TEORIA DE SINGULARIDADES E PROBLEMAS DE BIFURCAÇÃO COM

SIMETRIA NOS PARÂMETROS

Angela Maria Sitta

Orientadores: Prof. Dr. Ian Stewart (*) Profa. Dra. Maria Aparecida Soares Ruas

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos, da Universidade de São Paulo, para ob-tenção do Título de Doutor em Ciências - Área: Ma-temática: Geometria e Topologia.

(*) Programa Doutorado Sanduíche desenvolvido em conjunto com o ICMSC-USP e

Universidade de Warwick - Inglaterra

São Carlos - SP

1993

Ao meu pai José Sitta Filho

(in rnemorian)

Minha eterna gratidão

Aos orientadores: Ao Prof. Dr. lan Stewart, orientador junto à Universidade de Warwick, que com sua precisa orientação abriu todos os caminhos para que este trabalho fosse concretizado. A sua confiança e entusiasmo me motivaram a seguir em frente. À Profa. Dra. Maria Aparecida Soares Ruas, orientadora junto ao ICMSC-USP, a quem devo minha formação básica e pacientemente acompanhou cada passo dessa etapa com sugestões e incentivos.

Ao co-orientador junto à Universidade de Warwick, Prof. Dr. Jacques Elie Furter, sempre incansável, pela imensa dedicação e valiosas sugestões.

Ao Prof. Dr. James Montaldi, por ter sugerido a "formulação por caminhos".

Ao Prof. Dr. Washington Luiz Marar, por ter sugerido o Doutorado Sanduíche junto à Universidade de Warwick.

Ao meu orientador acadêmico na primeira fase do doutorado, Prof. Dr. Paulo Ferreira da Silva Porto Junior, pelo incentivo ao Programa Sanduíche.

Ao Prof. Dr. Wilson Maurício Tadini, a quem devo minha vida profissional e formação acadêmica desde os tempos de Mestrado.

Alguns professores merecem espaço nessa página pela colaboração e apoio. São eles: Dr. Brasil Terra Leme, Dr. Carlos Biasi, Dr. Hermz'nio Cassago Júnior, Dr. José

Alberto Cuminato, Dr. Luiz A. da C. Ladeira, Dr. Mark Roberts, Dr. Odelar Leite

Linhares e Dr. Sebastião Antonio Izar.

Aos meus' procuradores, Hélia Matiko Yano Kodama e Dr. Adalberto Spezamiglio.

Aos amigos: Camilo, Chlãe, Dirce, Gabriela, Greg, Lucia Helena, Minam, Richard,

Sandra e Walter.

Ao /B/LCE-UNESP - Campus de São José do Rio Preto. Em particular, aos profes-

sores e funcionários do Departamento de Matemática.

Aos professores e funcionários do ICMSC-USP.

ABSTRACT

In this work we apply techniques from singularity theory to multiparameter bifurcation problems with diagonal symmetry on both the state variables and on the bifurcation

parameters.

We also present algebraic approaches for the Path Formulation in this symmetric context and describe examples which motivated the point of view which was adopted.

RESUMO

Neste trabalho apresentamos técnicas da teoria de singularidades para problemas de bifurcação multiparamétricos com simetria diagonal nas variáveis-padrão e também nos parâmetros de bifurcação.

Também fazemos uma abordagem algébrica da Formulação por Caminhos neste con-texto de simetria e descrevemos aplicações que motivaram o ponto de vista adotado.

Conteúdo

1 Teoria geral 1

1.1 Definições gerais e teoremas 1

1.1.1 Notação e definições 1

1.1.2 Germes P-invariantes 2

1.1.3 Germes P-equivariantes 3

1.2 Definições e resultados devidos a Damon 4

1.3 KIA‘-equivalência 10

1.4 ICI;(k)-equ ivalência 11

1.5 Espaços tangentes 12

1.6 Subgrupo geométrico 15

1.7 A Teoria de desdobramento 17

1.8 Determinação finita 27

1.8.1 Jatos F-equivariantes 27

1.8.2 A órbita de um k-jato P-equivariante 28

1.8.3 Lemas devidos a Damon 30

1.8.4 Germes finitamente determinados 31

1.9 O espaço tangente restrito 36

1.10 Problema do reconhecimento 39

1.10.1 Submódulos intrinsicos e termos de ordem alta 40

6 Aplicações 224

6.1 Motivação física 224

6.2 Outros problemas 226

Apêndice 229

Bibliografia 235

111

Introdução Neste trabalho aplicamos técnicas da teoria de singularidades para o estudo de pro-

blemas de bifurcação multiparamétricos com simetria diagonal nas variáveis-padrão e também nos parâmetros de bifurcação.

Em [15] e [16], Golubitsky, Stewart e Schaeffer estudaram problemas de bifurcação com simetria apenas nas variáveis-padrão e com um parâmetro de bifurcação. Em [18],

Peters classificou problemas de bifurcação com uma variável padrão e dois parâmetros de bifurcação. Ele também estendeu alguns resultados para os problemas com simetria diagonal tanto nas variáveis-padrão como nos parâmetros de bifurcação. Simultanea-mente, em [1], Lavassani escreveu sobre problemas de bifurcação multiparamétricos com simetria apenas nas variáveis-padrão, seguindo [16] e os resultados algébricos de Damon

apresentados em [10].

No capítulo 1, adaptamos os resultados sobre desdobramento, a caracterização algé-brica da determinação finita e o problema do reconhecimento apresentados em [16], [10], [1] para o contexto onde há simetria diagonal nas variáveis-padrão e também nos mul-tiparâmetros de bifurcação. As técnicas da teoria de singularidades são aplicadas para problemas de bifurcação multiparamétricos F-equivariantes segundo a ação diagonal de um

grupo de Lie F nas variáveis-padrão x e nos multiparâmetros A. Observamos que a teoria aqui apresentada também se estende a problemas F-equivariantes onde F = (ri x I, I x F2)

sendo F1 e P2 grupos de Lie compactos agindo, respectivamente, em x por gi • x e em À

por g2 • À e F agindo em (x, A) via a composição das ações acima definidas, ou seja,

(g1,g2) • (x, À) = ((g1,1) • (1,g2)) • (x, À).

A extensão para o caso onde a ação de não é diagonal parece ser tecnicamente possível para os casos mais simples e será objeto de estudo futuro.

No capítulo 2, classificamos através de formas normais os problemas de bifurcação equivariantes com duas variáveis-padrão e dois parâmetros de bifurcação segundo a ação

do grupo diedral D4 nas variáveis e nos parâmetros. Utilizamos os métodos clássicos de determinação do espaço tangente e dos termos de ordem alta para obtenção das formas normais. Os resultados obtidos corrigem a forma genérica normal obtida por Peters em [18] e estendem a classificação para diagramas de codimensão topológica um. Este

Capítulo 1

Teoria geral

Neste capítulo apresentamos a teoria geral sobre desdobramento, determinação finita e problema do reconhecimento para singularidades multiparamétricas com simetria, ou seja, analisamos os problemas de bifurcação equivariantes onde um grupo de Lie compacto age diagonalmente nas variáveis-padrão e nos multiparâmetros de bifurcação. Os resultados apresentados são baseados no artigo de James Damon [10] , na tese de doutoramento de Ali Lari-Lavassarni [1] e no livro Singularities and Groups in Bzfurcation Theory [16].

1.1 Definições gerais e teoremas

1.1.1 Notação e definições

Denotamos as coordenadas no espaço padrão IRn por x = (x1 ... xv ) e as coordenadas no espaço dos parâmetros IW por A = (Ai ... Ai).

a a nota a derivada parcial — f e (Dzf) a Jacobiana de f. Também, denotamos o valor na ax origem g(0 ... 0) de qualquer função g reperesentando f ou suas derivadas por g°.

Para x E 1Rn, Ex (ou En) denota o anel usual de germes suaves f: (IR', O) --dit e Mz (ou Mn) seu ideal maximal de germes que se anulam na origem.

Para y E IRrn, Ex,y (ou denota o Ez-módulo dos germes suaves g : (1R, 0) IR' e Mz (ou M„,,n ) seu submódulo de germes se anulando na origem. Quando y for claro

no contexto, denotaremos Ex,y por E-4z e Mz,y por

Para multi-índices de números inteiros não negativos a = (ai ... an ), f.., zan, de- , n

sobrejetor : E rx

h h o çti. (ii) Analogamente, seja úl "út } o conjunto dos polinômios F-invariantes em À. Defina

: , o ) ( f , o ) f-+ (ii1(A)

Isto induz o homomorfismo de álgebra sobrejetor

f f o 21).

Além disso re : (Rn+t, O) Re, O) induz o homomorfismo de DA-álgebra

7r; EAr -4

g f---+ g o re.

Obviamente, ir(g) E Ers,),) e 7r; é um homomorfismo de álgebra. Resta mostrar que ele levanta para formar o diagrama comutativo

H" E, Eu

7r;

para H: (11r, O) (IR', O) definida da seguinte maneira: para todo 1 < j < t, ú j o irt E erx,),) e portanto, existe hi E Eu tal que

o ir t = 0*(hi ) h j o 0,

isto é, (ir; o fii)(x, )) = hi(ü(x, ))).

Então, seja H(221 ur) = (hi(u) ... h t (u)) com u = (ui . • • Ur).

d Note que —, I ( 5 t A t 7 At) E PCI>: e ti (x, À) E .4 (m) para (x, À) numa vizinhança

at t O

=o (x, À) pertence a .4 (rn). Podemos escrever t pequena da origem, e assim, —dt

(x, À) T(x, À) termos de ordem alta em t.

Consequentemente, d

Analogamente, como Ã-c, (x, À) = x

kt (x, À) = x t X(x,

e

- = T E Mr('x,À)"

e Ã0 (À) = À, escrevemos

À) -I- termos de ordem alta em t

Ã(À) = À -I- tA(A) --E termos de ordem alta em 1.

Assim,

j(t = X E 43(r;),) e —d dt t=0 = E Õr'° À •

Portanto,

= k eci7L0 (i't,f(t,Ãt) • f)

= i k (T f (Dxf) + (DA f) A)

= T f + (Dxf) X I- (D), DA módulo ok-hi '"(r,A)•

o

1.8.3 Lemas devidos a Damon

Para estabelecer o Teorema de Determinação Finita recordamos dois lemas devidos a

Damon. O lema seguinte é o Lema de Mather para sistemas de DA-álgebras ([10], Lema

7.3, pág. 35) escrito em nosso contexto.

Lema 1.8.3.1. Seja ri: N M um homomorfismo de {R( ,, ) }-módulos finitamente

gerados e Mo c M um {ii(x,)„0)}-submódulo de IR-codimensã,o finita igual a c. Então

1. Existe um número que depende de c e da ação do grupo tal que

30

Proposição 1.8.4.2. Existe um inteiro r tal que se p E Sns,À) e Ft = f-f-tp com t E [0,1],

então dado ti, para 1 suficientemente pequeno, Ft, e F(t,44) serão Kr),-equivalentes com os germes de mudança de coordenadas se anulando na origem de 11 /. Mais precisamente existirão germes X E Arx,À,I), A E it-4() e T E M ,i) com X(0,0,1) = O e A(0, t) = O

tais que Fet ,+t) = T • Ft (X , A).

Essa proposição conclui a prova de que 5. implica 1. Na verdade, como X e A se anulam na origem, para cada 1, (Tt, Xt, At ) pode ser considerada como um elemento de /CIAs. Pela compacidade e conexidade de [0,1], f = F0 é r1;--equivalente à f p = F1 . Portanto, f é (r — 1)-/CI;-determinado.

Para provar a Proposição 1.8.4.2 precismos dos seguintes Lemas.

MT À, Lema 1.8.4.3. Se dimR ̀x" for finita, então existirá um inteiro r tal que se g f

Tr ef) módulo ffix,x) então M(rx,),) • S-tr(x,) c

Prova. Por 3., existe um inteiro k tal que

Mrx.A) • 91(ex,À) C T" (f).

Como g f módulo S,,,) , temos que d0.9 dOf módulo Írfr,A) • Ter. Aplicando ambos os membros a Tr()CIA') e recordando que M(1 ,,,) -Ter C Tr (Kr;), obtemos

Tr(f) Tr (g) módulo .A4(rx,À) • Sn;1). (1.18)

Sejam ri = dOg , N = Tr (KIA') , M = .A;f , Mo = "rx,A) • çnr,À) and r = k 4- .t + 1, onde como no Lema 1.8.3.1. Por (1.18),

AA nr r- r-r-r ( m --.(rxdk) • 97.(;,1),) 7-r(g) M(rx,À) • sl'i';5,) •

Pelo Lema 1.8.3.1, "rr,A) • Q7('2,A) C T" (g). O

Para a = (ai ... as), let = • 4,),,a) n 41,À,a) e fr (A,a)

MS, • g(A,a) n e( ])r . Fixando ti na sequência da Proposição 1.8.3.2, veja Ft, como um elemento de efrr,A) e F(i1+i) como seu desdobramento a um parâmetro, isto é, F(ti+i) E g(xr,),,t)•

34

Queremos provar que i é sobrejetora. Note que i é um homomorfismo de módulo finita-

mente gerado sobre o sistema de DA-álgebras {erz,À,t), er,,t), ed. Por ([10], Corolário 6.16,

pág. 33), {(Et, Mi), (E ), Mt • MFA,t) ), (Erx,)t), MI • Mrx,),,t))} é adequado. Também,

([g(xrA]t) M = t44,À,t)

e assim pelo Lema 1.2.5,

([ÉixrAl t) = e4,À,t).

As provas das outras igualdades são semelhantes a essa.

Agora, como codr (f) é finita, para algum inteiro q, temos {pai C erx,),) tais que

— Tr( jr) HF IR {pi p}. (x,A) (1.22)

Calculando [ ]t de ambos os lados de (1.22) e usando as observações preliminares, obtemos

e(xr = dOi ([T( X)]) + E {Pi • • • Pg } •

Afirmamos que = d0F(ti+t) ({Y r (KrA )} t ) {pi • • • Pà•

O Lema segue então de (1.23) e (1.24).

Para provar a afirmação (1.24), definimos

[TrUCI;)1i (Et)g

(1.23)

(1.24)

(T, X, A, Y1 . Yq) 1-4 T F(t,+t) + (Dx F(ti+i) ) X + (19 F(ii +0) A pi.

Note que a imagem de é igual a expressão do lado direito de (1.24). Assim, é suficient provar que 4' é sobrejetora. é um homomorfismo de módulo finitamente gerado sobre sistema de DA-álgebras {Et , ETÀ,t), Erx,),,t)}. Pelo conceito de adequado, para mostrar qu

é sobrejetora é suficiente provar que

ling, em.. t

Como nti+t) = f + t i p + t p, a imagem de 4' pode ser decomposta como

dOm-ti (ETr(CI-À)1t) 111{191 • • • pq} Mt • {In • • • Pà•

38

(1.25)

Assim, (1.25) pode ser reescrito como

do(J ,.„,) [Tr(KrÀ)] t) + R{pi pq } = M i • É;xr,À,i).

Pelo Teorema de Preparação de Malgrange, isto é equivalente

dqf+ti p) err (c,rA)1 i ) Et{Pi • - • pq} =

Por hipótese,

P) (Tr(iCr;))= Tr(f + ti p) = (f).

(1.26)

Por (1.22), do(f, ) (rr(,IA-)) 111{P1 • • • Pq } = È;r,),)•

Calculando [ ]t de ambos os lado, obtemos (1.26) e consequentemente (1.25) é verificado. o

Resta provar (1.21). a

-j F(t,+t ) = p E dOf ([7-r(K),)1t)

e assim pelo Lema 1.9.2., p E dOnti+t) ([r r (KIAl t ).

Isto conclui a prova de 2.

3. Usando o mesmo argumento acima, dado qualquer t1 podemos mostrar que para t suficientemente pequeno, F(ti+t) e Ft, são /C1):-equivalentes. Embora estejamos traba-lhando com o espaço tangente estendido, podemos sempre encontrar germes de mudança de coordenadas que se anulam nas respectivas origens, estabelecendo a KI),-equivalência requerida. Note que pelo Lema 1.7.2, não temos essa propriedade a menos que a origem seja um ponto singular do campo de vetores que estamos integrando, mas como f tem F-c,odimensão finita, um argumento padrão da Teoria de Singularidades, análogo ao de ([22], Proposição 2.11) garante que essas equivalências preservam a origem. 1:1

1.10 Problema do reconhecimento

O problema do reconhecimento trata de estabelecer quando um germe g E e(sr,A) é /Cr),-equivalente a uma forma normal dada.

39

Resolver um problema do reconhecimento particular significa caracterizar explicita-mente a classe de Kr;-equivalência em termos de um número finito de igualdades e de-sigualdades polinomiais a serem satisfeitas pelos coeficientes de Taylor dos elementos da

classe.

1.10.1 SubmOdulos intrinsicos e termos de ordem alta

Seja '1 = (T, X, A) E Kl; e considere a aplicação

f 4)( f)=T • f o (X, A).

Definição. Um submOdulo „.7. C gfrrd,) é intrinsico se (I)(f) E 3 para toda f E3e toda Kr):-equivalência 4).

Definição. Seja V C gfrr,A) . A parte intrinsica de V é definida por

IntrV = E{ submódulos intrinsicos de É''(xr contidos in V}.

Pode também pode ser caracterizado como o maior submódulo intrinsico contido em V.

SubmOdulos intrinsicos 3 tem a propriedade de que: se h E 3 então Tr (h) C 3. (cf. [16], pág. 203).

1.10.2 Termos de ordem alta

Seja f e ë(xrd,). Dizemos que p E É;xrdo é de ordem alta com respeito a f se g 4- p for K--equivalente a f para toda g que for KI;-equivalente a f. Por definição, tais termos não podem pertencer ao conjunto solução do problema de reconhecimento de f. Denotamos por P(f) o conjunto de todos os termos de ordem alta de f, ou seja,

P(f) = {P E É(xr,A) g P f,vg f}

(1.27)

onde denota AC-equivalência.

Proposição 1.10.2.1. Para cada f E È4(rr,A), O conjunto P(f) é um submódulo intrinsic,o de

Prova. ([16], Proposição 7.5, pág. 205). o

40

1.10.3 O subgrupo das 10;-equiva1ências unipotentes

Considere a seguinte projeção

ir : 1\41(-x,x) x M(x,A) x 4( ,72)x ,ér(n)x (f)

(T, X, A) (T°, (Ds X)°, (I)), A)°).

ir é um epimorfismo de grupo e seu núcleo, dado por

= {(T , X , A) E Kl; = I,, (Ds X)° = I(D A)° = ,

é um subgrupo normal de X formado de difeomorfismos unipotentes e é chamado de subgrupo das F -equivalências unipotentes.

O espaço tangente à UI' no seu elemento identidade é definido por

T (Uf) = { c-i7d u 1 E UI' e blo =,1.}

onde Ut(x, À) (x, A), k (x, A), At (À)) satisfaz

= x, (Dx k'i)° = I,X- (t' = O, (1.28)

Ã0 (À) = À, (D Ã)° O.

Segue que

(i) tt(x, À) t T(x, À) o(t) onde T(x, A) = ii=0 .i't(x, À),

(ii) (x, À) = x -F t X(x, t) o(t) onde X(x, A) = jci it=0 kt(x, À),

(iii) À(À) = À + tA(À) o(t) onde A(A) = (ciiiit=0 Ãt (À).

Usando as condições (1.28), temos que T E MFx,),), T° = O, X E ./Çi (I; ) , (Dx X)° = O, A E M.E e (D) A)° = O.

Portanto,

= {(T, X, A) E Kl; T° = O, (Dx X)° = O, (DA A)° = o}.

41

Capitulo 2

O problema D4

Um problema de bifurcação F é um germe f E ëfrr, ), ) tal que f° = O e (Dxf)° = O com (x, A) denotando as variáveis-padrão e os parâmetros de bifurcação.

Daqui para frente, K denota a reflexão

ou, equivalentemente,

e p denota a ação em C dada por

IR2 _4 1R2 (x, y) 1-4 (x, —y)

C C z 1-4 (ei K) z = i

Neste capítulo o nosso objetivo é resolver o problema do reconhecimento para problemas de bifurcação D4 onde o grupo diedral D4 =< k, fi > age sobre (z À) E Cx I112, À = ()i, À2), por

• (z, A1, )12) = (K Z3 A1, A2) = (Z, Al, À2), (2.1)

ji • (z, Ai, A 2) = (µ z, K(Ai , A2 )) = (i.&, Ai , --À2).

Esta ação é motivada por um problema em Mecânica. Considere uma placa qua-drada, não espessa e não isotrópica e dois pares de forças F1 e F2 agindo sobre a placa, horizontalmente e verticalmente, como mostra a Fig. 2.1

43

De (2.12), considere o gerador de Rflic (h) dado por

1 u4(r — cps) o p — etio 9-1 = (92 (14'41) = c(1 — u4ã2 ) c(1 — u4 2 ), , c(1 — u4ã2 )'

Usando a Observação 2.7.4, g, E P(f) e assim h módulo -g, é K,-equivalente à = [j5, c, ,0], isto é, podemos fazer ã = 0.

Agora, considere os seguintes geradores simplificados de R.77.1c(it) :

= — — cga — fg2 = [A + 2 — 2EN.73 — U4f 2 , 0, 0, 0],

.g3 = E(fi EN)g2 g6 CU4fg1 = [0,0, A - 2cN ji — u4 2 ,

Seja Y = (N , Ai , u4) e defina

h(Y, A) =2 — 2cN/3 — u4i•2

e F(Y, A) = A -I- h (Y, A).

F satisfaz F° = O e F`L 0.

Pelo Teorema da Função Implícita existem vizinhanças I de O em IR e V de Y em IR3 e a função g : V I tais que, para todo Y E V, A = g(Y) é a única solução de F(Y, A) = O e g° = 0.

Defina o seguinte homomorfismo

E(Y,6) EY y y

á g(Y). Obviamente, Ker q5 = < A — g(Y) > . Fazendo G(Y, A) = A — g(Y), vemos que F e G satisfazem as condições do Lema 2.7.5. Logo, podemos escrever

G(Y, A) = a(Y, A) F(Y, A)

isto é, < A — g(Y) > c < A + h(Y, A) > .

Como < A + h(Y, A) > c Ker0, segue que

Kerçb = < A + h(Y, A) > .

61

•

DIAGRAMAS DE BIFURCAÇÃO: m< -1, a>0

it2

FIG. 5.42

215

2. R=I -dri

4

P16. 5.42

216

Substituindo-se (16) em (15), segue que Ml():,0) é gerado por , 0), 1 < i < 16, como um Eir-módulo.

Então, resolvendo o sistema qi (ü),..'i (z, /3) O, obtemos qi O, 1 < j < 16. Portanto, as aplicações lineares ,. ¡(z,#), 1 < i < 16, geram livremente M5) sobre eú-

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