balanço de momento - uesb
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Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento
Marcio Antonio de Andrade Bortoloti
Departamento de Ciencias Exatas e Tecnologicas - DCETUniversidade Estadual do Sudoeste da Bahia
Matematica Aplicada
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Sumario
1 Balanco de MomentoMomento Linear e AngularForca
2 Teorema dos Trabalhos Virtuais
3 Teorema de Cauchy
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Volume de Controle
Considere um corpo B. Dado um tempo t ≥ 0, a regiao regular limitada R tal queR ⊂ Bτ para todo τ ∈ (t− δ, t+ δ) com δ > 0, sera chamada Volume deControle.
R
BB t−δ t+δ
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Momento Linear e Angular
Seja x um movimento de B. Dado P ⊂ B, o momento linear l(P, t) e omomento angular a(P, t) sao definidos por
l(P, t) =
∫Pt
vρ dV e a(P, t) =
∫Pt
r× vρdV
onde r : E → V e o vetor posicao r(x) = x− o.
Proposicao: Para todo P ⊂ B e t > 0 tem-se
l(P, t) =
∫Pt
vρ dV e a(P, t) =
∫Pt
r× vρ dV
Prova: Direta!
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Momento Linear e Angular
Seja x um movimento de B. Dado P ⊂ B, o momento linear l(P, t) e omomento angular a(P, t) sao definidos por
l(P, t) =
∫Pt
vρ dV e a(P, t) =
∫Pt
r× vρdV
onde r : E → V e o vetor posicao r(x) = x− o.
Proposicao: Para todo P ⊂ B e t > 0 tem-se
l(P, t) =
∫Pt
vρ dV e a(P, t) =
∫Pt
r× vρ dV
Prova: Direta!
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Momento Linear e Angular
Seja x um movimento de B. Dado P ⊂ B, o momento linear l(P, t) e omomento angular a(P, t) sao definidos por
l(P, t) =
∫Pt
vρ dV e a(P, t) =
∫Pt
r× vρdV
onde r : E → V e o vetor posicao r(x) = x− o.
Proposicao: Para todo P ⊂ B e t > 0 tem-se
l(P, t) =
∫Pt
vρ dV e a(P, t) =
∫Pt
r× vρ dV
Prova: Direta!Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Momento Linear e Angular
Definicao: Assumindo que B e limitado temos m(B) e finita. Entao o centro demassa α(t) e o ponto do espaco definido por
α(t)− o =1
m(B)
∫Bt
rρ dV.
Notamos que
α(t) =1
m(B)
∫Bt
vρ dV,
ou seja, α representa a velocidade do corpo. Isso implica que
l(B, t) = m(B)α(t).
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Momento Linear e Angular
Definicao: Assumindo que B e limitado temos m(B) e finita. Entao o centro demassa α(t) e o ponto do espaco definido por
α(t)− o =1
m(B)
∫Bt
rρ dV.
Notamos que
α(t) =1
m(B)
∫Bt
vρ dV,
ou seja, α representa a velocidade do corpo. Isso implica que
l(B, t) = m(B)α(t).
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Momento Linear e Angular
Definicao: Assumindo que B e limitado temos m(B) e finita. Entao o centro demassa α(t) e o ponto do espaco definido por
α(t)− o =1
m(B)
∫Bt
rρ dV.
Notamos que
α(t) =1
m(B)
∫Bt
vρ dV,
ou seja, α representa a velocidade do corpo.
Isso implica que
l(B, t) = m(B)α(t).
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Momento Linear e Angular
Definicao: Assumindo que B e limitado temos m(B) e finita. Entao o centro demassa α(t) e o ponto do espaco definido por
α(t)− o =1
m(B)
∫Bt
rρ dV.
Notamos que
α(t) =1
m(B)
∫Bt
vρ dV,
ou seja, α representa a velocidade do corpo. Isso implica que
l(B, t) = m(B)α(t).
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Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Forca
Durante um movimento intereracoes mecanicas entre partes do corpo ou entre ocorpo e o ambiente sao descritas por forcas.
Trataremos dos seguintes tipos:
1 Forcas de contato entre partes separadas de um corpo;
2 Forcas de contato exercidas no contorno do corpo pelo ambiente;
3 Forcas de corpo exercidas nos pontos interiores de um corpo pelo ambiente.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Momento Linear e AngularForca
Forca
Durante um movimento intereracoes mecanicas entre partes do corpo ou entre ocorpo e o ambiente sao descritas por forcas. Trataremos dos seguintes tipos:
1 Forcas de contato entre partes separadas de um corpo;
2 Forcas de contato exercidas no contorno do corpo pelo ambiente;
3 Forcas de corpo exercidas nos pontos interiores de um corpo pelo ambiente.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Forcas de Contato ou de Superfıcie
Forcas que atuam na Superfıcie do Elemento
Admitimos que podem ser expressas como combinacao linear das componentesdo vetor n.
Sendo dF, que age na superfıcie do volume de controle,proporcional a uma combinacao linear das componentes de n, dF nao tem, emgeral, a direcao do vetor normal.
O valor de proporcionalidade mencionado e a area do elemento de superfıcie aqual a forca e aplicada.Assim,
dF = σndA.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Forcas de Contato ou de Superfıcie
Forcas que atuam na Superfıcie do Elemento
Admitimos que podem ser expressas como combinacao linear das componentesdo vetor n. Sendo dF, que age na superfıcie do volume de controle,proporcional a uma combinacao linear das componentes de n, dF nao tem, emgeral, a direcao do vetor normal.
O valor de proporcionalidade mencionado e a area do elemento de superfıcie aqual a forca e aplicada.Assim,
dF = σndA.
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Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Forcas de Contato ou de Superfıcie
Forcas que atuam na Superfıcie do Elemento
Admitimos que podem ser expressas como combinacao linear das componentesdo vetor n. Sendo dF, que age na superfıcie do volume de controle,proporcional a uma combinacao linear das componentes de n, dF nao tem, emgeral, a direcao do vetor normal.
O valor de proporcionalidade mencionado e a area do elemento de superfıcie aqual a forca e aplicada.
Assim,dF = σndA.
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Momento Linear e AngularForca
Forcas de Contato ou de Superfıcie
Forcas que atuam na Superfıcie do Elemento
Admitimos que podem ser expressas como combinacao linear das componentesdo vetor n. Sendo dF, que age na superfıcie do volume de controle,proporcional a uma combinacao linear das componentes de n, dF nao tem, emgeral, a direcao do vetor normal.
O valor de proporcionalidade mencionado e a area do elemento de superfıcie aqual a forca e aplicada.Assim,
dF = σndA.
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Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Forcas de Contato ou de Superfıcie
Forcas que atuam na Superfıcie do ElementoComo n e s nao tem, necessariamente, a mesma direcao, entao devemos obervarque σ deve ser um tensor.
n s
v
B
dA s(n) = σndA
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Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Balanco de Momento Linear e Angular
As forcas de contato e de corpo atuando em P ⊂ B saso entao consideradas daforma
f(P, t) =
∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b dV,
onde b representa as forcas de corpo atuando em P.
Tem-se ainda o momento dada por
m(P, t) =
∫∂Pt
r× s(n) dA+
∫Pt
r× b dV
Os axiomas que relacionam movimento e forca sao chamados de Leis de Balancode Momento. Para qualquer P ⊂ B e tempo t
f(P, t) = l(P, t) Balanco de Momento Linear
m(P, t) = a(P, t) Balanco de Momento Angular
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Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Balanco de Momento Linear e Angular
As forcas de contato e de corpo atuando em P ⊂ B saso entao consideradas daforma
f(P, t) =
∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b dV,
onde b representa as forcas de corpo atuando em P.Tem-se ainda o momento dada por
m(P, t) =
∫∂Pt
r× s(n) dA+
∫Pt
r× b dV
Os axiomas que relacionam movimento e forca sao chamados de Leis de Balancode Momento. Para qualquer P ⊂ B e tempo t
f(P, t) = l(P, t) Balanco de Momento Linear
m(P, t) = a(P, t) Balanco de Momento Angular
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Momento Linear e AngularForca
Balanco de Momento Linear e Angular
As forcas de contato e de corpo atuando em P ⊂ B saso entao consideradas daforma
f(P, t) =
∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b dV,
onde b representa as forcas de corpo atuando em P.Tem-se ainda o momento dada por
m(P, t) =
∫∂Pt
r× s(n) dA+
∫Pt
r× b dV
Os axiomas que relacionam movimento e forca sao chamados de Leis de Balancode Momento.
Para qualquer P ⊂ B e tempo t
f(P, t) = l(P, t) Balanco de Momento Linear
m(P, t) = a(P, t) Balanco de Momento Angular
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Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Balanco de Momento Linear e Angular
As forcas de contato e de corpo atuando em P ⊂ B saso entao consideradas daforma
f(P, t) =
∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b dV,
onde b representa as forcas de corpo atuando em P.Tem-se ainda o momento dada por
m(P, t) =
∫∂Pt
r× s(n) dA+
∫Pt
r× b dV
Os axiomas que relacionam movimento e forca sao chamados de Leis de Balancode Momento. Para qualquer P ⊂ B e tempo t
f(P, t) = l(P, t) Balanco de Momento Linear
m(P, t) = a(P, t) Balanco de Momento Angular
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Momento Linear e AngularForca
Balanco de Momento Linear e Angular
Uma consequencia e quef(B, t) = m(B)α(t)
Observacao: As leis de balanco de momento linear e angular podem ser escritascomo∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b dV =
∫Pt
vρ dV e
∫∂Pt
r×s(n) dA+
∫Pt
r×b dV =
∫Pt
r×vρ dV
Se introduzirmos a forca de corpo total b∗ = b− ρv e definirmos
f∗(P, t) =
∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b∗ dV e m∗(P, t) =
∫∂Pt
r× s(n) dA+
∫Pt
r× b∗ dV
As leis de balanco podem ser escritas como
f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Momento Linear e AngularForca
Balanco de Momento Linear e Angular
Uma consequencia e quef(B, t) = m(B)α(t)
Observacao: As leis de balanco de momento linear e angular podem ser escritascomo∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b dV =
∫Pt
vρ dV e
∫∂Pt
r×s(n) dA+
∫Pt
r×b dV =
∫Pt
r×vρ dV
Se introduzirmos a forca de corpo total b∗ = b− ρv e definirmos
f∗(P, t) =
∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b∗ dV e m∗(P, t) =
∫∂Pt
r× s(n) dA+
∫Pt
r× b∗ dV
As leis de balanco podem ser escritas como
f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0
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Balanco de Momento Linear e Angular
Uma consequencia e quef(B, t) = m(B)α(t)
Observacao: As leis de balanco de momento linear e angular podem ser escritascomo∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b dV =
∫Pt
vρ dV e
∫∂Pt
r×s(n) dA+
∫Pt
r×b dV =
∫Pt
r×vρ dV
Se introduzirmos a forca de corpo total b∗ = b− ρv e definirmos
f∗(P, t) =
∫∂Pt
s(n) dA+
∫Pt
b∗ dV e m∗(P, t) =
∫∂Pt
r× s(n) dA+
∫Pt
r× b∗ dV
As leis de balanco podem ser escritas como
f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0
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Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Teorema dos Trabalhos Virtuais
Definicao: Um deslocamento rıgido infinitesimal de B e um campo vetorial usobre B com ∇u constante e anti-simetrico, ou seja, u admite a representacao
u(p) = u(q) + W(p− q)
para todo p,q ∈ B, onde W e anti-simetrico.
Observamos que se
W =
0 −γ βγ 0 −α−β α 0
existe um unico vetor w tal que Wv = w × v para qualquer v ∈ V. Tem-sew = (α, β, γ).
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Definicao: Um deslocamento rıgido infinitesimal de B e um campo vetorial usobre B com ∇u constante e anti-simetrico, ou seja, u admite a representacao
u(p) = u(q) + W(p− q)
para todo p,q ∈ B, onde W e anti-simetrico. Observamos que se
W =
0 −γ βγ 0 −α−β α 0
existe um unico vetor w tal que Wv = w × v para qualquer v ∈ V.
Tem-sew = (α, β, γ).
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Definicao: Um deslocamento rıgido infinitesimal de B e um campo vetorial usobre B com ∇u constante e anti-simetrico, ou seja, u admite a representacao
u(p) = u(q) + W(p− q)
para todo p,q ∈ B, onde W e anti-simetrico. Observamos que se
W =
0 −γ βγ 0 −α−β α 0
existe um unico vetor w tal que Wv = w × v para qualquer v ∈ V. Tem-sew = (α, β, γ).
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Teorema de Cauchy
Teorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema: Seja (s,b) um sistema de forcas atuando em B durante ummovimento. Entao uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balancode momento sejam satisfeitas e que dado P ⊂ deB e um tempo t > 0,∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV = 0
para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.
Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal. Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew. Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W. Defina
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
com w = w0 + ω × r.
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Teorema de Cauchy
Teorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema: Seja (s,b) um sistema de forcas atuando em B durante ummovimento. Entao uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balancode momento sejam satisfeitas e que dado P ⊂ deB e um tempo t > 0,∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV = 0
para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal.
Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew. Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W. Defina
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
com w = w0 + ω × r.
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Teorema de Cauchy
Teorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema: Seja (s,b) um sistema de forcas atuando em B durante ummovimento. Entao uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balancode momento sejam satisfeitas e que dado P ⊂ deB e um tempo t > 0,∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV = 0
para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal. Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew.
Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W. Defina
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
com w = w0 + ω × r.
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema: Seja (s,b) um sistema de forcas atuando em B durante ummovimento. Entao uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balancode momento sejam satisfeitas e que dado P ⊂ deB e um tempo t > 0,∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV = 0
para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal. Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew. Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W.
Defina
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
com w = w0 + ω × r.
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema: Seja (s,b) um sistema de forcas atuando em B durante ummovimento. Entao uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balancode momento sejam satisfeitas e que dado P ⊂ deB e um tempo t > 0,∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV = 0
para todo deslocamento rıgido infinitesimal w.Prova:Seja w um deslocamento rıgido infinitesimal. Logo w = w0 + W(x− o), comW ∈ Skew. Logo w = w0 + ω × r, com ω o vetor correspondente a W. Defina
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
com w = w0 + ω × r.Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Teorema dos Trabalhos Virtuais
Assim
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
=
∫∂Pt
s · (w0 + ω × r) dA+
∫Pt
b∗ · (w0 + ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + s · (ω × r) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + ω · (r× s) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 dA+
∫Pt
b∗ ·w0 dV +
∫∂Ptω · (r× s) dA+
∫Ptω · (r× b∗) dV
= w0 · f∗(P, t) + ω ·m∗(P, t)Logo φ(w0,ω) = 0 para todo w0 e ω se e somente se f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Teorema dos Trabalhos Virtuais
Assim
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
=
∫∂Pt
s · (w0 + ω × r) dA+
∫Pt
b∗ · (w0 + ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + s · (ω × r) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + ω · (r× s) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 dA+
∫Pt
b∗ ·w0 dV +
∫∂Ptω · (r× s) dA+
∫Ptω · (r× b∗) dV
= w0 · f∗(P, t) + ω ·m∗(P, t)Logo φ(w0,ω) = 0 para todo w0 e ω se e somente se f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0.
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Teorema de Cauchy
Teorema dos Trabalhos Virtuais
Assim
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
=
∫∂Pt
s · (w0 + ω × r) dA+
∫Pt
b∗ · (w0 + ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + s · (ω × r) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + ω · (r× s) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 dA+
∫Pt
b∗ ·w0 dV +
∫∂Ptω · (r× s) dA+
∫Ptω · (r× b∗) dV
= w0 · f∗(P, t) + ω ·m∗(P, t)Logo φ(w0,ω) = 0 para todo w0 e ω se e somente se f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0.
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Teorema dos Trabalhos Virtuais
Assim
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
=
∫∂Pt
s · (w0 + ω × r) dA+
∫Pt
b∗ · (w0 + ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + s · (ω × r) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + ω · (r× s) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 dA+
∫Pt
b∗ ·w0 dV +
∫∂Ptω · (r× s) dA+
∫Ptω · (r× b∗) dV
= w0 · f∗(P, t) + ω ·m∗(P, t)Logo φ(w0,ω) = 0 para todo w0 e ω se e somente se f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0.
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Assim
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
=
∫∂Pt
s · (w0 + ω × r) dA+
∫Pt
b∗ · (w0 + ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + s · (ω × r) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + ω · (r× s) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 dA+
∫Pt
b∗ ·w0 dV +
∫∂Ptω · (r× s) dA+
∫Ptω · (r× b∗) dV
= w0 · f∗(P, t) + ω ·m∗(P, t)Logo φ(w0,ω) = 0 para todo w0 e ω se e somente se f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Teorema dos Trabalhos Virtuais
Assim
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
=
∫∂Pt
s · (w0 + ω × r) dA+
∫Pt
b∗ · (w0 + ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + s · (ω × r) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + ω · (r× s) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 dA+
∫Pt
b∗ ·w0 dV +
∫∂Ptω · (r× s) dA+
∫Ptω · (r× b∗) dV
= w0 · f∗(P, t) + ω ·m∗(P, t)
Logo φ(w0,ω) = 0 para todo w0 e ω se e somente se f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Teorema dos Trabalhos Virtuais
Assim
φ(w0,ω) =
∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
b∗ ·w dV
=
∫∂Pt
s · (w0 + ω × r) dA+
∫Pt
b∗ · (w0 + ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + s · (ω × r) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + b∗ · (ω × r) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 + ω · (r× s) dA+
∫Pt
b∗ ·w0 + ω · (r× b∗) dV
=
∫∂Pt
s ·w0 dA+
∫Pt
b∗ ·w0 dV +
∫∂Ptω · (r× s) dA+
∫Ptω · (r× b∗) dV
= w0 · f∗(P, t) + ω ·m∗(P, t)Logo φ(w0,ω) = 0 para todo w0 e ω se e somente se f∗(P, t) = 0 e m∗(P, t) = 0.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Teorema (Cauchy): Seja (s,b) um conjunto de forcas atuando em B durante ummovimento. Uma condicao necessaria e suficiente para que as leis de balanco de momentosejam satisfeitas e que exista um campo tensorial T (chamado Tensor de Cauchy ) talque
a) Para cada vetor unitario n, s(n) = Tn;
b) T e simetrico;
c) T satisfaz a equacao de movimento
div T + b = ρv.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Prova:(Necessidade:) Vamos verificar alguns resultados preliminares:Lema: Dado qualquer x ∈ B, qualquer base ortonormal {ei} e qualquer vetor kcom k · ei > 0 tem-se que
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
Prova:Seja x ∈ Bt. Seja δ > 0 e considere o tetraedro Gδ com as seguintes propriedades:
As faces de Gδ sao Sδ,S1δ,S2δ,S3δ, onde k e −ei sao as normais unitarias em∂Gδ relativas a Sδ e Siδ, respectivamente;
O vertice oposto a Sδ e o ponto x;
A distancia de x a Sδ e δ.
Claramente Gδ esta contido no interior de B para todo δ > 0 suficientementepequeno.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Prova:(Necessidade:) Vamos verificar alguns resultados preliminares:Lema: Dado qualquer x ∈ B, qualquer base ortonormal {ei} e qualquer vetor kcom k · ei > 0 tem-se que
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
Prova:Seja x ∈ Bt.
Seja δ > 0 e considere o tetraedro Gδ com as seguintes propriedades:
As faces de Gδ sao Sδ,S1δ,S2δ,S3δ, onde k e −ei sao as normais unitarias em∂Gδ relativas a Sδ e Siδ, respectivamente;
O vertice oposto a Sδ e o ponto x;
A distancia de x a Sδ e δ.
Claramente Gδ esta contido no interior de B para todo δ > 0 suficientementepequeno.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Prova:(Necessidade:) Vamos verificar alguns resultados preliminares:Lema: Dado qualquer x ∈ B, qualquer base ortonormal {ei} e qualquer vetor kcom k · ei > 0 tem-se que
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
Prova:Seja x ∈ Bt. Seja δ > 0 e considere o tetraedro Gδ com as seguintes propriedades:
As faces de Gδ sao Sδ,S1δ,S2δ,S3δ, onde k e −ei sao as normais unitarias em∂Gδ relativas a Sδ e Siδ, respectivamente;
O vertice oposto a Sδ e o ponto x;
A distancia de x a Sδ e δ.
Claramente Gδ esta contido no interior de B para todo δ > 0 suficientementepequeno.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Prova:(Necessidade:) Vamos verificar alguns resultados preliminares:Lema: Dado qualquer x ∈ B, qualquer base ortonormal {ei} e qualquer vetor kcom k · ei > 0 tem-se que
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
Prova:Seja x ∈ Bt. Seja δ > 0 e considere o tetraedro Gδ com as seguintes propriedades:
As faces de Gδ sao Sδ,S1δ,S2δ,S3δ, onde k e −ei sao as normais unitarias em∂Gδ relativas a Sδ e Siδ, respectivamente;
O vertice oposto a Sδ e o ponto x;
A distancia de x a Sδ e δ.
Claramente Gδ esta contido no interior de B para todo δ > 0 suficientementepequeno.
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Balanco de Momento Linear e Angular
Prova:(Necessidade:) Vamos verificar alguns resultados preliminares:Lema: Dado qualquer x ∈ B, qualquer base ortonormal {ei} e qualquer vetor kcom k · ei > 0 tem-se que
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
Prova:Seja x ∈ Bt. Seja δ > 0 e considere o tetraedro Gδ com as seguintes propriedades:
As faces de Gδ sao Sδ,S1δ,S2δ,S3δ, onde k e −ei sao as normais unitarias em∂Gδ relativas a Sδ e Siδ, respectivamente;
O vertice oposto a Sδ e o ponto x;
A distancia de x a Sδ e δ.
Claramente Gδ esta contido no interior de B para todo δ > 0 suficientementepequeno.
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Prova:(Necessidade:) Vamos verificar alguns resultados preliminares:Lema: Dado qualquer x ∈ B, qualquer base ortonormal {ei} e qualquer vetor kcom k · ei > 0 tem-se que
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
Prova:Seja x ∈ Bt. Seja δ > 0 e considere o tetraedro Gδ com as seguintes propriedades:
As faces de Gδ sao Sδ,S1δ,S2δ,S3δ, onde k e −ei sao as normais unitarias em∂Gδ relativas a Sδ e Siδ, respectivamente;
O vertice oposto a Sδ e o ponto x;
A distancia de x a Sδ e δ.
Claramente Gδ esta contido no interior de B para todo δ > 0 suficientementepequeno.
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Balanco de Momento Linear e Angular
Prova:(Necessidade:) Vamos verificar alguns resultados preliminares:Lema: Dado qualquer x ∈ B, qualquer base ortonormal {ei} e qualquer vetor kcom k · ei > 0 tem-se que
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
Prova:Seja x ∈ Bt. Seja δ > 0 e considere o tetraedro Gδ com as seguintes propriedades:
As faces de Gδ sao Sδ,S1δ,S2δ,S3δ, onde k e −ei sao as normais unitarias em∂Gδ relativas a Sδ e Siδ, respectivamente;
O vertice oposto a Sδ e o ponto x;
A distancia de x a Sδ e δ.
Claramente Gδ esta contido no interior de B para todo δ > 0 suficientementepequeno.
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam.
Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫∂Gδ
s(n) dA = −∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos
concluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ.
Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫∂Gδ
s(n) dA = −∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos
concluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Balanco de Momento Linear e Angular
Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫
∂Gδs(n) dA = −
∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos
concluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫
∂Gδs(n) dA = −
∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣
≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos
concluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫
∂Gδs(n) dA = −
∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos
concluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
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Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫
∂Gδs(n) dA = −
∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}.
Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos
concluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
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Balanco de Momento Linear e Angular
Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫
∂Gδs(n) dA = −
∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ.
Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos
concluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
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Balanco de Momento Linear e Angular
Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫
∂Gδs(n) dA = −
∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2
e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos
concluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
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Balanco de Momento Linear e Angular
Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫
∂Gδs(n) dA = −
∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas.
Com isso, podemosconcluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
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Balanco de Momento Linear e Angular
Note que b∗(x, t) definido por b∗ = b− ρv e contınuo em x desde que b, ρ e vtambem o sejam. Assim b∗ e limitado em Sδ. Logo, se f∗(Gδ, t) = 0 entao∫
∂Gδs(n) dA = −
∫Gδ
b dV.
Segue que ∣∣∣ ∫∂Gδ
s(n) dA∣∣∣ =
∣∣∣ ∫Gδ
b dV∣∣∣ ≤ κ ∗ vol (Gδ),
onde κ = maxx∈Gδ{‖b(x)‖}. Seja A(δ) a area de Sδ. Note que podemos escreverA(δ) = k1δ
2 e vol (Gδ) = k2δ3, com k1, k2 constantes positivas. Com isso, podemos
concluir que fazento δ → 0 tem-se
1
A(δ)
∫∂Gδ
s(n) dA→ 0.
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Mas ∫∂G
s(n) dA =
∫Sδ
s(k) dA+∑i
∫Siδ
s(−ei) dA.
Como s(n,x) e conınua em x para cada n fixado, tem-se
1
A(δ)
∫Sδ
s(k) dA→ s(k,x), (Exercıcio)
1
A(δ)
∫Siδ
s(−ei) dA→ (k · ei)s(−ei,x), (Exercıcio)
Logo, vales(k, t) = −
∑i
(k · ei)s(−ei,x).
O resultado segue valido para Bt ja que o mapeamento x 7→ s(n,x) e contınuo.
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Mas ∫∂G
s(n) dA =
∫Sδ
s(k) dA+∑i
∫Siδ
s(−ei) dA.
Como s(n,x) e conınua em x para cada n fixado, tem-se
1
A(δ)
∫Sδ
s(k) dA→ s(k,x), (Exercıcio)
1
A(δ)
∫Siδ
s(−ei) dA→ (k · ei)s(−ei,x), (Exercıcio)
Logo, vales(k, t) = −
∑i
(k · ei)s(−ei,x).
O resultado segue valido para Bt ja que o mapeamento x 7→ s(n,x) e contınuo.
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Mas ∫∂G
s(n) dA =
∫Sδ
s(k) dA+∑i
∫Siδ
s(−ei) dA.
Como s(n,x) e conınua em x para cada n fixado, tem-se
1
A(δ)
∫Sδ
s(k) dA→ s(k,x), (Exercıcio)
1
A(δ)
∫Siδ
s(−ei) dA→ (k · ei)s(−ei,x), (Exercıcio)
Logo, vales(k, t) = −
∑i
(k · ei)s(−ei,x).
O resultado segue valido para Bt ja que o mapeamento x 7→ s(n,x) e contınuo.
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Balanco de Momento Linear e Angular
Mas ∫∂G
s(n) dA =
∫Sδ
s(k) dA+∑i
∫Siδ
s(−ei) dA.
Como s(n,x) e conınua em x para cada n fixado, tem-se
1
A(δ)
∫Sδ
s(k) dA→ s(k,x), (Exercıcio)
1
A(δ)
∫Siδ
s(−ei) dA→ (k · ei)s(−ei,x), (Exercıcio)
Logo, vales(k, t) = −
∑i
(k · ei)s(−ei,x).
O resultado segue valido para Bt ja que o mapeamento x 7→ s(n,x) e contınuo.
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Lema: Para cada x ∈ Bt o mapeamento n 7→ s(n,x) e conınuo e satisfaz
s(n,x) = −s(−n,x).
Prova: Do lema anterior temos
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0. Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}. Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k. Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.
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Balanco de Momento Linear e Angular
Lema: Para cada x ∈ Bt o mapeamento n 7→ s(n,x) e conınuo e satisfaz
s(n,x) = −s(−n,x).
Prova: Do lema anterior temos
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0.
Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}. Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k. Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.
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Lema: Para cada x ∈ Bt o mapeamento n 7→ s(n,x) e conınuo e satisfaz
s(n,x) = −s(−n,x).
Prova: Do lema anterior temos
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0. Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}.
Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k. Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.
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Lema: Para cada x ∈ Bt o mapeamento n 7→ s(n,x) e conınuo e satisfaz
s(n,x) = −s(−n,x).
Prova: Do lema anterior temos
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0. Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}. Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k.
Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.
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Lema: Para cada x ∈ Bt o mapeamento n 7→ s(n,x) e conınuo e satisfaz
s(n,x) = −s(−n,x).
Prova: Do lema anterior temos
s(k, t) = −∑i
(k · ei)s(−ei,x).
O lado direito da equacao acima e contınuo para qualquer k, tem-se que s(k,x) econtınua para todo vetor unitario k tal que k · ei > 0. Isso ocorre para qualquerbase ortonormal {ei}. Logo s(k,x) e contınua em todo vetor unitario k. Agora, naequacao acima, se fizermos k→ ej nos obtemos s(ej ,x) = −s(−ej ,x). De ondesegue o resultado.
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Lema: Dado algum x ∈ Bt e qualquer base ortonormal {ei},
s(k,x) =∑i
(k · ei)s(ei,x)
para todo vetor unitario k.Prova: Veja no livro do Gurtin.
Voltando ao Teorema, seja {ei} uma base ortonormal e T dado por
T(x, t) =∑i
s(ei,x, t)⊗ ei
Do Lema anterior, vale T(n) = s(n) para cada x ∈ Pt. Assim, o balanco domomento linear fica da forma∫
∂PtT(n) dA =
∫Pt
b dV +
∫Pt
vρ dV.
Pelo Teorema da Divergencia, obtemos
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Lema: Dado algum x ∈ Bt e qualquer base ortonormal {ei},
s(k,x) =∑i
(k · ei)s(ei,x)
para todo vetor unitario k.Prova: Veja no livro do Gurtin.Voltando ao Teorema, seja {ei} uma base ortonormal e T dado por
T(x, t) =∑i
s(ei,x, t)⊗ ei
Do Lema anterior, vale T(n) = s(n) para cada x ∈ Pt. Assim, o balanco domomento linear fica da forma∫
∂PtT(n) dA =
∫Pt
b dV +
∫Pt
vρ dV.
Pelo Teorema da Divergencia, obtemos
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Lema: Dado algum x ∈ Bt e qualquer base ortonormal {ei},
s(k,x) =∑i
(k · ei)s(ei,x)
para todo vetor unitario k.Prova: Veja no livro do Gurtin.Voltando ao Teorema, seja {ei} uma base ortonormal e T dado por
T(x, t) =∑i
s(ei,x, t)⊗ ei
Do Lema anterior, vale T(n) = s(n) para cada x ∈ Pt.
Assim, o balanco domomento linear fica da forma∫
∂PtT(n) dA =
∫Pt
b dV +
∫Pt
vρ dV.
Pelo Teorema da Divergencia, obtemos
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Lema: Dado algum x ∈ Bt e qualquer base ortonormal {ei},
s(k,x) =∑i
(k · ei)s(ei,x)
para todo vetor unitario k.Prova: Veja no livro do Gurtin.Voltando ao Teorema, seja {ei} uma base ortonormal e T dado por
T(x, t) =∑i
s(ei,x, t)⊗ ei
Do Lema anterior, vale T(n) = s(n) para cada x ∈ Pt. Assim, o balanco domomento linear fica da forma∫
∂PtT(n) dA =
∫Pt
b dV +
∫Pt
vρ dV.
Pelo Teorema da Divergencia, obtemos
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Lema: Dado algum x ∈ Bt e qualquer base ortonormal {ei},
s(k,x) =∑i
(k · ei)s(ei,x)
para todo vetor unitario k.Prova: Veja no livro do Gurtin.Voltando ao Teorema, seja {ei} uma base ortonormal e T dado por
T(x, t) =∑i
s(ei,x, t)⊗ ei
Do Lema anterior, vale T(n) = s(n) para cada x ∈ Pt. Assim, o balanco domomento linear fica da forma∫
∂PtT(n) dA =
∫Pt
b dV +
∫Pt
vρ dV.
Pelo Teorema da Divergencia, obtemosMarcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA =
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫
∂Pts(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue que
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA =
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫
∂Pts(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue que
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico.
De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA =
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫
∂Pts(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue que
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt.
Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA =
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫
∂Pts(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue que
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA
=
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫
∂Pts(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue que
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA =
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫
∂Pts(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue que
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA =
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.
Assim, ∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue que
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA =
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫
∂Pts(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue que
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA =
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫
∂Pts(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue que
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular∫Pt
(divT + b− ρv) dV = 0.
Pelo Teorema da Localizacao obtemos
divT + b− ρv = 0.
Falta verificar que T e simetrico. De fato, seja w um campo regular em Bt. Tem-se∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫∂Pt
(TTw) · n dA =
∫Pt
div (TTw) dV
=
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV.Assim, ∫
∂Pts(n) ·w dA =
∫∂Pt
Tn ·w dA =
∫Pt
(w · divT + T · grad w) dV
Como divT = ρv − b, segue queMarcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (ρv − b) + T · grad w) dV
Como b∗ = b− ρv segue que∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (−b∗) + T · grad w) dV
ou ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV
Tomando w como um deslocamento rıgido infinitesimal, temos pelo Teorema doTrabalho Virtual, que grad w = W, com W anti-simetrico e∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (ρv − b) + T · grad w) dV
Como b∗ = b− ρv segue que∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (−b∗) + T · grad w) dV
ou ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV
Tomando w como um deslocamento rıgido infinitesimal, temos pelo Teorema doTrabalho Virtual, que grad w = W, com W anti-simetrico e∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (ρv − b) + T · grad w) dV
Como b∗ = b− ρv segue que∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (−b∗) + T · grad w) dV
ou ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV
Tomando w como um deslocamento rıgido infinitesimal, temos pelo Teorema doTrabalho Virtual, que grad w = W, com W anti-simetrico e∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (ρv − b) + T · grad w) dV
Como b∗ = b− ρv segue que∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (−b∗) + T · grad w) dV
ou ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV
Tomando w como um deslocamento rıgido infinitesimal, temos pelo Teorema doTrabalho Virtual, que grad w = W, com W anti-simetrico e∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (ρv − b) + T · grad w) dV
Como b∗ = b− ρv segue que∫∂Pt
s(n) ·w dA =
∫Pt
(w · (−b∗) + T · grad w) dV
ou ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV
Tomando w como um deslocamento rıgido infinitesimal, temos pelo Teorema doTrabalho Virtual, que grad w = W, com W anti-simetrico e∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Segue entao que ∫Pt
T ·W dV = 0 para todo P.
Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV.
Como T e simetrico e grad w e anti-simetrico segue que∫Pt T · grad w dV = 0.
Segue entao que ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0.
Pelo Teorema dos Trabalhos Virtuais, valem as equacoes de balanco.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Segue entao que ∫Pt
T ·W dV = 0 para todo P.
Portanto, T ·W = 0.
O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV.
Como T e simetrico e grad w e anti-simetrico segue que∫Pt T · grad w dV = 0.
Segue entao que ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0.
Pelo Teorema dos Trabalhos Virtuais, valem as equacoes de balanco.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Segue entao que ∫Pt
T ·W dV = 0 para todo P.
Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico.
Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV.
Como T e simetrico e grad w e anti-simetrico segue que∫Pt T · grad w dV = 0.
Segue entao que ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0.
Pelo Teorema dos Trabalhos Virtuais, valem as equacoes de balanco.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Segue entao que ∫Pt
T ·W dV = 0 para todo P.
Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv.
Notamos quevale ∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV.
Como T e simetrico e grad w e anti-simetrico segue que∫Pt T · grad w dV = 0.
Segue entao que ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0.
Pelo Teorema dos Trabalhos Virtuais, valem as equacoes de balanco.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Segue entao que ∫Pt
T ·W dV = 0 para todo P.
Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV.
Como T e simetrico e grad w e anti-simetrico segue que∫Pt T · grad w dV = 0.
Segue entao que ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0.
Pelo Teorema dos Trabalhos Virtuais, valem as equacoes de balanco.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Segue entao que ∫Pt
T ·W dV = 0 para todo P.
Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV.
Como T e simetrico e grad w e anti-simetrico segue que∫Pt T · grad w dV = 0.
Segue entao que ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0.
Pelo Teorema dos Trabalhos Virtuais, valem as equacoes de balanco.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Segue entao que ∫Pt
T ·W dV = 0 para todo P.
Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV.
Como T e simetrico e grad w e anti-simetrico segue que∫Pt T · grad w dV = 0.
Segue entao que ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0.
Pelo Teorema dos Trabalhos Virtuais, valem as equacoes de balanco.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Balanco de Momento Linear e Angular
Segue entao que ∫Pt
T ·W dV = 0 para todo P.
Portanto, T ·W = 0.O que implica que T e simetrico. Por outro lado, assuma queexiste um tensor simetrico T tal que Tn = s(n) e divT + b = ρv. Notamos quevale ∫
∂Pts(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV =
∫Pt
T · grad w dV.
Como T e simetrico e grad w e anti-simetrico segue que∫Pt T · grad w dV = 0.
Segue entao que ∫∂Pt
s(n) ·w dA+
∫Pt
w · b∗ dV = 0.
Pelo Teorema dos Trabalhos Virtuais, valem as equacoes de balanco.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Seja T um tensor de tensoes. Se
Tn = σn, |n| = 1,
entao σ e chamada tensao principal e n direcao principal.
Entao as tensoesprincipais e direcoes principais sao os autovalores e autovetores de T,respectivamente. Desde que T seja simetrico, existem tres direcoes principaismutuamente perpendiculares e tres tensoes principais correspondentes.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Seja T um tensor de tensoes. Se
Tn = σn, |n| = 1,
entao σ e chamada tensao principal e n direcao principal. Entao as tensoesprincipais e direcoes principais sao os autovalores e autovetores de T,respectivamente.
Desde que T seja simetrico, existem tres direcoes principaismutuamente perpendiculares e tres tensoes principais correspondentes.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Seja T um tensor de tensoes. Se
Tn = σn, |n| = 1,
entao σ e chamada tensao principal e n direcao principal. Entao as tensoesprincipais e direcoes principais sao os autovalores e autovetores de T,respectivamente. Desde que T seja simetrico, existem tres direcoes principaismutuamente perpendiculares e tres tensoes principais correspondentes.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Tn
Força Normal
Força de Cisalhamento
n
x
Considere uma superfıcie plana comuma normal unitaria n.
A forca desuperfıcie Tn pode ser decompostacomo a soma de uma forca normal
(n · Tn)n = (n⊗ n)Tn
e uma forca de cisalhamento
(I− n⊗ n)Tn.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Tn
Força Normal
Força de Cisalhamento
n
x
Considere uma superfıcie plana comuma normal unitaria n. A forca desuperfıcie Tn pode ser decompostacomo a soma de uma forca normal
(n · Tn)n
= (n⊗ n)Tn
e uma forca de cisalhamento
(I− n⊗ n)Tn.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Tn
Força Normal
Força de Cisalhamento
n
x
Considere uma superfıcie plana comuma normal unitaria n. A forca desuperfıcie Tn pode ser decompostacomo a soma de uma forca normal
(n · Tn)n = (n⊗ n)Tn
e uma forca de cisalhamento
(I− n⊗ n)Tn.
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Tn
Força Normal
Força de Cisalhamento
n
x
Considere uma superfıcie plana comuma normal unitaria n. A forca desuperfıcie Tn pode ser decompostacomo a soma de uma forca normal
(n · Tn)n = (n⊗ n)Tn
e uma forca de cisalhamento
(I− n⊗ n)Tn.
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Tn
Força Normal
Força de Cisalhamento
n
x
Considere uma superfıcie plana comuma normal unitaria n. A forca desuperfıcie Tn pode ser decompostacomo a soma de uma forca normal
(n · Tn)n = (n⊗ n)Tn
e uma forca de cisalhamento
(I− n⊗ n)Tn.
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento.
Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se
T = −pI,com p um escalar. Aqui, p e chamado pressao do fluido. Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.
Pressão
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n.
Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se
T = −pI,com p um escalar. Aqui, p e chamado pressao do fluido. Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.
Pressão
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Algumas Definicoes
Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.
Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se
T = −pI,com p um escalar. Aqui, p e chamado pressao do fluido. Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.
Pressão
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Algumas Definicoes
Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico.
Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se
T = −pI,com p um escalar. Aqui, p e chamado pressao do fluido. Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.
Pressão
Marcio Bortoloti Balanco de Momento
Balanco de MomentoTeorema dos Trabalhos Virtuais
Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se
T = −pI,com p um escalar.
Aqui, p e chamado pressao do fluido. Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se
T = −pI,com p um escalar. Aqui, p e chamado pressao do fluido.
Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.
Pressão
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se
T = −pI,com p um escalar. Aqui, p e chamado pressao do fluido. Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.
Pressão
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Um fluido em repouso e incapaz de exercer forcas de cisalhamento. Nesse caso, Tne paralelo a n para cada vetor unitario n. Tais vetores sao autovetores de T.Verifique que T possui um unico espaco caracterıstico. Pelo Teorema Espectralsegue que T tem um unico autovalor se e somente se
T = −pI,com p um escalar. Aqui, p e chamado pressao do fluido. Nota-se que para este casoa forca sobre qualquer superfıcie do fluido e −pn.
Pressão
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Teorema de Cauchy
Algumas Definicoes
Outros tipos de tensoes importantes sao:
Tensao Pura: com tensoes σ na direcao e, onde |e| = 1: T = σ(e⊗ e).
Tensão Pura
Cisalhamento puro: com tensao de cisalhamento τ relativa ao par (k,n),(vetores ortogonais e unitarios): T = τ(k⊗ n + n⊗ k).
Cisalhamento Puro
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Outros tipos de tensoes importantes sao:
Tensao Pura: com tensoes σ na direcao e, onde |e| = 1: T = σ(e⊗ e).
Tensão Pura
Cisalhamento puro: com tensao de cisalhamento τ relativa ao par (k,n),(vetores ortogonais e unitarios): T = τ(k⊗ n + n⊗ k).
Cisalhamento Puro
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Algumas Definicoes
Outros tipos de tensoes importantes sao:
Tensao Pura: com tensoes σ na direcao e, onde |e| = 1: T = σ(e⊗ e).
Tensão Pura
Cisalhamento puro: com tensao de cisalhamento τ relativa ao par (k,n),(vetores ortogonais e unitarios): T = τ(k⊗ n + n⊗ k).
Cisalhamento Puro
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