aula_4_1a_ordem

Aula 4

Sistemas de Primeira Ordem

Jeferson Vieira [email protected]

DELET - UFRGSENG04073 - Sistemas de Controle Eletroeletronicos

Sist. de Controle Eletroeletronicos (2015/1) Aula 4 DELET-UFRGS 1 / 14

Transitorio x Regime Permanente

Divididas em duas partes: Resposta transitoria grandes variacoes da sada do processo; Resposta em regime permanente caracteriza o sistema apos um

(longo) perodo de tempo;

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

RegimePermanente

Transitrio


Sistema de primeira ordem

Sistemas de 1a ordem

Sistemas de primeira ordem sao sistemas que apresentam apenas um polo,normalmente representados na forma

G (s) =Y (s)

X (s)=

K

s + a=

K

s + 1

Parametros: K = K/a ganho DC do sistema; p = a polo do sistema; = 1/a constante de tempo;



Sistemas reais que normalmente sao modelados como sistemas de 1aordem:

Plantas termicas: aquecimento ou resfriamento de lquidos; Massa-mola ou Massa-amortecedor; Circuitos RC ou RL; Enchimento de um tanque; Crescimento populacional; Maquinas rotativas.



Resposta a uma entrada do tipo salto de amplitude r :

G (s) =K

s + a, X (s) =

r

s Y (s) = G (s)X (s) =

K

s + ar

s

Y (s) =C1

s + a+

C2

s C1 =

rK

a, C2 =

rK

a

y(t) = L1{Y (s)} =rK

a(1 eat)u(t) = r K (1 et/ )u(t)

Inclinacao na origem:

dy(t)

dt=

r K

et/ y(0) =

r K

Valor em regime permanente Teorema do Valor Final

y() = lims0

sY (s) = K r



O valor de y(t) em t = corresponde a 63% do seu valor final. Emt = 4 corresponde a 98.2%.



Exemplo: circuito RC serie

R

Cx(t) y(t)+ +

_ _

Funcao de transferencia de x para y :

G (s) =1

RCs + 1=

1/RC

s + 1/RC

K = 1, p = 1/RC e = RC ;

Resposta ao salto unitario: y(t) = 1 et/RC



Exemplo: circuito RC serie

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Resposta ao salto RC

t (sec)

y(t)

RC=0.1RC=0.5RC=1RC=2RC=5



Exemplo: volante girando em um rolamento

Funcao de transferencia de x para y :

G (s) =1/BrJ

Brs + 1

=1/J

s + Br/J

K = 1/Br , p = Br/J e = J/Br ;

Resposta ao salto unitario: y(t) = 1 eJ

Brt



Sistemas de 1a ordem com atraso

Considera tambem o atraso de tempo que o sistema leva para responderquando a entrada e aplicada

G (s) =Y (s)

X (s)=

Kes

s + a= K

es

s + 1

atraso ou tempo morto do sistema;

Resposta temporal:

y(t) =rK

a(1 ea(t))u(t ) = r K (1 e(t)/ )u(t )



Sistema de 1a ordem com atraso

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t(s)

Said

a

x(t)y(t)



Identificacao de sistemas de primeira ordem: Determinar K atraves do valor de regime e da amplitude do sinal de

entrada; Determinar a partir dos tempos em que a entrada e aplicada e que o

sistema comeca a reagir; Determinar a partir do tempo em que o sistema leva para chegar em

63% ou em 99% do seu valor de regime.



Exerccio

Determine os parametros da funcao de transferencia de 1a ordem de umsistema que apresenta a seguinte resposta ao salto:

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x(t)y(t)



Exerccio

Esboce a resposta dos seguintes sistemas a uma entrada do tipo salto deamplitude r = 10 aplicada em t = 2s:

G1(s) =2

s + 1

G2(s) =2

s + 4

G3(s) =2

4s + 1

G4(s) =2e3s

s + 2


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