bioestatistica livro web

Biologia

Bioestatística

Lilian Giotto ZarosHenrique Rocha de Medeiros

Bioestatística

Natal – RN, 2011

Biologia

Bioestatística

Lilian Giotto ZarosHenrique Rocha de Medeiros

2ª Edição

COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO DE MATERIAIS DIDÁTICOSMarcos Aurélio Felipe

GESTÃO DE PRODUÇÃO DE MATERIAISLuciana Melo de LacerdaRosilene Alves de Paiva

PROJETO GRÁFICOIvana Lima

REVISÃO DE MATERIAISRevisão de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesJanio Gustavo BarbosaJeremias Alves de AraújoJosé Correia Torres NetoKaline Sampaio de AraújoLuciane Almeida Mascarenhas de AndradeThalyta Mabel Nobre Barbosa

Revisão de Língua PortuguesaCamila Maria GomesCristinara Ferreira dos SantosEmanuelle Pereira de Lima DinizJanaina Tomaz CapistranoPriscila Xavier de MacedoRhena Raize Peixoto de Lima

Revisão das Normas da ABNTVerônica Pinheiro da Silva

EDITORAÇÃO DE MATERIAISCriação e edição de imagensAdauto HarleyAnderson Gomes do NascimentoCarolina Costa de OliveiraDickson de Oliveira TavaresLeonardo dos Santos FeitozaRoberto Luiz Batista de LimaRommel Figueiredo

DiagramaçãoAna Paula ResendeCarolina Aires MayerDavi Jose di Giacomo KoshiyamaElizabeth da Silva FerreiraIvana LimaJosé Antonio Bezerra JuniorRafael Marques Garcia

Módulo matemáticoJoacy Guilherme de A. F. Filho

IMAGENS UTILIZADASAcervo da UFRNwww.depositphotos.comwww.morguefi le.comwww.sxc.huEncyclopædia Britannica, Inc.

FICHA TÉCNICA

Catalogação da publicação na fonte. Bibliotecária Verônica Pinheiro da Silva.

Governo FederalPresidenta da RepúblicaDilma Vana Rousseff

Vice-Presidente da RepúblicaMichel Miguel Elias Temer Lulia

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRNReitoraÂngela Maria Paiva Cruz

Vice-ReitoraMaria de Fátima Freire Melo Ximenes

Secretaria de Educação a Distância (SEDIS)

Secretária de Educação a DistânciaMaria Carmem Freire Diógenes Rêgo

Secretária Adjunta de Educação a DistânciaEugênia Maria Dantas

© Copyright 2005. Todos os direitos reservados a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – EDUFRN.Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa do Ministério da Educacão – MEC

Zaros, Lilian Giotto.

Bioestatística / Lilian Giotto Zaros e Henrique Rocha de Medeiros. – Natal: EDUFRN, 2011.

214 p.: il.

ISBN 978-85-7273-833-0

Conteúdo: Aula 1 – O que é bioestatística. Aula 2 – Como transformar dados em informações. Aula 3 - Descrevendo Sistemas. Aula 4 – Elaborando hipóteses. Aula 5 – Testando hipóteses. Aula 6 – Análise de variância. Aula 7 – Correlacionando informações. Aula 8 – Análise de regressão. Aula 9 – Entendendo os números índices e suas aplicações. Aula 10 – Probabilidade: conceitos e aplicações.

Disciplina ofertada ao curso de Biologia a distância da UFRN.

1. Bioestatística. 2. Hipóteses. 3. Probabilidade. I. Medeiros, Henrique Rocha de. II. Título.

CDU 311 Z38b

Sumário

Apresentação Institucional 5

Aula 1 O que é Bioestatística 7

Aula 2 Como transformar dados em informações 25

Aula 3 Descrevendo Sistemas 43

Aula 4 Elaborando hipóteses 65

Aula 5 Testando hipóteses 83

Aula 6 Análise de variância 101

Aula 7 Correlacionando informações 129

Aula 8 Análise de regressão 147

Aula 9 Entendendo os números índices e suas aplicações 173

Aula 10 Probabilidade:conceitos e aplicações 193

5

Apresentação Institucional

A Secretaria de Educação a Distância – SEDIS da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, desde 2005, vem atuando como fomentadora, no âmbito local, das Políticas Nacionais de Educação a Distância em parceira com a Secretaria de Educação

a Distância – SEED, o Ministério da Educação – MEC e a Universidade Aberta do Brasil – UAB/CAPES. Duas linhas de atuação têm caracterizado o esforço em EaD desta instituição: a primeira está voltada para a Formação Continuada de Professores do Ensino Básico, sendo implementados cursos de licenciatura e pós-graduação lato e stricto sensu; a segunda volta-se para a Formação de Gestores Públicos, através da oferta de bacharelados e especializações em Administração Pública e Administração Pública Municipal.

Para dar suporte à oferta dos cursos de EaD, a Sedis tem disponibilizado um conjunto de meios didáticos e pedagógicos, dentre os quais se destacam os materiais impressos que são elaborados por disciplinas, utilizando linguagem e projeto gráfi co para atender às necessidades de um aluno que aprende a distância. O conteúdo é elaborado por profi ssionais qualifi cados e que têm experiência relevante na área, com o apoio de uma equipe multidisciplinar. O material impresso é a referência primária para o aluno, sendo indicadas outras mídias, como videoaulas, livros, textos, fi lmes, videoconferências, materiais digitais e interativos e webconferências, que possibilitam ampliar os conteúdos e a interação entre os sujeitos do processo de aprendizagem.

Assim, a UFRN através da SEDIS se integra o grupo de instituições que assumiram o desafi o de contribuir com a formação desse “capital” humano e incorporou a EaD como moda-lidade capaz de superar as barreiras espaciais e políticas que tornaram cada vez mais seleto o acesso à graduação e à pós-graduação no Brasil. No Rio Grande do Norte, a UFRN está presente em polos presenciais de apoio localizados nas mais diferentes regiões, ofertando cursos de graduação, aperfeiçoamento, especialização e mestrado, interiorizando e tornando o Ensino Superior uma realidade que contribui para diminuir as diferenças regionais e o conhecimento uma possibilidade concreta para o desenvolvimento local.

Nesse sentido, este material que você recebe é resultado de um investimento intelectual e econômico assumido por diversas instituições que se comprometeram com a Educação e com a reversão da seletividade do espaço quanto ao acesso e ao consumo do saber E REFLE-TE O COMPROMISSO DA SEDIS/UFRN COM A EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA como modalidade estratégica para a melhoria dos indicadores educacionais no RN e no Brasil.

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA SEDIS/UFRN

O que é Bioestatística

1Aula

Aula 1 Bioestatística 9

Apresentação

Nesta primeira aula, apresentaremos um breve histórico da Estatística, suas subdivisões e como podemos utilizá-la no ramo das Ciências Biológicas. Num segundo momento, abordaremos o conceito de Bioestatística e suas aplicações, partindo para a retomada de

alguns conceitos vistos na disciplina de Matemática e Realidade. Essa retomada é essencial não somente para a compreensão das aulas seguintes, mas também da disciplina como um todo.

Para compreender os assuntos que serão abordados nesta aula, é necessário que você leia atentamente os conceitos, que sempre serão acompanhados de exemplos aplicados às Ciências Biológicas.

Ao fi nal de cada tópico principal haverá uma série de exercícios propostos para você resolver, além de exercícios já resolvidos. No fi nal da aula, haverá uma autoavaliação para que você avalie a sua aprendizagem. Tenha sempre seu caderno em mãos para que você anote suas dúvidas e as encaminhe para nós o mais rápido possível.

ObjetivosConhecer a história da Estatística e identifi car as situações onde ela pode ser aplicada.

Conhecer e distinguir as diversas fases do método estatístico.

Defi nir o que é Bioestatística.

Compreender os conceitos fundamentais para o entendimento e aplicação da Bioestatística.

Distinguir as técnicas de amostragem para a escolha de elementos que irão compor uma amostra.

1

2

3

4

5


O que é Estatística?Para alguns, responder a essa pergunta é muito fácil, mas para outros, que nunca ouviram

falar em estatística, pode parecer algo impossível de entendimento. Mas, mesmo sem saber, você já deve ter utilizado a estatística no seu cotidiano. Vamos conferir?

Com a chegada da Copa do Mundo de 2010, muitas lojas irão fazer promoções de televisores. Você, consumidor, quer comprar uma TV e para saber qual delas tem o melhor preço, inicia sua pesquisa de loja em loja, anotando os valores. Depois, em casa, compara os preços, seleciona aquele mais em conta e se dirige até a loja para efetuar a sua compra. Nessa situação, a estatística esteve presente quando você coletou os dados, extraiu as informações a partir da sua pesquisa e tomou as decisões baseadas na sua coleta de dados.

Mas, além do cotidiano, a Estatística pode estar presente em qualquer disciplina de qualquer curso, inclusive do curso de Ciências Biológicas.

Mas você deve estar se perguntando: “Em quais disciplinas e como?”

Bem, se o professor da disciplina de Biodiversidade pedir para que você faça um levantamento de quais as espécies animais habitantes da caatinga estão ameaçadas de extinção, você estará utilizando um dos princípios da Estatística, ou melhor, do método

estatístico (que veremos a seguir), que é o da coleta de dados. Mas se ele for mais além, e pedir para que você ordene quais os animais mais ameaçados de extinção, aí você terá que fazer um levantamento mais aprofundado, checar outras fontes, organizar e interpretar os dados e apresentar os resultados ao professor. Nesse momento você ainda estará utilizando a estatística.

Percebeu como a Estatística toma parte do nosso cotidiano e das disciplinas do Curso de Ciências Biológicas, por exemplo?

A Estatística tem se mostrado um instrumento extremamente útil na organização e interpretação dos dados, auxiliando na tomada de decisões, além de proporcionar uma avaliação adequada de uma determinada situação, seja ela de origem biológica ou não.


O papel da Estatística quando estabelecida como ciência

Pois bem, inicialmente a Estatística se preocupava em enumerar coisas e pessoas para a avaliação das riquezas e cadastramento das propriedades de uma determinada cidade. Isso aconteceu há milhares de anos atrás e atualmente acontece no Brasil a cada 10 anos.

Você já deve ter recebido em sua casa um funcionário do Instituto Brasileiro de Geografi a e Estatística (IBGE), munido de um questionário para avaliar sua condição de vida. Pois é esse questionário, chamado de CENSO, que nos permite adquirir informações sobre cada família brasileira, e já era realizado em civilizações muito antigas como a do Império Romano, da China e do antigo Egito em 1000 a.C.

Hoje, com o passar dos anos, podemos constatar que o papel da Estatística vai além de organizar e descrever fatos e/ou gerar informações analisando um conjunto de dados coletados, mas também auxiliar no:

1) Planejamento, auxiliando na escolha das situações experimentais e na determinação da quantidade de indivíduos a serem examinados.

2) Na análise dos dados, indicando técnicas para resumir e apresentar as informações, bem como para comparar as situações experimentais ou não.

3) Na elaboração das conclusões, utilizando os vários métodos estatísticos que permitem generalizar a partir dos resultados obtidos.

Fonte: <http://matematiques.sites.uol.com.br/pereirafreitas/1.1.2metodoestati

stico.htm>. Acesso em: 25 fev. 2010.

Estatística é a ciência que tem como objetivo orientar a coleta, o resumo, a apresentação, a análise e a interpretação dos dados coletados. E para isso, ela se apóia na utilização do método estatístico. O método estatístico é um processo para se obter, apresentar e analisar características ou valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em situações de incerteza.


O método estatístico apresenta as seguintes fases:Defi nição do problema: Podemos ilustrar essa primeira fase do método estatístico com a pergunta: O que pesquisar? Nessa etapa você deve conhecer o problema a ser pesquisado, fazer as perguntas às quais quer que sejam respondidas com a sua pesquisa. Por exemplo: A altura média dos alunos de cada semestre do Curso de Ciências Biológicas.

Planejamento da pesquisa: Essa segunda etapa pode ser traduzida com a pergunta: Como pesquisar? Assim, é essencial que você tenha clareza de como a pesquisa será feita. Deve-se também defi nir se você utilizará a população ou apenas uma amostra dessa população, que estudaremos logo a seguir. Utilizando o nosso exemplo acima, devemos planejar se vamos estudar a altura de todos os alunos do Curso de Ciências Biológicas ou somente dos alunos do primeiro semestre, ou somente a altura dos homens.

Coleta dos dados: Podemos perguntar: O que coletar? Nessa etapa você deve obter as informações de acordo com o que foi planejado na etapa anterior. Se o objetivo é saber a altura dos alunos de cada semestre do Curso de Ciências Biológicas, você deve iniciar as medições de cada um dos alunos, anotando os valores obtidos, como exemplifi cados na tabela 1.

Tabela 1 – Altura, em metros, dos alunos do 1º, 2º e 3º semestres do Curso de Ciências Biológicas

Altura dos alunosdo semestre 1 (m)



1,54 1,67 1,65

1,74 1,87 1,54

1,82 1,88 1,64

1,9 1,89 1,56

1,54 1,78 1,75

3,543,54 1,89 1,56

1,75 1,9 1,6

1,87 1,76 1,64

1,96 1,94 1,65

1,72 1,95 1,6

Alunos dosemestre 1

2

1,9

1,8

1,7

1,6

1,5

1,4

Altu

ra m

édia

(m)

Alunos dosemestre 2

Alunos dosemestre 3


Crítica dos dados: Essa fase é essencial para saber como anda a sua pesquisa. Pode-se lançar a seguinte pergunta: Os dados estão coerentes? Você deve observar criticamente os dados coletados, para que, se detectado algum erro, este não seja repetido nas coletas futuras. Se você está medindo as alturas dos alunos de cada semestre do Curso de Ciências Biológicas e encontra uma medida de 3,54m, conforme apresentado em destaque na Tabela 1, pode ter certeza que nessa hora, você cometeu algum erro.

Apresentação: Nessa etapa você deverá apresentar os dados coletados após eles serem organizados. Uma vez os dados coletados, eles devem ser apresentados, seja através de tabelas ou gráfi cos, conforme apresentado no Gráfi co 1, ou por meio de um texto escrito.

Gráfi co 1 – Altura média (m) dos alunos do primeiro, segundo e terceiro semestre do Curso de Ciências Biológicas

Análise e interpretação dos dados: Essa é a etapa fi nal do método estatístico, mas nem por isso, a menos importante. Nessa fase você deve descrever e analisar os dados pesquisados, e chegar a uma conclusão, ou seja, responder a sua pergunta inicial. No caso do nosso exemplo, constatar qual a altura média dos alunos de cada semestre do Curso de Ciências Biológicas.

As fases do método estatístico, que incluem desde a defi nição do problema até a apresentação dos dados, denominam-se Estatística Descritiva, e a análise e interpretação dos dados constitui a Estatística Inferencial, que ajuda a concluir sobre um conjunto maior de dados (populações) quando apenas parte desse conjunto (as amostras) foi estudada.

Atividade 1


Com base no que você viu até agora sobre o método estatístico, faça uma pesquisa na sua casa ou comunidade sobre algo que você gostaria de saber (número de pessoas da comunidade, número de pessoas com olhos claros, tipo de árvore da sua região, dentre outros) e, à medida que você for organizando sua pesquisa, explicite quais as fases do método estatístico que você utilizou.

1

2

Atividade 2


Mas você deve estar seperguntando: “E a Bioestatística?”

Agora que você já sabe o que é Estatística, você se arriscaria a elaborar uma defi nição para Bioestatística? É simples! Considera-se Bioestatística a aplicação dos métodos estatísticos para solucionar problemas biológicos.

Pode parecer difícil para um aluno que não tem gosto pela Matemática aprender Bioestatística. Mas ele deve adquirir algum conhecimento sobre essa disciplina, pois só assim poderá ter um ponto de vista objetivo sobre as técnicas do método científi co empregado nas suas pesquisas e saberá avaliar o grau de importância da informação fornecida por essas técnicas.

Aprender Bioestatística também pode proporcionar que você se familiarize com alguns conceitos mais utilizados na área. Alguns termos do vocabulário comum têm signifi cado técnico e específi co quando usados em Bioestatística. E é importante conhecê-los.

Enfi m, sem despender muito tempo com cálculos e demonstrações, pretendemos que você adquira os conhecimentos sufi cientes para tornar-se um usuário competente das técnicas estatísticas mais comuns que podem ser aplicadas nas Ciências Biológicas.

Com base no que foi apresentado até aqui, escreva o que você entendeu sobre o que é Bioestatística e qual a sua importância.

Procure, no seu cotidiano, duas utilizações da Estatística.


Retomando algunsconceitos fundamentais

Alguns conceitos fundamentais para o entendimento e aplicação da Bioestatística você já viu na disciplina de Matemática e Realidade (Aula 2 – A Estatística: do senso comum ao conhecimento científi co. Vamos retomá-los?

Unidade experimental ou Unidade de observaçãoÉ a menor unidade a fornecer uma informação. Podem ser pessoas, animais, plantas,

objetos. São aqueles indivíduos submetidos a uma situação de experimento controlado, como por exemplo, ratos de laboratório colocados em um labirinto para estudar o comportamento antes e após a administração de uma droga.

PopulaçãoÉ o conjunto de “todos” os elementos (pessoas, animais, plantas, objetos) que

apresentam, pelo menos, uma característica comum e que pode ser observada, como por exemplo, a população de árvores de mandacaru do sertão do Rio Grande do Norte.

AmostraÉ qualquer parte retirada de uma população estatística, ou seja, é qualquer subconjunto

de uma população. Árvores de mandacaru do município de Currais Novos (RN).

DadosSão as informações numéricas ou não obtidas de uma unidade experimental ou de observação.

Quando se afi rma que as árvores de mandacaru têm 21 espinhos, os dados são “21 espinhos”.

VariávelÉ alguma característica que pode ser observada (contada ou medida) em uma população

ou em uma amostra. O número de espinhos do mandacaru, a idade de uma pessoa e seus

1

Atividade 3


hábitos quanto ao fumo, a estatura de um jogador de basquete, a cor da pelagem dos animais, o tipo de folha de uma planta constituem exemplos de variáveis.

Entretanto, as variáveis podem ser classifi cadas em quantitativas e qualitativas:

1) Variáveis quantitativas: são aquelas cujos dados são valores numéricos, como por exemplo, a estatura das pessoas, o número de sementes de uma vagem, o nível de colesterol no sangue, o número de espinhos do mandacaru. As variáveis quantitativas podem ainda ser:

a) Variáveis quantitativas discretas: são aquelas em que os dados podem apresentar somente determinados valores, no geral, números inteiros, como por exemplo, o número de fi lhos de um casal, o número de patas de um cavalo e o número de pétalas das fl ores. É impossível dizer que um casal tem 2,3 fi lhos.

b) Variáveis quantitativas contínuas: são aquelas em que os dados podem apresentar qualquer valor dentro de um intervalo de variação possível, como por exemplo, o peso de uma pessoa (56,3 kg) e a altura de uma árvore (1,5 m).

2) Variáveis qualitativas: são aquelas que fornecem dados de natureza não numérica, ou seja, fornecem qualidade à variável, como por exemplo, a cor da semente das ervilhas, a raça ou o sexo do animal. As variáveis qualitativas podem ser:

a) Variáveis qualitativas nominais: os níveis de respostas não admitem nenhuma ordem, diferenciando uma categoria da outra, apenas pelo nome, por exemplo, o sexo dos animais, ou é fêmea ou macho.

b) Variáveis qualitativas ordinais: os níveis de respostas admitem ordem. Não é só possível identifi car diferentes categorias, mas também reconhecer graus de intensidade entre elas, possibilitando a sua ordenação. A cor da fl or do mandacaru, que pode ser de branca à vermelha; o nível de intensidade de dor, que pode ser fraca, média, forte e muito forte.

Explique com suas palavras o que você entendeu por:

a) População:

2


b) Amostra:

c) Variável:

Classifi que as variáveis abaixo:

a) Cor do cabelo:

b) Número de patas de um coelho:

c) Número de células brancas no sangue:

d) Tipo sanguíneo A, B, AB e O:

e) Tipo de folha de uma árvore:

f) Número de colônias de E. coli existente na água mineral:


Utilizando asamostras de uma população

Os experimentos são realizados com amostras de uma população e não com toda a população e podemos apresentar duas razões para isso: A primeira, porque as populações fi nitas só podem ser estudadas através de amostras, como por exemplo,

um conjunto de alunos de uma escola em determinando ano, e a segunda, porque essas populações são muito grandes. Imagine sabermos o tipo sanguíneo mais frequente dos brasileiros? Levaríamos muito tempo e teríamos muito trabalho para realizarmos esses testes.

Fonte: <martabolshaw.blogspot.com/2008_03_01_archive.html>. Acesso em: 25 fev. 2010.

E se pegássemos apenas uma amostra dessa população? O estudo cuidadoso de uma amostra tem mais valor científi co do que o estudo de toda a população. Por exemplo, para estudar o efeito do fl úor sobre a prevenção da cárie em crianças, é melhor submeter uma amostra de crianças a exames periódicos minuciosos, do que examinar rapidamente todas as crianças antes e determinado tempo após o uso do fl úor. Dessa maneira não seria mais fácil, e ao mesmo tempo constituiria de uma metodologia correta?


Como fazer paraescolher a amostra correta?

Quando trabalhamos com uma amostra da população, utilizamos as técnicas de amostragem, isto é, escolhemos o procedimento que vamos adotar para escolher os elementos que irão compor a amostra.

Amostra casual simplesÉ composta por elementos retirados ao acaso da população. Todo elemento da população

tem igual probabilidade de ser escolhido para compor a amostra. Vamos ver como?

Vamos supor que você esteja no laboratório de biologia vegetal e quer realizar um experimento para avaliar os efeitos de diferentes quantidades de cálcio (1mg, 3mg e 5mg) no crescimento da planta. Para a realização desse experimento temos 15 vasos de plantas, nas mesmas condições de umidade, luz, temperatura, altura da planta e estado nutricional.

A pergunta é: Quais vasos escolher para receber 1mg, 3mg e 5mg de cálcio? Nesse caso, fazemos um sorteio dos vasos, para que todos tenham a mesma chance de serem escolhidos para receber diferentes quantidades de cálcio.

Atividade 4

1

2


Amostra sistemáticaOs elementos são escolhidos por um sistema. Se no exemplo acima, você escolhesse

somente os vasos listrados de preto, estaria organizando uma amostragem sistemática.

Amostra estratifi cadaÉ composta por todos os elementos originados de todos os estratos da população.

Por exemplo: A população de Natal (RN) é composta por crianças, jovens, adultos e idosos. Uma amostra estratifi cada tem que ter uma representação na mesma proporção das quatro categorias acima citadas, ou seja, 10 crianças, 10 jovens, 10 adultos e 10 idosos.

Amostra de conveniênciaÉ formada por elementos que o pesquisador reuniu somente porque dispunha deles.

Se você utilizar todos os vasos de plantas citados no primeiro exemplo, independente de um critério, esta amostra constituirá numa amostra de conveniência. Entretanto, você deve ter muito cuidado ao utilizar esse tipo de amostra, pois os dados podem ser tendenciosos, não revelando a realidade da situação.

Responda às questões abaixo de acordo com o que você entendeu sobre amostras e seus tipos.

Um pesquisador tem dez gaiolas. Cada uma delas contém seis ratos. Como esse pesquisador pode selecionar dez ratos para compor sua amostra?

Dada uma população de quarenta cajueiros, descreva uma forma de obter uma amostra casual simples composta por seis cajueiros.

3


Organize uma lista com dez nomes de pessoas em ordem alfabética. Depois descreva uma forma de obter uma amostra sistemática de cinco nomes.

ResumoNesta primeira aula, você viu um breve histórico da Estatística e como podemos aplicá-la nas Ciências Biológicas. Estudou que, com o passar dos anos, o papel da Estatística se modifi cou, indo além de organizar e descrever fatos e/ou gerar informações. Você pode perceber que ela vem auxiliando na escolha das situações experimentais, na determinação da quantidade de indivíduos a serem examinados, na análise dos dados, indicando técnicas para resumir e apresentar as informações e na elaboração das conclusões. Você aprendeu a defi nição de método estatístico e todas as suas fases, desde a defi nição do problema, passando pelo planejamento, coleta e crítica dos dados, até a apresentação, análise e interpretação dos dados. Estudou também a Bioestatística, ou seja, a aplicação da Estatística nas Ciências Biológicas, e retomou alguns conceitos essenciais para o seu entendimento e aplicação, como a defi nição de população, amostra e variável. Por fi m, viu que as técnicas de amostragem constituem um conjunto de procedimentos que vamos adotar para escolher os elementos que irão compor a amostra que queremos analisar.

AutoavaliaçãoNesta aula, você deve ter percebido a importância da Estatística e da aplicação dos

métodos estatísticos para solucionar problemas biológicos. Feito isto, verifi que se você consegue responder, de maneira resumida, às seguintes perguntas:

1

2


Qual a fi nalidade e as fases do método estatístico?

Conceitue população e amostra, exemplifi cando.

Se você conseguiu respondê-las, suas respostas certamente contêm os elementos básicos que você deverá ter apreendido deste conteúdo. Caso contrário, retome os textos e resolva as questões até que tais conceitos se estabeleçam para você como um conhecimento bem estruturado.

ReferênciasCALLEGARI-JACQUES, Sídia M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Artmed, 2003.

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA – IBGE. Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 25 fev. 2010.

LOPES, Paulo Afonso. Probabilidades e estatística. Rio de Janeiro: Ed. Reichman e Affonso Editores, 1999.

SAMPAIO, Ivan Barbosa Machado. Estatística aplicada à experimentação animal. Belo Horizonte: Ed. Fundação de Ensino e Pesquisa em Medicina Veterinária e Zootecnia, 1998.

VIEIRA, Sonia. Introdução à bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 1980.


Anotações

Como transformardados em informações

2Aula

1

2

3

4


Apresentação Nesta aula, estudaremos o conceito de dados e banco de dados. Veremos como criar

um banco de dados e, posteriormente, a transformar os dados em informações. Inicialmente faremos uma retomada dos principais conceitos vistos na Aula 1 – O que é Bioestatística – para depois iniciarmos a apresentação dos novos conceitos sobre os dados.

Conceituado dados e banco de dados, estudaremos as diferenças entre dados e informações e aprenderemos a planejar uma coleta de dados. Por fi m, analisaremos os dados coletados para que eles sejam apresentados em forma de tabelas, fi guras ou gráfi cos, de acordo com o objetivo da pesquisa.

Tenha em mãos o seu material da Disciplina de Matemática e Realidade, pois faremos a revisão utilizando as Aulas 3 (A natureza dos dados estatísticos e sua organização) e 4 (Gráfi cos estatísticos: uma síntese dos dados).

Bom estudo!

ObjetivosConceituar dados e banco de dados.

Distinguir a diferença entre dados e informações.

Estabelecer critérios para fazer uma coleta de dados.

Analisar os dados coletados.

Aula 2 Bioestatística28

Retomando algunsconceitos da Aula 1

Antes de iniciarmos a nossa aula, é conveniente você relembrar o que é uma unidade experimental, uma variável e como esta pode ser classifi cada (Aula 1– O que é Bioestatística).

Vamos defi nir o que são os dados? Dados são defi nidos como informações numéricas (contínuas ou discretas) ou qualitativas,

obtidas de uma unidade experimental ou de observação.

No exemplo da Aula 1, quando se afi rma que as árvores de mandacaru têm 21 espinhos, os dados são “21 espinhos”. Podemos também citar o exemplo do consumidor que vai a várias lojas para fazer uma pesquisa de preço dos televisores. Nesse caso, os dados são os preços das TVs que ele pesquisou.

Se compararmos os exemplos acima, podemos verifi car que os dados podem ainda ser classifi cados em:

Dados isolados, como é o caso dos 21 espinhos de mandacaru, obtidos somente de uma planta.

Conjunto de dados, como é o caso dos diversos valores pesquisados pelo consumidor antes de comprar a televisão. Nesse caso, para que esses dados transmitam alguma informação, eles devem ser organizados.

Como organizar os dados?Organizar o dado “21 espinhos de mandacaru” é relativamente fácil, sendo possível até

anotar em um papel e guardar. Pronto, simples assim; desde que eu só queira estudar uma planta.

Mas, qual a relevância deste dado (21 espinhos), se o objetivo do meu trabalho é determinar o número médio de espinhos nos mandacarus em um jardim que tem 20 plantas?

Observe que, nesse caso, teremos que traçar uma estratégia de planejamento e organização de trabalho, de modo que se possa ao fi nal:

1) Ter contado ou estimado o número médio de espinhos de todas as plantas.

Unidade Experimetal

É a menor unidade a fornecer uma informação.

Podem ser pessoas, animais, plantas, objetos.

Variável

É alguma característica que pode ser observada (contada ou medida) em

uma população ou em uma amostra.

Classifi caçãodas variáveis

Quantitativa (discreta ou contínua) e qualitativa (nominal ou ordinal).

Atividade 1

1

2


2) Conseguir lembrar ou guardar esses números, a fi m de que, se outro indivíduo precisar recomeçar ou continuar o trabalho, possa repetir o mesmo e chegar a resultados semelhantes.

Nesse momento, quando nos deparamos com uma quantidade maior de dados a serem coletados para posterior análise, precisamos organizá-los em um banco de dados.

Diferencie dados e banco de dados.

Cite alguns exemplos de dados quantitativos e qualitativos que fazem parte do seu cotidiano.


Banco de dadosUm banco de dados é um conjunto de registros (de números ou variáveis qualitativas)

com uma estrutura regular que permite a reorganização e inserção desses registros de forma sistemática, com a fi nalidade de se gerar informações.

Pode ser a agenda do seu telefone celular, a lista telefônica, o seu caderno de anotações e até um conjunto de dados organizados em uma planilha de Excel.

Sim, isso mesmo! Mas desde que esses dados sejam organizados de forma sistemática.

Veja o exemplo a seguir:

Situação problema 1: Como posso fazer a identifi cação das principais espécies vegetais de uma área de caatinga na reserva fl orestal do meu município?

Para resolver esse problema, devemos primeiro deixar bem claro:

1) Qual o objetivo da pesquisa?

Identifi car as principais espécies vegetais numa determinada área de reserva fl orestal do município onde moro.

2) O que fazer para alcançar esse objetivo?

Identifi car e contar o número de individuos presentes em cada uma das áreas de caatinga do município. Note que no objetivo estão “espécies vegetais”, isto inclui árvores, arbustos, cactáceas, gramíneas e leguminosas, independente de seu tamanho.

Feito isso, você pode partir para o próximo passo:

3) Identifi car e classifi car as variáveis a serem estudadas:

As variáveis são as espécies vegetais. Neste exemplo, trata-se de uma variável numérica e discreta, pois serão dados de contagem (Caso haja dúvidas, volte para a Aula 1 – O que é Bioestatística – e leia a defi nição de variáveis e seus tipos).

Agora, como posso defi nir o método de amostragem já que é impossível contar todas as espécies vegetais da área? Para isso devemos fazer a seguinte pergunta:

4) Quantas amostras eu vou precisar colher, para fazer essa determinação?

Existem vários métodos para fazer essa determinação, neste caso o mais recomendado é fazer uma revisão de literatura e procurar identifi car o método mais adequado. Para este caso específi co do exemplo, podemos defi nir que

Forma sistemática

Forma organizada de dispor os dados, seguindo

algum critério. Por exemplo: ao arrumar suas

camisetas no armário você as ordena pela cor.

Parcela de 4m 2 contendo todas as

plantas a serem contadas

L 1 L 2 L 3 L 4

L 5 L 6 L 7 L 8

L 9 L 10 L 11 L 12


Figura 1 – Área experimental e respectiva parcela de 4m2

Na Figura 1, em cada subunidade será reservada uma parcela com 4m 2 de área para identifi cação e contagem do número de plantas de caatinga.

Depois de coletados os dados, veja, na tabela a seguir, como fi cou a sua organização.

Tabela 1 – Levantamento fi tossociológico de uma área de caatinga

Ordem Nome Popular Espécie Número de indivíduos

1 Angico Piptadenia macrocarpa 42 Bambural Hyptis suaveolans (L.) Poit 13753 Carrapicho Agulha Bidens sp 374 Catingueira Caesalpinia pyramidalis Tul 25 Jitirana Merremia aegyptia L. 46 Malva Sida cordifolia L. 1357 Manda Pulão Croton sp. 2498 Marmeleiro Croton hemiargyreus 89 Mata Pasto Senna obtusifolia 1310 Melosa Ruellia asperula 5411 Milhã Brachiaria plantaginea 9012 Mofumbo Combretum leprosum Mart. 1313 Mororó Bauhinia cheilantha 214 Pau Branco Auxemma oncocalyx 415 Sabiá Mimosa caesalpiniifolia 116 Tiririca Cyperus sp 317 Urtiga Fleurya aestuans L. 11

Viu como é fácil? Agora, que tal extrair uma informação desse conjunto de dados? Identifi que a espécie vegetal que apresenta o maior número de indivíduos (plantas) na área amostrada.

serão avaliados 12 locais diferentes (L1, L2, L3, L4, L5, ... ,L12) e em cada um destes locais serão coletadas amostras de parcelas de 4m 2 (Figura 1). Em cada parcela, todas as plantas encontradas serão identifi cadas pelo nome comum e o científi co e contadas.

Atividade 2


Vamos tomar algumas medidas de biometria com seus conhecidos? Selecione um grupo de 25 indivíduos (podem ser pessoas da sua família, amigos, alunos, colegas de trabalho, da igreja e/ou de prática de esportes) e organize uma tabela com os seguintes dados: primeiro nome, idade, sexo, altura e peso de cada um deles, utilizando a tabela a seguir.

Primeiro nome Idade Sexo Altura Peso

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Biometria

Estudo das características biológicas quantitativas de

uma população.


Diferenciando os conceitos: dados x informações

Para discutir o conceito de informações, vamos partir da seguinte situação:

Uma lista telefônica (seja de celular ou papel) é um conjunto de dados, organizados em função de alguma variável como, por exemplo, o nome e/ou endereço. Quando você precisa ligar para uma pessoa, cujo telefone não se lembra, o que você faz? Certamente, uma pesquisa/análise no conjunto de dados da lista a fi m de obter a informação desejada: o telefone da pessoa.

Analisando essa situação, podemos defi nir informação como: o conhecimento obtido através da interpretação do signifi cado dos dados (HOUAISS; VILLAR; FRANCO, 2001). Aliás, um dicionário da língua portuguesa nada mais é que um conjunto de dados, organizados de forma sistemática (normalmente em ordem alfabética), no qual podemos obter informações sobre a ortografi a correta, signifi cados, sinônimos e antônimos de palavras.

Uma curiosidade...

Se, na minha lista telefônica, eu não encontrar o número de telefone da pessoa que procuro ou se ele não for o correto, ainda assim isso é uma informação?

Sim, só que nesse caso o seu banco de dados (agenda do telefone) não serviu para responder o seu questionamento. Por esse motivo, a informação obtida foi: ‘você não tem o número do telefone da pessoa’.

Neste caso, se realmente desejar falar com ela, você vai precisar conseguir a informação correta em outra fonte de dados, que pode ser a lista telefônica, um colega, etc.

Nessa situação é importante para lembrar que nem sempre o nosso conjunto de dados vai permitir obter a informação necessária e/ou correta. São vários os fatores que podem resultar nesse problema, dentre eles podemos citar problemas na amostragem (número insufi ciente e/ou amostras tendenciosas que conduzem a conclusões inverídicas) e erros na coleta e/ou no processamento dos dados.

Atividade 3


Na tabela construída na Atividade 2, conte o número de pessoas do sexo masculino e do feminino que tem mais de 1,55m de altura e pesa mais que 68kg.

Planejando a coleta de dadosLembra que agora a pouco vimos que há vários fatores que podem resultar no fato de

um dado não fornecer nenhuma informação ou fornecer informações erradas? Esse fato foi exemplifi cado pelo caso de não acharmos o telefone procurado ou acharmos o telefone e este estar errado.

Para que isso não ocorra, é importante planejar e traçar uma estratégia para realizar a coleta de dados. Essa estratégia de planejamento da Coleta de Dados é composta por:

Observação dos ítens do método estatístico (mencionada na Aula 1): Nessa primeira fase você deve seguir as etapas do método estatístico, que são: (1) Identifi cação do problema e (2) Formulação de hipóteses. Conhecendo esses dois ítens, entre outras coisas, é possível:

Identifi car e classifi car as variáveis adequadas e necessárias para a pesquisa. Isso é importante para que você possa organizar as tabelas em função do tipo de resposta esperada (ex.: sim ou não; presente ou ausente; espaço para número ou texto) para cada variável estudada.

Traçar uma estratégia de ação que permita coletar, organizar e processar os dados de forma precisa e correta. Assim, pode-se evitar desperdício de tempo anotanto informações que não serão úteis e adequando as condições para coletar os dados e a necessidade do trabalho. Desse modo, pode-se evitar erros na anotação ou processamento dos dados.

Um exemplo disso pôde ser observado na realização do censo agropecuário 2006, no qual os entrevistadores utilizaram “palmtops” para coletar os dados. Assim, diminui a chance de ocorrer erros durante o processamento dos questionários, por erros de leitura. Entretanto, os erros de coleta de dados podem acontecer na hora da anotação dos questionários por resposta imprecisa do entrevistado.

PLANEJAMENTO DA COLETA DE DADOS

Observação das fases do método estatístico

ETAPA OPERACIONAL

• Determinar o número de pessoas da equipe• Realizar treinamento para a coleta dos dados• Providenciar material necessário• Organizar o trabaho no local da coleta• Verificar o modo de armazenamento e transporte do material coletado

Identificação do problema

Formulação de hipóteses


Além disto, é importante antes de sair para coletar os dados, verifi car:

Quantas pessoas serão necessárias para realizar o trabalho.

Se existe material de coleta disponível (por exemplo: lápis e papel, frascos para armazenar amostras etc.) para todo o trabalho.

Se é necessário realizar treinamento antes de iniciar o trabalho.

Como as amostras coletadas podem ser armazenadas e transportadas.

Se a amostra utilizada é representativa da população.

Como será realizado o trabalho de coleta.

Tendo como exemplo a Tabela 1, para fazer a coleta de dados de quais as espécies vegetais e o número de plantas em cada parcela, precisamos de: fi ta métrica para demarcar o perímetro da área amostral; lápis e papel para fazer anotar o nome comum (popular), o científi co e a quantidade de indivíduos de cada espécie. Além disso, para esse trabalho específi co é importante levar na equipe uma pessoa que conheça a fl ora regional e saiba identidicar as plantas. Em caso de dúvidas, é interessante também ter recipientes adequados para coletar amostras e levar para o biotério, a fi m de fazer identifi cação correta da espécie.

A Figura 2 reúne as principais etapas do planejamento da coleta de dados.

Figura 2 – Principais etapas do planejamento da coleta de dados

Fonte: Henrique Rocha de Medeiros

Atividade 4


Elabore um plano para a coleta de dados idade, peso e altura de todas as pessoas da cidade onde você mora.


A opção de organizar os dados em linhas ou colunas vai depender da preferência defi nida antes de iniciar o trabalho de coleta. Todavia, esta deve sempre possibilitar a soma ou contagem de dados correspondentes à mesma variável seguindo uma única sequência de linhas ou colunas.

Além disso, a sistematização das informações em planilhas facilita ainda a elaboração de tabelas (ver Tabela 1 – Levantamento fi tossociológico de uma área de caatinga) e gráfi cos para análise dos dados.

Há vários tipos de gráfi cos, e a escolha de qual utilizar vai depender do tipo de dados existentes, da necessidade e familiaridade com as informações. Utilizando os dados do nosso exemplo, escolhemos apresentá-los em forma de gráfi co de barras, mais adequado para o tipo de dados que temos (Figura 4).

Análise gráfi ca de conjunto de dadosComo dito anteriormente, um conjunto de dados só poderá ser transformado em

informação se, com ele, for possível realizar alguma análise e interpretação dos seus resultados. Assim, podemos estabelecer alguns mecanismos de classifi cação para o conjunto de dados.

Uma das ferramentas que possibilitam essa organização sistematizada são as planilhas (Figura 3), isto é, um conjunto de dados organizados em linhas e colunas, que podem ser preenchidas manualmente ou em computadores (planilhas eletrônicas).

Figura 3 – Exemplo da planilha com linhas e colunas feita em computador. Os dados apresentados são referentes ao exemplo utilizado na aula


Espécies encontradas

Núm

ero

de in

divíd

uos

de c

ada

espé

cie

Angico

Bambural

CarrapichoAgulha

Catingueira

Jitirana

Malva

MandaPulão

Marmeleiro

MataPasto

MelosaMilhã

Mofumbo

MororóPau

Branco Sabiá Tiririca Urtiga0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Número deindivíduos

Levantamento fitossociológico de espécies encontradas numa área de Caatinga


Não existe um tipo mais correto de gráfi co, todavia é importante que eles permitam a interpretação rápida e o entendimento dos resultados e, além disso, que respeitem as normas para a elaboração de gráfi cos e tabelas, como visto nas Aulas 3 e 4 da disciplina Matemática e Realidade.

Exercício resolvido 1Utilizando as informações da Tabela 1 (Levantamento fi tossociológico de uma área de caatinga), indique quantas espécies foram identifi cadas e qual o total de plantas contadas.

Resolução

Nessa tabela, os dados referentes a cada espécie (observe que os nomes científi cos não se repetem) estão organizados em linhas. Assim, observando-se a tabela pode-se aferir que foram identifi cadas 17 espécies. O número total de plantas contadas pode ser obtido somando-se o número de indivíduos de cada espécie (4 + 1375+ 37+...+1+3+11 = 2005).

Figura 4 – Identifi cação e quantifi cação das espécies vegetais encontradas numa área de caatinga na Região Nordeste do Brasil



Resolução

Observando-se os resultados da tabela pode-se identifi car que o bamburral, o manda pulão e a malva, com respectivamente 1.375, 249 e 135 indivíduos cada, são as espécies vegetais que têm o maior número de plantas na área estudada. Essa mesma resposta pode ser obtida, analisando-se a Figura 4: Identifi cação e quantifi cação das espécies vegetais encontradas numa área de caatinda na Região Nordeste do Brasil.

Resumo Você estudou o conceito de dados e banco de dados e aprendeu como criar um banco de dados para, posteriormente, transformá-lo em informações. Você retomou os principais conceitos vistos na Aula 1 – O que é Bioestatística – tais como, unidade experimental, variável e classifi cação de variáveis. Você estudou as diferenças entre dados e informações e aprendeu que, para que dados sejam transformados em informações, precisa planejar sua coleta de forma a evitar erros. Para isso, utilizou-se as duas primeiras etapas do método estatístico: (1) Identifi cação do problema e (2) Formulação de hipóteses. Você estudou também algumas ações que fazem parte do planejamento da coleta de dados, como conhecer o local da coleta, formar uma equipe de coleta, levar material necessário, dentre outros. Aprendeu que os dados coletados podem ser organizados em planilhas eletrônicas feitas em computador, o que facilita posterior análise e interpretação. Por fi m, relembrou as formas de apresentação dos dados, como por exemplo, em tabelas e gráfi cos.

Nesse caso, a opção pela tabela ou pelo gráfi co se dará em função da necessidade de informação. Se o objetivo for apenas identifi car as espécies com maior número de indivíduos, possivelmente o gráfi co será a melhor alternativa. Entretanto, se a quantifi cação é necessária, a organização da tabela em função do número de indivíduos poderá facilitar o trabalho.

Exercício resolvido 2Ainda utilizando as informações da Tabela 1, identifi que as três espécies que tem mais indivíduos na amostra estudada. Nesse caso, a mesma resposta pode ser obtida analisando a tabela ou construindo gráfi cos como pôde ser observado.

1


AutoavaliaçãoA dengue é uma doença grave, que está disseminada em todo o território nacional.

Então, que tal por em prática os conceitos da aula de hoje, transformando os dados sobre essa epidemia em informação?

Para isto analise os dados que foram retirados de um texto extraído da página da Secretaria de Saúde Pública (SESAP/RN) na internet.

<http://www.rn.gov.br/contentproducao/aplicacao/govrn/imprensa/enviados/noticia_detalhe.asp?nImprensa=0&nCodigoNoticia=17319>:

A Secretaria Estadual de Saúde Pública, por meio do Programa de Controle da Dengue, divulgou nesta segunda-feira (14/12/2009) o boletim de acompanhamento epidemiológico da dengue. Desde janeiro deste ano foram notifi cados 3.577 casos da doença no Rio Grande do Norte. Destes, 17 foram de Febre Hemorrágica de Dengue (FHD), além de três óbitos ocorridos. Em relação ao mesmo período do ano anterior (2008) quando foram notifi cados 43.552, houve uma redução nos casos. Na região metropolitana da Capital (que inclui os municípios de Natal, Macaíba, São Gonçalo e Extremoz) foram notifi cados 1.724 casos de dengue. Em Natal, foram notifi cados 1.235 casos de dengue, dos quais 13 de FHD. Já em Mossoró, 370 pessoas foram acometidas por esta enfermidade (dengue) e 07 apresentaram FHD.

Agora, utilizando os dados acima e:

Construa uma tabela com o número de casos notifi cados da doença no ano de 2009 em todo o estado do Rio Grande do Norte, na Região Metropolitana da capital, em Natal e em Mossoró.

2

3


Calcule a porcentagem de casos ocorridos no município de Natal em relação ao restante do estado, analisando os dados da tabela elaborada na questão 1.

Analise os dados e calcule a redução do número de casos notifi cados de dengue em 2009 em relação ao ano anterior (2008), quando foram notifi cados 43.552 casos dessa enfermidade.

Se você conseguiu resolver o exercício acima, parabéns! Caso contrário, entre em contato com o seu professor, retorne ao texto da aula, reveja os principais conceitos, volte à atividade de autoavaliação e tente quantas vezes forem necessárias.

ReferênciasHOUAISS, Antonio; VILLAR, Mauro de Sales; FRANCO, Francisco Manoel de Mello. Dicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Editora Objetiva, 2001.


OTT, Lyman; MENDEENHALL, William. Understanding statistics. Boston: PWS-KENT Publishing Company, 1990.

SAMPAIO, Ivan Barbosa Machado. Estatística aplicada à experimentação animal. Belo Horizonte: FEP MVZ Editora, 1997.


Anotações

Descrevendo Sistemas

3Aula

1

2

3


Apresentação

Nesta aula, estudaremos as aplicações da estatística descritiva nas Ciências Biológicas. Para isto, utilizaremos dados de sistemas biológicos para calcular a média, variância, desvio padrão, moda e mediana e veremos como obter informações com este tipo

de análise estatística. Desse modo, será importante que você tenha uma boa compreensão dos conceitos vistos na Aula 1 – O que é Bioestatística – e Aula 2 – Como transformar dados em informações. As análises que aqui serão realizadas terão como base os conceitos apreendidos nessas aulas.

ObjetivosDistinguir os conceitos de estatística descritiva e suas aplicações em Ciências Biológicas.

Aplicar a estatística descritiva para realizar análises de conjuntos de dados.

Avaliar os resultados da análise dos dados, de modo a poder caracterizar corretamente a amostra e poder fazer inferências sobre a população.


Medidas de tendência centralAs medidas de tendência central indicam um ponto, em torno do qual, se distribuem

ou concentram os números do conjunto de dados. Este tende a estar localizado no centro da distribuição dos dados. As principais medidas de tendência central são a média, a moda e a mediana, que estudaremos a seguir.

MédiaA média de um conjunto de números pode ser defi nida como um valor que representa

o total desse conjunto, sem alterar as suas características. Esta medida (média) é um valor de “equilíbrio” do conjunto de dados.

Se o conjunto de dados é obtido de uma população, utiliza-se a letra grega “µ” (pronuncia-se mi) para representar a média. Quando o conjunto de dados é obtido de uma amostra da população, utiliza-se o símbolo “x

_” (pronuncia-se x barra).

Calculando médias e suas aplicaçõesA média aritmética (x

_) de um conjunto de dados é calculada pela soma de todos os dados

dividida pelo número deles. A representação matemática do cálculo da média é a seguinte:

x =∑

x

n

onde:

∑x = somatório de todos os valores de x

n = a quantidade de valores

Exercício resolvido 1Um aluno tirou as notas: 0, 2, 4, 6 e 10, em cinco provas. Calcule a média das notas

desse aluno.


Resolução

1) Primeiro devemos somar (∑x) todos os valores da cada prova: 0 + 2 + 4 +

6 + 10. O resultado é 22.

2) Depois identifi camos o n, ou seja, como são 5 notas, temos n = 5.

3) Por fi m, divide-se a soma 22 por 5 (22/5) e obtém-se a média 4,4.

4) Conclui-se que o aluno teve média 4,4.

Exercício resolvido 2Calcule a média geral das notas da turma de 25 alunos, de acordo com os dados

apresentados na Tabela 1.

Tabela 1 – Resultado da avaliação (nota) de uma turma com 25 alunos

Número de alunos Nota

5 5

8 7

9 8

3 10

Resolução

Neste caso, você pode resolver a questão (e encontrar a média geral da turma) de duas maneiras:

1) Somando todas as notas (∑x) obtidas pelos alunos (5 + 5 + 5 + 5 + 5

+ 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 +

8 + 8 + 10 + 10 + 10) que dá ∑x = 183 e dividir o valor encontrado pelo número (n) de alunos que é n = 25. Assim, o cálculo da média da turma é obtido pela divisão 183/25, cujo resultado é 7,32.

2) O mesmo resultado de média (7,32) pode ser obtido se você multiplicar a nota pelo número de alunos que tiraram a respectiva nota e fi zer o somatório de todos os resultados, da seguinte maneira: (5*5) + (8*7) + (9*8) + (3*10)(3*10) = 183. Assim, se dividirmos 183 por 25 obteremos o mesmo resultado para o cálculo da média geral da turma, ou seja, 7,32.

(5*5) + (8*7) + (9*8)

+ (3*13*10)

5*5 = 5+5+5+5+5;

8*7 =

7+7+7+7+7+7+7+7;

9*8 =

8+8+8+8+8+8+8+8+8

e 3*10 =10+10+10

Atividade 1


Calcule a média para os seguintes conjuntos de dados:

a) A altura (em cm) de plantas submetidas a tratamento com hormônio de crescimento: 12,5cm; 12,6cm; 12,9cm; 13,5cm; 13,7cm; 12,7cm; 13,6cm.

b) Número de movimentos respiratórios por minuto (mpm) de cobaias de laboratório após a administração de um anestésico intravenoso: 12 mpm; 14 mpm; 13 mpm; 14 mpm; 15 mpm; 16 mpm; 16 mpm; 15 mpm; 13 mpm.

c) Número de salários mínimos recebidos pelos trabalhadores de um laboratório de análises clínicas: 5 salários míninos; 4 salários míninos; 4,5 salários míninos; 6 salários míninos; 5,5 salários míninos; 8 salários míninos; 6 salários míninos; 6,5 salários míninos.


Mediana e moda

A análise da média deve refl etir o conjunto de dados. Todavia, este cálculo pode ser afetado por medidas muito discrepantes (muito altas ou muito baixas em relação ao valor médio). Quando isto acontece, a média calculada não representa adequadamente o

que acontece no conjunto de dados. Para estas situações o cálculo da mediana e/ou da moda pode ser uma alternativa adequada para descrever o conjunto de dados.

A mediana (cujo símbolo é md) é o valor que ocupa a posição central; esta medida divide o conjunto de dados em duas metades iguais. Para calcular a mediana, organize o seu conjunto de dados em ordem crescente e encontre o valor que está no centro da série.

Quando o número de dados for ímpar a mediana será o valor que está no centro da série. Quando o número de dados for par, a mediana será a média dos valores que estão no centro da série.

Exercício resolvido 3Vamos descobrir a mediana do conjunto de dados utilizado para o cálculo das médias

do Exercício resolvido 2?

Para isso devemos:

1) Organizar o conjunto de dados em ordem crescente. Assim procedendo, obtemos:

Valor 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10

Posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2) Note que temos 25 números. Esse valor é ímpar, e desse modo, a mediana será o valor que divide esse conjunto. Neste caso, a mediana corresponderá ao número que está na posição 13 (número 7), pois este dividirá o conjunto de dados em duas metades iguais, com 12 dados (números) cada um, como se pode observar abaixo:

Conjunto 1 com os 12 primeiros valores (anteriores a mediana)

Valor 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7

Posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mediana

Valor 7

Posição 13

Conjunto 2 com os 12 últimos valores (posteriores a mediana)

Valor 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10

Posição 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1

2

Atividade 2


É interessante utilizar essa medida quando se estuda um grande conjunto de dados, onde existe muita discrepância entre eles. Neste caso, a mediana pode ser uma medida mais representativa que a média.

Já a moda (cujo símbolo é mo) representa o valor que ocorre com maior frequência no conjunto de dados.

Analisando-se o conjunto de dados do Exercício resolvido 2, observa-se que a nota que mais aparece é 8. Neste caso, a moda ou o valor modal é 8.

Neste exercício, a média, a mediana e a moda apresentam valores bem próximos entre si. E, dependendo do conjunto de dados estas três medidas podem até ter o mesmo valor. Entretanto, dependendo da variação existente no conjunto de dados, você deverá escolher qual dessas medidas de tendência central (média, mediana ou moda) é a mais representativa e adequada para ser utilizada.

Calcule a média, a moda e a mediana para o conjunto de dados de uma classe com seis alunos, cujas notas foram:

Aluno A B C D E FNota 2,0 5,0 8,0 5,0 7,5 3,5

Analisando o conjunto de dados abaixo, responda:

Aluno A B C D E F G HNota 2,0 5,0 7,0 10,0 5,0 6,0 3,0 8,0

a) Quantos alunos têm nota superior à média geral da turma?


Medidas de dispersãoAs medidas de dispersão indicam ou permitem ter noção do quanto estão distantes os

dados entre si. Ou seja, como eles variam em relação à média.

Neste sentido, a descrição de um conjunto de dados sempre se faz com uma medida de tendência central (geralmente a média) e uma de dispersão associadas.

Mas, como medir esta variação em relação à média?

Para isto, devemos analisar a amplitude e os desvios em relação à média.

AmplitudeA amplitude corresponde à diferença entre o maior e o menor valor no conjunto de dados.

Esta medida nos fornece uma noção da dispersão dos dados.

Para explicar este conceito, vamos utilizar dois conjuntos de dados A e B, que representam a nota obtida pelos alunos de uma determinada disciplina:

Conjunto de dados A: 4; 6; 4; 6; 5; 5

Conjunto de dados B: 9; 1; 5; 5; 1; 9

b) Calcule a média, a moda e a mediana desta turma.

c) Qual destas três medidas de tendência central, você acha mais adequada para descrever o conjunto de dados? Justifi que a sua resposta.


Para calcular a amplitude destes dois conjuntos de dados, identifi que, respectivamente, o maior e o menor valor em cada um deles.

No conjunto A o maior valor encontrado é 6 e o menor 4. Assim, a amplitude é 6 – 4 = 2.

Para o conjunto de dados B o maior e o menor valor, são respectivamente 9 e 1, portanto a amplitude é 9 – 1 = 8.

Observe que esta medida permite inferir que a variabilidade do conjunto de dados B é maior que o do A.

Quando se trabalha com algumas variáveis de grande instabilidade como, por exemplo, contagem de ovos por grama de fezes (OPG) utilizado para diagnóstico de verminose, onde se podem determinar valores de amplitude superior a 10000 OPG, esta medida é bastante interessante para demonstrar a variabilidade e a dispersão existente.

Estas características podem ser comprovadas nos dados da tabela a seguir (Tabela 2), onde temos zero como o menor valor de OPG e 5100 como o maior valor.

Tabela 2 – Contagem de OPG (ovos/g) de um rebanho de ovinos mestiços (½ sangue Somalis × ½ sem raça defi nida) mantidos em pastagem nativa naturalmente contaminada por larvas de nematódeos gastrintestinais

Animal Contagem de OPG

1 100

2 0

3 200

4 300

5 0

6 100

7 400

8 100

9 1100

10 1400

11 5100

12 400

13 700

14 300

15 500

16 0

17 700

18 1300

19 200

20 800

21 300

22 2300

Fonte: Zaros et al (2009).


Desvio em relação à mediaO desvio em relação à média permite estimar o quanto um determinado valor se afasta

da média do conjunto. O cálculo do desvio em relação à média é dado pela diferença entre o valor medido (observado) e a média do conjunto de dados (calculado previamente). Este é representado matematicamente pela fórmula:

Desvio em relação a média = x – x_

.

Onde:

x = valor medido

x_ = valor da média calculada

Para determinar os desvios, precisamos inicialmente calcular as médias de cada conjunto de dados. Ainda utilizando os conjuntos A (4; 6; 4; 6; 5; 5) e B (9; 1; 5; 5; 1; 9), vemos que a média para ambos é 5. Assim, os desvios em relação à média do conjunto de dados A são:

Valor medido (x) Média (x_

) x – x_

4 5 –1

6 5 1

4 5 –1

6 5 1

5 5 0

5 5 0

Total = 0

Os desvios em relação à média para o conjunto B são:


) x – x_

9 5 4

1 5 – 4

5 5 0

5 5 0

1 5 – 4

9 5 4

Total = 0

Observe que, apesar dos conjuntos de dados A e B possuírem as mesmas médias, eles apresentam desvios bem diferentes. No conjunto A, os desvios vão de – 1 a +1 e no B, de – 4 a +4.

Você notou que, apesar dos valores diferentes, a soma dos desvios é zero nos dois conjuntos? Vamos ver o porquê?

Você pode está se perguntando: Se a soma dos desvios em relação à média é sempre zero para qualquer conjunto de dados, como poderei utilizar esta medida?


Neste caso, podemos utilizar um artifício matemático que é elevar o valor de (x – x_

) ao quadrado, transformando-o em (x – x

_)2, e assim ter sempre um valor positivo para esta

operação. Assim, sempre que você calcular a soma dos desvios elevada a potência 2, obterá um valor positivo e diferente de zero.

Vamos conferir?

Exercício resolvido 4Calcule a soma dos desvios elevada à potência 2 para os conjuntos de dados A (4; 6;

4; 6; 5; 5) e B (9; 1; 5; 5; 1; 9).

Resolução

1) Para o conjunto de dados A:


) x – x_

(x – x_

)2

4 5 –1 1

6 5 1 1

4 5 –1 1

6 5 1 1

5 5 0 0

5 5 0 0

Total = 0 Total = 4

2) Para o conjunto de dados B:


) x – x_

(x – x_

) 2

9 5 4 16

1 5 –4 16

5 5 0 0

5 5 0 0

1 5 –4 16

9 5 4 16

Total = 0 Total = 64

3) Calculados os desvios e elevando-os à potência de 2, eles só terão valor zero, se todos os valores x – x

_ do conjunto forem iguais a 0. Neste caso, não existe

dispersão e/ou diferença em relação a média.

Atividade 3


Retome os principais conceitos vistos nesta aula e defi na:

a) Média:

b) Mediana:

c) Moda:

d) Amplitude:

e) Desvio em relação à média:


Variância de uma amostraDepois de calcular os desvios em relação à média, agora, você já pode calcular a variância

(s2) de uma amostra. Esta medida de dispersão permite ter noção de quanto variam os dados em relação a média e principalmente calcular o desvio padrão de uma média.

A variância de uma amostra é estimada pela fórmula:

S2 =∑

(x− x)2

n− 1

Onde:

x = valor medido ou observado na amostra

x_ = Média calculada para amostra

n = número de dados da amostra

Vamos fazer uma aplicação da variância utilizando os dados do exercício resolvido 4?

Neste caso, para os dois conjuntos de dados, A e B, foram utilizados 6 valores, então o valor de n é igual a 6 e, consequentemente, n – 1 = 5.

Utilizando estes conceitos, a variância para o conjunto A é calculada dividindo-se o valor de (x – x

_)2, que é igual a 4, por n – 1, que é igual a 5. Assim, a variância de A é 4/5 ou 0,8.

Da mesma forma, a variância de B é calculada por 64, resultado de (x – x_

)2, dividido por 5, resultado de n – 1. Ou seja, 64/5 que resulta em 12,8.

Observe que a variância é uma medida adimensional.

Agora, conhecendo a variância de um conjunto de dados, eu posso estimar o seu desvio padrão.

Desvio padrão

Como a variância é uma medida que estima os quadrados dos desvios em relação a média, esta tem pouca aplicação prática. Visto que as unidades de medida dos dados utilizados no cáculo da variância também são elevadas ao quadrado, o que difi culta a

interpretação das respostas. Tome-se por exemplo uma medida calculada em: kg ou cm ou m2. Neste caso, a variância será expressa em respectivamente: kg 2 ou cm2 ou m4; difi cultando a interpretação dos resultados.


Uma forma de resolver este problema é extrair a raiz quadrada da variância, obtendo assim o desvio padrão (s).

O desvio padrão (s) de um conjunto de dados é obtido calculando-se a raiz quadrada da variância, utilizando a fórmula:

s = ( 2√

S2)

Onde:

S 2 = variância da amostra

Utilizando este conceito nos mesmos conjuntos de dados A e B, obtemos os seguintes valores:

Para o conjunto A: S 2 = 0,8 então, s = 2√

0, 8 s = 0,894

Para o conjunto B: S 2 = 12,8 então, s = 2√

12, 8 s = 3,577

Agora, já que conhecemos a média e o desvio padrão do conjunto de dados e a amplitude, podemos utilizar estas informações para descrever os dados analisados neste exemplo.

1) Conjunto A = 5 ± 0,894; menor valor 4; maior valor 6; n = 5.

2) Conjunto B = 5 ± 3,577; menor valor 1; maior valor 9; n = 5.

Você pode, utilizando essas informações, escolher o conjunto de dados A, se preferir o que tiver menor desvio em relação à média ou o conjunto de dados B se a opção for pela maior amplitude.

Coefi ciente de variaçãoAgora, o que representa o desvio em relação à média?

O desvio em relação à média permite avaliar a instabilidade do conjunto de dados. Esta medida de dispersão é chamada de coefi ciente de variação (CV).

O CV é calculado dividindo-se o desvio padrão pela média do conjunto de dados.

CV = s/x_

Onde:

s = Desvio Padrão

x_

= Média aritimética calculada para o conjunto de dados.

Atividade 4


Utilizando os dados do Exercício resolvido 4, teremos os seguintes coefi cientes de variação.

1) Conjunto de dados A: 0,894/5 = 0,1788 ou 17,88%

2) Conjunto de dados B : 3,577/5 = 0,7154 ou 71,54%

Este resultado indica que o conjunto de dados A é mais homogêneo e menos instável que o B.

Atenção

Não estamos afi rmando que “A” é melhor do que “B” ou vice-versa, mas sim, homogêneo. Isto é importante, para se avaliar a representatividade da média em relação ao conjunto de dados.

Lembra quando falamos da média de dados de contagem de OPG e que nestes casos, se pode ter amplitude superior a 10000?

Este é um caso de variável muito instável, onde a média não tem muita representatividade. Nestas situações, trabalhar com a moda ou a mediana é mais interessante que com a média.

A noção de instabilidade de uma variável e a escolha entre utilizar a média, a moda ou a mediana para descrever o conjunto de dados, é uma opção individual do pesquisador. Para isto, recomenda-se o bom senso e observar/ler como se publicam estas informações nos meios científi cos, jornais e revistas.

Os dados a seguir fornecem a concentração de um determinado poluente (ppm) em 8 pontos de um afl uente medidos uma hora antes e uma hora depois de um acidente ambiental:

Tabela 3 – Concentração (em ppm) de um determinado poluente nas águas de um rio antes e depois de um acidente ambiental

Concentração antes Concentração depois4,67 5,44

4,97 6,11

5,11 6,49

5,17 6,61

5,33 6,67

6.22 6,67

6,50 6,78

7,0 7,89

Fonte: <http://leg.ufpr.br/~paulojus/CE003/ce003/node2.html>. Acesso em: 12 abr. 2010.


Utilizando o conjunto de dados da Tabela 3, calcule a média, a mediana, a moda, o desvio padrão e o coefi ciente de variação da concentração de poluentes antes e depois do acidente ambiental.

Leitura complementarPROJETO de ensino. Aprendendo a fazer estatística. Disponível em: <http://www.des.uem.br/projetos/Estatistica_Descritiva.pdf>. Acesso em: 12 abr. 2010.

Este texto refere-se aos principais conceitos da Estatística Descritiva vistos na aula de hoje. Além disto, sua leitura possibilitará conhecer outros exemplos de aplicações da Estatística Descritiva, principalmente para você utilizar em situações de sala de aula tendo como exemplo as situações do cotidiano.

Resumo


Nesta aula, você estudou as aplicações da estatística descritiva nas Ciências Biológicas. Para isto, você teve como exemplo dados de sistemas biológicos para calcular a média, variância, desvio padrão, moda e mediana. Você compreendeu como obter informações com este tipo de análise estatística e aprendeu a realizar uma análise de um conjunto de dados utilizando a estatística descritiva. Por fi m, você pôde interpretar os resultados da análise dos dados, de modo a poder caracterizar corretamente a amostra e poder fazer inferências sobre a população.

AutoavaliaçãoUm fazendeiro foi avaliar a produção de leite dos seus animais. Ele anotou os dados na tabela a seguir (Tabela 4). Entretanto, fi cou sem saber analisar, fazer uma estatística descritiva dos resultados.

Tabela 4 – Produção de leite (Kg/animal/dia)

Produção de leite (kg/animal/dia)Identifi cação do animal Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4

A296 7,4 4 7,2 6,6

A369 6 5,4 8 4,8

A001 8 2,8 3,4 9,4

L061 7,4 9,8 11,2 7

L212 4,6 9 10,2 4

L344 2,8 5 6,2 4

Analise os dados da Tabela 4 e calcule a média, o desvio padrão, a moda, a mediana e o coefi ciente de variação da produção de leite do rebanho.


Se você conseguiu resolver o exercício acima, parabéns. Caso contrário, entre em contato com o seu professor. Retome o texto da aula, reveja os principais conceitos, volte à atividade de Autoavaliação e tente quantas vezes forem necessárias.

ReferênciasHOUAISS, Antonio; VILLAR, Mauro de Sales; FRANCO, Francisco Manoel de Mello. Dicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Editora Objetiva, 2001.


MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. de. Noções de probabilidade e estatística. São Paulo: IME-USP, 2000.

OTT, Lyman; MENDEENHALL, William. Understanding statistics. Boston: PWS-KENT Publishing Company, 1990.

PAGANO, Marcello; GAUVREAU, Kimberlee. Princípios de bioestatística. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.

SAMPAIO, Ivan Barbosa Machado. Estatística aplicada à experimentação animal. Belo Horizonte: FEP MVZ Editora, 1997.

ZAROS, L. G. et al. Desempenho de ovinos Somalis resistentes e susceptíveis a nematódeos gastrintestinais. In: ZOOTEC, 2009, Águas de Lindóia. Anais... Águas de Lindóia, 2009.

Anotações


Elaborando hipóteses

4Aula

1

2

3


Apresentação

Nesta aula, apresentaremos o conceito de hipótese, exemplifi cando com situações que fazem parte do seu cotidiano. Num segundo momento, veremos quais os tipos de hipótese e como utilizá-los. Entenderemos o conceito de população amostral e

referência, os quais serão parte essencial na construção da hipótese. Estudaremos quais os tipos de erros existentes ao se aceitar ou rejeitar uma hipótese verdadeira.

Nesta aula, temos exercícios resolvidos que servirão de guia para que você faça as atividades propostas após cada assunto abordado.

Lembre-se: para que você compreenda os conceitos desta aula, é necessário que você leia atentamente o texto, fazendo sempre anotações sobre suas dúvidas e questionamentos.

ObjetivosDefi nir hipótese.

Diferenciar os tipos de hipóteses.

Defi nir erro tipo I e tipo II.


Font

e: <

http

://no

ticia

sro.

nafo

to.n

et/im

ages

/pho

to20

0810

0401

4824

.jpg>

. Ac

esso

em

: 25

mar

. 201

0.

Segundo o Dicionário On Line de Português, a palavra hipótese refere-se a uma suposição que se faz acerca de uma coisa possível ou não, a qual se tira uma consequência; teoria provável, admissível, embora ainda não demonstrada.

Na ilustração anterior, nossa hipótese é que vai chover. Chegamos a essa afi rmação, constatando o céu cinzento e carregado de nuvens.

Mas, será que podemos comprovar essa hipótese? Será que essa hipótese pode ser rejeitada? Que elementos temos para aceitar ou rejeitar essa hipótese?

Essas e outras questões serão respondidas no decorrer desta aula.

Se voltarmos um pouco no tempo e relembrarmos algumas disciplinas que você já estudou, como Biodiversidade, podemos destacar teorias que foram formuladas a partir de uma, duas ou mais hipóteses.

Um exemplo foi a teoria da evolução dos seres vivos. Essa teoria teve várias hipóteses, dentre elas a sustentada pelo cientista francês Jean-Baptiste Lamarck, que afi rmava que os seres vivos tinham de se transformar para melhor se adaptarem ao ambiente, ou seja, as girafas teriam adquirido o pescoço longo ao se esforçarem para ter acesso à comida. Essa hipótese não foi aceita pela ciência e foi substituída pelas hipóteses de Darwim, que originaram a Teoria da Seleção Natural.

Uma provável teoria...

Observe a fi gura abaixo e responda a seguinte pergunta: Será que vai chover?

Figura 1 – Céu nublado

Atividade 1


Baseado nos conhecimentos que você adquiriu durante o curso de Ciências Biológicas, pesquise e descreva outras hipóteses que foram confi rmadas ou rejeitadas na história da Biologia.

Figura 2 – Girafas que teriam adquirido pescoço longo ao se esforçarem para ter acesso à comida - Hipótese de Lamarck

Esse é apenas um exemplo de hipóteses que, quando aceitas, tornaram-se fatos, teorias.


Um exemplo nos dias de hojeNas Ciências Biológicas, os trabalhos científi cos são realizados com objetivos bem

estabelecidos, expressos por meio de afi rmações – as hipóteses – que os pesquisadores desejam verifi car.

Veja esta situação: suponha que o pesquisador queira verifi car se o medicamento X, utilizado no tratamento do câncer de pele apresenta, como efeito colateral, um aumento na pressão sanguínea. Nesse caso, o pesquisador elabora duas afi rmações, ou seja, duas hipóteses que devem ter sentido contrário uma da outra (igualdade x diferença). Assim, obrigatoriamente, ao aceitar uma hipótese, a outra deve ser rejeitada. Isso pode ser visto no exemplo a seguir.

Hipótese 1 (H1): o medicamento X, utilizado no tratamento do câncer de pele, não apresenta efeito colateral.

Hipótese 2 (H2): o medicamento X, utilizado no tratamento do câncer de pele, apresenta pelo menos um efeito colateral.

Entretanto, para saber quais das hipóteses são verdadeiras, o pesquisador deverá testá-las, ou seja, inicia-se uma pesquisa para responder às suas perguntas.

No caso do exemplo acima, ele deve selecionar indivíduos, utilizar a medicação X e avaliar se ocorre algum efeito colateral nos pacientes.

Dependendo dos resultados obtidos, o pesquisador aceita ou não a sua hipótese: se ele verifi car que os indivíduos apresentaram algum efeito colateral, como, por exemplo, alteração na pressão arterial após a administração do medicamento, ele aceitará a hipótese 2; caso contrário, deverá aceitar a hipótese 1.

Fonte: <http://frasesilustradas.fi les.wordpress.com/2009/04/hipotese.jpg>. Acesso em: 25 mar. 2010.

Atividade 2


Com base no que você leu até aqui, defi na hipótese e construa duas hipóteses sobre como será a disciplina de Bioestatística.

Hipóteses e seus tiposAté o momento, vimos o conceito de hipótese. Agora, vamos conhecer seus tipos?

Há dois tipos principais de hipóteses. Uma que chamamos de Hipótese Científi ca e a outra que denominamos de Hipótese Estatística.

A hipótese científi ca é aquela que não menciona o valor do parâmetro. É o caso da nossa situação acima, em que as hipóteses formuladas não exprimem valor, ou seja, não se referem à média da pressão sanguínea dos indivíduos analisados.

Já a hipótese estatística menciona o valor do parâmetro. Seria o caso se, no exemplo acima, o pesquisador apresentasse o valor médio da pressão sanguínea dos indivíduos analisados, como, por exemplo, 128mmHg (milímetros de mercúrio).

O esquema a seguir resume os dois principais tipos de hipóteses com seus respectivos exemplos e nos apresenta outros dois subtipos da hipótese estatística, a Hipótese Nula ou de Nulidade (H

0) e a Hipótese Alternativa (Ha).

Valor do parâmetro

Valor do parâmetro: é um número, um valor que quantifi ca a variável.

HIPÓTESE

Hipótese Científica

O medicamentoapresenta efeitocolateral

Parâmetro com valor

Hipótese Nula Ho

A média da pressão sanguínea é igual para os indivíduos que receberam o medicamento e para os que não receberam

A média da pressão sanguínea é diferente para os indivíduos que receberam o medicamento e para os que não receberam

Hipótese

Alternativa Ha

O medicamentoapresenta efeitocolateral sobre amédia de pressãosanguínea

Hipótese Estatística

Parâmetro sem valor


Figura 3 – Tipos e subtipos de hipóteses e seus respectivos exemplosFonte: Lilian Giotto Zaros.

Vamos nos aprofundar nas hipóteses estatísticas?

As hipóteses estatísticas sempre comparam dois ou mais parâmetros, afi rmando que são iguais ou não, como você pôde ver no esquema acima. Essas hipóteses ainda podem ser:

Hipótese Nula ou de Nulidade (H0), que estabelece a ausência de diferenças entre os

parâmetros. É sempre a primeira a ser formulada.

Ainda utilizando o exemplo anterior, a hipótese de nulidade pode ser:

H0, a média da pressão sanguínea da população amostrada (μ

1), de indivíduos tratados

com o medicamento X, não difere da média da população tomada como referência (μ2), ou

abreviadamente:

H0 : μ

1 = μ

2

Se essa hipótese for aceita, a conclusão é de que o medicamento não altera a pressão sanguínea.

População amostrada (μ

1)

é a amostra que constitui o seu estudo. No caso

do nosso exemplo, os 60 indivíduos que tomaram o medicamento constituem a população amostral ou, simplesmente, a amostra.

População tomada como referência (μ

2)

é aquele que serve como base ou referência para

o estudo. No caso do exemplo, é a população

de pessoas que não receberam o medicamento. O pesquisador não precisa,

necessariamente, medir a pressão de todas as

pessoas. Ele simplesmente pode ter como base

estudos já realizados que constataram que a média

da pressão arterial é de 128mmHg.


Hipótese alternativaHipótese Alternativa (Ha ou H

1): é a hipótese contrária à hipótese nula. Estabelece a presença

de diferenças entre os parâmetros. Geralmente, é a que o pesquisador quer ver confi rmada.

A hipótese alternativa do exemplo acima é:

Ha, a média da pressão sanguínea da população amostrada (μ1), de indivíduos tratados com

o medicamento X, difere média da população tomada como referência (μ2), ou abreviadamente:

Ha : μ1 ≠ μ

2

Se essa hipótese for aceita, a conclusão é de que o medicamento altera a pressão sanguínea.

Exercício resolvidoFormule as hipóteses de nulidade e alternativa para a situação descrita a seguir.

Um pesquisador da Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) tem se dedicado aos estudos de caprinos, tentando identifi car alguns genes que sejam relacionados à resistência à verminose. Num dado momento da sua pesquisa, ele notou que vários genes aparecem em diferentes proporções nos animais mais resistentes do que nos animais mais susceptíveis e outros genes aparecem nas mesmas proporções em ambos os animais. Diante dessa observação, o pesquisador precisa formular suas hipóteses para posteriormente testá-las. Descreva quais as hipóteses esse pesquisador deve testar.

Resolução

Em primeiro lugar, você deve identifi car qual a população a ser testada. No exemplo acima, queremos comparar se os animais resistentes apresentam os mesmos genes que os animais susceptíveis. Nesse caso, como iremos testar os dois grupos de animais, podemos denominar os animais resistentes de população 1 (μ

1) e os animais susceptíveis de população 2 (μ

2), já que ambos serão testados.

Uma vez defi nida a população a ser testada, você pode elaborar as hipóteses.

Hipótese de nulidade (H0): a média de expressão gênica dos animais

resistentes não difere da dos animais susceptíveis. H0 : μ

1 = μ

2

Hipótese alternativa (Ha): a média de expressão gênica dos animais resistentes difere da dos animais susceptíveis. Ha : μ1

≠ μ2

Entendido? Agora faça o mesmo nas situações abaixo.

Atividade 3

1

2


Um pesquisador da Fundação Oswaldo Cruz, no Rio de Janeiro, recebeu uma demanda do Governo Federal para testar um novo inseticida contra o mosquito Aedes aegipty, transmissor da dengue e da febre amarela urbana. Alguns estudos preliminares foram realizados e comprovaram que o inseticida tem efeito na diminuição da população desse inseto. Entretanto, o que o governo ainda não sabe é se ele atua inibindo a eclosão dos ovos, inibindo o desenvolvimento da larva em adulto, ou tornando os adultos estéreis. Com base nessas informações, escolha uma das três alternativas para o mecanismo de ação do inseticida e elabore as hipóteses (H

0 e Ha) que devem ser testadas para responder

ao questionamento do Governo Federal.

Antigamente, se pensava que o câncer de mama era uma doença rara em mulheres abaixo dos 35 anos. Pesquisas recentes têm mostrado que essa incidência não é um evento tão raro como se pensava anteriormente. Desse modo, pesquisadores de institutos de saúde vêm se questionando se as causas desse tipo de câncer são as mesmas em mulheres abaixo de 35 anos, quando comparadas àquelas de 45 anos ou mais. Suponha que você é um desses pesquisadores que irá realizar a pesquisa e elabore as hipóteses (H

0 e Ha) a serem testadas.

ERRO

Tipo I - erro α

Rejeita H0 quandoela é verdadeira

Aceita H0 quandoela é falsa

Afirma-se uma diferençaquando ela efetivamentenão existe

Afirma-se uma igualdadequando o correto seria afirmar uma diferença

Tipo II - erro β


Cometendo errosAgora que você já compreendeu o conceito de hipótese estatística e conseguiu identifi car,

em uma situação problema, as hipóteses de nulidade (H0) e alternativa (Ha), você irá ver que

podemos cometer erros ao aceitar ou não uma hipótese. O aceitar ou rejeitar uma hipótese é dado pelos testes de hipóteses, os quais estudaremos na Aula 5 – Testando hipóteses.

A verifi cação das hipóteses estatísticas somente se dará com certeza se você estudar toda a população, e não somente uma amostra dessa população, como somente alguns indivíduos utilizados para avaliar o efeito do medicamento na pressão arterial.

Entretanto, como não podemos avaliar toda a população, por diversas razões, avaliamos somente uma amostra dela (por exemplo, 60 indivíduos) e extrapolamos, ou seja, aplicamos os resultados obtidos com essa amostra para todos os indivíduos da população.

Mas, quando fazemos isso, corremos o risco de cometer erros, afi rmando que há uma diferença, quando ela efetivamente não existe, ou o inverso.

E como podem ser esses erros?

Os erros cometidos ao se extrapolar as informações de uma amostra para toda a população podem ser visualizados no esquema apresentado a seguir.

Figura 4 – Tipos de erros que podem ser cometidos ao se testar hipóteses

Fonte: Lilian Giotto Zaros.

Testes de hipóteses

procedimento estatístico pelo qual se rejeita ou não uma hipótese, associando à conclusão um risco máximo de erro.

Extrapolar

generalizar; estender a validade de uma afi rmação ou conclusão além dos limites em que ela é comprovável.

VERDADEIRA

ACEITAH

0

O PE

SQU

ISAD

OR

DECISÃO CORRETA

COMETE O ERRO TIPO I (α)

COMETE O ERRO TIPO II (β)

DECISÃO CORRETA

REJEITAH

0

FALSA

Se a Hipótese Nula (H0) é


E como evitar esses tipos de erros?

Esses erros podem ser evitados através dos testes de hipóteses (Aula 5) que os tornem menores possíveis. Entretanto, não é possível minimizar ambos os erros ao mesmo tempo.

Os testes de hipóteses são montados de forma que, fi xado o Erro Tipo I que se está disposto a cometer, o Erro Tipo II seja o menor possível.

Se o pesquisador aceita H0 e ela é realmente verdadeira, ele tomou a decisão correta,

e, consequentemente, não cometeu erro algum. Entretanto, se ele aceita H0 e ela é falsa, ele

cometeu um erro, chamado de erro tipo II, representado pela letra grega beta (β).

Mas, se o pesquisador rejeita H0 e ela é verdadeira, ele comete o erro tipo I, representado

pela letra grega alfa (α). Já, se ele rejeita H0 e ela é falsa, ele tomou a decisão correta e não

cometeu erro algum.

Figura 5 – Tipos de erros cometidos ao aceitar ou rejeitar uma hipótese de nulidade ou alternativa

Mas, como é possível rejeitar uma hipótese que é verdadeira?

O teste que realizamos para aceitar ou rejeitar uma hipótese baseia-se numa situação experimental (amostra), sujeita a fl utuações amostrais. Devido a essas fl utuações, você pode ter uma amostra que não represente bem a população, levando a uma conclusão que não corresponde à realidade.

No quadro a seguir você pode verifi car os erros cometidos de acordo com a decisão tomada pelo pesquisador de aceitar ou não uma hipótese.

Font

e: <

http

://w

ww

.edi

tora

ferr

eira

.com

.br/

publ

ique

/med

ia/

pedr

o_to

q14_

test

e-hi

pote

ses.

pdf>

. Ace

sso

em: 2

5 m

ar. 2

010.

Atividade 4

1

2


O texto abaixo foi escrito por Doris S. M. Fontes (2007, extraído da Internet), graduada em Estatística, aborda a importância do erro estatístico. Leia e refl ita sobre ele.

Será que os erros médicos são mais graves que os erros estatísticos?

[...] Muitas vezes, conclui-se que os erros estatísticos não devem ser encarados com tanto rigor legal como aqueles causados por médicos, advogados ou engenheiros. Eu realmente não compartilho muito dessa opinião. Erros estatísticos podem ser muito graves, trazendo consequências realmente nefastas para milhões de pessoas. Enquanto um médico mata um, dois ou dez pacientes por imperícia, um resultado estatístico aceito por uma empresa ou governo pode trazer prejuízo/danos ou mortes para muitas pessoas, ou milhões, simultâneamente, dependendo do caso [...] O remédio genérico que foi aprovado mais tarde é verifi cado que não funciona. E quantas vítimas já terá feito? Um produto lançado a partir de resultados estatísticos duvidosos, quantos terão morrido?

Pesquise o conceito de erro e, com base nos seus conhecimentos adquiridos nesta aula, defi na os tipos de erros estatísticos e suas consequências.

Resumo


Nesta aula, você aprendeu o conceito de hipótese e também que há hipóteses científicas e estatísticas. Você estudou os tipos de hipóteses estatísticas denominadas hipótese de nulidade (H

0) e hipótese alternativa (Ha) e as identifi cou

em vários exemplos utilizados ao longo da aula. Entendeu o conceito de população amostral e referência, que são parte essencial na construção de hipóteses. Aprendeu também a formular hipóteses utilizando alguns exemplos da Biologia e a reconhecer a importância de uma hipótese bem formulada. Você conheceu que podemos aceitar ou rejeitar hipóteses e verifi camos que, ao rejeitar ou aceitar uma hipótese, podemos cometer algum tipo de erro. Estudou os conceitos de erros apresentados em erro tipo I, representado pela letra grega alfa (α) e o erro tipo II, representado pela letra grega beta (β). Por fi m, você pôde perceber e refl etir sobre a sua importância quando extrapolamos uma conclusão retirada de um estudo de uma amostra para toda a população.


Se você conseguiu resolver a autoavaliação, parabéns. Caso contrário, entre em contato com o seu professor, reveja os principais conceitos, volte à atividade e tente quantas vezes forem necessárias.


DEPARTAMENTO DE PATOLOGIA – FMUSP. Biometria: aula II: inferência estatística. Disponível em: <http://med.fm.usp.br/dim/apostila/biometria/aula02.htm>. Acesso em: 23 fev. 2010.

AutoavaliaçãoVamos aplicar o que aprendemos? Para isso, resolva o exercício abaixo.

Suponha que antropólogos da Alemanha costumam classifi car os tipos de populações antigas com base no comprimento dos seus crânios: população 1 (P1), com valores médios de 190mm e população 2 (P2), com valores médios de 196mm. Recentemente, descobriram em outra localidade 12 crânios com comprimento médio de 194mm e desejam saber à qual tipo de população (P1 ou P2) pertenceram esses crânios. Assim, transforme o problema acima em uma hipótese estatística.

Anotações


DICIONÁRIO On Line de Português. Disponível em: <http://m.dicio.com.br/hipotese/>. Acesso em: 24 fev. 2010.

FONTES, D. S. Será que os erros médicos são mais graves que erros estatísticos? 2007. Disponível em: <http://www.conre3.org.br/forum/viewtopic.php?t=595>. Acesso em: 25 fev. 2010.

HOUAISS, Antonio; VILLAR, Mauro de Sales; FRANCO, Francisco Manoel de Mello. Dicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Editora Objetiva, 2001. 2922p.


Anotações


Testando hipóteses

5Aula

1

2

3

4


Apresentação Agora que você já compreendeu o conceito de hipótese estatística e conseguiu identifi car,

em uma situação problema, as hipóteses de nulidade (H0) e alternativa (Ha),(Aula 4- Elaborando

hipóteses) você irá conhecer os testes pelos quais podemos verifi car se as hipóteses que construímos são ou não verdadeiras. Esses testes são chamados de testes de hipóteses.

Também nesta aula você vai estudar o conceito de nível de signifi cância do teste, onde você utilizará o conceito de erro tipo I e tipo II visto na aula anterior (Aula 4- Elaborando hipóteses) para compreender o que é o nível de signifi cância de um teste e sua importância. Em seguida, você vai aprender a classifi car os tipos de testes de hipóteses e verá em quais situações eles são mais utilizados.

Leia atentamente os textos e anote suas dúvidas. Bom trabalho!

ObjetivosDefi nir testes de hipóteses.

Identifi car os principais tipos de testes de hipóteses.

Defi nir o conceito de nível de signifi cância.

Reconhecer em quais situações utilizar os testes de hipóteses.


Defi nindo os testes de hipóteses

Os testes de hipóteses ou testes de signifi cância são procedimentos estatísticos pelos quais você rejeita ou aceita uma hipótese de nulidade (H

0), associando um risco máximo de

erro (nível de signifi cância) para esta conclusão. São utilizados para detectar se existe alguma diferença entre as médias testadas.

Para entender melhor a defi nição de testes de hipóteses, suponha que você queira avaliar se a utilização de suco de abacate com laranja na alimentação de mulheres resulta em perda de peso. Como você viu anteriormente, primeiro devemos elaborar as hipóteses.

H0: A utilização de suco de abacate com laranja na alimentação não tem efeito sobre a

perda de peso das mulheres.

H1: A utilização de suco de abacate com laranja na alimentação tem efeito sobre a perda

de peso das mulheres.

Após a elaboração das hipóteses, você deverá testá-las, utilizando o teste específi co para comparar os resultados obtidos. Mas antes de escolher qual o melhor teste estatístico, primeiro você deve analisar:

Natureza da variável: se ela é qualitativa ou quantitativa;

Distribuição da variável: se tem distribuição normal ou não;

Continuidade da variável: se é contínua ou descontínua;

Instabilidade da variável: se é muito ou pouco instável.

De acordo com esses critérios, podemos ter dois tipos de testes:

Testes paramétricos: devem ser utilizados quando são avaliados dados com variáveis quantitativas e de distribuição normal, como por exemplo, o peso médio de um rebanho bovino.

Testes não paramétricos: devem ser utilizados para variáveis qualitativas e que não têm distribuição normal, como por exemplo, número de pessoas que gostam do queijo tipo “A” numa avaliação de preferências.

Atividade 1


Aplicando testesparamétricos e não paramétricos

O Quadro 1 resume os critérios a serem analisados na escolha do teste estatístico, de acordo com a sua indicação em teste paramétrico e não paramétrico.

Características da variável Testes paramétricos Testes não paramétricos

Variável qualitativa x

Variável quantitativa x

Distribuição normal x

Sem distribuição normal x

Contínua x

Descontínua x

Estável x

Instável x

Quadro 1 – Critérios analisados na escolha do teste estatístico paramétrico e não paramétricoFonte: Henrique Rocha de Medeiros

Note que os testes paramétricos são indicados para variáveis quantitativas, com distribuição normal, contínua e estável. Um exemplo de uma variável que se encaixa nesse perfi l é o peso médio dos animais de um rebanho submetidos a diferentes tipos de dieta alimentar. Já os testes não paramétricos são indicados para variáveis qualitativas, sem distribuição normal, descontínua e instável, como por exemplo o número de eleitores que votariam num determinado candidato para a eleição de diretor da escola.

Agora que você já estudou o conceito de testes paramétricos e não paramétricos e viu também em quais tipos de variáveis utilizá-los, pesquise em seu material das aulas anteriores os conceitos a seguir:

a) Variável quantitativa e quantitativa.

μ = 0

σ = 1

1-1-2-3 2 3 z


b) Variável contínua e descontínua.

c) Variável estável e instável.

Mas o que é uma variávelcom distribuição normal?

Diz-se que uma variável apresenta distribuição normal quando a média e mediana são iguais. Além do mais, os desvios em relação à média são simétricos. Por isso, quando plotamos os resultados em gráfi cos, observa-se que estes apresentam forma de sino.

Está com difi culdades para entender esta defi nição?

Vamos observar e analisar o gráfi co a seguir para facilitar a sua compreensão acerca destes conceitos.

Média e mediana

Caso você não se lembre do conceito de média e

mediana, volte à Aula 3 – Estatística descritiva.

Figura 1 – Gráfi co de uma distribuição normal com média (μ) = 0 e desvio padrão (δ) = ±1

Atividade 2


Sempre que a distribuição dos dados for normal, observa-se a média (μ) no centro da curva (ilustrada pela reta em verde) e desvios simétricos em relação à média (μ).

Vale ressaltar que este gráfi co poderá ser mais achatado ou não, de acordo com a relação entre os desvios e a média.

Construa um gráfi co utilizando o conjunto de dados da Tabela 1 a seguir e analise se os mesmos têm distribuição normal. Este gráfi co pode ser elaborado utilizando a ferramenta de gráfi cos do Excel ou em papel milimetrado, inserido após a tabela.

Tabela 1 – Peso médio (valores máximos e mínimos) dos animais de um rebanho bovino e respectivos números de animais por classe de peso

Classes de peso (kg) Peso médio Número de animais

Mínimo Máximo (kg) por classe por classe de peso

1 62,5 67,4 64,95 6

2 67,5 72,4 69,95 12

3 72,5 77,4 74,95 25

4 77,5 82,4 79,95 38

5 82,5 87,4 84,95 44

6 87,5 92,4 89,95 52

7 92,5 97,4 94,95 47

8 97,5 102,4 99,95 34

9 102,5 107,4 104,95 23

10 107,5 112,4 109,95 14

11 112,5 117,4 114,95 5


Alta acuráciaBaixa precisão

Baixa acuráciaBaixa precisão

Alta acuráciaAlta precisão

Baixa acuráciaAlta precisão

Atirador 1 Atirador 2


Agora já posso iniciar o teste? Ainda não, mesmo que você já tenha testado todas as condições da variável e identifi cado

qual tipo de teste a ser utilizado.

Antes você deve convencionar qual o nível de erro desejado para testar esta média. Ou seja, o limite máximo para se determinar quanto do desvio (erro) é decorrente do acaso ou não.

Esses valores, normalmente, são distribuídos entre 5% e 0,001%. Essa possibilidade de erro levada em consideração quando se testa as hipóteses é denominada de nível de signifi cância e é representada pela letra grega alfa (®). A escolha de qual o valor de probabilidade de erro, entre 5% e 0,001%, escolher dependerá, principalmente, da sua ponderação e subjetividade. Se você aceitar uma hipótese onde o nível de signifi cância é de 5% ou ® = 0,05, pode-se concluir que ela é 95% verdadeira. Caso você aceite uma hipótese onde a porcentagem de erro é de 1% ou ® = 0,01, você concluirá que sua hipótese tem 99% de chance de ser verdadeira. Entendido?

E já que existe uma grande variação nos níveis de signifi cância, qual o valor que devo utilizar para o meu trabalho?

Esse valor vai depender da hipótese que está sendo testada, da necessidade de acurácia e precisão da variável estudada e dos objetivos da pesquisa.

Mas como avaliar a acurácia e precisão?

Para isso, vamos observar o exemplo da fi gura a seguir (Figura 2), que ilustra o conceito de acurácia e precisão de quatro atiradores que estão fazendo testes para a tropa de elite da Polícia Militar.

Acurácia

Medida correta dos valores.

Precisão

Capacidade de repetir a medida com acurácia.

Figura 2 – Representação esquemática dos conceitos de acurácia e precisãoFonte: <http://sampa.if.usp.br/~suaide/LabFlex/blog/fi les/acuracia.jpg>. Acesso em: 17 maio 2010.

Atividade 3


Observe que com o Atirador 1, que tem alta acurácia e alta precisão, a maior parte das marcas pretas (resultantes dos tiros) atinge o centro do alvo, o círculo verde e menor.

O Atirador 2 apresenta baixa acurácia, pois nenhum tiro atingiu o alvo central da fi gura, e alta precisão, porque todos os tiros estão bem próximos entre si.

O Atirador 3 tem alta acurácia (atingiu o alvo central) e baixa precisão, pois a maior parte dos seus tiros são dispersos e longe do alvo.

O Atirador 4 tem baixa precisão e baixa acurácia, pois nenhum dos seus tiros atingiu o alvo central e todos estão bem dispersos (longe um do outro) na Figura 2.

Vamos refl etir sobre esse tema?Qual a necessidade de precisão e, consequentemente, da escolha do nível de signifi cância

a serem utilizados nas seguintes situações?

1) Testar uma nova variedade de mandioca (Manihot sculenta Crantz), que é resistente à seca, para ser plantada em regiões semiáridas.

2) Testar uma nova vacina contra gripe para idosos com mais de 60 anos.

Certamente, no caso 2 a necessidade de precisão será muito maior que no caso 1.

Para se testar a resistência de uma variedade de planta em relação a stress hídrico, níveis entre 1 e 5% de erro podem satisfazer a necessidade de confi ança do pesquisador na resposta obtida.

Para a situação 2, onde se testa uma vacina em idosos, níveis de signifi cância superiores a 0,1% são inadmissíveis. Esses valores podem e devem ser ainda menores se for testado um produto que pode causar danos à saúde. Nesse caso, recomenda-se trabalhar nos níveis de signifi cância de 0,01%.

Estabeleça os níveis de signifi cância (5%; 1%; 0,1% e 0,01%) adequados para se testar as situações experimentais a seguir e justifi que a sua resposta:


b) Comparar a produção de leite de vacas em uma fazenda.

c) Avaliar o efeito da substituição do leite de vaca por leite de cabra no ganho de peso de crianças desnutridas com idade entre 1 e 5 anos.

d) Comparar a efi cácia da utilização de gargarejo de solução caseira com água, sal e vinagre ou de fármacos (remédios alopáticos – comprados em farmácia) no tratamento de amigdalite.

e) Avaliar o resultado de uma vacina que imuniza idosos com mais de 60 anos contra gripe.

a) Avaliar o efeito da utilização de farinha de mandioca na alimentação de crianças de 4 a 8 anos.


Pode-se rejeitar uma hipótese que é verdadeira? Além do nível de signifi cância (determinada pela necessidade de precisão e acurácia na

resposta medida), existe a possibilidade de ocorrerem erros tipo I (®) ou tipo II (¯) quando se testa uma hipótese. No erro tipo I atribui-se uma diferença às médias quando elas realmente não existem. No erro tipo II ocorre o contrário: atribui-se uma igualdade quando as médias são diferentes.

Esses tipos de erro são antagônicos. Assim, seu controle simutâneo e absoluto é impossível. Neste caso, você deve escolher o tipo de erro (I ou II) a ser minimizado. Para isso, o tipo de variável estudada e seus possíveis resultados são importantes para a escolha.

Nas situações onde o resultado favorável é uma diferença, deve-se evitar utilizar testes que benefi ciem erro tipo I. Assim, diminui-se a probabilidade de se atribuir diferenças entre as médias, quando elas realmente não existem.

Esse tipo de erro é indesejado nas situações onde se espera maior efi ciência de algum tratamento, como por exemplo, testes para comparar produtividade de cultivares de mandioca ou milho plantadas em regiões de semiárido. Assim, o produtor poderá escolher a variedade de mandioca ou de milho plantada – deveria ser a que apresentasse a maior produtividade.

Por outro lado, quando o resultado favorável (situação desejada) é a equivalência, deve-se procurar utilizar testes que benefi ciem erro tipo II, isto é, atribuir igualdade entre as médias, quando elas realmente não existem.

Essa situação pode ser exemplificada quando se compara a substituição de um medicamento importado do exterior por um nacional. Para esta situação, a resposta desejada é uma equivalência, pois a escolha de qual tratamento será utilizado se dá em função de alguma facilidade (por exemplo: preço ou maior possibilidade de aquisição).

Todavia, atribuir uma equivalência quando ela realmente não existe é, no mínimo, uma irresponsabilidade, e poderá comprometer a efi ciência do tratamento. Isso porque faltariam subsídios para indicar o tratamento mais efi caz.

Como dito anteriormente, esses erros são excludentes e não podem ser controlados conjuntamente. Assim, o pesquisador (você) deverá fazer uma escolha: qual tipo de erro (I ou II) quer benefi ciar ou evitar.

Atividade 4


Escolha o tipo de erro (I ou II) que deverá ser benefi ciado para as seguintes situações e justifi que a sua resposta:

a) Comparar a substituição de um medicamento alopático (comprado em farmácia) por um caseiro.

b) Comparar a o efeito, no ganho de peso médio diário de bovinos em confi namento, da substituição de farelo de trigo por resíduo da produção de melão na alimentação.

c) Avaliar a efi ciência de uma vacina contra gripe em pessoas com mais de 60 anos.

d) Avaliar o efeito da utilização de castanha de caju na alimentação de crianças sobre os níveis de colesterol bom (LDL) no sangue.


Os testes de hipóteses Existe uma gama diversa de testes de hipóteses. Os testes mais comumente utilzados

em sistemas biológicos são:

O Teste “F”, proposto por Fisher em 1924. Este teste indica se existe diferença entre as médias testadas. Porém, não diz quais são as diferenças. Assim, esse teste só deve ser utilizado para comparar duas médias por vez. Esses tipos de comparação são denominados contrastes ortogonais.

O Teste “t” de student. Este teste é bastante utilizado em Biologia, especialmente para se comparar três ou mais médias simultaneamente. Ele favorece o aparecimento de erro tipo I (atribui-se uma diferença, quando ela realmente não existe) e controla bem erro tipo II (¯).

O Teste de Tukey também é utilizado quando se deseja comparar três ou mais médias simultaneamente. Este teste controla bem erro tipo I e favorece o aparecimento do erro tipo II (¯) (atribui-se uma igualdade, quando as médias são diferentes).

Além destes testes, existem vários outros como o SNK, o Duncan e o de Sheffé. A escolha de qual deles você vai utilizar no seu trabalho deverá ocorrer em função da sua necessidade de controle de erro e peculiaridades inerentes à pesquisa.

Assim, para escolhar qual o tipo de teste a ser utilizado é interessante que você promova uma discussão entre os membros da equipe e um estatístico para decidirem qual o a melhor opção a ser utilizada.

Vamos supor que, pra testar se o suco de abacate com laranja tem efeito no emagrecimento de mulheres – como exemplifi cado no início dessa aula – você utilizou como população amostral 60 mulheres. Destas 60 mulheres, 30 receberam o suco de laranja com abacate (μ1) e 30 receberam uma mistura que chamamos de placebo (μ2).

As mulheres da população μ1 perderam em média 3,5 kg e as mulheres da população μ2 perderam, em média, 0,5 kg. Para testarmos nossas hipóteses, devemos assumir que há um erro embutido no nosso experimento, já que os dados obtidos são da população amostral (60 mulheres) e não de todas as mulheres da população em geral.

Nesse caso, antes de testarmos nossas hipóteses, devemos assumir esse erro e dar um valor a ele. Quanto maior for o valor do erro, maior a probabilidade de rejeitar uma hipótese quando ela é verdadeira. Assim, se assumirmos um valor de erro cada vez menor, temos uma maior confi ança nos resultados obtidos.

Assim, nossa hipótese a ser testada seria:

H0: μ1 =μ2 versus Ha: μ1 ≠μ2 ,

Placebo

é um fármaco (produto) ou procedimento inerte que apresenta efeitos terapêuticos devido aos efeitos fi siológicos da crença de que o pacinente está sendo tratado.

Atividade 5


onde:

μ1 = média da perda de peso das mulheres que receberam suco de abacate com laranja (3,5 kg)

μ2 = média da perda de peso das mulheres que não receberam suco de abacate com laranja (0,5 kg).

Considera-se aceitável um erro (ou nível de signifi cância) de 5%. Podemos, agora, fazer a seguinte pergunta: tomar suco de laranja com abacate faz mal à saúde das pessoas?

Se a resposta for “não faz mal a saúde”, o teste de “t” de Student pode ser indicado. Esse teste favorece erro tipo I, que rejeita H0, quando este é verdadeiro. Mas, como tomar este suco não vai fazer mal à saúde, não haverá problemas com este tipo de erro, uma vez que o máximo que pode acontecer é a recomendação para tomar um produto que não vai fazer mal!

Todavia, e se o suco “fi zer mal às pessoas”? Neste caso, você deveria utilizar um teste como o de Tukey, que controla erro tipo II. Assim, não existiria recomendação de que se tomar suco de laranja com abacate resultaria em emagrecimento, pois, no caso observado, a perda de peso registrada nos pacientes que tomaram suco foi resultante do acaso, e não do tratamento imposto (tomar suco de abacate com laranja).

Lembre que estes erros não podem ser controlados e ocorrem

ao acaso. Não são fruto de trabalho errado ou mal feito!!

Entendeu o conceito?

Agora vamos fazer uma atividade e ganhar mais experiência para este tipo de refl exão.

Indique os testes estatísticos mais adequados para as situações abaixo:

a) Comparar a média de peso de indivíduos que receberam tratamento para diminuir os níveis de colesterol com aqueles que não receberam nenhum tipo de tratamento.


b) Comparar a média dos níveis de poluentes emitidos por 4 indústrias químicas do Rio Grande do Norte.

ResumoNesta aula você conheceu a defi nição de testes de hipóteses e os principais tipos de testes. Você viu que os testes, de uma maneira geral, podem ser classifi cados em paramétricos e não paramétricos, de acordo com o tipo de variável pesquisada. Você revisou o conceito de variável qualitativa, quantitativa, contínua, descontínua, estável e instável. Compreendeu o que caracteriza uma variável com distribuição normal e aprendeu a identifi cá-la. Conheceu o conceito de nível de signifi cância, identifi cou, em uma situação problema, erros do tipo I e erros do tipo II e compreendeu a importância de cada um deles para a realização de um teste estatístico. Você também conheceu os principais tipos de testes de hipóteses e compreendeu em quais situações utilizar cada um deles.

AutoavaliaçãoExiste uma crença popular de que chá de folha de goiabeira pode ser um bom remédio caseiro para controlar diarreia em bezerros jovens. Proponha uma metodologia para testar esta hipótese. Para isto, você deve obedecer as seguintes etapas:

a) Elabore a hipótese de nulidade (H0) e a alternativa (Ha) para avaliar o fenômeno escolhido.


b) Escolha o nível de signifi cância (5%; 1%; 0,1% ou 0,01%) adequado para esta situação e justifi que sua resposta.

c) Escolha o tipo de erro (I ou II) que você quer evitar e justifi que sua resposta.

d) Escolha o teste estatístico mais adequado aos seus objetivos e justifi que sua resposta.


DEPARTAMENTO DE PATOLOGIA - FMUSP. Biometria: aula II: inferência estatística. Disponível em: <http://med.fm.usp.br/dim/apostila/biometria/aula02.htm>. Acesso em: 23 fev. 2010.

DICIONÁRIO On Line de Português. Disponível em: <http://m.dicio.com.br/hipotese/>. Acesso em: 24 fev. 2010.

FONTES, D. S. Será que os erros médicos são mais graves que erros estatísticos? 2007. Disponível em: <http://www.conre3.org.br/forum/viewtopic.php?t=595>. Acesso em: 25 fev. 2010.


LOPES, Paulo Afonso. Probabilidades e estatística. Rio de Janeiro: Ed. Reichman & Affonso Editores, 1999.


Anotações

Análise de variância

6Aula

1

2


Apresentação

Agora que você já compreendeu o conceito de hipótese estatística (Aula 4 - Elaborando hipóteses) e os testes estatísticos (Aula 5 - Testando hipóteses), poderemos fazer a análise de variância. Essa análise é fundamental para que se possa fazer a comparação

de médias. Por isso é importantíssimo que os conceitos apreendidos nas aulas anteriores estejam bem claros. Volte e estude essas aulas sempre que necessário.

Assim, nesta aula, iremos apresentar o conceito de fatores de variação, de variância, erros aleatórios e graus de liberdade. É com essas informações que você poderá realizar a análise das médias ou resultados obtidos nos experimentos e aplicar os testes estatísticos que foram apresentados na aula passada (Aula 5 - Testando hipóteses).

Com esses conhecimentos apreendidos, você deverá ser capaz de fazer uma avaliação de experimentos inteiramente casualizados e em blocos completos inteiramente casualizados em experimentos de Biologia.

ObjetivosConhecer os conceitos de fatores de variação, graus de liberdade, fazer análise de variância de experimentos inteiramente casualizados e em blocos completos casualizados.

Compreender as situações onde se pode utilizar análise de variância corretamente.


Defi nindo análise de variânciaJá vimos na Aula 3 (Descrevendo sistemas) deste curso, os conceitos de variância e

como se fazer a sua estimativa. Essa medida (a variância) é uma peça fundamental em qualquer análise ou investigação científi ca, pois é essa análise da variância que permite a comparação de médias e, assim, verifi car se existe diferença signifi cativa entre elas ou não.

Além disso, para fazer uma análise de variância, devemos ter cuidado em respeitar algumas premissas básicas:

1) A resposta da variável que está sendo analisada deve ter uma distribuição normal.

2) Os tratamentos impostos, nos quais a resposta está sendo medida, devem apresentar variâncias iguais.

3) A aplicação dos tratamentos deve ser homogênea em todas as unidades experimentais.

4) A distribuição das unidades experimentais deve ser aleatorizada dentro da área experimental.

Se essas quatro premissas não forem cumpridas, a análise de variância não pode ser realizada. Você pode testar a normalidade dos dados utilizando as informações disponibilizadas na Aula 3 (Descrevendo sistemas) e Aula 5 (Testando hipóteses).

E quando os dados não têm distribuição normal ou apresentam variâncias diferentes?

Quando os dados não têm distribuição normal, eles podem ser analisados utilizando estatística não paramétrica. Todavia, esse tipo de análise não será apresentado neste curso. Já para as situações onde a variância é diferente, pode-se fazer uma transformação de variáveis. No entanto, para escolher como fazer a transformação adequada para cada situação, deve-se consultar um estatístico ou discutir com pesquisadores experientes nessa área de conhecimento.

Agora eu já sei calcular as variâncias, conheço as premissas básicas para sua análise... e agora, o que faço com essas informações?


Análise de variânciaQuando realizamos qualquer experimento ou coleta de dados, vários fatores interferem

juntos e ao mesmo tempo nos resultados. Tome, por exemplo, o seguinte experimento:

Um pesquisador deseja avaliar o peso ao nascer de bezerros num rebanho bovino da raça gir (Tabela 1).

Tabela 1 – Peso ao nascer de bezerro num rebanho bovino da raça gir

Número do bezerro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Peso ao nascer (kg ) 30 27 24 28 29 18 23 22 20 28

Observe que vários fatores podem estar interferindo no peso ao nascer dos bezerros. Entre as possíveis causas de variação podemos citar:

sexo da cria;

efeito da linhagem paterna;

peso e alimentação da mãe;

idade e número de partos da mãe;

época/estação de nascimento dos bezerros.

Algumas dessas fontes de variação podem ser agrupadas e controladas, outras não.

É por esse motivo que se deve fazer a análise de variância, para se conseguir isolar os fatores de variação impostos e controlados (os tratamentos) daqueles que são do acaso e não se pode controlar. Assim, você pode avaliar o efeito do que se quer medir (tratamento experimental) sobre a variável resposta e identifi car se existe ou não diferença estatística signifi cativa entre as médias obtidas nos resultados do experimento.

Para o exemplo da Tabela 1, os dados podem ser organizados em função do touro utilizado, ou do número de partos das vacas (matrizes) em primíparas ou multíparas etc...

Na análise de variância, podemos decompor os fatores de variação em, basicamente, dois tipos:

Controlados – São aqueles conhecidos “a priori” (antes de se iniciar o experimento) e que reconhecidamente têm efeito sobre a variável resposta que está sendo medida. Por esse motivo, seus efeitos são medidos e entram no modelo estatístico.

Aleatórias ou do acaso – São variáveis desconhecidas (que não podem ser controladas) e vão compor o erro experimental. Sempre que possível, deve-se minimizar a ação de variáveis aletórias e do erro experimental.

Diferença estatística signifi cativa

Indica a possibilidade de que o resultado encontrado no experimento seja igual ao existente na população.

Primíparas

Animais que só tiveram um parto

Multíparas

Animais que tiveram mais de um parto.

Atividade 1


Afi nal, é para isso que se faz planejamento de experimentos e se procura controlar a aplicação dos tratamentos.

Assim, conhecendo-se as fontes de variação do experimento pode-se aplicar o modelo estatístico adequado e fazer a contabilização dos resultados através da análise de variância. Para isso, os fatores de variação estudados são decompostos em função dos seus graus de liberdade e da soma de quadrados. Nesta aula, serão demonstradas tabelas de análise de variância em experimentos inteiramente casualizados e em blocos completos inteiramente casualizados.

a) Qual a diferença entre variância e análise de variância?

b) Quais as condições ou premissas para que um experimento possa ser avaliado utilizando análise de variância?

c) Proponha um experimento para medir a produção de frutas de uma área plantada com cajueiro e identifi que os fatores de variação controlados e os aleatórios.

d) Você quer avaliar o peso ao nascer de bezerros em um rebanho da raça gir. Assim, cite os possíveis fatores de variação que têm ação sobre essa variável resposta (peso dos bezerros ao nascer) e faça sua classifi cação em controlados e do acaso.

Graus de liberdade

É um estimador do número de categorias

independentes num teste particular ou

experiência estatística. Encontram-se mediante a fórmula n – 1, onde n é o número de elementos correspondente ao fator de variação na amostra.


Experimentos com delineamento inteiramente casualizado

Um experimento tem delineamento inteiramente casualizado quando a variável resposta só sofre ação dos tratamentos impostos e do acaso.

Esse é o delineamento experimental mais simples e por isso mesmo o mais forte, que minimiza o erro experimental em relação aos tratamentos. Nesse tipo de delineamento os tratamentos se distribuem ao acaso em todas as unidades experimentais e o número de repetições por tratamento pode ser igual ou diferente, que não resultará em alterações na análise. O delineamento inteiramente casualizado é muito útil para o estudo de métodos e técnicas de trabalho de laboratório, que normalmente têm condições uniformes.

Exercício resolvido 1Um pesquisador deseja avaliar 10 progênies de eucalipto (Eucalyptus saligna) em um

experimento inteiramente casualizado, com quatro repetições cada (Tabela 2).

Tabela 2 – Dados médios do diâmetro a altura do peito (DAP) de parcelas de um experimento de competição de 10 progênies de eucalipto (Eucalyptus saligna), em centímetros

Progênies P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Total

16,0 14,3 14,7 13,6 11,6 11,0 13,1 10,3 8,5 8,2

16,4 14,5 15,6 13,1 10,5 15,0 10,3 13,2 8,6 8,4

14,1 13,8 11,6 14,7 15,9 10,7 14,3 10,2 9,5 9,3

11,7 14,6 15,0 15,1 14,0 13,0 10,5 13,0 9,4 9,2

Total 58,258,2 57,257,2 56,956,9 56,556,5 52,052,0 49,749,7 48,248,2 46,746,7 36,036,0 35,135,1 496,5496,5

Diâmetro aaltura do peito

A medição do diâmetro da árvore deve ser feita a uma altura de 1,30 metro do solo.

Progênies

O teste de progênie avalia os pais pela comparação do desempenho das suas descendências.


Solução

1) Observar quais os fatores que podem infl uenciar as variáveis.

Nesse caso, temos o valor genético da planta mãe como melhoradora (o que se deseja avaliar), o solo, o clima, possíveis infestações de insetos ou doenças nas raízes, água etc.

Certamente a minha variável resposta medida (o DAP) vai sofrer a interferência de todos esses fatores e outros tantos mais que são do acaso e não se pode controlar.

Todavia, neste exemplo, o fator de variação que se quer testar é a progênie, e esse é devidamente controlado. Os demais são do acaso. Nesse caso, como é um experimento inteiramente casualizado este deve ser conduzido numa área plana, onde não há variação de tipo de solo e de umidade em nenhum local do terreno.

2) Observar as condições expressas no método estatístico e formular as hipóteses que serão testadas (Aula 4 – Elaborando hipóteses). São elas:

H0: Não existe diferença entre as médias de DAP nas 10 progênies avaliadas.

H1: Pelo menos uma das 10 progênies avaliadas difere das demais.

3) Escolher o teste mais adequado.

Nesse caso, utilizaremos o teste de Tukey, que minimiza erro tipo II (Aula 5 – Testando hipóteses).

4) Observar se os dados têm distribuição normal.

Isso pode ser realizado fazendo um gráfi co com todos os dados, que deverá ter formato de sino e/ou testando a variância. Para o caso analisado, os dados obedecem a essas duas condições.

5) Observando os fatores de variação analisados, você verá que a única diferença entre os tratamentos é a Progênie (P), que vai de 1 a 10.

Como o número de graus de liberdade (GL) é medido pela fórmula: GL = n – 1, onde n = número de parâmetros do fator de variação. O GL da Progênie será:

GLProgênie = 10 – 1 = 9.

6) Determine o total de parcelas e o grau de liberdade total.

O total de parcelas do experimento é de 40 (10 Progênies × 4 repetições cada). Assim, o GL total será:

GLTotal = 40 – 1 = 39

7) Calcule o grau de liberdade do erro.

O GL do erro é calculado pela diferença entre o GLTotal e o GLProgênie que será:

GLErro = 39 – 9 = 30


8) Complete o quadro de análise de variância (ANAVA):

Fator de variação GL SQ QM Valor de F calculado Nível de signifi cância

Progênie 9

Erro 30

Total 39

SQ e QM signifi cam, respectivamente, Soma de Quadrados e Quadrado Médio do Erro, que corresponde a variância.

9) Determine a Soma de Quadrados Total, dos Tratamentos e do Erro Experimental. Para isso, você deve calcular o Fator de Correção e, em seguida, a Soma de Quadrados Total, a dos Tratamentos e a do Erro, nessa ordem.

a) Calcule o Fator de Correção (C ), que deve ser utilizado no cálculo da Soma de Quadrados Total (SQT) e Soma de Quadrados dos Tratamentos (SQTrat)

C =∑

X2

n=

(496,5)2

40= 6.162,80

b) A Soma dos Quadrados Total (SQT ) corresponde à variância total do experimento, e é calculada utilizando-se a seguinte fórmula:

SQTotal =∑

X2 − C = 6401,35− 6162,41 = 238,54, onde∑x2 = 162 + 16,42 + . . . + 14,32 + 152 . . . + 9,22 = 6401,35

E “C ” é o fator de correção já calculado anteriormente, 6162,80.

c) A Soma dos Quadrados dos Tratamentos (SQTrat ) permite isolar e quantifi car a variância relacionada aos tratamentos.

SQTrat =∑

Xtrat2

r− C

Onde:

∑

Xtrat2 é calculado pela soma de quadrados dos tratamentos, utilizando a seguinte

fórmula:∑Xtrat2 = (58,20)2 + (57,2)2 + (56,9)2 + (56,5)2 + (52,0)2 + (49,7)2 + (48,2)2+

+(46,7)2 + (36,0)2 + (35,1)2∑Xtrat2 = 25295,17

O valor de “r” é dado pelo número de repetições de cada tratamento. Para este exemplo, o valor de “r” será 4, pois foram utilizadas quatro repetições por cada tratamento (Progênie).

O “C ” é o Fator de Correção (6126,41), é o mesmo que já foi calculado anteriormente para a SQTotal.

Daí:

SQTrat =∑

Xtrat2

r− C =

25295,174

− 6162,41 = 6323,79− 6162,41 = 160,98

ANAVA

Você pode encontrar como sinônimo de ANAVA, o acrônimo ANOVA, originado do termo em inglês “Analysis of Variance” cuja tradução é Análise de Variância.

Fórmula

Os dados apresentados no desenvolvimento correspondem a soma de todos os valores da Tabela 2 (Dados médios do diâmetro a altura do peito (DAP) de parcelas de um experimento de competição de 10 progênies de eucalipto (Eucalyptus saligna), em centímetros) elevados ao quadrado.


d) Soma dos Quadrados do Erro (SQErro)

A Soma dos Quadrados do Erro (SQErro) é calculada pela diferença entre a SQTotal e o SQTrat. Assim teremos:

SQErro = SQTotal – SQTrat

Como o SQTotal = 238,54 e o SQTrat = 160,98; teremos:

SQErro = SQTotal – SQTrat

SQErro = 238,54 – 160,38

SQErro = 77,56

10) De posse dessas informações, podemos preencher outra coluna da tabela de ANAVA deste experimento:

Fator de variação GL SQ QM Valor de F calculado Nível de signifi cânciaProgênie 9 160,98

Erro 30 77,56

Total 39 238,54

11) Determine os valores dos Quadrados Médios (QM).

O valor do Quadrado Médio é calculado dividindo-se a SQ pelo respectivo GL. Não se calcula o valor de QMTotal, pois este não terá utilidade. Assim teremos:

Para a Progênie

QMProgenie =160,98

9= 17,89

QMErro =77,5630

= 2,59

12) Calcular o valor de F.

Este é obtido pela razão entre o QMProgênie e QMErro:

FCalculado =QMProgenie

QMErro=

17,892,59

= 6,91

13) Assim, a nossa tabela de ANAVA fi cará da seguinte forma:

Fator de variação GL SQ QM Valor de F calculado Nível de signifi cânciaProgênie 9 160,98 17,89 6,91 1%

Erro 30 77,56 2,59 -------- --------

Total 39 238,54 -------- --------- ---------

14) Como o valor de F calculado é maior que o tabelado a 1% ,que é 3,07, (anexo A) diz-se que o resultado do experimento é signifi cativo a 1% de probabilidade. Ou seja, existe 99% de possibilidade de o que ocorreu no experimento ser verdade e acontecer na população.

15) Como o valor de F calculado é signifi cativo, esse resultado indica que existe diferença entre as médias avaliadas. Assim, com essa informação você pode rejeitar H0 e aceitar H1. Fo

nte:

Pim

ente

l-Gom

es e

Gar

cia

(200

2).


Bom, agora você já sabe que existe diferença entre pelo menos uma das médias dos tratamentos. Entretanto, o teste F (Valor de F calculado) não indica qual dos 10 tratamentos avaliados tem média diferente. Assim, você precisa calcular a diferença mínima signifi cativa utilizando o teste de Tukey, que já havia sido previamente escolhido.

Para isto, você deve:

1) Pegar os valores tabelados na tabela de amplitude estudentizada (anexo B) para o teste de Tukey a 5% para 10 graus de liberdade da fonte testada (tratamento) e 30 graus de liberdade do erro, que é 4,82.

O cálculo da diferença mínima signifi cativa (DMS) é obtido da seguinte fórmula:

DMS = q(10 : 30)√

QMErro√r

= 4,82√

2,59√4

= 3,88 cm

2) Em seguida, você deve listar (organizar) os resultados (as médias) dos tratamentos, de forma decrescente (da maior para a menor), como na tabela abaixo:

P1 14,55

P2 14,30

P3 14,23

P4 14,13

P5 13,00

P6 12,43

P7 12,05

P8 11,68

P9 9,00

P10 8,78

3) Após isso, calcule a diferença entre a maior média (14,55) e a DMS (3,88). O resultado obtido foi 10,67. Assim, todas as médias contidas no intervalo entre 14,55 cm e 10,67 cm, são iguais entre si e receberam a mesma letra.

4) Em seguida, repita a operação com a segunda média mais alta e realize o mesmo processo, até que você não encontre mais diferença estatística signifi cativa entre as médias.

Utilizando os resultados dessa ANAVA, você terá o seguinte resultado, da comparação de médias:

P1 14,55ªP2 14,30ªP3 14,23ªP4 14,13ªP5 13,00ªP6 12,43ªb

P7 12,05ªb

P8 11,68ªb

P9 9,00b

P10 8,78b

Atividade 2

1

2


Assim, como letras iguais indicam que as médias não diferem entre si, você pode identifi car que as médias P1, P2, P3, P4 e P5 ( a) são estatisticamente diferentes da P9 e P10 (b).

Vamos aplicar o conceito de análise de variância em experimentos inteiramente casualizados?

Planeje um experimento com delineamento inteiramente casualizado, para testar o efeito de 5 fontes de adubação nitrogenada sobre a produção de milho, usando 4 repetições para cada tratamento.

Num experimento inteiramente casualizado com 5 tratamentos e 4 repetições, estudou-se o efeito de 5 carrapaticidas (tratamentos) no controle de carrapatos em bovinos. Analisando- se o número de carrapatos que cairam por animal, obtiveram-se as seguintes somas de quadrados: S.Q. Tratamentos = 41,08 e S.Q. Total = 57,46.

De posse dessas informações, estabeleça as hipóteses estatísticas H0 e H1 e monte o quadro de análise de variância desse experimento realizado inclusive o valor calculado de F.

3


Os dados da Tabela 3 se referem a produções de matéria seca de cultivares de sorgo em t/ha . Utilizando este conjunto de dados estabeleça as hipóteses estatísticas H0

e H1, monte o quadro de análise de variância desse experimento, calcule o valor de F e diga se existe diferença estatística signifi cativa entre os tratamentos.

Tabela 3 – Produções de matéria seca de cultivares de sorgo em t/ha

CULTIVARREPETIÇÕES

1 2 3 4 5 6

A 10,27 11,55 11,68 11,38 11,20 11,24

B 9,77 9,96 10,18 11,94 10,43 10,49

C 9,86 9,59 9,99 10,43 9,85 10,03

D 21,22 20,62 22,33 19,89 21 20,78

E 20,20 20,55 22,12 20,78 20,90 20,92

E os experimentos em blocos completos inteiramente casualizados?

Antes de defi nir esse tipo de delineamento experimental, vamos refl etir sobre o efeito de fatores de variação parcialmente controlados. Por exemplo:

1) Suponha que você quer montar um experimento no campo e observa que existe um desnível na área, que pode favorecer o acúmulo de água e afetar (benefi ciar ou prejudicar) os tratamentos que forem colocados lá.

2) Você planeja fazer um experimento no laboratório, e observa que existe uma parte do laboratório que recebe insolação direta, através de uma janela. E, isso também pode interferir no seu tratamento experimental.

FONTE DE VARIAÇÃO NÃO INTENCIONAL


E agora, o que fazer? Bom, você pode conseguir outras áreas que permitam instalar todo o experimento num delineamento inteiramente casualizado (Figura 1).

Outra alternativa indicada para essa situação é organizar todos os tratamentos impostos de modo que eles recebam o efeito desses fatores de variação parcialmente controlados (aqui citados o desnível do terreno e a insolação) de forma uniforme para todos (Figura 2). Assim, você não estaria benefi ciando ou prejudicando nenhum e controlando parcialmente esses fatores de variação.

É a esse tipo de delineamento que denominamos blocos completos inteiramente casualizados. Nesse caso, cada bloco deverá conter uma repetição de cada um dos tratamentos experimentais, distribuídos aleatoriamente.

Desse modo, os blocos podem ser convencionados como um fator de variação que ocorre em uma só direção e é perpendicular à disposição dos tratamentos.

Figura 1 – Delineamento inteiramente casualizado

Figura 2 – Delineamento em blocos completos inteiramente casualizados


Nesse tipo de delineamento experimental, uma parte da Soma de Quadrados do Erro Experimental é transferida para testar o efeito dos blocos sobre as médias. Por outro lado, possibilita a uniformização da aplicação dos tratamentos.

Um exemplo prático desse tipo de situação é dado ao se tentar implantar um experimento numa área que tem uma determinada declividade que favorece o acúmulo de água. Isso pode benefi ciar ou prejudicar a produção ou os tratamentos experimentais que se localizem nessa área.

Exercício resolvido 2Para este exemplo, vamos utilizar o mesmo experimento da avaliação de progênies de

eucalipto utilizada para o exemplo de delineamento inteiramente casualizado, com uma pequena alteração: todas as linhas constituirão blocos. Assim, o nosso conjunto de dados fi caria da seguinte forma:

Progênies P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Total

Bloco 1 16,0 14,3 14,7 13,6 11,6 11,0 13,1 10,3 8,5 8,2 121,3121,3

Bloco 2 16,4 14,5 15,6 13,1 10,5 15,0 10,3 13,2 8,6 8,4 125,6125,6

Bloco 3 14,1 13,8 11,6 14,7 15,9 10,7 14,3 10,2 9,5 9,3 124,1124,1

Bloco 4 11,7 14,6 15,0 15,1 14,0 13,0 10,5 13,0 9,4 9,2 125,5125,5

Total 58,258,2 57,257,2 56,956,9 56,556,5 52,052,0 49,749,7 48,248,2 46,746,7 36,036,0 35,135,1 496,5496,5

Assim, o quadro da análise de variância (ANAVA) será:


Progênie 9

Bloco 3

Erro 2727

Total 39

SQ e QM signifi cam, respectivamente, Soma de Quadrados e Quadrado Médio do Erro, que corresponde à variância.

2727

Observe que o valor dos Graus de Liberdade do Erro no quadro da ANAVA 27 da análise em blocos completos é menor que no inteiramente casualizado (30). Essa diferença, corresponde justamente ao número de blocos (4) menos 1.

Solução

1) Inicialmente, deve-se calcular o Fator de Correção (C ) do experimento, utilizando a seguinte fórmula:

C =∑

X2

n=

(496,5)2

40= 6.162,80

2) A Soma de Quadrados do Experimento (SQ Total) é calculada da mesma forma que para delineamentos inteiramente casualizados:


SQTotal =∑

X2 − C = 6401,35− 6162,41 = 238,54, onde∑

x2 = 162 + 16,42 + . . . + 14,32 + 152 . . . + 9,22 = 6401,35

E “C” é o fator de correção já calculado anteriormente, 6162,80.

3) A Soma de Quadrados da Progênie (SQTrat) também é calculada de forma semelhante ao delineamento interiamente casualizado. Assim teremos:

SQTrat =∑

Xtrat2

r− C

onde: ∑Xtrat2 = (58,20)2 + (57,2)2 + (56,9)2 + (56,5)2 + (52,0)2 + (49,7)2 + (48,2)2+

+(46,7)2 + (36,0)2 + (35,1)2∑Xtrat2 = 25295,17

“C ” é o Fator de Correção anteriormente calculado (6162,41).

Assim, o SQTrat será:

SQTrat =∑

Xtrat2

r− C =

25295,174

− 6162,41 = 6323,79− 6162,41 = 160,98

4) A Soma de Quadrados dos Blocos (SQBloco) permite quantifi car a variância dos blocos, e é calculada da seguinte forma:

SQBloco =∑

XBloco2

k− C

Onde, ∑XBloco2 é o somatório ao quadrado dos valores de cada bloco

“k” é o número de blocos

C é o Fator de Correção, já calculado.

Assim, teremos o seguinte cálculo:

SQBloco =∑

XBloco2

k− C =

61640,1110

− 6162,41 = 6164,11− 6162,41 = 1,61

5) A Soma de Quadrados do Erro (SQErro) é calculada pela diferença:

SQErro = SQTotal – SQBloco – SQTrat

SQErro = 238,54 – 1,60 – 160,38 = 76,56

Observe que o conjunto de dados foi o mesmo do Exercício Resolvido 1, entretanto o valor da SQErro foi menor. Isso se deve ao fato de que parte do erro experimental


foi transferida para os blocos, a fi m de quantifi car o efeito dessa fonte de variação sobre o experimento.

6) Agora, de posse dessas informações, podemos preencher outra coluna da tabela de ANAVA desse experimento:


Progênie 9 160,98

Bloco 3 1,61

Erro 27 76,56

Total 39 238,54

7) Em seguida, devemos calcular os valores dos Quadrados Médios:

O valor do Quadrado Médio é calculado dividindo-se o SQ pelo respectivo GL.

Não se calcula o valor do QMTotal, pois este não terá mais utilidade para a análise do experimento. Assim teremos para:

QMProgenie =160,98

9= 17,89

QMBloco =1,613

= 0,53

QMErro =76,5627

= 2,84

8) Calcular o valor de F calculado pela razão entre o QMProgênie e QMErro:

FCalculado =QMProgenie

QMErro=

17,892,84

= 6,28

9) Assim, a nossa tabela de ANAVA fi cará da seguinte forma:


Progênie 9 160,98 17,89 6,28 1%

Bloco 3 1,61 0,54 -------- --------

Erro 27 76,56 2,59 ---------- ----------

Total 39 238,54 ---------- ---------- ----------

10) Como o valor de F calculado também é maior que o tabelado a 1%

(que é 3,07) diz-se que o resultado do experimento é signifi cativo a 1% de probabilidade. Todavia, observe que houve redução no valor de F calculado.

11) No mais, os resultados continuam iguais aos do experimento anterior e você obtém a mesma resposta: as médias P1, P2, P3, P4 e P5 são estatisticamente diferentes da P9 e P10.

Atividade 3

1


Outros tipos de delineamento experimental e arranjo estatístico

Além do delineamento inteiramente casualizado e em blocos completos, existe também o delineamento em quadrado latino.

Nesse caso, os fatores de variação atuam no experimento em dois sentidos (perpendicular e paralelo) em relação à área experimental. Para trabalhar com esse tipo de delineamento experimental e os arranjos estatísticos em fatorial e parcela subdividida, recomenda-se consulta a um estatístico para defi nir a melhor forma de análise e o número mínimo de repetições de cada tratamento.

Vamos agora aplicar o conceito de análise de variância e resolver alguns exercícios realizando a Atividade 3?

Quais são as características de um delineamento em blocos casualizados? E quais as vantagens e desvantagens em sua aplicação?

2

3


Em um experimento planejado para verifi car o efeito de alguns porta-enxertos para citros no desenvolvimento da laranjeira pera, Mourão Filho ensaiou várias medidas, como a altura das árvores, volume da copa, diâmetro do tronco, produção de frutos etc. Foram utilizados 5 porta-enxertos, divididos em quatro blocos, pois o ambiente utilizado para o experimento apresentava pequenas variações de insolação. Os porta-enxertos utilizados foram:

T1 = limoeiro cravo T4 = laranjeira caipira

T2 = laranjeira trifoliata T5 = tangerineira cleópatra

T3 = limoeiro volkamericano

A variável que estudaremos será o número médio de frutos por pé nas parcelas. Os dados se encontram na tabela a seguir.

Tabela 4 – Número médio de frutos de laranjeira pera enxertada sobre 5 porta-enxertos

CultivarRepetições

B1 B2 B3 B4

T1 143,25 224,25 211,50 231,50

T2 106,25 185,00 161,25 157,25

T3 110,75 85,00 109,50 94,50

T4 318,75 297,50 289,50 376,25

T5 274,25 281,00 297,75 305,75

Planeje um experimento para comparar três fórmulas de adubação no crescimento de Pinus, supondo que você dispõe de um terreno heterogêneo que deve ser dividido em cinco blocos. Faça o croqui da área.


Com base nessas informações:

a) Identifi que os itens a seguir: o fator; níveis; variável resposta; unidade de análise; número de repetições; número de ensaios.

b) Quais as hipóteses a serem testadas sobre o experimento. Faça a tabela de análise de variância e interprete.

Resumo


Nesta aula, você aprendeu o conceito de análise de variância e viu também como ela é fundamental para que se possa fazer a comparação de médias. Você viu o conceito de fatores de variação, de variância, erros aleatórios e graus de liberdade, conceitos essenciais para realizar a análise das médias ou resultados obtidos nos experimentos. Em seguida, você aprendeu como aplicar os testes estatísticos e foi capaz de fazer uma avaliação de experimentos inteiramente casualizados e em blocos completos inteiramente casualizados em experimentos de Biologia.

c) Aplique o teste de comparação de Tukey ao nível de 5% de signifi cância para as médias dos tratamentos do experimento do exercício anterior, e interprete os resultados.


AutoavaliaçãoUm estudo sobre adubação nitrogenada na cultura do arroz irrigado testou quatro formas de aplicação desse macronutriente: A1 = 80 kg/ha no plantio; A2 = 40 kg/ha no plantio e 40 kg/ha 40 dias após a emergência (DAE);A3 = 13,2 kg/ha no plantio e 66,8 kg/ha aos 40 DAE ; e A4 = 13,2 kg/ha no plantio e 33,4 kg/ha aos 40 e aos 60 DAE. O experimento tinha oito repetições, e os dados de produção de grãos em kg/ha estão na tabela a seguir.

Tabela 5 – Dados de produção de arroz irrigado, em kg/ha, no delineamento inteiramente casualizado, com quatro tratamentos e oito repetições

TratamentosRepetições

1 2 3 4 5 6 7 8

A1 6.276 6.035 6.086 5.594 6.321 6.746 5.751 6.191

A2 7.199 6.890 6.586 7.149 6.657 6.210 6.128 6.393

A3 6.457 6.174 6.612 6.087 5.797 5.865 6.498 6.486

A4 7.202 7.173 7.169 6.590 6.444 6.740 6.370 7.270

Utilizando os dados da tabela acima, faça uma análise estatística completa (estatística descritiva, teste de normalidade, ANAVA e teste de comparação de médias) e estabeleça conclusões ao nível de 5% de signifi cância.

Anotações


Referências CALLEGARI-JACQUES, Sídia M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Ed. Artmed, 2003.

PIMENTEL-GOMES, F.; GARCIA, C. H. Estatística aplicada a experimentos agronômicos e fl orestais: exposição com exemplos e orientações para uso de aplicativos. Biblioteca de ciências agrárias Luiz de Queiroz. Piracicaba: FEALQ, 2002. v 1.


VIEIRA, Sonia. Introdução à Bioestatística. Rio de Janeiro: Ed. Campus, 1980.

Anotações



ANEXO A –

Valores de amplitude total estudentizada (q) para uso no teste de Tukey a nível de 1%1% de probabilidade

Fonte: Pimentel-Gomes e Garcia (2002, p. 293).


ANEXO B –

Valores de amplitude total estudentizada (q) para uso no teste de Tukey a nível de 5%5% de probabilidade

Fonte: Pimentel-Gomes e Garcia (2002, p. 291).


Anotações

Correlacionando informações

7Aula

1

2

3


ApresentaçãoAvaliar se existe associação entre duas características quantitativas é o objetivo de

vários estudos em Biologia, e para isto, são realizadas análises de correlação. Nesta aula, iremos compreender a importância, a defi nição e quais os tipos de correlação existentes entre duas variáveis.

Veremos também os métodos utilizados para avaliar a existência de correlação entre variáveis: o diagrama de dispersão e o coefi ciente de correlação. Aprenderemos como construir um diagrama de dispersão e como calcular o coefi ciente de correlação. Na aula, também existem exercícios resolvidos e não resolvidos, para que você teste os conhecimentos adquiridos.

Boa aula!

ObjetivosDefi nir o conceito de correlação entre variáveis.

Distinguir os métodos utilizados para avaliar a existência de correlação entre duas variáveis.

Construir um diagrama de dispersão e calcular o coefi ciente de correlação entre as variáveis.


Relacionando duas características

No nosso dia a dia, quer no trabalho, na escola ou em casa, temos o costume de relacionar alguns fatos que presenciamos. Por exemplo: Será que há relação entre o número de horas que me dedico aos estudos e minha nota fi nal? Será que há relação entre o ato de beber água depois das refeições e o aumento de peso?

Relacionar

Fazer relação. Estabelecer vínculo entre coisas

diferentes.

Font

e: <

http

://es

cola

prof

.fi le

s.w

ordp

ress

.com

/200

9/03

/com

puta

dor.j

pg>.

Ac

esso

em

: 31

mar

. 201

0.

Todos estes questionamentos se referem ao querer saber se há relação entre uma variável, que podemos chamá-la de x (por exemplo, número de horas na frente do computador) e outra variável que podemos chamá-la de y (por exemplo, dor de cabeça).

Em sistemas biológicos não é diferenteEm estudos de sistemas biológicos, é comum vermos os pesquisados avaliando a

existência de relação entre duas variáveis de interesse.

Por exemplo: Um biólogo pode estar interessado em saber se há relação entre a quantidade de chumbo medida na água e o volume de dejetos (ou de esgoto) despejados em um rio.

Quando se pode demonstrar que existe relação ou associação entre duas variáveis quantitativas, isto é, quando se constata que elas variam juntas, diz-se que as variáveis estão correlacionadas.

Assim, podemos defi nir correlação como o estudo do comportamento conjunto de duas variáveis.

Atividade 1


Mesmo sem dispor de dados, que tipo de relação você acha que existe entre as situações abaixo:

1) Intensidade luminosa de uma planta e seu desenvolvimento.

2) Qualidade da alimentação e o nível de colesterol no sangue.

3) Quantidade de água parada e o desenvolvimento das larvas do mosquito da dengue.

4) Reclamação de clientes e a qualidade do produto.

5) Popularidade de um governo e indicadores econômicos.


Como avaliamos a correlação entre duas variáveis?

Para avaliar a correlação entre duas variáveis, inicialmente apresentamos os dados em forma de um gráfi co de pontos, denominado diagrama de pontos ou diagrama de dispersão. Este diagrama permite visualizar a relação entre as duas variáveis.

Mas como podemos construir esse diagrama?

A resposta é simples: Vamos tomar como exemplo as informações sobre a altura dos alunos do segundo semestre do curso de Ciências Biológicas que utilizamos na Aula 1 (O que é Bioestatística) e acrescentar mais uma variável a ser medida: o peso destes alunos.

Assim, para construir um diagrama de dispersão você deve:

1) Coletar os dados das variáveis x e y que pretende correlacionar. No nosso exemplo, podemos chamar de variável x a altura dos alunos e de variável y, o peso dos mesmos, conforme podemos visualizar na tabela abaixo.

Tabela 1– Altura (m) e peso (Kg) dos alunos do segundo semestre do Curso de Ciências Biológicas

Altura dos alunos do segundo semestre Peso dos alunos do segundo semestre1,67 56,0

1,87 89,2

1,88 90,6

1,89 93,6

1,78 60,5

1,89 91,4

1,9 95,8

1,76 62,4

1,94 95,0

1,95 99,0

2) Em seguida, você deve traçar um sistema de eixos cartesianos, representando uma variável em cada eixo, ou seja, a variável que chamamos de x, a altura dos alunos, deve ser colocada no eixo X e a variável que chamamos de y, o peso dos alunos, deve ser colocada no eixo Y. Caso você não se lembre como se constrói um gráfi co com eixo X e Y, volte às Aulas 5 (Dados quantitativos: como organizá-los?) e 6 (Distribuição de freqüências: apresentação gráfi ca) da disciplina de Matemática e Realidade.

3) O próximo passo é marcar pontos nesse gráfi co, de modo que, para cada valor de x, você tenha um valor de y correspondente. Por exemplo: se pela nossa tabela x for 1,67m, y será 56kg. Isso deve ser feito para todos os dados disponíveis na tabela.

4) Note que, ao ir acrescentando os dados de x e y, teremos pontos específi cos no gráfi co representando estes pares de dados (altura e peso).

5) Na sequência, escreva os nomes das variáveis nos respectivos eixos, bem como o título do diagrama. E está pronto o nosso diagrama de dispersão.

Altura (m) e peso (Kg) dos alunos do segundo semestre de Biologia

1,6

0

20

40

60

80

100

Peso

(Kg)

Altura(m)

120

1,7 1,8 1,9 2

Coletar os dados das variáveisque deseja estudar

Traçar um gráfico com eixos cartesianos(X e Y), representando uma variável em cada eixo

Escrever os nomes das variáveis nos seus respectivos eixos

Fazer um ponto que represente cada par de valores X e Y

Escrever o título e se for o caso,complementar com uma legenda


Figura 1– Altura (m) e peso (Kg) dos alunos do segundo semestre do Curso de Ciências Biológicas

Entretanto, você deve notar que, o diagrama acima representado foi feito em computador, utilizando a planilha eletrônica no Excel. Para você fazer esse mesmo diagrama utilizando papel milimetrado, você deve seguir os passos representados no esquema a seguir (Figura 2).

ImportantePara desenhar o diagrama de dispersão, escolha as escalas de tal maneira que a fi gura pareça quadrada. Este cuidado ajuda a obter melhor visão da associação entre as variáveis.

Figura 2 – Sequência de procedimentos para a construção de um diagrama de dispersão em papel milimetrado

Atividade 2


Utilizando os dados da Tabela 2, faça um diagrama de dispersão no papel milimetrado a seguir e repita o mesmo exercício fazendo-o em planilha eletrônica do Excel ou Calc.

Tabela 2 – Quantidade de lixo (m3) produzida de acordo com o número de dormitórios das residências

Número de dormitórios Volume de lixo

1 1

2 3

3 6

4 8

Papel milimetrado para a construção do diagrama de dispersão:

Mas como interpretar o diagrama de dispersão?Para isso, você deve observar a direção dos pontos.

Note que, no nosso exemplo, à medida que aumenta a altura dos alunos, aumenta também o peso dos mesmos. Nesse caso, podemos afi rmar que as variáveis altura e peso estão correlacionadas e, à medida que uma aumenta, a outra aumenta também. Assim, podemos dizer que estas variáveis apresentam correlação positiva.

Diagramas de dispersão que mostram correlação positiva entre as variáveis

Diagramas de dispersão que mostram correlação negativa entre as variáveis

Correlação fraca Correlação forte Correlação perfeita

Correlação fraca Correlação forte Correlação perfeita

Diagrama de dispersão que mostra correlação nula entre as variáveis


Se tivéssemos um comportamento diferente, ou seja, à medida que aumenta a altura dos alunos, diminui o peso, mesmo assim teríamos uma correlação entre as variáveis, porém esta seria uma correlação negativa.

Se não houvesse nenhuma relação entre a altura dos alunos e o peso, não teríamos correlação entre as variáveis, ou seja, sem correlação.

Quando além de observarmos a direção dos pontos, também observamos sua dispersão, podemos ter mais dois outros subtipos de correlações positivas e negativas:

Correlação forte: Quando há menor dispersão dos pontos.

Correlação fraca: Quando há maior dispersão dos pontos.

Correlação perfeita: Quando não há dispersão dos pontos (formam uma linha).

Estes tipos de comportamentos entre as variáveis quando analisadas do ponto de vista da direção e dispersão dos pontos podem ser ilustrados pelas fi guras abaixo:

Figura 3 – Diagramas de dispersãoFonte: <www.lugli.org/2008/02/diagrama-de-dispersao/>. Acesso em: 31 mar. 2010.

Atividade 3

08

10

12

14

16

18

20

22

24

26

100 200 300 400

Méd

ia d

a ta

xa d

e m

orta

lidad

e pa

ra

o se

xo F

emin

ino

(100000

pes

soas

ano

)

Consumo médio de Vegetais (gr/pessoas/dia)

00

10

20

30

40

50

60

100 200 300

Dia

s de

Sob

revi

vênc

ia

Peso Inicial da Fêmea (mg)


De acordo com as fi guras abaixo, classifi que as correlações em positivas e negativas e em fortes, fracas e perfeitas.

1) Relação entre o consumo médio de vegetais e a taxa de mortalidade para o sexo feminino.

Fonte: <http://www.scielo.br/img/revistas/rsp/v9n3/09f2.gif>.

Acesso em: 31 mar. 2010.

Fonte: <stat2.med.up.pt/cursop/glossario/rregressao.html>. Acesso em: 31 mar. 2010.

2) Relação entre peso inicial das vacas com os dias de sobrevida quando submetidas a jejum.

N. de Sementes vs. SST

C1C1AC1BC1CC1DC2C2AC2BC2CC2DC3C3AC3BC3CC3D

Sementes

SST

7,0

6,6

6,2

5,8

5,4

5,0

4,65 6 7 8 9 10 11 12 13 14


3) Média do número de sementes e a quantidade de sólidos solúveis totais de carambolas.

Fonte: <http://www.scielo.br/img/fbpe/sa/v58n1/a15fi g02.gif>.

Acesso em: 31 mar. 2010.

Há outra maneira de avaliar a correlação entre duas variáveis?

Sim. Além do diagrama de dispersão, há outro método para avaliar a correlação entre duas variáveis, e este é feito através do cálculo do Coefi ciente de Correlação.

O coefi ciente de correlação é uma medida do grau de associação entre duas variáveis e sua fórmula de cálculo foi proposta por Karl Pearson em 1896. Por este motivo, ele também é conhecido como Coefi ciente de Correlação de Pearson (r) e pode ser obtido através da fórmula:

Onde:

∑xy = Somatório dos valores de x vezes os valores de y;

∑x = Somatório dos valores de x;

∑y = Somatório dos valores de y;

∑x2 = Somatório de x ao quadrado;

(∑x)2 = Somatório de x vezes somatório de x ;

∑x 2 = Somatório de y ao quadrado;

∑y 2 = Somatório de y vezes somatório de y ;

n = números de amostras.

r =

∑xy −

∑x−∑

y

n√√√√[∑x2 −

( ∑x)2

n

]·[∑

y2 −( ∑

y)2

n

]


Importante

O valor de r varia entre –1 e +1:

Se r = 1, diz-se que as duas variáveis têm correlação perfeita positiva.Se r = –1, diz-se que as duas variáveis têm correlação perfeita negativa.Se r = 0, diz-se que não existe correlação entre as variáveis, ou seja, correlação nula.

Para entender como se aplica a fórmula para calcular o valor de r, observe o Exercício Resolvido 1.

Exercício Resolvido 1A Tabela 3 ilustra a taxa de mortalidade infantil e a taxa de analfabetismo no Brasil,

de acordo com cada região brasileira. Utilizando a fórmula acima, calcule o coefi ciente de correlação r e interprete a correlação entre as variáveis.

Tabela 3 – Taxa de mortalidade infantil e taxa de analfabetismo no Brasil, segundo cada região

Região Taxa de mortalidade Taxa de analfabetismo

Norte 35,6 12,7

Nordeste 59 29,4

Sudeste 25,2 8,6

Sul 22,5 8,3

Centro-Oeste 25,4 12,4

Resolução

1) O primeiro passo é determinar qual variável representará a letra x e qual representará a letra y. Nesse caso, vamos escolher x para a taxa de mortalidade e y para a taxa de analfabetismo.

2) Em seguida, devemos calcular os valores de x2, y2, xy, (∑x)2 e (∑y)2, pedidos na fórmula. Assim temos:

X (mortalidade) Y (analfabetismo)x2

(mortalidade ao quadrado)

y2

(analfabetismo ao quadrado)

xy(mortalidade vezes

analfabetismo)

35,6 12,7 1267,36 161,29 452,12

59 29,4 3481 864,36 1734,6

25,2 8,6 635,04 73,96 216,72

22,5 8,3 506,25 68,89 186,75

25,4 12,4 645,16 153,76 314,96

∑ 167,7 71,4 6534,81 1322,26 2905,15

(∑x)2 = 28123,29 (∑y)2 = 5097,96

Atividade 4


3) Depois de calculado os somatórios de x, y, x2, y2, xy,(∑x)2 e (∑y)2 (em destaque na tabela acima), é só colocar os valores na fórmula:

4) Para interpretarmos esse valor, devemos ter em mente que o valor de r varia entre –1 e +1. Se obtiver valores fora deste intervalo, pode ter certeza que você errou nos cálculos.

No caso do exercício acima, o valor de r, positivo e muito próximo de 1. Então, existe forte correlação positiva entre as variáveis. Isto signifi ca que ocorrem mais mortes de menores de um ano nas regiões em que existe maior número de analfabetos.

r =2905, 15− 167, 7 · 71, 4

5√[6534, 81− 28123, 29

5

]·[1322, 26− 5097, 96

5

]

Calcule o coefi ciente de correlação utilizando a fórmula de Pearson para os dados (hipotéticos) de um laboratório de hematologia apresentados na Tabela 4 e interprete a correlação entre as variáveis leucócitos e eritrócitos:

Tabela 4 – Resultados de exames hematológicos para leucócitos e eritrócitos

Leucócitos (mm3) Eritrócitos (mm3)

6.8 4.50

9.7 5.20

4.3 4.55

7.9 4.65

7.4 4.40

7.6 4.40

2.8 4.30

7.8 4.60

5.5 4.90

4.6 4.10

8.0 5.00

7.0 5.17

7.1 4.20

5.9 4.40

12.3 4.24

r = 0,9724

Resumo

1


Nesta aula, você aprendeu que duas variáveis podem ou não estar relacionadas ou associadas. Este é o conceito de correlação, ou seja, o estudo do comportamento conjunto entre duas variáveis. Estudou que as variáveis podem se comportar de várias maneiras, ou seja, apresentam diferentes tipos de correlação: correlação positiva, quando apresentam comportamento na mesma direção; correlação negativa, quando apresentam comportamento em direções opostas; e aquelas que não apresentam correlação. Você estudou também que as correlações podem ser fortes e fracas, de acordo com a dispersão de seus pontos. Você viu que a correlação pode ser obtida de duas maneiras: uma através da construção do diagrama de dispersão ou diagrama de pontos e a outra através do cálculo do coefi ciente de correlação. Aprendeu como construir um diagrama de dispersão em planilha eletrônica e em papel milimetrado e como calcular o coefi ciente de correlação, usando a fórmula desenvolvida por Pearson. Por fi m, você calculou o coefi ciente de correlação e interpretou a correlação existente entre as variáveis analisadas.

Autoavaliação

Teste os conhecimentos adquiridos na aula de hoje, conceituando os seguintes termos:

a) Correlação:

b) Tipos de correlação de acordo com a direção:


Faça uma pesquisa com 15 pessoas, podendo ser seus familiares, vizinhos e amigos e preencha a tabela abaixo:

Número de fi lhos Renda mensal (número de salários mínimos)

2 fi lhos 3 salários mínimos

Em seguida, usando os dados acima, calcule o coefi ciente de correlação, usando a fórmula de Pearson e interprete os resultados.

c) Tipos de correlação de acordo com a dispersão dos pontos:

d) Diagrama de dispersão :

e) Coefi ciente de correlação e os valores de r:

2


ReferênciasCALLEGARI-JACQUES, Sídia M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Ed. Artmed, 2003.

CORRELAÇÃO e regressão: [disciplina de métodos quantitativos em medicina]. Disponível em: <http://www.dim.fm.usp.br/regressao/index.php>. Acesso em: 12 mar. 2010.



VIEIRA, Sonia. Princípios de estatística. São Paulo: Ed. Pioneira, 1999.

Anotações


Anotações

Análise de regressão

8Aula

1

2

3

4

5

6


Apresentação

Você estudou na Aula 7 - Correlacionando informações, que empregamos a análise de correlação para avaliar o comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas. Todavia, nem sempre esse é o objeto de estudo. Isso se dá especialmente nos casos

em que se precisa/deseja avaliar o comportamento de uma variável (dependente) em função de outra (independente) e expressar matematicamente essa relação de causa e efeito. Nesse caso, recomenda-se utilizar uma análise de regressão para se avaliar os dados. E é esse tipo de análise que iremos estudar nesta aula.

Nesta aula, você verá o conceito de regressão, bem como os tipos de regressão existentes. Vai conceituar variáveis dependentes e independentes e conhecer e calcular o coefi ciente linear e coefi ciente angular da reta. Além disso, estudará a equação da reta que representa a regressão linear e fará exercícios que englobam todos os conceitos trabalhados.

ObjetivosDefi nir o conceito de regressão.

Defi nir o conceito de variável dependente e independente.

Identifi car as variáveis dependentes e independentes em uma situação problema.

Diferenciar os tipos de regressão.

Defi nir o conceito de regressão linear.

Aplicar os procedimentos de uma análise de regressão linear simples.


Uma questão de variaçãoNo nosso cotidiano, estamos em contato com situações ou fatos que dependem

exatamente uns dos outros.

Pense em um supermercado que vai aumentar o seu gasto com propaganda por que dizem que “quem não anuncia se esconde”.

Vamos então pensar no aumento do volume de vendas como função do aumento dos gastos com propaganda. Você acha que existe uma relação exata entre essas variáveis, isto é, para cada real a mais gasto com propaganda haverá um aumento fi xo no volume de vendas?

Não é bem assim.

Há uma série de fatores que podem infl uenciar essa relação, tais como o aumento das vendas em certas épocas do ano, o fato do volume de vendas também depender dos preços e do aumento de salário; depender da concorrência e outros tantos motivos, e é claro, também da propaganda. Mesmo que conhecêssemos todas as causas que explicam o volume de vendas em um supermercado, ainda assim não saberíamos prever exatamente o volume dessas vendas.

Nesse caso, queremos estabelecer uma relação de causa e efeito entre o aumento do volume de vendas e o aumento dos gastos com propaganda, ou seja, ver o quanto o aumento do volume das vendas varia em função do aumento dos gastos com propaganda, e ainda expressar matematicamente essa relação. E isso é feito através da análise de regressão.

Mas o que é regressão?Algumas vezes estamos interessados em saber não apenas se existe associação entre

duas variáveis quantitativas x e y, como é o caso da correlação (Aula 7 - Correlacionando informações), mas temos também uma hipótese a respeito de uma provável relação de causa e efeito entre variáveis, ou como uma variável varia em função da outra.

Desse modo, a análise de regressão refere-se ao estabelecimento dessa relação causa-efeito entre duas variáveis quantitativas e pode ser expressa matematicamente.

Assim, usa-se a análise de regressão com duas fi nalidades:

1) Previsão: Para prever o valor de uma variável chamada de x a partir do valor de outra variável chamada de y .

2) Estimativa: Estima o quanto x infl uencia ou modifi ca y.

Atividade 1

1

2


Na Biologia, esse tipo de análise, ou seja, análise de regressão ou análise de relação de causa e efeito entre variáveis é muito utilizada em experimentos cujo objetivo é determinar como uma variável varia em função da outra.

Vamos ver alguns exemplos?

Se o pesquisador deseja saber se a quantidade de um determinado anestésico varia em função do tempo após a sua administração; se um biólogo quiser saber se o nível de fósforo no solo varia em função da sua adubação; se um nutricionista quiser saber se o nível de vitamina no sangue varia em função da ingestão de frutas, todos deverão fazer uma análise de regressão, já que ela tem o poder de avaliar como uma variável varia em função da outra.

Regressão: Estudo de quanto uma variável varia em função da outra, exprimindo uma relação de causa e efeito.

Agora que você já conheceu o conceito de regressão, faça uma comparação entre correlação e regressão.

Indique duas situações em que um biólogo utilizaria uma análise de correlação e uma análise de regressão.

Atividade 2


Conhecendo melhor as variáveis x e y analisadas

As variáveis x e y a serem submetidas à análise de regressão recebem denominações específi cas, dependendo de que tipo de relação queremos analisar.

Se desejamos saber se y depende de x, nesse caso, y é chamada de variável dependente ou variável resposta e x é chamada de variável independente ou variável explanatória.

Caso contrário, se desejamos saber se x depende de y, nesse caso, x é chamada de variável dependente ou variável resposta e y é chamada de variável independente ou variável explanatória.

Por convenção, vamos estabelecer que y será sempre a nossa variável dependente e x a variável independente.

Identifi que as variáveis dependentes (y) e independentes (x) nos exemplos abaixo:

a) Peso médio dos alunos do curso de Biologia em função da altura.

b) Funcionamento dos rins em função da quantidade de água ingerida durante o dia.

c) Número de batimentos cardíacos em função da intensidade da atividade física.


Mas há somente um tipo de regressão?

A forma de regressão mais comumente utilizada é a regressão linear, que se caracteriza pela hipótese de que o valor de y depende do valor de x , e expressamos matematicamente essa relação por meio de uma equação, assumindo que a associação entre x e y é linear, ou seja, descrita adequadamente por uma reta.

Mas, como curiosidade, tem-se ainda a regressão por potência, regressão logarítmica e regressão exponencial, que são chamadas de regressão não linear.

A regressão linear pode ser:

Simples: Quando temos uma variável dependente y e uma variável independente x .

Múltipla: Quando temos uma variável dependente y e mais de uma variável independente, x1, x2, x3... e assim por diante.

A regressão linear simplesComo vimos no parágrafo acima, a regressão linear simples se caracteriza pela dependência

do valor de y em relação ao valor de x. Essa dependência é expressa matematicamente por meio de uma equação descrita adequadamente por uma reta, chamada de reta de regressão linear.

Essa é a reta que relaciona as variáveis x e y e é representada pela equação abaixo:

y = α + βx

Onde:

y = variável dependente

α = coefi ciente linear (valor de y quando x = 0)

β = coefi ciente angular (inclinação da reta; aumento ou diminuição em y para cada aumento de uma unidade em x)

x = variável independente

Atividade 3

1

2


Agora, monte as equações da reta com os seguintes valores de coefi cientes:

a) Coefi ciente linear = 1,54 Coefi ciente angular: 0,87

Nas equações abaixo, identifi que o coefi ciente linear e o coefi ciente angular da reta:

a) y = 3,54 + 1,5 x

b) y = – 0,87x + 3,87

c) y = 1,67 + 5,81 x

00

5

10

15

20

25

30

35

5 10 15 20

Tempo

Quan

tidad

e de

ane

stés

ico

hidr

olis

ado

y = -0.98 + 2,16x


b) Coefi ciente linear = – 4,76 Coefi ciente angular: 1,23

c) Coefi ciente linear = – 3,76 Coefi ciente angular: – 1,98

A reta de regressãoA seguir, temos um exemplo de reta de regressão que representa a quantidade de

anestésico hidrolisado no plasma de um paciente em função do tempo decorrido após a sua administração (Figura 1).

Figura 1 – Quantidade de anestésico hidrolisado no plasma humano (μL) em função do tempo (minutos) decorrido após sua administração

Atividade 4


Analisando a fi gura anterior, você pode verifi car que os pontos estão praticamente sobre uma reta, a reta de regressão, e pode concluir que a quantidade de anestésico hidrolisado no plasma varia em função do tempo decorrido de sua administração. E ainda que essa reta pode ser representada pela equação:

y = – 0,98 + 2,16 x

Mas o que isso signifi ca?Na equação anterior, que representa a reta de regressão linear da quantidade de anestésico

hidrolisado no plasma em função do tempo decorrido de sua administração, temos como coefi ciente linear o valor de – 0,98 e como coefi ciente angular o valor de 2,16.

O coefi ciente linear fornece a altura onde a reta corta os eixos das ordenadas (eixo X), ou seja, o valor de y onde o x é igual a zero.

O coefi ciente angular fornece o ângulo formado pela reta em relação ao eixo x. Assim, um coefi ciente angular positivo, indica que a reta será direcionada pra cima e para a direita, à medida que o valor de x aumenta. O contrário se dá no caso de uma equação com coefi ciente angular negativo. Nesse caso, à medida que o valor de x aumenta, a reta tende a crescer para a direita e para baixo.

Entendeu o conceito? Vamos realizar a atividade abaixo, para fi xar esses conceitos.

Utilize as equações abaixo e construa um gráfi co para cada uma substituindo o valor de x , por um número positivo (maior que zero) a sua escolha, totalizando 5 substituições.

a) y = 3 + 1,5x

b) y = 3 – 1,5x

c) y = 5 + 7x

d) y = 5 – 7x


Montando uma equação de regressãoBom, agora que já sabemos o que são o coefi ciente linear e o coefi ciente angular da

regressão, podemos montar a equação que representa a reta. Para isso, vamos tomar como exemplo a variação da quantidade de anestésico hidrolisado no plasma em função do tempo decorrido de sua administração.

Para calcularmos os valores desses coefi cientes, usamos as fórmulas abaixo:

Coefi ciente linear: α = y − β x

Coefi ciente angular: β =

∑xy −

∑x

∑y

n∑x2 − (

∑x)2

n

Onde:

α⁀ = estimativa do coefi ciente linear da reta

y_ = média dos valores de y

β⁀ = estimativa do coefi ciente angular da reta

x_ = média dos valores de x

∑xy = somatório de x*y

∑x = somatório de x

∑y = somatório de y

∑x 2 somatório de x 2

n = número de amostras

Cálculo dos coefi cientesNo exemplo da quantidade de anestésico hidrolisado no plasma humano, acima

apresentado, todos os cálculos foram realizados manualmente e organizados em uma planilha. Para entender como estimar o coefi ciente linear e o angular de uma equação, observe a seqüência do Exercício resolvido 1.

Exercício resolvido 1Elabore uma equação de regressão para estimar a quantidade de anestésico hidrolisado

no plasma humano em função do tempo decorrido após sua administração.

Tempo (minutos)

Quan

tidad

e de

ane

stés

ico

hidr

olis

ado

(mol

es/l

itro)

00

5

10

15

20

25

30

35

5 10 15 20

Quantidade de anestésico hidrolisado


Solução

1) O primeiro passo é obter todos os valores da quantidade de anestésico e do tempo após sua administração, representados na Tabela 1.

Tabela 1 – Quantidade de anestésico hidrolisado (moles/litro) no plasma humano e tempo (minutos) decorrido após sua administração

Tempo Quantidade de anestésico hidrolisado

2 3,5

3 5,7

5 9,9

8 16,3

10 19,3

12 25,7

14 28,2

15 32,6

2) Nomear as variáveis.

A variável dependente y será a quantidade de anestésico e a variável x será o tempo.

3) Traçar o gráfi co de dispersão de y em função de x (fi gura 1).


4) Colocar os valores de x e y em uma tabela e calcular os valores de xy, x 2 e y 2.

x y xy x 2 y 2

2 3,5 7 4 12,25

3 5,7 17,1 9 32,49

5 9,9 49,5 25 98,01

8 16,3 130,4 64 265,69

10 19,3 193 100 372,49

12 25,7 308,4 144 660,49

14 28,2 394,8 196 795,24

15 32,6 489 225 1062,76

∑ somatório 6969 141,2141,2 1589,21589,2 767767 3299,423299,42

5) Agora é só aplicar as fórmulas:

a) Para calcular o coefi ciente angular:

β =

∑xy −

∑x

∑y

n∑x2 − (

∑x)2

n

→ β =1589,2− 69.141,2

8

767− 46718

→ β = 2,16

b) Para calcular o coefi ciente linear da reta:

α⁀ = y_ – β⁀ x

_

Mas antes disso precisamos ter a média de x (x_

) e média de y (y_

):

x =∑

x

n−→ x =

698−→ x = 8,62

y =∑

y

n−→ y =

141,28

−→ y = 17,65

Agora aplicamos a fórmula: α⁀ = y_ – β⁀ x

_

α = 17,65 – 2,16 × 8,62

α = – 0,98

6) E o último passo é construir a equação da reta, substituindo as letras pelos valores calculados:

Equação da reta:

y = α + βx

y = – 0,98 + 2,16 x

Atividade 5

Obter os valores da variável dependente (y) e da variável independente (x) que serão analisadas

Traçar o gráfico de dispersão

Aplicar as fórmulas do coeficiente linear e do coeficiente angular

Construir a equação da reta y = α + βx

Colocar os valores de x e y em uma tabela e calcular os somatórios de x, y, xy, x 2 e y 2

Etapas de uma análise de regressão linear simples


Resumindo as etapas da regressão linear simples...

Figura 2 – Etapas para a realização de uma análise de regressão linear simples

Fonte: Henrique Rocha de Medeiros.

Suponha que você esteja estudando a relação entre a quantidade de um poluente despejado por uma fábrica em um riacho, e o dano ecológico nesse curso d’água, medido por um escore de dano que vai de 0 a 20 (Tabela 2). Para verifi car sua hipótese, você precisa fazer uma análise de regressão. Assim, utilizando os valores da tabela abaixo, responda o que se pede.


Tabela 2 – Escore de dano ecológico medido para diferentes concentrações de poluente no riacho

Quantidade de poluente (μg/L) Escore de dano ecológico

1 3

2 6

3 7

4 10

5 10

6 12

a) Identifi que as variáveis dependentes e independentes.

b) Monte o diagrama de dispersão utilizando o gráfi co milimetrado abaixo.

c) Calcule os valores do coefi ciente angular e do coefi ciente linear da reta.


d) Monte a equação da reta de regressão e conclua se o escore da dano ecológico está variando em função da quantidade de poluente de um riacho.

Coefi ciente de determinaçãoAté agora vimos que as variáveis x e y podem variar uma em função da outra, e que

esse comportamento é medido através da análise de regressão, que representa, em uma reta, o quanto a variável y depende da variável x .

Mas podemos nos perguntar: O quanto essa reta refl ete realmente o comportamento de x e y? Quanto do que visualizamos na reta é real?

A resposta está baseada na precisão e acurácia da reta, que é refl etida nos valores do coefi ciente de determinação, representado pelo símbolo R 2.


O coefi ciente de determinação (R 2) é um valor entre 0 e 1, que estima quanto da alteração da variável dependente (Y ) em função de mudanças na variável independente (X) pode ser explicada pela equação de regressão. Por esse motivo, o coefi ciente de determinação pode ser defi nido como o grau de ajuste da reta de regressão estimada ao conjunto de dados. Ele refl ete quão bem o modelo se ajusta ao conjunto de dados utilizados para elaborar a equação e, por esse motivo, denota a força da associação linear entre x e y .

Por isso, R 2 assume diferentes valores, sempre variando de zero a 1:

Se R 2 = 1 = 1: signifi ca que a variação explicada responde por 100% da variação total. Ou seja, a reta de regressão representa perfeitamente o conjunto de dados e toda a variação de y está relacionada com a de x .

Se R2 for diferente de zero e inferior a 1: signifi ca que a variação explicada responde por uma percentagem da variação total. Por exemplo: se R 2 = 0,81, indica que aproximadamente 81% da variação em y está relacionada com a de x e que o restante 19% (100% – 81%) é explicado pelo acaso (outros fatores que não o “x”). Observe que alguns pontos estão localizados fora da reta, mas próximo a mesma. Assim, nesse caso, a equação representa quase que perfeitamente o conjunto de dados analisados.

Se R2 for igual ou muito próximo a zero: quando isso acontece, signifi ca que o valor médio de y (coefi ciente linear) é a melhor projeção para qualquer valor de x . Ou seja, a reta de regressão não representa os dados observados, e por isso mesmo não deve ser utilizada para fazer inferências sobre a população.

Calculando o valor do coefi ciente de determinação

O coefi ciente de determinação de uma equação pode ser estimado dividindo-se a soma de quadrados da regressão pela soma de quadrados total da variável resposta, que é “Y ”.

Soma de quadrados da regressão (SQREGRESSÃO), é estimada utilizando-se a seguinte equação:

SQREGRESSÃO = b

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

n∑i−1

XiYi −

(n∑

i=1

Xi

) (n∑

i=1

Yi

)

n

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Soma de quadrados total (SQTOTAL) é estimada utilizando-se a equação abaixo:

SQTOTAL =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

n∑i−1

Y 2i−

(n∑

i=1

Yi

)2

n

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦


Calculando o coefi ciente de determinação de uma equação de regressão

Para isso, vamos utilizar os dados do Exercício resolvido 1.

Como os valores utilizados no cálculo já foram estimados, para calcular o coefi ciente angular e linear da equação, podemos utilizar esses resultados:

b = 2,16

n∑i−1

XiYi = 1589,2n∑

i=1

Xi = 69

n∑i=1

Yi = 141,2

(n∑

i−1

Y 2i

)= 3299,42 n = 8

Vamos precisar calcular apenas o valor de

(n∑

i=1

Yi

)2

= 141,22 = 19937,44

Resolvendo-se a fórmula, temos o seguinte:

SQREGRESSÃO = b

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

n∑i−1

XiYi −

(n∑

i=1

Xi

) (n∑

i=1

Yi

)

n

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

SQREGRESSÃO = 2,16[1589,2− (69)(141,2)

8

] SQREGRESSÃO = 802,1

e

SQTOTAL =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

n∑i−1

Y 2i−

(n∑

i=1

Yi

)2

n

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

SQTOTAL =[3299,42− 19937,44

8

] SQTOTAL = 807,2

R2 =SQ

REGRESSAO

SQTOTAL

−→ R2 =802,1807,2

−→ R2 = 99,3

ExemploVamos ver um exemplo de aplicação de regressão linear?

Especula-se que a quantidade de lixo de uma cidade varia em função do poder aquisitivo de seus habitantes. Para saber se essa hipótese está correta, o pesquisador realizou uma coleta de dados em 3 cidades (A, B e C), e anotou a quantidade de lixo produzida (em toneladas) de acordo com o número de salários-mínimos que a população recebe. Esses dados podem ser visualizados nas Tabelas 3, 4 e 5.

00

2

4

6

8

10

12

2 4 86 10

Quantidade de lixo (toneladas)

Núm

ero

desa

lário

s-m

ínim

os y = 1,5x -1R 2 = 1


Tabela 3 – Quantidade de lixo produzida (em toneladas) na cidade A, de acordo com o número de salários-mínimos da população

Quantidade de lixo Número de salário-mínimo

2 2

4 5

6 8

8 11

Tabela 4 – Quantidade de lixo produzida (em toneladas) na cidade B, de acordo com o número de salários-mínimos da população


2 1

4 2

6 4

8 4

Tabela 5 – Quantidade de lixo produzida (em toneladas) na cidade B, de acordo com o número de salários-mínimos da população


2 5

4 1

6 3

8 8

Após a obtenção desses dados, o pesquisador organizou os dados em uma planilha e calculou os valores do coefi ciente linear e do coefi ciente angular da equação de regressão para cada cidade e obteve a reta de regressão linear (observe o Exercício resolvido 1), a equação da reta e o coefi ciente de determinação R2 para cada cidade e que podem ser visualizados nas Figuras 3, 4 e 5.

Figura 3 – Quantidade de lixo produzida (em toneladas) na cidade A, de acordo com o número de salários-mínimos da população

00

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

2 4 86 10


Núm

ero

desa

lário

s-m

ínim

osy = 0,55x

R 2 = 0,8963

00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2 4 86 10


Núm

ero

desa

lário

s-m

ínim

os

y = 0,55x + 1,5

R 2 = 0,2262


Figura 4 – Quantidade de lixo produzida (em toneladas) na cidade B, de acordo com o número de salários-mínimos da população

Figura 5 – Quantidade de lixo produzida (em toneladas) na cidade C, de acordo com o número de salários-mínimos da população

Solução

Ao analisarmos as três fi guras, podemos verifi car que a quantidade de lixo gerada em cada cidade em função do número de habitantes variou de maneira diferente: na cidade A, quanto maior a quantidade de lixo gerada, maior a renda dos habitantes; na cidade B, houve uma tendência desse mesmo resultado, exceto quando a produção de lixo foi de 6 toneladas; na cidade C, pode-se notar uma maior dispersão dos dados, quando a variação da quantidade de lixo gerada não acompanha exatamente o aumento da renda da população.

Mas será que a interpretação dos resultados está correta? Será que a reta traçada para representar a situação de cada cidade é real, representando o quanto a quantidade de lixo varia em função da renda da população?


Vamos então analisar a reta de regressão e o coefi ciente de determinação da análise de regressão para cada cidade:

1) No caso da cidade A, o valor de R2 = 1, o que signifi ca que a reta de regressão traçada se ajusta perfeitamente aos pontos, o que pode ser verifi cado pelo fato dela passar exatamente em cima de cada ponto. Podemos afi rmar que 100% da variação que ocorre em y (quantidade de lixo gerada) está relacionada com a variação de x (renda da população).

Assim, podemos utilizar a equação de regressão para estimar a quatidade de lixo produzida pela parte da população que ganha 2,5 salários-mínimos.

Equação de A: y = 1,5x + 1

Substituindo-se “x ” por 2,5 temos: y = 1,5*2,5 + 1 = 4,75 toneladas de lixo.

2) No caso da cidade B, o valor de R2 = 0,89, o que signifi ca que a reta de regressão traçada se ajusta quase que perfeitamente aos pontos, o que pode ser verifi cado pelo fato dela se aproximar muito de cada um deles. Nesse caso, podemos afi rmar que 89% da variação que ocorre em y (quantidade de lixo gerada) está relacionada com a variação de x (renda da população). O restante, 11%, é fruto de uma variação que não tem explicação.

Nesse caso, como a equação de regressão também apresenta um coeficiente de determinação alto (maior que 50%), pode-se utilizar a mesma para fazer inferências sobre a quantidade de lixo produzida em função da renda da população.

3) No caso da cidade C, o valor de R2 = 0,22, o que signifi ca que a reta de regressão traçada se ajusta muito pouco aos pontos, o que pode ser verifi cado pelo fato dela não se aproximar de cada um deles. Nesse caso, podemos afi rmar que somente 22% da variação que ocorre em y (quantidade de lixo gerada) está relacionada com a variação de x (renda da população). O restante, 78%, é fruto de uma variação que não tem explicação. Nesse caso, possívelmente existem outros fatores (como por exemplo, o nível de escolaridade e educação dos habitantes) que infl uenciam na quantidade de lixo gerada.

Isso quer dizer que a minha equação não serve?

Não propriamente, mas apenas que ela não é sufi cientemente adequada para explicar a relação de causa e efeito, entre a receita da população e a quantidade de lixo gerada. Possivelmente, nesse caso, a adição de outras variáveis (como por exemplo, o número médio de anos de estudo da população) e uma nova equação de regressão múltipla resultarão em aumento do R 2.

Resumo


Nesta aula, você viu o conceito de regressão linear simples, ou seja, o estudo de quanto uma variável varia em função da outra, exprimindo uma relação de causa e efeito. Estudou que essas variáveis quantitativas podem ser dependentes (y ) e independentes (x) e verificou como identificá-las em cada situação problema. Conceituou regressão linear simples e conheceu os demais tipos de regressão utilizados. Identifi cou que, numa análise de regressão, temos vários fatores envolvidos, tais como o coefi ciente linear, representado pela letra α e o coefi ciente angular da reta, representado pela letra β. Estudou a equação da reta que representa a regressão linear, como você pode fazer uma análise de regressão e como determinar o coefi ciente de regressão.

AutoavaliaçãoFaça uma regressão linear e calcule o seu coefi ciente de determinação, utilizando as informações da Tabela 6, que relaciona a quantidade de fi lhos por mulher em função no número de anos de estudo, e discuta sobre a representatividade da equação gerada.

Tabela 6 – Número de fi lhos segundo os anos completos de estudos, em mulheres de 15 a 49 anos de idade

Número de anos de estudo Número médio de fi lhos

0 3,6

3 3,5

7 2,9

8 2,3

11 1,6

12 1,4

Fonte: Adaptado de Berquó e Cavenaghi (2006)


ReferênciasBERQUO, Elza; CAVENAGHI, Suzana. Fecundidade em declínio: breve nota sobre a redução no número médio de fi lhos por mulher no Brasil. Novos estud. - CEBRAP [online], n. 74, p. 11-15, 2006.

CALLEGARI-JACQUES, Sídia M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Ed. Artmed, 2003.

CORRELAÇÃO e regressão. 2000. Disponível em: <http://www.dim.fm.usp.br/regressao/index.php>. Acesso em: 12 mar. 2010.

HOUAISS, Antonio; VILLAR, Mauro de Sales; FRANCO, Francisco Manoel de Mello. Dicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Editora Objetiva, 2001.


VIEIRA, Sonia. Introdução à bioestatística. Rio de Janeiro: Ed. Campus, 1980.

______. Princípios de estatística. São Paulo: Ed. Pioneira, 1999.

Anotações


Entendendo os númerosíndices e suas aplicações

9Aula

1

2

3


Apresentação

Você já deve ter ouvido expressões como: “Houve aumento no índice de infl ação”; “Houve alteração no índice nacional de custo na construção civil (INCC); “Houve aumento na taxa de natalidade do Estado do Rio Grande do Norte em 2009”. Esses indicadores

são chamados de números índices e você os estudará nesta aula. Você verá como calcular os números índices, sua importância e formas de aplicação dessa ferramenta estatística nas Ciências Biológicas e em situações do cotidiano.

ObjetivosCompreender o conceito de número índice.

Diferenciar números índices simples de compostos.

Calcular os números índices e interpretar os seus resultados.


Números índices e o nosso cotidiano

Diariamente, vemos nos telejornais informações de como anda a nossa economia: Notícias como “[...] a infl ação nos últimos 12 meses foi de 1,56%”; “[...] o aumento do IGPM foi de 12,6%”; “[...] o INPC teve queda de 2,8% no mês de agosto”. Vemos

também notícias sobre o índice de fertilidade da população brasileira, índice de natalidade, índice de mortalidade, dentre outros (Figura 1). E, na maioria das vezes, fi camos sem saber o que estas informações signifi cam.

Figura 1– Exemplos de números índices diariamente apresentados nos telejornais nacionais.

Fonte: Lilian Giotto Zaros

Esses índices ilustrados na fi gura acima são denominados de números índices. Sua defi nição, como calculá-los e como interpretá-los é o que você verá a seguir.

Data limite

Data limite: data fi nal do período de tempo estudado.

Data base

Data base: data inicial do período de tempo estudado.


O que são números índices?

Os números índices (ou apenas índices) são instrumentos estatísticos utilizados para comparar a evolução ou o comportamento de variáveis através do tempo. São indicadores que se aplicam no campo da produção, evolução dos preços, dos salários,

da biodiversidade animal e vegetal, do desmatamento, de registros demográfi cos, dentre outros, como citados na Figura 1.

Como medem variações no tempo e no espaço, permitem sintetizar e apresentar de forma efi caz a natureza das alterações nas variáveis. Usando os números índices é possível, com um só valor, avaliar a evolução de um conjunto complexo de variáveis.

Matematicamente, é a razão entre o valor de uma variável em uma data limite e o valor dessa mesma variável em outra data, denominada data base.

Por exemplo: quando nos deparamos com a informação de que o índice de mortalidade infantil no Rio Grande do Norte no ano de 2010 foi de 3,5%, este índice de mortalidade foi obtido pela razão entre o número de mortalidades no ano de 2010 e o número de mortalidades em uma data base, por exemplo, no ano de 2009. Todavia, essa comparação deve ser feita apenas em relação à data base.

Note que os números índices são expressos em porcentagens e só se aplicam às datas a que se referem ou são adimensionais (sem unidade de medida).

Curiosidade

Os números índices como dissemos acima, podem ser aplicados nas Ciências Biológicas. A notícia a seguir exemplifi ca essa aplicação.

Desmatamento na Caatinga já destruiu metade da vegetação original

Por Jefferson Rudy/MMA

A Caatinga, único bioma exclusivamente brasileiro, possui atualmente metade de sua cobertura vegetal original. Em 2008, a vegetação remanescente da área era de 53,62%. Dados do monitoramento do desmatamento no bioma realizado entre 2002 e 2008 revelam que, neste período, o território devastado foi de 16.576km2, o equivalente a 2% de toda a Caatinga. A taxa anual média de desmatamento na mesma época fi cou em torno de 0,33% (2.763km2).

Fonte: <http://www.espacoecologiconoar.com.br/index.php?option=com_content&task=view&id=13106&Itemid=1>.

Acesso em: 10 maio 2010.

Atividade 1


Cite dois exemplos, diferentes dos citados anteriormente, de números índices que você conhece e que são utilizados nas mais diversas subáreas das Ciências Biológicas.

Tipos de números índices Há dois tipos de números índices:

1) Simples: Representam a evolução de uma só variável simples entre dois períodos de tempo. Por exemplo: quando uma família nota que o preço do pão é o dobro do que era há 10 anos, está fazendo uso de certo tipo de número índice de uma só variável.

A principal limitação dos índices simples é que eles se referem apenas a itens isolados. Apesar disso, são vários os exemplos de índices simples: crescimento da população, taxa de natalidade, taxa de mortalidade e indicador de desemprego.

Atividade 2

1


Fonte: Quino, tirinha 231, 16 ago. 2006. Disponível em: <http://clubedamafalda.blogspot.com/2006/08/tirinha-231.html>. Acesso em: 10 maio 2010.

2) Compostos: Expressam a evolução de uma variável composta (que integra várias medidas juntas) entre dois períodos de tempo. Um exemplo deste tipo de variável composta é observado no cálculo da infl ação. Essa medida/índice é o resultado da variação conjunta de preços de numerosos itens, como por exemplo, os alimentos (leite, carne, ovos, manteiga etc.), o transporte (combustíveis, passagens de ônibus etc.), dentre outros. Alguns desses artigos podem ter tido alteração (aumento ou diminuição) no preço e outros podem continuar com o mesmo valor. Além disso, cada um desses artigos tem um peso (ponderação) diferente para o cálculo do índice. Assim, um aumento no preço do leite e do feijão, por exemplo, tem um impacto muito maior no índice de infl ação do que elevação do valor de automóveis. Isso se deve ao fato de que os alimentos são consumidos por toda a populção e os automóveis somente por alguns poucos indivíduos.

Conceitue números índices.

2

3


Diferencie números índices simples de números índices compostos e dê exemplos de cada um deles, utilizando informações obtidas em jornais ou revistas ou na internet.

Selecione um grupo de 15 indivíduos (podem ser pessoas da sua família, amigos, alunos, colegas de trabalho, da igreja e/ou de prática de esportes) e faça as seguintes perguntas: Quais os tipos de números índices que você conhece? Em que local você obteve essas informações? Em seguida, complete a tabela abaixo com as informações obtidas:

Tipo de número índice que conhece

Local onde obteve a informação

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15


Como calcular os números índices?

O cálculo dos números índices é feito utilizando-se a fórmula abaixo:

NI =V A

V B× 100

Onde:

NI = número índice;

VA = valor do parâmetro atual ou na data limite;

VB = valor do parâmetro anterior ou na data base.

Utilizando essa fórmula, você poderá calcular os números índices, sejam eles simples ou compostos.

Exercício resolvido 1Será que se você dividir o número de inscritos no vestibular para o Curso de Ciências

Biológicas em 2010 pelo número de inscritos no ano anterior, e multiplicar por 100, você terá um índice?

Solução

Sim, você terá um índice. Se o índice for maior do que 100, a procura pelo curso aumentou. Se ao contrário, for menor do que 100, a demanda diminuiu. Vamos verifi car?

Suponha que o número de inscritos no ano de 2010 foi de 2500 estudantes e em 2009 foi de 2000. Assim, temos que:

NI =V A

V B× 100 =

25002000

× 100 = 1,25× 100 = 125%

Agora, como o ano base representa sempre 100%, e o valor atual do índice é 125%, por diferença podemos calcular se houve ou não aumento do número de inscritos no vestibular 2010 em relação a 2009.

Efetuando a operação matemática: 125% – 100%, podemos concluir que houve um aumento de 25% na procura do Curso de Ciências Biológicas no vestibular 2010 em relação a 2009.

Atividade 3

1

2


Utilizando esse mesmo conceito, você pode ter resultados onde o valor atual (VA) é menor que o valor base (VB). Nesse caso, o resultado da subtração será um número negativo e indicará uma redução no índice.

Calcule o número índice para as seguintes situações e interprete os resultados.

Foram oferecidas 50 bolsas de iniciação científi ca aos alunos do Curso de Ciências Biológicas no ano de 2009 e 45 no ano de 2010.

Um biólogo notou que 525 plantas fl oresceram em sua estufa no mês de fevereiro, quando comparadas a 400 plantas no mês de setembro de 2009.

3


Curiosidade

Sempre que se tem o crescimento de um índice, há um refl exo positivo para a população?

Depende do que seja esse índice. Se for de uma variável boa, o crescimento deste índice será bom para a população. Como exemplo disso, temos: crescimento na expectativa de vida, aumento na taxa de escolaridade das crianças, aumento real do salário mínimo.

Já se fosse o índice de crescimento da infl ação ou da taxa de mortalidade de crianças até cinco anos de idade, por exemplo, seria extremamente diferente, pois são indicadores que quanto mais baixos ou decrescentes, melhor para a maioria da população.

O volume de chuva na região oeste do estado do Rio Grande do Norte em 2008 foi de 3,5mm e chegou a 6mm no ano seguinte.

1

2


Utilizando números índices Como já visto antes, os números índices estão presentes no cotidiano da população.

Assim, nos próximos parágrafos, vamos discorrer sobre alguns índices que você poderá calcular para auxiliar o seu trabalho e/ou seu dia a dia.

Índice relativo de preços ou preços relativos simples

É a razão entre o preço de um produto em uma determinada data e o preço desse mesmo produto na data escolhida como base.

O índice relativo de preços mostra a evolução do preço de um produto em um determinado período estudado. Você pode utilizar esse índice para verifi car as alterações de preços, por exemplo, dos principais itens de compra da sua casa.

O índice relativo de preço (IP) é obtido pela fórmula abaixo:

IP =pt

p0

× 100

Onde:

IP= índice de preços;

pt= preço numa data atual;

p0= preço na data base ou época-base.

Exercício resolvido 2O preço de determinado artigo, em 2008, foi R$ 5,00 e em 2010 subiu para R$ 6,25.

Tomando-se por base o ano 2008, determinar o índice relativo de preço em 2010.

Solução

Identifi car a data base e a data atual:

Data base (0) = 2008 e período atual (t) = 2010

Identifi car os preços na época atual e na época base:

Preço na data atual= 6,25 e preço na data base= 5,00

1

3

4


Em seguida, aplicar a fórmula do índice relativo de preço:

IP =pt

p0

× 100 =6,255× 100 = 125%

Conclusão: Em 2010 houve um aumento de 25% (125 – 100) no preço do artigo, em relação ao preço do mesmo artigo em 2008.

Índice de aprovação dos alunos (IA) O índice de aprovação dos alunos é rotineiramente utilizado por professores que querem

ter uma ideia de como foi a aprovação dos alunos em sua disciplina.

Ele pode ser obtido aplicando-se a fórmula geral dos números índices, dividindo-se o total de alunos aprovados pelo número de matrículas na disciplina.

IA =Numero de alunos aprovados

Numero de alunos matriculados na disciplina× 100

Note que para este índice, o fato do aluno ter sido aprovado por média (direto) e/ou por recuperação, bem como ter trancado a disciplina não interfere no resultado. O que me interessa saber é a relação entre o número de alunos aprovados ao fi nal do curso.

Note que a fórmula para o cálculo do índice de aprovação de alunos é a mesma utilizada para o cálculo do número índice em geral, como dito anteriormente.

Exercício resolvido 3Calcule o índice de aprovação de uma turma da disciplina de Bioestatística do terceiro

semestre de 2010, onde o número de alunos inscritos foi de 41 e de aprovados foi de 30.

Solução

Identifi car:

Número de alunos aprovados: 30

Número de alunos matriculados: 41

2

2

1

3

Atividade 4


Em seguida, aplicar a fórmula do índice de aprovação:

Calcule o índice relativo de preços nas situações abaixo e interprete os resultados:

Uma caixa de morangos, que custava R$3,50 em fevereiro de 2010,passou a custar R$4,30 em maio do mesmo ano.

Uma moto que custava R$5.900,00 em janeiro de 2009, passou a custar R$7.100,00 em janeiro de 2010.

Conclusão: O índice de aprovação na disciplina de Bioestatística em 2010 foi de 73,1%.

IA =Numero de alunos aprovados

Numero de alunos matriculados na disciplina× 100 =

3041× 100 = 73,1%

3


Uma casa que custava R$190.000,00 em maio de 2008, passou a custar R$178.000,00 em maio de 2010.

Índices de custo de vida (ICV) O índice de custo de vida, conhecido pela sigla ICV, é um índice composto e pode ser

calculado como no exemplo abaixo:

Suponha que uma família com cinco pessoas compre semanalmente 10 litros de leite, 4 kg de feijão e 5 kg de arroz e gaste R$ 25,00/semana com transporte. Vamos então elaborar um índice composto de custo de vida para esta família na primeira (1) e na última semana do mês (4)?

Nesse caso, precisamos fazer um gasto ponderado entre a quantidade de alimentos e serviços e o preço de cada item. Para isso, vamos observar a tabela abaixo:

Item Preço na semana 1 Preço na semana 4

Leite R$ 0,77 R$ 0,77

Feijão R$ 1,53 R$ 2,50

Arroz R$ 0,88 R$ 1,88

Transporte R$ 2,5 R$ 2,5

Assim, o VA corresponderá ao valor da cesta de produtos consumida pela família na semana 4 e o VB ao consumo da família na semana 1.


Deste modo, teremos:

Gasto semanal da família na semana 1

Item Quantidade consumida Valor unitário (R$) Total da semana 1 Porcentagem

do total

Leite 10 R$ 0,77 R$ 7,70 17,82%

Feijão 4 R$ 1,53 R$ 6,12 14,16%

Arroz 5 R$ 0,88 R$ 4,40 10,18%

Transporte (passagens) 10 R$ 2,5 R$ 25,00 57,84%

Total da semana R$ 43,22 100,00%

Gasto semanal da família na semana 4

Item Quantidade consumida Valor unitário (R$) Total da semana 4 Porcentagem do

total

Leite 10 R$ 0,77 R$ 7,70 14,78%

Feijão 4 R$ 2,50 R$ 10,00 19,19%

Arroz 5 R$ 1,88 R$ 9,40 18,04%

Transporte (passagens) 10 R$ 2,5 R$ 25,00 47,98%

Total da semana R$ 52,10 100,00%

Aplicando a fórmula do número índice, temos:

IA =V A

V B× 100 =

52,1043,22

× 100 = 1,2055× 100 = 120,55%

Neste caso, o índice calculado é de 20,55% (120,555 – 100%).

Embora o aumento no preço do feijão seja de 63,40% e do arroz de 113,64%, o aumento no índice do custo de vida é menor que este valor (20,55%). Isto ocorre porque os itens que tiveram maior aumento têm uma participação relativa no custo de vida (despesas) total da família.

É por esse motivo que, às vezes, os índices de infl ação são divulgados e você pode achar que a alteração nos preços observados na sua região é diferente da informação ofi cial. Isso ocorre porque a infl ação é calculada por uma média ponderada de itens médios de consumo de uma família brasileira. Assim, nem sempre os hábitos de consumo e os preços observados são semelhantes aos seus.

Resumo


Nesta aula, você aprendeu o conceito de números índices e foi capaz de perceber que eles são utilizados nas mais diversas áreas do nosso cotidiano, nas Ciências Biológicas, na Geografi a, na Economia, dentre outras. Você diferenciou números índices simples e compostos e realizou os cálculos necessários para determinar um número índice. Além disso, você viu alguns exemplos de números índices, tais como o índice relativo de preços, o índice de aprovação de alunos e índice de custo de vida e aprendeu a calcular cada um deles. Por fi m, você testou os conhecimentos adquiridos, acompanhando a resolução de exercícios e fazendo sua autoavaliação.

Autoavaliação

Leia o texto abaixo, retirado do Jornal O Estado de São Paulo de 31 de outubro de 2006, e calcule o índice de emissão de gás carbônico na atmosfera para os anos de 2000 e 2004, tendo como data base o ano de 1990.

“Apesar dos esforços internacionais, as emissões de dióxido de carbono (CO2) que geram

o efeito estufa aumentaram em 2004 e atingiram os maiores índices desde a década de 90. Os países ricos somados tiveram uma queda de apenas 3,3% em média nas emissões nos últimos 15 anos. Porém, quando se leva em conta apenas o período entre 2000 e 2004, houve na realidade um aumento das emissões nessas economias, o que mostra a necessidade de

Fonte: <http://blog.ambientebrasil.com.br/wp-content/

uploads/2009/03/chamine.jpg>. Acesso em: 10 maio 2010.


HOUAISS, Antonio; VILLAR, Mauro de Sales; FRANCO, Francisco Manoel de Mello. Dicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Editora Objetiva, 2001.

JORNAL DA CIÊNCIA. Emissão de CO2 cresce no planeta. 31 out. 2006. Disponível em: <http://www.jornaldaciencia.org.br/Detalhe.jsp?id=42014>. Acesso em: 10 maio 2010.


SIQUEIRA, Ivana Caldeira; SIMA, Luiz Fernando; ROCHA, João Alberto Guerra da. A importância dos números-índices. Disponível em: <http://www.eumed.net/ce/2009a/ssr.htm>. Acesso em: 4 abr. 2010.

TELEMEDICINA: informática médica. Disciplina de métodos quantitativos em medicina: correlação e regressão. 1999. Disponível em: <http://www.dim.fm.usp.br/regressao/index.php>. Acesso em: 10 maio 2010.




medidas mais drásticas para lidar com aquecimento do planeta. As emissões nos países ricos atingiram 19,9 bilhões de toneladas de CO

2 em 2004, antes 17,5 bilhões em 2000. Em 1990,

ano-referência para o protocolo de Kyoto, os gases lançados na atmosfera por indústrias, usinas e carros somavam 18,6 bilhões de toneladas”.


Anotações

Probabilidade:conceitos e aplicações

10Aula

1

2

3

4


Apresentação Nesta aula, você vai conhecer a história da probabilidade, bem como entender o seu

signifi cado. Você verá como a probabilidade está presente no nosso cotidiano e como podemos empregá-la nas Ciências Biológicas. Vai estudar também as leis da probabilidade e fará exercícios que são regidos por essas leis.

Esta aula é de extrema importância, uma vez que os conceitos aqui adquiridos serão utilizados na disciplina de Genética. Desse modo, faça sempre anotações e resolva os exercícios propostos, que serão úteis em seu aprendizado futuro.

Bom estudo!

ObjetivosCompreender o conceito de probabilidade.

Conhecer a história da Teoria da Probabilidade.

Conhecer as leis de probabilidade.

Aplicar os conceitos aprendidos em estudos de sistemas biológicos.


O que é probabilidade?Todos conhecem, por intuição, o conceito de probabilidade, ou seja, o risco (chance) de

ocorrer um determinado evento preestabelecido.

Por exemplo, observe o conjunto de dados na Figura 1, abaixo. Todos estes dados não são viciados, ou seja, não são adulterados, e em cada face existe uma numeração marcada que vai de um até seis. Assim, se eu pegar um desses dados e arremessá-lo numa caixa, existe a probabilidade de 1/6 (ou 17%) de sair, na face voltada pra cima, o número 3.

Figura 1 – Conjunto de dados não viciados

Fonte: <http://palavraguda.fi les.wordpress.com/2007/09/dados.jpg>.


Observe que essa probabilidade é a mesma, se eu escolher, a priori, qualquer um dos números entre um e seis para apostar as minhas fi chas. Concomitantemente, a probabilidade de ocorrer um número diferente do que eu escolhi é de 83%, ou seja, o que faltar para completar 100%.

É utilizando essa lógica que as empresas de jogos legais montam sua estratégia de pagamento das apostas. Assim, elas podem pagar os prêmios devidos e ainda assim auferir lucro.

A priori

Do latim “partindo daquilo que vem antes”. É uma

expressão fi losófi ca que designa uma etapa para se

chegar ao conhecimento.

Atividade 1

1


Curiosidades sobre as loterias...Você sabe qual a probabilidade de ganhar na Mega-Sena? Aí vai a resposta: 0,000000003%.

Ainda assim, com uma possibilidade tão baixa, raramente o prêmio acumula.

E se você resolver preencher todas as combinações possíveis dentre os números da Mega-Sena para assegurar que vai ganhar o prêmio principal, você gastará mais dinheiro que o valor a ser recebido.

A probabilidade é usada para associar, a cada fato possível, sua respectiva chance de ocorrência. Por exemplo, se há 80% de possibilidade de chover então há 20% de possibilidade de não chover; se você fosse se submeter a uma cirurgia que tem apenas 30% de chance de sucesso ponderaria melhor sobre sua decisão.

Às vezes, podemos prever fenômenos, como é o caso de você jogar várias vezes uma moeda de determinado lugar e medir a velocidade da queda, onde os resultados serão sempre iguais. Esse fenômeno é previsível, pois obedece determinada lei da Física e é chamado de determinístico.

Outras vezes, o fenômeno é imprevisível, não determinístico, mas apresenta um padrão que vem sendo observado a longo prazo. Por exemplo, você não sabe qual será o primeiro camundongo a girar a roleta dentro da gaiola de experimento, mas sabe que, nas várias vezes que você observou o comportamento dos animais, foi o camundongo de número 2 o primeiro a fazê-lo; você não sabe se o terceiro fi lho de um casal que tem olhos verdes e castanhos terá olhos castanhos, mas sabe que os dois primeiros fi lhos tiveram olhos castanhos.

Desse modo, podemos defi nir probabilidadecomo sendo a chance de um evento ocorrer.

Defi na probabilidade.

2

a b


Cite três situações cotidianas em que esteja implícito o conceito de probabilidade.

Mas antes de aprofundarmos os nossos estudos sobre probabilidade, vamos conhecer como a Teoria da Probabilidade se originou?

Um pouco de históriaO estudo da Teoria da Probabilidade começou em 1664, com a troca de correspondência

entre dois matemáticos franceses, Blaise Pascal e Pierre Fermant, que tinham sido procurados por Antonie Gombaund, o Chevalier de Meré, homem de letras e membro da corte de Luis XIV.

Figura 2 – (a) Blaise Pascal (1623-1662). (b) Pierre Fermant, 1601-1665

Fonte: <http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/people/pascal.gif>;<http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/people/fermat.gif>.



O questionamento de Chevalier de Meré era de como dividir o prêmio de um jogo envolvendo várias partidas se, por alguma razão, o jogo fosse interrompido antes que algum jogador tivesse vencido o número de partidas combinado anteriormente.

Nessa época, os dois matemáticos iniciaram seus estudos e chegaram, cada qual, a uma conclusão diferente: Pascal se baseou nos valores esperados de duas ações que se alternam (alternativas) e Fermant focou seus estudos no cálculo da probabilidade de um evento. Entretanto, nenhum dos dois estudiosos publicou imediatamente seus resultados.

Desse modo, o Chevalier de Meré avaliou que o estudo das probabilidades não deveria ser pesquisado a fundo e ainda afi rmou que o tempo gasto nesse estudo poderia ser melhor empregado para outros fi ns. Felizmente, esse fato não foi acatado por todos os estudiosos da época.

Assim, em 1655, o astrônomo, físico e matemático holandês Christian Huygens (1629-1695) teve conhecimento do fato e resolveu iniciar seus estudos, e em 1657 publicou sua solução. Daí em diante, vários foram os estudiosos que contribuíram com o estudo da probabilidade, dentre eles, o matemático Jacques Bernoulli (1654-1705) e o matemático, físico e astrônomo Pierre-Simom de Laplace (1749-1827), que publicou o trabalho intitulado “Théorie Analytique des Probabilités” (1812), onde as teorias de probabilidade se tornaram cientifi camente justifi cáveis nas prática.

A aceitação das ideias sobre probabilidade pelo pensamento científi co moderno foi muito além do que os pensadores dos séculos XVII e XVIII, principalmente com o desenvolvimento e aceitação da estatística na ciência e na indústria.

O acasoA palavra acaso é originária do latim a casu, e signifi ca algo que surge ou acontece a

esmo, sem motivo ou explicação aparente.

Muitas das situações que presenciamos no nosso dia a dia são determinadas pelo acaso, confi gurando situações que podem ser classifi cadas como sorte ou azar. Sair de casa apressado e ver o ônibus partindo do ponto; não participar de um chat de dúvidas e este não ser realizado devido à doença do professor; encontrar uma pessoa na rua com a qual você precisava conversar; ser atendido pelo SUS antes que algo mais grave aconteça com a sua saúde; todos esses são acontecimentos comuns a todos nós e, muitas vezes, determinados pelo acaso.

Teorias da probabilidade

Para saber mais sobre a história das probabilidades, consulte Crusius (2001).


Fonte: <http://1.bp.blogspot.com/_Mc6hSIUqSgg/Sm4WqMEAemI/AAAAAAAABiY/Ls3XvHYN68c/s400/Charge+do+Pater+-+A+Tribuna3.jpg>. Acesso em: 4 maio 2010.

Esses acontecimentos acima citados apresentam duas características em comum:

1) Podem ou não acontecer (não sendo previsto com certeza).

2) Qualquer um deles acontecerá um certo número de vezes (e não ocorrerá um outro número de vezes) ao longo de um determinado período de tempo.

Essas duas características podem ser apresentadas no exemplo acima, no qual você pode não participar de um chat de dúvidas e este não ser realizado devido à doença do professor e você pode não participar de um chat de dúvidas e este ocorrer sem a sua participação (característica 1). Também, esse fato pode ocorrer um determinado número de vezes e se repetir durante um certo tempo, no caso de você não participar de vários chats marcados pelo professor e ter a sorte dele adoecer em diversas ocasiões (característica 2).

Existem situações nas quais, embora não se saiba o que de fato irá acontecer, tem-se uma lista de possíveis resultados. Como por exemplo:

1) O sexo de uma criança: masculino ou feminino.

2) O tipo sanguíneo de uma pessoa: A, B, AB e O.

3) O resultado obtido pelo aluno numa disciplina: aprovado ou reprovado.

Essas situações são denominadas pelos matemáticos de ensaio probabilístico ou ensaio aleatório, pois os resultados dependem do acaso. Isto é, embora se possa saber os tipos de resposta existentes, toda vez que o ensaio for repetido, você não poderá saber, a priori, qual o resultado.


Um exemplo desse conceito foi abordado no lançamento de dados, onde as respostas possíveis são os números de um a seis, todavia, é impossível você saber (a menos que exista alguma irregularidade no jogo) qual o resultado (número) obtido ao se jogar o dado.

Outro exemplo desse conceito é quando se analisa a seguinte frase: “É provável que o meu time ganhe a partida hoje?”. Pode-se esperar a ocorrência de três resultados para a partida:

O meu time ganhar.

Haver empate entre os dois times.

O meu time perder.

Repare que todos os resultados possíveis são conhecidos “a priori”. Todavia, por mais que você torça pela vitória do seu time, é impossível saber se ele vai ganhar o jogo antes do término da partida.

Eventos aleatóriosEvento é cada um dos resultados possíveis de uma situação acontecer. Se considerarmos

os exemplos anteriormente citados, seria um evento o fato do camundongo número 2 girar a roleta dentro da gaiola de experimento; do terceiro fi lho do casal nascer de olhos castanhos; de sair o número 3 em um dado.

Um exemplo clássico de evento é o lançamento de uma moeda: se a moeda for honesta, o evento “cara” tem igual chance de ocorrer que o evento “coroa”, ou seja 50% de chance. Esses são denominados de eventos aleatórios (do latim alea, sorte), pois cada um deles (cara e coroa) tem a mesma chance de ocorrer em relação a seus respectivos eventos alternativos (se der cara, o evento alternativo será coroa e se sair coroa, o evento alternativo será cara).

Moeda honesta

Moeda não viciada, onde cara e coroa têm chances iguais de acontecerem.

Fonte: Adaptado de <http://pion.sbfi sica.org.br/pdc/var/eznewsletter_site/storage/images/multimidia/charges/fi sica_moderna_e_contemporanea/probabilidade

/24861-1-por-BR/probabilidade.jpg>. Acesso em: 4 maio 2010.

1

Atividade 2

2

3


Outro exemplo de evento aleatório é a formação de um determinado tipo de gameta. Um indivíduo heterozigoto Aa tem a mesma probabilidade de formar gametas portadores do alelo A (50%) e do alelo a (50%), certo?

Heterozigoto

Indivíduo que tem dois alelos diferentes do mesmo gene (Aa).

Alelo

Cada uma das formas alternativas do

mesmo gene (A ou a).

Veja a seguir as probabilidades de ocorrência de alguns eventos aleatórios e tente explicar por que cada um deles ocorre com a probabilidade indicada.

A probabilidade de sortear uma carta de espadas de um baralho de 52 cartas é de 1/4.

A probabilidade de sortear um rei qualquer de um baralho de 52 cartas é de 1/13.

A probabilidade de sortear o rei de espadas de um baralho de 52 cartas é de 1/52.


Eventos independentes

Quando a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de ocorrência de um outro, fala-se em eventos independentes. Por exemplo, ao lançar várias moedas ao mesmo tempo, ou uma mesma moeda várias vezes consecutivas, o resultado do primeiro

lançamento não interfere no resultado dos demais lançamentos. Por isso, cada resultado é um evento independente do outro.

Da mesma maneira, o nascimento de uma criança com um determinado fenótipo é um evento independente em relação ao nascimento de outros fi lhos do mesmo casal. Por exemplo, imagine um casal que já teve dois fi lhos homens. Qual a probabilidade de que uma terceira criança seja do sexo feminino? Uma vez que a formação de cada fi lho é um evento independente, a chance de nascer uma menina, supondo que homens e mulheres nasçam com a mesma frequência, é 1/2 ou 50%, como em qualquer nascimento.

Eventos mutuamente excludentesOs eventos são classifi cados como mutuamente excludentes, quando o acontecimento

de um implica na impossibilidade do outro ocorrer. Nesse caso, a soma das probabilidades dos eventos é igual a 1 ou 100%.

Um exemplo desse tipo de evento é dado pela probabilidade de uma mãe ter uma criança do sexo masculino ou feminino. Repare que para este evento, só existem duas opções, que são excludestes entre si com relação ao sexo: masculino ou feminino. Nesse caso, a probabilidade da mãe ter uma criança do sexo masculino é 0,5 (50%). Consequentemente, a probabilidade dessa criança ser do sexo feminino é o complemento para 1 (100%), ou seja, 0,5 (50%).

Cálculo da probabilidadeA probabilidade de um determinado evento A ocorrer, é calculada pela equação:

Pr(A) =numero de eventos que apresentam A

numero total de eventos

Para realizarmos o cálculo da probabilidade, vamos considerar o exemplo a seguir e efetuar sua resolução passo a passo.

Atividade 3

1


ExemploSabe-se que há 26 cartas pretas e 26 cartas vermelhas em um baralho comum de 52

cartas, não considerando os coringas. Qual a probabilidade de se tirar, ao acaso, uma carta vermelha deste baralho?

Solução

Passo 1: Em primeiro lugar devemos identificar, no enunciado do problema, quais as nossas variáveis:

– Número total de eventos: 52, pois este é o número total de cartas no baralho.

– Número de eventos que apresentam A: nesse caso, A é o conjunto de cartas vermelhas, e há 26 cartas desse tipo em um baralho.

Passo 2: Identifi cados o número total de eventos e o número de eventos que representam A, devemos aplicar a fórmula da probabilidade:

Pr(A) =numero de eventos que apresentam A

numero total de eventos=

2652

=12

= 0, 5

Passo 3: Agora é só concluir: A probabilidade de se tirar, ao acaso, uma carta vermelha deste baralho é de 0,5. Muitas vezes apresentamos o valor da probabilidade em porcentagem. Nesse caso, é só multiplicar o valor obtido por 100. Assim temos:

0,5 × 100= 50%.

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de:

a) Sair o número 6?

2

3


b) Sair um número múltiplo de 3?

c) Sair um número menor do que 3?

A probabilidade de um casal heterozigoto (Aa x Aa) para o gene da fenilcetonúria (doença genética caracterizada pelo defeito ou ausência da enzima fenilalanina hidroxilase ) ter um fi lho afetado (aa) é 1/4. Se o casal tem 3 fi lhos, qual a possibilidade de um dos fi lhos ter a doença? Justifi que sua resposta.

Se a probabilidade de um indivíduo ter sangue Rh– é 10%, qual é a possibilidade de 5 indivíduos que se apresentaram para exame de sangue serem todos Rh–? Justifi que sua resposta.


Leis ou regras de probabilidadeUma grande parte das perguntas relacionadas ao cálculo da probabilidade pode ser

respondida pela observação das suas Propriedades Elementares e a aplicação da Lei ou Regra da Soma e da Lei ou Regra do Produto de probabilidade.

Propriedades ElementaresP1) A probabilidade de um evento impossível é nula (0%).

P2) A probabilidade de um evento certo é 1 (100%).

P3) A probabilidade de um evento qualquer é sempre um valor entre zero e um (entre 0% e 100%). Assim, é impossível se calcular uma probabilidade negativa ou maior que 1.

Regra da Soma ou regra do “ou”Essa regra diz que a probabilidade de que ocorram eventos mutuamente excludentes

como, por exemplo, A ou B ou C ou D etc é a soma de suas respectivas probabilidades e o total obtido será sempre igual a 1 (100%). Essa regra pode ser representada por:

Pr(A ou B ou C ou D . . . .) = Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) + Pr(D) + . . . .

Vamos ver um exemplo?

ExemploQual a probabilidade de, em uma gestação, nascer um indivíduo do sexo masculino ou

do sexo feminino?

SoluçãoPr(masculino ou feminino) = Pr(masculino) + Pr(feminino) =12

+12

= 1

Assim, há 100% de probabilidade de nascer um indivíduo do sexo masculino ou do sexo feminino.

Regra do Produto ou regra do “e”Essa regra diz que a probabilidade de que ocorram, simultaneamente, os eventos E, F, G,

H etc. é o produto de suas respectivas probabilidades, se estes eventos forem independentes entre si, e pode ser representado por:

Pr(E, F, G, e H . . .) = Pr(E)× Pr(F )× Pr(G)× Pr(H) . . .

Vamos ver um exemplo?


ExemploAs variáveis gênero (masculino e feminino) e grupo sanguíneo (A, B, AB e O) são

características independentes na espécie humana. Admitindo uma proporção de 1:1 em Natal, a probabilidade de um natalense selecionado ao acaso ser do sexo feminino e ter tipo sanguíneo O é:

SoluçãoPr(sexo feminino e grupo O) = Pr(sexo feminino)× Pr(grupo O) =

=12× 1

4= 0, 125 ou 12, 5%

Pode-se concluir que há 12,5% de chance de um natalense ser do sexo masculino e ter sangue tipo O.

Vamos vem uma aplicação das regras de probabilidade na genética?

Exercício resolvido 1Em experimentos realizados por Mendel, observou-se que o cruzamento de ervilhas

amarelas homozigotas (AA) com ervilhas verdes homozigotas (aa) originaram ervilhas amarelas heterozigotas (Aa). Se essas ervilhas fossem cruzadas entre si, seriam originadas ervilhas amarelas e verdes, na proporção de 3:1. Suponha que Mendel pegou, ao acaso, três ervilhas, resultantes do cruzamento de ervilhas amarelas heterozigotas. Qual a probabilidade de as três serem verdes?

Figura 3 – Gregor Johann Mendel

Resolução

De acordo com o enunciado do texto, se cruzarmos ervilhas amarelas AA com ervilhas verdes (aa), temos 100% de ervilhas amarelas, pois ambas ervilhas produzirão gametas de um tipo só:

Atividade 4

1


as amarelas produzirão gametas A e as verdes a. A combinação desses gametas origina apenas Aa, ou seja, ervilhas amarelas.

Agora, se cruzarmos as ervilhas amarelas originadas desse cruzamento (Aa) entre si, teremos a produção de dois tipos de gametas para cada uma: gametas A e a. E se realizarmos sua combinação, teremos:

A a

Proporção 3:1 = Três ervilhasamarelas para uma ervilha verde

A AAErvilha amarela

AaErvilha amarela

a AaErvilha amarela

aaErvilha verde

Assim, por esse cruzamento, podemos concluir que a probabilidade de uma ervilha resultante do cruzamento de Aa × Aa de ser verde (aa) é uma em quatro, ou seja 1/4 ou 25%.

Agora podemos calcular a probabilidade das três ervilhas serem verdes, aplicando a regra do produto:Pr(três ervilhas verdes) = Pr(ervilha verde)×Pr(ervilha verde)×Pr(ervilha verde) Pr(tres ervilhas verdes) =

14× 1

4× 1

4=

164

ou 1, 56%

Um casal tem dois fi lhos. Qual a probabilidade de:

O primogênito ser homem.

2

3


Os dois fi lhos serem homens.

Pelo menos um dos fi lhos serem homem.

ResumoNesta aula, você conheceu um pouco da história da probabilidade e compreendeu o seu conceito. Entendeu o conceito de acaso e estudou os principais tipos de eventos: aleatórios, independentes e mutuamente excludentes. Aprendeu como calcular a probabilidade utilizando a sua fórmula e visualizando exercícios resolvidos. Conheceu as leis de probabilidade, ou seja, regra da soma ou regra do ou e a regra do produto ou regra do e, bem como suas propriedades elementares. Aprendeu como aplicar essas leis tendo como exemplo situações cotidianas e exercícios de genética.

1

2


Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo O é 40%, ser do tipo A é 30% e ser do tipo B é 20%. Suponha ainda que a probabilidade de Rh+ é de 90% e que o fator Rh independe do tipo sanguíneo. Nessas condições, qual a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população ser:

O, Rh+

AutoavaliaçãoAgora que você já compreendeu os principais conceitos e regras que compõem a Teoria

da Probabilidade, teste seus conhecimentos adquiridos, resolvendo o exercício abaixo.

AB, Rh–



CRUSIUS, C. A. A razão como faculdade calculadora: a aposta de Pascal. Porto Alegre: Ed. Universidade/UFRGS, 2001.


LOPES, Paulo Afonso. Probabilidade e estatística: conceitos, modelos e aplicações em excel. Rio de Janeiro: Reichamann e Afonso Editores, 1999.



Anotações


Anotações

Esta edição foi produzida em mês de 2012 no Rio Grande do Norte, pela Secretaria de Educação a Distância da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (SEDIS/UFRN). Utilizando-se Helvetica Lt Std Condensed para corpo do texto e Helvetica Lt Std Condensed Black títulos e subtítulos sobre papel offset 90 g/m2.

Impresso na nome da gráfi ca

Foram impressos 1.000 exemplares desta edição.

SEDIS Secretaria de Educação a Distância – UFRN | Campus UniversitárioPraça Cívica | Natal/RN | CEP 59.078-970 | [email protected] | www.sedis.ufrn.br

bioestatistica livro web

Documents