blocos quadra do latino e outros

7/26/2019 Blocos Quadra Do Latino e Outros

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1

3 - Blocos Casualizados, Quadrado Latino

e Outros Delineamentos3 -1 Delineamento em blocos completos casualizados

Um fator de perturbao (nuisance factor) um fator que provavelmente tem um efeito sobre aresposta, mas o pesquisador no est interessado neste efeito. Quando este efeito conhecido econtrolvel, ento pode-se usar a tcnica de blocagempara eliminar esse efeito da comparaoentre os tratamentos.

locos


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!

!emplo. "upon#a que uma pesquisadora dese$a verificar se a pot%ncia e o tempo demicroondas produ&em diferentes resultados para populao de bactriaspsicrotroficas(ufc/cm2), obtidas de amostras (' cm!) de carcaa de franos resfriados. *stratamentos utili&ados foram+ e ! minutos /' e 1 minuto e o controle. 0pesquisadora decidiu usar seis repeties por tratamento e fa&er as medies ao lono

de seis dias, desse modo, as repeties (blocos) so os dias. 2omo as unidadese3perimentais provavelmente comportam-se de modo diferente nestes dias (mais calor,menos calor, etc.), isto pode inflacionar o erro e3perimental. 0ssim, dese$a-se removera variabilidade entre unidades do erro e3perimental. 4ara este fim, vamos usar cadatratamento apenas uma ve& em cada um dos 5 dias. 6entro do bloco (dias), a ordem deaplicao dos tratamentos deve ser reali&ada de forma aleat7ria (por sorteio).

8ste delineamento mostrado na tabela a seuir.

Caso t"pico# $ulgador%bloco. 8ntre os blocos deve #aver diferenas marcantes dentro do blocodeve #aver #omoeneidade. 9eralmente, blocos iual a repeties.


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/

6elineamento em blocos completos casuali&ados para dados de populaes de

bactriaspsicrotroficas(lo de ufc:cm!)

locos;ratamentos

<


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?

3-1&1 'nlise estat"stica

B11B!1..

.Ba1

loco 4emplo+ dados de pop. depsicrotroficas. 0 pesquisadora dese$a construir intervalos deconfiana para a diferena entre duas mdias de populaes de bactrias com preciso(metade do intervalo de confiana)de ,' (no lo), com confiana de A'T. ;em-se umaestimativa de !J,1.

4ara b=0, a preciso do intervalo dada por+ ?51!,

'

1,!/5,! =

4ara b=?,a preciso do intervalo dada por+ '?1,?

1,!??,! =

0 pesquisadora deve usar b=0blocos.


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!1

3-0 Delineamento Quadrado Latino

8ste delineamento utili&a um duplo bloqueamento. 6ese$a-se controlar duas fontes devariabilidade, portanto vamos ter duas restri+es na casualizao.

2

*YUI0"

Ydios

L

;ratamentos "Q;ratamentos p-1 "Q;ratamentos:(p-1) Q>;ratamentosQ>8

Yin#as "QYin#as p-1 "QYin#as:(p-1)

2olunas "Q2olunas p-1 "Q2olunas:(p-1)

8rro 4or diferena (p-!)(p-1) "Q8:R(p-!)(p-1);otal "Q;otal p

!-1

* teste estatSstico de iualdade entre as mdias de tratamento dado por+

>

sratamento

$%

$%F =

Ne$eita-se a #ip7tese nula se LOL(p-1)(p-!)(p-1). (Usar o nSvel descritivo)


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!

!emplo 3-4& 6ados de aroma. *s resultados da anlise de variPncia foram obtidas atravs dosoftare "0" ("tatistical 0nalBsis "Bstem) e esto representados na tabela a seuir.


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!@

>aneiras de repetir um quadrado latino+

1 - Usar os mesmos $uladores e as mesmas ordens

! - Usar os mesmos $uladores mas diferentes ordens em cada repetio, ou, de forma equivalente,

usar as mesmas ordens mas diferentes $uladores *bs+ >aneira mais adequada/ - Usar diferentes ordens e diferentes $uladores.

=amos considerar o caso !, onde outros ? novos $uladores nas mesmas ordens sero utili&ados numanova repetio. 0ssim, temos ? novas colunasdentro de cada repetio.O segundo 2uadrado latino5 selecionado independentemente do primeiro& 6este e!emplo o (ator 7ordem/ 5 de classi(ica*o,

ou se$a no permite o sorteio&


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!A

0 anlise estatSstica, considerando as duas rplicas, foi reali&ada no "0", cu$os resultadosso apresentados a seuir.


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/

Delineamento cross-over 2uadrado latino

8m alumas situaes, perSodos de tempo (sesses), so um fator de estudo. Iestedelineamento os _sub$ects` ($uladores, animais, lo$as, etc.) so aleatoriamente desinados

para as diferentes ordens. 0ssume-se que todos os efeitos so aditivosefi4os,com e3ceo doefeito de !ul'adores o ual considerado aleatrio. 2ada $ulador recebe todos ostratamentos durante o tempo do e3perimento, por isso o nome de cross-over.

Ia tabela a seuir apresenta-se o esquema eral do delineamento cross-over. Loram utili&ados @$uladores.

6elineamento cross-over*rdens "esses (!)

(i) Zuladores 1 ! / ?mJ1 6J 0J 2J J1mJ! 6J 0J5 2J JmJ1 0J5 2J5 J 6J!

mJ! 0J5 2J5 J 6JmJ1 2J5 J5 6J 0J'/mJ! 2J J 6J5 0J?mJ1 J 6J 0J 2J?mJ! J' 6J5 0J 2J'


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/1

* modelo matemtico+

( ) ( )ijkmimkjiijkmy +++++=

8squema da 0I*=0 para o delineamento cross-over, onde n o nVmero de $uladores porordem, ep J nVmero de tratamentos J nVmero de ordens J nVmero de sesses.

8squema da 0I*=0 para o delineamento cross-over=ariaes no modelo 9raus de liberdade

*rdem p-1

"esso p-1;ratamentos p-1

Zuladores d. ordem p(n-1)8rro (p-1)(np-!);otal np!-1

ordem sesso ;ratamento Zuladordentro de

ordem


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/!

speran*as dos 2uadrados m5dios#

2

>rro

2

#

2

)ordeml'(Gu

p

i

2

i2

sratamento

p

i

2

i2

#esso

p

i

2

i

2#

2Hrdem

)$%(>

p)$%(>

pnp)$%(>

pnp)$%(>

pnpp)$%(>

=

+=+=

+=

++=

=

=

=


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//

83emplo+ dados de aroma (cross-over), os resultados da anlise de variPncia foramobtidas com o uso do "0".

2ausas devariao

"oma dequadrados

9raus deliberdade

Quadradosmdios

L

ISveldescritivo

;ratamentos !,5/ / ,@@ 1,@' ,1/@*rdem /,1/ / 1,?"esso !,/@ / ,A

Zula d. ordem /,!' ? ,@1

8rro @,' 1@ ,?;otal 1A,@@ /1


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/?

3-3 Quadrados de 8ouden e 9raeco-Latino

Quadrado 9raeco-Latino

uma e3tenso de um quadrado latinop 4 p,e obtido atravs da superposio de um seundoquadrado latino no qual os tratamentos so representados por letras reas. 2ada letra rea deveaparecer uma e somente uma ve& com cada letra latina (quadrados latinos ortoonais). 0 tabelaabai3o ilustra esse delineamento.


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/'

Quadrado de 8ouden

Quando no for possSvel utili&ar um quadrado latino porque o nVmero de nSveis decolunas menos do que o nVmero de nSveis de lin#as, ento pode-se fa&er uso doQuadrado de ouden.

>4emplo+ ;%m-se ? tratamentos ? $uladores para cada $ulador pode-se utili&arsomente / tratamentos

8squema do delineamento Quadrado de ouden*rdem dos tratamentos

Zulador 1 ! /1 0 2! 6 0 / 2 6 0? 2 6

8ste delineamento torna-se um quadrado latino com a adio da coluna 6, 2, , 0.

;odo par de tratamentos aparece o mesmo nVmero de ve&es dentro de $ulador.

4ara anlise consultar livro+ 2oc#ran, .9., and 9.>.2o3. 83perimental 6esins.


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/5

3-4 Blocos :ncompletos Balanceados

8m certos e3perimentos no possSvel utili&ar todos os tratamentos em cada bloco. 4or

e3emplo, num e3perimento para testar o efeito de 1 formulaes de um produto, comrelao ao sabor, aroma ou te3tura, devido a questes de sensibilidade, etc. , cada$ulador pode testar apenas ' formulaes. 0ssim, cada $ulador no pode testar todasas formulaes. Iesses casos, pode-se usar o delineamento em blocos incompletoscasualizados,onde, para cada $ulador (bloco), desinado uma parte das formulaes(tratamentos).

Blocos :ncompletos Balanceados# qualquer dois tratamentos aparecem $untos (nomesmo bloco) o mesmo nVmero de ve&es ().

83emplo+ um pesquisador formula a #ip7tese que a aceitabilidade de um alimento dependeda sua forma de preparo. Quatro formulaes de um produto esto sendo pesquisadas. 0samostras so preparadas e desinadas aos $uladores, os quais iro atribuir notas, dentro de

uma escala. "ero utili&ados ? $uladores. 2omo e3istem diferenas entre os $uladores, estessero tomados como blocos. 8ntretanto, cada $ulador pode testar apenas tr%s formulaes.8nto, deve-se usar um delineamento em locos


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/

locos incompletos balanceados para o e3perimento deformulao de um produto

;ratamentos Zuladores

(formulaes) 1 ! / ? Bi.1 ,/ ,? - ,1 !1,@! - ,' 5, ,! !1,?/ ,/ ,' 5,@ - !1,5? ,' - ,! ,' !!,!

B.$ !!,1 !!,? !, !1,@ @,JB..

8ste plano foi construSdo formando todas as possSveis combinaes de atratamentos emblocos de taman#o C.

IeferJncia biblio'rKfica+ 2oc#ran, .9. and 2o3, 9.>. 83perimental 6esins.

3-4&1 'nlise estat"stica# vamos assumir+

a tratamentos

bblocos

C tratamentos por bloco

rrepeties por tratamento

n=ar=bCobservaes

bblocos ==

?

/

?blocosb

k

a=

b=ar/C blocos


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/@

4ropriedade+ o nVmero de ve&es que cada par de tratamento aparece $unto no mesmo bloco +

==

=

arbkn

a

)r(k

1

1

Io e3emplo, !1?

)1/(/ ==

2aracterSsticas dos


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/A

O modelo estat"stico

i!i!i! +++=

*ndei! a observao do i-simo tratamento no!-simo bloco a mdia eral io efeito do i-simo tratamento $ o efeito do!-simo bloco e i! o erro aleat7rio,

I


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?

*nde $i o total a$ustado do i-simo tratamento e calculado por+

ainC

$b

! !i!ii

,...,!,11

1 ..

==

=2om ni!J 1 se o tratamento iaparece no bloco!e ni!J se o tratamento ino aparece nobloco!.

0 soma de quadrados do erro calculada por diferena+ "Q8

J"Q;

-"Q;ratamentos(a$ustado)

-"Qlocos

0 tabela a seuir resume a anlise de variPncia deste delineamento.


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?1

Q>

=F

>4emplo A"< dados de aceitabilidade de um produto. um


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?!

[ ]!!',

)?)(!(

)5,()1/,()!/,()/,(/ !!!!

)( =+++

=a!ustados;ratamento#$

/!',!!','',@1, ==>#$


43/57

?/

Contrastes ortogonais#

*s contrastes ortoonais devem ser calculados com relao aos totais de tratamentos

a!ustados ($i). 0 soma dos quadrados do contraste dado por

)(=

>4emplo A"

20,/,2)?)(2/()1,)(A(L

0,/?,)?)(2/()A,)(A(L

10,/M,)?)(2/()2A,)(A(L

20,/M,)?)(2/()A,)(A(L

?

A

2

===

=========

/?MA1,/?.2

//0,/.A# == Io bate com o "tatistica e o "0".


45/57

?'

!'!@@@A@!

!'//@@5A@/

!'5!'@A@/!'/@?@!?

!'///@@5A@!?

!'/5!'@A@!1?

,,)/,("/,M"


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?5

>dias de mSnimos quadrados+ so calculadas como,

',!',!',

!,',!',

15!',@5!',!',

1/',11!',!',

.?

./

.!

.1

...

=+===

== ==

+=

ii Io"0"soobtidas

como comando

Y">80I"

4ode-se aplicar um teste de comparaes mVltiplas com estas m5dias a$ustadas (d omesmo resultado do que nos efeitos dos tratamentos)&

General Linear Models Procedure Least Squares Means

Adust!ent "or !ulti#le co!#arisons$ %u&e'()ra!er

*+,M-LA A/%A Pr % 0$ LSM/AiLSM/A

LSM/A i 1 2 3 4

1 7.13750000 1 . 0.9825 0.8085 0.0130 2 7.16250000 2 0.9825 . 0.9462 0.0175 3 7.20000000 3 0.8085 0.9462 . 0.0281

4 7.50000000 4 0.0130 0.0175 0.0281 .


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?

Blocos :ncompletos BalanceadosBlocos :ncompletos Balanceados

7


48/57

?@

!emplo 7:nstituto de


49/57

?A

1 ! /1 0J/ J! 6J1! CJ! 0J1 ZJ// J! 2J/ LJ1? 2J/ 6J! CJ1' LJ! CJ/


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'

Ieste e3perimento temos+

a = tratamentos

C = A unidades e4perimentais por bloco

b = A blocos

r = M repeti+es

= 2 blocos nos uais os tratamentos i e iN aparecem !untos


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'1

6ota*o#

Oi!os resultados do tratamento ! no bloco i se o tratamento ! aparece no bloco i

*rdene osOi! dentro de cada bloco assinalando o posto 1 ] menor observao no bloco,posto ! ] seunda menor, e assim por diante, at o posto C, que assinalado a maior de todasas observaes no bloco i, $ que e3iste apenas Cobservaes dentro de cada bloco. 6enota-

se porI(Oi!)o posto deOi!ondeOi!e3iste.

2ompute-se a soma dos postos assinalados aos r valores observados para o!"simotratamento e c#ame esta soma deI!.

8nto, I!pode ser escrito como+

O teste de Durbin

b

i

i!! )O(II1

*nde somente r valores deI(Oi!)e3istem para cada tratamento!.


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'!

Observa*o#

1) "e as observaes so no numricas, por e3emplo+ ruim, mdio, bom, muito bom,mas so passSveis de serem ordenadas dentro dos blocos de acordo com alum critrio

de interesse, o posto de cada observao anotado e os valores deI!so calculadoscomo antes.

!) "e #ouver empates, recomenda-se assinalar o posto mdio ]s observaes empatadas.

?ressuposi*+es do teste de Durbin

1. *s blocos so mutuamente independentes um do outro

!. 6entro de cada bloco as observaes podem ser ordenadas em ordem crescente, deacordo com alum critrio de interesse.

ipteses#

C+ *s tratamentos tem efeitos id%nticos

C1+ 4elo menos um tratamento tende a produ&ir valores maiores do que pelo menos um

dos outros tratamentos.


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'/

* teste estatSstico de 6urbin definido como+

= +

+

=

t

!

2

! C

)C)(a(r

AI)C)(C(ra

)a(2

;

Nera de deciso do teste+

0Harejeitar

liberdadedegraus1-acomT

> ! ',#e


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'?

83emplo+

a = tratamentos

C = A unidades e4perimentais por bloco

b = A blocos

r = M repeti+es

= 2 blocos nos uais os tratamentos i e iN aparecem !untos

I9=? I:= IB=20 I@=1 I>= IF=0 IP=2 IQ=

IR= IG=M

,2

,?,?M

,?),AA2?(0,

A

)A)((M.A)M20120?(

)A)(A(.M

)(2 2222222222

==

=

++++++++++

+

=


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''

2om a utili&ao de um prorama estatSstico, obtemos o valor de qui-quadrado (2), com 1-1JA raus de liberdade e nSvel de sinificPncia de 'T, iual a 15,A1@A@. 2omo a estatSsticade 6urbin menor do que o valor de qui-quadrado tabelado, devemos aceitar a #ip7tese nulae, assim, no foi observado diferenas sinificativas entre os tratamentos quanto ao sabor.

Compara*+es mltiplasCompara*+es mltiplas

* mtodo que se seue pode ser usado para comparar pares de tratamentosse e somente sea#ip7tese nula for re$eitada.

2onsidere dois tratamentos i e iNdiferentes se as suas somas de postos satisfa&em adesiualdade+

))((

])()[)(()/(' 115

111!1 +

+>

babCa

aabCCCrtII ii

*nde t("/2) o quantil da distribuio tde "tudent com bC"a"bS raus de liberdade.2#amamos o lado direito da desiualdade de@iferena %Tnima #i'nificativa.

4(!

O1!,5)J,1@15 (valor p)


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'5

Continua*o do e!emplo#

Ieste e3emplo, faremos os testes de comparao de pares de tratamentos, somente para finsdidticos, pois o teste de 6urbin no foi sinificativo. =amos, inicialmente, encontrar o valorda d.m.s.

?@A5@

!'?

?A!?@5!

1/1//11551!111//1/1/A5!

115

111

'1!'1

!1

,

,

).)((

],.)(.)[)((,

))((

])()[)((

'

'

'

'

);/,(

)/(

>

>

++>

=

++

>

ii

ii

ii

ii

II

II

II

t

babCa

aabCCCrtII

2,0075!


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;emos 1(A):!J?' pares de tratamentos. =amos ver somente as seuintes diferenas.

1725""#1$25""

101525""

111!25""

%&

'&

(&

)&

====

====

* tratamento 2 apresenta diferenas sinificativas com relao aos tratamentos 0, L e

blocos quadra do latino e outros

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