razonable de computación.
La dificultad anotada impulsó el desarrollo del
análisis aproximado [s] y de los métodos basados en el criterio
de optimalidad [7-14],
Los métodos de criterio de optimalidad son esen -
cialmente algoritmos iterativos que redimensionan la estructura
mediante una fórmula de recurrencia que procura satisfazer un
criterio que caracteriza el punto de óptimo. La idea básica fue
motivada por el método "stress ratio methodt [1s] en que cada
área transversal de elemento estructural Ai se recalcula por
( 1. ll
Una limitación de este algoritmo es que las res-
tricciones que es capaz de tratar sala pueden ser sabre las ten
siones. En casos usuales este método no converge al Óptimo de
la función objetiva.
Las métodos de criterio de optimalidad modifican
esa fórmula de recurrencia (1,1) de modo de superar las proble
mas mencionados, conservando en cambia la simplicidad de redis~
no y la rapidez de canvergencia inherente al
method".
1.3. Propósitos de este Trabaja
"stress ratio
Se desarralla un algoritmo iterativo de aptimiza
ción, basado en un criteria de aptimalidad y se describe su apl!
cación al proyecta de estructuras de gran porte.
4
El algoritmo presentado es especialmente apropiado
para el tratamiento del problema de optimizar una función deriv~
ble, respecto de variables numerosas, con restricciones definidas
por funciones derivables, también presentes en número elevado,
siendo que todas las funciones y derivadas que intervienen pue -
den ser definidas implicitamente, como es el caso en optimizoc:ión
estructural.
En el capítulo 3 desarrollamos el algoritmo básico
a partir de la proposición hecha por S.A.Segenreich de utilizar
variables de desvio en el algoritmo presentado en la referência
[1~ ampliando su aplicaci6n al caso general de restricciones de
desigualdad. El capítulo 2 incluye la formulaci6n del problema g~
neral de optimización y un breve resumen del método mencionado p~
ra el caso de igualdad.
En la formulación del algoritmo se consigue defi -
nir una sucesi6n de disenos factibles haciendo uso de las posib!
!idades adicionadas por el concepto de variables de desvío. Se
demuestra que esta sucesi6n, si converge, tiene como lÍmite u,mí
nimo local de la función objetivo.
Establecido el método de optimizaci6n, se conside
ra la convergencia del mismo y se da también un criterio parar~
conocer cuando un diseno es Óptimo (capítulo 4). Algunos ejemplos
numéricos, no estructurales, son examinados en el capítulo 6.
Para el proyecto de estructuras se desarroll6 un
sistema automático de síntesis implementado en computador, que
utiliza el método de optimizaci6n propuesto, asi como conce~os de
análisis estructural orientado al proyecto Óptimo esquematizados
en el capítulo 7 y formulados extensamente en la referencia [1s].
El sistema de proyecto mencionado, disena estructu
ras de geometria fija para minimizar el peso. Las estructuras co~
sideradas, deben ser modeladas por elementos finitos de tipo ba~
ra biarticulada o placa triangular (membrana) y son proyectadas
para varias estados de carga simultaneos. Se limitan las tensio
nes y deformaciones producidas, por criterios de resistencia usu~
les en ingeniería que incluyen restricción en la tensi6n equi
valente (Hencky-Von Mises) y pandeo.
El capítulo 8 consta de la descripci6n general del
5
sistema de proyecto y de los ejemplos estructurales procesados.
6
2. UN ALGORITMO DE OPTIMIZACIÕN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD
En los capítulos 2 y 3 se introduce el algoritmo
matemático que constituye la base del método de optimización es
tructurado en este trabajo.
De acuerdo con este propósito corresponde aqui es
tablecer solamente las ecuaciones fundamentales de dicho algo
ritmo. Existe, sin embargo, la necesidad de interpretarlas de
acuerdo al significado físico del problema que representan.
2.1. Formulación del Modelo Matemático
El problema de optimización considerado puede ser
esquematizado de la siguiente manera:
Sea un vector x que caracteriza completamente un
diseiio y que llamaremos vector de diseiio, en tanto que sus m co
ordenadas constituyen las variables de diseiio. Una función
p (X) : ( 2 • 1)
evalua cuantitativamente el mérito de un diseiio. Frecuentemen
te P(xl es el casto generalizado correspondiente al diseiio x.
o El objetivo es encontrar x tal que P(x) sea mí-
nimo.
Un diseiio x se llamará factible cuando cumpla con
las restricciones
j : 1 • .e. ( 2. 2 J
Estas restricciones representan por ejemplo las
exigencias de que el diseiio de una estructura resista ciertas
cargas sin que se produzcan tensiones o desplazamientos inadmi
sibles.
Es entonces, un problema de minimización restrin
gido al dominio de diseiios factibles.
7
2.2. Un Método de Resolución, para el caso de Restricciones
de Igualdad
En la referencia [13] fue presentado un algoritmo
de optimización que, con el método desarrollado en esta tésis
se procura generalizar. Se refiere, el primero, al caso partic~
lar, del problema de optimización planteado, en que las restric-
ciones son todas del tipo cj(~J = D.
Es conocido que este problema está asociado a la
minimización, sin restricciones, de la función de Lagrange
q>(x,À) = p (X) + t í:
j=l Àjc.Cxl
J -
donde las Àj son variables introducidas por conveniencia.
( 2. 3 J
La resolución de este problema conduce a la del
sistema:
t :.:.i pi + í: À = o i=l,m j=l j a xi
( 2 • 4 J
cj = o j = 1, t C 2. 5 J
para las variables X y À
Estas ecuaciones (2 .4) y (2. 5) son condiciones ne
cesarias que • o
verifica el optimo x del definido en(2.ll o y (2.2). Es decir, existe À tal que
problema o o
( x , À J es solución del sis
tema anterior. À~ son los parâmetros de Lagrange.
Basicamente, el método de la referencia [13] con
siste en construir una sucesión de vectores {xv} v=l,2,3, .•• d~
finida por una ley de recurrencia que asegura una disminución mo
de la función P(xl, al mismo tiempo que in-nótona
tenta , que se continuen verificando las relaciones c = O, va-j
liendose de una aproximación lineal.
Una fórmula de recurrencia
( 2 • 6 J
8
solo puede ser útil para nuestro propósito si, cuando consigue o
alcanzar el punto ~ donde se produce el Óptimo, una nueva ite
ración no modifica el vector x,
observando l"s ecuaciones de Lagrange (2, 4) y
procurando satisfazer la propiedad anterior puede pensarse en
utilizar la siguiente definición del coeficiente de redimensio
nado:
\/ !l (l-cx J l: ( 2 • 7)
j=l
es un parâmetro introducido para controlar la conver
gencia y À\/ es determinado en cada iteración de modo que
satisfaga las restricciones. En efecto, si en la iteración
\/ + l X
es \/ o x = x las ecuaciones de Lagrange son verificadas y resulta
·v · v+l v C, =lo sea x = x; siempre que el mecanismo de definición
]. \/ enunciado para À
los parâmetros de
asegure la convergencia o
Lagrange ~ ,
de esta sucesión a
A los efectos de explicitar como se consigue el~
gir cx\/ y la sucesión \/ À imponiendo las condiciones anteriores,
se transcriben algunas relaciones obtenidas en la referencia ci
ta da,
Para la variación en x se tiene, de acuerdo a la
fórmula de recurrencia (2 .6) y (2, 7J
\} [,',X. )
].
y para la variación de P ( xl del diserio \/ al v+l
(,',PJ \1 \/ [ v m = (cx -ll P(~ )+ .i:
]. = l
( 2 • 8 J
( 2 • 9 J
(*) \1 debe ser interpretado en todos los casos como un Índice y nunca como un exponente. Este vale para todo el presente trabajo.
9
El incremento en el valor de las restricciones es
j=l,R. (2.10)
o, sustituyendo (2.8)
y
o
C a? - 1 l [ ~ (: e j f x ~ + ~ i=l xi 1 i=l
Conviene entonces definir
m í:
k=l
:l e \/
(aç) X~
j=l,R.
j=l,R.
k=l,R. j=l,R.
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Se puede entonces transformar (2.9) y (2.11) en
Dividiendo (2.15) por (2.14)
\)
(llcj)
(llPJ"
(2 .14)
j=l,R. (2.15)
j=l,R. [2.16)
P[x"J-$" - j
j = 1. t [2.17)
10
V Este sistema de ecuaciones lineales en À , puede V V ser resuelto, una vez conocidos CAcjl y CAP) . Es suficiente a
hora, elegir estas valores de acuerdo a los criterios enuncia -
dos anteriormente. Es decir, los incrementas CAcj)v = -cjCxv)de V modo de corregir el errar en las restricciones, y CAP) un va-
lor negativo para imponer una reduqción de peso. Estas dos pro-
pósitos estan vinculados; si
va1
la variación provocada en
neal sobre Acj.
se V
X
selecciona una reducción excesi
hace fracasar la previsión li-
Finalmente, la fórmula de recurrencia queda, de
acue rd o a ( 2 . 14 J y ( 2 , B J : ·.
V (Ax.) l
(2.18)
Una iteración consiste en elegir (AP)v, resolver V el sistema C2.17) para À, usando luego esos valores para calcu
V+ 1 lar x mediante ( 2. 18).
Una discusión mas amplia de este método de opti
mización con restricciones de igualdad se encuentra en la refe
rencia [13], incluyendo ejemplos de aplicación.
11
3. OPTIMIZACIÕN CON RESTRICCIONES OE OESIGUALOAO, UTILIZANDO
VARIABLES OE DESVIO
3.1. Introducción del Concepto de Variables de Desvio
El problema general planteado en la sección 2.1
minimizar
con las restricciones
m P(x) = Z: p X
i i i=l
j = l, i
es equivalente al siguiente problema
minimizar
con las restricciones
donde
y
m P(x) = Z: p X
i i i=l
j=l,i
j = 1 , i
( 3. 1)
( 3. 2 l
( 3. 3 l
( 3. 4 l
( 3. 5 l
Esta Última definición, representada por las igua~
dades (3.5) permite, en consecuencia, reducir el problema gene -
ral al caso resuelto en la sección 2.2, que trata con restriccio
nes de igualdad exclusivamente.
El casto de esta transformación es haber agregado
a las m variables xi' i variables zj. Aun mas, desde el punto de
vista cualitativo, las variables zj sonde naturaleza diferente
a las xi y carecen de un significado físico directo.
Una aplicación, sin mas, del método de la sección
2.2 no darfa resultado debido a 3P ~-=O (o pj=Dl y las fórmulas az
b 1Js.
que, para las variables zj' es
de recurrencia serían inaplica -
Sin embargo vamos a mostrar que es posible desar
rollar un algoritmo similar al anterior, efectuando las modifi
caciones necesarias para evitar los problemas anotados. Esta pu~
de ser considerado una innovación aportada por el presente traba
12
j o •
Considerando la función de Lagrange asociada al
problema establecido en (3.3) y (3.4)
R, cJ>'(x,z,À) = P(xl + 1:
j = 1 Àjc'(x.zl
j - -( 3. 6 J
se transforma el problema general en la resolución del sistema:
R, ac
pi + 1: Àj ~ = o i=l,m ( 3. 7J j=l
Àj zj = o j=l.R. ( 3. 8 J
e j ( ~ J + 2 zj = o j=l,R. ( 3, 9 J
para las variables x.z y À,
Las ecuaciones de Lagrange (3.7) y (3.8) junto
con (3.9) constituyen una condici6n necesaria que verifica el - o optimo x del problema general definido en (3.1) y (3.2), Es de
cir. existen ~o y ~o tales que (~º-~º-~º) es
˼ -sistema de ecuaciones. j son los parametros
solución de este
de Lagrange.
Se define ahora una sucesión de vectores
\/ \/ \/ \/ W = ( X 0 z 0 À )
por una ley de recurrencia que se explicita a continuación.
o sea
= (av-ll [1+ ~ j = 1
1= l.m
j=l.R.
1=1.m
j=l.R.
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
13
donde K y av son parâmetros íntroducidos para controlar la con
vergencia.
Se establecerá, mas adelante, un mecanismo para • - ÀV V calcular los terminas de la sucesion. y otro para a.
Las fórmulas de recurrencia anteriores fueron g~
neradas procurando relaciones de tipo
V f. (w. J
l l
(en que f. (w) son funciones que definen l • V
propiedad de que cuando ~ converja, lo
la recurrencia), con la o
haga al vector ~ que
satisface las ecuaciones de Lagrange (3.7), (3.8) y (3.9).
V En efecto si w tiene lÍmite w*, tomando límites
en la igualdad anterior se deduca
lim f. (wvl = O v+oo l -
y si fi(~J es continua, se tiene
f.Cw*J = O l -
En consecusncia, con la recurrencia elegida en V
(3.12) y (3.13), si existe el lÍmite de w , en ese punto w'~ se
anula el parêntesis recto en (3.12), en la hipótasis (a*-1) y
x~ no nulos, verificândosa asi la primera ecuación da Lagrange
(3.7); y tambien se anula el ·producto À~z1 en (2.13) lo cual
constituye la segunda.
Luego, el lÍmite w* de wv coincide con el Óptimo o
w definido por las ecuaciones de Lagrange, si cumple (3.9)
A continuación se describa una elección de Àv
que procura hacer
= o j = 1 , l', (3.14)
para todo v, y dentro de una previsión lineal de las variaciones
de las funciones envueltas.
14
Las igualdades (3.14) quedan aseguradas si se sa
tisfa2en las dos condiciones:
i) c'Cx 1 2 1) = o j = 1 , t j - ~
ii) '[ V V) = o implica C' ( X V+l v+ 1
1 o c j ~ ': '2 = j - -
para j = 1. t
La primera condición Cil se satisface comen2ando
con un diseno factible x 1 y definiendo
2 1 = /-c.Cx 1)
j J -j = l,i
La segunda condición (iil equivale a decir que
Si
es
V / V ' 2j = -c.Cx l J -
V V ÔC' ( X , 2 ) = 0
j - -
j = 1 ,t (3.15)
j =l, t
Adoptando una aproximación lineal (indicada por
~i para las restricciones y para la función 2 2 , se obtiene
Ô V V m ( e j) V V V
(llcj'l ~ E ~ llx.+22jllzj i=l xi 1
j = 1 , t (3.16)
sustituyendo aqui las expresiones (3.12) y (3.13) queda:
m Ô C V m i Ô C. V Ô e )V X~
Cbcj'Jv~cav-1) [ l: (~) x~+ l: E (a1") (~ 1
i=l axi 1 i=l k=l xi xi pi
j = 1, .e, (3.17)
y teniendo en cuenta (3.15):
V
Cllc'lv~cav-1) [ ~ (:cj) x~+ ; j i=l xi 1 i=l
j = 1, t (3.18)
15
Para simplificar la notación se define:
m (~) V
B V V j=l,R. (3.19) = i: 1 a xi
xi j
V V V V m (ªck) (~) xi
- K V o f3 kj = 1:1 axi axi L Cj Kj k=l,R. (3.20) pi j = l,R.
donde
" # j
" j
Es posible ahora escribir (3.18) en la forma
j = l,R. (3.21)
De acuerdo al propósito de obtener una nueva con
figuración factible, representado por õcj = 0, se debe elegir
Àv de modo de satisfacer.
R,
i:
"= 1
j=l,R, (3.22)
Es necesario entonces, antes de redimensionar ~s V V V vectores x y z , resolver este sistema lineal en À •
El algoritmo ideal, en
cera en cada iteración solo puede ser
que (õc'.lv es exactamente J
alcanzado efectuando pa -
sos infinitesimales; aun asi los sucesivos errares pueden ser
acumulativos. Nuestro algoritmo, de variaciones finitas, queda
definido por la relación de recurrencia (3.10), y por el siste
ma (3.22). Es con respecto a estas relaciones que deben ser ana
lizados, por tanto, los problemas de factibilidad y convergen -
eia, lo que se hace en las próximas secciones.
Se observa también, que en este algoritmo final V V V
À es función de x solamente, entanto que z no interviene en
16
el redimensionado del vector de diseno.
V 3.2. Elección Oinámica del Parámetro de Relajación a
La fórmula de recurrencia (3.10) ha sido utiliza
da por Kiusalaas [10] y otros [14], adaptando un valor para a,
determinado empiricamente, mi entras que Segenreich [12, 13] con
sigue asegurar
cada i te raci ón
una reducción monótona de V el valor apropiado de a
casto, calculando en
Aqui se tomará un valor av < 1, diferente en ca-
da iteración, y atendiendo a los siguientes requerimientos:
V iJ validez de la aproximación lineal en ócj
Habiendo calculado Àv,
riable de diseno aparece proporcional
biando (3.12) en la forma
V (a V -1) V V
óxi = Vi Xi
R, Àv (ª r V E
j c. donde V. = 1 +
pi ax~. 1 j=l
la variación en cada va -V
a (a -ll. En efecto, escri
i = 1, m (3.23)
i = 1, m (3.24)
En la sección anterior, en (3.16), se utilizá una
aproximación lineal de la función cj. Evidentemente los result~
dos posteriores serãn válidos en la medida en que esta estima -
ción sea aproximadamente correcta. A los efectos de conseguires
ta condición vamos a limitar la variación del vector x por:
(3.25)
suministrando un valor para t determinado por las condiciones X
del problema (tipicamente 0,2).
siendo = [ ~ óx~2J 1/2 i=l 1
(3.26)
basta elegir
17
t X
m \/ 2 \/ 2 1/2 [ l: vi xi J i=l
(3.27)
\) + 1 iil permanencia de x en la región factible
\) El propósito de mantener cjC~ J nulo para todo V
(sección 3.1, (3.14)) esta condicionado por las aproximaciones \) \)2
lineales de nc. y n(z l asumidas. Es preciso pues, analizar s~ J j
gÚn el esquema final que el algoritmo adapta cual es la relación
entre los Àv obtenidos de I<.
l!, \) \)
l: f\jÀI<. = 1<.=l
13 ~ J
j = 1 , l!,
y la factibilidad de los sucesivos disenos generados.
Para ésto establecemos la igualdad sigui ente ,qu,e
equivale a la anterior y es, por tanto, independiente de cual -
quier aproximación:
j = 1,t (3.28)
Si se elige a" de modo que
para todo j tal que À\/> O j
(3.29)
se deduce de (3.28), en la hipótesis cj C~"J < D, que
para todo j tal que Àv > O j
Si la limitación (i) asegura una buena
ción de nc" por Vc"j .nx", entonces (3.30) significa que j - -
sulta acatada por t ·lcjcx"J ! . c -
C 3. 30)
aproxima\/
nc j re-
18
En resumen (3.29) implica que la máxima variación
relativa permitida para cada restricción es V
lineal de los bcj.
t c
en una previsión
t es un parámetro c
menor que l la previsión para los
suministrado como dato y si es V+l
cj es que sean todos negat!
vos (factiblesJ.
nes asociadas a
En (3.29) y (3.30) se han exlcuido las restriccio
Àv negativos porque para éstas es j
segun se deduce de (3.28), no siendo probable. en consecuencia
una infactibilidad provocada poresas restricciones.
Para no extender mas este desarrollo se deja para
el apendice 2 describir como se selecciona t c
iii) limitación en las variables de diseno
Es usual tener restricciones de tipo
i=l,m (3.31)
que conviene separar de las restantes restricciones para no au -
mentar el número de operaciones y el tamano del sistema (3.22).
V+l De acuerdo a (3.23), para que x cumpla con la
V limitación antedicha es suficiente escoger a de modo que:
para todo i tal que v~x~>O
(3.32)
iv) condición de convergencia
Siendo
la convergencia de
V bx.
1
a cera,
Jav-11 acatado superiormente.
i=l.m
V implica la de bxi en caso de ser
19
Se impone, entonces:
(3.33)
Esta limitación normalmente determina av para las
Últimas etapas de la aproximación.
En definitiva, se adapta el máximo valor
que cumpla simultaneamente (3.27), (3.29), (3.32) y (3.33) pues
éste es el que provoca la mayor disminución de cesto, en las con
diciones asumidas.
Este valores:
t = c
j = 1, t
i=l,m
3.3, Modificación para Restricciones Positivas (Infactiblesl
Desde el punto de vista del ingeniero, es impor
tante que un proceso de reducción de cesto produzca una secuen
cia de disenos aplicables, o en otro lenguaje, una sucesión de
vectores en el dominio factible.
En las secciones anteriores se han utilizado las
derivadas de las restricciones para, por distintos arbítrios, con
seguir un nuevo diseno factible a partir de uno que lo era. A p~
sar de ésto, debido a la aproximación lineal usada, para 6c~,a!
gunas restricciones pueden resultar ligeramente infactibles, es - ) V+l . decir positivas (y pequenas para~ . Las igualdades utiliza-
das no son entonces válidas para iniciar una nueva iteración.
Nos proponemos, en ese caso, realizar un redimen
sionado que provoque:
se exige:
\) -c.(x l
J -
20
para todo j tal que
(3.34)
Utilizando, como antes, una aproximación lineal.
\) para todo j tal que c.(x) > O
J -(3.35)
Utilizando la fórmula de recurrencia (3.12) se
obtiene una ecuación en ~V que deberá sustituir la correspondi
ente a la mismo restricción, en el sistema (3.22) que determina À\).
Esto es equivalente a alterar la definición de
los coeficientes 8's como sigue:
m [(~)"J 2
' \) x·
\) k Bjj =
k:l axk pk para todo j tal \)
que c j [ ~ l > o
m (~)
\) \) (3.36)
8 \) \) cj =
- 1:1 axi X• -
j 1 (a-1)
Aqui existe la dificultad que para aplicar es -
tas definiciones precisamos a", que solo es determinado cuando
se conoce Àv. \) - l
Utilizamos a
lo podemos asegurar que (3.35)
en (3.36), y
es válida si
3.4. Limitaciones de Tipo xi~ xM,i
en consecuencia SO:""
V-l V (l =Cl.
En la sección 3.2 (iiil fue dicho que cuando se
requiera obtener una solución del problema de optimización cu
yas coordenadas no sean menores que ciertos valores suministra
dos como dates, se ha de adoptar aqui un tratamiento de estas
restricciones diferente que el usado para las otras. Se quiere
21
con ésto utilizar la ventaja que proviene de conocer la forma ex
plÍcita de las restricciones de coordenada mínima, lo que no su
cede con las restantes, y evitar fundamentalmente aumentar el ta
mano del sistema que determina Àv.
En resumen este tratamiento consiste en efectuar
cada iteración ignorando estas restricciones y solo teniéndolas
en cuenta cuando se limita el valor de av por:
V V para todo i tal que vixi > O
V+l lo cual asegura que x. > tM.xM. para i=l,m
1 - ~i
(3.37)
(3.38)
tM es un parámetro positivo y menor que l, introducido para ma
jorar la eficiencia, como se explica mas adelante.
Realizada la iteració~ es decir, aplicadas las
fórmulas de recurrencia, se determinan las variables que son me
nores que su lÍmite, las que adoptan este valor mínimo. En las
iteraciones ulteriores estas variables no son mas modificadas
en consecuencia son excluídas de las fórmulas de redimensionado
utilizadas en el proceso iterativo.
No se puede asegurar ahora que cuando el algori!
mo converge, lo hace a la solución del problema origina~ pero
afortunadamente se dispans de un test que permite dilucidar con
rigor esta cuestion, que es descripto en la seccion 4.3. Detec
tada la situación de que se haya convergido a un punto diferen
te del Óptimo del problema original, queda el recurso de volver
a incluir todas las variables fijadas y continuar las iteracio
nes. Este caso no es frecuente.
Cuando algunas variables están tendiendo a su va
lar mínimo, es comun que ésto disminuya el "paso" realizado(por
(3.37)). Permitiendo a esas variables disminuir hasta tM.xM,i'
en lugar de solamente hasta xM . , varias de • l
valor mínimo en una iteración y se obtienen
ellas alcanzan su
mayores reducciones
de peso en las iteraciones. Tambien se adapta una zona CxMi
(l+t JxM .l en que las variables son impuestas en su valor mí-a ,i
nimo, siendo t dado en función de las características del proa
22
blema.
3.5. Restricciones Consideradas en una Iteración
Si se eliminan del problema de optimización alg~
nas de las restricciones no activas en el Óptimo (o todas) se
obtiene un problema equivalente, es decir con la misma solución o
x • Desafortunadamente este no puede ser ~levado a cabo porque
estas restricciones no son conocidas a priori.
Estas observaciones sugieren el procedimiento
usual en optimización estructural, que consiste en seleccionar en
cada iteración un conjunto de restricciones consideradas en el
redimensionado mientras que las restantes son ignoradas hasta la
siguiente iteración. Es evidente la necesidad de hacer ésto pa
ra reducir en algo el tamano, en cantidad de restricciones, de
un problema, de si, ya grande.
Debemos tener entonces un criterio para discer -
nir cuales son las restricciones que se toman como "mas activas"
en cada paso. Un ejemplo inmediato de una estrategia para este
propósito es incluir en el conjunto de restricciones considera
das aquellas cuyo valor supera un nivel E(negativol. Un cri te -
rio peco conservador (E grande) puede provocar problemas dei~
factibilidad, en tanto uno demasiado seguro (E pequeno) puede
aumentar el tiempo de computación de forma inadmisible.
Pueden ser elaborados criteriors mejores y prin
cipalmente mas relacionados con la naturaleza física particular
del problema de proyecto. En la referencia [1s] se describen cri
terias que produjeron buenos resultados en los tests realizados.
3.6, Eleccián del Parámetro de Centro! K
Es conveniente tener un algoritmo que no se alt~
re con un cambio de unidades efectuado en las magnitudes x, cj
y P que definen el problema.
Vamos a asumir que las funciones cj son adimen -
23
sionadas, lo que as sismpre posible conseguir. Esta es una sim
plificación prescindible.
Examinando la igualdad (3.11) en que fus introdu -. cido K, se concluye que sl producto KÀ as adimensionado; y de
la (3.6), donde los À's fueron definidos, que P y À tienen la
rnisrna dirnensión. Luego sl producto K'. = K.P es adirnensionado.
Si la Única alternativa es determinar el pararne
tro de contra! K empiricamente, corno el valor que rnejor funcio
na para las funcionas de interés, es prefsrible utilizar K' que
K
Las consideracionss sobre elección de K no se ag~
tan aqui evidentemente. En la sección 4.4 se da un critério im
portante para estas efectos.
24
3.7. El Algoritmo de Iteración
IN I CI ACION
ANALISIS
CRITERID PARA RESTRICCIONES CONSIDERADAS
DERIVACION
1. Suministro del diseno inicial x 1 o determina -ción automática del mismo. El conjunto v de
variables no fijadas se inicializa incluyen
do todas las variables.
2. Cálculo de cj (~ V) para j = 1, R,,
3. Elección del conjunto a (de subindices) de
restricciones consideradas en la iteración.
4. Cálculo de
6 • Cálculo de los
m (~) V
Bv = -1,:\ axi j
j E a
i E V
parámetros B' s.
V j a X, E ].
j E a
( *)
k E a
REDIMENSIONADO 7. ResoluciÓn del sistema
6.
g •
"Bv Àv Bv . " kj . = JEa J k
Cálculo de V V
Àj (~) V = l + i: V, ].
jEa pi axi
Determinación de a.V
V x.-tMxM .
]. . ].
V V vi xi
k E a .
i E V
t c
(·') modificadas por T3.3S) para restricciones positivas.
25
REDIMENSIONADO 10. Redimensionado de X -(cont.J
\} + l [1 + C a
\} "] \} i X. = -llvi xi e: V i
11. Si tMxM,i < v+ l
(l+t JxM DETERMINACIDN X. < - i - a ,i
DE VARIABLES \} + l FIJAS se impone xi = xM,i" Se actualiza el con-
junto V de variables no fij adas.
CRITERID DE Ver ..
4.3 DETENCIDN
seccion
\} \} + l Vuelve 1 X = X a - -
PARAMETRDS DE CDNTRDL
K' parámetro de control de convergencia
d parámetro de control de convergencia
t tolerancia en la variación de lxl X ·-·
t e
t a
e:
e
e e
tolerancia en la variación de cj
tolerancia (inferior) en el limite mínimo de x
1
tolerancia (superior) en el lÍmite mínimo de xi
criterio para restricciones consideradas
nivel cero para test de Kuhn Tucker
nivel cero de restricciones, para test de Kuhn Tucker
Sec. 3 .6
(3.33)
(3.25)
(3.29)
(3.37)
Sec. 3.4
Sec. 3.5
(4.9)-(4.12)
(4.11), (4.12)
26
4. CONSIOERACIDNES SOBRE CONVERGENCIA DEL ALGORITMO
El algoritmo iterativo desarrollado en el capít~
lo 3, en que inicialmente se consideran x. z y À como variables - - -independientes. resulta finalmente en una regla que a partir de
\/ X y i = 1. m j = 1 • .t
permite calcular \/ + 1
X La variable À\/ es calculada a partir de \/ los datos anteriores y z no es siquiera calculada.
Este esquema final conserva la propiedad siguie~
te: si x\/ tiene lÍmite. éste satisface las ecuaciones de Lagra~
ge (3. 7J y (3.8) y la de factibilidad (3,9). Esta propiedad fue
mencionada en la sección 3.1 y es ahora demostrada, en el apen
dice 2, para el algoritmo definido por (3.10) y (3.22).
4,1, Condición de Kuhn-Tucker para el Problema Considerado
Las conocidas condiciones de Kuhn-Tucker [1]
p + i
l+m ,: À
j=l j ( 4, lJ
( 4, 2 J
constituyen una condición necesaria, que es verificada por el
vector xº solución del problema general definido en (3.11 y (3.2).
Anotamos aqui que en estas ecuaciones intervienen
todas las restricciones; en consecuencia, si pretendemos excluir
las de tipo
( 4. 3 l
ellas deben ser alteradas.
En el apéndice 3 se demuestra que la condición de
Kuhn-Tucker para el problema general definido en (3,1) y (3.2),
cuando se excluye del conjunto {cj} las restricciones de tipo
27
(4.3). es:
R, acj pi + ,: Àj = D si X, > XM . ( 4. 4 J
j=l ax. i .i i
i = l ,.m R, ~ pi + ,: Àj > o si X, = xM,i ( 4. 5)
j=l axi i
Àj > o si c j ( ~ J = o ( 4, 6)
j=l,R.
Àj = o si C • (X) < o ( 4. 7) J -
4.2. Proceso de Separación de Restricciones
Las restricciones de valor cero en x las llamare
mos ''activas en x'', entanto que seran ''inactivas en x 1' las que
toman valor no nulo,
El proceso de optimización seria considerablemen
te menos complejo si se conocieran a priori cuales son las res
tricciones activas en el Óptimo.
La propiedad, establecida entre las condiciones
de Kuhn-Tucker, de que estas restricciones estan asociadas a p~
rámetros de Lagrange no negativos ha sido utilizada rscienteme~
te en algoritmos iterativos de optimización para reconocerlas.
Uno de estas algoritmos. propuesto por Kiusalaas
[ J - -v 10 calcula ciertos parametros À .• que finalmente convergerán - o J
a los parametros de Lagrange, Àj• de manera que las restriccio-
nes pertenecientes a un conjunto C resulten activas para el vec
tor obtenido en la iteración. Ese conjunto C es determinado por
un proceso de separación de restricciones, por tentativas suce
sivas, descripto a continuación.
Se comienza incluyendo en C todas las restriccio -v
nes y calculando los Àj correspondientes. Las restricciones aso
ciadas a X"~ negativos son ahora excluídas de C. Este procsso se • -V
repite hasta tener todoR l~s parametros Àj no negativos.
28
Rizzi [14] utiliza el método iterativo de resolu
ción de sistemas lineales Gauss-Seidel para realizar eficiente
mente este procedimento de determinación de C por tentativas su
cesivas.
Vamos a mostrar en lo que sigue, que en el algo
ritmo descripto en el capítulo 3 se realiza automáticamente el
proceso de separación de restricciones activas en el Óptimo,
Con este propósito consideramos nuevamente una
propiedad de \)
los Àj calculados como solución del sistema (3.22)
ya utilizada en la sección 3 .2 ( iiil, esta es:
= 2K(a-l)À\/cj(/J j -
j=l,i ( 4 • 8 J
y anotamos otra vez, que estas igualdades son directamente equ!
valentes al sistema (3.22) y en ellas no está envuelta ninguna
aproximación por derivadas.
\) Siendo x un punto en la región factible, es
cj(~\/J ~ O, y dado que K y (a\/-1) tienen signo determinado (+y
resp.J, el signo del segundo miembro de (4.8) depende unicamen\/ te del signo de Àj·
En consecuencia el signo de
con el ángulo entre ~c~ y la dirección de
de la siguiente forma (*J:
À~ está relacionado
/:ix\/ en la iteración,
17 c j
À\) > o j
(*l Se omite por les aparecen
+
\) X
c =O j
\)
?cj ,/:i~ \)
> o À~ J
17 c j
< o
\). 1 X
\) X
• \) \)
?c j ./:i~
c =O j
< o
\) \)+ 1 claridad dibujar los vectores x y x los representados por puntos,
cua
29
o Como en el punto x el sistema lineal suministra
o el vector À (apéndice 2) es de esperar, por la continuidad de
o las funciones envueltas, que exista un entorno del punto x en
que todas las componentes de! vector Àv tengan igual signo que
las de ˼.
Si el punto V X
raciõn V se realiza un avance
pertenece a tal entorno, en la it~
hacia(*J las restricciones acti -
vas en el Õptimo y alejándose de aquellas que no lo son. Se con V seguirá asi que las primaras sean finalmente activas para x .
Es importante destacar que obtener unicamente la
situaciÕn mencionada no resuelve el problema de hallar el Õpti
mo. La convergencia del algoritmo debe ser atribuida a las fór
mulas de recurrencia y en particular a los términos extraidos
de las ecuaciones de Lagrange, en ellas introducidos. En efecto
si llamamos C al conjunto de restricciones activas en el ópti-a
mo, la intersección de las superfícies cj(~J = O para cjECa es
un punto o una superfície dependiendo del problema considerado.
4.3. Criterio de Detención
Las condiciones de Kuhn-Tucker establecidas en la
sección 4.1 suministran una forma de verificar si un par (xv ,Àvl - o o es una buena aproximacion de (x ,À J.
El proceso de aproximación se considera termina
do cuando
11+ ~
j=l si ( 4. 9)
(1+ ~ V V) i = 1., m
Àj(acj) > -e si V (4.10) X• = xM,i
j=l pi ax 1 - 1.
Àv _,i_ > - e si lcj(~VJJ~ec (4.11) s
V j=l,R.
l~I e si V -e (4.12) < c j ( ~ J < - c
(*) es decir: hacia las superficies c/ ~) = O.
30
donde S = max{À~,j=l,i} normaliza las Últimas desigualdades.
ce,e ) establece el nivel de exigencia con que se e
pretende aproximar el óptimo.
4.4. Discusión del Sistema que Determina Àv
En cada iteración Àv es calculado como solución
del sistema
(4.13)
donde k=l,i j=l,i (4.14)
k=l ,i
j = 1, i
j=l,i
De la definición de B~j se sigue que Bv es simétrica.
Cuando dos funciones restricción son proporcion~
les,
e (x) = a.e (x) (4.15) p - q -
V las dos filas correspondientes en la matriz B son tambien pro-
porcionales, excepto para los elementos de la diagonal, es de -
cir
Bv V j = 1 , t jilp j ilq (4.16) pj = a ,B qj
sv pq
,ia ,B V
V V BPP
,ia ,S qp
siendo que estas dos Últimas desigualdades son consecuencia de
los sumandos V nal de B, y
31
-Kc~ que intervienen en los elementos
se transforman en igualdades si
V C ( X )
p • =a.e (xvl = o
q -
de la diago-
(4.17)
En resumen, teniendo dos funciones de restricción
proporcionales, basta que éstas se tornen activas para tener un
sistema singular. En particular el sistema es indeterminado ya
que
Sv =a Sv p • q (4.18)
Esta situación es encontrada en optimización es
tructural cuando se proyecta una estructura que presenta sime -
tria geométrica y carga con la misma simetria. En este caso las
restricciones de tensión en barras simétricas(*), por ejemplo,
son funciones identicas. La dificultad mencionada anteriormente
puede ser evitada aqui, automaticamente, comparando los valores
de todas las restricciones para ~V. Si dos valores coincidem,s~
penemos que las dos funciones son idênticas y eliminamos una de
e 11 as,
Un recurso que puede ser empleado siempre que B
se presenta "mal comportada" (próxima a singular) es aumentar el
parámetro de control K que interviene en los términos de la dia
gonal. K adquiere con esta observación mayor significBdo.
(*) asociadas a la misma variable de diseno.
32
S. OPTIMIZACION CON FUNCION OBJETIVO NO LINEAL
El algoritmo desarrollado en el capítulo 3 fue
formulado en la hipótesis de que la función de mérito sea lineal.
Este es el caso mas común y de mayor interés en optimización es
tructural.
Existen. sin embargo, algunas situaciones en el
proyecto de estructuras en que se hace necesario optimizar una
función no lineal. Cuando se abandona el presupuesto de una ge~
metr{a fija suministrada como dato y se pretende encontrar la
major geometria simultaneamente al dimensionado mas apropiado ,
se presenta el caso de función de mérito no lineal. En efecto,la
optimización geométrica puede ser abordada discretizando la es
tructura por elementos finitos y adicionando a las variables de
diseno ya utilizadas (áreas transversales de barras, espesores
de placas), las coordenadas de los nodos.
Otros ejemplos de optimización no lineal se en
cuentran en el proyecto mecánico, diseno de redes eléctricas o
hidráulicas, asi como en optimización de estructuras de casto no
proporcional al volúmen o de materiales de mas dificil modelado
que las estructuras consideradas en este trabajo.
Vista la conveniencia de disponer de un algorit
mo de optimización no lineal y teniendo en cuenta que el algo -
ritmo descripto en el capítulo 3 puede ser modificado para P no
lineal sin alterar la idea básica, se prepará una versión dife
rente del programa para este caso.en la cual
i = l.m ( 5. 1)
Aqui debe considerarse la posibilidad de que pi
sea nulo, lo que impide la utilización directa de la fórmula de
recurrencia (3.10) como fue presentada. Inclusive, es posible
que todos los p. J
sean nulos en el Óptimo cuando se tiene un ex-
tremo interior (cuando P es lineal los extremos solo pueden es-
tar en la frontera de la región factible).
Esta dificultad es resuelta sustituyendo la re -
currencia (3.12) por
33
V • Ca -Il i•I.m ( 5 • 2)
donde
y
si
si
en que e determina un criterio numérico para reconocer una deri p
vada nula.
Repitiendo el razonamiento de la sección 3.1, a
partir de (5.2), se obtiene
m ac V V
Bv i:l(ax7)
X :' pi
j • l ' i ( f: ) ( 5 • 4) j 1 -v
pi
E(~) V
(~) V
X~ k•l,i Bv V • 2Kc/\j ( 5 • 5 J kj -v
j • l 'i i • l a xi axi pi
Con estas definiciones, el algoritmo esquematiza
do en la sección 3.7 puede ser aplicado.
En el capítulo 6, entre los ejemplos de aplica -
ción, se incluyen algunos con función de mérito no lineal que
muestran la efectividad del algoritmo aun para el caso de extre
mo interior.
Puede
valga
sustituirse aqui p~/p~ por una variable
O si [Pvi]<e , y l en caso contrario. - p
booleana que
34
6. EJEMPLOS OE APLICACION OEL METOOO, CON FUNCIONES EXPLICITAS
Aun cuando la eficiencia de un optimizador de es
truturas solo puede ser evaluada cuando aplicado a problemas es
pecificamente estructurales, es evidente la necesidad de exper~
mentarlo frente a ejemplos simulados en la etapa de desarrollo.
Los ejemplos siguientes ilustran tambien sobre la naturaleza g~
neral del algoritmo.
6.1. Minimización de una Función Lineal de dos Variables, con
Tres Restricciones Explícitas
El problema:
I) minimizar
para x tal que
2) 4-x -2x <O 1 2-
31 2+x -4x <O 1 2-
fue elegido por simplicidad y porque siendo 2 el numero de va
riables, es posible graficar en el espacio de diseno: el vector \)
x , el dominio factible, las superfícies cj = O y las curvas de
peso constante. De este modo se puede visualizar el camino de
aproximación al Óptimo, asi como las modificaciones que provo -
can las variaciones en los parámetros de control.
donde
La solución exacta del problema I es:
O x, =
O x2 =
2-fi = o.sese
2+/z' = 1. 70 71 2
s-lz = 2 .2929 2
Las restricciones (1) y (2) son activas en ese
35
punto mientras que (3) es satisfecha con desigualdad estricta.
Los parámetros de Lagrange valen:
˼ .rz 0.3535 = "' l 4
˼ 3-./z 0.3964 = -4- "' 2
Comenzando del punto x 1 =(4.6, 1.8) para el cual
P = 6.4 se aplicá el algoritmo con
t = 0.2 X
t = 0.8 c
e= o.o7
d= 2.5
e = 0.02 c
K' = 1.5
para los cuales el criterio de detención declará terminado el
proceso de aproximación completada la iteración 12, cuyo resul
tado es
X = 0.5857 x2 = 1.7071 p = 2.2929 l
64% de reducción de
peso en 12 iteracio-
nes
º1 = 0.96 X 10 - 4
º2 = O. 14 X 10 - 4
c3 -4.24
Àl = O. 3536 À2 = 0.3964 À3 = O. 16 X 10- 4
Los sucesivos valores de X obtenidos, están graficados en la f~-
gura 5. 1 para los parámetros establecidos anteriormente y· pa -ra los mismos, modificando unicamente K' ( = 5 O. J. Se observa
el efecto de una mayor "atracción" de la trayectoria por las res
triaciones activas en el Óptimo provocado por un aumento en K,
ya justificado en la sección 4.2.
Las restricciones activas en el Óptimo, tornand~
se activas temprano en el proceso de aproximación, pueden prov~
car avances demasiado pequenos siendo esta característica una de
x2 c 1=o
3 o
• 3
o 1 2
Figura 6 .1
o
=O
3
o K'•I.S
1<'•50.
1 o
e =O 3
o
xl
ul e,
p
6
o
5
o
4
o
3 o
o
2
l
o 2 4
o o
o o
6 8
Figura 6 . 2
o o
10
o
12 iteraciones
'-' __.,
38
las determinantes de la elección de K'.
En la Tabla 6.1 se muestra la variación de la
eficiencia del algoritmo frente a la modificación de K', asi co
mo la sensibilidad del criterio de detención para dos niveles de
precisión (e, e l diferentes. e
e = O, O 7 e = o.os K' e 0.02 e 0.015 = = e e
1 N9 N9 de It~ 1 p de Ite p -raciones raciones
O. 1 (> 20) (> 20)
1. 15 2.2941 15 2.2941
1. 5 12 2 .2929 13 2.2929
1 O. 11 2.2935 11 2.2935
50 , 12 2 .2947 14 1
2 . 2 9 30
10 O, 12 2.2954 12 2.2954
1000. 17 2 .2957 17 2.2957
Tabla6,l
La Figura 6.2 muestra la variación de Pen cada
iteracián, para K' = 1.5.
El problema:
II) minimizar P(~) = 9x 1 •x2
para x tal que ll l-x1
x 2 5.. O
2) 4-x1 -2x 2 < O
3) 2 + X -4x < 0 1 2
D D cuya salución se encuentra en x = (1/3,3),P = 6,dande la cur-
va de valar constante de P es tangente a c 1 = O (caso de tange~
eia) J fue resuelto uti lizanda
t = 0.2 X
t = o.a e
d = 2, 5 K' = 1.5
x2
19
o 1
Q 3 o o
o
~ GJ CD
1
c1 =0
=Pº _ç ~=O
P=l
o 1 2 3 4 xl
Figura 6 .3
p
40
o
30 o
20 o
o
o
10 o
o o o
2 4 6 8
Figura 6.4
o o o o o
10 12 14
o o
16
o
iteraciones
,, CJ
41
y es graficado en la Figura 6 . 3 .
El resultado fue:
para e = 0.07 e = c
0.02 9 iteraciones X = (0.536, 1.864)
p 6.690
y con e = o.os 8 = c 0.015 10 iteraciones X = (0.504, 1.977)
p = 6 • 6 17
mientras que luego de 19 iteraciones se tiene
X = ( O • 3 49 , 2 • B 5 9 ) P = 6.006
El gráfico de P para cada iteración se encuentra
en la Figura 6.4.
6.2. Mínimos libres y de frontera para una Función de dos
Variables, con Tres Restricciones
El ejemplo de la sección anteriores modificado
para obtener casos de extremo interior a la región factible.
Las problemas III y IV se obtienen de:
minimizar P(xJ 2 2
= (x -c J +(x -c J 1 1 2 2
para x tal que
3) 2+x 1 -4x:é_ o
adaptando c1
= c 2 = O en III y c 1 = c 2 =2.5 en IV. Las curvas de
nivel en este caso son circunferencias que se muestran en la fi
gura 5.3 y los resultados teóricos son respectivamente
O X = ci
5 ii 5
y O
X = (2 .s .. 2.5)
42
Aplicando el optimizador en las mismas condicio
nes que en la sección 6.1 Csustituyendo K'=l.5 por K=O.l en IV)
se obtiene:
para III x 22 = C0.812, 1,594)
• para IV x 22 = (2.49, 2.46)
Los sucesivos puntos calculados se grafican en
la figura 6.5 para ambos problemas.
X2 c 1=0
2
rn o 1 2
ºº o o
Figura 6 .5
ç ...=O
3
P=l
o
xl
t> w
44
6,3. Minimización de Una Función no Lineal de 13 Variables
con 3 Restricciones
Este problema de optimización [17] es originado
en el estudio de la estabilidad de una ecuación diferencial de
características particulares, segun se describe a continuación.
Un sistema definido por su ecuación de estado
y = AY ( 6 . 1)
donde
i-1 i=l,4 yi
d 'i. y A = [ai j] ( 6 . 2 J dti-1 j = 1 , 4
debido a las características del problema que representa, tiene:
a <O 44
( 6 , 3 J
Se trata de demostrar que estas condiciones no a
seguran la inestabilidad del sistema. Es suficiente para ésto
encontrar un valor particular de la matriz A que verifique es
tas condiciones y determine un sistema estable.
La ecuación diferencial del sistema es:
d3y
dt 3
d2y
dt 2 ( 6 • 4 J
en donde los coeficientes a 1 son funciones de los elementos ªij
de A. Estas funciones, no lineales, se encuentran en el apéndi
ce 4.
La ecuación (6.4) para presentar soluciones esta
bles, debe tener, segun el criterio de Hurwitz:
45
a > o a > o o l ª2 > o ª3 > o ( 6 • 5)
y D > o ( 6. 6)
2 2 donde D = -ai + ª1ª2ª3- ªoª3 ( 6. 7)
Es posible encontrar matrices A que generen coe
ficientes a 1 todos positivos. En cambio la intuición fracasó en
hallar una matriz que adernas de ésto tenga D> o.
El objetivo es entonces encontrar una matriz A
que cumpla (6.3), (6.5) y produzca un valor positivo para D. Es
to puede ser intentado tomando los elementos de A como variables
restringidas por las desigualdades (6.3) y (6.5), y partiendo de
un conjunto de valores cualesquiera que cumpla (6.3) y (6.5) co~
seguir un valor positivo de D por etapas sucesivas de incremento
de la función O.
En consecuencia se define:
X o o -x l 2
-x3 X4 o -xs A =
-xG -x, - X 8 -xg
-x lo - X l l Xl2 - X l 3
y resultan
El problema:
III) minimizar p (X) = -D(xl
para x tal que c ( X) = -a ( X) < o l l . c2 ( ~ l = -a2(~) < o
C (X) = - a (X) < o 3 • 3 •
xi > o i=l, 13 ( *)
(*) a es positivo independientemente de los valores de x. o
46
está asociado al estudio de la estabilidad de! sistema.
En el apéndice 4 se explicitan las funciones a1
,
a 2 , a 3 y O, asi como son calculadas sus derivadas, por sustitu -
ciones sucesivas.
El problema III fue abordado mediante el algorit
mo de optimización con los siguientes valores:
punto inicial x 1 = [1,10,10,2,1,0.1,l,2,20,l,l.l,2)
p 1 = 1383.0
t = 0.2 X
t = 0.8 e
K O • O 5 d = 0.95
Se obtuvo P = 0.077 despues de 22 iteraciones,sin
verificarse la condición de optimalidad.
Reiniciando el algoritmo, con K modificado para
10.0, de un punto próximo al obtenido, esta es:
X l = [ 0 . 7 5 , 9 • 82 , 11. 2 , l. 4 5 , 0 • l , Ü • 2 6 , Ü • l , 2 • 2 , 2 9 • Ü , 3 • 8 8 , l. 16 , !. 5 2, Ü , lJ
P = 4.73
se !legá a un mínimo relativo en 19 iteraciones con:
X l = ( Q • 2 8 8 , 3 • 9 6 , 4. 27, Ü, 65 7, Ü, 0 35, Ü. !, Ü. Ü , 0. 846, ll. 72, 1, 32, 0. 4 42, 0. 612, Ü, Ü 4)
- .. p = 4,03 X JQ
cumpliéndose la condición de optimalidad con un nivel de exigen-
eia 6 = 0.03 6 = O.OIS e
En ese punto
Cl = -ai = -0.00191
C2 = - ª2 = -1. 30 8
C3 = -a3 = -0.000341
p = -o = 0.0000403
La conclusión de este ejemplo en cuanto a la efi
ciencia del algoritmo, es que éste puede tratar con un numero
47
grande de variables sin aumentar significativamente el tiempo de
computación.
En lo que se refiere a la estabilidad de la ecua
ción diferencial, el resultado obtenido puede ser considerado un
punto de estabilidad crítica, no proporcionando entonces el con
traejemplo claro que nos proponíamos encontrar.
48
7, ANALISIS ESTRUCTURAL ORIENTADO AL DISE~D OPTIMD
En este capitulo se trata el análisis de estruc
turas, pero con un objetivo definido y limitado. No es del caso
describi~ ticnicas de análisis estructural ya bien conocidas y
si mostrar como fueron utilizadas como soporte para un sistema
de proyecto automático.
Interesa, por el contrario, extenderse un poco
mas en asuntos como la derivación de tensiones y desplazamien -
tos respecto de las variables de diseno, ya que son temas mas
especificas de optimización y es de importancia, para exponer la
viabilidad del método de diseno propuesto, demostrar que exis -
ten medias eficientes de calcular restricciones, derivadas de
restricciones y función objetivo para este tipo de problema fí
sico.
Este capítulo es incluido por razones de integr~
dad de la presente exposición, ya que el desarrollo completo de
los fundamentos del análisis estructural utilizado, asi como los
correspondientes programas de computación que forman parte del
sistema de proyecto de estructuras descripto en el próximo capf
tulo, se encuentran en la referencia [16].
7.1. Formulación del Análisis de la Estructura
Sea una estructura modelada por n elementos fin~
tos, cargada por fuerzas determinadas por el vector F. Este es
tado de carga provoca en la estructura una deformación caracte
rizada por el vector U de desplazamientos nodales.
Existe un sistema global de coordenadas al cual
son referidos los nodos y los vectores ~ y F, siendo su dimen -
sión q (gradas de libertad), que incluye direcciones restringi
das.
Utilizando un modelo elástico se tiene
F = K U ( 7. 1)
donde K es la matriz de rigidez de la estructura [18].
49
Esta matriz K está relacionada con las matrices
de rigidez ki de los elementos, referidas a sistemas locales de
coordenadas definidos ,,, ( ,., ) compatibilidad .,, i •
para cada elemento, por las matrices
segun:
de
K = n l:
i=l
,,,: k ,r, "'1 i "'i ( 7. 2 l
Si las variables del proyecto son areas trans -
versales de barras biarticuladas, o espesores de membranas.las
matrices de rigidez de los elementos resultan proporcionales a
las respectivas variables de diseno.
Luego:
u k = X k i j i ( 7. 3)
u donde ki' matriz de rigidez unitaria, es independiente de x y
puede ser encontrada calculando la matriz de rigidez del ele-
menta i cuando
dos a la misma
bir K como:
xj = 1, Gj es el conjunto de elementos asocia -
variable de diseno j.
Utilizando esta proporcionalidad se puede escri
K = m
l: X j j = 1
( 7 • 4 l
siendo mel numero de variables de diseno.
resulta
Definiendo:
m K = l:
j=l
j = I. m ( 7 , 5 l
( 7 • 6 l
(*l lj,i=ÀiAi donde Ài es una matriz de transformación de coordenadas y A1 es una matriz booleana.
50
Cuando se utiliza el método de los desplazamien
tos para resolver las ecuaciones de elasticidad se resuelve el
sistema (7.1) para U, previa eliminación de direcciones restrin
gidas. En el proceso de optimización se calculan, por unica vez u -las matrices Kj y para cada analisis basta efectuar la suma(7.6)
para tener K; se ahorrqde esta forma considerable tiempo de com
putación. Mas exactamente, se utiliza:
K r = m
ur ,: x.Kj
j = 1 J ( 7. 7)
en que el subindice r indica que se han reducido direcciones res
tringidas. Se resuelve entonces:
( 7. 8)
y a partir de Ur se construye U.
7.2. Restricciones de Oesplazamiento
Si el diseno que se busca debe tener ciertos de~
plazamientos menores que los lÍmites admisibles establecidos,de
finimos como restricción del problema de optimización:
donde d. J
miento j
sitivol.
= l u 1-uadm
j j uadm
j
( 7 • 9 )
es el índice adjudicado a la restricción del desplaza
(en un estado de carga) y u;dm el valor admisible Cpo-
Para un diseno viable es
-1 < cd < D j
(7.10)
como requiere el optimizador propuesto. Es de no
tar que es posible establecer otras·funciones diferentes de la
51
(7.9) que también sean negativas para disenos factibles (*J, La
elección de la función a utilizar debe tener en cuenta lasca -
racterísticas de Uj(~J, y producir una función que sea bien apr~
ximada por un desarrollo lineal, asi como de orden comparable a
las restantes restricciones.
7.3. Restricciones de Tensión
Para cada elemento puede ser elegido un punto
cuyo estado de tensión se considera representativo a efectos
limitar esfuerzos. En elementos finitos de tensión constante
P. J.
de
es
ta elección es irrelevante1 para otros puede pensarse en tomar
aquel en que se produce un máximo de tensión o un punto fijado
arbitrariamente, implicando una mayor o menor complejidad de las
derivadas correspondientes,
donde:
En el punto seleccionado Pi, se verifica:
i = 1 .. n (7.11)
a. es el vector formado por las componentes del - J.
tensor de tensiones del punto considerado en
el elemento i.
Xi es la matriz de elasticidad que depende del
estado tensional asumido y de los parâmetros
de elasticidad del material.
bi es la matriz de compatibilidad elástica que
depende de las funciones de interpolación usa
das y de la elección de Pi.
~i es el vector de desplazamientos nodales para
el elemento i en coordenadas locales.
Utilizando la matriz de compatibilidad ~i' ya in
' IUJ·le-(uJ'?dmle ('·) p.ejemplo: Cdj = en que e es un exponente de
terminado.
52
troducida se tiene:
u. = l/li LI -1
( ,, ) i = 1, n (7.12)
y en consecuencia
i = l .,n (7.13)
Se define la matriz de tensión del elemento i co
mo
i = 1, n (7.14)
con lo que resulta
cr. =T. LI -1 1 -
i = 1 , n (7.15)
T. no depende de la variable de diseno para los elementos men -1
cionados sn (7.3), si se elige el punto P. con un criterio apr~ 1
piado, por ejemplo, un punto fijo en elementos de membrana rec-
tangular.
En este caso las matrices T. para cada uno de los 1
elementos estructurales son calculadas con antsrioridad al pro-
ceso de optimización y utilizadas durante el mismo, en todas las
iteraciones, para calcular cr. mediante (7.15). -1
Conocido el vector cr. -1
eq se determina un numero cri
con criterios usuales en ingenieria. Por ejemplo:
axial cr para elementos axiales (7.16)
[7.17)
para estado bidimensional de tensiones
(Hencky-Von Mises)
Para satisfazer los requerimientos de que las ten
(*) Debido a esta igualdad se hace necesario en esta sección tra bajar con el vector LI no reducido.
53
siones no excedan los lÍmites admisibles cr:dm (positivo), en ca
da elemento i definimos las restricciones
Ct (X) i -
lcr~qj-cr:dm
adm cri
(7.18)
donde ti es el Índice
del elemento i, en el
adjudicado a la restricción de la tensión
estado de carga en consideración. Si el
diseno es factible resulta:
-1 < ct. < O i
7.4. Derivadas de los Desplazamientos
Siendo Ur la solución del sistema:
su derivada verifica:
Derivando (7.7)
puesto que
= Kur i
para j = 1 ,m i=l,m.
(7.19)
(7.20)
(7 .21)
Se obtiene para el caso de carga independiente de
las variables de diseno
i=l,n (7.22)
El segundo miembro se evalua facilmente h~ciendo
54
uso de las matrices
ur calculado.
K~r invariantes en el proceso, y del vector 1
En consecuencia, derivar U respecto a todas las
variables de diseno equivale a resolver el sistema (7.22) una
vez para cada variable.
Estes m sistemas solo difieren, entre si, en el
término independiente. Si se usa un método de descomposición de r
la matriz K en matrices triangulares L y W, para su resolución
se descompone la matriz segun Kr = L.W una vez,
y luego se efectuan las sustituciones hacia adelante y hacia a
tras m veces, obteniendose asi los m vectores derivadas.
Finalmente derivamos (7.9)
sg(Ujl
uªdm j
i = l ,.m
j = 1, n (7.23)
con lo que se tiene una expresión para calcular las derivadas de
las funciones restricciones a partir de las componentes de los cl\!r
vectores -- hallados en ( 7 .22). a xi
7.5. Derivadas de Tensiones
Para calcular derivadas de tensiones se deriva
(7.15) obteniendo como resultado:
i = 1 , m ( 7 .24)
desde que Tj no depende de x. Esta igualdad permite conocer
ª<:j , cuyas componentes
aoeq intervienen en el cálculo de~
xi En
axi
particular para los ejemplos dados en (7.16) y (7.17) es respe~
tivamente: ~ eq ~0 axial ººJ = o
~ ôx 1
( 7 .25)
culo de
55
acreq 1 acr ôcr acr _j_ ( 2cr X 2cr
__ Y __ Y = -- + - cr -
ax. 2.creq X dX. y ax. X X.
i i i i
acr ÔT cr X
6T _E_) - -- + y ax. xy
axi i
(7.26)
Estas expresiones, a su vez, posibilitan el cál
segun se deduce derivando (7.18). En efecto:
a ct sg(cr':'ql ôcreq i = 1. m J j
-=-i (7.27) adm j = 1 , n ax. cr j ax. i i
Aqui se ha supuesto que cradm no depende de x;exis
ten, sin embargo, casos de interés en que ésto no sucede (pan -
deo). En esa situación, basta agregar un término mas en (7.27), acradm
si se conoce. Esta se encuentra desarrollado en la referen ôxi
eia [16] •
56
B, UN SISTEMA AUTOMATICO DE PROVECTO DE ESTRUCTURAS Y EJEMPLOS
OE APLICACION
Se describe aqui un sistema de proyecto automát~
co de estructuras Óptimas basado en el método de optimización
presentado en el capítulo 3 y en los conceptos de análisis es -
tructural orientado al proyecto Óptimo esquematizados en el ca
pítulo 7 y formulados extensamente en la referencia [16], El de
sarrollo del propio sistema se encuentra en la referencia cita
da asi como información mas amplia sobre el análisis, derivación
-determinación de opciones y organización general de operaciones
y memoria.
8.1. Tipo de Estructuras Proyectadas
El sistema es capaz de tratar estructuras de ge~
metría fija, modeladas mediante elementos finitos, y sometidas a
varios estados de carga diferentes. Son proyectadas para mínimo
peso, con restricciones de desplazamiento y tensión.
La capacidad y limitaciones actuales son:
1) Estructuras de geometria predefinida.
2) Estructuras modeladas con elementos finitos tipo
barra biarticulada y placa triangular (estado bi
dimensional de tensiones).
3) Las variables de diseno son las areas transversa
les de las barras y los espesores de las placas.
4) El análisis de la estructura se realiza dentro da
las hipótesis de una teoria elástica,
5) Las restricciones de deformación son definidas
por un desplazamiento máximo para cada dirección
generalizada,
6) Las restricciones de tensión son definidas por:
-en cada barra, un valor máximo para tracción y
uno diferente para compresión. El proyectista pu~
57
de optar por considerar pandeo y en ese caso de
be suministrar un valor para la constante nique
define el momento de inercia li'
dos alternativas de aproximación
cionadas por
en una de las
de éste propor-
donde A. es el area transversal de la barrai. ].
-en c/placa triangular (membrana), un valor máxi-
mo que limita la tensión equivalente determinada
por el criterio de Hencky-Von Mises (6.17).
8.2. Descripción del Sistema Computacional
El sistema se compone fundamentalmente de un pr~
procesador y un sintetizador. Ambos funcionan como programas s~
parados, lo cual permite, entre otras ventajas, aliviar la memo
ria del computador de gran cantidad de datas que no son necesa
rios en la etapa de síntesis.
El preprocesador calcula todos los elementos in
variantes en el proceso de optimizació~ entre los cuales se en
cuentran: las matrices unitarias de rigidez por variable de di
seno, las matrices de tensión de los elementos y las derivadas
de la función peso con respecto a las variables de diseno. To -
dos los resultados obtenidos por el preprocesador son guardados
en archivo de disco para ser usados por el programa de síntesis.
En la figura 8.1 se esquematiza la organización
del sintetizador.
El redimensionado consiste en determinar un nue-
disen-o xv+l ti d di - v i i t d j t vo a par r e un seno~ sum n sra o uno con
los valores de restricciones y derivadas (elegidas las variébles
fijas y las restricciones consideradas). Es procesado por una
subrutina (REDIM) que utiliza el método propuesto en el capít~
lo 3, en particular ejecuta los puntos S a 10 de la sección 3.7.
Una observación sobre el uso de memoria en REDIM
debe ser hecha aqui. Cuando comienza el procesamiento de esta
58
CONTROL
DEL PROCESO ANALISIS
ENTRADA DE PROYECTO -DE DATOS
ELECCION DE PESTRICCIONES
BLOQUE DE RECUPERACION
DERIVACION
CRITERIO DE DETENCION
PEDIMENSIONADO
ELECCION DE 'lARIABLES FIJAS
Figura 8.1
59
subrutina se encuentra en la memoria central la matriz de deriva
das
y cuando se calculan los parámetros À~ debe estar la matriz ~ del sistema lineal que los determina. Ambas matrices son de gran
tamano y no se podría
ria central. Aun mas,
derivadas.
poner \)
B es
las dos simultaneamente en la memo -
calculada a partir de la matriz de
Para resolver estas dificultades se procede de la
siguiente forma:
La matriz de derivadas es archivada en disco e in
corporada a la memoria central cuando se comienza a procesar RE
DIM. A continuación cada filai de la matriz de derivadas es so-\/ breimpresa con los Sij calculados a partir de las derivadas per-
tenecientes a la filai y a cada una de las filas siguientes (j=
=i,R.l. Se obtuvo asi el triángulo por encima de la diagonal de la
matriz B\/ (simétrica). Una vez calculado ~\/ se sobreimptiae B\/ por
la matriz de derivadas (leida de disco) y se realiza el redimen
sionado.
B.3. Ejemplos de Aplicación
Se presentan a continuación cuatro problemas de oe_
timización estructural resueltos mediante el sistema de proyecto
de la sección anterior. Dtros ejemplos de aplicación del mismo
estan documentados en la referencia [16] incluyendo aquellos que
consideran la restricción de pandeo.
Todos ellos fueron procesados con un criterio cons
tante para la elección de los parámetros de control del optimiz~
dor (sección 3.7), lo que muestra una característica deseable en
un sistema de proyecto automático.
Los valores de los parámetros de control utiliza
dos son:
60
K' = 1. 5 d 2 . 5 t 0.3 t = 0.6 X c
tM = O. 8 t = O. 15 a
e = 0.07 e 0.02 c
En la referencia [16] se describe el criterio uti
lizado para la elección de las restricciones consideradas en una
iteración.
8.3.1. Viga de Placas y Barras (21 variables de diseno, 41 ele
mentos)
Esta estructura fue elegida por ser un modelo co
mun en la literatura de optimización ("wing box structure"l que
utiliza elementos de barra y placa, y es sometida a torsión yfl~
xión combinadas. Es similar al ejemplo 8 de la referencia [6] ,en
el que fue preciso sustituir los elementos SSP (symetric shear
pannel) no incluídos aun en el sistema de proyecto.
Modelo de la estructura - su geometria es defini
da en la figura 8.2 y en la tabla 8.1.
Nodo N9 X y z
1 o. o . 10. 2 100 , o . 8. 3 o . 70. 10. 4 100. 70. 8 • 5 o . 140. 1 O • 6 100 . 140. 8 • 7 100. 19 O • 8. 8 o • o . - 10 . 9 10 O • o . - 8.
10 o . 70. - 1 O • 11 100. 70 • - 8. 12 o . 140. -10. 13 100. 140. - 8. 14 100. 190. - 8.
Tabla 8.1. Coordenadas nodales para la viga de placas y barras
61
r
N u.
"' . ... <j ~
::1
"" . .., ...
o /
oi
~/
"o e:
62
Variable ' N9 de de diseiio elemento Tipo Nodos Corresp.
' l l B l 3 l 6 B B 10 2 2 B 3 5 2 7 B 10 12 3 3 B 2 4 3 8 B 9 11 4 4 B 4 6 4 9 B 11 13 5 5 B 6 7 5 10 B 13 14 6 11 PT l 2 4 6 12 PT 4 3 l 6 16 PT B 9 11 6 17 PT 11 10 8 7 13 PT 3 4 6 7 14 PT 6 5 3 7 18 PT 10 11 13 7 19 PT 3 12 10 8 15 PT 5 6 7 8 20 PT 12 13 14 9 21 B 1 10 9 22 B 3 8
10 23 B 3 12 10 24 B 5 10 11 25 B 2 11 11 26 B 4 9 12 27 B 4 13 12 28 B 6 11 13 29 B 6 14 13 30 B 7 13 14 31 B 3 11 14 32 B 4 10 15 33 B 5 13 15 34 B 6 12 16 35 B 5 14 16 36 B 7 12 17 37 B 3 10 18 38 B 5 12 19 39 B 4 11 20 40 B 6 13 21 41 B 7 14
.
Tabla 8.2. Definición de elementos para la vi ga de placas y barras.
B - Barra biarticulada
PT - Placa triangular (membrana)
63
Está constituída por dos placas iguales, situa -
das en la parte superior e inferior, y conectadas por barras,
Cada una de esas placas está formada por dos rectángulos (1,2,4,
3) y (3.4,6,5) para la superiorly un triángulo ((5,6,7) para la
superior) de espesores independientes.
Es modelada con 31 elementos de barra biarticula
da y 10 elementos de placa triangular (membrana), asociados en
21 grupos de unión que estan descriptos en la tabla 8.2. El nu
mero de gradas de libertad es 42, siendo 12 restrictos y resul
ta un semi-ancho de banda 24 para la matriz de rigidez global,
Las constantes del material son:
E= 10 7 ib/in 2 p = 0,10 ib/in 3
Cargas - Es proyectada simultaneamente para
estado de carga n9 1
estado de carga n9 2
Restricciones (123) - [*J
( F l 7 = 1 O O O O , ib z
[FJ =20000.ib z 5
tensión: !cr~ql ~ 10000,ib/in 2 todas las barras
(82) y placas
desplazamiento: 1 Uz 1 < 2. in todos los nodos
(20)
variables mínimas: Amin = 0.1 in 2 todas las
( 2 ll barras
h = 0.02 in todas las min
placas
Resultados - La configuración inicial adaptada
es:
Ai = 1. in 2 para las barras de grupos 1 a 5 y
17 a 21
A. = 4.in 2 para las barras de grupos 9 a 16 1
hi = 2,in para todas las placas
(*) El numero entre parêntesis es la cantidad de restricciones.
64
p (lb)
1200
1000 o
800 o
o
• o
600 o o
o o o o
400
300
2 4 6 8 10 12
i te raciones
Figura 8.3
65
En la Tabla 8,3 se muestran los resultados obteni
dos y el proceso de reducción de pesa en la figura 8,3. La condi
ción de Kuhn-Tucker es verificada en la iteración 13.
Valores finales de variables de diseiio
N9 Area ( i n 2 l N9 Area (in 2 ) N9 Area (in 2 )
l 1. 318 2 0.100 3 O, 100
4 0,308 5 0.100 9 3.363
10 3. 39 5 11 2.071 12 2.100
13 1. 653 14 0.100 15 0.100
16 1. 363 17 0.100 18 1. 016
19 0.100 20 0.100 21 0.496
N9 Espesor(in) N9 Espesor(inl N9 EspesorC in l
6 0.132 7 0.076 8 0.056
Peso final 561.26 ib Peso inicial 1261.5 Número de análisis 12
Tabla 8,3, Resultados para la viga de placas y barras.
En la configuración final resultan activas las si
guientes restricciones:
tensión en el estado de carga 2, en los elemen
tos 1. 6, 21, 22, 24 (barras) y 12, 17 (placas)
desplazamiento vertical del nado 7 en el estado
de carga 1,
8,3,2, Torre (16 variables de diseiio, 72 elementos)
Este problema, extraído de la referencia [6], pr~
parciona un ejemplo comparativo que permite evaluar la eficiencia
del algoritmo.
Sin embargo, debe tenerse en cuenta al hacer la
comparación de nuestros resultados con los obtenidos por Schmit
en dicha publicación, que éste utiliza un aptimizador (NEWSUMT o
• o
"'
• o
"'
• o "'
• o
"'
66
y
X
Figura 8.4
67
Elemento Variable Nodos Elemento Variable
Nodos de diseiio de diseiio
l l l 5 37 9 9 13 2 l 2 6 38 9 10 14 3 l 3 7 39 9 11 15 4 l 4 8 40 9 12 16 5 2 2 5 41 10 10 13 6 2 l 6 42 10 9 14 7 2 3 6 43 10 11 14 8 2 2 7 44 10 10 15 9 2 4 7 45 10 12 15
10 2 3 8 46 10 11 16 11 2 l 8 47 10 9 16 12 2 4 5 48 10 12 13 13 3 l 2 49 11 9 10 14 3 2 3 50 11 10 11 15 3 3 4 51 11 11 12 16 3 4 l 52 11 12 9 17 4 l 3 53 12 9 11 18 4 2 4 54 12 10 12 19 5 5 9 55 13 13 17 20 5 5 10 56 13 14 18 21 5 7 11 57 13 15 19 22 5 8 12 57 13 16 20 23 6 6 9 59 14 14 17 24 6 5 10 60 14 13 18 25 6 7 10 61 14 15 18 26 6 6 11 62 14 14 19 27 6 8 11 63 14 16 19 28 6 7 12 64 14 15 20 29 6 5 12 65 14 13 20 30 6 8 9 66 14 16 17 31 7 5 6 67 15 13 14 32 7 6 7 68 15 14 15 33 7 7 8 69 15 15 16 34 7 8 5 70 15 16 13 35 8 5 7 71 16 13 15 36 8 6 8 72 16 14 16
Tabla 8.5. Definición de elementos en la torre.
68
CONMIN) combinado con técnicas de análisis aproximado. Estas tê~
nicas disminuyen la cantidad de análisis "exactos" necesarios,a~
mentando de ese modo la eficiencia del sistema. Ellas podrfan ser
combinadas también con el método propuesto en el presente traba
j o.
Modelo de la estructura - Es una torre, compuesta
por 72 barras biarticuladas, cuya geometria se muestra en la fi
gura 8.4. Las coordenadas de sus 20 nodos estan en la Tabla 8.4.
Los 72 elementos y sus 16 grupos de unión están
definidos en la tabla 8.5. Todos son modelados con el mismo mate
rial, de constantes:
E= 10 7 tb/in 2 p = 0.10 ib/in 3
El análisis involucra 60 gradas de libertad, sien
do 12 de ellos restrictos. La matriz de rigidez correspondiente
tiene un semiancho de banda 23.
Cargas - La torre es proyectada simultaneamente p~
ra 2 estados de carga definidos en la tabla 8.6.
Estado Nodo Fuerzas (ib) de Carga N9
F F F X y z
1 l ~DOO. 5000. -5000.
1 o. o . -5000.
2 o. o. -5000.
2 3 o. o. -5000.
4 o. o . -5000.
Tabla 8.6. Cargas para la torre en 8.3.2
Restricciones (448) -
tensión (144):
icrJ 2 25DOO.ib/in 2
desplazamiento (288):
todas las barras
69
iu ] < 0.25 in y
iu 1 < 0.25 in z todos los nodos
variables mínimas (16):
A = 0.10 in 2 min
todas las barras
Resultados - Partiendo de la configuración en que
todas las variables valen l. in 2 se obtuvo el resultado descrip
to en la tabla 8.7, en un proceso de reducciÓn de peso graficado
en la figura 8.5. Se transcribe también el resultado obtenido por
Schmit mediante el ACCESS/NEWSUMi [6], a efectos de comparación.
Variable Valores finales de variables de diseno(in 2 )
N9 Presente ACCESS l
l 0.2179 0.1704 0.1565 2 0.5433 0.5379 0.5458 3 0.4103 0.4055 0.4105 4 0.5871 0.5655 0.5699 5 0.5816 0.5757 0.5233 6 0.5223 0.5238 0.5173 7 0.1000 0.1000 0.1000 8 0.1000 0.1000 0.1000 9 l. 303 1.258 l. 267
10 0.5168 0.5069 0.5118 11 0.1000 0.1000 0.1000 12 0.1000 0.1000 0.1000 13 l. 919 l. 918 1.885 14 0.5175 0.5118 0.5125 15 0.1000 0.1000 0.1000 16 0.1000 0.1000 0.1000
Peso 386.12 380.66 379.64 Final
N9 de 9 13 9 Análisis
Tabla 8.7. Resultados para la torre.
El test de la condición de Kukn-Tucker identifica
el Óptimo en la iteración 8, que produce la configuración de la
primara columna de la tabla 8.7. La segunda columna es el diseno
obtenido despues de las cuatro iteraciones siguientes.
Para la configuración final resultan activas las
.o ....
800
70(1
600
500
400
300
200
100
o
o •
2
o o .
4
70
o o
6
o problema 8.3 .2
o
problema 8 .3. 7 por Schmit
problema 8 .3 .3
o o o o o
8 10 12
i teraciones
Figura 8.5
71
Elemento Area (in2 ) Elemento Area (in 2 )
1 O .100 37 0.872 2 O .100 38 O .100 3 0.100 39 0.100 4 0.100 40 1.261 5 0.100 41 0.100 6 0.100 42 0.100 7 O .100 43 0.100 8 O .100 44 0.100 9 O .100 45 0,100
10 0.100 46 0,100 11 1.108 47 1.223 12 0.100 48 0.255 13 0.100 49 0.100 14 0.100 50 0.100 15 O .100 51 0.100 16 0.100 52 0.100 17 0.100 53 0.100 18 O .100 54 0.100 19 0.100 55 1.099 20 0.100 56 0.130 21 0.100 57 0.130 22 1.056 58 2.328 23 0.100 59 O .100 24 0.100 60 O .100 25 0.100 61 0.100 26 0.100 62 0.100 27 0.100 63 O .100 28 0.100 64 0.100 29 0.233 65 o .• 262 30 1.241 66 1.218 31 0.100 67 0.100 32 O .100 68 0.100 33 0.100 69 0.100 34 0.152 70 0.100 35 0.100 71 O .100 36 0.100 72 0.100
Tabla 8.8. Resultado para el ejemplo 8.3.3
72
siguientes restricciones:
estado de carga 1' (U X) 1 ' (U ) 1 y
estado de carga 2, u en z los nodos 1 ' 2, 3 y 4
y tensión en las barras 1 ' 2' 3 y 4
8.3.3. Torre (72 variables de diseno, 72 elementos)
Para experimentar la influência sobre el desempe
no del optimizador de un aumento en el número de variables de di
seno, se modificá el ejemplo anterior. Proyectamos ahora la torre
de 72 barras permitiendo que cada barra adapte un área transver
sal independiente de las restantes. Son pues 72 los grupos de
unión.
Se sustituyen tambien los dos estados de carga si
métricos del ejemplo mencionado por el estado de carga:
Las restricciones y la configuración inicial son
las mismas que en el primar ejemplo.
Resultados - En 12 iteraciones se obtiene un peso
de 187.9 ib(22% del inicial) para la configuración de la tabla
8.8. La historia del proceso de reducción de peso se encuentra en
la figura 8.5.
Se observa que el numero de iteraciones no aumen
ta cuando se ha pasado de 16 a 72 variables de diseno.
8.3.4. Estructura plana (105 variables de diseno, 200 elementos)
Aqui se experimenta el comportamiento del optimi
zador frente a un problema de gran tamano similar al resuelto por
Venkayya en la referencia (9].
Modelo de la estructura - La geometria de la es -
tructura, asi como la designación de sus 77 nodos y 200 barras
biarticuladas se encuentra en la figura 8.6.
73
y
X
Figura 8. 6
240"
-o ,a ....
1
E. Nodos E. Nodos E. Nodos E. Nodos
1 1 2 51 18 25 101 41 42 151 55 61 2 2 3 52 18 26 102 34 43 152 56 61 3 3 4 53 18 27 103 35 43 153 57 58 4 4 5 54 19 27 104 35 44 154 58 59 5 1 6 55 19 28 105 36 44 155 59 60 6 1 7 56 20 21 106 37 44 156 60 61 7 2 7 57 21 22 107 37 45 157 57 62 8 2 8 58 22 23 108 38 45 158 57 63 9 2 9 59 23 24 109 39 45 159 58 63
10 3 9 60 24 25 110 39 46 160 58 64 11 3 10 61 25 26 111 40 46 161 58 65 12 3 11 62 26 27 112 41 46 162 59 65 13 4 11 63 27 28 113 41 47 163 59 66 14 4 12 64 20 29 114 42 47 164 59 67 15 4 13 65 21 29 115 43 44 165 60 67 16 5 13 66 21 30 116 44 45 166 60 68 17 , 5 14 67 22 30 117 45 46 167 60 69 18 6 7 68 23 30 118 46 47 168 61 69 19 1 7 8 69 23 31 119 43 48 169 61 60 20 ' 8 9 70 24 31 120 43 49 170 62 63 ' 21
' 9 10 71 31 25 121 44 49 171 63 64
22 10 11 72 25 32 122 44 50 172 64 65 23
1 11 12 73 26 32 123 44 51 173 65 66
24 ' 12 13 74 27 32 124 45 51 174 66 67 25 1 13 14 75 27 33 125 45 52 175 67 68 26 6 15 76 28 33 126 45 53 176 68 69 27 1 7 15 77 29 30 127 46 53 177 69 70 28 7 16 78 30 31 128 46 54 178 62 71 29 8 16 79 31 32 129 46 55 179 63 71 30 9 16 80 32 33 130 47 55 180 63 72 31 9 17 81 29 34 131 47 56 181 64 72 32 10 17 82 29 35 132 48 49 182 65 72 33 11 17 83 30 35 133 49 50 183 65 73 34 11 18 84 30 36 134 50 51 184 66 73 35 12 18 85 30 37 135 51 52 185 67 73 36 13 18 86 31 37 136 52 53 186 67 74 37 13 19 87 41 38 137 53 54 187 68 74 38 14 19 88 31 39 138 54 55 188 69 74 39 15 16 89 32 39 139 55 56 189 69 75 40 16 17 90 32 40 140 48 57 190 70 75 41 17 18 91 32 41 141 49 57 191 71 72 42 18 19 92 33 41 142 49 58 192 72 73 43 15 20 93 33 42 143 50 58 193 73 74 44 15 21 94 34 35 144 51 58 194 74 75 45 16 21 95 35 36 145 51 59 195 71 76 46 16 22 96 36 37 146 52 59 196 72 76 47 16 23 97 37 38 147 53 59 197 73 76 48 17 23 98 38 39 148 53 60 198 73 77 49 17 24 99 39 40 149 54 60 199 74 77 50 17 25 100 40 41 150 55 60 200 75 77
Definiciõn de elementos para la figura 8.6
74
La estructura tiene un eje de simetría que pasa
por los nodos 3 y 73; por tanto sus 200 elementos son agrupa -
dos en 105 grupos de unión para imponer esta simetria.
El número de gradas de libertad es 154 y el se
miancho de banda de la matriz de rigidez as 20.
Las constantes del material son
E= 3 X 10 7 psi p = 0.283 ib/in 3
para todas las barras
Cargas - Es sometida a 2 estados de carga:
estado de carga n 9 1:
(F J = 1000.ib para los nodos i=l,6,15,20,29, X i
34,43,48,57,
62,71
estado de carga n9 2:
(F ). = -1000,ib para los nodos i=l,2,3,4,5,6, y J.
Restricciones (805)
tensión (400):
lcrJ < 10000. psi
8,10,12,14,15,
16,17,18,19,20,
22,24, ...• 71,
72,73,74,75
todas las barras
desplazamiento (300):
[u>'I < o.5 in
luyl < 0.5 in todos los nodos
variables mínimas (105)
A = 0.1 in 2
min todas las barras
Resultados - Comenzando de una configuración en
que todas las áreas transversal as valen 1 5. in 2, cuyo peso es
149451.ib, se consiguió en 18 iteraciones un peso de 27073, ib.
El gráfico del proceso de reducción está en la figura 8.7.
.o ..... o o o .....
140
120
100
80
60
40
20
o
o
o
o o
2 4
75
o o o
o o
o o o o o o o o
6 8 10 12 14 16 18 iteraciones
Figura 8.7
76
. Ele- Are a Ele- Area Ele- Area
mento ( i n 2 ) men to ( i n 2 ) mente ( i n 2 )
1 1. 733 66 2.253 1 3 3 O. 1 O O 2 O. 9 7 1 67 4.836 134 0.334 5 1 . 71 8 68 0.367 1 3 5 O. 1 80 6 2.225 69 0.648 14 O 4.788 7 O. 1 O O 70 5.645 1 41 O . 1 O O 8 1 . 12 8 77 0.897 142 3.054 9 O. 1 O O 78 O. 1 O O 143 13. 93
1 O O. 1 O O 81 3 . 3 2 1 144 0.996 1 1 1 . 7 71 82 2. O 16 145 O . 1 O O 1 8 O. 16 3 83 O. 1 O O 146 9. 51 5 19 0.226 84 9.862 1 53 1 . 904 20 O. 195 85 O. 87 1 154 o. 364 21 O. 1 O O 86 O. 42 7 1 5 7 3.674 26 3.349 87 6.652 1 5 8 2.958 27 O. 1 O O 94 O. 1 O O 159 O. 1 O O 28 2.502 95 O. 1 O O 160 17. 25 29 3. 163 96 O. 1 O O 161 1 • 2 7 2 30 O. 176 97 O. 119 162 o.428 31 O. 194 102 4. 04 7 163 10.02 32 3. 92 1 1 O 3 O. 1 O O 170 O. 1 O O 38 1. 40 3 104 2. 3 19 1 71 O. 1 O O 40 O. 12 6 1 o 5 1 O. 6 5 1 71 O . 1 O O 43 3.467 106 0.455 173 O . 1 O O 44 2.422 1 O 7 0,374 1 7 8 4.621 45 O. 1 O O 1 O 8 7.479 1 79 O. 1 O O 46 5.688 115 1 . 258 180 2.979 47 O. 1 5 5 11 6 0.605 1 81 1 8. o 3 48 O. 316 119 3. O 29 1 82 o.420 49 3. 41 O 1 2 O 2.768 1 8 3 1 • 292 56 O. 1 O O 1 2 1 O. 1 O O 1 84 1 1 . 5 O 57 o. 164 122 1 3 • 1 7 191 3.645 58 O. 166 123 0.482 192 2.280 59 O. 176 124 1 . 042 195 6. 11 7 64 4.362 125 8.638 196 19.29 65 O. 1 O O 132 O. 1 O O 197 7. 1 72
Tabla 8.9. resultado para el ejemplo 8.3.4
77
9. CONCLUSIONES
Conviene separar las conclusiones que se refieren
al algoritmo de optimización en si, de aquellas relacionadas con
el objetivo básico de conseguir un sistema de proyecto de es
tructuras eficiente.
9.1. Sobre el Algoritmo de Optimización
Se concluye de lo expuesto que el algoritmo que
se propone en esta tésis es eficiente y con algunas característi
cas de simplicidad destacables.
El proceso de separación de restricciones canse -
guido (sección 4.2) es uno de los puntos que permiten el redise
no simple y sin tentativas sucesivas.
El procedimiento llamado, en la sección 3.2, ele~
ción dinâmica del parâmetro~~ determina el módulo del vector
nxv cuando ya es conocida su dirección. Lleva en cuenta la facti
bilidad del diseno resultante, produciendo en definitiva una su
cesión de disenos factibles. Esta es una propiedad de la may~r im
portancia en un algoritmo de optimización.
La capacidad del algoritmo propuesto de tratar con
función de mérito no lineal, presentada en este trabajo, es una
característica que dice de la generalidad del algoritmo menciona
do.
El concepto de variables de desvío resultá una
herramienta fructífera para el desarrollo del esquema de optimi
zación y seguramente su utilización produzca otros avances en es
ta área.
9.2. Sobre el Sistema de Proyecto
El algoritmo de optimización utilizado por este
sistema es su parte central; valen entonces aqui las conclusio -
nes establecidas en lo anterior.
76
De los ejemplos procesados se deduce que se ha
conseguido un programa de proyecto aplicable a estructuras de ta
mano real, y el cual puede servir como instrumento que permita
el desarrollo o incorporación de técnicas de optimización. Res
pecto a este Último aspecto mencionamos los resultados ya obte
nidos:
desarrollo del propio algoritmo de optimización
incorporación de criterios de resistencia
desarrollo de un tratamiento mas general para
la optimización con restricción de pandeo.
9.3. Posibilidades para continuación del Trabajo
Con relación al algoritmo propuesto, un teorema
de convergencia contribuiria seguramente a su entendimiento y a
plicación, en tanto que el uso de otra función de la variable de
desvío, diferente de su cuadrado, debiera ser investigado.
Asi_mismo, el gran
resolución del sistema lineal que
esfuerzo computacional en la \)
determina À debiera ser lle-
vado a cabo con algun método eficiente Cen este trabajo se re -
suelve por un método directo de descomposición LU) .Con
un método iterativo de resolución se podría comenzar del v- l
À •
punto
Con respecto al propósito de obtener un sistema
de proyecto estructural aplicable, podrian distinguirse varias
items a investigar:
al incorporación de técnicas de análisis aproximado,
fundamentalmente en las Últimas etapas de aprox!
mación en las que, como muestran los ejemplos pr~
·casados, la variación en la configuración es pe
quena.
bl incorporación de otras rutinas de optimización.
Para estructuras cercanas a la condición isostá
tica sería conveniente disponeY de un redimensi~
nadar de tipo " stress ratio method ". Seria in-
79
teresante desarrollar una rutina para optimiza -
ción con variable discreta.
c) ampliación de la clase de estructuras modeladas
por el sistema.
d) implementación del algoritmo propuesto a optimi
zación estructural con geometria variable.
e) nueva definición de las funciones restricción cd i
y ct ((7.9) y (7.18)) a partir de los desplaza-i
mientos y tensiones, a efectos de que estas fun-
ciones restricción sean "mejor" aproximadas por
su desarrollo lineal.
80
REFERENCIAS
[ ~ Fax, R.L., "Optimization Methods for Engineering Design",
Addison-Wesley, Reading, June 1973.
[ 2] Gallagher, R.H. and Zienkiewicz, "Optimum Structural Design",
John Wiley & Sons, London, 1973.
[ 3] Schmit, L.A., "Structural Design by Systematic Synthesis",
Proceedings of the Second National Conference on Electronic
Computation, ASCE, 1960, pp. 105-132.
[ ~ Vanderplaats, G.N. and Meses, F., "Structural Optimization
by Methods of Feasible Oirections", Computar and Structuras
, vol. 3, n9 4, July 1973, pp. 738-755.
[ ~ Vanderplaats, G.N., "Design of Structures for Optimum Geo
metry", Anais do III Congreso Brasileiro de Engenharia Me
cânica, dezembro 1975.
[ ~ Schmit, L.A. and Miura, H., "Aproximation Concepts for
Efficient Structural Synthesis", Nasa CR-2552, March 1976.
[ ~ Gellatly, R.A.:"Oevelopment of Procedures for Large Seale
Automated Minimum Weight Structural Design~ AFFOL-TR-66-180,
1966.
[ ~ Venkayya, V.B •• "An Iterative Method for the Analysis of
Large Structural Systems", AFFOL-TR-67-194, April 1968.
[ 9] Venkayya, V.B., Khot, N.S. and Reddy, V.S., "Energy Distr.!_
bution in an Optimum Structural Design", AFFDL-TR-68-156,
March 1969.
[lü] Kiusalaas, J., "Minimum Weight Design of Structures via an
Optimality Criteria", Nasa TN-0-7115, December 1972.
[11] Venkayya, V.B., Khot, N.S. and Berke, L., "Applicatión of
Optimality Criteria Approaches to Automated Design of Larga
Practical Structures", 2nd Symposium on Structural Optimiz~
tion, AGARD-LS-70, Hampton, Va., October 1974.
[1~ Segenreich, S.A. and Mcintosh, s.c., "Waight Minimization
of Structures for Fixed Flutter Speed Via an Optimality
Criterion", AIAA/ASME/SAE 16th Structures, Structural Dyna
mics and Matarials Conf., Danver, Colorado, May 1975.
81
[13] Segenreich, S.A. and Mcintosh, S.C., "Weight Optimization
under Multiple Equality Constraints using an Optimality
Criterion", AIAA/ASME/SAE 17th. Structures, Structural
Dynamics and Materials Conference, King of Prussia, May
1976.
[14] Rizzi, P., "Optimization of Multi-Constrained Structures
based on Optimality Criteria", AIAA/ASME/SAE 17th Structu
res, Structural Dynamics and Materials Conference, King of
Prussia, Penn., May 1976.
[1s] Razani, R •• "Behavior of Fully Stressed Design of Structu
res and Its Relationship to Minimum Weight Design", AIAA
Journal. Vol. 3, N9 12, December 1965, pp. 2262-2268.
[16] Herskovits, J., "Un sistema automitico de proyecto de es
tructuras 6ptimas", Tisis M.Sc., CDPPE/Universidade Federal
do Rio de Janeiro, octubre 1976.
[17] Kaszkurewicz, E., Comunicaci6n verbal, junio 1976.
[1s] Przemieniecki, J.S., "Theory of Matrix Structural Analysis",
McGraw-Hill, New York, 1968.
A min
a
cj , c . ( x J J -
c'.(x,zl J - -
( c ' J j
d
D
82
NOTACil1N
coeficientes de la ecuación diferen
cia 1
componente de la matriz A
matriz de estado
area transversal de la barrai
area transversal mínima de barra
conjunto ( de subindices J de restric
ciones consideradas en una iteración
matriz de compatibilidad elástica
del elemento i
función restricción del problema de
optimización
\} C. ( X )
J -
calculada en x\J
función restricción asociada al des
plazamiento en la dirección i
función restricción asoéiada a la
tensión en el elemento i
cj(~)+z~, restricción generalizada
c'(x ,z j -
coeficiente de redimensionado
conjunto de restricciones
parâmetro de central de convergência
determinante generado por el criterio
de Hurwitz
( 6. 4)
[ 6 • 2)
( 6 • 1 l
( 1. 1)
Sec. 8.3
Sec. 3.7
(7.11)
[4.13)
[ 2. 2 J
[ 2. 7)
(2.10)
( 7. 9 l
(7.18)
[ 3. 5 J
(3.16)
( 2 • 6 l
Sec. 4.2
(3.33)
( 6. 7)
E
f. ( w J l -
F
K
K,
K~ l
p
m
n
83
módulo de Young
función que define una recurrencia
fuerza generalizada en la dirección i
fuerza en la dirección x sobre el
nodo i
Sec. 8.3
Sec. 3.1
( 7 • 1 J
Sec. 8.3
vector de fuerzas generalizadas (7.1)
vector de fuerzas generalizadas res
tringido
grupo de uniõn de la variable xi
espesor de membrana del elemento i
espesor m{nimo de membrana
momento de inercia en el elemento i
matriz de rigidez del elemento i
en coord. locales
matriz de rigidez unitaria del ele
menta i (ccord. loc.J
parámetro de contra! de convergen
cia, (K '/PJ
K.P, parámetro de contra! de con -
vergencia adimensionado
matriz de rigidez de la estructura
matriz de rigidez restringida de la
estructura
matriz de rigidez unitaria del gru
po de uniõn G., (v.d. x. J l l
matriz de rigidez unitaria restrin
gida del grupo de uniõn Gi (v.d. xi)
numero de restricciones
numero de variables de diseno
numero de elementos finitos
aP/ax. l
( 7 • 8 J
( 7. 3 J
Sec. 8.3
Sec. 8. 3
(8.ll,(8.2)
( 7 • 2 J
( 7. 3 J
(3.11)
Sec. 3.6
( 7 • 1 J
( 7. 7l
[ 7 • 5 l
( 7. 7l
( 2. 2 J
Sec. 2.1
Sec. 7.1
[ 2 • 1)
-V pi
P,P(x)
( l:iP J V
q
s
t a
t c
t X
u
( u ) . X 1
u
84
V calculada en x
definido en (5,2)
función de mérito o casto genera
lizado
p [XV)
P(xv+ll - P(xvl
punto elegido en el elemento i
gradas de libertad de la estructu
ra
valor de normalización
tolerancia en las variables míni
mas (superior)
tolerancia en la variación de cj
tolerancia en las variables míni
mas (inferior)
tolerancia en la variación de [~]
matriz de tensión del elemento i
vector de desplazamientos nodales
para el elemento i, en coord.loca
les
desplazamiento generalizado en la
dirección i
desplazamiento en la dirección x
para el nodo i
desplazamiento admisible en la
dirección i
vector de desplazamientos genera
lizados (incluye restrictos)
vector de desplazamientos genera
lizados restricto
parámetro auxiliar
( 5 • 2 J
[ 5 • 2 )
[ 2. 1)
( 2 , 9 )
Sec. 7.3
Sec. 7,1
[4.11), (4.12)
Sec. 3.4
(3.29)
(3.38)
(3.25)
(7.14)
(7.11)
( 7. 1)
Sec. 8.3
[ 7 • 9 J
( 7 , 1 J
( 7 • 8 J
(3.24)
V
w
o w
V w
w*
XM . • l.
X
o X
V X
V V llxi,(llxil
llxv
x*
y
y
z
o z
85
conjunto (de subÍndices) de varia
b les no fijadas
(x,z,À)
( o o ºJ X ., Z .,
V V V (x,z,À)
(x*,z*,À*) , lÍmite de wv
V+ 1 V wi - wi
variable de diseno
valor mínimo para la variable i
vector de diseno
solución del problema de optimiza
ción
término V de la sucesión definida
por el algoritmo
v•l xi v+l
X
V - X.
l.
V - X
Sec. 3. 7
Se c. 3. 1
Se c. 3. 1
Sec. 3. 1
Se e. 3. 1
Sec, 3, 1
Se c. 2.1
(3.31)
Se c, 2. 1
Sec, 2,1
Sec, 2.2 y 3
( 2 • 8 J
(3.25)
límite de xv Sec. 3.1
función incógnita de la ecuación
diferencial (6. 4)
derivada i-ésima de y
vector cuyas coordenadas son
variables de desvíoq
i
vector cuyas componentes son las
variables de desvío
valor de z que verifica, o con x
la condición de optimalidad
término V de la sucesión definida
enSec.3.1
zv•l _ zv j j
V límite dez
parámetro de relajación (térmi -no vl
( 6, 2 J
( 6 , 2 J
( 6 • 1 )
( 3. 5 J
( 3. 5 J
Sec. 3.1
(3.13)
Sec. 3.1
(2,7) V
(3,10)-(3.13)
13 \/ j
E
(j>(x,À)
<P' (x,z,À)
\)
À
p
86
parámetro auxiliar (término vl
parámetro auxiliar (término v)
parámetro auxiliar (término vl
parámetro auxiliar (término vl
vector de coordenadas s~ J
simbolo de Kronecker
criterio para restricciones con
sideradas
función de Lagrange
función de Lagrange (generaliza
da)
indice de una sucesión (nunca de
be ser interpretado como expone~
te)
variable introducida en la función
de Lagrange
vector cuyas coordenadas son Àj
valor de À que verifica, o con x
la condición de optimalidad
término\/ de la sucesión definida
por el algoritmo
lÍmi te de À v
coeficiente para aproximaciones
de Ii en el elemento i
densidad
matriz de compatibilidad del ele
mento i
vector de tensiones en el elemen
to i (en P.l i
tensión equivalente en el elemento i
(3.19)
(3.20)
(2.12)
(2.13)
(4.13)
(3.20)
Sec. 3.5
( 2. 3 J
( 3. 6 J
Sec. 2.2 y3.l
(2.3),(3.6)
( 2. 3 J
Sec.2.2 y 3.1
( 2. 7)
Sec. 3.1
(8.ll,(8.2)
Sec. 8.3
( 7 • 2 J
(7.11)
(7.16),(7.17)
e
e e
87
tensión admisible para el elemento i
nivel cero para test de Kuhn-Tucker
nivel cero de restricciones, para
test de Kuhn-Tucker
nivel cero para derivadas de P
matriz de elasticidad del elemento i
(7.18)
(4.9)-(4.12)
(4.lll,(4.12)
( 5 • 2 J
(7.11)
88
Apéndice 1, Seleccián de t e
En la seccián 3.2 (11) se concluye que medfante
la acotación:
t e
KÀj para todo j tal que Àj > O y
se asegura que la máxima variación relativa en la restricción cj V
este, en una prevision lineal de ôcj,
El parámetro t puede entonces servir para preve-c
nir que una restricción se vuelva infactible, pero debe permitir
que las restricciones activas en el Óptimo alcanzen esa condición.
Es de notar también que muchas iteraciones se realizan con algu
nas restricciones ya activas al comienzo o sea próximas a cera
donde las variaciones relativas pueden resultar distorsionadas
por problemas numéricos.
Teniendo ésto en cuenta se adapta la siguiente
elección:
cj t Máximo Valor Es -e V+l
psrado para cj
V (t ) dado V
cj < -o.os (1-t Jc. -,,,, o - e e J
/ l t V e
e j V
c1
V =l. o 0.000 -o.os<cj~-0.002 t '~/ o e
V cj
V 0.002) O. O O 2 -0.002<c.<0,000 t =(1- 0.002 7 J e V "''' / o
cj V cj
89
Apéndice 2. Si xv tiene lÍmite, éste satisface las ecuaciones de
Lagrange (3.7), (3.8) y (3.9)
Las ecuaciones de Lagrange ((3.7), (3.8) y (3.9))
son:
R. !..:i. pi + l: Àj = o j=l ôxi
i=l,m (a2. ll
À jz j = o j=l,R. (a2.2l
C • (X) + 22 = o J . j
j=l,R. Ca2.3)
• o • y constituyen una condicion necesaria, para el vector x solucion
del problema general definido en (3.ll y (3.2), equivalente a la
siguiente:
p + i
R. l: Àj
j=l
À c = D j j
i= l, m (a2.4)
j=l,R. ( a2. 5 J
j=l,R. (a2.6)
Si la sucesión ~V generada por el algoritmo defi
nido por (3.10) y (3.22) (sección 3.7) tiene límite x* para v+"',
entonces
lÍm /'ixv = o i
Escribiendo nuevamente (3.12)
(a2.7J
(a2.8)
( * J * y tomando lÍmite para v+"', en la hipÓtesis (a*-ll F D y xi!O,
(*J el asterisco indica lÍmite para v+oo.
90
se deduce
i=l,m (a2.9)
Es decir x* cumple con Ca2.4). Vamos a probar aho
ra que cumple con (a2.5).
El sistema (3,22) puede ser escrito, de acuerdo a
la definición de los B's, como:
j=l,t (a2.10)
o también:
j=l,t Ca2.lll
Pasando al lÍmite en la Última ecuación y tenien
do en cuenta Ca2.9), se deduce que
j = 1 ' (a2.12)
Resta probar (a2.6). Para ésto observemos que la
condición (3.35), impuesta para restricciones infactibles, impi\1
de que x converja en un punto de la región infactible pues no
podria ;xv tender a cera si cjc~"J es diferente de caro.
91
Apêndice 3. Condición de Kuhn-Tucker cuando se excluyen x1
~xM,i
del conjunto de Restricciones c j
De las ecuaciones (3.8) y (3.9) se deduce que cuan
do una restricción es o inactiva en el Óptimo x el parámetro
correspondiente es nulo. Es decir
si c.(x 0) < O
J -( a3. ll
La condición general de Kuhn-Tucker (establecida
en (4.1) y (4.2))
R.+m i:
j = 1 i = 1 , m (a3.2)
j=l,R. (a3.3)
debe incluir todas las restricciones al vector x, en el conjunto
{ c j} .
La limitación en la variable r
X > X r M,r
(a3.4)
está representada en ese conjunto { c j} por
c = X - X ( s = R. + rl s M,r r
(a3.5)
Esta restricción contribuye en (a3.2) solamente
con un término -À en la ecuación correspondiente a la variable s
x (i=r) ,y con cero en las restantes. r
(a3.2) parai= r se escribe
o (a3.6)
92
Dos casos pueden presentarse:
O a l si x
r
p + r
= XM • 'r
i í: ÀJ.
j=l
se deduce de (a3.3) que
b) Si O
X > X r M,r
O (,',c(x)<O)
s -
se deduce de (a3.l) y (a3.6) que en ese caso:
p + r
i í:
j=l
aci À,----"-= o
J axi
(a3.7)
(a3.8)
Esto conduce a establecer la condición de Kuhn
Tucker en la forma
i p. + í: ÀJ.
l j=l
À. = o J
si x.>xM . l • l
i=Lm
> o si x.=xM . l • l
si c.(xl = O j=l,i J -
si c.(xl < O J -
(a3.9)
(a3.10)
en donde no se incluyen en el conjunto {cj} las restricciones
Xl. > XM , ' - 1.1. l.
93
Apêndice 4. Cálculo y derivación de los coeficientes de la ecua
ción diferencial (6.4) en función de los componen -
tes de la matriz de estado
Para la matriz A = [aij] i=l,4 j = 1 , 4
se define
[ a a
J a a a
M rr rs rr rs rt =
rs M = a a a a rst ªsr ss st sr ss
ªtr a ªtt ts
Los coeficientes a1
de la ecuación diferencial
(6.4) son entonces:
y definiendo:
a = 2 l M. j
i=l,3 1
j = 1 , 3 i ,i j
Para la matriz
A =
M • rs,.1
xi
-x3
-x6
- XI O
= aM
rs axi
o
x,
-x7
-x 1 1
a 3 = - l ª11 i = 1 , 4
o -x 2
o -xs
-xs - xs
x12 -x 1 3
M t . rs ,.1
resulta (se omiten las derivadas nulas):
94
M =x X 1 2 1 4
= X 4
M =-x X -x X 14 1 13 2 10
M =-x 14.,l 13
M =-x 1 4 , 2 1 O
M =-x 14,13 l
4
M =-x 2 4 , 5 1 1
M =-x 2 4 , l 3 4
M =x 34.,13 8
M =-x x x 1 2 3 1 4 e
M =M 123,l 23
M =x M - x • S 124 1 24 2
en que s =
M =-S M =-x x M =M l 2 r+ , 2
M =-x x 124.,10 2 4
1=M34
124.,3 2 11 l 2 4 , 4 1 4
M =-x x-x x 124,11 1523
en que
=T 2
T =
M = X 1 2 , 4 l
M =-x 14,10 2
=-x 4
M =-x 2 4 , 1 l 5
M 3 4 =x , 1 2 9
M = -M 123,8 12
M =-x x 124.,S 1
M =x x M =x x M =x x +x x l 3 4 , 9 l 2 13lt-,10 2 8 l 3 4 , 1 2 l 9 2 6
M =x X l 3 4 , l 3 1 8
M =x M + x R en que R =XX +x X 2 34 4 34 5 7 12 e 11
M =x x 234,11 se
M =x x +x x 23,,12 s9 57
M =x x 2 3 4 , 1 3 4 8
95
Utilizando los valores asi calculados, se obtie
nen los coeficientes y sus derivadas de las siguientes igualda
des:
ª2 l i = 1, 3 j = 1, 3 i;I j
Mij l i=l,3 j = 1, 3 i ;I j
M
ª3 eªª =l , 3 , l 3
i j 'k para k=l,13
= - [M + M + M + M ] 123 12'+ 13'+ 23'+
a o
-[M +M +M +M ]para k=l,13 123,k 124,k. 134,k 234,.k
en que Q x R+x T 3 •
a =M O., 1 2 3 ...
a =Q a =x R a =M 0,2 O., 3 2 0,4 134
a = x R O, 5 1
a =x (x x +x x J 0,7 12 1 5 2 3
a =x x x 0.,6 2 4 12
a =-x M +x S º·ª 24 2 a =x x x
0,10 248
a =x M +x x x 0,11 1 234.ll 2 J·e
a =x M +x (x x +x x J 0,12 23'+,12 2 3 7 4 6
Finalmente: +
2 y = -2a a +a a a +a a a +a a a -a a -
11,k 123.,k 12,k3 1,k23 o.,k3
-2a ª3ª k O 3 , para k=l,13