bioestat´istica caderno de problemas

Mestrado Integrado em Medicina

Faculdade de Ciencias da Saude

Universidade da Beira Interior

BIOESTATISTICA

Caderno de Problemas

Helena Ferreira

Ana Paula Martins

Jorge Gama

2010/2011

Nota previa

O conjunto de problemas que se apresenta foi elaborado para os

alunos que frequentam a componente de Bioestatıstica do modulo de

Iniciacao a Medicina, o qual integrava o primeiro ano do Licenciatura

em Medicina da Faculdade de Ciencias da Saude da Universidade da

Beira Interior e actualmente integra o primeiro ano do Mestrado Inte-

grado em Medicina. Todos os graficos inseridos nos problemas foram

executados na folha de calculo Microsoft Excel.

Os pre-requisitos para a componente de Bioestatıstica sao conheci-

mentos de analise e teoria de conjuntos usualmente ministrados no ensino

secundario.

A Bioestatıstica e ministrada em tres Unidades Pedagogicas, com

a carga horaria de 8 horas por unidade, tendo em alguns anos a ultima

unidade pedagogica 12 horas, dedicadas a Estatıstica Descritiva, Modelos

de Probabilidades e Tecnicas de Inferencia Estatıstica.

No termino de cada unidade os alunos realizam um teste de afericao

dos conhecimentos adquiridos que e composto por questoes de resposta

curta aberta e questoes de resposta de escolha. Esta avaliacao e efectuada

online com o recurso ao software Questionmark.

Previamente a apresentacao de cada conjunto de problemas apresen-

tamos os objectivos da correspondente unidade pedagogica.

O caderno de questoes que se apresenta esta disponıvel na Intranet

para os alunos e sera anualmente sujeito a revisao e inclusao de novas

questoes.

Conteudo

1 Unidade Pedagogica I: Estatıstica Descritiva 1

1.1 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Unidade Pedagogica II: Modelos de Probabilidades 32

2.1 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Unidade Pedagogica III: Introducao a Inferencia Estatıstica 53

3.1 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A Formulario e tabelas 70

B Solucoes dos problemas 74

B.1 Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

B.2 Capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

B.3 Capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

I

Capıtulo 1

Unidade Pedagogica I: Estatıstica

Descritiva

1.1 Objectivos

a) identificar e classificar variaveis estatısticas e suas escalas de medida;

b) calcular distribuicoes de frequencias de dados de variaveis estatısticas unidimensionais e bidimen-

sionais;

c) construir e interpretar representacoes graficas de dados quantitativos e qualitativos, univariados e

bivariados;

d) definir, calcular e interpretar medidas de localizacao: media, quantis e moda;

e) definir, calcular e interpretar medidas de dispersao: variancia, desvio padrao, coeficiente de variacao

e amplitudes;

f) aplicar tecnicas descritivas a dados agrupados;

g) identificar o efeito da alteracao da unidade de medida nas medidas de localizacao, medidas de

dispersao e forma da distribuicao;

h) usar medidas de localizacao e dispersao na identificacao de observacoes discordantes;

i) definir, calcular e interpretar o coeficiente de correlacao entre variaveis estatısticas;

j) interpretar a equacao da recta de regressao;

k) usar o software estatıstico SPSS no tratamento de dados.

1

Unidade Pedagogica I: Estatıstica Descritiva

1.2 Problemas

1. Numa amostra de doentes com Insuficiencia Cardıaca Congestiva (ICC), a etiologia da ICC foi a

Hipertensao Arterial em 30% dos doentes, a Doenca Arterial Coronaria em 22%, a Miocardiopatia

Dilatada Idiopatica em 18%, a Doenca Reumatica da Valvula Mitral em 16% e causas desconhecidas

em 14% dos casos.

De entre,

(a) diagrama de barras,

(b) diagrama de dispersao,

(c) diagrama circular,

a representacao grafica para estes dados seria atraves de

A - apenas (a).

B - apenas (b).

C - apenas (c).

D - apenas (a) e (b).

E - apenas (a) e (c).

2. Observaram-se as seguintes distribuicoes de frequencias para uma variavel estatıstica x em tres

grupos.

Grupo A

1/6

1/3 1/3

1/6

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Grupo B

1/6

1/3 1/3

1/6

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Grupo C

1/6

1/3 1/3

1/6

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3


2.1 Classifique, quanto a sua veracidade, as afirmacoes seguintes.

(a) O valor medio no grupo A e igual ao valor medio no grupo C.

(b) O valor medio no grupo B difere do valor medio no grupo A em 1 unidade.

(c) A distribuicao de frequencias observada no grupo B e unimodal simetrica.

(d) A mediana no grupo B e inferior a mediana no grupo A.

(e) A moda e igual a 1/3 nos tres grupos.

Sao verdadeiras

A - as afirmacoes (b) e (e).

B - as afirmacoes (b) e (d).

C - as afirmacoes (b), (d) e (e).

D - as afirmacoes (a), (c) e (d).

E - as afirmacoes (c), (d) e (e).


(a) O desvio padrao no grupo A e superior ao desvio padrao no grupo B.

(b) O desvio padrao do grupo C e o dobro do desvio padrao do grupo B.

(c) Os diagramas de extremos-e-quartis coincidem nos grupos A e B.

(d) A amplitude interquartil no grupo A e superior a amplitude interquartil no grupo B.

(e) A amplitude no grupo C e superior a amplitude no grupo B.

Sao verdadeiras



C - as afirmacoes (b), (d) e (e).

D - as afirmacoes (a), (c) e (e).

E - as afirmacoes (a), (d) e (e).

3. As 40 criancas de uma amostra foram classificadas em funcao da cor dos seus cabelos e dos de suas

maes (“claro” - “escuro”) tendo sido obtida a seguinte tabela de contingencia.

Criancas

Claro Escuro

Claro 27 0Maes

Escuro 5 8

4


3.1 A proporcao de criancas com maes de cabelos claros e

A - 27/40

B - 13/40

C - 5/40

D - 32/40

E - 1

3.2 A proporcao de criancas com cabelo de tom discordante do da mae e

A - 5/13

B - 1/8

C - 5/32

D - 1/2

E - 0

3.3 Entre as criancas com maes de cabelos escuros a proporcao das que tem cabelos escuros e

A - 8/40

B - 1

C - 5/40

D - 8/13

E - 13/40

4. Os diagramas de dispersao seguintes representam os valores do peso (em kg) e altura (em cm)

observados em dois grupos.

148

150

152

154

156

158

160

162

164

166

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Peso (Kg)

Alt

ura

(c

m)

Grupo A

Grupo B

Classifique, quanto a sua veracidade, as seguintes afirmacoes sobre os coeficientes de correlacao,

entre o peso e a altura, nos grupos A e B.

(a) O coeficiente de correlacao no grupo A e maior do que no grupo B.

(b) No grupo B, quando a altura varia em sentido crescente o peso tende a decrescer.

(c) No grupo A, quando o peso varia em sentido decrescente a altura tende a decrescer.

(d) A correlacao no grupo B atinge o valor maximo.

5


(e) A correlacao no grupo A e negativa.

(f) No grupo A observamos uma correlacao positiva forte.

(g) Os valores observados para o par de variaveis estatısticas altura e peso so podem ser represen-

tados num diagrama de dispersao porque as variaveis sao quantitativas relacionadas.

(h) Os valores observados para o par de variaveis estatısticas altura e peso podem ser representados

num diagrama de dispersao porque as variaveis sao categoricas nominais.

Sao verdadeiras

A - as afirmacoes (b) e (e)

B - as afirmacoes (d) e (f)

C - as afirmacoes (a), (c) e (h)

D - as afirmacoes (c), (f) e (h)

E - as afirmacoes (a), (c) e (f)

5. Considere a distribuicao de frequencias representada pela funcao cumulativa seguinte.

0 0

1/10

3/10

7/10

9/10

1 1

0

1/10

2/10

3/10

4/10

5/10

6/10

7/10

8/10

9/10

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

5.1 A proporcao de valores observados entre 3 e 4 e

A - 7/10

B - 1/5

C - 4/5

D - 9/10

E - 2/5

5.2 A classe que contem maior numero de observacoes e

A - ]2,3]

B - ]4,5]

C - ]3,4]

D - ]0,1]

E - ]5,6]

6


5.3 O intervalo ]1,4] contem

A - 50% das observacoes

B - 70% das observacoes

C - 80% das observacoes

D - 90% das observacoes

E - 100% das observacoes

5.4 50% das observacoes sao inferiores ou iguais a

A - 2

B - 2.5

C - 3

D - 3.5

E - 4

5.5 Sao superiores ou iguais a 4

A - 1/10 das observacoes

B - 1/5 das observacoes

C - 9/10 das observacoes

D - 9/5 das observacoes

E - 4/5 das observacoes

5.6 A proporcao de dados iguais a 6 e

A - 0

B - 1

D - 1/10

C - 1/5

E - 5

6. Considere a seguinte distribuicao de frequencias observada para o numero de consultas por doente

num determinado grupo de 100 doentes.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5

Número de consultas

6

7


6.1 O numero de consultas, por doente, mais frequente e

A - 1

B - 2

C - 5

D - 40

E - 70

6.2 O numero medio de consultas por doente e

A - 1

B - 1.5

C - 2.15

D - 3.5

E - 4.5

6.3 A amplitude da amostra e

A - 4

B - 5

C - 35

D - 40

E - 100

6.4 O primeiro e terceiro quartis sao, respectivamente, iguais a

A - 2 e 3

B - 2 e 4

C - 1 e 4

D - 1 e 3

E - 1.5 e 3.5

7. Observaram-se as seguintes distribuicoes de frequencias para uma variavel estatıstica x em tres

grupos.

Amostra A

1/16

1/8

3/16

1/4

3/16

1/8

1/16

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Amostra B

1/8

3/16

1/4

3/16

1/8

1/16 1/16

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

8


Amostra C

3/16

1/4

3/16

1/8 1/8 1/8

-2 -1 0 1 2 3 4 5


(a) A moda das tres distribuicoes e igual a zero.

(b) Na distribuicao da amostra B, a media e inferior a moda.

(c) Na distribuicao da amostra C, a mediana e inferior a moda.

(d) Na distribuicao da amostra A, a media, a moda e a mediana sao coincidentes.

Sao verdadeiras

A - as afirmacoes (a) e (b).

B - as afirmacoes (a) e (d).

C - as afirmacoes (b) e (d).

D - as afirmacoes (c) e (d).

E - as afirmacoes (a), (c) e (d).

7.2 Considere a distribuicao de frequencias observada na amostra A. A variancia desta distribuicao

de frequencias e igual a

A - 0

B - 1/2

C - 2/3

D - 5/2

E - 6

7.3 Considere a distribuicao de frequencias observada na amostra C. O primeiro quartil da dis-

tribuicao de frequencias e igual a

A - -1

B - 0

C - 1/4

D - 1

E - 2

9


8. Os diagramas de dispersao seguintes representam os valores das variaveis estatısticas quantitativas

x e y observados em dois grupos.

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8

x

y

Grupo A

Grupo B

Classifique, quanto a sua veracidade, as seguintes afirmacoes sobre os coeficientes de correlacao,

entre x e y, nos grupos A e B.

(a) O coeficiente de correlacao no grupo B e maior do que no grupo A.

(b) No grupo A, quando x varia em sentido crescente y tende a decrescer.

(c) A correlacao no grupo B atinge o valor maximo.

(d) A correlacao no grupo A e negativa.

(e) No grupo B observamos uma correlacao positiva forte.

Sao verdadeiras


B - as afirmacoes (a) e (b).



E - as afirmacoes (a), (b) e (d).

9. Um conjunto de doentes foi dividido em dois grupos, A e B, e para cada doente registou-se o numero

de episodios de doenca, num certo perıodo de tempo, tendo sido obtida a seguinte distribuicao de

frequencias absolutas.

Grupos

A B

0 2 6

1 3 7No de episodios

2 5 2

3 6 1

10


9.1 Classifique, quanto a sua veracidade, as afirmacoes seguintes sobre a distribuicao de frequencias

observada.

(a) A mediana da distribuicao do numero de episodios de doenca no grupo A e superior ao

correspondente valor no grupo B.

(b) O numero medio de episodios no grupo A e inferior ao numero medio de episodios no grupo

B.

(c) A amplitude interquartil do grupo A e superior a amplitude interquartil no grupo B.

(d) Mais de 75% dos indivıduos do grupo A tem pelo menos um episodio de doenca.

Sao verdadeiras


B - as afirmacoes (a) e (d).




9.2 A proporcao de doentes com pelo menos 2 episodios de doenca e igual a

A - 5/16

B - 1/8

C - 7/16

D - 5/8

E - 7/32

9.3 Entre os doentes com 3 episodios de doenca a proporcao dos que pertencem ao grupo A e igual

a

A - 1/16

B - 3/16

C - 3/8

D - 6/7

E - 7/32

9.4 O numero medio de episodios de doenca e igual a

A - 45/32

B - 31/16

C - 7/8

D - 1/32

E - 3/32

11


9.5 A representacao grafica das distribuicoes de frequencias nos dois grupos em simultaneo poderia

ser realizada atraves de

A - um diagrama circular

B - um diagrama de dispersao

C - um histograma

D - um diagrama de barras segmentadas

E - um polıgono de frequencias

10. A distribuicao de frequencias observada para uma variavel estatıstica x foi classificada e representada

pela funcao cumulativa de frequencias seguinte.

0

1/4

1/2

3/4

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5

x

10.1 Aproximadamente 25% das observacoes sao superiores ou iguais a

A - 0.5

B - 1

C - 1.5

D - 2

E - 2.5

10.2 A mediana da distribuicao de frequencias e igual a

A - 1

B - 1.25

C - 1.5

D - 1.75

E - 2.5

10.3 A media da amostra pode ser aproximada por

A - 1/2

B - 3/2

C - 5/2

D - 3/4

E - 2

12


11. A distribuicao de frequencias observada para o numero de tratamentos num determinado grupo de

doentes esta representada pelo diagrama de frequencias acumuladas seguinte.

1 2 3 4 5 6

Nº de tratamentos

11.1 O numero de tratamentos mais observado e

A - 1

B - 2

C - 3

D - 4

E - 6

11.2 A media da distribuicao de frequencias observada e igual a

A - 1

B - 1.5

C - 2.5

D - 3

E - 4

11.3 A amplitude interquartil observada e igual a

A - 1

B - 1.5

C - 2

D - 2.5

E - 3

11.4 Na distribuicao de frequencias observada

A - a moda, a mediana e a media coincidem.

B - a moda e inferior a mediana e esta coincide com a media.

C - a moda coincide com a mediana e esta esta e inferior a media.

D - a moda e inferior a mediana e esta e inferior a media.

E - a moda e superior a mediana e esta e superior a media.

13


11.5 Neste grupo de doentes, tendo-se identificado um padrao linear entre o numero x de tratamentos

e o numero y de anos de sobrevivencia, o coeficiente de correlacao obtido entre estas variaveis

foi igual a 0.8.

Classifique, quanto a sua veracidade, as afirmacoes seguintes sobre os dados destas variaveis

estatısticas neste grupo de doentes.

(a) O diagrama de dispersao apresenta a maioria dos pontos sobre o primeiro e terceiro qua-

drantes definidos pelas rectas x=“media do numero de tratamentos” e y=“media do numero

de anos de sobrevivencia”.

(b) O numero de anos de sobrevivencia e uma funcao crescente do numero de tratamentos.

(c) Existe uma relacao causal entre as duas variaveis estatısticas.

(d) O numero de anos de sobrevivencia acompanha tendencialmente o numero de tratamentos

no mesmo sentido.

Sao verdadeiras

A - as afirmacoes (b) e (c).

B - as afirmacoes (a) e (c).

C - as afirmacoes (c) e (d).

D - as afirmacoes (a) e (d).

E - as afirmacoes (b), (c) e (d).

12. A tabela seguinte descreve a distribuicao do numero de consultas de planeamento familiar, num

certo perıodo de tempo, num determinado grupo de utentes de um Centro de Saude.

Mulheres Homens

Numero 0 5 10

de 1 10 2

consultas 2 9 m

12.1 Se a proporcao de mulheres no grupo e o dobro da proporcao de homens entao o valor de m e

igual a

A - 0

B - 2

C - 9

D - 10

E - 12

12.2 O numero medio de consultas entre as mulheres e igual a

A - 1/24

B - 5/12

C - 1

D - 7/6

E - 2

14


12.3 O numero de consultas mais observado neste grupo de utentes e igual a

A - 0

B - 2

C - 15

D - 24

E - 34

13. Num grupo de doentes foram registados o numero de tratamentos de determinado tipo e o numero

de reaccoes alergicas, tendo sido obtidos os valores seguintes.

Numero de tratamentos

1 2 3

Numero de 0 3 2 1

reaccoes 1 2 3 4

alergicas 2 1 2 3

13.1 O numero medio de reaccoes alergicas e igual a

A - 0.5

B - 1

C - 1.5

D - 1.75

E - 2

13.2 A proporcao de doentes com pelo menos uma reaccao alergica e igual a

A - 2/21

B - 2/9

C - 1/3

D - 3/7

E - 5/7

13.3 A proporcao de doentes com um tratamento e sem reaccoes alergicas e igual a

A - 1/3

B - 1/7

C - 2/7

D - 3/7

E - 4/7

13.4 1/3 dos doentes com reaccoes alergicas efectuou

A - 1 tratamento.

B - pelo menos 1 tratamento.

C - 2 tratamentos.

D - pelo menos 2 tratamentos.

E - 3 tratamentos.

15


13.5 O numero medio de tratamentos entre os doentes sem reaccoes alergicas e igual a

A - 1/3

B - 1/7

C - 5/3

D - 7/3

E - 4/7

14. Identificou-se um padrao linear entre a variavel x=“peso (em g)” e a variavel y=“altura (em cm)”,

a partir de uma amostra. Com esta amostra obteve-se o valor 0.6 para o coeficiente de correlacao

entre as variaveis x e y.

14.1 O coeficiente de correlacao entre as variaveis z = 103x (em kg) e y e igual a

A - 0.0006

B - 0.006

C - 0.06

D - 0.6

E - 6

14.2 Para a e b constantes, o coeficiente de correlacao entre as variaveis z = ax + b e y e igual a

A - 0.6a + b

B - 0.6 + b

C - 0.6

D - 20.6a + b

E - 20.6a

15. Numa amostra de 100 indivıduos de uma populacao foram encontrados 50 portadores de uma deter-

minada alteracao cromossomica.

15.1 A variavel estatıstica em estudo e

A - numerica discreta.

B - numerica contınua.

C - numerica classificada.

D - categorica nominal.

E - categorica ordinal.

15.2 De entre

(a) diagrama de barras segmentadas

(b) diagrama de dispersao

(c) diagrama circular

a representacao grafica para estes dados seria atraves de

16


A - apenas (a)

B - apenas (b)

C - apenas (c)

D - apenas (a) e (b)

E - apenas (a) e (c)

16. Num estudo destinado a investigar a reducao do apetite causada pela absorcao de anfetaminas,

injectaram-se anfetaminas a 10 ratos (doses de 5.0mg/Kg de peso do animal).

Usou-se como variavel resposta o peso (g/Kg de peso do animal) da comida ingerida por cada animal

nas tres horas subsequentes. Os dados estao registados na tabela seguinte:

Peso da comida ingerida

47.2 52.1 56.4 47.2 58.2 56.4 56.2 76.2 49.3 65.2

16.1 O peso de comida medio ingerida pelo ratos e igual a

A - 47.20

B - 56.30

C - 56.44

D - 57.75

E - 76.20

16.2 A mediana do peso de comida ingerida pelos ratos e igual a

A - 47.20

B - 56.30

C - 56.44

D - 57.75

E - 76.20

16.3 O 1o quartil do peso de comida ingerida pelos ratos e igual a

A - 47.20

B - 48.25

C - 49.30

D - 50.70

E - 52.10

16.4 O 3o quartil do peso de comida ingerida pelos ratos e igual a

A - 56.4

B - 58.2

C - 61.7

D - 65.2

E - 70.7

17


16.5 A amplitude interquartil do peso de comida ingerida pelos ratos e calculada atraves da diferenca

A - 1o Quartil - 3o Quartil

B - 3o Quartil - 1o Quartil

C - 2o Quartil - 1o Quartil

D - 3o Quartil - 2o Quartil

E - Maximo - Mınimo

17. Observe o seguinte grafico de frequencias absolutas para uma variavel estatıstica classificada x.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

]46, 54] ]54, 62] ]62, 70] ]70, 78]

Classes

Fre

qu

ên

cia

s a

bs

olu

tas

17.1 A proporcao de unidades estatısticas em que se observam valores superiores a 54 e igual a

A - 0.1

B - 0.2

C - 0.4

D - 0.6

E - 0.8

17.2 A proporcao de unidades estatısticas em que se observam no maximo o valor 62 e igual a

A - 0.1

B - 0.2

C - 0.4

D - 0.6

E - 0.8

17.3 Classifique quanto a sua veracidade as afirmacoes seguintes.

(a) A distribuicao de frequencias e assimetrica negativa.

(b) A distribuicao de frequencias e assimetrica positiva.

(c) A mediana coincide com a media.

(d) A mediana e inferior a media.

(e) A mediana e superior a media.

Sao verdadeiras

18


A - as afirmacoes (a) e (d).

B - as afirmacoes (a) e (e).

C - as afirmacoes (b) e (c).

D - as afirmacoes (b) e (d).

E - as afirmacoes (b) e (e).

17.4 Observe o seguinte polıgono integral para a variavel estatıstica x.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

34 46 54 62 70 78 90

Fre

qu

ên

cia

s r

ela

tiv

as

A frequencia relativa da classe ]62, 70] e igual a

A - 0.0

B - 0.1

C - 0.2

D - 0.8

E - 0.9

17.5 A percentagem de observacoes no intervalo ]46, 62] e igual a

A - 10%

B - 20%

C - 40%

D - 80%

E - 100%

18. Considere o seguinte grafico de extremos-e-quartis.

A

B

C

D

E

19


18.1 Legende o grafico correctamente.

A - mınimo; 1o quartil; mediana; 3o quartil; maximo

B - mınimo; 1o quartil; mediana; 3o quartil; maximo

C - mınimo; 1o quartil; mediana; 3o quartil; maximo

D - mınimo; 1o quartil; mediana; 3o quartil; maximo

E - mınimo; 1o quartil; mediana; 3o quartil; maximo

18.2 Complete a frase seguinte com uma das seguintes expressoes: “simetrica”, “assimetrica posi-

tiva”, “assimetrica negativa”.

“Este grafico de extremos-e-quartis esta associado a uma distribuicao .”

19. Considere os seguintes diagramas de dispersao

I

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

II

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

III

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

IV

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 2 4 6 8 10

e os seguintes coeficientes de correlacao

1. r = −0.59

2. r = 0.7

3. r = 0.92

4. r = 1

20


Faca corresponder a cada um dos diagramas de dispersao o respectivo coeficiente de correlacao.

I - 1; 2; 3; 4

II - 1; 2; 3; 4

III - 1; 2; 3; 4

IV - 1; 2; 3; 4

20. O diagrama de dispersao seguinte representa os valores do peso e do numero de idas ao hospital no

ultimo ano observados num grupo de doentes.

Peso

Nº d

e id

as a

o ho

spita

l

Classifique, quanto a sua veracidade, as afirmacoes seguintes.

(a) Quando o peso varia em sentido crescente o numero medio de consultas decresce.

(b) A correlacao atinge o valor maximo.

(c) A correlacao e positiva.

(d) Existe uma relacao causal entre as duas variaveis estatısticas.

(e) O numero de consultas acompanha tendencialmente o peso no mesmo sentido.

Sao verdadeiras

A - as afirmacoes (a) e (c).


C - as afirmacoes (c) e (e).

D - as afirmacoes (c), (d) e (e).

E - as afirmacoes (b), (c) e (e).

21


21. A observacao da percentagem de saturacao de bılis em 30 pacientes do sexo masculino conduziu aos

seguintes resultados:

Classes Frequencias

]50, 60] 6

]60, 70] 7

]70, 80] 9

]80, 90] 6

]90, 100] 2

21.1 A media desta distribuicao de frequencias e igual a

A - 69

B - 70

C - 71

D - 72

E - 73

21.2 A frequencia relativa de pacientes do sexo masculino com uma saturacao de bılis inferior ou

igual a 80% e igual a

A - 3/15

B - 3/10

C - 4/15

D - 13/30

E - 11/15

21.3 A frequencia relativa de pacientes do sexo masculino com uma saturacao de bılis superior a

70% e igual a

A - 17/30

B - 1/2

C - 4/15

D - 3/10

E - 1/15

21.4 A classe modal desta distribuicao de frequencias e

A - ]50, 60]

B - ]60, 70]

C - ]70, 80]

D - ]80, 90]

E - ]90, 100]

22


21.5 Quantas classes usaria para agrupar os dados relativos a percentagem de saturacao de bılis a

partir da regra de Sturges?

A - 4

B - 5

C - 6

D - 7

E - 8

21.6 A mediana desta distribuicao de frequencias e aproximadamente igual a

A - 62.22%

B - 70.00%

C - 71.80%

D - 72.22%

E - 79.22%

22. A tabela seguinte exibe o peso de 12 recem-nascidos, em kg, (x) e o respectivo aumento de peso

entre os 70 e 100 primeiros dias de vida, expresso em percentagem do peso de nascenca (y).

x 3.36 3.30 3.21 3.57 2.76 2.40 2.43 2.52 3.54 3.18 3.09 2.82

y 63 66 72 52 75 90 96 87 42 72 75 85

22.1 O grafico mais adequado para avaliar se existe uma relacao entre estas duas variaveis estatısticas

e

A - Histograma

B - Circular

C - Dispersao

D - Barras segmentadas

E - Extremos-e-quartis

22.2 Neste grupo de recem-nascidos, depois de se ter identificado um padrao linear entre o peso, x, e

o aumento de peso entre os 70 e 100 primeiros dias de vida, y, o coeficiente de correlacao entre

estas variaveis e igual a -0.93.

Classifique quanto a sua veracidade, as seguintes afirmacoes.

(a) Quando o peso de um recem-nascido varia em sentido crescente a percentagem de aumento

de peso entre os 70 e 100 primeiros dias de vida tende a decrescer, em media.

(b) O declive da recta de regressao e positivo.

(c) Existe uma correlacao negativa forte entre o peso de um recem-nascido e o respectivo

aumento entre os 70 e 100 dias de vida.

(d) A covariancia e negativa.

(e) O aumento de peso entre os 70 e 100 dias de vida de uma crianca acompanha tendencial-

mente o peso na nascenca.

23


Sao verdadeiras

A - as afirmacoes (a) e (e).


C - as afirmacoes (b) e (e).


E - as afirmacoes (a), (b) e (c).

22.3 Considere a seguinte representacao grafica do peso, x, e do aumento de peso entre os 70 e 100

primeiros dias de vida, y, dos 12 recem-nascidos.

Um recem-nascido com peso a nascenca igual a 3.4kg tera um aumento medio de peso entre os

70 e 100 primeiros dias de vida de .

23. Os valores a seguir referem-se a actividade de certa enzima (micromoles por minuto, por grama de

tecido) medidos em tecido gastrico normal de 11 pacientes com carcinoma gastrico.

Actividade de certa enzima

0.273 2.464 0.571 0.262 0.448 0.971 1.925 0.550 0.622 1.177 0.307

23.1 Qual das afirmacoes seguintes e verdadeira?

A - A media e a mediana da actividade da enzima sao iguais.

B - A media da actividade da enzima e maior que a respectiva mediana.

C - A media da actividade da enzima e menor que a respectiva mediana.

D - Nao e possıvel calcular a media da actividade da enzima.

E - Nao e possıvel calcular a mediana da actividade da enzima.

23.2 O primeiro e o terceiro quartis sao respectivamente iguais a

A - 0.3070 e 0.9710.

B - 0.3070 e 1.1770.

C - 0.4480 e 0.9710

D - 0.4480 e 1.1770.

E - 0.3775 e 1.0740.

24


23.3 De entre

(a) diagrama de barras

(b) tabela de frequencias

(c) diagrama de dispersao

(d) histograma

a representacao destes dados seria feita atraves de

A - apenas (a).

B - apenas (b).

C - apenas (c).

D - apenas (d).

E - apenas (b) e (d).

23.4 Num segundo grupo de 11 pacientes todos os valores observados foram, respectivamente, o

dobro dos valores observados no primeiro grupo.

Podemos afirmar que

A - a media e a mediana coincidem nos dois grupos.

B -a media e igual nos dois grupos mas a mediana no segundo grupo e o dobro

da do primeiro grupo.

C -a mediana e igual nos dois grupos mas a media do segundo grupo e o dobro

da media no primeiro grupo.

D -a media e a mediana no segundo grupo sao, respectivamente, o dobro da media

e mediana no primeiro grupo.

E -a media e a mediana no segundo grupo distam, respectivamente, duas unidades

da media e mediana no primeiro grupo.

23.5 Num terceiro grupo de 11 pacientes todos os valores observados foram, respectivamente, o triplo

dos valores observados no primeiro grupo. Representando a amplitude interquartil do primeiro

grupo por AIQ(1) temos que a amplitude interquartil do terceiro grupo e igual a

A - AIQ(1)

B - 3AIQ(1)

C - AIQ(1)+3

D - AIQ(1)/3

E - AIQ(1)-3

25


24. Numa amostra, a covariancia entre duas variaveis estatısticas z1 e z2 e igual a -0.75. O desvio padrao

de z1 e igual a 1.5 e o desvio padrao de z2 e igual a 0.52.

24.1 Nesta amostra, o coeficiente de correlacao linear entre z1 e z2 e aproximadamente igual a

A - 0.5

B - 0.75

C - 0.96

D - -0.75

E - -0.96

24.2 Observando-se um padrao linear no diagrama de dispersao entao a maioria dos pontos estao

sobre o e quadrantes definidos pelas rectas x=“media

de z1” e y=“media de z2”.

25. Foi observada uma amostra de 10 atletas do sexo feminino com idades compreendidas entre os 15

e os 20 anos, nas quais tinha sido diagnosticada anemia. Relativamente a cada uma das pacientes,

durante a permanencia numa unidade hospitalar, foi registada a seguinte informacao:

Atleta Dieta equilibrada Intensidade dos treinos Nıvel de ferro (mg)

1 Sim Moderada 14.3

2 Sim Elevada 7.8

3 Nao Baixa 27.0

4 Sim Moderada 11.0

5 Sim Elevada 9.9

6 Nao Baixa 14.5

7 Sim Baixa 15.4

8 Nao Baixa 20.8

9 Nao Elevada 10.5

10 Sim Baixa 15.9

25.1 Classifique quanto a sua veracidade as afirmacoes seguintes, relativas as variaveis estatısticas

anteriores.

(a) A variavel estatıstica ”dieta equilibrada”e qualitativa nominal.

(b) A variavel estatıstica ”dieta equilibrada”e qualitativa ordinal.

(c) A variavel estatıstica ”intensidade de treinos”e qualitativa nominal.

(d) A variavel estatıstica ”intensidade de treinos”e qualitativa ordinal.

(e) A variavel estatıstica ”nıvel de ferro”e quantitativa.

Sao verdadeiras

26




C - as afirmacoes (a) e (d).

D - as afirmacoes (a), (d) e (e).

E - as afirmacoes (b), (d) e (e).

25.2 Classifique quanto a sua veracidade as afirmacoes seguintes.

(a) A representacao grafica da distribuicao de frequencias da variavel estatıstica ”dieta equili-

brada”poderia ser realizada atraves de um diagrama circular.

(b) A representacao grafica da distribuicao de frequencias da variavel estatıstica ”dieta equili-

brada”poderia ser realizada atraves de um diagrama de barras.

(c) A representacao grafica conjunta das variaveis estatısticas ”dieta equilibrada”e ”intensidade

de treinos”poderia ser realizada atraves de um diagrama de dispersao.

(d) E possıvel calcular a media da variavel estatıstica ”intensidade de treinos”.

Sao verdadeiras



C - as afirmacoes (a) e (b).

D - as afirmacoes (a), (b) e (c).


25.3 A proporcao de atletas com intensidade de treino elevada e

A - 1/10

B - 2/10

C - 3/10

D - 5/10

E - 6/10

25.4 Entre as atletas com uma dieta equilibrada a proporcao das que tem uma intensidade de treinos

baixa e

A - 2/10

B - 4/10

C - 2/5

D - 6/10

E - 2/6

25.5 A proporcao de atletas com uma intensidade de treino pelo menos moderada e

A - 1/10

B - 2/10

C - 3/10

D - 4/10

E - 5/10

27


25.6 Complete a frase seguinte com uma das seguintes palavras: “baixa”, “moderada”, “elevada”.

“50% das atletas tem uma intensidade de treinos .”

25.7 Entre as atletas com uma intensidade de treinos baixa ou moderada a proporcao das que nao

fazem uma dieta equilibrada e

A - 5/10

B - 4/7

C - 3/7

D - 7/10

E - 5/7

26. Foi observada uma amostra de 10 atletas do sexo feminino com idades compreendidas entre os 15

e os 20 anos, nas quais tinha sido diagnosticada anemia. Relativamente a cada uma das pacientes,

durante a permanencia numa unidade hospitalar, foi registada o nıvel de ferro (mg). Esta variavel

estatıstica depois de classificada originou a seguinte distribuicao de frequencias.

Classes Frequencias

]7.4, 12.4] 4

]12.4, 17.4] 4

]17.4, 22.4] 1

]22.4, 27.4] 1

26.1 A media desta distribuicao de frequencias e igual a

A - 1.0mg

B - 4.0mg

C - 5.0mg

D - 10.0mg

E - 14.4mg

26.2 O desvio padrao corrigido desta distribuicao de frequencias e aproximadamente igual a

A - 4, 23mg

B - 4, 72mg

C - 4, 97mg

D - 22, 25mg

E - 24, 72mg

26.3 A mediana desta distribuicao de frequencias e aproximadamente igual a

A - 7.40mg

B - 12.40mg

C - 13.65mg

D - 14.90mg

E - 17.40mg

28


26.4 A frequencia relativa de atletas com um nıvel de ferro superior a 17.4mg e igual a

A - 1/10

B - 1/5

C - 4/10

D - 1/2

E - 4/5


(a) A distribuicao de frequencias e unimodal.

(b) A distribuicao de frequencias e bimodal.

(c) A distribuicao de frequencias e simetrica.

(d) A distribuicao de frequencias e assimetrica negativa.

(e) A distribuicao de frequencias e assimetrica positiva.

Sao verdadeiras


B - as afirmacoes (a) e (e).

C - as afirmacoes (b) e (c).

D - as afirmacoes (b) e (d).

E - as afirmacoes (b) e (e).

27. No servico de neurologia de dois hospitais registou-se o numero de pulsacoes por minuto de dois

grupos de pessoas, antes (x) e depois (y) de tomarem um certo calmante. Os diagramas de dispersao

seguintes representam os valores observados nos dois hospitais.

74

76

78

80

82

84

86

88

70 75 80 85 90

Nº de pulasações antes de tomar o calmante

Nº

de

pu

lasaçõ

es d

ep

ois

de t

om

ar

o

calm

an

te

Hospital A

Hospital B

Classifique, quanto a sua veracidade, as seguintes afirmacoes sobre os coeficientes de correlacao entre

o numero de pulsacoes antes e depois de tomar o calmante, nos hospitais A e B.

(a) A correlacao no grupo do hospital B atinge o valor maximo.

(b) A correlacao nos dois grupos e negativa.

(c) A covariancia entre x e y no hospital B e positiva.

29


(d) A correlacao no grupo do hospital A e maior que no grupo do hospital B.

(e) No hospital A, quando x varia em sentido crescente o y tende a decrescer.

(f) Existe uma relacao causal entre as duas variaveis estatısticas.

Sao verdadeiras


B - as afirmacoes (c) e (f).

C - as afirmacoes (a), (c) e (f).



28. Observaram-se as seguintes distribuicoes para uma variavel estatıstica em tres grupos.

I II

III

Considere os seguintes diagramas de extremos-e-quartis

A B C

30


Faca corresponder os diagramas de extremos-e-quartis a cada uma das distribuicoes de frequencias.

A - I; II; III

B - I; II; III

C - I; II; III

31

Capıtulo 2

Unidade Pedagogica II: Modelos de

Probabilidades

2.1 Objectivos

a) questionar a importancia de estudar Probabilidades em Medicina;

b) distinguir experiencias aleatorias de experiencias deterministas e definir espaco de resultados e acon-

tecimentos associados a uma experiencia aleatoria;

c) definir probabilidade;

d) enumerar e aplicar as propriedades de uma probabilidade (aditividade, probabilidade condicional e

probabilidade conjunta);

e) aplicar e interpretar probabilidades condicionais na caracterizacao do desempenho de testes diagnos-

ticos;

f) definir variavel aleatoria real discreta, variavel aleatoria real contınua e distribuicao de probabilidade

de uma variavel aleatoria;

g) definir e interpretar a media e a variancia de uma distribuicao de probabilidade discreta. Interpretar

a media e a variancia de uma distribuicao de probabilidade contınua;

h) enumerar e aplicar as propriedades da media e variancia de uma distribuicao de probabilidade;

i) enumerar distribuicoes de probabilidade e identificar as distribuicoes Binomial, Poisson e Normal;

j) interpretar e aplicar o Teorema Limite Central.

32

Unidade Pedagogica II: Modelos de Probabilidades

2.2 Problemas

1. Para uma determinada populacao, a distribuicao de probabilidade do tipo de sangue e descrita pela

tabela seguinte.

Probabilidades

Homens Mulheres

O 0.21 0.21

Tipo de A 0.215 0.215

Sangue B 0.055 0.055

AB 0.02 0.02

1.1 A probabilidade de que uma pessoa, seleccionada ao acaso na populacao, tenha sangue do tipo

B e igual a

A - 0.055

B - 0.020

C - 0.110

D - 0.140

E - 0.500

1.2 A probabilidade de que uma pessoa, seleccionada ao acaso na populacao, nao tenha sangue do

tipo O e igual a

A - 0.42

B - 0.58

C - 0.70

D - 0.80

E - 0.90

1.3 A probabilidade de que uma mulher, seleccionada ao acaso na populacao, tenha sangue do tipo

A e igual a

A - 0.040

B - 0.215

C - 0.420

D - 0.430

E - 0.500

1.4 A probabilidade de que uma pessoa com sangue do tipo A, seleccionada ao acaso na populacao,

seja do genero feminino e igual a

A - 0.040

B - 0.215

C - 0.420

D - 0.430

E - 0.500

34


1.5 Classifique, quanto a sua veracidade, as afirmacoes seguintes sobre acontecimentos relativos a

escolha de uma pessoa ao acaso na populacao.

(a) Os acontecimentos “ocorre uma pessoa com sangue do tipo A” e “ocorre uma pessoa do

genero masculino” sao independentes.

(b) Os acontecimentos “ocorre mulher com sangue do tipo A” e “ocorre mulher com sangue do

tipo B” sao independentes.

(c) A realizacao do acontecimento “ocorre mulher” implica a realizacao do acontecimento

“ocorre mulher com sangue do tipo AB”.

(d) A realizacao do acontecimento “ocorre pessoa com sangue do tipo B”implica a nao reali-

zacao do acontecimento “ocorre pessoa com sangue do tipo O”.

(e) Os acontecimentos “ocorre homem” e “ocorre mulher” sao independentes.

Sao verdadeiras


B - as afirmacoes (d) e (e).


D - as afirmacoes (b), (d) e (e).

E - as afirmacoes (a), (b) e (e).

2. Assuma que, no Hospital da Cova da Beira, entre os doentes internados metade sao do sexo feminino,

1/3 apresenta insuficiencia cardıaca e 1/4 e do sexo feminino e apresenta insuficiencia cardıaca.

2.1 A probabilidade de um doente, escolhido ao acaso, ser do sexo feminino ou ter insuficiencia

cardıaca e igual a

A - 1/6

B - 1/4

C - 1/3

D - 7/12

E - 5/6

2.2 A probabilidade de um doente, escolhido ao acaso, ser do sexo feminino e nao ter insuficiencia

cardıaca e igual a

A - 1/12

B - 1/4

C - 1/3

D - 3/4

E - 5/6

35


2.3 A probabilidade de um doente, escolhido ao acaso, ser do sexo masculino e ter insuficiencia

cardıaca e igual a

A - 1/12

B - 1/4

C - 1/3

D - 3/4

E - 5/6

2.4 A probabilidade de um doente, escolhido ao acaso, ser do sexo masculino e ter nao insuficiencia

cardıaca e igual a

A - 1/6

B - 1/4

C - 1/3

D - 5/12

E - 7/12

3. Considere o teste do antigenio especıfico da prostata (prostate specific antigen - PSA) na deteccao

do cancro da prostata numa populacao de 1000 homens, com 60 ou mais anos, cuja prevalencia de

cancro da prostata e 10%, de entre os quais 70 dos que tinham cancro da prostata apresentavam um

teste positivo e 90 dos que nao tinham cancro da prostata apresentavam um teste positivo.

3.1 A sensibilidade do teste descrito e

A - 0.1

B - 0.3

C - 0.5

D - 0.7

E - 0.9

3.2 A especificidade do teste descrito e

A - 0.1

B - 0.3

C - 0.5

D - 0.7

E - 0.9

3.3 O valor preditivo positivo do teste descrito e

A - 0.0357

B - 0.4375

C - 0.5625

D - 0.6250

E - 0.9643

36


3.4 O valor preditivo negativo do teste descrito e

A - 0.0357

B - 0.4375

C - 0.5625

D - 0.6250

E - 0.9643

4. Considera-se que, em determinada populacao, 60% dos indivıduos sao do sexo feminino, 40% dos

indivıduos do sexo feminino sao portadores do gene A, sendo a correspondente percentagem nos

indivıduos do sexo masculino igual a 20%.

4.1 Ao escolhermos ao acaso um indivıduo nesta populacao, a probabilidade de encontrarmos uma

mulher portadora do gene A e igual a

A - 0.08

B - 0.20

C - 0.24

D - 0.40

E - 0.60

4.2 Ao escolhermos ao acaso um indivıduo nesta populacao, a probabilidade de encontrarmos um

portador do gene A e igual a

A - 0.32

B - 0.50

C - 0.60

D - 0.68

E - 0.72

4.3 Ao escolhermos ao acaso um indivıduo nesta populacao, a probabilidade de encontrarmos um

indivıduo do sexo masculino ou portador do gene A e igual a

A - 0.08

B - 0.50

C - 0.60

D - 0.64

E - 0.72

4.4 A variavel aleatoria definida pelo numero de indivıduos do sexo feminino em 100 indivıduos

escolhidos ao acaso, um a um e com reposicao, na referida populacao tem distribuicao

A - Normal de valor esperado µ = 100 e desvio padrao σ = 2.4.

B - Normal de valor esperado µ = 60 e desvio padrao σ = 24.

C - Normal de valor esperado µ = 100 e desvio padrao σ = 24.

D - Binomial de parametros n = 100 e p = 0.6.

E - Binomial de parametros n = 100 e p = 0.24.

37


4.5 A probabilidade de encontrarmos exactamente uma mulher em tres pessoas escolhidas nesta

populacao, ao acaso uma a uma e com reposicao, e igual a

A - 0.096

B - 0.100

C - 0.220

D - 0.288

E - 0.543

5. Sejam E e F dois acontecimentos independentes, numa determinada experiencia aleatoria, de pro-

babilidades 0.4 e 0.6, respectivamente.

5.1 A probabilidade de se realizar algum destes acontecimentos numa prova da experiencia e igual

a

A - 0.10

B - 0.24

C - 0.40

D - 0.60

E - 0.76

5.2 A probabilidade de se realizar um e um so destes acontecimentos numa prova da experiencia e

igual a

A - 0.24

B - 0.30

C - 0.50

D - 0.52

E - 0.64

5.3 A probabilidade de se realizar uma vez o acontecimento E em tres provas independentes desta

experiencia e igual a

A - 0.144

B - 0.230

C - 0.400

D - 0.432

E - 0.521

5.4 O numero de vezes que ocorre E em 10 provas independentes da experiencia tem distribuicao

A - Binomial de parametros n = 10 e p = 0.4.

B - Binomial de parametros n = 10 e p = 0.24.

C - Normal de valor esperado µ = 4 e desvio padrao σ = 2.4.

D - Normal de valor esperado µ = 4 e desvio padrao σ = 0.24.

E - Normal de valor esperado µ = 10 e desvio padrao σ = 0.4.

38


5.5 Seja X o numero de vezes que ocorre F em duas provas independentes da experiencia. O valor

esperado de X e igual a

A - 0.00

B - 0.16

C - 0.24

D - 0.48

E - 1.20

6. Num centro de diagnostico da Covilha, o raio X e utilizado como meio de diagnostico de tuberculose.

A distribuicao de probabilidade do resultado do raio X e descrita pela tabela seguinte:

Probabilidades

Nao tem tuberculose Tem tuberculose

Negativo 0.93 0.01Raio X

Positivo 0.04 0.02

6.1 A probabilidade de falsos positivos e aproximadamente igual a

A - 0.01

B - 0.02

C - 0.04

D - 0.67

E - 0.95

6.2 A probabilidade de que a um utente, seleccionado ao acaso nesta populacao, seja correctamente

diagnosticado tuberculose e igual a

A - 0.01

B - 0.02

C - 0.04

D - 0.67

E - 0.95

6.3 A probabilidade de que a um utente, seleccionado ao acaso nesta populacao, seja diagnosticado

com tuberculose e

A - 0.01

B - 0.02

C - 0.04

D - 0.06

E - 0.95

39


6.4 A probabilidade de que um utente, seleccionado ao acaso nesta populacao, tenha tuberculose e

A - 0.01

B - 0.03

C - 0.04

D - 0.06

E - 0.95

6.5 Ao escolhermos ao acaso um utente sem tuberculose, a probabilidade aproximada de ele ter

originado um raio X negativo e

A - 0.93

B - 0.94

C - 0.95

D - 0.96

E - 0.97

6.6 A percentagem de utentes com tuberculose ou com um raio X positivo e

A - 2%

B - 3%

C - 5%

D - 7%

E - 9%

6.7 Se forem seleccionados ao acaso 10 utentes deste centro de diagnostico, um a um e com reposicao,

qual a probabilidade dos dois primeiros nao terem tuberculose

A - 0.0300

B - 0.0600

C - 0.7374

D - 0.9409

E - 0.9700


qual a probabilidade de nenhum ter tuberculose

A - 0.0410

B - 0.049

C - 0.97

D - 0.9710

E - 0.979


qual a probabilidade de todos terem tuberculose

40


A - 0.03

B - 10 × 0.03

C - 10 × 0.0310

D - 0.0310

E - 1 − 0.9710

6.10 Em 10 utentes deste centro de diagnostico, seleccionados um a um e com reposicao, o numero

dos que apresentam um raio X positivo tem distribuicao

A - Binomial de parametros n = 10 e p = 0.02

B - Binomial de parametros n = 10 e p = 0.06

C - Normal de valor esperado µ = 5 e desvio padrao σ = 0.06

D - Normal de valor esperado µ = 10 e desvio padrao σ = 0.06

E - Normal de valor esperado µ = 10 e desvio padrao σ = 3


o numero esperado de tuberculosos e .

6.12 A probabilidade de termos de seleccionar 20 utentes, deste centro de diagnostico, para encon-

trarmos o primeiro utente com um raio X negativo e igual a

A - 0.06 × 0.9420

B - 0.0620 × 0.94

C - 0.0620

D - 0.0619 × 0.94

E - 20 × 0.0619 × 0.94

7. Os valores da pressao arterial sistolica numa determinada populacao de indivıduos saudaveis seguem

uma distribuicao Normal de valor esperado µ = 120 e σ = 10 mmHg.

7.1 A probabilidade de uma pessoa, seleccionada ao acaso na populacao, apresentar pressao arterial

sistolica inferior a 130 mmHg e igual a

A - 0.15866

B - 0.34134

C - 0.50000

D - 0.65866

E - 0.84134

7.2 Com probabilidade 0.5 a pressao arterial sistolica situa-se abaixo de

A - 110 mmHg

B - 115 mmHg

C - 120 mmHg

D - 125 mmHg

E - 130 mmHg

41


7.3 Sabendo que a pressao arterial sistolica de uma pessoa, seleccionada ao acaso na populacao, e

superior a 120 mmHg entao a probabilidade de esta nao exceder 140 mmHg e igual a

A - 0.23863

B - 0.47725

C - 0.84134

D - 0.95450

E - 0.97725

7.4 Ao escolher ao acaso uma pessoa desta populacao, qual e a pressao arterial sistolica mınima

que pode apresentar com probabilidade 0.02275.

A - 10 mmHg

B - 16 mmHg

C - 120 mmHg

D - 130 mmHg

E - 140 mmHg

8. Num determinado grupo de doentes, a probabilidade de 1 hospitalizacao em intervalos de tempo

pequenos de tempo e aproximadamente o dobro da amplitude desses intervalos e a probabilidade de

varias hospitalizacoes em intervalos de tempo pequenos e desprezavel.

8.1 Admitindo que o numero de hospitalizacoes em intervalos de tempo disjuntos sao independentes,

podemos considerar que o numero de hospitalizacoes nas proximas 5 unidades de tempo tem

distribuicao

A - Binomial de parametros n = 5 e p = 1/2.

B - Binomial de parametros n = 1/2 e p = 5.

C - Normal de valor esperado µ = 0 e σ = 2.

D - Poisson de parametro λ = 5.

E - Poisson de parametro λ = 10.

8.2 Admitindo que o numero de hospitalizacoes em intervalos de tempo disjuntos sao independentes,

o numero esperado de hospitalizacoes nas proximas 5 unidades de tempo e igual a

A - 2.0

B - 2.5

C - 5.0

D - 7.0

E - 10.0

9. Assuma que 160 em cada 200 doentes, de uma determinada populacao com cancro, ainda estao vivos

ao fim de sete anos apos o diagnostico inicial.

9.1 A probabilidade de que exactamente 3 entre 5 destes doentes, escolhidos ao acaso, apresente

sobrevivencia de 7 anos e aproximadamente igual a

42


A - 0.051

B - 0.205

C - 0.263

D - 0.800

E - 0.993

9.2 A probabilidade de que pelo menos 4 entre 5 destes doentes, escolhidos ao acaso, apresente

sobrevivencia de 7 anos e aproximadamente igual a

A - 0.007

B - 0.095

C - 0.200

D - 0.737

E - 0.949

9.3 A probabilidade de que 5 destes doentes, escolhidos ao acaso, morram em menos de 7 anos e

aproximadamente igual a

A - 0.000

B - 0.007

C - 0.090

D - 0.800

E - 1.000

10. Supoe-se que o nıvel de acido urico X (mg/dl) numa determinada populacao de homens adultos e

saudaveis tem uma distribuicao Normal de valor esperado µ mg/dl e desvio padrao σ = 1 mg/dl.

10.1 A proporcao de pessoas da referida populacao em que esperamos encontrar nıveis de acido urico

excedendo em 1.5 mg/dl o nıvel medio e igual a

A - 0.06681

B - 0.43319

C - 0.50000

D - 0.56681

E - 0.86638

10.2 Sejam X1, . . . , X100 100 variaveis aleatorias independentes com distribuicao igual a de X. A

media das 100 variaveis aleatorias afasta-se do seu valor esperado pelo menos 0.2 mg/dl com

probabilidade igual a

A - 0.02275

B - 0.04550

C - 0.42074

D - 0.84148

E - 0.95450

43


10.3 Se pretendermos considerar para nıvel de acido urico a variavel corrigida Y = 2/3X entao o

seu valor esperado e o seu desvio padrao sao, respectivamente, iguais a

A - 0 mg/dl e 1 mg/dl.

B - 2/3µ mg/dl e 2/3 mg/dl.

C - 2/3µ mg/dl e 4/9 mg/dl.

D - 4/9µ mg/dl e 2/3 mg/dl.

E - µ mg/dl e 1 mg/dl.

10.4 Se pretendermos considerar para nıvel de acido urico a variavel corrigida Z = X + 1 entao os

seu valor esperado e a sua variancia sao, respectivamente, iguais a

A - µ mg/dl e 0 mg/dl.

B - µ mg/dl e 1 mg/dl.

C - 1 mg/dl e 0 mg/dl.

D - µ + 1 mg/dl e 1 mg/dl.

E - µ + 1 mg/dl e 2 mg/dl.

11. Se apenas um dos elementos de um casal for portador de uma determinada doenca entao cada filho

tem probabilidade 0.6 de desenvolver essa doenca. Admite-se que o estado de saude, relativamente

a esta doenca, em cada filho nao afecta o estado dos restantes.

11.1 A probabilidade de em 2 filhos algum desenvolver a doenca e igual a

A - 0.12

B - 0.48

C - 0.60

D - 0.84

E - 0.90

11.2 Em 2 filhos o valor esperado para o numero dos que desenvolvem a doenca e igual a

A - 0.00

B - 0.52

C - 1.00

D - 1.20

E - 2.00

11.3 A probabilidade de em 3 filhos apenas um desenvolver a doenca e igual a

A - 0.125

B - 0.223

C - 0.288

D - 0.352

E - 0.365

44


11.4 Em 5 filhos, o numero dos que nao desenvolvem a doenca tem distribuicao

A - Normal de valor esperado µ = 3 e desvio padrao σ = 1.2.

B - Normal de valor esperado µ = 30 e desvio padrao σ = 0.6.

C - Normal de valor esperado µ = 5 e desvio padrao σ = 0.6.



12. Uma pesquisa medica concluiu que cada indivıduo tem duas constipacoes por ano. Assuma que, em

Portugal, o tempo entre duas constipacoes, X, tem uma distribuicao normal de media 160 dias com

desvio padrao de 40 dias.

12.1 A probabilidade do tempo entre duas constipacoes ser de 160 dias ou menos e

A - 0.00000

B - 0.04452

C - 0.50000

D - 0.94520

E - 1.00000

12.2 A probabilidade do tempo entre duas constipacoes ser superior a 226 dias e

A - 0.00000

B - 0.04947

C - 0.45053

D - 0.50000

E - 1.95953

12.3 Sabendo que ja passaram 120 dias desde a ultima constipacao de um indivıduo, a probabilidade

do mesmo ter a proxima constipacao nos 40 dias subsequentes e

A - 0.34134

B - 0.40571

C - 0.50000

D - 0.84124

E - 1.00000

12.4 Seja Z = 2X + 1 a variavel aleatoria que representa o tempo entre constipacoes em Espanha.

A media e o desvio padrao de Z sao, respectivamente, iguais a

A - 160 e 40

B - 320 e 80

C - 320 e 160

D - 321 e 80

E - 321 e 160

45


12.5 A percentagem de indivıduos em que o tempo entre duas constipacoes consecutivas se afaste

da media no maximo 75% do desvio padrao e

A - 77.337%

B - 68.268%

C - 54.674%

D - 34.134%

E - 15.866%

12.6 O tempo entre duas constipacoes consecutivas num indivıduo e, com probabilidade 0.97982. no

mınimo igual a

A - 78 dias.

B - 80 dias.

C - 141 dias.

D - 179 dias.

E - 242 dias.

13. Os tres graficos seguintes representam tres distribuicoes normais identificadas por I, II e III.

46


Classifique quanto a sua veracidade, as afirmacoes seguintes sobre as distribuicoes anteriores.

(a) As distribuicoes I e II tem medias iguais.

(b) As distribuicoes I e II tem desvios padrao iguais.

(c) O desvio padrao da distribuicao III e superior ao desvio padrao da distribuicao II.

(d) A probabilidade de encontrarmos valores inferiores a 5 nas distribuicoes I e III e a mesma.

(e) A probabilidade de observarmos em I valores inferiores a 9 e aproximadamente 0.

Sao verdadeiras

A - as afirmacoes (a), (b) e (c).

B - as afirmacoes (b), (c) e (d).

C - as afirmacoes (c), (d) e (e).

D - as afirmacoes (a), (b) e (d).

E - as afirmacoes (a), (c) e (e).

14. Supoe-se que o tempo (em s) de reaccao a um estımulo sonoro num determinado grupo de doentes

tem distribuicao Normal de valor esperado 3s e desvio padrao 2s.

14.1 Esperamos encontrar doentes com tempos de reaccao entre 3s e 5s em percentagem aproxi-

madamente igual a

A - 13,6%

B - 34,1%

C - 68,0%

D - 70.0%

E - 72.1%

14.2 De entre os doentes com tempo de reaccao superior a 3s, a proporcao dos que apresentam

tempos inferiores a 5s e aproximadamente igual a

A - 0.683

B - 0.721

C - 0.820

D - 0.950

E - 0.991

15. Foi feito um levantamento relativo a doentes internados num hospital com a doenca K. As informacoes

acerca do tratamento aplicado a cada doente e o resultado final obtido constam do quadro seguinte:

Tratamento

A B

Cura total 0.24 0.18

Resultado Cura parcial 0.28 0.22

Morte 0.03 0.05

47


15.1 Ao escolher ao acaso um destes doentes, a probabilidade de ele ter sido submetido ao tratamento

A e igual a

A - 0.08

B - 0.18

C - 0.22

D - 0.28

E - 0.55

15.2 Ao escolher ao acaso um destes doentes, a probabilidade dele nao ter morrido e igual a

A - 0.08

B - 0.45

C - 0.55

D - 0.92

E - 1.00

15.3 Ao escolhermos ao acaso um doente a quem foi aplicado o tratamento B, a probabilidade

aproximada de ele ter ficado pelo menos parcialmente curado e igual a

A - 0.92

B - 0.89

C - 0.49

D - 0.40

E - 0.11

15.4 A percentagem aproximada de doentes com cura total que foram submetidos ao tratamento A

e de

A - 88,89%

B - 57,14%

C - 56,52%

D - 43,48%

E - 42.86%

15.5 A percentagem de doentes com a doenca K, internados no hospital, submetidos ao tratamento

A ou que nao tenham morrido e de

A - 55%

B - 60%

C - 92%

D - 95%

E - 100%

48


15.6 A percentagem de doentes com a doenca K, internados no hospital, submetidos ao tratamento

A mas que nao tenham morrido e de

A - 5%

B - 8%

C - 24%

D - 28%

E - 52%

15.7 Se forem seleccionadas ao acaso 5 doentes com a doenca K, internados no hospital, um a um

e com reposicao, a probabilidade do primeiro ter ficado pelo menos parcialmente curado e o

segundo ter morrido e igual a

A - 0.0736

B - 0.0784

C - 0.2500

D - 0.2704

E - 0.0486

15.8 Se forem seleccionadas ao acaso 5 doentes com a doenca K, internados no hospital, um a um e

com reposicao, a probabilidade de nenhum ter morrido e igual a

A - 0.995

B - 0.954

C - 0.925

D - 0.924

E - 0.55


com reposicao, a probabilidade de apenas um ter morrido e igual a

A - 5 × 0.08 × 0.924

B - 0.08 × 0.925

C - 5 × 0.084 × 0.92

D - 0.085 × 0.92

E - 0.92 × 0.08

15.10 A probabilidade de termos de seleccionar 10 doentes com a doenca K, internados no hospital,

para encontrarmos o primeiro que tenha tido cura total e igual a

A - 0.42 × 0.5810

B - 0.4210 × 0.58

C - 0.429 × 0.58

D - 0.4210

E - 0.42 × 0.589


com reposicao, o numero esperado de mortes e .

49


15.12 Considere a variavel aleatoria X que a cada doente com a doenca K, seleccionado ao acaso de

entre os que foram internados no hospital, atribui o valor 0 se nao sobreviveu, o valor 1 se teve

cura parcial e o valor 2 se teve cura total.

15.12.1 A probabilidade de X ser inferior a 1 e igual a

A - 0.03

B - 0.05

C - 0.08

D - 0.92

E - 0.97

15.12.2 A probabilidade de X ser superior a 1 sabendo que e diferente de 0 e igual a

A - 3/8

B - 5/8

C - 6/13

D - 9/20

E - 21/46

15.12.3 O valor esperado de X e .

15.12.4 Se subtrairmos uma unidade a variavel X, o valor esperado da nova variavel diminui /

mantem-se / aumenta.

15.12.5 Se subtrairmos uma unidade a variavel X, o desvio padrao da nova variavel diminui /

mantem-se / aumenta.

15.12.6 A variancia da variavel aleatoria 2X − 1 e

A - igual a variancia de X.

B - o dobro da variancia de X.

C - o dobro da variancia de X mais uma unidade.

D - o quadruplo da variancia de X.

E - o quadruplo da variancia de X menos uma unidade.

16. Investigadores afirmam que um novo tratamento para a bronquite cronica tem uma eficacia de 80%

na reducao de sintomas.

16.1 Num grupo de 12 doentes, escolhidos aleatoriamente entre os doentes com bronquite cronica

submetidos a este novo tratamento, podemos afirmar que o numero de doentes em que o trata-

mento e eficaz na reducao de sintomas desta doenca tem distribuicao

A - Normal de parametros µ = 0.8 e σ = 1.

B - Poisson de parametro λ = 12.

C - Poisson de parametro λ = 0.8.



50


16.2 Num grupo de 5 doentes, escolhidos aleatoriamente entre os doentes com bronquite cronica

submetidos a este novo tratamento, em quantos podemos esperar que o tratamento seja eficaz.

A - 1

B - 2

C - 3

D - 4

E - 5

16.3 Se este novo tratamento for administrado a um grupo de 10 doentes, escolhidos aleatoriamente

entre os doentes com bronquite cronica submetidos a este novo tratamento, a probabilidade do

tratamento nao ser eficaz apenas num doente e igual a

A - 0.8 × 0.29

B - 0.29 × 0.8

C - 10 × 0.8 × 0.29

D - 10 × 0.2 × 0.89

E - 0.2 × 0.8

17. O nıvel de colesterol total X (mg/dl) em indivıduos com idade superior ou igual a 65 anos tem uma

distribuicao Normal de valor esperado µ = 182 mg/dl e desvio padrao σ = 14.7 mg/dl.

17.1 A probabilidade de um indivıduo com idade superior ou igual a 65 anos apresentar um nıvel de

colesterol total superior a 182 mg/dl e

A - 0.00

B - 0.25

C - 0.50

D - 0.75

E - 1.00

17.2 A proporcao de indivıduos com idade superior ou igual a 65 anos em que esperamos encontrar

nıveis de colesterol total nao excedendo em 7.35 mg/dl o nıvel medio e

A - 0.19146

B - 0.50000

C - 0.69146

D - 0.73500

E - 0.80854

17.3 Esperamos encontrar indivıduos, com idade superior ou igual a 65 anos, apresentando nıveis de

colesterol total entre 174.65 mg/dl e 189.35 mg/dl em percentagem aproximadamente igual a

A - 19.15%

B - 27.37%

C - 38.29%

D - 41.77%

E - 80.85%

51


17.4 Classifique, quanto a sua veracidade, as afirmacoes seguintes sobre os nıveis de colesterol total

de indivıduos com idade superior ou igual a 65 anos.

(a) Com probabilidade 0.5 os nıveis de colesterol total encontram-se abaixo de 182 mg/dl.

(b) A variavel aleatoria X − 182 (mg/dl) tem uma distribuicao Normal de valor esperado

µ = 182 mg/dl e desvio padrao σ = 1 mg/dl.

(c) A variavel aleatoria X−14.7 (mg/dl) tem uma distribuicao Normal de valor esperado µ = 0

mg/dl e desvio padrao σ = 14.7 mg/dl.

(d) A probabilidade de um indivıduo apresentar nıveis de colesterol total superiores a 190 mg/dl

e igual a probabilidade de um indivıduo apresentar nıveis de colesterol total inferiores a

174 mg/dl.

(e) O acontecimento “indivıduo apresenta um nıvel de colesterol total inferior a 123.2 mg/dl”

pode ser considerado um acontecimento impossıvel.

Sao verdadeiras

A - as afirmacoes (b) e (c).

B - as afirmacoes (a) e(e).

C - as afirmacoes (d) e (e)


E - as afirmacoes (a), (d) e (e).

52

Capıtulo 3

Unidade Pedagogica III: Introducao a

Inferencia Estatıstica

3.1 Objectivos

a) estabelecer a diferenca entre: populacao e amostra; parametro da populacao e estatıstica;

b) identificar razoes para a amostragem; caracterizar diferentes tipos de amostragem aleatoria: amos-

tragem simples, sistematica, estratificada e agrupada;

c) definir para uma estatıstica: distribuicao amostral, media e erro-padrao;

d) identificar as propriedades fundamentais da distribuicao amostral da media;

e) estabelecer a diferenca entre estimador e estimativa pontual;

f) construir e interpretar intervalos de confianca para a media de populacoes normais;

g) construir e interpretar intervalos de confianca para proporcoes;

h) utilizar testes de hipoteses sobre medias de populacoes normais e sobre proporcoes.

53

Unidade Pedagogica III: Introducao a Inferencia Estatıstica

3.2 Problemas

1. Estudamos amostras em vez de populacoes porque

A - aumentando a dimensao da amostra podemos sempre melhorar a qualidade da inferencia

estatıstica sobre a populacao.

B - podemos sempre usar metodos probabilısticos para estimar os erros inerentes a inferencia.

C - estudar toda a populacao e impossıvel ou moroso.

D - as amostras sao subconjuntos representativos da populacao.

E - as amostras podem reduzir a homogeneidade da populacao.

2. Com o objectivo de estudar o tempo medio de espera para atendimento numa consulta, os Centros de

Saude foram repartidos por 10 sectores numerados de 1 a 10. Foram escolhidos ao acaso dois numeros

entre os dez primeiros inteiros e em cada Centro de Saude de cada um dos sectores correspondentes

aos numeros sorteados, foram registados os tempos de espera de todos os utentes. A metodologia

utilizada para a recolha dos tempos de espera e

A - amostragem aleatoria simples.

B - amostragem aleatoria estratificada.

C - amostragem por quotas.

D - amostragem aleatoria sistematica.

E - amostragem aleatoria agrupada.

3. Classifique, quanto a sua veracidade, as afirmacoes seguintes.

(a) Se (X1, . . . , Xn) e uma amostra aleatoria para uma variavel aleatoria X com distribuicao Normal

padrao entao P (X1 < X2) = 0.5.

(b) Se (X1, . . . , Xn) e uma amostra aleatoria para uma variavel aleatoria X com distribuicao de

Poisson de parametro 3 entao o valor esperado de Xn e igual a 3.

(c) Acontecimentos relativos a variaveis diferentes de uma amostra aleatoria sao incompatıveis.

(d) Se (X1, . . . , Xn) e uma amostra aleatoria para uma variavel aleatoria contınua X simetrica

relativamente a x = 0 entao P (X1 < 0, Xn > 0) = 0.25.

Sao verdadeiras


B - as afirmacoes (a) e (c).


D - as afirmacoes (a), (b) e (d).


55


4. Considere que a pressao arterial sistolica X tem distribuicao normal de valor esperado µ e desvio

padrao σ (mmHg).

4.1 A media de uma amostra aleatoria de X, de dimensao 25, tem valor esperado e desvio padrao

iguais a, respectivamente,

A - µ e σ.

B - µ e σ/25.

C - 25µ e σ/5.

D - µ/5 e σ.

E - µ e σ/5.

4.2 A media de uma amostra aleatoria de X, de dimensao 25, desvia-se de µ quando muito meio

desvio padrao (σ/2) com probabilidade igual a

A - 0.00621

B - 0.01242

C - 0.49379

D - 0.98758

E - 0.99379

4.3 Num elevado numero de amostras de dimensao 25 a proporcao daquelas em que a pressao media

se afasta de µ mais de meio desvio padrao (σ/2) e, aproximadamente, igual a

A - 0.6%

B - 1.2%

C - 2.5%

D - 4.6%

E - 10%

4.4 Se pretendermos garantir que num elevado numero de amostras, de igual dimensao, pelo menos

95% apresentam media desviada de µ quando muito meio desvio padrao, entao deveremos

escolher a dimensao das amostras maior ou igual a

A - 12

B - 13

C - 14

D - 15

E - 16

5. A partir de uma amostra de dimensao 100 onde encontramos 50 portadores de um vırus A, podemos

afirmar, com grau de confianca aproximadamente 96.6%, que a proporcao de portadores do vırus A

na populacao se situa entre

56


A - 1/2 e 2/3

B - 1/2 − 0.009 e 1/2 + 0.009

C - 1/2 − 0.106 e 1/2 + 0.106

D - 1/2 − 2.12 e 1/2 + 2.12

E - 50 − 0.106 e 50 + 0.106

6. Admitamos que o tempo (em minutos) de reaccao de determinada substancia e normalmente dis-

tribuıdo. Ao intervalo de confianca [8.682, 11.318] para a media do tempo de reaccao da referida

substancia, construıdo a partir de uma amostra de 25 tempos de reaccao com media igual a 10

minutos e desvio padrao corrigido 5 minutos, podemos associar um grau de confianca de

A - 80%

B - 95%

C - 97%

D - 98%

E - 99%

7. Se afirmarmos que [159, 168] e um intervalo de confianca a 99% para a altura esperada µ dos

indivıduos de uma determinada populacao entao

A - µ pertence ao intervalo com probabilidade 0.99.

B - µ pertence ao intervalo e existem indivıduos com altura nao pertencente ao intervalo.

C - supomos que o intervalo e um dos aproximadamente 99% de intervalos que contem µ

numa determinada famılia de intervalos.

D - com probabilidade 0.99, a media de uma amostra para a altura pertence ao intervalo.

E - com confianca 99%, µ e o ponto medio do intervalo e a amplitude deste e um multiplo do

desvio padrao.

8. Supoe-se que a concentracao sanguınea (em unidades u apropriadas) de determinada substancia tem

distribuicao normal de valor esperado µ e desvio padrao σ = 6u.

Classifique, quanto a sua veracidade, as afirmacoes seguintes relativas ao teste de hipotese inicial

µ = 30 contra a hipotese alternativa µ 6= 30, ao nıvel de significancia 1.98%.

(a) As amostras de dimensao 36 tais que a sua media se desvia de 30 menos de 2.32 unidades sao

concordantes com a hipotese µ = 30.

(b) Se uma determinada amostra fornece uma media que se desvia z unidades de 30, com z tal que

a probabilidade da media amostral se desviar de 30 pelo menos z unidades e igual a 0.03, entao

nao rejeitamos a hipotese µ = 30.

(c) A probabilidade de nao rejeitar a hipotese inicial sendo esta verdadeira e igual a 0.02.

(d) Admitindo µ = 30, num grande numero de amostras de dimensao 36, aproximadamente 2%

delas apresenta media desviada de 30 em quando muito 2.33 unidades.

57


Sao verdadeiras


B - as afirmacoes (b) e (c).



E - as afirmacoes (a), (b) e (d).

9. O nıvel de acido urico X (mg/dl) numa determinada populacao de homens adultos e saudaveis tem

uma distribuicao normal de valor esperado µ mg/dl e desvio padrao σ = 1 mg/dl.

9.1 Recolheu-se uma amostra de dimensao 100 cujos nıveis de acido urico apresentaram valor medio

igual a 5.5 mg/dl. Um intervalo de confianca para o valor esperado do nıvel de acido urico na

referida populacao, com um grau de confianca de 95.4%, e dado por

A - [4.9, 5.6]

B - [4.7, 5.8]

C - [5.3, 5.7]

D - [5, 6]

E - [5.1, 5.9]

9.2 Pretendendo-se testar a hipotese µ = 5.5 mg/dl recolheu-se outra amostra de dimensao 100 que

forneceu um valor medio igual a 6 mg/dl para o nıvel de acido urico.


(a) Ao nıvel de significancia 5%, esta amostra leva-nos a rejeitar a hipotese inicial.

(b) Ao nıvel de significancia 5%, esta amostra leva-nos a nao rejeitar a hipotese inicial.

(c) Se a hipotese inicial for verdadeira entao a percentagem de amostras de dimensao 100 com

valor medio entre 5.304 e 5.696 e aproximadamente 95%.

(d) Ao nıvel de significancia 5% todas as amostras com valor medio entre 5.4 e 5.6 sao concor-

dantes com a hipotese inicial.

Sao verdadeiras






10. Supoe-se que em determinada populacao o nıvel X de protrombina (em mg/dl) tem uma distribuicao

normal de valor esperado µ mg/dl e desvio padrao σ mg/dl.

10.1 A media de uma amostra aleatoria de dimensao 25 para o nıvel de protrombina X tem erro

padrao igual a

58


A - (µ + σ)/5 mg/dl

B - µσ/5 mg/dl

C - σ/25 mg/dl

D - σ/5 mg/dl

E - σ mg/dl

10.2 Num grande numero de amostras de dimensao 25 para X, a percentagem daquelas em que o

valor medio dos nıveis de protrombina excede o valor esperado µ mg/dl e aproximadamente

igual a

A - 25%

B - 40%

C - 50%

D - 75%

E - 95%

10.3 Numa amostra de 25 indivıduos, seleccionados ao acaso na referida populacao, registaram-se

valores de protrombina com media 18 mg/dl e desvio padrao corrigido 5 mg/dl.

O intervalo de confianca [16.682, 19.318] para µ, calculado a partir desta amostra, tem associado

um grau de confianca de

A - 75%

B - 80%

C - 90%

D - 95%

E - 99%

10.4 Pretende-se testar a hipotese µ = 18 mg/dl contra a hipotese complementar, ao nıvel de sig-

nificancia 2%. Dispomos de uma amostra de dimensao 25 com desvio padrao corrigido 5 mg/dl.


(a) Se o valor medio da amostra e superior a 20.492 entao rejeitamos a hipotese µ = 18 mg/dl.

(b) Se o valor medio da amostra e inferior a 15.5 entao nao rejeitamos a hipotese µ = 18 mg/dl.

(c) Se o valor medio da amostra for igual a 16 entao nao rejeitamos a hipotese µ = 18 mg/dl.

(d) A proporcao de amostras de dimensao 25 cuja media se desvia de 18 pelo menos dois quintos

do desvio padrao amostral e aproximadamente igual a 5%.

Sao verdadeiras






59


10.5 Pretende-se testar a µ = 18 mg/dl contra a hipotese complementar. Dispomos de uma amostra

de dimensao 25 com valor medio 20.797 mg/dl e desvio padrao corrigido 5 mg/dl. Esta amostra

permite-nos

A - nao rejeitar a hipotese µ = 18 a um nıvel de significancia superior a 1%.

B - nao rejeitar a hipotese µ = 18 a um nıvel de significancia nao excedendo 1%.

C - nao rejeitar a hipotese µ = 18 ao nıvel de significancia 2%.

D - nao rejeitar a hipotese µ = 18 a um nıvel de significancia superior a 2%.

E - rejeitar a hipotese µ = 18 ao nıvel de significancia 0.5%.

11. A literatura indica que a proporcao de portadores de determinada alteracao cromossomica em Por-

tugal e de 50%.

11.1 Com probabilidade aproximada de 89% podemos afirmar que a proporcao de portadores com

alteracao cromossomica numa amostra aleatoria de dimensao 100 desta populacao se afasta de

1/2 quando muito

A - 0.08

B - 0.10

C - 0.25

D - 0.40

E - 0.50

11.2 Pretendemos testar, a partir de 100 indivıduos desta populacao onde foram encontrados 50

portadores da alteracao cromossomica, a hipotese inicial de que a proporcao de portadores da

alteracao cromossomica em Portugal e na verdade igual a 2/5 contra a hipotese complementar.

De entre os nıveis de significancia

(a) 6% (b) 5% (c) 4% (d) 3% (e) 0.1%

aqueles que permitem nao rejeitar a hipotese inicial a partir da amostra disponıvel sao

A - apenas (a).

B - apenas (b).

C - apenas (e).

D - apenas (d) e (e).

E - apenas (c), (d) e (e).

11.3 Numa amostra de 200 indivıduos espanhois foram encontrados 160 portadores da respectiva

alteracao cromossomica e numa amostra de 100 indivıduos portugueses foram encontrados 50

portadores. Ao nıvel de significancia de 5% podemos afirmar que ha mais portadores da al-

teracao cromossomica em causa em Espanha que em Portugal? (Sim / Nao)

porque o valor − p e, aproximadamente, igual a .

60


12. Supoe-se que o tempo (em segundos) de reaccao a um estımulo sonoro num determinado grupo de

doentes tem distribuicao normal de valor esperado 3 segundos e desvio padrao 2 segundos.

Entre as amostras de dimensao 36, para o tempo de reaccao, a proporcao das que apresentam media

amostral superior a 3 segundos e aproximadamente igual a

A - 1/5

B - 1/4

C - 1/3

D - 1/2

E - 2/3

13. O passado diz-nos que a taxa de hemoglobina (em g/dl) no sangue de pessoas que gozam de boa

saude segue uma distribuicao normal com media 12 g/dl e desvio padrao 0.9 g/dl.

13.1 A probabilidade de a media da taxa de hemoglobina no sangue de uma amostra aleatoria de

dimensao 16 para esta populacao ser inferior a 12.5g/dl e igual a

A - 0.01321

B - 0.20884

C - 0.48679

D - 0.70884

E - 0.98679

13.2 O erro padrao da media da taxa de hemoglobina no sangue numa amostra aleatoria de tamanho

9 para esta populacao e .

13.3 A probabilidade da media, da taxa de hemoglobina no sangue numa amostra aleatoria de

dimensao 16 para esta populacao, exceder a media populacional em pelo menos 70% do desvio

padrao da populacao e igual a

A - 0.49744

B - 0.38493

C - 0.25804

D - 0.24196

E - 0.00256

13.4 A probabilidade das tres primeiras observacoes, de uma amostra aleatoria para esta populacao,

serem inferiores a media da populacao e igual a

A - 0.000

B - 0.125

C - 0.250

D - 0.500

E - 1.000

61


13.5 O numero mınimo de pessoas a observar nesta populacao de modo que o erro padrao da media

amostral nao exceda 0.16 e de

A - 28

B - 29

C - 30

D - 31

E - 32

13.6 A dimensao mınima, de uma amostra aleatoria para esta populacao, que permite situar a media

amostral entre µ−0.8 g/dl e µ+0.8 g/dl em pelo menos 99.8% de um grande numero de amostras

dessa dimensao e

A - 11

B - 12

C - 13

D - 14

E - 15

13.7 Pretende-se testar se hoje em dia se tem µ = 12 g/dl ou µ 6= 12 g/dl. Dispomos de uma

amostra de dimensao 100, obtida na populacao em causa. Ao nıvel de significancia de 3%, qual

dos seguintes intervalos para o valor medio das amostras dessa dimensao e concordante com a

hipotese µ = 12 g/dl?

A - [−2.17, 2.17]

B - [11.8, 12.2]

C - [12.2, +∞]

D - ] −∞, 11.8] ∪ [12.2, +∞[

E - ] −∞, −2.17] ∪ [2.17, +∞[

13.8 Para testar a hipotese µ = 12 g/dl contra a hipotese µ > 12 g/dl dispomos agora de uma

amostra de dimensao 36 com media 12.15 g/dl, obtida na populacao em causa. A partir desta

amostra concluımos, que ao nıvel de significancia de 5.05%, devemos

(rejeitar / nao rejeitar) a hipotese µ = 12 g/dl.

14. A taxa de hemoglobina no sangue (em g/dl) de indivıduos de uma populacao segue uma distribuicao

Normal com media µ g/dl e desvio padrao σ g/dl.

14.1 O total das taxas de hemoglobina no sangue numa amostra de dimensao 16 para esta populacao

e igual a 193.6 g/dl. A partir desta amostra uma estimativa para o valor medio da taxa de

hemoglobina no sangue desta populacao e igual a .

14.2 Foram observados as taxas de hemoglobina no sangue noutra amostra de 16 pessoas da popula-

cao. A media resultante das taxas observadas foi de 12.2 g/dl e o total dos quadrados das taxas

observadas igual a 2460.79 g2/dl. A partir desta amostra uma estimativa pontual para o desvio

padrao da taxa de hemoglobina no sangue na populacao e igual a .

62


14.3 Se (X1, . . . , X16) e uma amostra aleatoria para a taxa de hemoglobina no sangue entao

(X1 + . . . + X16)/16 e

A - uma estimativa para µ

B - um parametro da amostra

C - um parametro da populacao

D - um estimador para µ

E - uma amostra para µ

14.4 Para estudar a media da taxa de hemoglobina no sangue a partir de uma amostra aleatoria de

dimensao 16 desta populacao deve-se considerar a distribuicao amostral

A - normal de media µ e desvio padrao σ/4.

B - normal de media µ e desvio padrao σ/16.

C - normal de media µ e desvio padrao s′/4.

D - t de Student de parametro 16.

E - t de Student de parametro 15.

14.5 Da observacao das taxas de hemoglobina no sangue duma amostra de 100 pessoas desta popu-

lacao resultou uma media igual a 9.5g/dl e um desvio padrao corrigido de 2.5 g/dl. De entre

os nıveis de significancia

(a) 1% (b) 2% (c) 3% (d) 4% (e) 5%

quais os que permitem rejeitar a hipotese µ = 9 g/dl, quando se procede a um teste bilateral,

a partir da amostra disponıvel?

A - apenas (a)

B - apenas (d)

C - apenas (e)

D - todos, excepto (a) e (b)

E - todos, excepto (e)

14.6 Pretende-se testar a hipotese µ = 12 g/dl contra a hipotese µ 6= 12 g/dl. Para uma amostra de

dimensao 16, desta populacao, de media igual a 11 g/dl e um desvio padrao corrigido igual a

1.877 g/dl, o nıvel de significancia observado e igual a

A - 0.5%

B - 1.7%

C - 2.5%

D - 3.3%

E - 5%

14.7 Observou-se que a proporcao de pessoas desta populacao com uma taxa de hemoglobina no

sangue inferior a 11.7 g/dl e de 0.37. A dimensao mınima de uma amostra aleatoria que

devemos considerar, para esta populacao, de modo a garantir que o erro padrao da proporcao

de pessoas com uma taxa de hemoglobina no sangue inferior a 11.7 em amostras desta dimensao

nao exceda 0.01 deve ser de .

63


14.8 Se pretendermos estudar a media da taxa de hemoglobina no sangue de pessoas desta popula-

cao, µ g/dl, a partir de uma amostra de dimensao 100, a distribuicao amostral que podemos

considerar e a

A - distribuicao normal de media µ e desvio padrao σ.

B - distribuicao normal de media µ e desvio padrao s′.

C - distribuicao normal de media µ e desvio padrao s′/100.

D - distribuicao normal de media µ e desvio padrao s′/10.

E - distribuicao normal de media µ/10 e desvio padrao s′/10.

14.9 Se a proporcao de pessoas desta populacao com taxa de hemoglobina (em g/dl) no sangue

inferior a 11.7g/dl for de p, entao a probabilidade aproximada da proporcao de pessoas com

taxa de hemoglobina no sangue inferiores a 11.7g/dl numa amostra aleatoria de dimensao 100,

desta populacao, se afastar de p no maximo 0.05 e maior ou igual a

A - 0.07966

B - 0.15866

C - 0.34134

D - 0.68268

E - 0.84134

14.10 O erro maximo de estimacao da proporcao de pessoas com taxa de hemoglobina no sangue

inferior a 11.7g/dl, com grau de confianca 95% a partir de uma amostra aleatoria de dimensao

100, e

A - 0.0098

B - 0.0490

C - 0.0643

D - 0.0980

E - 0.1285

14.11 Considere que numa amostra de dimensao 100, desta populacao, se observaram 37 pessoas com

taxa de hemoglobina no sangue inferior a 11.7g/dl. Um intervalo de confianca, com um grau

de confianca de 95%, para a proporcao de pessoas na populacao com taxa de hemoglobina no

sangue inferior a 11.7 g/dl e dado por

A - [0.3112, 0.4288]

B - [0.3217, 0.4183]

C - [0.2750, 0.4650]

D - [0.2459, 0.4941]

E - [0.2415, 0.4985]

14.12 O passado indica que 63% das pessoas desta populacao tem uma taxa de hemoglobina (em

g/dl) no sangue superior a 11.7g/dl. Pretende-se testar se houve uma diminuicao da proporcao

de pessoas com a referida taxa de hemoglobina na populacao.

64


14.12.1 As hipoteses, nula e alternativa, a formular sao

A - H0 : p = 0.63 versus H1 : p > 0.63

B - H0 : p > 0.63 versus H1 : p = 0.63

C - H0 : p = 0.63 versusH1 : p 6= 0.63

D - H0 : p = 0.63 versus H1 : p < 0.63

E - H0 : p < 0.63 versus H1 : p = 0.63

14.12.2 Complete a seguinte afirmacao (com uma das seguintes palavras: concordantes ou dis-

cordantes): “Amostras de dimensao 100, desta populacao, onde se registam menos de 50

pessoas com uma taxa de hemoglobina no sangue superior a 11.7g/dl sao, para um nıvel

de significancia de 1.98%, com a hipotese de que nao ha alteracao

na proporcao de pessoas com a referida taxa de hemoglobina na populacao.”

15. Pretende-se testar se um novo medicamento altera a taxa media de hemoglobina no sangue, a qual

e de 9g/dl, numa populacao de indivıduos nao saudaveis. Assume-se que a taxa de hemoglobina no

sangue nesta populacao tem distribuicao aproximadamente normal.

15.1 Numa amostra de 36 indivıduos, aos quais foi administrado o novo medicamento, registaram-se

taxas com media igual a 10g/dl e desvio padrao corrigido de 2g/dl. O valor − p associado a

este teste e aproximadamente igual a .

15.1.1 Se pretendessemos que o teste fosse unilateral terıamos um valor − p associado igual a

.

15.2 Para uma de 100 indivıduos, aos quais foi administrado o novo medicamento, obteve-se um

valor − p = 0.01. Podemos entao concluir, a partir desta amostra, que

A - para um nıvel de significancia inferior a 0.01 o novo medicamento altera a taxa

media de hemoglobina no sangue.

B - para um nıvel de significancia superior a 0.01 o novo medicamento altera a taxa

media de hemoglobina no sangue.

C - para qualquer amostra de dimensao 100 desta populacao obtemos um valor − p =

0.01.

D - para α > 0.01 qualquer amostra de dimensao 100 desta populacao nos leva a rejeitar

a hipotese nula.

E - para α < 0.01 qualquer amostra de dimensao 100 desta populacao nos leva a rejeitar

a hipotese nula.

16. Com o objectivo de se determinar a absorcao de ozono e dioxido de enxofre em adolescentes com

asma mede-se o respectivo volume de ar expirado forcado. Supoe-se que o volume de ar expirado

forcado por parte de adolescentes com asma segue uma distribuicao normal com media 3.05 litros

de desvio padrao 0.6 litros.

65


16.1 Se (X1, . . . , X50) e uma amostra aleatoria do volume de ar expirado forcado entao

(X1 + . . . + X50)/50 e

A - uma estimativa para µ.

B - uma estimador para µ.

C - um parametro da populacao.

D - um parametro da amostra.

E - uma amostra para µ.

16.2 O valor esperado da media do volume de ar expirado forcado de uma amostra aleatoria de

dimensao 36 desta populacao e

A - 0.508

B - 0.085

C - 3.050

D - 1.300

E - 109.8

16.3 O erro padrao da media do volume de ar expirado forcado de uma amostra aleatoria de dimensao

36 desta populacao e .

16.4 A dimensao mınima de uma amostra aleatoria, desta populacao, que permite obter um erro

padrao maximo para a media amostral de 0.08 e igual a

A - 7

B - 8

C - 9

D - 56

E - 57

16.5 A probabilidade de a media de uma amostra aleatoria de dimensao 25, desta populacao, se

afastar de 3.05 quando muito um quinto de 0.6 e igual a

A - 0.84134

B - 0.68268

C - 0.50000

D - 0.34134

E - 0.15866

16.6 A probabilidade, aproximada, de as duas primeiras observacoes numa amostra aleatoria para

esta populacao serem inferiores a 3.71 litros e igual a

A - 0.13274

B - 0.25000

C - 0.37354

D - 0.74707

E - 0.86433

66


16.7 O numero mınimo de observacoes que e necessario efectuar nesta populacao para obtermos

um intervalo de confianca, com um grau de confianca de 95%, para a media populacional com

amplitude maxima de 0.2 litros e

A - 138

B - 139

C - 140

D - 141

E - 142

16.8 Uma amostra de dimensao 16 desta populacao forneceu uma media igual a 3.066 litros. Um

intervalo de confianca, com um grau de confianca de 99.04%, construıdo a partir desta amostra,

para a media populacional e igual a

A - [2.9925, 3.1395]

B - [2.9689, 3.1631]

C - [2.7660, 3.3660]

D - [2.6775, 3.4545]

E - [1.5120, 4.6200]


asma mede-se o respectivo volume de ar expirado forcado. Supoe-se que o volume de ar expirado

forcado por parte de adolescentes com asma segue uma distribuicao normal com media µ litros e

desvio padrao σ litros. A partir de uma amostra de dimensao 12 desta populacao obteve-se um

desvio padrao corrigido igual a 0.72 litros.

17.1 Para estudar a media populacional, a partir da amostra observada, a distribuicao amostral que

se devem utilizar e a

A - distribuicao normal de media µ e desvio padrao 0.72.

B - distribuicao normal de media µ e desvio padrao 0.20785.

C - distribuicao normal de media µ e desvio padrao 0.06.

D - distribuicao t de Student de parametro 12

E - distribuicao t de Student de parametro 11.

17.2 A partir da amostra observada obteve-se o intervalo de confianca seguinte para a media popu-

lacional: [2.43507, 3.56493]. O grau de confianca associado a este intervalo e de

A - 95%

B - 96%

C - 97%

D - 98%

E - 99%

67


17.3 Pretende-se testar se o volume de ar expirado forcado medio e inferior a 3.05 litros a partir de

uma amostra de dimensao 12, desta populacao, com media 2.8 litros e desvio padrao corrigido

0.72 litros. O valor − p associado a este teste e um valor

A - inferior a 0.01.

B - entre 0.01 e 0.025.

C - entre 0.025 e 0.05.

D - entre 0.05 e 0.1.

E - superior a 0.1.


asma mede-se o respectivo volume de ar expirado forcado. Numa amostra de 400 adolescentes com

asma observaram-se 130 com um volume de ar expirado forcado inferior a 2.99 litros.

18.1 Qual dos seguintes valores podemos propor para a verdadeira proporcao de adolescentes com

um volume de ar expirado forcado inferior a 2.99 litros?

A - 0.0325

B - 0.3250

C - 0.5000

D - 0.6750

E - 1.0000

18.2 Um intervalo de confianca 97% para a verdadeira proporcao de adolescentes com asma que

apresentam um volume de ar expirado forcado inferior a 2.99 litros e dado por

A - [0.27418, 0.37582]

B - [0.27075, 0.37925]

C - [0.26675, 0.38325]

D - [0.26250, 0.38750]

E - [0.25000, 0.40000]

18.3 Pretende-se estudar a proporcao de adolescentes com asma que apresentam um volume de

ar expirado forcado inferior a 2.99 litros. Quantos adolescentes com asma devem ser obser-

vados, na pior das situacoes, de modo a garantir que um intervalo de confianca, com um

grau de confianca de 95%, para a proporcao em causa tenha uma amplitude maximo de 2%?

18.4 Um investigador afirma que a proporcao de adolescentes com asma que apresentam um volume

de ar expirado forcado inferior a 2.99 litros e superior a um terco na populacao em estudo.

18.4.1 Para este caso, as hipoteses, nula e alternativa, a formular para testar a afirmacao do

investigador seriam

68


A - H0 : p = 1/3 versus H1 : p > 1/3

B - H0 : p > 1/3 versus H1 : p = 1/3

C - H0 : p = 1/3 versus H1 : p 6= 1/3

D - H0 : p = 1/3 versus H1 : p < 1/3

E - H0 : p < 2/3 versus H1 : p = 2/3

18.4.1.1 O valor de prova associado a este teste e .

18.4.1.2 De entre os nıveis de significancia

(a) 1% (b) 2% (c) 3% (d) 4% (e) 5%

quais os que corroboram a afirmacao do investigador, a partir da amostra disponıvel?

A - Todos

B - Todos, excepto (e)

C - Apenas (e)

D - Apenas (a)

E - Nenhum

69

Apendice A

Formulario e tabelas

70

PAR. CONDICOES V.A. FULCRAIS/DIST. OBSERVACOES

µ

Populacao normalcom variancia co-nhecida

Z =X − µ

σ√n

∼ N(0, 1)

Quando se desconhecea distribuicao da popu-lacao, mas n e grande(n ≥ 30), a distribuicaoe aprox. normal.

Populacao normalde variancia des-conhecida

X − µ

S′

√n

∼ tn−1

Com n grande, popu-lacao normal ou nao,a distribuicao e aprox.normal.

pPopulacao deBernoulli

Z =p − p

√

p(1 − p)

n

o∼ N(0, 1)Para n grande.

Duas populacoesnormais com va-riancias conheci-das

Z =X1 − X2 − (µ1 − µ2)

√

σ21

n1

+σ2

2

n2

∼ N(0, 1)

Quando se desconhece adistribuicao das popula-coes, mas n1 e n2 saograndes, a distribuicao eaprox. normal.

µ1−µ2

Duas populacoesnormais com va-riancias desconhe-cidas mas iguais

X1 − X2 − (µ1 − µ2)√

(n1 − 1)S′21 + (n2 − 1)S

′22

n1 + n2 − 2

√

1

n1

+1

n2

∼ tn1+n2−2

Duas populacoesnormais ou nao,com varianciasdesconhecidasmas n1 e n2

grandes

Z =X1 − X2 − (µ1 − µ2)

√

S′21

n1

+S

′22

n2

o∼ N(0, 1)

p1−p2

Duas populacoesde Bernoulli

Z =p1 − p2 − (p1 − p2)

√

p1(1 − p1)

n1

+p2(1 − p2)

n2

o∼ N(0, 1)Para n1 e n2 grandes.

Distribuicao NormalPadrao

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0.00000 0.00399 0.00798 0.01197 0.01595 0.01994 0.02392 0.02790 0.03188 0.035860,1 0.03983 0.04380 0.04776 0.05172 0.05567 0.05962 0.06356 0.06749 0.07142 0.075350,2 0.07926 0.08317 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0.11026 0.114090,3 0.11791 0.12172 0.12552 0.12930 0.13307 0.13683 0.14058 0.14431 0.14803 0.151730,4 0.15542 0.15910 0.16276 0.16640 0.17003 0.17364 0.17724 0.18082 0.18439 0.187930,5 0.19146 0.19497 0.19847 0.20194 0.20540 0.20884 0.21226 0.21566 0.21904 0.222400,6 0.22575 0.22907 0.23237 0.23565 0.23891 0.24215 0.24537 0.24857 0.25175 0.254900,7 0.25804 0.26115 0.26424 0.26730 0.27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.28230 0.285240,8 0.28814 0.29103 0.29389 0.29673 0.29955 0.30234 0.30511 0.30785 0.31057 0.313270,9 0.31594 0.31859 0.32121 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0.33398 0.33646 0.338911,0 0.34134 0.34375 0.34614 0.34849 0.35083 0.35314 0.35543 0.35769 0.35993 0.362141,1 0.36433 0.36650 0.36864 0.37076 0.37286 0.37493 0.37698 0.37900 0.38100 0.382981,2 0.38493 0.38686 0.38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39617 0.39796 0.39973 0.401471,3 0.40320 0.40490 0.40658 0.40824 0.40988 0.41149 0.41309 0.41466 0.41621 0.417741,4 0.41924 0.42073 0.42220 0.42364 0.42507 0.42647 0.42785 0.42922 0.43056 0.431891,5 0.43319 0.43448 0.43574 0.43699 0.43822 0.43943 0.44062 0.44179 0.44295 0.444081,6 0.44520 0.44630 0.44738 0.44845 0.44950 0.45053 0.45154 0.45254 0.45352 0.454491,7 0.45543 0.45637 0.45728 0.45818 0.45907 0.45994 0.46080 0.46164 0.46246 0.463271,8 0.46407 0.46485 0.46562 0.46638 0.46712 0.46784 0.46856 0.46926 0.46995 0.470621,9 0.47128 0.47193 0.47257 0.47320 0.47381 0.47441 0.47500 0.47558 0.47615 0.476702,0 0.47725 0.47778 0.47831 0.47882 0.47932 0.47982 0.48030 0.48077 0.48124 0.481692,1 0.48214 0.48257 0.48300 0.48341 0.48382 0.48422 0.48461 0.48500 0.48537 0.485742,2 0.48610 0.48645 0.48679 0.48713 0.48745 0.48778 0.48809 0.48840 0.48870 0.488992,3 0.48928 0.48956 0.48983 0.49010 0.49036 0.49061 0.49086 0.49111 0.49134 0.491582,4 0.49180 0.49202 0.49224 0.49245 0.49266 0.49286 0.49305 0.49324 0.49343 0.493612,5 0.49379 0.49396 0.49413 0.49430 0.49446 0.49461 0.49477 0.49492 0.49506 0.495202,6 0.49534 0.49547 0.49560 0.49573 0.49585 0.49598 0.49609 0.49621 0.49632 0.496432,7 0.49653 0.49664 0.49674 0.49683 0.49693 0.49702 0.49711 0.49720 0.49728 0.497362,8 0.49744 0.49752 0.49760 0.49767 0.49774 0.49781 0.49788 0.49795 0.49801 0.498072,9 0.49813 0.49819 0.49825 0.49831 0.49836 0.49841 0.49846 0.49851 0.49856 0.498613,0 0.49865 0.49869 0.49874 0.49878 0.49882 0.49886 0.49889 0.49893 0.49896 0.499003,1 0.49903 0.49906 0.49910 0.49913 0.49916 0.49918 0.49921 0.49924 0.49926 0.499293,2 0.49931 0.49934 0.49936 0.49938 0.49940 0.49942 0.49944 0.49946 0.49948 0.499503,3 0.49952 0.49953 0.49955 0.49957 0.49958 0.49960 0.49961 0.49962 0.49964 0.499653,4 0.49966 0.49968 0.49969 0.49970 0.49971 0.49972 0.49973 0.49974 0.49975 0.499763,5 0.49977 0.49978 0.49978 0.49979 0.49980 0.49981 0.49981 0.49982 0.49983 0.499833,6 0.49984 0.49985 0.49985 0.49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.49988 0.499893,7 0.49989 0.49990 0.49990 0.49990 0.49991 0.49991 0.49992 0.49992 0.49992 0.499923,8 0.49993 0.49993 0.49993 0.49994 0.49994 0.49994 0.49994 0.49995 0.49995 0.499953,9 0.49995 0.49995 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49997 0.49997

Tabela A.1: Probabilidades p = P (0 ≤ Z ≤ z) da distribuicao Normal padrao com valores de z dadosnas margens da tabela.

Distribuicaot de Student

n�α 0.4 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001

2 0.289 0.816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.3273 0.277 0.765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.2154 0.271 0.741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.1735 0.267 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.8936 0.265 0.718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.2087 0.263 0.711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.7858 0.262 0.706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.5019 0.261 0.703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297

10 0.260 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.14411 0.260 0.697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.02512 0.259 0.695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.93013 0.259 0.694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.85214 0.258 0.692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.78715 0.258 0.691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.73316 0.258 0.690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.68617 0.257 0.689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.64618 0.257 0.688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.61019 0.257 0.688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.57920 0.257 0.687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.55221 0.257 0.686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.52722 0.256 0.686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.50523 0.256 0.685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.48524 0.256 0.685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.46725 0.256 0.684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.45026 0.256 0.684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.43527 0.256 0.684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.42128 0.256 0.683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.40829 0.256 0.683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.39630 0.256 0.683 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.38535 0.255 0.682 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.34040 0.255 0.681 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.30750 0.255 0.679 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 3.26160 0.254 0.679 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232

120 0.254 0.677 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160

Tabela A.2: Quantis de probabilidade 1 − α da distribuicao tn. t1−α,n : P (X ≤ t1−α,n) = 1 − α

Solucoes dos exercıcios

Apendice B

Solucoes dos problemas

B.1 Capıtulo 1

1. E

2. B – A

3. A – B – D

4. E

5. B – A – C – B – A – A

6. B – C – A – D

7. B – D – B

8. C

9. E – C – D – A – D

10. D – C – B

11. C – D – C – A – D

12. A – D – A

13. B – E – B – C – C

14. D – C

15. D – C

16. C – B – C – B – B

17. D – E – D – B – D

18. maximo; 3o quartil; mediana; 1o quartil; mınimo – assimetrica positiva

19. I-4; II-1; III-2; IV-3

20. C

21. D – E – A – C – B – D

22. C – D – 58.843

23. B – E – E – D – B

24. E – segundo; quarto

25. D – C – C – E – E – baixa – C

26. E – C – C – B – E

75


27. A

28. A-II; B-III; C-I

B.2 Capıtulo 2

1. C – B – D – E – C

2. D – B – A – D

3. D – E – B – E

4. C – A – D – D – D

5. E – D – D – A – E

6. C – E – D – B – D – D – D – D – D – B – 0,3 – D

7. E – C – D – E

8. E – E

9. B – D – A

10. A – B – B – D

11. D – D – C – E

12. C – B – B – D – C – A

13. B

14. B – A

15. E – D – B – B – D – E – A – C – A – E – 0,4 – C – E – 1,34 – diminui – mantem-se – D

16. D – D – D

17. C – C – C – E

B.3 Capıtulo 3

1. C

2. E

3. D

4. E – D – B – E

5. C

6. A

7. C

8. A

9. C – D

10. D – C – B – D – B

11. A – E – Sim; zero

12. D

13. E – 0.3 – E – B – E – C – B – nao rejeitar

14. 12.1 – s′ = 2.3 ou s = 2.23 – D – E – C – E – 2331 – D – D – D – C – D – discordantes

76


15. 0.0027 – 0.00135 – B

16. B – C – 0.1 – E – B – D – B – D

17. E – D – E

18. B – A – 9604 – A – 0.63683 – E

77

bioestat´istica caderno de problemas

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