biem ben gut

ALEXANDRIA Revista de Educao em Cincia e Tecnologia, v.2, n.2, p.7-32, jul. 2009 ISSN 1982-5153

30 Anos de Modelagem Matemtica na Educao Brasileira: das propostas primeiras s propostas atuais1

MARIA SALETT BIEMBENGUT

Departamento de Matemtica - Universidade Regional de Blumenau, [email protected]

Resumo: Neste artigo apresentamos parte do mapeamento de aes pedaggicas com modelagem matemtica na educao brasileira. O mapeamento permitiu-nos descrever, organizar documentos e informaes para efetuar anlise dos dados: da histria das atividades de modelagem dos precursores, das produes acadmicas e dos cursos de licenciatura de matemtica que possuem em suas grades curriculares a disciplina de modelagem e, na seqncia, reconhecer evidncias comuns e relevantes. Foram identificados 288 trabalhos acadmicos (teses, dissertaes, monografias), 836 artigos e 112 cursos de licenciatura que tm a disciplina de modelagem ou que abordam o tema. O mapeamento ofereceu um mapa da modelagem na educao, uma vez que esse movimento, iniciado h trs dcadas, inaugurou novo caminho de promover conhecimentos, novas formas de transmitir experincias e novas concepes matemticas, multiplicando-se proficuamente. Os trinta anos testemunham quo significativa a modelagem matemtica tornou-se na Educao brasileira. Abstract: In this paper we present part of the mapping of mathematical modeling in Brazilian education. The mapping allowed us to identify, to organize documents and information and to effectuate data analysis regarding: history of precursors modeling actions; academic publications; undergraduate programs in mathematics that have integrated modeling into their curricula and respective verification of amendments, methodological procedures and bibliographies; courses and events; and following, recognition of commons and relevant evidences. It was identified 288 academic productions (thesis, dissertations, monograph); 836 papers e 112 undergraduate programs in mathematics that have integrated modeling into their curricula. The mapping offered a map of modeling in education. This movement started for three decades, inaugurated new paths to promote knowledge, new way to transmit experiences, and new mathematics conceptions, spreading it usefully. These 30 years testify how significant the mathematics modeling became in Brazilian education. Palavras-chave: modelagem matemtica, mapeamento, ensino e aprendizagem.Keywords: mathematics modeling, mapping, teaching and learning.

1. Introduo

O termo modelagem matemtica como processo para descrever, formular, modelar e

resolver uma situao problema de alguma rea do conhecimento encontra-se j no incio do

sculo XX na literatura de Engenharia e Cincias Econmicas, por exemplo. Na literatura

mundial da Educao Matemtica, segundo Pollack (2001), h alguns indcios sobre quando e

por meio de quem o termo modelagem matemtica passou a ser utilizado. Nos EUA

evidncias so encontradas em uma coleo de textos preparados entre 1958 e 1965, nos

trabalhos realizados pelo School Mathematics Study Group (SMSG) entre os anos de 1966 a

1970, no 69o anurio da National Society for the Study of Education em que h um captulo

em que Pollack descreve o processo da modelagem sem fazer uso do termo e no New Trends

in Mathematics Teaching IV, baseado nos anais do ICME III, um captulo The Interaction

1 Esta pesquisa contou com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico - CNPq


between mathematics and other school subjects no qual ele apresenta um panorama sobre as

aplicaes matemticas no ensino e detalha o processo de construo de modelos.

O debate sobre modelagem e aplicaes na Educao Matemtica no cenrio

internacional ocorre, em especial, na dcada de 1960, com um movimento chamado

utilitarista, definido como aplicao prtica dos conhecimentos matemticos para a cincia

e a sociedade que impulsionou a formao de grupos de pesquisadores sobre o tema. Dentre

os eventos encontra-se o Lausanne Symposium, em 1968 na Sua, que tinha por tema como

ensinar matemtica de modo que seja til, com situaes do cotidiano do estudante e no

aplicaes 'padronizadas', mas que favorecessem a habilidade para matematizar e modelar

problemas e situaes da realidade. Na Europa, um grupo liderado por Hans Freudenthall,

denominado IOWO (Holanda), e um outro, coordenado por Bernhelm Booss e Mogens Niss

(Dinamarca), atuavam neste sentido, tal que em 1978, em Roskilde, foi feito um congresso

sobre o tema Matemtica e Realidade que contribuiu para a consolidao, em 1983, do Grupo

Internacional de Modelagem Matemtica e Aplicaes ICTMA filiado ao ICMI, que alm

de fazer parte dos grupos do International Congress Mathematics Education ICME, tem

realizado bi-anualmente o evento internacional conforme DAmbrosio apud Biembengut,

2007b.

Esses movimentos educacionais pela modelagem matemtica na educao

influenciaram o Brasil praticamente ao mesmo tempo, com a colaborao dos professores,

representantes brasileiros na comunidade internacional de Educao Matemtica. A

modelagem matemtica na educao brasileira tem como referncia singulares pessoas,

fundamentais no impulso e na consolidao da modelagem na Educao Matemtica, tais

como: Aristides C. Barreto, Ubiratan D Ambrosio, Rodney C. Bassanezi, Joo Frederico

Mayer, Marineuza Gazzetta e Eduardo Sebastiani, que iniciaram um movimento pela

modelagem no final dos anos 1970 e incio dos anos 1980, conquistando adeptos por todo o

Brasil. Graas a esses precursores, discusses desde como se faz um modelo matemtico e

como se ensina matemtica ao mesmo tempo permitiram emergir a linha de pesquisa de

modelagem matemtica no ensino brasileiro.

Atualmente, o nmero de pesquisas e relatos de experincias em sala de aula

apresentados em eventos de Educao Matemtica e na Conferncia Nacional sobre

Modelagem na Educao Matemtica (que se realiza bi-anualmente desde 1999) tem

aumentado de forma significativa; assim como os professores interessados por cursos

(extenso e ps-graduao) e publicaes e de Cursos de formao de professores de

matemtica (licenciaturas) vm incluindo grade curricular a modelagem no ensino como

8

30 ANOS DE MODELAGEM MATEMTICA NA EDUCAO BRASILEIRA

disciplina ou como parte do programa da disciplina Metodologia do Ensino da Matemtica. A

modelagem tambm tema de um dos grupos de pesquisa da Sociedade Brasileira de

Educao Matemtica SBEM, o que favorece a produo de monografias, dissertaes,

teses e artigos acadmicos, consolidando a modelagem, inclusive nos documentos oficiais de

educao.

Com o propsito de explicitar a modelagem matemtica na Educao Matemtica

brasileira e dispor de um mapa referncia de experincias e pesquisas realizadas, desde 2003

vimos mapeando as aes pedaggicas de modelagem matemtica na educao nacional e

internacional. O mapeamento consiste em descrever as aes dos precursores e em identificar,

organizar, descrever e analisar produes escritas baseadas em experimentos, atividades de

extenso, pesquisas, eventos, cursos de graduao e ps-graduao. Os dados identificados

so disponibilizados no site do Centro de Referncia de Modelagem Matemtica no Ensino

CREMM (www.furb.br/cremm), e os estudos de cada um dos segmentos e/ou das amostras

selecionadas, publicados na forma de artigos e na composio do livro sobre Memrias da

Modelagem Matemtica na Educao Brasileira (publicao prevista para 2009).

Neste artigo, devido restrio de espao, apresentamos parte desse mapeamento:

brevssima descrio das atividades de dois dos precursores e consideraes sobre evidncias

comuns e pontos relevantes das produes (dissertaes, teses; artigos e livros) e dos

programas curriculares de disciplinas de modelagem ou disciplinas que abordam modelagem

dos Cursos de formao de professores de matemtica que a possuem em suas grades

curriculares. Essas consideraes baseiam-se na apreenso emprica que captamos das

produes, da identificao de concepes dos precursores, das produes (dissertaes e

teses) apresentadas em Programas de Ps-Graduao em Educao e Educao Matemtica,

dos textos publicados em anais de Eventos, revistas e livros e das ementas das grades

curriculares dos Cursos de formao de professores de matemtica.

A apreenso emprica, expressa em documentos, muitas vezes, subjetiva e

independente do empenho do pesquisador em ser exato e objetivo. Segundo Wurmann (1991),

as idias precedem a compreenso dos fatos, embora a superabundncia de fatos tenda a

obscurecer a questo. S possvel compreender um fato dentro do contexto de uma idia.

Assim, procuramos perceber fatos e idias junto aos documentos e compreender como estes

fatos combinam-se e (re)combinam-se no decurso destes 30 anos. E desta compreenso,

divisar os multi-fios do saber aceitos no apenas pela comunidade de educadores

matemticos, mas especialmente, pelos rgos pblicos educacionais ao indicar nos

9


documentos oficiais de educao. Indicaes que sob certa viso, adensam as atividades

sociais.

Passam-se s snteses da apreenso emprica de precursores da modelagem, produes

acadmicas e Cursos de formao de professores de matemtica e das possibilidades da

modelagem na Educao e Sociedade brasileira.

2. Precursores da Modelagem na Educao Brasileira

Na impossibilidade momentnea de registrar os feitos de todos os precursores

brasileiros no uso da modelagem e aplicaes de modelos em suas prticas de sala de aula,

elegemos apresentar brevssima sntese sobre dois deles como sinal, referncia: Aristides C.

Barreto, pois, pelo que temos em registro, foi o primeiro a realizar experincias de

modelagem na educao brasileira e, ainda, a representar o Brasil em congressos

internacionais apresentando trabalhos sobre o tema, alm de divulgar seus trabalhos em cursos

de ps-graduao, artigos em revistas e anais de congressos; e Rodney C. Bassanezi, um dos

maiores disseminadores, em especial por meio dos cursos de formao continuada que

ministrou e de ps-graduao de modelagem que coordenou em diversas instituies de quase

todos estados brasileiros. Foram identificados 23 cursos de ps-graduao lato sensu e mais

de 50 de formao continuada.

- Aristides Camargos Barreto tomou conhecimento sobre modelagem matemtica quando cursou engenharia na dcada de 1960. A idia de usar a modelagem em

Educao Matemtica comeou na metade dos anos 1970, na PUC/Rio, ao passar a

atuar como professor nesta Instituio. Na PUC/Rio, Barreto sempre procurava

utilizar-se de modelos matemticos como estratgia de ensino nas disciplinas de

Fundamentos da Matemtica Elementar e Prtica de Ensino da Licenciatura em

Matemtica e de Clculo Avanado para engenheiros em programas de Ps-

Graduao. Junto com estudantes, elaborou vrios modelos em reas especficas

como Lingstica, Ecologia, Biologia.

Uma das principais experincias pedaggicas realizadas por Barreto foi durante um

semestre letivo de 1976, na disciplina de Clculo Diferencial Integral IV, com estudantes do

ciclo bsico oriundos de vrios Cursos: Engenharia (mais de 90%), Matemtica, Fsica e

Qumica. Ingressaram na disciplina 215 estudantes, divididos em 4 turmas. Em cada turma,

Barreto ministrava 2 horas/aula por semana (90 minutos) para exposio da parte terica com

exemplos; em outras duas horas/aula, um dos auxiliares ocupava-se na resoluo de exerccios

10


com os estudantes e na hora-aula restante, utilizava para discutir, em grupo, os problemas

propostos.

Paralelamente, Barreto orientou as duas primeiras dissertaes de modelagem da Ps-

Graduao da PUC-RJ: Modelos na Aprendizagem Matemtica, de autoria de Celso Braga

Wilmer, em 1976, e Estratgia combinada de Mdulos Instrucionais e Modelos Matemticos

Interdisciplinares para ensino aprendizagem da matemtica em nvel de 2o grau: estudo

exploratrio, de autoria de Jorge E. Pardo Snchez, de Costa Rica, em 1979.

As experincias e estudos realizados com e/ou por meio de estudantes sob sua

orientao levaram Barreto a defender sua proposta em diversos Eventos de Educao

Matemtica, nacionais e internacionais. Sua proposta implicava apresentar uma situao

problema capaz de motivar os estudantes a aprender a teoria matemtica; ensinar a teoria, e

ento retornar situao problema para matematiz-la (modelar) e respond-la. Como ele

dispunha de uma coleo de modelos matemticos de diversas reas realizados por ele ou

pelos seus estudantes, suas exposies conquistaram muitos adeptos; um deles, Rodney

Bassanezi, num Seminrio sobre Modelos Matemticos que Barreto ministrou na

UNICAMP, em 1979, a convite do professor DAmbrosio.

- Rodney Carlos Bassanezi, que j conhecia modelagem por meio da Matemtica Aplicada, na dcada de 1980, ao coordenar um Curso para 30 professores de

Clculo Diferencial Integral (CDI) de diversas Instituies de Educao Superior

da regio sul do Brasil, com durao de uma semana, v uma oportunidade de

introduzir a proposta de Barreto. Assim, em primeiro momento, aps bate-papo

com os participantes, props a eles que se reunissem por 2h e apresentassem um

problema que envolvesse CDI. Duas horas depois, a maioria dos problemas

propostos era igual aos que se apresentavam nos livros texto. Esse momento foi

crucial para Bassanezi propor a modelagem matemtica na resoluo de problemas

de biologia aplicados ao CDI bio-matemtica.

Em 1982, organizado um curso de ps-graduao na Universidade Estadual de

Guarapuava- PR, para o qual so convidados professores do IMECC-UNICAMP e Bassanezi

como coordenador. Bassanezi prope uma alterao no programa do Curso: fazer uma visita

s empresas da cidade e, a partir do primeiro contato com as questes da realidade, levantar

problemas de interesse para serem investigados. Assim, promoveu-se o primeiro Curso de

ps-graduao em modelagem que impulsionou a realizao de muitos outros, sob a

coordenao de Bassanezi, nas mais diversas instituies de Educao Superior. Atualmente,

ele contabiliza dezenas e dezenas destes cursos de ps-graduao e de formao continuada e

11


palestras, em vrias cidades de todas as regies brasileiras, promovidos por Instituies de

Ensino ou Secretarias Estaduais e Municipais de Educao.

possvel que a questo - para que aprender matemtica - advinda de estudantes e a

dificuldade de muitos professores em respond-la a partir de aplicaes nas diversas reas do

conhecimento tenham contribudo para Bassanezi defender a modelagem como estratgia de

ensino de matemtica. Sua proposta nos cursos que ministrou para professores era levar os

estudantes a se inteirarem das atividades de uma regio qual pertenciam, e, a partir desse

contato com as questes da realidade, levantar problemas de interesse para serem

investigados. O contedo matemtico era apresentado quando requerido pelos modelos que

estavam sendo elaborados. Proposta que tambm conquistou muitos adeptos.

Bassanezi, alm de atuar no Programa de Ps-Graduao do IMECC- UNICAMP,

passou a colaborar com o Programa de Mestrado em Educao Matemtica na UNESP Rio

Claro-SP, criado em 1983, como professor e orientador de mestrandos na elaborao de

dissertao de mestrado. Com isso, desde essa poca orientou 6 dissertaes em Educao

Matemtica com foco na modelagem matemtica no ensino. Os cursos realizados e as

orientaes de estudantes de iniciao cientfica e de ps-graduao lato e stricto sensu, ao

longo dos anos, levaram Bassanezi a (re)orientar o mtodo, as estratgias, os instrumentos e a

prpria pesquisa. Parte desse trabalho encontra-se no livro que ele publicou em 2002 -

Modelagem no Ensino Aprendizagem - adotado em vrios programas de graduao e ps-

graduao no pas.

Esses dois precursores, em particular, deram impulso significativo para a implantao

e a disseminao da modelagem matemtica na educao brasileira. Os resultados de suas

experincias inspiraram neles uma atmosfera de otimismo sobre as possibilidades da

modelagem. Ao passarem a divulgar suas atividades ou pesquisas realizadas por meio de

preleo, despertaram o interesse de muitos professores, que a partir de seus entendimentos os

levaram a novas atividades e at novas pesquisas. Pesquisas ou atividades que divulgadas, em

outra instncia, em processo cclico, despertaram novos interesses. Toda atividade, todo ato

de comunicao, toda relao humana implica um aprendizado[...] quando valorizamos o

outro de acordo com o leque variado de seus saberes, permitimos que se identifique de um

modo novo e positivo, contribumos para mobiliz-lo [..] (LVY, 1998, p. 29).

Vale ressaltar que Bassanezi e Barreto atuavam apenas na graduao e ps-graduao.

Por melhor que fossem suas idias sobre a Educao Bsica ou sobre as questes

educacionais de regies distantes dos grandes centros, ou periferias, no tinham essa vivncia.

Mesmo conhecendo modelagem matemtica, ao utilizarem-na como estratgia de ensino de

12


matemtica suas concepes diferenciaram-se. E ao divulgarem suas experincias e propostas

em Eventos, expressaram suas concepes em geral, das experincias que deram certo, dos

bons resultados. Por conseqncia, instigaram em vrios participantes novos entendimentos,

concepes e tendncias de modelagem.

No h como subestimar o mrito e a validade das propostas dos precursores. Importa,

antes de tudo, reconhecer as contribuies positivas oriundas pelos precursores da modelagem

na educao; daquele pequeno grupo de professores que teve a iniciativa em realizar

propostas de ensino de matemtica por outros vieses e, por conseqncia, se motivou a contar

sobre esta realizao para outro professor, e para tantos outros. E qualquer que seja o ponto

terico em questo, fato que impulsionaram a Educao Matemtica e, por recorrncia,

crenas matemticas que permeiam o contexto social.

3. Produes de Modelagem na Educao Brasileira

Consideramos produes acadmicas: trabalhos de concluso de cursos de graduao

e ps-graduao lato e stricto sensu; artigos publicados em revistas especializadas e em anais

de congressos; livros e captulos de livro. Pelos stios virtuais, identificamos at abril de 2009:

trabalhos de concluso de Curso: 15 teses de doutorado, 88 dissertaes de mestrado, 105

monografias de ps-graduao lato sensu, 31 de concluso de Curso TCC, 49 de Iniciao

Cientfica; e artigos: 82 em revistas e 754 em anais nos Eventos (ENEMs, II CIBEM, XI

CIAEM, CNMEM). Ainda no foram identificados os artigos publicados nos mais diversos

eventos de Educao Matemtica que ocorrem no Brasil.

H tambm 12 artigos como captulos de livros e 4 livros especficos de Modelagem

Matemtica no Ensino: de Rodney C. Bassanezi, publicado em 2002, Ensino-Aprendizagem

com Modelagem Matemtica; de Biembengut e Hein Modelagem Matemtica &

Implicaes no ensino e na aprendizagem (edies: 1999 e 2004) e Modelagem Matemtica

no Ensino, 1 edio em 2000 (5 em 2007), e outro Modelagem Matemtica na Educao

Matemtica Brasileira: pesquisas e prticas educacionais, composto de 15 captulos

organizado por Jonei C. Barbosa, Ademir D. Caldeira e Jussara de Loiola Arajo, publicado

em 2007. No constam dessa listagem os milhares de trabalhos orientados por professores em

suas disciplinas de modelagem em cursos de graduao ou na Educao Bsica.

3.1 Consideraes sobre as Dissertaes

13


Os trabalhos acadmicos podem ser divididos em 3 fases: na primeira fase, entre os

anos de 1976 a 1986, as trs primeiras dissertaes oriundas dos Programas de Ps-Graduao

da PUC-RJ e da UNICAMP (Campinas-SP); na segunda, 8 do Programa da UNESP (Rio

Claro-SP) entre os anos de 1987 a 1991; e na terceira, de vrios Programas de Ps-

Graduao.

Primeira Fase: As duas primeiras dissertaes foram orientadas por Barreto na

PUC-Rio: Modelos na Aprendizagem Matemtica, de autoria de Celso Braga

Wilmer, de 1976 e Estratgia combinada de mdulos e modelos matemticos

interdisciplinares para o ensino de 2o grau, de autoria de Jorge E. P. Sanchez, de

1979. Nestas dissertaes no constam dados empricos, mas sim estudos sobre

modelos matemticos e sobre aprendizagem e apresentam um conjunto de questes

de aplicaes matemticas para serem utilizadas na Educao Superior e Bsica,

respectivamente. Defendem o processo de modelagem para o ensino, mas no

expem modelos ou como se faz um modelo matemtico, e sim aplicaes; muito

embora eles tenham colaborado com Barreto em suas experincias em sala de aula.

A terceira dissertao: Modelos Matemticos no ensino da matemtica, de autoria

de Maria Cndido Mller sob orientao de Lafayete de Morais (1986), do

Programa da UNICAMP (Campinas), aborda teoricamente modelos matemticos e

modelos de aprendizagem.

Segunda Fase: Encontram-se 7 dissertaes oriundas do Programa de Ps-

Graduao em Educao Matemtica da UNESP de Rio Claro. As trs primeiras

sob orientao de Rodney Bassanezi: Modelagem Matemtica: uma metodologia

alternativa para o ensino de matemtica na 5 srie de Dionsio Burak (1987), A

Modelagem como Estratgia de Aprendizagem da Matemtica em Cursos de

Especializao de Professores de Marineuza Gazzetta (1989) e Uma abordagem

alternativa para o ensino de clculo, na perspectiva de Modelagem Matemtica de

Maria Dolis (1989) tratam da modelagem na formao de professores. Um

possvel motivo encontra-se nos cursos de ps-graduao lato sensu em

modelagem, sob a coordenao de Bassanezi, cujos participantes eram professores.

Desta forma, permitiu aos trs enveredarem pela questo.

Em meio a essa defesa pela modelagem seguem mais 4 dissertaes voltadas a

Educao Bsica e ao Supletivo. Duas destas, tambm sob a orientao de Bassanezi, fazem

aplicaes no ensino e verificam a validade da modelagem matemtica: Modelagem

Matemtica como Mtodo de Ensino Aprendizagem de Matemtica em Cursos de 1 e 2

14


graus de Maria Salett Biembengut (1990) e O ensino de matemtica para adultos atravs do

mtodo Modelagem Matemtica de Alexandrina Monteiro (1991). Biembengut prope um

mtodo para cursos regulares que vai trazer, posteriormente, outra concepo de modelagem.

Na dissertao Consideraes sobre a Modelagem Matemtica e a Educao Matemtica de

Maria Queiroga (1990), sob a orientao de Eduardo Sebastiani, a contribuio dada pelas

crticas modelagem; e a dissertao Modelagem Matemtica e Resoluo de Problemas:

uma viso global em Educao Matemtica de Odesnei Gustineli (1991), sob orientao de

Luiz R. Dante, mostra uma integrao destes dois mtodos, uma outra concepo.

Nestas 7 dissertaes verifica-se uma tentativa de validar ou analisar a modelagem

matemtica na Educao em qualquer nvel. Identifica-se a concepo de Bassanezi e, em

parte da base terica destas dissertaes, conceitos e definies sobre modelagem no ensino,

publicadas em revistas internacionais. O que faz sentido se considerar que em 1983 consolida-

se o Grupo Internacional de Modelagem e Aplicaes Matemticas (ICTMA), que tambm

passa a realizar Conferncias bi-anualmente.

Terceira Fase: A partir de 1991 dispe de nmero significativo de adeptos da

modelagem graas aos cursos de ps-graduao de modelagem matemtica (lato

sensu), sob a coordenao de Bassanezi e s prelees ocorridas em vrios eventos

regionais, estaduais e nacionais em Educao e Educao Matemtica, no apenas

pelos precursores, mas tambm por estes mestres e professores oriundos destes

cursos; impulsionando assim em vrias instituies do pas: trabalho de iniciao

cientfica e de final de curso, monografias, dissertaes e as primeiras teses de

doutorado. A maioria das dissertaes e teses oriunda de Programas de Ps-

Graduao em Educao de diversas universidades brasileiras e em Educao

Matemtica da UNESP de Rio Claro-SP. Parte do referencial terico sobre

modelagem matemtica dessas produes baseado em autores brasileiros, o que

legtimo considerando o nmero de pesquisadores na rea j existente neste

perodo. E aparecem algumas referncias de produes recentes em revistas

internacionais ou anais do ICTMA, pelo fato de alguns brasileiros passarem a

participar destas Conferncias.

3.2. Consideraes sobre os artigos em Anais

Os 754 trabalhos publicados (resumos e textos completos) em Anais de Congressos

(ENEMs, II CIBEM, XI CIAEM, CNMEM), ocorridos entre 1988 e 2007, classificamos e

15


organizamos como: prticas de sala de aula (237) e tericas (321). As prticas de sala de

aulas (237) foram subdivididas em Ensino Fundamental (90), Ensino Mdio (46), Ensino

Superior (41) e Formao de Professores de Matemtica (60).

Dessa produo, at 2008, fizemos uma anlise dos artigos sobre formao de

professores (BIEMBENGUT e SCHMITT, 2008). Conforme se apresentam os textos

analisados, a concepo dos autores em relao modelagem matemtica na formao de

professores a de que ela contribui para uma aprendizagem que no se restrinja s limitaes

das proposies escolares. E mais, que estes estudantes e futuros professores passam a ter a

mesma concepo e levar a modelagem para a Educao Bsica, proporcionando aos seus

estudantes a capacidade de realizarem modelagem e aplicaes em outras reas de

conhecimento e em diferentes contextos.

Para ilustrar, identificamos essa concepo na expresso:

a perspectiva de modelagem matemtica diz respeito suas potencialidades

enquanto oportunidade para os alunos compreenderem os objetos

matemticos, conhecer e relacionar as vrias representaes destes objetos e

utiliz-los para interpretar fatos da realidade. Registros de representao

associados a um mesmo objeto matemtico e a coordenao adequada entre

estes registros representa uma possibilidade do aluno compreender o objeto

matemtico como um todo. (VENTUAN e ALMEIDA, 2007, p.879).

Devido ao nmero de artigos (publicados em Anais e Revistas) identificado, ainda no

foi possvel adquirir todos, tampouco fazer anlise acurada daqueles disponveis. Destes, em

uma anlise preliminar identificou-se que a maioria advm dos trabalhos de dissertao de

mestrado, ou ainda de relatos de prticas de sala de aula e reflexes sobre essas prticas. De

igual forma, sobre os livros compostos por captulos de diversos autores. Numa busca na

plataforma do CNPq, verificamos que so poucos os autores que apresentam resultados de

pesquisa em continuidade s que j desenvolveram. Os resultados de pesquisas vm

ocorrendo mais amide nos ltimos 5 anos, contudo dentre um nmero pequeno de

pesquisadores.

4. Modelagem nos Cursos de Formao de Professores

O movimento pela Educao Matemtica no Brasil tem contribudo para a efetivao

das reformulaes curriculares e a implantao de novas propostas pedaggicas para melhorar

a aprendizagem da matemtica na Educao Bsica e Superior. Dentre elas, as resolues

16


vigentes que instituem as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formao de Professores

de Educao Bsica. A legislao dispe de orientaes quanto incluso grade curricular

dos cursos de formao de professores, de disciplinas que levem os respectivos estudantes a

terem melhor conhecimento sobre o contexto scio-cultural em que vo atuar; alm de

capacidade de compreender a matemtica e saber integr-la a outras reas do conhecimento.

Neste veio, a modelagem matemtica tem sido considerada.

No Brasil, segundo dados do INEP, h 413 cursos de formao professores de

matemtica. At abril de 2009, identificamos que 112 tm na grade curricular do curso a

disciplina de modelagem ou disciplina que aborda modelagem, assim distribudos por regies:

(04) Norte, (08) Nordeste, (11) Centro-Oeste, (49) Sudeste e (40) Sul. A partir desta

identificao, obtivemos os programas dessas disciplinas (ementa, metodologia e bibliografia)

que nos permitiram efetuar verificao e consideraes sobre o que vem sendo tratado nos

cursos. (BIEMBENGUT e MARTINS, 2009).

Os programas dessas disciplinas sugerem que, nas prticas de sala de aula, as

propostas tm buscado encorajar os estudantes a se envolverem ativamente na sua

aprendizagem; produzirem trabalhos a partir de necessidades, interesses, metas pessoais de

forma desafiadora e talentosa e levarem a risco compromissos humanitrios. Embora a

modelagem matemtica na formao de professores no possua um estatuto definido, existem

regimentos que permitem guiar professores a desenvolverem ensino e pesquisa integrando a

matemtica a outras reas do conhecimento; propiciando aos estudantes, em qualquer perodo

de escolarizao, aprender a fazer uso da matemtica nas atividades cotidianas, fora do

contexto escolar, despertando seus interesses por outras reas do conhecimento, instigando

seus sensos imaginativos e crticos ao passar a fazer pesquisa, no sentido lato do termo, que

ultrapassa o levantamento de dados, analisando estes dados com critrios, com fundamentos

(JIANG, MCCLINTOCK e OBRIEN, 2003; BIEMBENGUT, 2007a).

A insero da modelagem matemtica grade curricular de cursos de formao de

professores de matemtica indica o quanto a modelagem, a cada dia, ganha adeptos e

defensores em nveis oficiais de educao, em quase todos os Estados brasileiros devido

possibilidade em promover aos jovens, desse milnio em particular (jovens da gerao

tecnolgica), melhores conhecimentos e habilidades em utiliz-los. As dificuldades

encontram-se principalmente nas dimenses continentais brasileiras, que impem obstculos

em proporcionar atividades (cursos e eventos) suficientes para atender todos os professores de

matemtica. Embora paream existir concepes distintas dos professores responsveis pela

disciplina nos cursos de formao de professores, elas convergem no entendimento de que a

17


modelagem pode contribuir no somente para aprimorar o ensino e a aprendizagem

matemtica, como tambm para provocar uma reao e interao entre corpo docente e

discente envolvidos na contnua e necessria produo do conhecimento.

5. Pontos relevantes e comuns nas produes acadmicas e nos programas curriculares.

Conforme Blum et al (2004), documentar o ensino e a aprendizagem de modelagem e

aplicaes matemticas, que abrange uma grande variedade de verses de contextos fora da

matemtica, requer estrutura e forma de contextualizar o tpico e de reduzir a complexidade a

um nvel compreensvel e tratvel. E, nas dimenses territoriais brasileiras, aliadas aos

diferentes entendimentos e concepes de modelagem que existem atualmente, conseqncia

de trs dcadas do movimento, sem dvida uma anlise desses documentos expressa um

olhar, uma vertente possvel.

Essa vertente aponta que a maioria dessas produes e dos programas curriculares

acima descritos baseia-se em prticas de salas de aula. O que cabvel, se considerar que a

modelagem emerge como estratgia para motivar estudantes, nos mais diversos nveis de

escolaridade, a aprender matemtica e se consolida como mtodo no apenas para motiv-los

a aprender matemtica, mas principalmente, propiciar a eles a capacidade de realizarem, fora

da sala de aula, modelagem e aplicaes em outras reas de conhecimento e diferentes

contextos; isto , resolver problemas, tomar deciso, ter senso crtico e criativo (BLUM et al,

2004). Conforme Severino (2001) a prtica que constri a educao assim como toda a

expresso da existncia humana. E a pesquisa educacional seria muda se no expressasse

as vozes das pessoas diretamente envolvidas. A teoria, em sentido amplo, o esforo de

realizar essa leitura e explicitar o sentido imanente prtica (SEVERINO, 2001, p.9).

Das 76 dissertaes e 60 artigos sobre formao de professores analisados, dois

aspectos evidenciam vantagens para a relao ensino e aprendizagem e dificuldades em

torn-la uma prtica de sala de aula.

1 Aspecto: Vantagens para a relao ensino e aprendizagem. Sintetiza-se em 4 razes a

defesa pela modelagem matemtica na educao: processo cognitivo modelos mentais;

aplicabilidade e utilidade matemtica; pesquisa acadmica e aprendizagem.

- Processo cognitivo & modelos mentais.Cada sensao ou percepo, que se tem do meio, faz gerar na mente imaginao e

idias, que a partir da compreenso e do entendimento, podem transformar-se em significado,

18


modelo, portanto, conhecimento. Conhecimento que permite formar imagens e conceitos;

criar objetos; dar a forma, a cor, o sentido ao mundo que se vive. Ou seja, uma vez

compreendidas e explicadas as percepes ou informaes, a mente humana busca traduzi-las

ou represent-las por meio de smbolos e/ou modelos. Essas representaes mentais, smbolos

e/ou modelos, podem ser internas e externas. (BIEMBENGUT, 2007a).

As representaes internas so aquelas que se constroem no sistema cognitivo para a

compreenso do meio vivente, uma forma de sobrevivncia. Um processo que ocorre desde os

primeiros meses de vida e trata-se de uma enorme tarefa de aprendizado, mas que

alcanada to suavemente, to inconscientemente, que sua imensa complexidade mal

percebida. (SACKS,1995, p.141). E representaes externas so aquelas que se conseguem

expressar ou produzir externamente como pinturas, fotografias, objetos, etc. Conforme Engel

e Vogel (2007), modelos ou representaes externas so mediadores entre o fenmeno

frente e as atividades mentais do problema a resolver. Estes modelos podem ser construdos

pela prpria razo cognitiva ou para propostas externas de comunicao de nossas idias e

conceitos com outros.

Blum et al (1991) afirmam que a construo de modelos mentais significa a

conscincia e a possibilidade interada na passagem atravs do ciclo da modelagem. O

processo cognitivo consiste em variar as observaes e as medidas, em formular hipteses

verificveis, ou seja, em saber discernir os elementos essenciais da situao observada.

Processos que sero tanto mais refinados quanto maior for a vivncia e a experincia de cada

pessoa. A mgica reside na forma como a mente seleciona, filtra as percepes ou

informaes adquiridas e processa aquilo que interessa ou que est disposio para gerar

idias, compreenso, entendimento. Isso mostra que as percepes, portanto, a compreenso e

o entendimento, diferem de pessoa para pessoa. Aparentemente, o sistema cognitivo de tal

forma que as razes do processo de modelar talvez estejam muito mais fundas: "pensar uma

forma de ao, e com muitas pessoas o poder de formar quadros mentais limitado pela sua

capacidade de estabelecer modelos de coisa imaginada." (CHILDE, 1971, p.47).

Como a representao externa modelo depende de como a pessoa percebe o meio,

compreende, representa e procura comunic-lo, cada modelo apresenta uma simplificao da

realidade onde parte da informao disponvel foi descartada. Esta perda de informaes

inerente a cada pessoa, depende de assunes, simplificaes e abstraes eferentes na

soluo de um problema ou comunicao pretendida. O modelo muitas vezes despido de

irrelevantes detalhes referindo-se ao fenmeno observado; as abstraes e simplificaes so

19


pretendidas para generalizar a obteno de resultados e assegurar verdade em muitas

isomrficas situaes (ENGEL e VOGEL, 2007; BIEMBENGUT, 2003).

Os modelos so ferramentas que ajudam a pessoa a processar informaes e estimular

novas idias e compreenses, prover de uma viso estruturada e global que inclui relaes

abstratas. Capacitam a observar e refletir sobre fenmenos complexos, e ainda a comunicar as

idias a outras. Trata-se de um importante meio no apenas para facilitar a ao diria das

pessoas, considerando que na base de toda tecnologia ou produes encontra-se um modelo,

uma representao do fenmeno e das idias, mas tambm para estimular o processo mental,

ajudando a pensar produtivamente.

Se o processo cognitivo se d na forma de modelos mentais internos, os modelos

externos, em particular os modelos matemticos, podem contribuir para que os estudantes

tenham melhor produo lingstica ao utilizar registros diferentes: verbal, vvido e algbrico.

Uma vez que a atividade cognitiva atravessa uma evoluo complexa que inicia como

experincia, passa a outra experincia vivida por gestos e palavras, continua conectando com

uma representao de dados e que pode culminar com o uso da linguagem matemtica ao

descrever relaes entre as quantidades envolvidas na experincia, descrever os fenmenos ao

redor (ARZARELLO, PEZZI e ROBUTT, 2007).

- Aplicabilidade e utilidade matemtica O meio rico em formas, tamanhos e cores: um cenrio repleto de smbolos, signos e

significados. Contar e medir so aes requeridas s pessoas, em quase todos os momentos.

Alm disso, no dia-a-dia, h situaes que requerem decises. Algumas relativamente simples

como: a hora de acordar, o que e quanto comer, distncia a percorrer para chegar a algum

lugar. Outras necessitam de algum tipo de raciocnio, como: a quantidade de pisos para cobrir

o cho de uma sala, a velocidade de um veculo ao percorrer certa distncia em certo tempo.

H ainda aquelas situaes cuja resoluo no to simples, e requerem melhor entendimento

sobre quais e como os dados esto relacionados, como: despoluir um rio, evitar que uma

doena propague-se, viajar para outro planeta, dentre outras (BIEMBENGUT e HEIN,

2007a).

Assim, utilizar-se das situaes cotidianas ou do meio circundante podem contribuir,

por exemplo, para melhor formao dos estudantes em qualquer fase da escolaridade. Desde

identificar, descrever, comparar e classificar os objetos e coisas ao redor; visualizar e

representar os mais diversos entes; representar e resolver situaes problemas e ainda melhor

compreender os entes que rodeiam.

20


Segundo Usiskin (2007) e Sendova (2007), os modelos aritmticos e geomtricos so

freqentemente usados nas aulas de matemtica, contudo, ausentes em conceitos e linguagem

de modelagem. Afirmam que sem esta linguagem e sem tratar das situaes cotidianas dos

estudantes, desde os primeiros anos de escolarizao, esta concepo da matemtica pode se

tornar divorciada de significado. de valor Educao Matemtica considerar as discusses

sobre modelos matemticos e desenvolver habilidades e conceitos necessrios para que o

estudante possa melhorar a apreenso dos conceitos matemticos frente aplicabilidade e

saber integrar a matemtica a outras reas do conhecimento.

- Metodologia de PesquisaAo se fazer um modelo de um fenmeno observado ou utilizar-se de um modelo para

compreenso ou resoluo de alguma questo, pode-se identificar as trs fases do processo

cognitivo: percepo, compreenso, significao - modelo. Conforme Biembengut (2007a),

representar uma situao real matematicamente envolve uma srie de procedimentos,

agrupados em 3 etapas e subdivididas em 7, a saber: 1) Percepo: requer da pessoa que vai

fazer um modelo matemtico representao externa que reconhea e situao problema

( delimitao do problema) e familiarize-se com o assunto a ser modelado ( referencial

terico); 2) Compreenso: etapa mais desafiante que exige do pesquisador compreenso

suficiente para poder levantar hipteses, formular um modelo matemtico (

desenvolvimento) e resolver o problema a partir do modelo ( aplicao); 3) Significao

modelo: momento final em que se faz interpretao da soluo e validao do modelo (

avaliao). Estas etapas e sub-etapas so as mesmas requeridas em uma pesquisa cientfica.

Historicamente, a matemtica tem desenvolvido de aplicaes no previamente

estudadas matematicamente: algumas dessas situaes foram prticas naturais, enquanto

outras, abstradas. Se estas situaes foram prticas ou imaginrias, certo que levaram as

pessoas envolvidas a conduzirem certa investigao para resolverem as situaes problemas.

Eventualmente, muitos resultados emergem de empenho heurstico para tornar a base para

teoremas (WHEAL, 2007). O fato que nas bases da tecnologia, das tcnicas ou dos objetos

de que hoje se dispem esto os modelos matemticos elaborados ou (re)elaborados por

muitos criadores.

A matemtica funciona de acordo com regras convencionais pr-estabelecidas e segue

basicamente as leis: aditiva, comutativa, associativa e distributiva, aplicadas aos elementos

com que trabalha a matemtica. Os elementos que constituem as estruturas dinmicas ou

sistemas no podem aplicar essas leis sem deix-los fora das questes naturais. A situao

21


requer melhor compreenso e anlise quando os dados disponveis no so suficientes para se

utilizar de uma frmula, de um modelo matemtico, ou seja, aplicar os dados e obter uma

resposta satisfatria (BIEMBENGUT e HEIN, 2007b). Neste caso, ser preciso ter uma viso

mais acurada dos dados envolvidos na situao problema; levantar hipteses e, a partir delas,

procurar formular o problema utilizando-se de matemtica necessria, isto , formular um

modelo matemtico no apenas para encontrar soluo vivel questo, mas que valha a

outras aplicaes em outras instncias, de outras situaes similares.

Assim, promover modelagem matemtica no ensino implica tambm ensinar o

estudante, em qualquer nvel de escolaridade, a fazer pesquisa sobre um assunto de seu

interesse. Assim, alm de uma aprendizagem matemtica mais significativa, possibilita

estmulo criatividade na formulao e na resoluo de problemas e senso crtico em

discernir os resultados obtidos (BASSANEZI, 2002; GAZZETTA, 1989). Segundo Mudaly

(2007), a experincia realizada com estudantes da Educao Secundria os levou, durante o

processo de modelagem, a sentirem necessidade em saber o porqu do resultado da pesquisa e

o quanto este resultado conduzia a verdade.

O processo de modelar envolve criar um problema e tirar concluses que podem ser

extrapoladas ao problema original. Osawa (2007) afirma que o significado da compreenso

no est somente na segurana e na convico do estudante, mas tambm na simples

disposio, julgamento, pensamento e fundamento. O significado do fato ou fenmeno

estudado pelo estudante inclui conhecimento obtido pela experincia e compreenso gerada

pelas provas matemticas obtidas com aes matemticas.

- AprendizagemConhecimento a capacidade da mente em significar ou modelar uma informao ou

um evento e utiliz-los em momento oportuno. Reflete a habilidade intrnseca do sistema

cognitivo de reorganizar-se, para gerar novos conhecimentos frente a novas necessidades

impostas pelo meio. Nem todas as percepes levam aprendizagem. Aprender implica ter

conhecimento e no apenas informao. Segundo Schwarzkopf (2007), esse processo tem trs

componentes funcionais: smbolos necessrios para apresentar o conhecimento dentro de

algum contexto; contexto de referncia para servir de base para a compreenso e interpretao

de smbolos; e estrutura terica, que prov uma possibilidade em operar com os smbolos de

um modo significante em um contexto de referncia. Aprender faz parte da prpria estrutura,

em certo sentido.

22


No dia-a-dia so recebidas enormes quantidades de informaes, de vrias formas e

por vrios meios, captadas pelos sentidos, que a mente descarta ou retm por um perodo de

tempo na memria. Segundo WURMAN (1991, p.146), a aprendizagem est relacionada ao

interesse. "O interesse permeia qualquer esforo e vem antes da aprendizagem". Nesses

termos, de acordo com o grau de interesse que se tem sobre alguma coisa, a aprendizagem -

conhecimento adquirido - pode ficar armazenada numa memria de curto, mdio ou longo

prazo. "A aprendizagem trata-se de um processo de adaptao s circunstncias mutveis e

fixao dos mecanismos de sucesso e fracasso envolvidos no processo. [..] e uma adaptao

adquirida como resultado das transaes entre o organismo e o meio-ambiente". (GEORGE,

1973, p. 27).

Como a aprendizagem depende do interesse que a pessoa tem por alguma coisa,

considera-se a modelagem no mago da matemtica escolar. Todos os estudantes

experimentariam a proposta de entender o tangvel e o imaginrio do meio que lhes rodeia e

as habilidades requeridas seriam ferramentas para isto, tais como: fazer predies, analisar

dados e, utilizando-se de tecnologias disponveis, simular, discutir e aprender uma situao

problema ou contexto de interesse deles. (SAEKI, UjIie e KUROKI, 2007).

A modelagem matemtica que perfaz o caminho da investigao cientfica produz uma

nova realidade que no se deduz de concepes prvias. Para modelar uma situao ou

fenmeno, matematicamente, necessrio que se tenha suficiente experincia ou

entendimento da questo para ser capaz de descrever e refinar esta descrio, dispondo-a em

tabelas, nmeros, grficos, etc. (WHEAL, 2007).

Se a modelagem torna-se parte do centro da matemtica escolar nas realizaes do

estudante em situaes que ele tem interesse, ser possvel aumentar sua compreenso em

relao ao uso de dados, estimular o uso de sua autoridade matemtica, desenvolver a

compreenso de frmulas algbricas e a habilidade de crtica e defesa dos modelos

matemticos criados ou na gerao de modelos matemticos traduzidos em situaes da vida

real (MCNAB et al, 2007).

2 Aspecto: Dificuldades em torn-la uma prtica de sala de aula

Quase todas as pesquisas apontam vantagens para a relao ensino e aprendizagem,

mas nas prticas de sala de aula ainda h resistncia por parte de estudantes, em especial na

Educao Superior, e de muitos professores da Educao Bsica e Superior em adot-la.

Destaca-se que este fato ocorre tambm em outros pases. Como conseqncia, esses

23


estudantes e professores, em geral, tm dificuldade em compreender e solucionar situaes

problemas que requerem algum tipo de raciocnio matemtico.

Para ilustrar, na Alemanha, segundo Schwarzkopf (2007), os estudantes no seguem

uma lgica na resoluo de um problema, mas sim seguem a tendncia da sala de aula. O

autor afirma ainda que estudantes e alguns professores no entendem matematicamente uma

situao problema, nem o sentido desta situao no mundo real. No Japo, conforme Osawa

(2007), de acordo com o 3 Estudo Internacional de Matemtica e Cincias (TIMSS), os

estudantes tm estado satisfatoriamente no ranking em resolver questes matemticas,

restritas s tcnicas; apesar disto, suas realizaes/compreenses da utilidade matemtica so

fracas. Quando so apresentadas situaes problemas para os estudantes holandeses

resolverem, por exemplo, a tendncia aplicar modelos proporcionais para a soluo. Boa

parte dos estudantes, inclusive universitrios, tende a assumir relaes lineares ao comparar a

probabilidade de dois eventos. Isto , tm dificuldades em descrever, interpretar, predizer e

explicar as situaes problemas (WIM VAN DOOREN et al, 2007). As razes podem ser

resumidas em duas: a formao dos professores e os exames nacionais para avaliao de

estudantes.

- Formao dos ProfessoresSegundo Biembengut (2003), nos cursos de formao de professores de matemtica,

em sua maioria, o currculo ainda permanece subdividido em disciplinas, sem qualquer

vnculo uma com a outra, compostas por planos rgidos e metodologias de ensino e de

avaliao pautadas na formao tradicional. E, salvo experincias isoladas, as disciplinas

especficas so tratadas sem qualquer vnculo s questes com que devero lidar estes futuros

professores na Educao Bsica. Geralmente, as aulas no passam de transposio de

contedos, exerccios e tcnicas ou mesmo de exposio de teoremas e devidas

demonstraes desprovidas de objetivos significativos.

A maioria dos professores da Educao Superior raramente relaciona o assunto

matemtico acadmico ao que o futuro professor deve enfrentar; apresenta aplicaes, ou

ainda integra conhecimentos, como forma de apresentar a ele a interdisciplinaridade;

desconhece o meio em que esses futuros professores vo atuar, a fim de gerar propostas

curriculares e metodolgicas pertinentes diversidade cultural e aos saberes existentes; no

proporciona pesquisa e quando supe propor, esta pesquisa entendida como levantamento de

alguma informao. E mais, defende o currculo e o mtodo utilizados, apesar dos possveis

consequncias posteriores.

24


H muitas possveis razes para esses professores de cursos de formao de

professores resistirem a mudanas, s quais incluem: formao que eles tiveram, pautadas na

memorizao de teorias, regras e tcnicas; crena de ser esta a condio para saber

matemtica; dificuldade em administrar o nmero de orientaes e avaliaes requeridas;

tempo disponvel para aprender a modelar para solucionar problemas de outras reas do

conhecimento e mais, em escrever materiais apropriados para larga extenso de estudantes e

escolas. Uma mudana da magnitude enfrentada requereria um comprometimento das

autoridades para uma formao contnua dos professores, desenvolvendo programas para que:

aprimorassem o conhecimento e as habilidades dos professores, possibilitando que mudem as

atitudes em prol da aplicabilidade matemtica, disponham de suficientes experincias para

terem capacidade de descrever, refinar a descrio e ainda representar por tabelas, nmeros e

grficos, modelando uma situao.

- Avaliao Nacional dos EstudantesApesar de que nos documentos oficiais (PCN e Propostas Pedaggicas) enfatizem a

importncia de tornar a matemtica significativa aos estudantes e que haja a promoo de

conhecimento, habilidades e sensos crticos destes ao utiliz-la; a maioria dos exames

aplicados no processo escolar, no final do Ensino Mdio, nos vestibulares ou nos concursos,

no prioriza os projetos e ainda consiste em exames nos moldes tradicionais. Assim, forados

a atender aos exames preparados pelos burocratas da educao, os professores utilizam-se de

problemas estereotipados que so apresentados nos livros didticos, associados s prticas de

sala de aula e s expectativas dos estudantes.

Se um currculo de matemtica planejado incorpora habilidades investigativas para

aplicar matemtica, as avaliaes precisam ser alinhadas com as intenes e no reproduzir o

conhecimento de algoritmos. Qualquer mudana em currculo requer: um professor seguro em

relao ao programa a ser desenvolvido, proviso de recursos apropriados e mudanas

complementares na avaliao das realizaes dos estudantes. (BONOTTO, 2007 e VOS,

2007)

6. Possibilidades da Modelagem no Cenrio Educacional

O mapeamento sobre o estado atual das aes pedaggicas de modelagem matemtica

na educao brasileira pode oferecer uma cena, ainda que possa parecer incompleta. Temos

vestgios dos comeos, mas no h inferncias quanto s vertentes que se daro, os caminhos

25


que ainda sero percorridos e as palavras a serem pronunciadas, uma vez que esse movimento

pela modelagem, iniciado h trs dcadas, inaugurou novo caminho de promover

conhecimentos, novas formas de transmitir experincias e novas concepes matemticas,

multiplicando-se proficuamente.

Multiplicao impulsionada graas aos entusiastas professores que buscam melhorar o

desempenho matemtico de seus estudantes, em especial justificando questes como: para

que serve matemtica? onde e quando utilizar? Tais justificativas, ao proporcionarem

resultados animadores, instigam esses professores a relatar a outrem que poder vir a se

entusiasmar e assim em diante. Cada professor, por meio de sua ao pedaggica em busca da

aprendizagem de seus estudantes, semeia, deixa marcas, assinala caminhos. Busca que se

interage, muitas vezes, com a de outro professor, cujas relaes de trocas favorecem a

formao de caminhos para se tentar atingir o objetivo da educao (Biembengut, 2008).

Esses entusiasmos e justificativas podemos verificar nas aes e produes dos

precursores da modelagem: nos exemplos de Aristides Barreto e Rodney Bassanezi.

Entusiasmos mostrados, em especial, em suas prelees em cursos ou eventos, que certamente

instigaram muitos professores promover atividades em sala de aula; por conseqncia,

pesquisas passaram a ser realizadas a partir do interesse provocado por uma preleo.

Pesquisas ou atividades que divulgadas, em outra instncia, em processo cclico, despertaram

novos interesses, resultando nessa produo e nessas aes anteriormente apresentadas.

Conforme Lvy (1998), Toda atividade, todo ato de comunicao, toda relao

humana implica um aprendizado; nesse sentido, quando valorizamos o outro de acordo com

o leque variado de seus saberes, permitimos que se identifique de um modo novo e positivo,

contribumos para mobiliz-lo[...] (LVY, 1998, p. 29). No se pode subestimar a

importncia das prelees em eventos como fontes de recursos para a mudana na educao.

Seria afrontar a evidncia de que antes da pesquisa sistemtica, muitos educadores

entusiasmam-se com uma proposta e passam a implant-las em suas prticas escolares. A

implantao de propostas propicia informaes que permitem (re)orientar as pesquisas, por

sua vez, novas experincias, novas possibilidades.

As primeiras propostas levaram aos primeiros adeptos que, entusiasmados em

aprimorar suas prticas, foram aplicar essas propostas nos mais diversos nveis de Educao:

bsica, superior, formao continuada, supletivo, ps-graduao. Essas primeiras experincias

apontaram possibilidades, avanos e dificuldades. Resultados que impeliram pesquisas, que

uma vez divulgadas, levaram outros a novas prticas, novas pesquisas e novas concepes.

Novas concepes e novos caminhos que contriburam para aumento de pesquisas e

26


experincias e com isso as proposies em documentos oficiais. Apreendem-se mtodos mais

eficientes e discriminativos por meio de preceitos e exemplos, que incitam novos tons a outras

aes no contexto educacional que se lampejar pela sociedade.

As diferenas de concepo evidenciadas pelos precursores e pesquisadores, vistas

coletivamente, so provocadas pela formao e experincia de cada um dos envolvidos. As

aes pedaggicas resultam de uma soma de circunstncias que se originam das ligaes entre

os entes da educao, compreendendo ao mesmo tempo a localizao e demais atributos como

scio-geogrfico-cultural de cada um desses entes. As modificaes na concepo so

iniciadas pela escolha consciente e deliberada de seus autores. As variaes de concepo

podem ser julgadas pelas propores em que ajudaram a proposta sobreviver e multiplicar-se.

Muito embora existam concepes distintas, essencial no perder de foco estas

distines nos aspectos que convergem no entendimento de que a modelagem pode contribuir

no somente para aprimorar o ensino e a aprendizagem matemtica, mas especialmente, para

provocar uma reao e interao entre corpo docente e discente envolvidos na contnua e

necessria produo do conhecimento, que surtir efeitos no contexto social. Uma partilha

mtua de experincias adquiridas. Conforme Maturana e Varela (2001, p.71), no fazer se

conhece e todo ato de conhecer produz um mundo.

As aes de pesquisas, extenso e ensino mostram que a modelagem matemtica tem

ganhado a cada dia mais adeptos e defensores em nveis oficiais de Educao, em quase todos

os Estados brasileiros devido possibilidade de promover aos jovens, desse milnio em

particular, melhores conhecimentos e habilidades em utiliz-los. As dificuldades encontram-

se principalmente nas dimenses continentais brasileiras, que dificulta em proporcionar

atividades (cursos e eventos) suficientes para atender todos os educadores de matemtica.

Essas dificuldades esto sendo dirimidas com a incluso da disciplina grade curricular de

cursos de formao de professores de matemtica e com os eventos e projetos de pesquisa e

de extenso.

Destaca-se que alm dos espaos concedidos modelagem matemtica nos eventos de

Educao e de Educao Matemtica (internacional, nacional, estadual e regional), j existem

dois Estados brasileiros (Par e Paran) que vm realizando, periodicamente, Conferncias

estaduais de modelagem, alm da citada Conferncia Nacional CNMEM. E ainda dentre os

muitos projetos, por exemplo, o de Feiras de matemtica, coordenado por Jos Vilmar

Zermiani, da Universidade Regional de Blumenau - FURB, onde trabalhos de modelagem so

apresentados por estudantes.

27


As Feiras de matemtica so realizadas em Santa Catarina desde 1985. Elas ocorrem

anualmente por escola, cidade, regio e estado. Os trabalhos so realizados pelos estudantes

(da Educao Infantil Superior), sob a orientao de seus respectivos professores. Segundo

Zermiani (2006), nestes anos, somente nas Feiras de matemtica estaduais foram apresentados

quase 4000 trabalhos classificados sob diversas categorias (matemtica aplicada, modelagem,

jogos, etc). Destes, foram identificados cerca de 350 de modelagem matemtica.

Considerando que este nmero representa menos de 10% dos trabalhos apresentados nas

Feiras escolares, pode-se estimar em mais de 3500 trabalhos de modelagem realizados por

estudantes e professores voluntrios. A qualidade e a criatividade desses trabalhos expressam

o ativo envolvimento do estudante e mais que tudo, do professor. Ao levar em conta que a

maioria destes professores dispe de poucos recursos, concordar-se- com Severino (2001)

quando afirma que a educao se realiza atravs de mediantes que se desenvolvem no

interior de um projeto e a partir dele. E mais, essa exigncia decorre da natureza da

conscincia humana e no significa espontanesmo ou imaginao

descontrolada (SEVERINO, 2001, p. 154).

O mapeamento da modelagem matemtica na educao brasileira, por ora realizado,

permitiu: identificar produes acadmicas e aes (eventos, cursos), document-las a fim de

estimular mais atividades de pesquisa e de prticas e ainda ressaltar evidncias destas trs

dcadas de acontecimentos que se examina. Permitiu ainda a elaborao de um livro (em

processo de finalizao) sobre Memrias da Modelagem Matemtica no Ensino Brasileiro,

com uma descrio detalhada das atividades desenvolvidas nas ltimas trs dcadas. Esse

mapeamento visa permitir aos adeptos ou pesquisadores da modelagem saber onde esto,

quais so as razes ou influncias recebidas. E mais, possibilitar aluso ao passado e aportes

aos caminhos a serem perquiridos.

Apesar desse crescente interesse pela modelagem, h poucas evidncias e certo

sintoma ou percepo sobre mudanas na educao frente ao nmero de adeptos e

interessados. No se dispe de mapeamento de todas as aes e de como entendida e

adotada pelos professores que tomaram cincia da modelagem matemtica na educao

brasileira. Nas dimenses continentais do Brasil, dificilmente teremos conhecimento pleno de

como e quanto idias e propostas sobre modelagem matemtica so utilizadas, bem como de

milhares aes educacionais submissas s salas de aula de incansveis professores sonhadores

que crem na possibilidade de fazer o ensino melhor. O que tem sido possvel identificar a

produo acadmica que est em bibliotecas ou acervos passveis de localizao e, salvo

alguns encontros ocasionais, relatos de bastidores (BIEMBENGUT, 2007b).

28


Como nosso conhecimento atual ainda falho em relao a essa difuso, possvel

apenas deduzir a existncia de propostas de modelagem a partir das produes e aes de

professores pesquisadores aos estudantes pesquisadores, e ainda deduzir, a partir de alguns

contatos, a recepo e os traos que deram certo. Os trinta anos que transcorreram

testemunham quo significativa tornou-se a modelagem matemtica na educao brasileira.

Assistido de um ponto, dificilmente, poderamos ns precursores antever os rumos que as

primeiras propostas tomariam: a extenso das propostas, as mudanas no menores no tocante

s concepes, a amplitude de produo acadmica, os esforos de experimentao em todos

os nveis educacionais, as referncias nos documentos oficiais. Deste ponto, cremos que o

surpreendente no que saibamos to pouco sobre esta disseminao, mas sim que j

saibamos suficiente para continuarmos nesse rumo: saber cada vez mais de como a natureza e

os processos envolvidos na modelagem se inserem nas questes da sociedade.

Por meio do Centro de Referncia de Modelagem Matemtica no Ensino

(www.furb.br/cremm) criado em 2006, o mapeamento continuar sendo o propsito a ser

alcanado no tempo em que se segue. H muito que se conhecer; muitos fatos a serem

levantados. Partindo dessa condio, servir do conhecimento produzido e reordenar alguns

setores deste conhecimento para criar novos sentidos, nos mapas que possam servir a outrem,

outros conhecimentos. Em outras palavras, saber gerar conhecimentos novos sobre questes

educacionais, desenvolver mapas-contexto que permitam ver novas realidades, presentes, mas

talvez incapazes de ganhar visibilidade significativa para a melhoria da educao. Conhecer e

compreender como estes se do efetivamente, como as concepes, os objetivos e os ideais

que orientam professores pesquisadores de modelagem matemtica no ensino podem permitir

delinear caminhos para melhorar a Educao Matemtica brasileira e, por extenso, a

sociedade.

7. Referncias Bibliogrficas

ARZARELLO, Ferdinando; PEZZI, Giovanni e ROBUTT, Ornella. Modelling Body Motion: an Approach to Functions Using Measure Instruments. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

BASSANEZI, Carlos Rodney. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemtica. So Paulo, 2002.

BIEMBENGUT, Maria Salett. Mapeamento na pesquisa educacional. Rio de Janeiro: Cincia Moderna, 2008.

29


_________________________. Modelling and Applications in Primary Education. In: Modelling and Apllications in Mathematics Educacion. New York: Springer, 2007a.

_________________________.Mapeamento da Modelagem Matemtica no Ensino Brasileiro. Relatrio Conselho Nacional de Desenvolvimento Tecnolgico Cientfico CNPq, 2007b.

_________________________. Modelagem Matemtica: Mapeamento das Aes Pedaggicas dos Educadores de Matemtica. Tese de Ps Doutorado, So Paulo, 2003.

BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelling in Engineering: Advantages and Difficulties. In: HAINES, Christopher; GALBRAITH, Peter; BLUM, Werner; KHAN, Sanowar. Mathematical Modelling ICTMA 12 - Education, Engineering and Economics. Inglaterra: Horwood Publishing Limited, 2007a.

_____________________________________. Sobre a Modelagem Matemtica do saber e seus limites. In: BARBOSA, Jonei C.; CALDEIRA, Ademir D.; ARAJO, Jussara de Loiola. Modelagem Matemtica na Educao Matemtica Brasileira: pesquisas e prticas educacionais. Recife: SBEM, 2007b.

BIEMBENGUT, Maria Salett; MARTINS, Rosane. Mapeamento dos programas curriculares de Modelagem Matemtica dos Cursos de Formao de Educadores de Matemtica (licenciaturas) do Brasil. Relatrio Final de Iniciao Cientfica. Programa Institucional de Bolsas de Iniciao Cientfica - PIBIC/FURB, 2009.

BIEMBENGUT, Maria Salett; SCHMITT, Ana Luisa Fantini. Mapeamento das Produes Acadmicas de Modelagem Matemtica no Ensino de Autores Brasileiros. Relatrio Final de Iniciao Cientfica. Programa Institucional de Bolsas de Iniciao Cientfica - PIBIC/CNPQ, 2009.

BLUM, Werner, et al (eds). Teaching of Mathematical Modelling and Application, Chichester: Ellis Horwood, 1991.

_________________________. ICMI Study 14: Applications and Modeling in Mathematics Education. Educational Studies in Mathematics, 2004.BONOTTO, Cinzia. How to replace the Word problem with activities of realistic mathematical modeling. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

CHILDE, Gordon. Evoluo cultural do homem. Rio de Janeiro: Zahar, 1971.

ENGEL, Joachim; VOGEL, Markus. Mathematical Problem Solving as Modeling Process. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

GAZZETTA, Marineusa. A modelagem como estratgia de aprendizagem na matemtica em cursos de aperfeioamento de professores. Dissertao - Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, 1989. Orientador: Prof. Dr. Rodney Carlos Bassanezi.

30


GEORGE, Frank. Modelos de pensamento. Trad. Mario Guerreiro. Petrpolis: Vozes, 1973.

JIANG, Zhonghong; MCCLINTOCK, Edwin; OBRIEN, George. A Mathematical Modelling Course for Preservice Secondary School Mathematics Teachers. In: Mathematical Modelling in Education and Culture. Chichester: Horwood, 2003.

LVY, Pierre. A inteligncia Coletiva por uma antropologia de ciberespao. Traduo de Luiz Paulo Rounet. So Paulo: Loyola, 1998.

MATURANA, Humberto R. e VARELA, Francisco G. A rvore do Conhecimento, traduo de Humberto Mariotti e Lia Diskin. So Paulo: Palas Athena, 2001.

McNAB, Susan, et al. Investigating Fairness in Ranking Commonwealth Games Performance: Collaborative Mathematical Modelling in a Grade 5/6 Classroom. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

MUDALY, Vimolan. Modeling of Real-World Problems is often the Starting Point for Proof. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

OSAWA, Hironori. Development of Applicatons and Modeling by Action Re-Search in Japanese Secondary School. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

POLLAK, H.O. History of the Teaching of Modeling. 2001. (mimeo)

SACKS, Oliver. Um Antroplogo em Marte. So Paulo: Cia das Letras, 1995.

SAEKI, Akihiko; UJIIE, Akiko e KUROKI, Nobuaki. Students Analysis of the Cooling Rate of Hot Water in a Mathematical Modelling Process. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

SCHWARZKOPF, Ralph. Elementary Modelling in Mathematics Lessons: The Interplay between real-World Knowledge and Mathematical Structures. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

SENDOVA, Evgnia. Motivating young students to study mathematics via visual modelling. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

SEVERINO, Antnio Joaquim. Educao, Sujeito e Histria. So Paulo: Olho DGUA, 2001.

USISKIN, Zalman. The Arithmetic Operations as Mathematical Models. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

WHEAL, Michael. Issues in Implement and Sustaining a Mathematics Curriculum Based on Applications and Modelling the South Australian Experience. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

31


VAN DOOREN, Wim, et al. Students Overreliance of Proportionality: Evidence from Primary School Students Solving Elementary Arithmetic Problems. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

VERTUAN, Rodolfo Eduardo; ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de. O Uso de Diferentes Registros em Atividades de Modelagem Matemtica. In: Anais da V Conferncia Nacional sobre Modelagem e Educao Matemtica, Ouro Preto, 2007 (p. 877-887).

VOS, Pauline. Large-Scale Mathematics Assessmentusing a Laboratory Environment. In: BLUM, Werner et al. Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer: New York, 2007.

ZERMIANI, Vilmar Jos. III Seminrio de Avaliao das Feiras Catarinenses de Matemtica. Blumenau: Edifurb, 2006.

WURMAN, R. S. Ansiedade de Informao: Como Transformar Informao em Compreenso. So Paulo: Cultura Editores Associados, 1991.

Maria Salett Biembengut: matemtica, mestra em Educao Matemtica (UNESP), doutora em Engenharia de Produo e Sistemas (UFSC) e ps-doutora em Educao (USP e University of New Mexico). Atua na Universidade Regional de Blumenau - FURB desde 1990 no Departamento de Matemtica e nos Programas de Ps Graduao em Educao e Ensino de Cincias e Matemtica. Dedica-se a pesquisa em Processos e Mtodos de Ensino e Aprendizagem, em especial, Modelagem Matemtica desde 1986. Foi Presidente da Sociedade Brasileira de Educao Matemtica SBEM (1992 -1995) e do Comit Interamericano de Educao Matemtica CIAEM (2003-2007). fundadora do Centro de Referncia em Modelagem Matemtica no Ensino CREMM.

32

biem ben gut

Documents