Aulão tópicos UDESC

MATEMÁTICA

Prof. GUIBA24 de outubro de 2009

guibasr@yahoo.com.brhttp://muraldoguiba.wordpress.com

(UDESC – 2009 .1 – adaptada)

Suponha que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas lêem somente revistas, 300 pessoas lêem somente livros e 150 pessoas lêem somente jornais. Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 lêem livros e revistas, 50 lêem jornais e revistas, 60 lêem livros e jornais e 40 lêem revistas, jornais e livros. Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:

I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais.III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros.

Assinale a alternativa correta.a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.d) Somente a afirmativa II é verdadeira.e) Somente a afirmativa I é verdadeira.

Número de elementos de conjuntos finitos

Jornais

Livros Revistas

402010

40100

150

300

I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.Errado, pois o total das regiões é 660.II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais.Correto, pois se 80 pessoas leem revistas e livros, e 40 leem os três meios, então 40 leem revistas e livros, mas não jornais.III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros.Errado, pois o total das regiões, exceto a que corresponde a “apenas jornal” é 510.

Resolução

(UDESC – 2009 – 1 – adaptada)

Suponha que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas lêem somente revistas, 300 pessoas lêem somente livros e 150 pessoas lêem somente jornais. Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 lêem livros e revistas, 50 lêem jornais e revistas, 60 lêem livros e jornais e 40 lêem revistas, jornais e livros. Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais.III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros.Assinale a alternativa correta.a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.d) Somente a afirmativa II é verdadeira.e) Somente a afirmativa I é verdadeira.

Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma determinada constante (razão).

Ex.: (4, 7, 10, 13,16, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 4 e razão 3.

Ex.: (21, 16, 11, 6, 1, –4, –9, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 21 e razão –5.

Progressões Aritméticas (PA)

Termo geral da PA

Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PA, afirma-se que

A soma dos termos equidistantes do termo central é constante.

Representação genérica de PA de 3 termos de razão r.

Relações importantes

n ka a n k r

, ,x r x x r

2b a c

(UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência abaixo, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x+y+z é:

a) -3/8b) 21/8c) 15/8d) 2e) -19/8

Questão

1,1, , ,

4x y z

Se a soma dos termos equidistantes é constante, então

Além disso, como os termos 1, y e ¼ estão em PA, então

Assim,

Resolução

1 4 1 514 4 4

x z

1 52 1

4 45

8

y

y

5 5 10 5 15

4 8 8 8x z y

(UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência abaixo formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x+y+z é:

a) -3/8b) 21/8c) 15/8d) 2e) -19/8

1,1, , ,

4x y z

A soma do três primeiros termos de uma PA é 27 e o quinto termo também é 27. Determine o sexto termo dessa PA.

Resolução:

Se os três primeiros termos têm soma 27, então, colocando a forma (x – r, x, x + r), temos que:

O segundo termo da PA vale 9. Se o quinto é 27, temos:

Se o quinto termo é 27 e a razão 6, o sexto termo é 33.

Resposta: O sexto termo é 33.

Questão

27

3 27

279

3

x r x x r

x

x

5 2 5 2

27 9 3

18 3

6

a a r

r

r

r

A soma dos termos de uma PA é dada por:

Ex.: Calcular a soma dos termos de uma PA de 40 termos, sendo o primeiro igual a –3 e o último, 77.

Soma dos termos de uma PA

1 2n n

nS a a

403 772nS

4074 74.20 14802nS

No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas. A primeira terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas poltronas terá na sala?

a) 348b) 380c) 420d) 720e) 560

Questão

Pelo enunciado, a fileira 1 tem 20 cadeiras, a 2, 22 cadeiras, a 3, 24 cadeiras, e assim por diante, até a fileira 16, que terá an poltronas. Logo, temos a seguinte PA, de razão 2 e de 20 termos.

Para podermos calcular ainda resta-nos descobrir o termo a16.

Assim, o podemos calcular a soma dos termos da PA, que será o total de poltronas na sala.

Resolução

1620,22,24,26,...,a

16 1 16 2

nS a a

16 1 16 1a a r

16 20 15a r 16 20 15.2 20 30 50a

16 1 16 2

nS a a 16

1620 50

2S 16

1670 70.8 5602

S

No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas. A primeira terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas poltronas terá na sala?

a) 348b) 380c) 420d) 720e) 560

Uma PG é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma determinada constante (razão).

Ex.: (2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão 2.

Ex.: (27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 27 e razão 1/3.

Ex.: (4, –12, 36, –108, 324, –972, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 4 e razão igual a –3.

Progressões Geométricas (PG)

Termo geral da PG:

Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PG, afirma-se que

O produto dos termos equidistantes do termo central é constante.

Representação genérica de PG de 3 termos de razão q

Relações importantes

. n kn ka a q

, ,xx xq

q

2 .b a c

0q

(UDESC – 2008.1) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é:

a) 2 b) 10 c) 5d) 4e) 6

Questão

Pelas informações, a1 = 10 e a4 = 80. Podemos calcular a razão da PG partindo de

a) 2 b) 10 c) 5d) 4e) 6

Resolução

. n kn ka a q

4 14 1.a a q

4 180 10.q

380 10.q

380

10q

38 q

3 8 2q

O produto entre o segundo, o quarto e o sexto termos de uma PG (de razão ½) é 125. Qual é o primeiro termo?

a) 62,5b) 25c) 5d) 20e) 40

Questão

Como o segundo e o sexto termo são equidistantes ao quarto termo, então (a2, a4, a6) consiste numa PG.

Assim,

Se a razão é ½ , ocorre:

a) 62,5b) 25c) 5d) 20e) 40

Resolução

24 2 6.a a a 2 3

2 6 4 4 4 4125 . . .a a a a a a 34 125a 3

4 125 5a

1 41 4.a a q

33

1

15. 5.2 5.8 402

a

A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por

Ex.: Calcula a soma dos nove primeiros termos de uma PG de razão 3 e primeiro termo igual a 1.

Soma dos termos de uma PG

1

1

1

n

n

qS a

q

9

9 1

3 1

3 1S a

19683 1 19682

1. 98412 2nS

Se colocarmos 3 grãos de arroz na primeira cada de um tabuleiro de xadrez, 6 na segunda, 12 na terceira, 36 na quarta e assim por diante, quantos grãos de arroz serão necessários para encher as oito primeiras casas do tabuleiro?

Questão

Nesse caso, teremos que considerar a PG (3, 6, 12, 24, ..., a8), de primeiro termo igual a 3 e razão 2. A quantidade de grãos será a soma dos termos da PG.

Resposta: Precisaremos de 765 grãos para encher as oito primeiras casas do tabuleiro.

Resolução

1

1

1

n

n

qS a

q

82 1

3 3 256 1 3.255 7652 1nS

Quando tivermos uma PG com infinitos termos, mas seus termos estiverem se aproximando de zero (que implica –1 < q < 1), podemos dizer que a soma limite será dada por, fazendo qn = 0:

Soma limite

1

1

1

n

n

qS a

q

1 1lim 1

0 1

1 1 1n

a aS a

q q q

1lim 1n

aS

q

Guiba dirige seu simpático Chevrolet Celta quando avista uma vaca no meio da pista. Ele aciona os freios, a 60 metros de distância do animal. Então, o carro percorre 30 metros no primeiro segundo, e em cada segundo seguinte, 2/3 da distância percorrida no segundo anterior.

Calcule o susto da vaca! (brincadeirinha... hehe)Qual seria a soma limite das distâncias percorridas em cada segundo?Dependendo do tempo até o carro parar, poderá haver a colisão entre o carro e o mamífero?

Questão

Considerando as distâncias percorridas em cada segundo, considerando “infinitos segundos”, teremos uma PG de primeiro termo 30 e razão 2/3. A soma desses “infinitos termos” será

Resposta: A soma limite é 90 m (maior que a distância entre os corpos), e Guiba está em maus lençóis!

Resolução

1lim 1n

aS

q

lim

30 30 330. 90

2 1 113 3

nS

“I know what I wantI say what I want

And no one can take it away”.

“Eu sei o que queroEu digo o que quero

E ninguém pode tirar isso de mim”

Refrão da canção “Journeyman”, da banda inglesa Iron Maiden.

GALERA,