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7/26/2019 Aula3_funcoes

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FUNES

O conceito de funo um dos mais importantes em toda a matemtica.O conceito bsico de funo o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e

algum tipo de associao entre eles, que faa corresponder a todoelemento doprimeiro conjunto um nicoelemento do segundo, ocorre uma funo.

O uso de funes pode ser encontrado em diversos assuntos. Porexemplo, na tabela de preos de uma loja, a cada produto corresponde umdeterminado preo. Outro exemplo seria o preo a ser pago numa conta de luz,que depende da quantidade de energia consumida.

Observe, por exemplo, o diagrama das relaes abaixo:

A relao acima no uma funo, pois existe o elemento 1no conjuntoA, que no est associado a nenhum elemento do conjunto B.

A relao acima tambm no uma funo, pois existe o elemento 4noconjunto A, que est associado a mais de um elemento do conjunto B.

Agora preste ateno no prximo exemplo:


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A relao acima uma funo, pois todo elemento do conjunto A, estassociado a somente umelemento do conjunto B.

DOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO:

O domniode uma funo sempreo prprio conjunto de partida, ouseja, D=A. Se um elemento x A estiver associado a um elemento y B,dizemos que y a imagemde x(indica-se y=f(x) e l-se y igual a fde x).

Exemplo: se f uma funo de IN em IN (isto significa que o domnio eo contradomnio so os nmeros naturais) definida por y=x+2. Ento temosque: A imagem de 1 atravs de f 3, ou seja, f(1)=1+2=3; A imagem de 2 atravs de f 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de xatravs de f x+2, ou seja: f(x)=x+2.Numa funo f de A em B, os elementos de B que so imagens dos

elementos de Aatravs da aplicao de fformam o conjunto imagemde f.

Com base nos diagramas acima, conclumos que existem 2condies parauma relao fseja uma funo:

De um modo geral, dados dois conjuntos Ae B, e uma relao entre eles,dizemos que essa relao uma funo de A em Bse e somente se, paratodo x Aexiste um nico y Bde modo que x se relacione com y.

1)O domnio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja,todo elemento de A ponto de partida de flecha. Se tivermos um elementode Ado qual no parta flecha, a relao no funo.


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Observaes: Como x e y tm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o

nome de variveis. A varivel x chamada varivel independente e a varivel y, varivel

dependente, pois para obter o valor de ydependemos de um valor de x. Uma funo f fica definida quando so dados seu domnio (conjunto A),

seu contradomnio (conjunto B) e a lei de associao y=f(x).

EXERCCIOS RESOLVIDOS:

1) Considere a funo f: AB representada pelo diagrama a seguir:

Determine:a)

o domnio (D) de f;b)

f(1), f(-3), f(3) e f(2);

c)

o conjunto imagem (Im) de f;d)

a lei de associo

Resoluo:a)

O domnio igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A.b)

f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4.

2) De cada elemento de A deve partir uma nica flecha. Se de umelemento de Apartir mais de uma flecha, a relao no funo.


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c) O conjunto imagem formado por todas imagens dos

elementos do domnio, portanto: Im = {1,4,9}.d)

Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.

2)

Dada a funo f: IR

IR (ou seja, o domnio e a contradomnio so osnmeros reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:a)

f(2), f(3) e f(0);b) o valor de xcuja imagem vale 2.

Resoluo:a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0

f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

b)

Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equaof(x)=2, ou seja, x2-5x+6=2. Utilizando a frmula de Bhaskaraencontramos as razes 1 e 4. Portanto os valores de xque tm imagem 2so 1 e 4.

OBTENO DO DOMNIO DE UMA FUNO:

O domnio o subconjunto de IR no qual todas as operaes indicadas emy=f(x) so possveis.Vamos ver alguns exemplos:

1)(condio2seja,ou,02

terdevemosentoraiz,dadentroest2-xcomo:numeradoroprimeiroanalisarVamos

3

2)()3

}1/{

:Ento.1seja,ou,01Portantozero).pordivisoexisteno(poisnuloserpodernoeler,denominado1Como

1

5)()2

}2/{

ento,,2seja,ou,042seIRempossvels42Como

42)()1

=

=

+

+

+=

=

=

xx

x

xxf

xIRxD

xxx

xxf

xIRxD

xxx

xxf


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Agora o denominador: como 3-x est dentro da raiz devemos ter 3-x 0, mas almdisso ele tambm est no denominador, portanto devemos ter 3-x 0. Juntando as duascondies devemos ter: 3-x > 0, ou seja, x < 3 (condio 2).

Resolvendo o sistema formado pelas condies 1 e 2 temos:

Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condies ao mesmo tempo.Portanto, D={x IR | 2 x < 3}.

CONSTRUO DO GRFICO CARTESIANO DE UMA FUNO

Para construir o grfico de uma funo f, basta atribuir valores dodomnio varivel x e, usando a sentena matemtica que define a funo,calcular os correspondentes valores da varivel y. Por exemplo, vamosconstruir o grfico da funo definida por y=x/2. Escolhemos alguns valorespara o domnio. Por exemplo D={2,4,6,8}, e agora calculamos os respectivosvalores de y. Assim temos:

x=2y=2/2 = 1 Ento montamos a seguinte tabela:x=4y=4/2 = 2 x yx=6y=6/2 = 3 2 1x=8y=8/2 = 4 4 2

6 38 4

Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:


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O grfico da funo ser uma reta que passar pelos quatro pontosencontrados. Basta traar a reta, e o grfico estar construdo.

Obs: para desenhar o grfico de uma reta so necessrios apenas dois

pontos. No exemplo acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher doiselementos do domnio, encontrar suas imagens, e logo aps traar a reta quepassa por esses 2 pontos.

RAZES DE UMA FUNO

Dada uma funo y=f(x), os valores, os valores de x para os quaisf(x)=0 so chamados razesde uma funo. No grfico cartesiano da funo,as razes so abscissas dos pontos onde o grfico corta o eixo horizontal.

Observe o grfico abaixo:

No grfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0.

Portanto x1, x2 e x3so razes da funo.

PROPRIEDADES DE UMA FUNO

Essas so algumas propriedades que caracterizam uma funo f:AB:

a)

Funo sobrejetora: Dizemos que uma funo sobrejetora se, e somentese, o seu conjunto imagem for igual ao contradomnio, isto , se Im=B. Em

outras palavras, no pode sobrar elementos no conjunto B sem receberflechas.

b)

Funo Injetora:A funo injetora se elementos distintos do domniotiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos no podem ter a mesmaimagem. Portanto no pode haver nenhum elemento no conjunto B que


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receba duas flechas. Por exemplo, a funo f:IRIR definida porf(x)=3x injetora pois se x1x2ento 3x13x2, portanto f(x1)f(x2).

c)

Funo Bijetora: Uma funo bijetora quando ela sobrejetora e

injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a funo f: IR

IR definida pory=3x injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela tambm sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta funo bijetora.J a funo f: ININ definida por y=x+5 no sobrejetora, poisIm={5,6,7,8,...} e o contradomnio CD=IN, mas injetora, j que valoresdiferentes de xtm imagens distintas. Ento essa funo no bijetora.

Observe os diagramas abaixo:

Essa funo sobrejetora, pois no sobraelemento em B

Essa funo no injetora, pois existem doiselementos com mesma imagem

Essa funo no bijetora, pois no injetora

Essa funo injetora, pois elementos de B soflechados s uma vez.

Essa funo no sobrejetora, pois existemelementos sobrando em B

Essa funo no bijetora, pois no sobrejetora

Essa funo injetora, pois elementos de B soflechados s uma vez.

Essa funo sobrejetora, pois no existemelementos sobrando em B

A funo bijetora, pois injetora e sobrejetora

FUNO PAR E FUNO MPAR

Dada uma funo f: AB, dizemos que f par se, e somente se,f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simtricos devem possuir amesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo par:


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Por exemplo, a funo f: IRIR definida por f(x)=x2 uma funo par,pois f(x)=x2=(-x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa funo observando o

seu grfico:

Notamos, no grfico, que existe uma simetria em relao ao eixovertical. Elementos simtricos tm a mesma imagem. Os elementos 2 e 2,por exemplo, so simtricos e possuem a imagem 4.

Por outro lado, dada uma funo f: AB, dizemos que f mparse, esomente se, f(-x)=-f(x) para todo x A. Ou seja: valores simtricos possuemimagens simtricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo mpar:


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Por exemplo, a funo f: IR IR definida por f(x)=x3 uma funo

mpar, pois f(-x)=(-x)3

=-x3

=-f(x). Podemos notar que a funo mparobservando o seu grfico:

Notamos, no grfico, que existe uma simetria em relao a origem 0.Elementos simtricos tm imagens simtricas. Os elementos 1 e 1, porexemplo, so simtricos e possuem imagens 1 e 1 (que tambm sosimtricas).

Obs: Uma funo que no par nem mpar chamadafuno sem paridade.

EXERCCIO RESOLVIDO:

1)

Classifique as funes abaixo em pares, mpares ou sem paridade:a)

f(x)=2xf(-x)= 2(-x) = -2x f(-x) = -f(x), portanto f mpar.

b) f(x)=x2-1f(-x)= (-x)2-1 = x2-1f(x)=f(-x), portanto f par.

c) f(x)=x2-5x+6f(-x)= (-x)2-5(-x)+6 = x2+5x+6Como f(x) f(-x), ento f no par.Temos tambm que f(x) f(-x), logo f no mpar.Por no ser par nem mpar, conclumos que f funo sem paridade.


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FUNO CRESCENTE E FUNO DECRESCENTE

Dada uma funo f: AB, dizemos que f crescente em algumconjunto A A, se, e somente se, para quaisquer x1A e x2A, comx1-x2+1 => f(x1)>f(x2). Ou seja: quandoos valores do domnio crescem, suas correspondentes imagens decrescem.

Esse um exemplo de funo crescente. Podemosnotar no grfico que medida que os valores de xvo aumentando, suas imagens tambm voaumentando.

Esse um exemplo de funo decrescente.Podemos notar no grfico que medida que osvalores de x vo aumentando, suas imagens vodiminuindo.

FUNO COMPOSTA


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Vamos analisar um exemplo para entender o que uma funocomposta.

Consideremos os conjuntos A={-2,-1,0,1,2}, B={-2,1,4,7,10} e

C={3,0,15,48,99}, e as funes f:A

B definida por f(x)=3x+4, e g:B

Cdefinida por g(y)=y2-1.

Como nos mostra o diagrama acima, para todo x A temos um nico yB tal que y=3x+4, e para todo y B existe um nico z C tal que z=y2-1,ento conclumos que existe uma funo hde Aem C, definida por h(x)=z ouh(x)=9x2+24x+15, pois:

h(x)=z h(x)= y2-1E sendo y=3x+4, ento h(x)=(3x+4)2-1 h(x)= 9x2+24x+15.A funo h(x) chamada funo composta de g com f. Podemos

indic-la porg o f

(lemos g

composta comf) ou g[f(x)] (lemos

gde

fdex). Vamos ver alguns exerccios para entender melhor a idia de funo

composta.

EXERCCIOS RESOLVIDOS:

1) Dadas as funes f(x)=x2-1 e g(x)=2x, calcule f[g(x)] e g[f(x)].Resoluo:f[g(x)] = f(2x) = (2x)2-1 = 4x2-1

g[f(x)] = g(x2-1) = 2(x2-1) = 2x2-2

2)

Dadas as funes f(x)=5x e f[g(x)]=3x+2, calcule g(x).Resoluo:Como f(x)=5x, ento f[g(x)]= 5.g(x).Porm, f[g(x)]=3x+2; logo 5.g(x)=3x+2, e da g(x)=(3x+2)/5


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3) Dadas as funes f(x)=x2+1 e g(x)=3x-4, determine f[g(3)].Resoluo: g(3)=3.3-4=5f[g(3)]= f(5)= 52+1 = 25+1= 26.

FUNO INVERSA

Consideremos os conjuntos A={0,2,4,6,8} e B={1,3,5,7,9} e a funof:AB definida por y=x+1. A funo f est representada no diagramaabaixo:

A funo f uma funo bijetora. A cada elemento x de A estassociado um nico elemento yde B, de modo que y=x+1.

Porm, como f bijetora, a cada elemento y de B est associado umnico elementoxde A, de modo que x=y-1; portanto temos uma outra funog:BA, de modo que x=y-1 ou g(y)=y-1. Essa funo est representada nodiagrama abaixo:

Pelo que acabamos de ver, a funo fleva xat yenquanto a funo gleva y at x. A funo g:BA recebe o nome de funo inversa de f e indicada por f-1.

O domnio de f o conjunto imagem de g, e o conjunto imagem de f odomnio de g. Quando queremos, a partir da sentena y=f(x), obter a sentenade f-1(x), devemos dar os seguintes passos:

1) Isolamos xna sentena y=f(x)2) Pelo fato de ser usual a letra x como smbolo da varivel

independente, trocamos xpor ye ypor x.

Por exemplo, para obter a funo inversa de f:IRIR definida pory=2x+1, devemos:


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1) isolar xem y=2x+1. Assim y=2x+1 y-1=2x x=(y-1)/2

2) trocar xpor yeypor x: y=(x-1)/2.

Portanto a funo inversa de f: f-1

(x)=(x-1)/2.

Observao: Para que uma funo fadmita a inversa f-1 necessrio queela seja bijetora. Se fno for bijetora, ela no possuir inversa.

EXERCCIO RESOLVIDO:

.

2

1

11

21

)1(1

)1(21)1()1(devalorO

.1

21)(sejaou,

1

21:obtemospor x,yeyporxTrocando

1

21

1

)21()21()1(

21.12.1)2(2

1:Ento

igualdadenessaisolar xdevemose21queSabemos

:Resoluo

).1(calcule,)2(,2

1)(funoaDada)1

11

1

1

=

+

=

+=

+=

+=

+=

+=+=

==+=++

=

+

=

+

=

ff

x

xxf

x

xy

y

yx

y

yxyyx

yxxyxyxyxxyx

xy

xxy

fxx

xxf


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Esse documento foi criado por Juliano Zambom Niederauer.Os grficos e diagramas utilizados no documento foram retirados do livro:Matemtica Volume nico. FACCHINI. Ed.Saraiva.

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