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25/03/2015

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Parte VI: Introdução aos Processos

Estocásticos e Teoria das Filas

Professor: Reinaldo [email protected]

Avaliação de Desempenho de Sistemas Discretos

Processos Estocásticos

� Família de VAs indexadas com o parâmetro tempo� Fenômeno varia de forma imprevisível com o tempo

� Para cada w ∈ S, associamos uma função X(w, t)

� Essa família de funções (uma para cada w) forma um PE� Exemplos

� O número de clientes fazendo compras em um supermercado

� O número de chamadas feitas a uma central telefônica

� A cotação de uma empresa de software na bolsa de valores

� Esses números se apresentam em função do tempo� Processos Estocásticos também são denominados Processos

Randômicos

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Classificação de PEs

� Os processos estocásticos podem ser classificados conforme:� Espaço de estados

� Conjunto de possíveis valores (estados) para X (t)

� Espaço discreto: espaço de estados finito ou contável (PE é uma cadeia)

� Espaço contínuo: espaço de estados é um intervalo contínuo, finito ou infinito

� Tempo: parâmetro indexador� Tempo Discreto: os (instantes de) tempo(s) permitidos para as trocas de

estados (transição entre estados) são finitos e contáveis

� Tempo Contínuo: os (instantes de) tempo(s) permitidos para as trocas de estados ocorrem em um intervalo finito ou infinito

� Dependências estatísticas entre as VAs X (t) para diferentes valores de t� Relação entre os membros da família: X (t1), X (t2), ...

� Determinar a distribuição de probabilidades conjunta ou a função densidade de probabilidade desse conjunto de variáveis aleatórias

Parâmetros de um PE

� Para analisar o processo estocástico é preciso especificar o período de tempo T envolvido: quando ele será observado

� Se T é contínuo, T={t: 0 ≤ t < ∞)� Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros

Contínuos: Poisson

� Se T é discreto, T={0, 1, 2, ...}� Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros

Discretos: Séries Temporais em geral

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Estados de um PE

� O conjunto de valores que X(t) pode assumir é chamada de Espaço de Estados, e os valores específicos de X(t) em dado momento são os Estados do Processo� Se X(t) representa alguma contagem: Espaço de

Estados poderia ser uma seqüência finita ou infinita de inteiros� Processo de Estado Discreto ou Cadeia Aleatória

� Se X(t) representa uma medida: Espaço de Estados poderia ser um intervalo de números reais� Processo de Estado Contínuo

Análise de um PE

� Para um valor t, X(t) será uma variável aleatória que descreve o estado do processo no tempo t

� Dada qualquer coleção finita t1, t2, ..., tn de tempos, então X(t1), X(t2), ..., X(tn) constituem um conjunto de n variáveis aleatórias com distribuição conjunta

� A estrutura de probabilidades do processo X(t) é totalmente determinada desde que:� Distribuição conjunta de cada conjunto de variáveis aleatórias é

determinada

� Função de densidade de cada conjunto de variáveis aleatórias é determinada

� Consiste em determinar as distribuições conjuntas e usá-las para prever comportamento futuro, dado o comportamento passado

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Classes de PE

� Estacionários

� Independentes

� Processos de Markov

� Processos Nascimento e Morte

� Processos de Poisson (Nascimento Puro)

� ...

PEs Estacionários

� Um PE é dito estacionário se Fx(x, t) é invariante aos deslocamentos no tempo para todos os valores de seus argumentos

� Fx(x, t+ τ ) = Fx(x, t) (τ = cte)

� t+ τ é o vetor (t1 + τ, t2 + τ, t3 + τ, ....., tn + τ)

Obs.: Fx(x ; t) = P[X(t) ≤ x) (PDF)

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PEs Independentes

Fx(x ; t+ τ ) ∆ Fx1,x2, ... ,xn(x1, x2, ..., xn; t1, t2, ..., tn )

= Fx1 (x1 ; t1) · Fx2 (x2 ; t2) · ... · Fxn (xn ; tn)

� {x n} : conjunto de VAs independentes

� A fdp conjunta é igual ao produto das fdps dos fatores

Processos de Markov

� Processos “sem memória”: probabilidade de xt assumir um valor futuro depende apenas do estado atual� Desconsidera estados passados

� Sejam:� pij : probabilidade de uma transição ir para o estado j, estando no estado i

� f τ : distribuição de tempo entre transições de estados.

� xn : sequência estocástica ou randômica

� Para um Processo de Markov, temos:� pij arbitrária

� f τ sem memória� PE com tempo discreto: Distribuição Geométrica

� PE com tempo contínuo: Distribuição Exponencial

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Processos de Nascimento e Morte (PNM)

� Modelam as alterações em uma “população”

� Estado do processo no instante t representa o tamanho da população no instante t� Número de pacotes em uma rede, fila de um banco

� Assume-se que “nascimentos” e/ou “mortes” múltiplos ocorrem ao mesmo tempo com probabilidade zero

� As transições ocorrem apenas entre estados vizinhos� pij = 0, para | j - i | > 1

� f τ sem memória


� Processos com tempos discretos ou contínuos

� Extremamente importante na Teoria das Filas� Tipo especial de processos de Markov

� Limitação nas transições possíveis

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Processo de Poisson

� Também conhecido como Processo de Nascimento Puro (PNP)� Processo de chegada onde só temos nascimentos

� Utilizado em processos de contagem� N(t1) < N(t2) se tivermos t1 < t2

� λi = λ, com λ > 0

� µi = 0


Relacionamento entre PEs

PP

p ij arbitráriafτ arbitrária

PSM

PM

p ij = q j-ifτ arbitrária

PNM

p ij arbitráriafτ sem memória

p ij = 0,p/ | j - i | > 1fτ sem memória

PR

q1 = 1 eq i = 0, para i ≠ 1fτ arbitrária

PRλi= λ

µi=0PNP

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Classificação de PEs

� Processos de Markov

� Processos Nascimento e Morte

� Processos de Poisson (Nascimento Puro)

Processos de Markov

� Para estudar sistemas de filas mais facilmente, podemos caracterizar o estado completo da fila em um determinado tempo e estudar o comportamento da fila observando como a fila se comporta em função do tempo

� F(n,t), onde:� n ∈ N = no de fregueses no sistema (fila + servidor)

� t ∈ R = tempo em que o sistema permanece com n fregueses (tempo para transição)

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Processos de Markov

� Se eliminarmos t, ficamos apenas com o estado n, que indica a quantidade de fregueses no sistema

� Passamos a ter um Processo Estocástico com espaço de estado discreto Cadeia

� Quais as conseqüências?� Probabilidades de transição são independentes de n

permitindo que a probabilidade de transição seja Pij

� Probabilidades de transição estacionária

� Processo de Markov homogêneo no tempo

� Representação do estado do processo em um instante de tempo t, uma vez que o mesmo será constante

Processos de Markov

� Um Processo Estocástico é dito ser um Processo Markoviano se o estado futuro depende apenas do estado presente e não dos estados passados� Processo estocástico onde, para qualquer conjunto de

n+1 componentes, t1 < t2 < ... < tn < tn+1, do conjunto índice, X(tn+1) depende apenas de X(tn)

� Este tipo de Processo Estocástico é também denominado de processo sem memória, uma vez que o passado é "esquecido" (desprezado)

� O que isso representa?

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Processos de Markov

� A história (passado) do processo deve ser completamente resumida no estado n

� O estado (n) deve ser a única informação que vai influenciar o futuro do processo

� Se os sistema permaneceu no estado (n) durante t0 segundos, esse valor t0 não deve fornecer informação sobre o futuro

� A distribuição entre as mudanças de estado (n) deve ser a mesma, embora seja conhecido que t0 segundos passaram desde a última mudança

D(t)

D(t)

t

ta ta+to tb

Processos de Markov

� A distribuição do tempo entre mudanças de estados deve ser uma distribuição sem memória

� Quando o espaço de estados do processo é discretotemos uma Cadeia de Markov� Cadeia de Markov com tempo discreto

� Distribuição Geométrica

� Cadeia de Markov com tempo contínuo� Distribuição Exponencial

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Processos de Markov

� Exemplo de transições em um Processo de Markov

Processos de Nascimento e Morte (PNM)� Processos que podem ser usados com tempos

discretos ou contínuos

� Tipo especial de Cadeia de Markov� As transições entre estados só ocorrem entre estados

vizinhos Ek+1, Ek e Ek-1

� pij = 0, para | j - i | > 1


� PE importante na Teoria das Filas� Adequado para modelar mudanças de população

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� λk = Taxa de nascimento quando ao população tem comprimento k

� µk = Taxa de morte quando a população tem comprimento k

Ek+1

Ek

Ek-1

Ek

Possíveis transições entre estados

morte

nascimento

Sem mudanças


0 1 2 K-1 k K+1

Diagrama taxa-transição de estado para um PNM

µ1 µ2 µk µK+1

λk-1 λkλ0 λ1

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K-1 k K+1

µk µK+1

λk-1 λk

nós: estados

Arcos: transições

Valores nos arcos: taxas de transição

fluxo de entrada em E k = fluxo de saida de E k


K-1 k K+1

µk µK+1

λk-1 λk

fluxo de entrada em E k = λk-1 Pk-1(t) + µK+1 Pk+1(t)fluxo de saida de E k = (λk + µK) Pk(t)

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Fluxo de entrada - fluxo de saída =

d Pk(t) /dt = λk-1 Pk-1(t) + µK+1 Pk+1(t) - (λk + µK) Pk(t)

d P0(t) /dt = - λ0 P0(t) + µ1 P1(t)

Estado transiente: Conjunto de equações diferenciai s-diferenças que representam a dinâmica do sistema (equações de pendentes do tempo).

Processo de Poisson

� Processos de Poisson são também conhecido como Processo de Nascimento Puro

� Caso especial de um PNM ⇒ processo de nascimento Puro com taxa de nascimento constante

λk = λ, ∇kµk = 0, ∇k

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Processo de Poisson

d Pk(t) /dt = λPk-1(t) - λ Pk(t), k ≥ 1

d P0(t) /dt = - λ0 P0(t)

Temos agora um conjunto de equações de 1a ordem (linear).

Assumindo a condição inicial para cada Pk(t)

1, para k=0

Pk(0) =

0, para k #0

Há 0 (zero) membros nosistema quando t = 0

Processo de Poisson

d Pk(t) /dt = λPk-1(t) - λ Pk(t), k ≥ 1

d P0(t) /dt = - λP0(t)

Temos:

P0(t) = e - λt

Queremos: P1(t), P2(t), ..... , Pk(t)

P1(t) = ?

d P1(t) /dt = λ P0(t) - λ P1 (t)

= λ e - λt - λ P1 (t) ∴ P1(t) = λ t e - λt

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Processo de Poisson

Queremos: P1(t), P2(t), ..... , Pk(t)

P1(t) ?

d P1(t) /dt = λ P0(t) - λ P1 (t)

= λ e - λt - λ P1 (t) ∴ P1(t) = λ t e - λt

(λ t)k e - λt

Pk(t) = –––––––––– , para k ≥ 0 e t ≥ 0K!

Esse é o Processo de Poisson

Como usar os processos

� Examinaremos apenas PNM em equilíbrio, i.e., consideramos o nosso sistema de filas no regime permanente

� No regime permanente, o comprimento da fila varia, naturalmente. O que fica estável (não depende do tempo) é a probabilidade da fila ter k fregueses (pk). Com essa suposição, eliminamos t (tempo),

Desejamos: pk ∆ lim Pk(t)

t → ∞

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k-1

pk = p0 ∏ λi / µi+1

i=0

∞ k-1

p0 = 1 / ( 1 + Σ ∏ (λi / µi+1))k=1 i=0

Para: ∞Σ pk = 1k=0

Equações Básicas da Teoria das Filas


O sistema é estável:

pk > 0 ( a probabilidade de ocorrer uma chegada em umestado k não é nula)

p 0 ≠ 0 (o sistema esvazia em algum tempo)

pk vai diminuindo depois de um certo k

λk / µk < 1 , para k ≥ k0

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Teoria da Filas

Teoria das Filas

� Teoria dos processos Estocásticos aplicada ao estudo de Sistemas de Filas

� Os processos de interesse são aqueles nos quais os fregueses chegam a um sistema de filas, esperam em fila para serem atendidos nos seus requisitos de serviço e, eventualmente, partem do sistema

� A caracterização de um sistema de filas é feita conforme:� O processo estocástico de chegadas de fregueses

� O processo estocástico de serviço para cada freguês

� A estrutura do sistema

� A disciplina de atendimento aos fregueses na fila

� O comportamento dos fregueses no sistema

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Rede de Filas

� Sistemas de Redes de Filas� São sistemas de filas interconectados segundo uma dada

topologia

� Tipos de Sistemas de Redes de filas� Redes Abertas: fregueses entram no sistema e

eventualmente saem deste

� Redes Fechadas: possuem um número fixo de fregueses (população) circulando na rede. Do ponto de vista do usuário, é como se não houvesse entrada e saída de fregueses

� Redes Mistas:são do tipo abertas para certas classes de fregueses e fechadas para outras

Processo de chegadas

� O processo de chegadas é caracterizado pela especificação da Função Distribuição de Probabilidade (FDP) dos tempos de interchegadas (inter-arrival times), A(t),de fregueses no sistema

A(t) = P[tempo de interchegada≤ t] (1)

� Para simplificação matemática, pode-se adotar a hipótese de que os tempos de interchegadas são variáveis aleatórias independentes estatisticamente distribuídas de acordo com A(t), i.e., o processo de chegadas de freguês é um processo regenerativo, caracterizado por essa função� Processo estocástico que possui a propriedade de se regenerar

probabilisticamente (existem instantes no tempo em que o PE assumirá probabilisticamente um estado anteriormente alcançado)

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Processo de Serviço

� O processo de serviço é caracterizado pela especificação da FDP do tempo de serviço, B(x), para cada um dos fregueses� O tempo de serviço de um freguês é o tempo que o

servidor leva para atender a sua demanda de serviço

B(x) = P[tempo de serviço ≤ x]

� Para simplificação matemática, assume-se que o processo de serviço é independente do processo de chegada e que os tempos de serviços dos fregueses são VAs independentes

Estrutura do Sistema

� A estrutura do sistema é caracterizada:� Capacidade de enfileiramento (comprimento de fila, vagas

na fila)

� Número de servidores

� Classes de fregueses

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Disciplina de Atendimento

� A disciplina de atendimento descreve a ordem em que os fregueses em fila são atendidos pelo(s) servidores(s)� FCFS (First Come, First Served): primeiro que chega,

primeiro a ser atendido

� LCFS (Last Come First Served): último que chega, primeiro a ser atendido

� Randômica: um freguês em fila é escolhido de forma randômica para ser atendido

Comportamento de Fregueses

� O comportamento dos fregueses nas filas impacta as características do sistema� fregueses aguardam em fila até serem atendidos,

� fregueses podem saltar de fila, e

� fregueses podem desertar da fila

� Essas características são definidas durante a criação do modelo, de acordo com as classes de fregueses, a interação entre elas, a priorização dada, etc.

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Notação

� Notação para um sistema de fila: A/B/m/K/N

� A: Função de Distribuição de Probabilidade (FDP) dos tempos de interchegadas de clientes

� B: Função Distribuição de Probabilidade dos tempos de serviços

� m: número de servidores

� K: Comprimento máximo de fila

� N: População do sistema

� Notação simplificada: A/B/m

M/M/m/K/N

fila servidorChegada de Fregueses Partida de

Freguses

Freguesesesperandoserviço

{t} {x}(w) (x)

T

servidores

1

m(K)

N: População

Exp(λ) Exp(µ)

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Significado dos termos

� Conjunto de FDPs mais usadas

� M - Exponencial (M vem de Markovian Process)

� U - Uniforme

� D - Determinístico

� G - Geral

Hipóteses Simplificadoras

� A Distribuição Exponencial� Representa a distribuição dos intervalos de tempo entre

a ocorrência de eventos aleatórios distintos sucessivos (independentes), descrevendo um processo completamente desordenado (pior hipótese)

� Em modelos de redes de filas que podem representar sistemas de recursos compartilhados, a suposição de tempos de interchegadas de fregueses com distribuição exponencial é razoável se o sistema apresentar um número grande de fregueses independentes

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Lei de Little

Lei fundamental da Teoria das Filas

Sejam:λt ∆ taxa de chegada média de fregueses no intervalo (0,t)

Tt ∆ tempo de resposta médio dos fregueses no intervalo (0,t)

Nt ∆ número médio de fregueses no sistema

No regime permanente; lim λt = λ e lim Tt = Tt →∞ t →∞

Nt = λtTt

N = λ .T

Lei de Little

� Lei fundamental da Teoria das Filas� O número médio de fregueses em um sistema de filas é

igual a taxa média de chegada de fregueses vezes o tempo médio gasto nesse sistema

� Vale para qualquer sistema

� Por extensão:� Nq ∆ número médio de fregueses em fila

� Ns ∆ número médio de fregueses no serviço

� Para: W = tempo de fila médio

X = tempo de serviço médio

Nq = λ .W

Ns = λ .X

T = W + X

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Utilização

� Fator de Utilização (ρ )� Considerando os parâmetros R e C, sendo:

� R ∆ carga de trabalho “que entra no sistema”

� C ∆ Capacidade máxima para fazer o “trabalho”

ρ ∆ R/C

Para uma fila G/G/1: ρ = R/C = λ .X / 1 ρ = λ .X

Para uma fila G/G/m: ρ = R/C = λ .X / m ρ = λ .X/m

Utilização

Interpretação para ρ

0 ≤ ρ ≤ 1 ρ = E [fração de servidores ocupados]

Condição de Estabilidade

Para G/G/1 R < C 0 ≤ ρ < 1

Distribuições limites existem para todas as VAs de interesse

Todos os fregueses eventualmente serão servidos

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Utilização

Interpretação de ρ para o sistema G/G/1 estável

Seja: p0: probabilidade que o servidor está livre

ρ = fração de tempo em que o servidor permanece ocupa do

De outra forma:

Pela Lei de Little:

Ns = λ .X (Ns =número médio de fregueses no serviço)

ρ = 1 - p0

Ns = ρ = λ .X

PNM em Equilíbrio

� Teoria das Filas elementar somente estuda sistemas abertos com distribuição de probabilidades exponencial (sistemas Markovianos)� M/M/1: 01 servidor (sistema de fila clássica)

� M/M/m: m servidores

� M/M/ ∞ : infinito servidores

� M/M/1/K: armazenamento finito (K)

� M/M/m/m: sistema de perdas, m servidores

� M/M/1//M: população finita

� M/M/ ∞ //M: infinito servidores, população finita

� M/M/m/K/M: m servidores, armazenamento finito(K) e população finita (M)

Vamos abordar mais detalhes referentes ao sistema M/M/1

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Sistemas M/M/1


Freguses

Freguesesesperandoserviço µλ

(sem limite)

População: sem limite

Sistema de Filas M/M/1

Sistemas M/M/1

Entre as medidas de desempenho do sistema M/M/1, interessam-nos principalmente:

ρ : fator de utilização do sistemaρ = λ / µ , para λ ≤ µ 0 ≤ ρ < 1

N: Número médio de fregueses no sistema (fila + servidor)

N = ρ / (1 - ρ ),

T: Tempo médio de resposta (Tempo médio de fila (W) + tempo médio de serviço (X)

T = (1/ µ ) / (1 - ρ )

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Sistemas M/M/1

ρ : fator de utilização do sistema

ρ = λ . X = λ / µ

Condição de estabilidade: λ < µ 0 ≤ ρ < 1

Cálculo de pk e p0

Desenvolvendo (Vide PNM), chega-se a:

p0 = (1 - λ / µ) = 1 - ρ (já conhecíamos)

e

pk = (1 - ρ )ρk , para k = 0,1,2, ....

Sistemas M/M/1

N: Número médio de fregueses no sistema (fila + servidor)∞

N = Σ k. p k , desenvolvendo chega-se ak=0

N = ρ / (1 - ρ)

N

ρ →

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Sistemas M/M/1

T: Tempo médio de resposta (tempo médio de fila (W) + tempo médio de serviço (X = 1/ µ )

Usando a Lei de Little: N = λ TT = N/ λ

T = [ρ/(1 - ρ)] / λ= [ρ/(1 - ρ)] * (1 / λ) = (λ / µ) * [1 / λ(1 - ρ )]= 1/ [µ (1 - ρ )]

Equação básica na análisede atrasos em sistemas deredes de filas

T

ρ →

1/µ

Sistemas M/M/1

� Exemplo 1� Transações chegam a SBD conforme um processo de

Poisson com média 10 por minuto. O SBD processa uma transação de cada vez. O tempo de atendimento é conforme uma distribuição exponencial com média de 4 segundos

� Qual a probabilidade de formar uma fila de transações?

� Qual o comprimento médio dessa fila?

� Qual o tempo médio (espera) para uma transação em fila?

� Quantos segundos por minuto o SBD fica livre para atender ao DBA?

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Sistemas M/M/1

� Exemplo 1 – Solução� λ : taxa média de chegada = 10 transações/minuto = 10/60 tps

� µ: taxa média de atendimento = 0,25 transação / s

� ρ: fator de utilização = λ / µ = (0,167) / 0,25 = 0,67


Freguses


Sistema M/M/1

(λ)(µ)

Sistemas M/M/1

� Exemplo 1 - Solução� Qual a probabilidade de formar uma fila de transações?

P [formar fila] = 1 - (p0 + p1), Temos: pk = (1 -ρ) ρk

P [formar fila] = 1 - [(1-0,67) + (1-0,67)·0,67]

P [formar fila] = 0,45

� Qual o comprimento médio dessa fila?Nq = λ . W = λ .(T - X)

= λ .(1/ [µ (1 -ρ )] - 1/ µ) = λ ρ / [µ (1 -ρ )]

= 0,167* 0,67 / [0,25 (1 –0,67)]

= 1,36 transações

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Sistemas M/M/1

� Exemplo 1 – Solução� Qual o tempo médio para uma transação no sistema?

T = 1/ [µ (1 -ρ )] = 1 / (0,25*0,33) = 12 s

� Quantos segundos por minuto o servidor fica livre para o DBA?% tempo livre = p0 = 1 -ρ = 1 – 0,67 = 0,33 => 20 s por m

Sistemas M/M/1

� Exemplo 2� Um canal de comunicação com capacidade igual a 50 Kbits/seg é o

enlace principal de uma rede de comutação de pacotes

� O comprimento dos pacotes na rede é de 1k bits

� Pacotes chegam a um roteador para serem transmitidos pelo canal conforme uma distribuição exponencial com taxa média de 35 pacotes/seg (processo de chegada Poisson)

� Supõe-se que há buffers suficientes para atender a demanda de pacotes que devem aguardar a vez de serem transmitidos, um de cada vez, conforme ordem de chegada (disciplina FCFS)

λ = 35 p/s (1kbits)

C = 50 p/s

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Sistemas M/M/1

� Exemplo 2� Desejamos Conhecer

� A utilização do canal

� O número médio de pacotes no sistema (fila + serviço)

� O atraso médio de um pacote (tempo médio de fila + tempo médio de transmissão)

λ = 35 p/s (1kbits)

C = 50 p/s

Sistemas M/M/1

� Exemplo 2

λ = 35 p/s

C = 50 p/s

(1kbits)


Freguses


µλ

Sistema M/M/1

O canal é

o servidor

A fila se forma

no roteador

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Sistemas M/M/1

� Exemplo 2 - Solução� Temos: λ = 35 pacotes/seg

� Para usarmos a solução M/M/1, assumimos que a distribuição dos comprimentos dos pacotes é exponencial (geométrica), com média 1kbit

� Podemos agora determinar o tempo de transmissão de um pacote no canal conforme a distribuição exponencial com média igual a 1/µC = 0,02 seg (a taxa média de transmissão de pacotes no canal é µC = 50 pacotes / seg)

Sistemas M/M/1

� Exemplo 2 – Solução� Utilização do Canal: ρ = λ / µ

� ρ = λ / µC = 35 / 50 = 0, 7 (o canal transmite durante 70% do tempo)

� O número médio de pacotes no sistema (fila + serviço): N = ρ / (1 - ρ) � N = 0,7/ (1 - 0,7 ) = 2,33 pacotes

� Atraso médio de um pacote (tempo médio de fila + tempo médio de transmissão): T = (1/ µ ) / (1 -ρ ) � T = (1/ µ C) / (1-ρ) = 1 / (µC-λ) =

� = (1 / (50 - 35) = 0,066 seg

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Redes de Filas

Redes de Filas

� Conjunto de estações de serviço (facilidades/nós) conectadas de forma a atender às solicitações de serviço dos fregueses; ou

� Múltiplas estações de serviço e suas classes, operando de forma assíncrona e concorrente

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Rede de Filas Mista

Aberta para as classes 1 e 2 e fechada para a class e 3

µ3Fonte 1

(classe 1)nó 1

nó 2

nó 3

Fonte 2

(classe 2)

k freg.

(classe 3)

µ2µ1

Sorvedouro

Redes de Filas Tandem

µ2

Solução: RFs abertas sem realimentação

Fontenó 1 nó 2

µ1

Sorvedouro

?λ

Teorema de Burke

M/M/1 ?/M/1

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Teorema de Burke

� No regime permanente, a saída de uma fila M/M/m, com taxa de entrada γ, com cada servidor i atendendo com taxa µi , é um Processo de Poisson com taxa γ, estatisticamente independente do processo de entrada

� Consequência: o nó 2 também é M/M/1 com taxa de chegada de fregueses γ e pode ser analisado independentemente do nó 1.� TRF = T1 + T2 = (1/µ1) / (1 -ρ1) + (1/ µ2) / (1 -ρ2)

para ρ i = γ / µi M/M/1

Generalização de Burke

� Numa Rede de Filas aberta, em que:� Cada nó tem um ou mais servidores exponenciais

� Os processos de entrada são Poisson (não há realimentação, o que destruiria a suposição Processo de Poisson)

cada nó pode ser analisado independentemente (M/M/m)

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Avaliação de Sistemas

µ3nó 1

nó 2nó 3

µ2

µ1γ1

γ2

γ1+ γ2 γ1+ γ2

γ1 < µ1

Condição de estabilidade γ1+ γ2 < µ2

γ1+ γ2 < µ3

Teorema de Jackson

� Seja:� Uma Rede de Filas com N nós, onde o nó i tem mi

servidores exponenciais, cada um com parâmetro µi ;

� O processo de chegada externo ao sistema para o nó i é Poisson, com taxa γi

� Um freguês saindo do nó i passa ao nó j com probabilidade rij

25/03/2015

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Teorema de Jackson

Temos:

� r ii ≥ 0

� Pode haver realimentaçãoN

� O freguês parte do nó i com probabilidades 1 - Σ r ijj=1

Deseja-se calcular λi , a taxa média total de chegadas no nó i, isto é, a soma de todas as chegadas externas (Poisson) com as chegadas (não necessariamente Poisson) dos nós internos

Teorema de Jackson

µ3nó 1

nó 2 nó 3

µ2

µ1

γ1

γ2

γ1+ γ2 γ1+ γ2

r21

r31

Temos: N

λi = γi + Σ λj r ji , i = 1, 2,..., Nj=1

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Teorema de Jackson

µ3nó 1

nó 2 nó 3

µ2

µ1

γ1

γ2

γ1+ γ2 γ1+ γ2

r21

r31

Condição de Estabilidade:

λi ≤ m i µ1 , i = 1, 2 e 3 (m i : # servidores no nó i)

Teorema de Jackson

� Jackson provou que apesar do processo de chegada aos nós não ser necessariamente Poisson, a Rede de Filas se comporta como se cada nó fosse uma fila M/M/m i, com um processo de entrada Poisson com taxa µ1

avaliação de desempenho de sistemas discretosreinaldo/adsd_files/pe_filas_2slides.pdf · o...

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