AVALIAÇÃO DO MODELO ARX E DO ESTIMADOR LS DE ELASTOMASSAS MEMS

ATRAVÉS DOS CRITÉRIOS MSE, AIC E BIC

Manuel M. P. Reimbold 1, Airam Sausen

2, Andre L. Bedendo

3, Romulo A. T. Koelher

4

1 UNIJUI, Ijuí, Brasil, manolo@unijui.edu.br

2 UNIJUI, Ijuí, Brasil, airam@unijui.edu.br 3 UNIJUI, Ijuí, Brasil, andreebedendo@bol.com.br

4 UNIJUI, Ijuí, Brasil, romulo.kohler@unijui.edu.br

Resumo: Neste trabalho é apresentada a obtenção de um

modelo matemático para elastomassas MEMS utilizando

identificação de sistemas. A estrutura do modelo é a auto-

regressiva com entradas exógenas (ARX), cujos parâmetros

são estimados usando Least Squares (LS). A técnica

mostrou-se adequada sob os critérios de análise MSE, AIC e

BIC.

Palavras-Chave: Aplicação de Sistemas Dinâmicos,

Identificação de Sistemas, Elastomassas MEMS.

1. INTRODUÇÃO

Os sistemas microeletromecânicos MEMS (Micro

Electro-Mechanical Systems) são microtransdutores que

desempenham funções de sensoriamento e atuação. Entre

eles cabe destacar o transdutor de deformação elástica

(elastomassas) e atuação eletrostática (comb-drive), pois

apresenta resposta rápida, baixa potência de consumo, e

facilidade de integração com circuitos eletrônicos. Na

indústria, quando estes são convenientemente dispostos

podem-se configurar: relés, pinças, osciladores, filtros,

transformadores, mixers, giroscópios, acelerômetros, entre

outros, conforme apresentado na Figura 1 [1-2].

(a) (b)

(c)

(d)

Fig. 1. MEMS (a) Motor translacional (b) Interruptor (c) Pinça para cauterização (d) Motor rotacional.

O funcionamento básico dos microssensores e

microatuadores baseados em deformação e ação eletrostática

está associado ao conhecimento da frequência de

ressonância, logo há dependência da forma geométrica e das

propriedades do material da elastomassa. Cabe considerar

que: as dimensões de ordem micrométrica, a espessura fina

do dispositivo, a não compreensão dos efeitos físicos das

forças intermoleculares sob essas dimensões, a mudança das

propriedades dos materiais dos elementos quando reduzidos

a pequenas escalas, são fatores que comprometem a

qualidade operacional do dispositivo como um todo [3].

As pesquisas na área de dispositivos MEMS visam

diminuir custos e confirmar a qualidade dos mesmos. Estes

fatores têm sido garantidos na produção em lote (batch),

onde milhões de componentes são fabricados em uma única

lâmina (ou wafer), e testados por amostragem. Por outro

lado, atualmente, a indústria tem interesse em testar cada um

dos dispositivos fabricados. Portanto, testes para detecção

dos defeitos e falhas devem ser otimizados quanto ao tempo

de duração e a confiabilidade [4].

Considerando os dispositivos descritos anteriormente, e

objetivando superar as dificuldades mencionadas, tem-se

utilizado a identificação como uma das alternativas eficazes

[5,6,7]. Nos últimos anos, combinando modelagem “caixa

branca” e “caixa preta” têm ocorrido alguns progressos no

sentido de melhorar a obtenção de um modelo

comportamental destes dispositivos. Tal combinação resulta

na modelagem “caixa cinza”, da qual não se dispõe

literatura científica com aplicação em dispositivos MEMS

[8].

Desta forma, a proposta deste trabalho consiste em

avaliar através dos critérios de informação: MSE (Erro

Quadrático Médio), AIC (Critério de Informação Akaike) e

BIC (Critério Bayesiano de Informação) o modelo ARX

(Autoregressive with Exogenous Inputs), como modelo

matemático representativo do desempenho comportamental

de elastomassas MEMS. O estimador RL (Least Squares) é

utilizado para obter os parâmetros do modelo identificado.

O restante deste trabalho está organizado como segue.

Na Seção 2 as elastomassas MEMS são descritas e

caracterizadas. Na Seção 3 é apresentada a identificação de

sistemas utilizada. Na Seção 4 são apresentados os

359

http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0092

Avaliação do Modelo ARX do Estimador LS de Elastomassas MEMS através dos Critérios MSE, AIC e BIC Manuel M.P.Reimbold, Airam Sausen, Andre L. Bedendo, Romulo A. T. Koelher

resultados encontrados e sua discussão. E por fim, na Seção

5 são apresentadas as conclusão e proposta de trabalho

futuro.

2. ELASTOMASSAS MEMS

As elastomassas ou núcleos elásticos se constituem

basicamente de vigas e colunas, como elementos não rígidos

(deformáveis); e de âncoras (ou engastes) e massa, como

elementos rígidos (não deformáveis). A viga é o elemento

formado por uma barra de eixo plano submetida a esforços

contidos no mesmo plano. Dois tipos de vigas são

importantes para a construção de elastomassas: vigas

isostáticas e vigas hiperestáticas, cuja diferença básica está

nos engastes das mesmas. Além das vigas, outro elemento

importante são as colunas, que suportam forças de tensão ou

compressão aplicadas ao longo do eixo longitudinal. A

combinação destes elementos pode gerar diferentes

topologias de elastomassas. Neste trabalho é abordada a

topologia “Ponte Simples” (conforme ilustrada na Figura 2),

pela simplicidade, com um grau de liberdade. A modelagem

caixa cinza segue o mesmo procedimento para todas as

outras topologias. As dimensões e propriedades do material

da elastomassa são apresentadas nas Tabelas 1 e 2.

Fig. 2. Elastomassa ponte simples.

Tabela 1. Propriedades do ambiente e do material.

Valor U Definição

E 140x109 N/m2 Modulo de Young do Poli-silício

ρpoli 2.33x103 Kg/m3 Densidade do Poli-silício

ε0 8.854x10-12 C/Nm2 Permissividade do vácuo

εar 1.006 Permissividade relativa do ar

uar 1.8e-5 N.s/m2 Viscosidade absoluta do ar

ρar 1.22 Kg/m3 Densidade do ar

Tabela 2. Geometria dos núcleos.

Valor U Definição

h 2.1x10-6 m Espessura do núcleo

wv 2x10-6 m Largura da viga

lv 200x10-6 m Comprimento da viga

wm 102x10-6 m Largura da massa

lm 102x10-6 m Comprimento da massa

d 2x10-6 m Vão abaixo da viga

e 2x10-6 m Vão acima da viga

3. MODELAGEM CAIXA CINZA

Os parâmetros característicos de elastomassas têm sido

modelados matematicamente utilizando técnicas de

modelagem “caixa branca” e “caixa preta”. Os modelos

“caixa-cinza” buscam combinar as vantagens dos modelos

citados anteriormente. Dessa forma dados de entrada e saída

obtidos no sistema, quanto informação a priori são usados

na identificação conforme Figura 3.

Fig. 3. Identificação de sistemas.

A modelagem caixa cinza segue o procedimento de

identificação. O processo é dividido em cinco etapas

principais: testes dinâmicos e coleta de dados, escolha da

representação matemática a ser usada, determinação da

estrutura do modelo, estimação dos parâmetros e validação

do modelo [5]. Neste trabalho a elastomassa é considerada

como um sistema linear, pois se deseja estudar seu

desempenho em uma faixa relativamente estreita de

operação.

3.1 Testes dinâmicos e coleta de dados

A coleta de dados é feita a partir da plataforma de testes

desenvolvida a partir do aplicativo ANSYS. A força �(�)

versus o deslocamento da elastomassa �(�) apresentam o

comportamento mostrado na Figura 4.

Fig. 4. Resposta ao degrau força da ponte simples.

Para os sinais amostrados, �(�) e �(�), reter as

características fundamentais do sinal original, é necessário

obedecer ao teorema de Shannon definido através da

equação (1) �� ≥ 2� (1)

onde �� é a frequência de amostragem e � é a frequência do

sinal a ser amostrado.

360

3.2 Representação matemática

Na identificação de sistemas lineares dispõe-se de

modelos do tipo: auto-regressivo com entradas exógenas,

ARX; auto-regressivo com média móvel e entradas

exógenas, ARMAX; saída e erro, OE; e Box-Jenkins, entre

outros. O modelo selecionado para realização deste estudo é

o ARX cuja representação é dada pela equação (2) (�)�(�) = �(�)�(�) (2)

onde (�) = ����� + ⋯ + ������� e �(�) = ����� +⋯ + ������� são os polinômios que contém,

respectivamente, os pólos e os zeros do sistema; � é

operador de atraso; �� e �� os maiores atrasos dos

polinômios (�) e �(�). A escolha deste modelo se deve ao

fato da sua Função de Transferência (FT) ser simples e não

adicionar novos parâmetros.

3.3 Determinação da estrutura

Neste trabalho, o modelo é de segunda ordem, e sua

escolha é feita com base no modelo analítico representado

por uma equação diferencial ordinária de segunda ordem

não-homogênea, a qual corresponde a sistemas com

deslocamentos de translação.

3.4 Estimação de parâmetros

Neste trabalho os parâmetros são obtidos através do

estimador de mínimos quadrados em batelada. Supondo-se

que um sistema possa ser escrito conforme a equação (3), �(�) = ���� + � (3)

onde ϕ é o vetor de regressores, �� é o vetor que contém os

parâmetros a serem identificados e � é o erro do modelo,

que é suposto de média nula.

O método dos mínimos quadrados tem por objetivo

estimar θ� de modo a minimizar o funcional.

Consequentemente, o vetor que contém os parâmetros

característicos da elastomassa é obtido pela equação (4) �� = (���)����# (4)

resultando no modelo discreto dado pela equação (5)

�(�) = %−�(� − 1) − �(� − ��) + ⋯ + �'� − ��( + ⋯ ) *���+⋮�-. (5)

onde 0 é o número de parâmetros a estimar.

3.5 Capacidade do modelo estimado

A validação do modelo é feita, inicialmente, através da

comparação entre os dados do modelo estimado e os dados

do modelo medido. Em um segundo momento, para saber a

validade do modelo obtido, este é testado com outro

conjunto de dados observados sob o mesmo sistema.

Recomenda-se usar indicadores que permitam quantificar a

aproximação entre o modelo estimado e os dados

observados. Entre esses índices estão os índices e critérios

estruturais: MSE (erro quadrático médio), AIC (Critério de

Informação Akaike) e BIC (Critério Bayesiano de

Informação). A avaliação destes índices e critérios

estruturais possibilita estabelecer se o modelo estimado

representa adequadamente o modelo experimental.

O índice MSE calcula os desvios em relação aos valores

observados da variável �, ou seja, as diferenças entre o valor

de referência �1 e sua respectiva estimativa �21 prevista pelo

modelo para a i-ésima amostra, sendo 3 o número de

amostras. O MSE é dado pela equação (6)

456 = 78(x: − x2 :)+;:<� = N.@ (6)

O critério AIC fornece uma medida da qualidade do

modelo estimando através da distância relativa entre o

modelo na sua verossimilhança máxima e o processo real.

Valores menores indicam modelos mais próximos ou que

possuem menor perda de informação em relação à realidade

[9]. A distância é uma medida de discrepância entre as

linhas do modelo experimental e o modelo estimado. O

critério de AIC é definido pela equação (7) BC = −2DEFG + 2� (7)

onde G é a Verossimilhança Maximizada do modelo

candidato, e I é o número de parâmetros do modelo.

Por fim, o índice BIC é o valor da máxima

verossimilhança com uma penalização para o número de

parâmetros no modelo, o que permite comparar modelos

com diferentes parametrizações e/ou diferentes número de

agrupamentos. Através deste valor o algoritmo determina o

provável modelo a usar de acordo uma aproximação baseada

no critério de informação Bayesiana [10]. O critério BIC é

definido pela equação (8) �BC = −2DEFG + �DEF3 (8)

4. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Para realizar a coleta de dados, o valor de 0,14�10�M 3

de amplitude e a forma degrau são adotados

convenientemente. Os valores obtidos dos parâmetros

estimados são apresentados na Tabela 3.

Tabela 3. Valor dos parâmetros estimado.

Parâmetros

Característicos

Valor Parâmetros

Estimados

Valor

ME-Kg 54.75x10-12 θ1 -1.109189832515121

CE-N s/m 0.205x10-6 θ2 0.967009317875133

KE-N/m 0.583 θ3 1.105798154814928

θ4 0.363465507695335

361

Avaliação do Modelo ARX do Estimador LS de Elastomassas MEMS através dos Critérios MSE, AIC e BIC Manuel M.P.Reimbold, Airam Sausen, Andre L. Bedendo, Romulo A. T. Koelher

O sinal degrau gera um movimento oscilatório no início

do deslocamento, o qual era esperado. No entanto, mesmo

na existência de erros mais acentuados neste transitório, o

modelo estimado consegue acompanhar a dinâmica do

sistema real, reproduzindo a instabilidade inicial do mesmo

conforme mostrado na Figura 5. Observa-se que, na medida

em que o sistema converge para regime permanente o erro

entre os dois modelos tende a zero.

Fig. 5. Comparação entre o modelo estimado e o modelo medido.

A teoria estabelece que se o modelo estimado responder

da mesma forma que o modelo medido a diferentes dados

daqueles utilizados na estimação, o modelo é validado [6].

Logo, a aplicação do sinal sinusoidal em ambos os modelos

(conforme Figura 6) permite concluir que o modelo

estimado representa adequadamente ao modelo real.

Fig. 6. Resposta de ambos os modelos submetidos a sinal sinusoidal.

A comparação entre os valores preditos pelo modelo e os

valores experimentais demonstra que a representação

encontrada prediz de forma satisfatória a dinâmica do

processo, e os índices conseguidos através do modelo

estimado para esta elastomassa mostram que os resultados

obtidos para o comportamento linear do atuador são

satisfatórios, uma vez que: MSE = 1,4368x10-15

,

AIC = -9180,7 e BIC = -9165,9.

5. CONCLUSÃO

A técnica utilizada, na realização deste trabalho, mostra-

se interessante uma vez que permite obter o modelo

comportamental da elastomassa, sem alterar as propriedades

intrínsecas das mesmas e do meio em que se encontram

inseridas. São técnicas não invasivas e, portanto se mostram

necessárias na identificação do modelo de dispositivos

microscópicos. A precisão alcançada nos resultados deste

trabalho é satisfatória, pois foi obtida sem inserção de ruído

branco. Como trabalho futuro deseja-se comparar o

desempenho do modelo ARX com ruído branco.

AGRADECIMENTOS

Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e

Tecnológico) pela bolsa concedida.

REFERÊNCIAS

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electronic design”, 1994.

[2]DOI S. D. Senturia, “Perspectives on MEMS, past and

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Microsystems, pp. 10, 2003.

[3]DOI R. M. Lin, “Structural dynamics of microsystems-

current state of research and future directions”,

Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 20,

pp. 1015-1043, 2006.

[4]DOI M.T. Song, D.Q. Cao, W.D. Zhu, “Dynamic analysis

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Elsevier B.V., doi:10.1016/j.cnsns.2010.12.004.

[5]LI L. A. Aguirre, “Introdução a Identificação de

Sistemas: técnicas lineares e não lineares aplicadas a

sistemas reais”, 2o.ed., Belo Horizonte UFMG, 2004.

[6]TE M. V. Correa, Identificação caixa cinza de sistemas

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[7] L. Ljung, “Systems Identification. Theory for the

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[8] H. Wolfram, “Implementation issues on MEMS – A

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[9]PUB K. P. Burnham, D. R. Anderson, “Kullback – Leibler

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[10]DOI C. Fraley, A. E. Raftery, “Model-Based Clustering,

Discriminant Analysis, and Density Estimation”,

Technical Report, vol. 38, pp. 1-46, 2000.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10-3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

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4

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5x 10

-7

Tempo (s)

Deslo

cam

ento

(m

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Dinâmica do atuador MEMS

Original

Estimado

Força eletrostática

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018-2.5

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Dinâmica do atuador MEMS

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