Bifurcaes em sistemas de Tempo Contnuo .

Bifurcaes de Codimenso 1: A codimenso de uma bifurcao o nmero de parmetros que se variam os valores a fim de se produzir bifurcao, em questo.

Bifurcao sela-n: (Tangente, Dobra) o mecanismo bsico pelo qual um par de pontos de equilbrio com estabilidade contrria criado ou destrudo.

Bifurcao transcrtica: H situaes em que dois pontos de equilbrio devem existir para todos os valores De um parmetro , embora as estabilidades destes pontos sejam trocadas quando o parmetro passa por um ponto critico. A bifurcao trancritica o mecanismo associado a esse tipo de mudana.

Bifurcao de Forquilha Esta bifurcao aparece em sistemas fsicos que apresenta algum tipo de simetria , em tais sistemas um par de pontos de equilbrio de mesma estabilidade pode aparecer ou desaparecer simultaneamente, quando o parametrode controle passa por um valor crtico.

Supercrtica Subcrtica

Bifurcao de HOPF

Tem-se uma rbita peridica de raio =r .Em m=0 h troca de estabilidade para mi0 um ciclo limite Esta bifurcao caracterizada pela existncia de um par de autovalores puramente imaginrios no ponto de bifurcao para m=0, ie, i= 2,1 ; no caso de m< 0 a origem um foco assintticamente estvel e as solues espiralam para ela. O sentido da rotao e determinado pelo sinal de . Como neste caso 1= as trajetrias giram no sentido anti-horrio que o sentido de crescimento de . Para mi>0 a origem torna-seum foco instvel e nesta situao , as trajetrias tendem para o ciclo limite circular =r cuja rbita tambm gr no sentido anti-horrio.

.1 )( 2

=

=

rrr

Supercritica Subcrtica

Bifurcaes Homoclinicas e Hetero-Clinicas

Um ponto P chamado de ponto homoclinico se ele est numa rbita que ao mesmo tempo, a variedade estvel e instvel de um ponto de sela. A rbita percorrida chamada de homoclnica.

Um ponto dito ser heteroclinico se ele est na variedade estvel de um ponto de sela e essa variedade tangente variedade instvel de outro ponto de sela. A rbita percorrida por um ponto heteroclinco chamada de rbita heteroclinica. Tal rbita coneta dois pontos de sela diferentes ( ver Figura).

A bifurcao que leva destruio e uma rbita homoclinica chamada de bifurcao homoclinica. Aquela que leva destruio de uma rbita hetereoclinica chamada de Bif. hetereoclinica.

Elas so chamadas de Bifurcaes Globais pois no podem ser previstas pelo clculo dos autovalores, que constituiu uma anlise local.

Mtodo de Melnikov-Caso autnomo:

seja o sistema dinmico dado por )()(

)()(

222

111

xgxfdt

dx

xgxfdtdx

+=

+=

(*)

sendo 1 . Assumamos que p campo f

Hamiltoniano ou

seja existe uma funo H tal que 1

2

21

x

Hfx

Hf

=

=

este campo

hamiltonano perturbado por )(xg .

Para se estudar o caso de Bif Homoclinica, assuma que para qualquer valor do parmetro 1 o sistema (*) tem um ponto de equilbrio do tipo sela; e para 0= esse ponto de ela possui uma rbita homoclinica em )()( 0 txtx

=

. No interior desta rbita (fechada) h uma familiade rbitas fechadas em torno de outro ponto de equilbrio (um cento no linear)

Melnikov provou que para 0 a rbita homclinica somente existe se a funo de Melnikov M , definida logo abaixo se anula para alguma combinao de valores dos parmetros do sistema. NOte que ela depende da rbita homoclinica do sistema no perturbado )()( 0 txtx

=

+

=

= dtxgxfxgxfMtxtx )()(1221 0

)()()()(

Pode observar que A funo de Melnikov est relacionada com a distncia d entre as variedades estvel e instvel do ponto de sela em questo, sendo esta distncia medida em relao a um ponto sobre a rbita homoclinica do sistema no perturbado.

A distncia vale )(

)(2+=

pfMd

para 0= as variedades so tangentes, para 0 as variedades s so tangentes para a combinao dos valores dos parmetros no qual 0=M Se 0>M a variedade estvel est fora e a variedade instvel est dentro; se 0

No caso de um pndulo perturbado com amortecimento proporcional sua velocidade e por torque constante, tem-se

)()( Fbsindtddtd

++=

=

Este sistema est na forma a Teoria de

Melnikov Fbggsinff +==== 2121 ;0;;

Logo tem-se:

bFdtbFt

dtxgxfxgxfMtxtx

82)))(

)()()()(

00

)()(1221 0

=

==

+

+

=

pipi

pi

=

Logo para pibFF c

4==

como ilustra a figura a distancia entre

a variedade estvel )0,2( 2* pi e a instvel )0,( 2* se anula para cFF = , indicando que a tais variedades se tangenciam.

para cFF <

cFF >

No grfico abaixo, tem-se para cFF < o pndulo tende assintticamente para o ponto de equilbrio situado na origem. Conforme F aumenta, nada muda, a no ser quando F torna-se maior do que1 . Para 1>F , o ponto de equlibrio assintticamente estvel desaparece e o pndulo passa a exibir um comportamento peridico, que corresponde ao ciclo limite. Se agora, diminui-se F abaixo de 1 , o ciclo limite persiste at que F igualar-se a cF . Abaixo deste valor critico, o pndulo tende para a situao de repouso. Repare que h histerese.

Note que no caso no- autnomo ),()(

),()(

222

111

txgxfdt

dx

txgxfdtdx

+=

+=

ou

1

),()(

),()(

222

111

=

+=

+=

dtd

xgxfdt

dx

xgxfdtdx

Neste espao estendido: ,, 21 xx pode-se analisar o comportamento do sistema numa seco de Poincar definida por 0 = T

+

=

++= dttxgxftxgxfMtxtx )()(012021 0

),()(),()(

Note que no caso no-autonomo a funo de Melnikov depende da seco de Poincar considerada. Em sistemas no-automomos, todas as seces de Poincar so idnticas j que no dependem explicitamente do tempo.

Esboo do Emaranhado homoclinico.

No caso de um pndulo perturbado com linearmente amortecido e forado harmonicamente tem-se

)cos()( tFbsindtddtd

++=

=

A integral de melnikov se anula para

bF 8)2

sec()cos(20

=

pipi