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Bases MatemáticasAula 01 – Linguagem Matemática

Rodrigo Hausen

v. 2016-6-9 1/23

Proposições

DefiniçãoUma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira oufalsa, mas não simultaneamente ambas.

Valor verdade: verdadeiro, falso.

“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.

v. 2016-6-9 2/23

Proposições



“Hoje é dia de aula.”

– é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.

v. 2016-6-9 2/23

Proposições



“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira

“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.

v. 2016-6-9 2/23

Proposições



“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.”

– é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.

v. 2016-6-9 2/23

Proposições



“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa

“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.

v. 2016-6-9 2/23

Proposições



“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.”

– não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.

v. 2016-6-9 2/23

Proposições



“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.

v. 2016-6-9 2/23

Proposições – exemplos

As seguintes frases são exemplos de proposições:“2 + 5 = 7”“A função f (x) = −x é uma função crescente.”“2259875 + 34576 é primo.”“√17 é irracional.”

v. 2016-6-9 3/23

Proposições – não são exemplos

Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”

subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)

v. 2016-6-9 4/23


Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade

“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)

v. 2016-6-9 4/23


Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”

“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)

v. 2016-6-9 4/23


Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”

não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)

v. 2016-6-9 4/23


Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações

“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)

v. 2016-6-9 4/23


Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”

não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)

v. 2016-6-9 4/23


Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)

v. 2016-6-9 4/23

proposições abertas

DefiniçãoProposição aberta: proposição que depende de algo que podemudar, ou seja, depende de uma variável.

Notação: p(x), q(x), p(x ,y), . . .

Exemplosp(x) = “x é par e x é número primo”

será verdade apenas se x = 2q(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”será verdade apenas quando um dos números for nulo, ouambos

Valor verdade de proposição aberta depende da(s) sua(s)variável(eis).Ex.: p(x) = “x é par e x primo”; p(2) é verdadeiro, p(3) é falso.

v. 2016-6-9 5/23




Exemplosp(x) = “x é par e x é número primo”será verdade apenas se x = 2

q(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”será verdade apenas quando um dos números for nulo, ouambos


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Exemplosp(x) = “x é par e x é número primo”será verdade apenas se x = 2q(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”

será verdade apenas quando um dos números for nulo, ouambos


v. 2016-6-9 5/23




Exemplosp(x) = “x é par e x é número primo”será verdade apenas se x = 2q(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”será verdade apenas quando um dos números for nulo, ouambos


v. 2016-6-9 5/23

Universo do discurso

Em uma proposição aberta, é importante identificar o contexto noqual as variáveis estão definidas.

DefiniçãoUniverso do discurso ou domínio do discurso: coleção deobjetos para qual vale uma determinada proposição.

Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso: pares de números reais (explícito)p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso: números naturais (implícito)

v. 2016-6-9 6/23




Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso:

pares de números reais (explícito)p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso: números naturais (implícito)

v. 2016-6-9 6/23




Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso: pares de números reais (explícito)

p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso: números naturais (implícito)

v. 2016-6-9 6/23




Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso: pares de números reais (explícito)p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso:

números naturais (implícito)

v. 2016-6-9 6/23




Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso: pares de números reais (explícito)p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso: números naturais (implícito)

v. 2016-6-9 6/23

Conjunto verdade

Dada uma proposição aberta p(x) definimos. . .

DefiniçãoConjunto verdade: conjunto de todos os valores de x tal quep(x) é verdadeira. verdadeira.

ExemplosConjunto verdade de “x é par e x é número primo” é:

{2}Conjunto verdade de “x é primo e 3 < x < 14” é:{5,7,11,13}Conjunto verdade de “x é real e x2 + 1 = 5” é:{−2,2}

v. 2016-6-9 7/23

Conjunto verdade



ExemplosConjunto verdade de “x é par e x é número primo” é:{2}Conjunto verdade de “x é primo e 3 < x < 14” é:

{5,7,11,13}Conjunto verdade de “x é real e x2 + 1 = 5” é:{−2,2}

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Conjunto verdade



ExemplosConjunto verdade de “x é par e x é número primo” é:{2}Conjunto verdade de “x é primo e 3 < x < 14” é:{5,7,11,13}Conjunto verdade de “x é real e x2 + 1 = 5” é:

{−2,2}

v. 2016-6-9 7/23

Conjunto verdade



ExemplosConjunto verdade de “x é par e x é número primo” é:{2}Conjunto verdade de “x é primo e 3 < x < 14” é:{5,7,11,13}Conjunto verdade de “x é real e x2 + 1 = 5” é:{−2,2}

v. 2016-6-9 7/23

Quantificadores

Através de proposições abertas podemos fazer afirmações sobretodos os elementos de um conjunto usando os quantificadores:

∀, lido como “para todo”, ou “qualquer que seja”

∃, lido como “existe”, “existe algum” ou“existe pelo menos um”

∀ é chamado quantificador universal

∃ é chamado quantificador existencial

Proposição universal: diz respeito a todos os objetos do universodo discurso.

Proposição particular: aquela que não é universal.

v. 2016-6-9 8/23

Quantificadores

Através de proposições abertas podemos fazer afirmações sobretodos os elementos de um conjunto usando os quantificadores:

∀, lido como “para todo”, ou “qualquer que seja”∃, lido como “existe”, “existe algum” ou“existe pelo menos um”

∀ é chamado quantificador universal

∃ é chamado quantificador existencial

Proposição universal: diz respeito a todos os objetos do universodo discurso.

Proposição particular: aquela que não é universal.

v. 2016-6-9 8/23

Quantificadores, proposições universais e particulares

Universo do discurso: números naturais (N).

“Todos os números naturais são ímpares”equivale a:

∀n ∈ N,n é ímpar

proposição universal

“O número 2 é par.” é“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo


“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)

v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímpar


“O número 2 é par.” é“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo



v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparuniversal ou particular?

proposição universal“O número 2 é par.” é“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo



v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é

“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo



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“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é universal ou particular?




v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular




v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a:

∀n ∈ N,n não é primo



v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo



v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primouniversal ou particular?

proposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)

v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal


v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a:

∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)

v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par

(proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)

v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)

“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)

v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a:

∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)

v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares

e n ≠ m(proposição particular)

v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m

(proposição particular)

v. 2016-6-9 9/23



“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)

v. 2016-6-9 9/23

Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).

“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”universal ou particular?

proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.”


“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”

Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.

v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular

“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.”




v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.”

proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” universal ou particular?

proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal



v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é

proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal

“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é

proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular

“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição

particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular

pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”

“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição

universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”


v. 2016-6-9 10/23


“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”

Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.v. 2016-6-9 10/23

Exemplos e contra-exemplos

Considere uma proposição universal como

p = “∀x ∈ U,p(x) é verdade.”

ou uma proposição particular como

p = “∃x ∈ U,p(x) é verdade.”

DefiniçãoExemplo para p: elemento do universo U tal que p(x) éverdadeiro.Contra-exemplo para p: elemento do universo U tal quep(x) é falso.

v. 2016-6-9 11/23


Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos:

2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)

O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.

Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”

Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.

v. 2016-6-9 12/23


Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)




v. 2016-6-9 12/23



O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?

Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.



v. 2016-6-9 12/23






v. 2016-6-9 12/23




Existe contra-exemplo? Pense em casa.

“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”


v. 2016-6-9 12/23





Exemplos: 1,

2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.

v. 2016-6-9 12/23





Exemplos: 1, 2,

3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.

v. 2016-6-9 12/23





Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40

Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.

v. 2016-6-9 12/23





Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo?

Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.

v. 2016-6-9 12/23






v. 2016-6-9 12/23


Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo:

5

Contra-exemplo:

2“Nenhum número natural é primo.”

(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)

Exemplo:

4

Contra-exemplo:

2

“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:

8

Contra-exemplo:

1

v. 2016-6-9 13/23


Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo:

2“Nenhum número natural é primo.”


Exemplo:

4

Contra-exemplo:

2


8

Contra-exemplo:

1

v. 2016-6-9 13/23


Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2

“Nenhum número natural é primo.”


Exemplo:

4

Contra-exemplo:

2


8

Contra-exemplo:

1

v. 2016-6-9 13/23


Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”


Exemplo:

4

Contra-exemplo:

2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:

8

Contra-exemplo:

1

v. 2016-6-9 13/23


Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo:

2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:

8

Contra-exemplo:

1

v. 2016-6-9 13/23


Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo: 2


8

Contra-exemplo:

1

v. 2016-6-9 13/23


Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo: 2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:

8

Contra-exemplo:

1

v. 2016-6-9 13/23


Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo: 2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo: 8Contra-exemplo:

1

v. 2016-6-9 13/23


Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo: 2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo: 8Contra-exemplo: 1

v. 2016-6-9 13/23

Comportamento do valor verdade

“para todo” ∀ “existe” ∃existem exemplos inconclusivo verdadeira

nao existem exemplos — falsaexistem contraexemplos falsa inconclusivo

nao existem contraexemplos verdadeira —

v. 2016-6-9 14/23

Alterando e juntando proposições

Dadas duas proposições p, q:

disjunção de p e q: proposição “p ou q”

A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.

v. 2016-6-9 15/23



disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.

Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.

v. 2016-6-9 15/23



disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.

conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.

v. 2016-6-9 15/23



disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”

A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.

v. 2016-6-9 15/23



disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.

Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.

v. 2016-6-9 15/23



disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.

negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.

v. 2016-6-9 15/23



disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”

A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.

v. 2016-6-9 15/23



disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.

v. 2016-6-9 15/23

Negação da Disjunção e da Conjunção

“não (p e q)” = “(não p)

ou (não q)”“não (p ou q)” = “(não p) e (não q)”

Cuidado ao se “distribuir” a negação:“e” torna-se “ou”“ou” torna-se “e”

v. 2016-6-9 16/23


“não (p e q)” = “(não p) ou (não q)”

“não (p ou q)” = “(não p) e (não q)”


v. 2016-6-9 16/23


“não (p e q)” = “(não p) ou (não q)”“não (p ou q)” = “(não p)

e (não q)”


v. 2016-6-9 16/23


“não (p e q)” = “(não p) ou (não q)”“não (p ou q)” = “(não p) e (não q)”


v. 2016-6-9 16/23


Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é

“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”

v. 2016-6-9 17/23


Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”

Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”

v. 2016-6-9 17/23


Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é

“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”

v. 2016-6-9 17/23


Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”

Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”

v. 2016-6-9 17/23


Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é

“b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”

v. 2016-6-9 17/23


Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”

Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”

v. 2016-6-9 17/23


Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é

“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”

v. 2016-6-9 17/23


Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”

, ou seja, “−1 < x ≤ 2”

v. 2016-6-9 17/23


Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”

v. 2016-6-9 17/23

Negação do quantificador

Considere a proposição aberta p(x).

negação de “∀x ∈ U,p(x)” é

“∃x ∈ U, não p(x)”negação de “∃x ∈ U,p(x)” é “∀x ∈ U, não p(x)”

Escreva as afirmações abaixo na forma simbólica e diga quais sãosuas negações:

Todo número natural pode ser decomposto como produto deprimos.Existe inteiro n tal que n + 3 = 4

v. 2016-6-9 18/23



negação de “∀x ∈ U,p(x)” é “∃x ∈ U, não p(x)”

negação de “∃x ∈ U,p(x)” é “∀x ∈ U, não p(x)”



v. 2016-6-9 18/23



negação de “∀x ∈ U,p(x)” é “∃x ∈ U, não p(x)”negação de “∃x ∈ U,p(x)” é

“∀x ∈ U, não p(x)”



v. 2016-6-9 18/23



negação de “∀x ∈ U,p(x)” é “∃x ∈ U, não p(x)”negação de “∃x ∈ U,p(x)” é “∀x ∈ U, não p(x)”



v. 2016-6-9 18/23

Implicação

DefiniçãoDadas duas proposições p, q podemos construir a proposição“p ⇒ q”, que pode ser lida como:

“se p, então q”“p implica q”

A implicação “p ⇒ q” é falsa somente quando p é verdadeira e q éfalsa. Ela é verdadeira em todos os outros casos.

Numa implicação p ⇒ q:p é chamada de hipóteseq é chamada de tese, conclusão ou consequente.

v. 2016-6-9 19/23

Tabela verdade da implicação

Lá em casa, meu quintal é descoberto. Considere a proposição:“Se chove lá em casa, então o quintal estará molhado.”

É a implicação p ⇒ q ondep = “chove em casa”

q = “quintal está molhado.”(considere que ambas estão bem definidas e não há ambiguidade)

p q p ⇒ qV V V

V F F (não é possível chover sem molhar)F V V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F V (quando não chove quintal fica seco,

a menos que eu o molhe)

Note que “p ⇒ q” equivale a “(não p) ou q.”

v. 2016-6-9 20/23





p q p ⇒ qV V VV F

F (não é possível chover sem molhar)F V V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F V (quando não chove quintal fica seco,



v. 2016-6-9 20/23





p q p ⇒ qV V VV F F (não é possível chover sem molhar)F V

V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F V (quando não chove quintal fica seco,



v. 2016-6-9 20/23





p q p ⇒ qV V VV F F (não é possível chover sem molhar)F V V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F

V (quando não chove quintal fica seco,a menos que eu o molhe)


v. 2016-6-9 20/23





p q p ⇒ qV V VV F F (não é possível chover sem molhar)F V V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F V (quando não chove quintal fica seco,



v. 2016-6-9 20/23

Implicação – exemplos

Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar.

verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro

Cuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.

v. 2016-6-9 21/23


Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiro

Se 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro


v. 2016-6-9 21/23


Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar.

falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro


v. 2016-6-9 21/23


Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falso

Se 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro


v. 2016-6-9 21/23


Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par.

verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro


v. 2016-6-9 21/23


Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiro

Se minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro


v. 2016-6-9 21/23


Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.

verdadeiroCuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.

v. 2016-6-9 21/23


Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro


v. 2016-6-9 21/23

Recíproca, contrapositiva e inversa

Dada uma implicação p ⇒ qq⇒ p é a recíproca da implicação originalnão q⇒ não p é a contrapositiva da originalnão p ⇒ não q é a inversa da original

Quais proposições são equivalentes?uma implicação e sua contrapositiva

a recíproca e a inversa

Cuidado! Não confunda uma implicação com sua recíproca. Elasnão são equivalentes!

v. 2016-6-9 22/23

Recíproca, contrapositiva e inversa

Dada uma implicação p ⇒ qq⇒ p é a recíproca da implicação originalnão q⇒ não p é a contrapositiva da originalnão p ⇒ não q é a inversa da original

Quais proposições são equivalentes?uma implicação e sua contrapositivaa recíproca e a inversa

Cuidado! Não confunda uma implicação com sua recíproca. Elasnão são equivalentes!

v. 2016-6-9 22/23

Para casa

Ler páginas de 1 a 19 do livro Bases Matemáticas e fazer osrespectivos exercícios.

ATENÇÃO

Pegue a versão 12 do texto, datada de setembro de 2015.

v. 2016-6-9 23/23

bases matemáticas - aula 01 linguagem...

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