bases numericas[1]

1

Ciclo Básico – Engenharia

INFORMÁTICA

Unidade 1 – Sistemas de Numeração

Sistemas de Numeração

Prof. MSc. Alyrio Cardoso Filho

Março de 2010

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INFORMÁTICA


Sistemas Numéricos

• O que é Sistema de Numeração?– É um conjunto de regras para representação dos

números.

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INFORMÁTICA


Qual das contas abaixo está certa?

1 1 1 1

+ 1 + 7 + 9 + F

------- ------- ------- -------

10 10 10 10

• Acertou quem disse: Todas!

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INFORMÁTICA


Sistemas Numéricos

• Sistema Binário: importante sistema de numeração, utilizado na tecnologia dos computadores. Sua base é “dois”, tendo somente dois algarismos: { 0, 1 };

• Sistema Decimal: sistema de números em que uma unidade de ordem vale dez vezes a unidade de ordem imediatamente anterior. Sua base numérica é de dez algarismos: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.

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INFORMÁTICA


Sistemas Numéricos

• Sistema Octal: Sistema de numeração cuja base é oito, adotado na tecnologia de computadores. Sua base numérica é de oito algarismos: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };

• Sistema Hexadecimal: Sistema de numeração cuja base é dezesseis. Esse sistema trabalha com dez algarismos numéricos baseados no decimal e com a utilização de mais seis letras. Os algarismos deste sistema são: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }.

• .

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INFORMÁTICA


Sistema Decimal - Base 10

• Operações Aritméticas:

– Adição: 429 + 232 = 661 (1ª parcela, 2ª parcela, resultado);

– Subtração: 506 – 342 = 164 (minuendo, subtraendo, resultante);

– Multiplicação: 32 x 4 = 128 (1º fator, 2º fator, produto);

– Divisão: 153 / 3 = 51 (dividendo, divisor, resultado, resto).

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Sistema Binário – Base 2

• Operações aritméticas:

– Adição: 11112 + 01112 = 101102

– Subtração: 1011012 - 1001112 = 0001102

– Multiplicação: 11012 * 10112 = 100011112

– Divisão: 110012 / 1012 = 1012

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INFORMÁTICA


Tabela Para Adição e Subtração de Binário

Adição• 0 + 0 = 0• 0 + 1 = 1• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 10 (2)

Subtração• 0 - 0 = 0• 0 - 1 = 1 *

(Empresta 1 do Anterior)

• 1 - 0 = 1• 1 - 1 = 0

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INFORMÁTICA


Exercícios – Numeração Bináriaa) 1 + 1 =

b) 10 – 1 =

c) 1 + 10 =

d) 11 + 11 =

e) 101 – 10 =

f) 1001 + 10 =

g) 1111 + 1 =

h) 1111+ 101 =

i) 111 – 10 =

j) 1010 – 111 =

Adição• 0 + 0 = 0• 0 + 1 = 1• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 10 (2)

Subtração• 0 - 0 = 0• 0 - 1 = 1 *

(Empresta 1 do Anterior)

• 1 - 0 = 1• 1 - 1 = 0

10


INFORMÁTICA


Exercícios – Numeração Bináriaa) 1 + 1 =

b) 10 – 1 =

c) 1 + 10 =

d) 11 + 11 =

e) 101 – 10 =

f) 1001 + 10 =

g) 1111 + 1 =

h) 1111+ 101 =

i) 111 – 10 =

j) 1010 – 111 =

10

01 = 1

11

110

011 = 11

1011

10000

10100

101

0011 = 11

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INFORMÁTICA


Sistema Octal – Base 8

• Operações aritméticas:

– Adição: 35678 + 17418 = 55308

– Subtração: 73128 – 34658 = 36258

– Multiplicação: 1058 * 78 = 7438

– Divisão: 1148 / 48 = 238

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INFORMÁTICA


Tabela Para Adição e Subtração de Octal

Adição

• 7 + 0 = 7• 7 + 1 = 10• 7 + 2 = 11• 7 + 3 = 12• 7 + 4 = 13• 7 + 5 = 14• 7 + 6 = 15• 7 + 7 = 16

Subtração

• 10 – 7 = 1• 10 – 6 = 2• 10 – 5 = 3• 10 – 4 = 4• 10 – 3 = 5• 10 – 2 = 6• 10 – 1 = 7• 10 – 0 = 0

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INFORMÁTICA


Exercícios – Numeração Octala) 7 + 1 =

b) 11 – 2 =

c) 3577 + 15 =

d) 321 – 30 =

e) 777 + 1 =

f) 443 – 76 =

g) 357 + 30 =

h) 700 – 15 =

i) 767 – 77=

j) 55 + 777 =

10

7

3614

271

1000

345

407

663

670

1054

14


INFORMÁTICA


Exercícios – Numeração Octala) 7 + 1 =

b) 11 – 2 =

c) 3577 + 15 =

d) 321 – 30 =

e) 777 + 1 =

f) 443 – 76 =

g) 357 + 30 =

h) 700 – 15 =

i) 767 – 77=

j) 55 + 777 =

10

7

3614

271

1000

345

407

663

670

1054

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INFORMÁTICA


Sistema Hexadecimal – Base 16• Operações aritméticas:

– Adição: 3A943B16 + 23B7D516 = 5E4C1016

– Subtração: 4C7B16 – 1E9216 = 2DE916

– Multiplicação: 416 * 416 = 1016

– Divisão: C16 / 416 = 316

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Exercícios – Numeração Hexadecimala) 9 + 1 =

b) F – 9 =

c) 9 + 5 =

d) 9 – B =

e) A5C3 + 999 =

f) A5CB – EE =

g) FFFF + 11 =

h) ABCD + EF =

i) ABCD – EF =

j) FEFE – FFF =

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INFORMÁTICA


Conversões• Todo número pode ser convertido de uma base

numérica para outra;

• Para isto precisamos entender:– Valor Absoluto: ou valor intrínseco, é o número

propriamente dito;– Valor Posicional: é o valor que ele ocupa em uma

determinada posição.

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INFORMÁTICA


Exemplo: 1.998

Milhar Centena Dezena Unidade

1 9 9 8

3 2 1 0

1 9 9 8

Valor Absoluto:

Valor Posicional:

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INFORMÁTICA


Fórmula para conversão entre bases numéricas:

vp = va x basenp

Onde:– Vp = Valor da Posição;– Va = Valor Absoluto ;– Np = Número da Posição.

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INFORMÁTICA


Aplicação da Fórmula

Exemplo: 01100001(2)

1 x 20 = 1 x 1 = 10 x 21 = 0 x 2 = 00 x 22 = 0 x 4 = 00 x 23 = 0 x 8 = 00 x 24 = 0 x 16 = 01 x 25 = 1 x 32 = 321 x 26 = 1 x 64 = 640 x 27 = 0 x 128 = 0

Em que: 1 + 32 + 64 = 97(10).

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INFORMÁTICA


Outro ExemploConverter o binário 111110100(2) num decimal.

1 1 1 1 1 0 1 0 0

0 x 20 = 0 x 1 = 0

0 x 21 = 0 x 2 = 0

1 x 22 = 1 x 4 = 4

0 x 23 = 0 x 8 = 0

1 x 24 = 1 x 16 = 16

1 x 25 = 1 x 32 = 32

1 x 26 = 1 x 64 = 64

1 x 27 = 1 x 128 = 128

1 x 28 = 1 x 256 = 256

500

111110100(2) = 500(10)

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INFORMÁTICA


Exercícios – Base 2 para Base 10a) 1 =

b) 10 =

c) 101 =

d) 11111 =

e) 10001 =

f) 10101010 =

g) 1111 =

h) 10001111 =

i) 11001101 =

j) 11110001 =

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INFORMÁTICA



Exemplo: 374(8)

4 x 80 = 4 x 1 = 47 x 81 = 7 x 8 = 563 x 82 = 3 x 64 = 192

Em que: 4 + 56 + 192 = 252(10).

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INFORMÁTICA



Exemplo: 1998(10)

8 x 100 = 8 x 1 = 89 x 101 = 9 x 10 = 909 x 102 = 9 x 100 = 9001 x 103 = 1 x 1000 = 1000

Em que: 8 + 90 + 900 + 1000 = 1998.

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INFORMÁTICA



b) 7 =

c) 3577 =

d) 321 =

e) 777 =

f) 443 =

g) 357 =

h) 700 =

i) 76 =

j) 551 =

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INFORMÁTICA



Exemplo: C0B(16)

B x 160 = 11 x 1 = 110 x 161 = 0 x 16 = 0C x 162 = 12 x 256 = 3072

Em que: 11 + 0 + 3072 = 3083(10).

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INFORMÁTICA


Exercícios – Base 16 para Base 10a) E =

b) FF =

c) 10 =

d) F1F2 =

e) 7AC73 =

f) 3B47D =

g) 5DDD4 =

h) 10011 =

i) 7A71 =

j) ABC =

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INFORMÁTICA


Sistema Decimal para Binário• Para convertê-los, basta dividi-los pela base 2.• O resultado é lido da direita para a esquerda, ou seja,

de trás para frente.

– Exemplo: 23(10) convertendo em binário = 10111(2)

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INFORMÁTICA


Exercício – Base 10 para Base 2a) 2 =

b) 999 =

c) 154 =

d) 1732 =

e) 111 =

f) 10 =

g) 854 =

h) 64 =

i) 15 =

j) 255 =

30


INFORMÁTICA


Sistema Decimal para Octal

• Para converter, basta utilizar o método da divisão, no caso por 8;

• 50010 = 7648

31


INFORMÁTICA



b) 999 =

c) 154 =

d) 1732 =

e) 111 =

f) 10 =

g) 854 =

h) 64 =

i) 15 =

j) 255 =

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INFORMÁTICA


Sistema Decimal para Hexadecimal• Para convertê-los, basta utilizar o método da divisão, no caso por 16;

• 100010 = 3E816

• Lembrando que E = 14.

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INFORMÁTICA



b) 999 =

c) 154 =

d) 1732 =

e) 111 =

f) 10 =

g) 854 =

h) 64 =

i) 15 =

j) 255 =

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INFORMÁTICA


Sistema Hexadecimal para Binário• Para converter um número hexadecimal em binário, substitui-se cada

dígito hexadecimal por sua representação binária com quatro dígitos;

• Exemplo: 2BC16 = ?2

• 2 = 0010,

• B = 1011,

• C = 1100, logo: (2BC)16 = (001010111100)2

• Lembrando que E = 14.

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INFORMÁTICA


Exercícios – Base 16 para Base 2a) AB34 =

b) F =

c) FAB =

d) FFFF =

e) 1AF3 =

f) BBB9 =

g) ABC =

h) 743 =

i) F9A =

j) A1B =

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INFORMÁTICA


Sistema Octal para Binário• De modo muito semelhante à conversão

hexadecimal para binário, esta conversão substitui cada dígito octal por sua representação binária com três dígitos;

• Exemplo: 12748 = ?2

• 1 = 001, 1 = 001,

• 2 = 010, 2 = 010,

• 7 = 111, 7 = 111,

• 4 = 100, logo: (1274)4 = 100, logo: (1274)88 = (001010111100) = (001010111100)22

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INFORMÁTICA



b) 7 =

c) 711 =

d) 1765 =

e) 113 =

f) 531 =

g) 16 =

h) 1212 =

i) 272 =

j) 222 =

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INFORMÁTICA


Sistema Binário para Hexadecimal• Para se converter de binário para hexadecimal, utiliza-se um procedimento inverso à

conversão hexadecimal para binário, ou seja, agrupa-se o número binário de 4 em 4 dígitos, da direita para a esquerda na parte inteira e da esquerda para a direita na parte fracionária, e o substitui por seu equivalente hexadecimal ; ;

• Exemplo: 1001011002 = ?16

• Da direita para a esquerda: 1100 = C, 0010 = 2, 0001 = 1, logo: (100101100)2 = (12C)16

• (100101001000,1011011)2 = (?)16

• 1000 = 8, 0100 = 4, 1001 = 9, 1011 = B, 0110 = 6, logo: (100101001000,1011011)2 = (948,B6)16

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INFORMÁTICA



b) 1111 =

c) 1010 =

d) 11111111 =

e) 1100001 =

f) 101011 =

g) 111000 =

h) 1000001 =

i) 11000 =

j) 1000 =

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INFORMÁTICA


Sistema Binário para Octal• Muito semelhante ao método binário para hexadecimal, porém, neste caso, agrupa-

se o número binário de 3 em 3 dígitos, da direita para a esquerda na parte inteira e da esquerda para a direita na parte fracionária, e o substitui por seu equivalente octal;;

• Exemplo: 10101111002 = ?8

• Da direita para a esquerda: 100 = 4, 111 = 7, 010 = 2, 001 = 1, logo: (1010111100)2 = (1274)8

• (1100101000,1011)2 = (?)8

• 000 = 0 101 = 5 100 = 4 001 = 1, 101 = 5 100 = 4, logo: (1100101000,1011)2 = (1450,54)8

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INFORMÁTICA



b) 1111 =

c) 1010 =

d) 11111111 =

e) 1100001 =

f) 101011 =

g) 111000 =

h) 1000001 =

i) 11000 =

j) 1000 =

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INFORMÁTICA


Sistema Octal para Hexadecimal e Vice-Versa

• Neste caso é necessário um passo intermediário, ou seja, primeiro transforma-se o número Octal / Hexadecimal em binário e em seguida, converte-se o número em binário para hexadecimal / Octal. Assim sendo, temos as seguintes equivalências para estas conversões:

Octal → Binário → Hexadecimal

Hexadecimal → Binário → Octal

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INFORMÁTICA


Exemplo de Multiplicação e Divisão Binária

• http://www.icea.gov.br/ead/anexo/22101.htm

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INFORMÁTICA


Tabela

bases numericas[1]

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