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MATEMÁTICA A 01. (Pucpr) O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce exponencialmente pode ser determinado pela equação kt

0N N e em que 0N é a quantidade inicial, isto é, 0N N (0) e k é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 8000 bactérias 10 minutos depois, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o inicial? (Dados: In 2 0,69 In 5 1,61) a) 11 minutos e 25 segundos. b) 11 minutos e 15 segundos. c) 15 minutos. d) 25 minutos. e) 25 minutos e 30 segundos.

02. (Uepg) Se a e b, com a b, são as raízes da equação x 11 x54 4,

2

assinale o que for

correto. 01) 2log (a b) 2 02) blog b 6 1

04) 213

log (a b ) 2

08) 2a1log a 12

16) blog a 0 03. (Uepg) Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade

9 3log 2x 5 log 3x 1, assinale o que for correto. 01) Existe uma única solução, que é um número primo. 02) Existem duas soluções cuja soma é positiva. 04) Existem duas soluções cujo produto é negativo. 08) Existe uma única solução fracionária. 16) Existe uma única solução, que é menor do que 5log 625. 04. (Uem) Assinale o que for correto.

01) 210

31log 3 .2

02) 2 920 2 . 04) A equação 2log x x não tem solução inteira. 08) 2 2log 10 1 log 5.

16) 3

51 log 5.5

05. (Uem) Considere a seguinte função 22x x 1f(x) 4 cujo domínio é conjunto dos números reais.

Com relação a essa função, assinale o que for correto. 01) O mínimo da função f ocorre em x = 0.

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02) O conjunto solução da inequação f (x) <1 é 1S x | x 12

� .

04) Para x = 0, tem-se 2log f(x) 2 .

08) O conjunto solução da inequação f (x) > 8 é 1 21 1 21S x | x ou x4 4

� .

16) log3 f (1) não existe.

06. (Uepg) Sobre a equação onde a e b são números reais positivos tais que log b = 6 log a, assinale o que for correto. 01) A soma das soluções da equação é – 1. 02) As soluções da equação pertencem ao intervalo [–3, 3]. 04) A equação tem duas soluções negativas. 08) O produto das soluções da equação é positivo. 16) Uma das soluções da equação é negativa. 07. (Pucpr) Sabendo que log20 = 1,3 e log5 = 0,7 , é correto afirmar que log5 20 corresponde a: a) Exatamente 2. b) Exatamente 0,6. c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6. d) Um valor entre 1,8 e 1,9. e) Nenhuma das alternativas anteriores. Gabarito: Resposta da questão 1: [C]

kt0N N e

k t 10k8000 500 e e 16 Também sabemos que:

t10 k t 4t 11000 500 e 2 16 ln2 ln2 1 4 t t h4

Ou seja, t = 15 minutos. Resposta da questão 2: 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31. Resolvendo a equação, obtemos

x 1 2(x 1) x 11 x

x 1 x 1

54 4 2 5 2 4 02

(2 1) (2 4) 0x 1ou x 3.

Portanto, sendo a b, vem que a 1 e b 3. [01] Correto. De fato, pois 2

2 2 2log (1 3) log 2 2 log 2 2. [02] Correto. Com efeito, temos 3 3log 3 6 log 3 1.

1x 1 xa b ,

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[04] Correto. De fato, pois 12 2

1 333

2log (1 3 ) log 3 log 3 2.1

[08] Correto. Tem-se que 1221 2 2

1 1log 1 1 log 2 log 2 .2 2

[16] Correto. Com efeito, já que 3log 1 0. Resposta da questão 3: 01 + 16 = 17.

9 3 2 3

23 3 32

1log 2x 5 log 3x 1 log (2x 5) log 3x 12

log (2x 5) log (3x) 2 log (6x 15x) 2

6x 15x 9 0

Resolvendo a equação, temos x = 3 ou x = -1/2 (não convém). [01] (Verdadeira). x = 3. [02] (Falsa). Existe apenas uma solução. [04] (Falsa). Existe apenas uma solução. [08] (Falsa). A solução x = 3 é inteira. [16] (Verdadeira). 3 < log5 625, ou seja, 3 < 4. Resposta da questão 4: 01 + 04 + 08 + 16 = 29.

[01] Verdadeira, pois 103 3log 3 10 log 3 10 0,5 5 e

221 2 4.

2

[02] Falsa, pois 202 = 400 e 29 = 512 e 400 < 512. [04] Verdadeira, pois x

2log x x 2 x, equação que não possui solução, isso pode ser verificado graficamente.

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[08] Verdadeira. 2 2 2 2 2 210log 10 1 log 5 log 10 log 5 1 log 1 log 2 1.5

[16] Verdadeira, pois 3

1 5255

e 5

1log 52

e 5 1.25 2

Resposta da questão 5: 02 + 04 + 08 = 14. (01) Falso.

22x x 1f(x) 4 , o mínimo da função ocorre para vértice vértice vértice

b ( 1) 1x x x2a 2(2) 4

.

(02) Verdadeiro.

22x x 1 2f(x) 1 4 1 2x x 1 0

Calculando as raízes, obtemos:

2 1

2

1x2x x 1 0 2

x 1.

Estudando os sinais da função, temos:

Logo, 1S x | x 12

�

(04) Verdadeiro.

Para x = 0, tem-se 22x x 1 1

2 2 2log f(x) log 4 log 4 2 . (08) Verdadeiro.

22x x 1 2 2f(x) 8 4 8 4x 2x 2 3 4x 2x 5 0

Calculando as raízes, obtemos:

12

2

1 21x44x 2x 5 0

1 21x4

.

Estudando os sinais da função, temos:

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Logo, 1 21 1 21S x | x ou x4 4

�

(16) Falso.

22(1) (1) 1 0

3 3 3log f(1) log 4 log 4 0 Resposta da questão 6: 01 + 02 + 16 = 19. Cálculos Auxiliares

Portanto Item (01) – Verdadeiro A soma das soluções da equação é Item (02) – Verdadeiro

Item (04) – Falso

Item (08) – Falso O produto das soluções da equação é (negativo). Item (16) – Verdadeiro Uma das soluções da equação é Resposta da questão 7: [D]

Log520 = 857,17,03,1

5log20log

(entre 1,8 e 1,9).

1 1x 1 x 1x x

12

2

1a b loga logb (x 1)loga logbx

1(x 1)loga (6loga)x

x 36(x 1) x x 6 0x 2x

1 2x x 3 2 1.

1

2

x 33,3

x 2

1

2

x 3Raízes

x 2

1 2x .x ( 3) (2) 6

1x 3 (negativa).

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MATEMÁTICA B e E

01. (Uece) As medidas das arestas de um paralelepípedo reto, em metros, são as raízes da equação 3 2x 5x 8x t 0, onde t é um número real. A medida da diagonal deste paralelepípedo é: a) 6 m. b) 8 m. c) 3 m. d) 5 m. 02. (Unicamp) Considere o polinômio 3 2p(x) x x ax a, onde a é um número real. Se x 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que: a) a 0. b) a 1. c) a 0. d) a 1. 03. (Mackenzie) Seja 3 2P(x) 2x 11x 17x 6 um polinômio do 3º grau e 2x 1 um de seus fatores. A média aritmética das raízes de P(x) é:

a) 72

b) 82

c) 92

d) 102

e) 116

04. (Ufrgs ) Considere o polinômio 4 3 2p(x) x 2x 7x 8x 12. Se p(2) 0 e p( 2) 0, então as raízes do polinômio p(x) são: a) 2, 0, 1 e 2. b) 2, 1, 2 e 3. c) 2, 1, 1 e 2. d) 2, 1, 0 e 2. e) 3, 2, 1 e 2. 05. (Espcex (Aman)) O polinômio 5 3 2f(x) x x x 1, quando dividido por 3q(x) x 3x 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( 1) é

BLITZ PRÓ MASTER a) 10. b) 4. c) 0. d) 4. e) 10. 06. (Upf) Se o polinômio 4 2P(x) x 2x mx p é divisível por 2D(x) x 1, o valor de m p é: a) 3 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3 07. (Pucpr ) Se (x 2) é um fator do polinômio 3 2x kx 12x 8, então, o valor de k é igual a: a) 3. b) 2. c) 3. d) 6. e) 6. 08. (Epcar (Afa) ) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos. Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B. A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é

a) 881

b) 1581

c) 1881

d) 2381

09. (Fgv) Dois dados convencionais e honestos são lançados simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos números das faces seja maior que 4, ou igual a 3, é:

a) 3536

b) 1718

c) 1112

d) 89

e) 3136

BLITZ PRÓ MASTER 10. (Mackenzie) Em uma das provas de uma gincana, cada um dos 4 membros de cada equipe deve retirar, ao acaso, uma bola de uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 10, que deve ser reposta após cada retirada. A pontuação de uma equipe nessa prova é igual ao número de bolas com números pares sorteadas pelos seus membros. Assim, a probabilidade de uma equipe conseguir pelo menos um ponto é:

a) 45

b) 78

c) 910

d) 1112

e) 1516

11. (Espcex (Aman) ) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é:

a) 12 .245

b) 14 .245

c) 59 .2450

d) 59 .1225

e) 11 .545

12. (Uerj) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel:

O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y 60. Os valores respectivos de x e y são: a) 4 e 12 b) 8 e 24 c) 25 e 12 d) 50 e 24

BLITZ PRÓ MASTER 13. (Epcar (Afa)) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e sem numeração. A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas é: a) 8 7! b) 7! c) 5 4! d) 10! 14. (Uece ) Um conjunto X é formado por exatamente seis números reais positivos e seis números reais negativos. De quantas formas diferentes podemos escolher quatro elementos de X, de modo que o produto destes elementos seja um número positivo? a) 245. b) 225. c) 235. d) 255. GABARITO 01) C 02) C 03) E 04) E 05) A 06) E 07) E 08) D 09) D 10) E 11) D 12) B 13) A 14) D

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MATEMÁTICA C

01. (Uece) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual os pontos P (1, 2) e Q (4, 6) são vértices do triângulo PQM. Se o vértice M está sobre a reta paralela ao segmento PQ que contém o ponto (8, 6), então a medida da área do triângulo PQM é:

u.a unidade de área

a) 7 u.a.

b) 8 u.a.

c) 9 u.a.

d) 10 u.a.

02. (Ita) Considere os pontos A (0, 1), B (0,5) e a reta r : 2x 3y 6 0. Das afirmações a seguir:

I. d(A,r) d(B,r).

II. B é simétrico de A em relação à reta r.

III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C ( 3 3,2) ou C (3 3,2).

É (são) verdadeira(s) apenas

a) I.

b) II.

c) I e II.

d) I e III.

e) II e III.

03. (Uece) No referencial cartesiano ortogonal usual com origem no ponto O, a reta r, paralela à reta y 2x 1 intercepta os semieixos positivos OX e OY, respectivamente, nos pontos P e Q

formando o triângulo POQ. Se a medida da área deste triângulo é igual a 29 m , então a distância entre os pontos P e Q é igual a:

a) 5 m.

b) 3 5 m.

c) 4 5 m.

BLITZ PRÓ MASTER d) 2 5 m.

04. (Pucrj) Sejam r e s as retas de equações y x 2 e x 5y ,2 2

respectivamente,

representadas no gráfico abaixo. Seja A o ponto de interseção das retas r e s. Sejam B e C os pontos de interseção de r e s com o eixo horizontal, respectivamente.

A área do triângulo ABC vale:

a) 1,0

b) 1,5

c) 3,0

d) 4,5

e) 6,0

05. (Ueg) Um espelho no formato de circunferência foi pendurado em uma parede. Considerando o canto inferior esquerdo como a origem de um sistema cartesiano, o espelho pode ser representado pela equação da circunferência 2 2x y 4x 4y 7,84 0. Dessa forma, constata-se que o espelho está a uma altura do chão de:

a) 1,00 metros.

b) 1,55 metros.

c) 1,60 metros.

d) 1,74 metros.

06. (Uel) Uma indústria de café desenvolveu uma logomarca inspirada na bandeira do Brasil, como ilustrado no esboço a seguir.

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O idealizador fez seu esboço em um plano cartesiano com unidades de medida em centímetros.

A partir das informações presentes nesse esboço, determine a área sombreada da logomarca. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados.

07. (Uece) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual as retas representadas pelas equações

3x 4y 4 0 e 3x 4y 20 0 são tangentes a uma circunferência cujo centro está localizado sobre o eixo y. A equação que representa esta circunferência é:

a) 2 225x 25y 25y 125 0.

b) 2 225x 25y 150y 161 0.

c) 2 2x y 25y 9 0.

d) 2 2x y 2y 9 0.

GABARITO

1)B

2)D

3)B

4)B

5)C

6) (4-ￗ)cm² 7B

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MATEMÁTICA D 01. (Uel) Leia o texto a seguir. Originalmente os dados eram feitos de osso, marfim ou argila. Há evidências da existência deles no Paquistão, Afeganistão e noroeste da Índia, datando de 3500 a.C. Os dados cúbicos de argila continham de 1 a 6 pontos, dispostos de tal maneira que a soma dos pontos de cada par de faces opostas é sete.

Adaptado de: Museu Arqueológico do Red Fort. Delhi, India. Atualmente, além dos dados em forma de cubo (hexaedro), encontram-se dados em vários formatos, inclusive esféricos, como mostram as figuras a seguir.

Apesar do formato esférico, ao ser lançado, o dado mostra pontos de um a seis, como se fosse um dado cúbico. Isso acontece porque no interior da esfera existe uma cavidade em forma de octaedro, na qual existe um peso (um chumbinho) que se aloja em um dos vértices do octaedro.

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a propriedade dos poliedros regulares que justifica o fato de a cavidade no interior da esfera ser octaédrica.

a) O número de vértices do octaedro é igual ao número de faces do hexaedro. b) O número de vértices do octaedro é diferente do número de faces do hexaedro. c) O número de arestas do octaedro é igual ao número de arestas do hexaedro. d) O número de faces do octaedro é igual ao número de vértices do hexaedro. e) O número de faces do octaedro é diferente do número de vértices do hexaedro.

02. (Upf) O poliedro representado na figura (octaedro truncado) é construído a partir de um octaedro regular,

cortando-se, para tal, em cada vértice, uma pirâmide regular de base quadrangular. A soma dos ângulos internos de todas as faces do octaedro truncado é:

BLITZ PRÓ MASTER a) 2160 b) 5760 c) 7920 d) 10080 e) 13680 03. (Udesc) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura.

Sabendo-se que o volume da bola é 32304 cm ,π então a área da superfície de cada faixa é de: a) 220 cmπ b) 224 cmπ c) 228 cmπ d) 227 cmπ e) 225 cmπ 04. (Uepg) Em um poliedro convexo só há faces triangulares e quadrangulares e apenas ângulos tetraédricos e pentaédricos. Se esse poliedro tem 15 faces e 12 vértices, assinale o que for correto. 01) O número de arestas é 50. 02) O número de faces quadrangulares é a metade do número de faces triangulares. 04) O número de ângulos tetraédricos é o dobro do número de ângulos pentaédricos. 08) A soma dos ângulos das faces é igual a 40 retos. 16) O número de ângulos tetraédricos é 5. 05. (Acafe) Um tubo cilíndrico reto de volume 3128 cm ,π contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes entre si e tangentes externamente. Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo é, aproximadamente, de: a) 75. b) 50. c) 33. d) 66. 06. (Pucrs) Uma esfera de raio 1 cm está inscrita em um cubo cujo volume, em 3cm , é a) 1 b) 2 c) 4

BLITZ PRÓ MASTER d) 8 e) 16 07. (Ufrgs) Considere um cilindro reto de altura 32 e raio da base 3, e uma esfera com volume igual ao do cilindro. Com essas condições, o raio da esfera é : a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12. Gabarito: Resposta da questão 1: [A] A única alternativa que apresenta a propriedade dos poliedros regulares que justifica o fato de a cavidade no interior da esfera ser octaédrica é a alternativa [A]. As alternativas [C] e [D] apresentam assertivas corretas, porém não justificam o fato supra. Resposta da questão 2: [C] O octaedro possui 6 vértices. Ao retirarmos uma pirâmide regular de base quadrangular de cada vértice do octaedro, obtemos um octaedro truncado com 6 4 24 vértices. Portanto, a resposta é 360 (24 2) 7920 . Resposta da questão 3: [B] Seja r o raio da esfera. Sabendo que o volume da esfera é 32304 cm ,π temos

34 r 2304 r 12cm.3

π π

Portanto, a área da superfície de cada faixa é igual a

2 2 21 1r 12 24 cm .6 6

π π π

Resposta da questão 4: 02 + 08 = 10. [01] Incorreto. Pela Relação de Euler, temos

V F A 2 12 15 A 2A 25.

[02] Correto. Sejam 3F e 4F , respectivamente, o número de faces triangulares e o número de faces

quadrangulares. Logo, tem-se 3 43F 4F 2A e 3 4F F 15. Portanto, como A 25, segue que

3F 10 e 4F 5, o que implica em 34

FF .

2

[04] Incorreto. Sabendo que em cada ângulo tetraédrico concorrem 4 arestas, e que em cada ângulo

pentaédrico concorrem 5 arestas, temos 4T 5P 2A e T P 12, sendo T e P, respectivamente, o

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número de ângulos tetraédricos e o número de ângulos pentaédricos. Desse modo, obtemos T 10 e P 2. Agora, é fácil ver que T 5P.

[08] Correto. Lembrando que a soma dos ângulos internos das faces é igual a (V 2) 4r, com V sendo o

número de vértices do poliedro e r 90 , temos (12 2) 4r 40r. [16] Incorreto. Do item [04], sabemos que o número de ângulos tetraédricos é igual a 10. Resposta da questão 5: [D] Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que

2r 16r 128 r 2cm.π π O volume ocupado pelas bolinhas é igual a

3 34 2568 2 cm .3 3π π

Portanto, o resultado pedido é 256

3 100% 67%.128

π

π

Resposta da questão 6: [D]

A aresta do cubo será a = 2cm. Portanto, o volume V do cubo será dado por: V = 23 = 8 cm3 Resposta da questão 7: [B]

Volume do cilindro: 2CV 3 32 288π

Volume da esfera de raio r: 3

e4 rV

3π

Fazendo e CV V , temos:

334 r 288 r 216 r 6

3π

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