aula1e2completo

CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA BANCO DO BRASIL PROF. RONILSON MENDES

1

1-ÍNDICE

1- DICAS DE MATEMÁTICA BÁSICAS 1

2-PORCENTAGEM 5

3-JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 18

3.1-JUROS SIMPLES 18

3.2- JUROS COMPOSTO 23

2 – DICAS DE MATEMÁTICA BÁSICAS Serão expostas técnicas de resolução rápidas de situações que surgem na resolução dos cálculos financeiros.

Caso você não tenha dificuldade na parte básica é

só partir direto para o próximo capítulo.

MMC

1 – Determine o mmc:

a) 12, 15

MMC(12,15)=60

b) 3, 7, 11

Os números acima são primos entre se. Logo o mmc entre eles é igual ao produto entre os mesmos.

mmc(3,7,11) = 3.7.11= 231

Note: Os números são primos entre se quando o único

divisor comum, tomados dois a dois é o número 1. No

exemplo acima o divisor comum de 3 e 7 ou de 3 e 11 ou de 7 e 11 é 1.

c) 10, 30, 240

Se numa sequência de número o maior é divisível

pelos demais, então o mmc é o maior.

mmc(10, 30, 240) = 240( pois 240 é divisível por 10 e 30 ao mesmo tempo)

FRAÇÕES

2-Determine o valor das frações

a) 5

32

Solução:

5

13

5

35.2

5

32

Dica: Multiplicamos o número inteiro pelo denominador da

fração e em seguida somamos o resultado pelo numerador da fração.

b) 5

23

Solução:

5

13

5

25.3

5

23

Dica: Multiplicamos o número inteiro pelo denominador da fração e em seguida subtraímos o resultado pelo numerador

da fração.

c) 11

4

6

3

5

2

Solução:

mmc(5,6,11) =5.6.11=330 (pois os números são primos

entre se).

330

4.30

330

3.55

330

2.66

11

4

6

3

5

2

Dica:Se um valor é o resultado do produto entre três

números, logo ao dividirmos esse produto por um desses números o resultado será o produto dos outros dois, ou seja,

se 330 = 5x6x11, implica 330:11 = 30(5x6).

616

417

330

120

330

165

30

132

3

d) 40

4

120

3

10

2

Solução:

mmc(10,120,40)=120( pois o maior dos valores é divisível

pelos demais)

40

13

120

39

120

12

120

3

120

24

120

4.3

120

3.1

120

2.12

40

4

120

3

10

2

e)

7

6:

5

2

Solução:

15

7

2:30

2:14

7

6:

5

2

Dica: no caso da divisão podemos sempre multiplicar como

no exemplo acima o que economiza um passo, em relação ao

método tradicional.

12, 15 2

6, 15 2

3, 15 3

1, 5 5

1, 1 60


2

NÚMEROS DECIMAIS

3 – Resolva

a) 0,11 x 2,5

Solução:

Multiplica-se os números como se inteiro eles fossem, logo em seguida conta-se as casas decimais após a vírgula de

cada número e soma-se. O valor obtido corresponde ao número de casas que devemos deslocar no resultado do

produto.

11 x 25 = 275

Como a soma do número de casas é 2 + 1= 3, devemos correr três casas para a esquerda.

0,275

Dica de multiplicação por 11:

a)Número com dois algarismos

11 x 25 = 2__5

Separa-se o 2 e o 5. No espaço vazio do meio coloca-se 7,

que é o resultado da soma de 2 mais 5.

Daí 11 x 25 = 275

b)Número com três algarismos

11 x 235 = 2__ __5

O resultado obtido terá nos extremos os mesmos números do

multiplicando. Os dos espaços acima serão preenchidos da seguinte forma. O primeiro será 2 + 3 = 5 e o segundo será 3

+ 5 = 8, daí o resultado fica:

2585

b) 0,011 x 4,45=

Solução:

De modo semelhante temos:

11 x 445 = 4.895

O número de casas para a esquerda é: 3 + 2 = 5

0,04895

c) 0,54:9=

Solução:

Dica: Divide-se 54 por 9 que dá 6.

Como o número da esquerda tem 2 casas após a vírgula, logo descola-se o resultado da divisão de duas casas para

esquerda.

0,54

d) 64:0,008=

Solução:

64 dividido por 8 é igual a 8.

Dica:Como o número da direita tem três casas após a vírgula, deslocamos o resultado da divisão de três casas para

a direita.

8000

e) 133,1 : 0,011

Solução:

Dica: Dividindo-se 1331 por 11 encontramos 121. Como os dois números possuem vírgula, fazemos a diferença. O valor

encontrado corresponde ao número de casas de que devemos deslocar no resultado. Para a direita se o decimal da direita

tem mais casas e para a esquerda em caso contrário.

3-1 = 2

1,21( duas casas para a esquerda)

f) 0,012:0,12=

Solução:

12:12 = 1

3- 2 = 1

0,1( uma da casa para a esquerda)

g) 2)13,0(

Solução:

Dica: O valor de 13 ao quadrado é igual a 169.

A base da potência tem 2 casas após a vírgula e o expoente

vale 2.

Fazendo 2 x 2 = 4( será o número de casas após a vírgula que terá que ser deslocado o resultado)

O,0169

h) 3)011,0(

Solução:

O valor de 11 ao cubo é igual a 1331.

A base da potência tem 3 casas após a vírgula e o expoente

vale 3.

Fazendo 3 x 3 = 9( será o número de casas após a vírgula que terá que ter o resultado)

O,000001331

i) 36,0

Solução:

Dica: O valor da raiz quadrada de 36 é 6.

O número de casas após a vírgula é 2.

O índice é 2.

Dividindo 2 por 2, encontramos 1, que o número de casas do qual deveremos deslocar o resultado.

0,6

j) 000225,0 =

Solução:

Dica: O valor da raiz quadrada de 225 é 15.

O número de casas após a vírgula é 6.

O índice é 2.

Dividindo 6 por 2, encontramos 3, que o número de casas do

qual deveremos deslocar o resultado.

0,015

DÍZIMA PERIÓDICA

São números decimais infinitos.

- Período simples

Apenas um número se repete.


3

Ex.:

1)0,222... = 2/9

2) 0,444... = 4/9

3) 0,555... = 5/9

Dica: é sempre esse número sobre 9

- período composto: quando dois ou mais números se repetem.

1) 0,141414...=99

14

2) 0,757575..=99

75

0,247247247 = 999

247

Dica: é sempre o algarismo formado com os números que se

repetem sobre tantos novos quanto forem esses números.

- Período Misto

Quando além dos números que se repetem existem números após a vírgula que não repetem.

Ex.

0,2444

período (n.º que se repete)

não periódico (não se repete)

Dica: no numerador teremos o não período seguido de

período menos o não período e no denominador teremos

tantos novos quantos forem os algarismos do não período.

1)90

22

90

224...244,0

2) 0,5131313...=990

508

990

5513

3) 0,21444...900

21214 =

900

193

EQUAÇÕES DO 2 GRAU - DICAS

Casos Exemplos Soluções rápida

ax2 + bx + c = 0

Para a = 1 x2–5x+6=0

“Quais são os dois números que somados

apresentam como resultado 5 e

multiplicados apresenta

como resultado 6”?

Resposta: x‟ = 2 e x”=3, pois 2 + 3 = 5 e

2.3 =6

Para a ≠ 1 2x2 – 16X +

30 =0

Nesse caso é possível dividirmos todos os

termos por 2. Aí fica:

2x2 – 16X + 30 =0 :(2) x2 – 8X + 15 =0

usando-se a soma e o produto vem:

Quais os números cuja soma é 8 e curso

produto é 15, logo x‟ = 3 e x” = 5

Para a ≠ 1 14x2 – 11X +

2 =0

Nesse caso não é possível dividirmos

todos os números por 14.

1º passo: multiplica-se

14 por 2, daí fica: x2 – 11X + 28 =0

2º passo: usando-se soma e produto

encontramos: x‟ = 4 e x” =7

3º passo: Dividi-se o 4 e o 7 por 14

encontramos a resposta final.

x‟ = 4/14 = 2/7 x” = 7/14 = ½

ax2 + c = 0 Nesse caso

só terá solução se

os sinais de a e c forem

diferentes.

Para a = 1 x2 – 25 =0

“Qual é a raiz de 25”? Resposta 5.

Nesse caso uma resposta será 5 e a

outra será -5.

Para a ≠ 1

3x2 – 12 = 0

Dividi-se o 12 por 3

que dá 4. X2 – 4 = 0

A raiz de 4 é 2, logo fica:

x‟ = - 2 e x” = 2 x‟ = -5 e x” = 5

ax2 + bx =

0

Para a = 1

X2 – 5x = 0

Nesse caso uma das

raízes sempre será zero e a outra resposta

é o valor do meio, ou seja 5, que será

positivo se a e b tiverem sinais

contrários e negativo se tiverem sinais iguais.

Daí: x‟ = 0 e x” = 5

QUESTÕES PROPOSTAS – COM GABARITO COMENTADO

1- Sejam os números a = 0,0016, b= 0016,0 e c =

(0,0016)2, em ordem crescente fica:

a) a<b<a

b) b<a<c

c) b<c<a


4

d) c<a<b

e) c<b<a

2 – X = 5

73 e Y =

7

32 logo X + Y vale:

a) 7

123 b)

5

123 c)

35

209 d)

12

209

e) 35

12

3 –O valor do produto 0,000123 x 0,0011 é igual a

0,0000001353.

4- Ao dividirmos 7,29 por 0,027 encontramos como resposta:

a) 27

b) 0,27

c) 270

d) 2,7

e) 0,027

5-FCC – 2010. Simplificando a expressão

0004,0

)06,0()5,0( 22 obtém-se 12,32.

6-(FGV-2006) -Quanto vale a divisão 10

9:

5

6?

a) 75

2

b) 4

3

c) 1

d) 25

27

7- (FGV-2006) Quanto vale a soma: 6

1

3

1

2

1

a) 1

b) 1/8

c) 1/11

d) 3/11

e) 1/36

8. Dentre os números abaixo, qual representa o maior

número decimal.

a) 0,432

b) 0,431

c) 0,4301

d) 0,51

9 - Dentre os números abaixo qual é o que representa o menor número negativo.

a) – 0,12340

b) – 0,1245

c) – 0,12487

d) – 0,5

e) – 0,6

10 -Resolva a expressão abaixo:

...444,0

...777,0...555,0 x

GABARITO COMENTADO

Questão 1

Solução:

a = 0,0016

b= 0016,0 = 0,04

c= (0,0016)2= 0,00000256

“ O maior número decimal é aquele que possui o maior número após a vírgula”

Logo o maior número é o b e o menor é o c.

A sequência em ordem crescente é c < a < b.

Dica: Essa questão é muito solicitada em provas e a resposta

é sempre a mesma: o maior valor é o que possui o radical e o menor valor é o que possui o expoente.

Resposta: letra d

QUSTÃO 2

Solução:

X=5

73 e Y =

7

32

X + Y

5

73 +

7

32

7

11

5

22

7

37.2

5

75.3

35)7,5( mmc

=35

11.5

35

22.7 =

=35

209

35

55

35

154

Resposta: letra c

QUESTÃO 3

Solução:

123 x 11 = 1353

Nessa questão teremos 10 casas após a vírgula, como 1353

só tem 4 devemos completar com 6 zeros.

0,0000001353.

Resposta: certa


5

QUESTÃO 4

Solução:

027,0

29,7

729 dividido por 27 é 27.

No denominador temos duas casas após a vírgula e no numerador temos 3 casas. Fazendo a diferença 3 – 2 = 1,

logo no valor de 27 devemos deslocar uma casa para a direita.

270

Resposta; letra c

QUESTÃO 5

Solução:

0004,0

)06,0()5,0( 22 =

02,0

0036,025,0

= 32,1202,0

2464,0

02,0

0036,025,0

Resposta: certa.

QUESTÃO 6

Solução:

É só fazer o produto em diagonal.

10

9:

5

6

3

4

15:45

15:60

9.5

10.6

Resposta: letra e.

QUESTÃO 7

Solução

O mmc entre 2, 3 e 6 é: 6.

16

6

6

1

6

1.2

6

1.3

Resposta: letra a.

QUESTÃO 8

Solução,

Se o número decimal é positivo o maior será o que tiver o

maior algarismo significa após a vírgula.

Resposta = letra d.

QUSTÃO 9

Dica: o menor é o que tiver o maior algarismo significativo pós a virgula.

Resposta = letra e.

QUESTÃO 10

Solução:

34

12

9

49

12

9

49

7

9

5

...444,0

...777,0...555,0

x

x

3 - PORCENTAGEM Na matemática porcentagem ou percentagem é um

dos assuntos mais importantes pois suas técnicas são utilizadas nos mais variados problemas de Matemática.

Na realidade porcentagem é uma aplicação da regra

de três simples.

Neste trabalho fugindo do tradicionalismo, empregamos técnicas desenvolvidas pelo autor como outras

que já são de domínio público.

Elementos do cálculo percentual.

Taxa – É o valor que representa a quantidade dada que é tomada em cada 100 (80% = 80 a cada 100)

Porcentagem – É o valor que representa a quantidade

tomada de outra, proporcionalmente a taxa.

Ex: 20 é uma porcentagem de 20% sobre 100.

Principal – É o valor sobre o qual incide uma determinada taxa.

Exemplo:

20% de 1000 é 200

20% - taxa

200 - porcentagem

1000- principal.

Não é necessário fórmulas para resolvermos

problemas que envolvam porcentagem, visto que podem ser resolvidos pela aplicação de regra de três simples. No entanto

para os problemas mais comuns em concursos, mostraremos dicas para uma resolução rápida.

Exercícios

1) Um vendedor ganha 6% de comissão nos negócios que

faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00?

Solução:

O valor total da venda corresponde a 100%.

100% 3.600,00

6% X

100X = 6 x 3.600,00

(cortando dois zeros em ambos os lados fica):

X = 3 x 36 = 216,00

2)Em uma escola 13% dos alunos são meninas. Quantos

alunos possui o colégio, já que as meninas totalizam 364?


6

Solução:

O valor total de alunos que possui a escola não foi dado, logo 100% corresponde a x.

100% x

13% 364

13x=100.364

X= 280013

36400

3)O salário de Januária é R$ 1.200,00 ao receber um aumento ela passará a ganhar R$ 1560,00. De quanto foi

esse aumento?

Solução:

O salário atual é R$ 1.200,00 que corresponde a 100% e o

salário futuro está aumentado em R$ 360,00(1560-1200=360), logo:

100% 1200

X 360

1200x=100.360

%301200

36000x

OPERAÇÕES COM MERCADORIAS

No dia a dia fazemos negócios. Devido as mais diversas situações podemos ter lucro ou prejuízo.

Acontece que nas provas de concursos quando se

fala em lucro ou prejuízo o candidato deve observar que logo em seguida aparece expressões como estas: sobre a venda,

sobre a compra.

a)Lucro sobre a compra

a.1- Usando a fórmula

valor de venda(V) = valor de compra(C) + lucro(L)

V = C + L

Exemplo:

João comprou uma geladeira por R$ 800,00 e vendeu com um lucro de 15% sobre a compra. Qual foi o valor de venda?

C = 800

L = 15% . C = 0,15 x 800 = 120,00

V = 800 + 120 = 920,00

a.2 – Pela regra de três

Agora a mesma questão usando regra de três.

Como o lucro é sobre a compra logo esse valor corresponde a 100% e o valor de venda será 115%(100 + 15).

100% 800

115% x

100x = 115 . 800

920100

92000x

b) Lucro sobre a venda

b.1-usando a fórmula

A fórmula é a mesma.

Exemplo:

Vitória vendeu uma geladeira por R$ 600,00 com lucro sobre a venda de 25%. Quanto essa geladeira custou?

V = 600

L = 25%.600 = 0,25 . 600 = 150

V = C + L

600 = C + 150

C = 600 – 150 = 450

b.2-usando a fórmula

Agora a mesma questão usando regra de três.

Como o lucro é sobre a venda, logo o valor de venda

é 100%. E o valor de compra será de 75%(100 – 25).

600 100%

C 75%

100x = 600 . 75

450100

45000x

c) Prejuízo sobre a compra

Valor de venda(V) = valor de compra(C) – prejuízo(P)

V = C - P

Exemplo:

Silas Cow comprou uma geladeira e vendeu por R$ 1200,00 com prejuízo de 25% sobre a compra. Quanto custou essa

geladeira?

c.1 – usando a fórmula.

V = 1200,00

C ?

P = 25%C = 0,25C

V = C – P

1200,00 = C – 0,25C

0,75C = 1200

C = 600.175,0

1200

c.2- usando regra de três

Como o prejuízo é sobre a compra, o valor da compra corresponde a 100% e valor de venda será 75%(100-25),

logo:

C 100%

1200 75%

75C = 1200. 100

C= 600.175

100.1200

d) Prejuízo sobre a venda

V = C - P

Exemplo:

Sir Pherou vendeu por R$9.000,00 um carro que ele havia

comprado. Na venda ele teve um prejuízo de 10% sobre a

venda, por quanto ele comprou o carro?


7

d.1 – pela fórmula

V = 9000,00

C ?

P =10% . 9000 = 900

V = C – P

9000 = C – 900

C = 9000 + 900

C = 9900,00

d.2 – usando regra de três

Como o prejuízo é sobre a venda o valor de venda corresponde a 100%. O valor da compra é 90%(100+10),

logo:

9000 100%

C 110%

100C = 9000 . 110

C= 9900100

110.9000

Operações com taxa percentual.

São operações onde aparecem o símbolo % e que devemos estar atentos na hora de resolvermos.

Exercícios

1) %9 + %25

Solução:

%8010010

8

10

5

10

3

100

25

100

9

x

Dica:Some os números como se eles não fossem

percentagem. Em seguida é só multiplicar o resultado por 10.

%9 + %25 = 3 + 5 = 8 x 10 = 80%

2) (30%)2 + (20%)2

Solução:

%13100

13

10000

1300

10000

400

10000

900

100

20

100

3022

Dica:Eleva-se os números ao quadrado como se eles não

fossem percentuais e logo em seguida divide-se o resultado por 100.

(30%)2 + (20%)2 = 900 + 400 = 1300 : 100 = 13%

3) (12%) . 9%

08,110000

108

100

9.

100

12 %

Transformação para taxa percentual.

Consiste em transformarmos um número inteiro,

decimal ou fracionário em taxa percentual.

E só multiplicarmos o nº dado por 100.

Exemplos:

1) 8

5

Solução:

8

5. 100 = %5,62

8

500

8

1005

x

2) 4

3

Solução:

4

3. 100 = %7525.3

4) 0,75

0,75 . 100 = 75%

5) 0,222...

0,222... x 100 = 22,2% ( valor aproximado)

Taxa sobre a taxas

É quando aplicamos uma taxa sobre um determinado valor logo após ele ter recebido a incidência de outra taxa

Geralmente temos:

1- Dois aumentos seguidos ou mais

2- Dois descontos seguidos ou mais.

3- Um aumento e um desconto

4- Um desconto e um aumento

a)aumento sobre aumento

Exemplos:

1)Uma mercadoria recebe um aumento de 20% e logo após,

um outro de 20%. O aumento real será de:

Solução: lendo a questão de maneira rápida, muitas pessoas são levadas a responder que a resposta é 40%.

Quando a pergunta é de múltipla escolha geralmente 40%

seria uma das alternativas.

Método tradicional

Primeiro aumento

Como não sabemos o valor da mercadoria, dizemos que ela vale inicialmente 100.

100 100%

X 120%

(aumento de 20%)

100X = 12000

X = 120,00

Segundo aumento

Agora o valor inicial da mercadoria é 120 que corresponde a 100%


8

120 100%

X 120%

(aumento de 20%)

100X = 14400

X = 144,00

Regra prática do Ronilson

1º passo - Soma-se os dois números como se eles não fossem percentuais.

20 + 20 = 40

2º passo- faz se o produto desses mesmos números

deslocados de uma casa para a esquerda.

2,0 x 2,0 = 4

3º passo – Soma se os valores encontrados nos passos anteriores.

40 + 4 = 44%( resposta rápida)

Obs: Este procedimento auxilia muitos cálculos na

matemática financeira deixando os cálculos bem mais rápidos a nível de concursos.

2) Um aumento de 25% seguindo de um outro de 40%

corresponde a um aumento real de:

Solução rápida:

25 + 40 + 2,5 . 4,0 = 75%

3) Dois aumentos de 6% em meses diferentes correspondem

a um aumento real de:

Solução rápida:

6 + 6 + 0,6 . 0,6 = 12,36%

4) Aumentar o preço de um produto em 25% e em seguida aumentar de 0,4%¨é o mesmo que aumentar esse produto

em:

Solução rápida:

25 + 0,4 + 2,5 . 0,04 = 25,5%

5) Em um ano a população de uma cidade aumentou 100% e no outro aumentou de 20%. O aumento real nos dois anos

foi de:

Solução rápida:

100 + 20 + 10,0 . 2,0 = 140%

6) Em três anos seguidos as ações de uma empresa aumentaram de 10%. O amento real ao final dos três anos foi

de:

Solução rápida:

O macete do Ronilson só pode ser usado de dois em dois períodos. Quando tivermos três períodos devemos fazer

primeiramente para os dois primeiros e logo em seguida pegar o acumulado e fazer com o terceiro período.

- Dois primeiros anos

10 + 10 1,0 . 1,0 = 21% (acumulado em dois anos)

- Terceiro ano

21 + 10 + 2,1 . 1,0 = 33,1%

7) Em um mês o salário dos funcionário de uma empresa

foram aumentados em 15,7% e no mês seguinte outro

aumento 14,3%. É correto afirmar que o aumento real ao final dos dois meses foi superior a 30%.

Resposta: certo

Obs: é o tipo de questão que geralmente é cobrado em

provas do CESPE e que não precisa de cálculo, uma vez que como já foi constatada a reposta é sempre superior á simples

soma aritmética dos valores.

3) Aumento e desconto

1)O salário de Paulo aumentou 30% . Devido a problemas financeiros pelo qual vem passando a sua empresa a única

solução encontrada foi reduzir o salário de todos em 20% sobre o valor já aumentado. Qual foi o aumento real do seu

salário?

Solução rápida:

30 – 20 + 3,0 . ( -2,0) = 10 – 6 = 4%

O sinal negativo do 20 é por que é desconto.

2) Em dois meses consecutivos as ações da Bolsa cairão de 5%. O valor da desvalorização total foi de:

Solução rápida:

- 5 – 5 + (-0,5) .(-0,5) = - 10 + 0,25 = -9,75%

3)Em um mês o salário de Joca foi reduzido em 20% e no

outro ele foi aumentado em 30%. O aumento real foi de:

Solução rápida:

- 20 + 30 + (-2,0) . 3,0 = 10 -6 = 4%

4) Marta tem duas opções. A primeira seria receber um

desconto de 20% sobre o valor da mercadoria. A segunda seria receber um dois descontos, um após o outro, de 10%.

É correto afirmar que a segunda opção seria a mais vantajosa?

Resposta: errado, pois dois desconto de 10% daria um

desconto real de 19%

- 10 – 10 + (-1,0) . (-1,0) = -19%(menor que 20% de desconto)

5)três aumentos consecutivos de 20%, corresponde a um aumento real de:

Primeiro passo:

Calcular o aumento real para os dois primeiros meses

20 + 20 + 2,0. 2,0 = 44%( valor acumulado para os dois

primeiros meses)

44 + 20 + 4,4. 2,0 = 72,8%

Mais problemas com porcentagem.

1 - Na compra de uma mesma calculadora, André pagou 10% a menos que Maura e Carla, 50% a mais que André. Em

relação a Maura o preço pago por Carla foi:

Solução:

A primeira pergunta a ser feita quem foi primeiro na loja?

Resposta: Maura, pois sabemos que André pagou 10% a menos que Maura, logo ela será a referência.

Maura= 100

André = 90 ( 10% a menos que André)

Carla = 135( 90 + 50% .90)

Logo em relação a Maura Carla pagou 35% a mais.


9

2 – 20% da população de certo pais reside na capital. Se a população da capital aumentar 50% e a do pais apenas 20%,

quanto passará a ser a taxa de pessoas desse país que residem na capital?

Solução:

País = 100

Inicialmente

Capital = 20 (20% de 100)

País = 120 (100 + 20% de 100)

Finalmente

Capital = 30(20 + 50%.10)

Agora a população da capital é 30 e a população do país é

120. Para sabermos que porcentagem 30 é de 120 é dividirmos o menor pelo maior e o resultado multiplicarmos

por 100.

Resposta = 4

1

3:120

3:30 =

4

1

= 4

1. 100 = 25%

3 – Uma loja vende seus produtos em duas prestações iguais,

sem juros, sendo a primeira no ato da compra e a segunda para 30 dias. Se a mesma concede um desconto de 30% para

compras à vista, qual é a taxa de juros cobrada por essa loja?

Solução:

Não é preciso conhecimento de juros para que esse problema seja resolvido.

Esse problema é típico de concursos e pode ser resolvido

aplicando a dica de Ronilson

D

D

50

100( D = DESCONTO DA LOJA)

R = 3050

30100

=

20

3000= 150%

4 – (FUVEST)Um comerciante deu um desconto de 20%

sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim consegui um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela

mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro em porcentagem, seria:

a) 40%

b) 45%

c) 50%

d) 55%

e) 60%

Solução:

Para encontrarmos o lucro que essa empresa teria sem o desconto, devemos aplicar duas regras de três simples,

o que demandaria um certo raciocínio e tempo.

Abaixo, essa questão é resolvida pela Dica do Ronilson!!!

LB =d100

)L +d(100 L

Onde:

LB - lucro bruto

d – taxa de desconto

LL – lucro líquido

20100

)2020(100

=

80

40.100= 50

Resposta = 50%( letra C)

5 – O preço de uma mercadoria aumentou 600%. Se essa

mercadoria custava 120 o seu novo valor será:

Solução: Se uma mercadoria aumenta 100% o seu valor dobra(será multiplicado por 2). Se aumentar 200% o seu

valor triplica( será multiplicado por 3) e assim por diante. Logo se aumentar 600% o seu valor setuplica, ou seja será

multiplicado por 7.

Desta forma: 120 . 7 = 840,00

6- Paula ganha R$ 2.000,00 e Carlota ganha R$ 2.400,00 então responda:

a) O salário de Carlota supera o de Paula em:

solução:

Como o salário de Paula é a referência, logo ele corresponde

a 100%. Carlota ganha 400 (2400 – 2000) a mais que Paula, desta forma:

2000 100%

400 x

2000x = 400 . 100

X = %202000

100.400

b) O Salário de Carlota é equivalente a que porcentagem do

salário de Paula.

solução:

2000 100%

2400 x

2000x = 2400 . 100

X = %1202000

100.2400

7 – Em 2005 o número de correntista de um banco reduziu

em 20% a em relação a 2004. Para que em 2006 esse banco

venha ter o mesmo número de correntista de 2004 é necessário que haja, em relação a 2005 um aumento de:


10

solução:

Suponhamos que este banco tenha em 100 correntista em 2004. Como houve uma redução em 2005 de

20%, logo o número de correntista passou a ser 80.

Para que em 2006 o número volte a ser novamente 100, devemos observar que o referencial agora é o número

de correntista de 2005, ou seja, 80 é equivalente a 100%.

80 100%

100 x

80x = 100. 100

x= %12580

10000

Resposta=125 – 100 = 25%

SINÓPSE -PORCENTAGEM

Transformações com porcentagem

- De porcentagem para número: é só dividir por 100.

- De número para porcentagem: é só

multiplica por 100

Operações como

mercadoria

- Com lucro:

V = C + L

- Com prejuízo

V = C - P

Onde:

V – valor de venda, C – valor de

custo, L – lucro

P – prejuízo

Obs: é possível resolver essas questões com o auxílio de regra de

três simples, devendo-se notar que se o lucro ou o prejuízo é sobre a compra

o valor de compra será 100% e se for sobre a venda o valor de venda será

100%

Dica especial do Ronilson:

Taxas sobre taxas

Soma-se ou subtraí-se as taxas somando-se mais um valor x.

X é o resultado do produto dos dois valores deslocados de uma casa

decimal.

Duas prestações iguais

e sem juros

Foi visto que na prática isso não existe uma vez que o vendedor para

compras à vista sempre consegue um desconto D.

O valor dos juros que incidem sobre a

operação é dado pela regra:D

D

50

100,

D – taxa de desconto

Cálculo do lucro

bruto

É o tipo de situação em que é

perguntado para o candidato qual seria o lucro bruto de uma operação

que após ser dado um desconto mesmo assim apresenta um lucro

líquido:

A regra é: LB =d100

)L +d(100 L

Onde:

LB - lucro bruto

d – taxa de desconto

LL – lucro líquido

PROVAS COM COM GABARITO COMENTADO

1-(FGV) A fração 5/8 equivale a:

(A) 50%

(B) 54%

(C) 56%

(D) 60%

(E) 62,5%

2-(FGV) Qual é a porcentagem dos alunos dessa escola que são canhotos e usam óculos?

(A) 3%

(B) 5%

(C) 15%

(D) 20%

(E) 25%

3-(FGV) Qual é a porcentagem de canhotos entre os alunos

dessa escola que usam óculos?

(A) 3%

(B) 5%

(C) 15%

(D) 20%

(E) 25%

4-(CESGRANRIO – 2010) - Um jovem tinha um capital e

fez com ele um investimento diversificado. Aplicou 40% do capital em um fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de

Valores. A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmo período,

representou prejuízo de 10%. Com relação ao total investido nesse período, o jovem

a) teve lucro de 2%.

b) teve lucro de 20%.

c) não teve lucro e nem prejuízo.

d) teve prejuízo de 2%.

e) teve prejuízo de 20%.

5-CESGRANRIO – 2010 Uma empresa aérea que opera,

semanalmente, 60 voos entre o Brasil e os Estados Unidos, solicitou autorização para aumentar em 15% o número

semanal de voos entre os dois países. Se essa autorização for concedida, quantos voos semanais a referida empresa aérea

realizará entre o Brasil e os Estados Unidos?

a) 9

b) 15

c) 56

d) 69

e) 96

6-(CESGRANRIO – 2010) Uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 30% cada, passando a custar R$

392,00. Qual era, em reais, o preço dessa mercadoria antes dos descontos?

a) 600,00

b) 662,00

c) 700,00

d) 774,00

e) 800,00


11

7- (FUNIVERSA – 2010) Um comerciante coloca em promoção um produto de sua loja, dando-lhe desconto de

20%. O mesmo produto, antes da promoção, era comercializado com 30% de aumento sobre o preço de custo

(preço pago pelo comerciante ao adquirir esse produto). Avaliando essa iniciativa, é correto afirmar que o comerciante

obteve, na venda desse produto,

a) lucro de 4%.

b) prejuízo de 4%.

c) lucro de 8%.

d) prejuízo de 10%.

e) lucro de 10%.

8 - Um barco adquirido por R$ 5.000,00 foi vendido com 20% de lucro sobre o preço de venda. Por quanto foi vendido em

R$?

a) 6.000,00

b) 4.750,00

c) 6.250,00

d) 5.250,00

9 - Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por

R$ 50,00, e a seguir, vendi com 10% de prejuízo sobre o

preço de venda?

a)40,50

b)45,00

c)45,45

d)40, 45

10 - Um objeto comprado por R$ 1.800,00 foi vendido com

um lucro de 30% sobre o preço de compra . Qual o preço de venda do objeto?

a)2.040,00

b)2.340,00

c) 3.000,00

d) 4.000,00

11- FCC - 2004. Certo dia, do total de pessoas atendidas no

período da tarde

em quatro caixas de um banco, sabe-se que o

- caixa 1 atendeu a 30%,

- caixa 2 não atendeu a 79% e

- caixa 3 não atendeu a 75%

O número de pessoas atendidas pelo caixa 4 correspondeu a

que porcentagem do total?

a)21%

b) 22%

c) 23%

d) 24%

e) 25%

12 - FCC. O gráfico seguinte apresenta a variação d cotação do dólar no Brasil, no período de 7 a 14 de maio de

2004.

Segundo os dados indicados no gráfico, do dia 13 ao dia 14de

maio houve uma variação de – 1,34%. No dia 13 de maio, a

cotação do dólar, em reais era:

(A) 3,129

(B) 3,134

(C) 3,138

(D) 3,145

(E) 3,148

13 – (TTN) Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço de

venda, sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um:

a) Lucro de 5%

b) Prejuízo de 4%

c) Lucro de 4%

d) Prejuízo de 2%

e) Lucro de 2%

14 – (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$

20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de:

a) 38,00%

b) 40,00%

c) 28,00%

d) 51,80%

e) 25,45%

15– (CESPE) Um trabalhador gastava 30% do seu salário

com aluguel. Após certo período o seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto o seu salário reajustado em

500%. Então, a porcentagem do salário que ele passou a gastar com o aluguel foi:

a) 34%

b) 38%

c) 40%

d) 42%

e) 45%

16– (CESPE) As ações de uma certa empresa subiram 20%

ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao


12

mês em cada um dos dois meses seguintes. Com relação às variações sofridas por essas ações durante esses quatro

meses é correto afirmar:

a) o valor das ações permaneceram inalterado;

b) as ações desvalorizaram 7,84%

c) as ações valorizaram 7,84%

d) as ações desvalorizaram 8,48%

e) as valorizaram 8,48%

17– (CESPE) Uma empresa admitiu um funcionário no mês de Outubro deste ano(1996), sabendo-se que, já em Janeiro

de 1997, ele terá 25% de aumento de salário. A empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de Janeiro,

seja de R$ 1.500,00. assim a empresa admitiu-o com um salário X reais. Então, X satisfaz à condição:

a) X < 1.100,00

b) 1.100,00 X< 1.1700,00

c) 1.1700,00 X < 1.1900,00

d) 1.1900,00 X < 1.200,00

e) X 1.200,00

18– (CESPE) Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00,

desvaloriza-se 20% a cada ano. Após dois anos o proprietário

decide trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é 30% maior em relação ao valor

praticado dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, o proprietário deverá desembolsar a quantia de:

a) R$ 4.200,00

b) R$ 4.620,00

c) R$ 4.700,00

d) R$ 4.820,00

e) R$ 4.900,00

19– (CESPE ) Foi solicitado a um aluno que calculasse 5%

de vinte e quatro milésimos. A calculadora evidenciou com resultado:

a) 0,012

b) 0,0012

c) 0,00012

d) 0,000012

e) 0,0000012

20 – (CESPE – 2011) Um cliente comprou, em uma agência

dos Correios, selos comemorativos dos 150 anos do nascimento do padre Landell de Moura e dos 150 anos de

fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA). Para o

pagamento desses produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3/4 dessa quantia correspondiam ao

custo dos selos comemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e 1/5 , ao custo dos selos comemorativos

dos 150 anos da CAIXA. Nessa situação, com relação à quantia entregue para pagamento, o troco a que faz jus o

cliente corresponde a

a)20%.

b)5%.

c)8%.

d)10%.

e)12%.

21-(CESPE – 2011) Considere que, em uma empresa, 50% dos empregados possuam nível médio de escolaridade e 5%,

nível superior. Guardadas essas proporções, se 80 empregados dessa empresa possuem nível médio de

escolaridade, então a quantidade de empregados com nível superior é igual a

a) 8.

b)10.

c)15.

d)20.

e)5.

22 – (CESPE – 2011) Se 4 selos do tipo A e 4 selos do tipo B custam R$ 7,00 e se um selo do tipo A custa 50% a mais

que um selo do tipo B, então 8 selos do tipo A custam

a) R$ 9,00.

b)R$ 10,50.

c)R$ 12,00.

d)R$ 12,60.

e)R$ 8,40.

23 – (VUNESP 2011. Após muita negociação, Laura conseguiu um desconto de 5% sobre o preço de tabela e

comprou um carro novo por x reais. Deu 25% do preço de compra como entrada e financiou o restante. Se o valor

financiado foi R$ 28.500,00, então o preço de tabela desse carro era

a) R$ 40.000,00.

b) R$ 39.900,00.

c) R$ 39.000,00.

d) R$ 38.800,00.

e) R$ 38.000,00.

24-(VUNESP 2011) Ana e Luiza querem comprar um livro que custa R$ 60,00,mas o dinheiro que possuem juntas,

equivale a 60% do valor necessário. Sabendo-se que Ana possui R$ 6,00 a menos do que Luiza, então, o valor que

Luiza tem é

a) R$ 15,00.

b) R$ 18,00.

c) R$ 21,00.

d) R$ 25,00.

e) R$ 30,00.

25-(VUNESP 2011) Foi feita uma pesquisa com um grupo de 200 jovens sobre a preferência no consumo de bebidas

alcoólicas. Os resultados obtidos estão no gráfico.

Sabe-se que dos jovens que consomem cerveja, 25% são mulheres. Então, o número de homens pesquisados que

consomem cerveja é

a) 66.

b) 54.

c) 45.

d) 36.

e) 22.


13

Em determinado órgão do Poder Executivo, foram alocados R$ 110.000,00 no orçamento para a aquisição de 1.000

cadeiras de escritório. Com a previsão de realização de um concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a

necessidade de compra de mais 300 cadeiras, além das 1.000 já previstas. Com base nas informações da situação

hipotética apresentada, julgue os itens a seguir.

26-(CESPE – 2010) Se o orçamento for reduzido para R$

22.000,00, então, é correto afirmar que esse valor é 400%

menor do que foi previamente alocado.

27 –(CESPE – 2010) Se, na hora da compra das 1.000 cadeiras iniciais, um dos fornecedores oferecer uma cadeira a

mais a cada três cadeiras adquiridas, então, é correto afirmar que essa proposta é equivalente à concessão de um desconto

de 25%.

29-(CESPE – 2010) Para a aquisição das 300 unidades adicionais, a verba suplementar deverá ser de 35% do valor

inicialmente alocado, desde que não haja mudança no preço das cadeiras.

30-(CESPE – 2010) Se houver aumento de 20% no preço

para as 300 cadeiras adicionais, a verba suplementar para

aquisição dessas cadeiras será igual a 36% do valor

originalmente alocado para a aquisição das 1.000 cadeiras iniciais.

31-(CESPE – 2010) Caso seja oferecido um desconto de 10% sobre o valor das cadeiras adicionais, o preço unitário de

cada uma delas será inferior a R$ 100,00.

32 –(CESPE – 2011) Vários jornais e revistas anunciaram, nos últimos meses, que o preço do quilo de picanha, corte

preferido para o preparo de um bom churrasco, subiu 42%. Nesse caso, se um consumidor de picanha decidir manter o

mesmo gasto mensal com a compra desse alimento, ele deverá diminuir o consumo em

a) mais de 40% e menos de 44%.

b) mais de 44% e menos de 48%.

c)mais de 28% e menos de 32%.

d)mais de 32% e menos de 36%.

e)mais de 36% e menos de 40%.

33 –(VUNESP - 2011) Para uma reunião foram colocadas

252 cadeiras em um auditório, de modo que o número de cadeiras por fileira é 75% maior do que o número de fileiras.

Nessas condições, pode-se afirmar que o número de cadeiras

de uma fileira é

(A) 10.

(B) 12.

(C) 15.

(D) 18.

(E) 21.

33-Solução:

X – número de fileiras

Y – Número de cadeiras por cada fileira

Se fizermos o produto do número de fileiras pelo número de

cadeiras em cada fileira deveremos obter o número total de cadeiras.

X . Y = 252(I)

Como o número de cadeiras por fileira é maior em 75% ao

número de fileiras, logo:

Y = X + 0,75. X

Y = 1,75X(II)

Substituindo-se II em I

X. 1,75X = 252

X2 = 14475,1

252

X = 12144 (só a raiz positiva serve)

Substituindo-se o valor 12 em II, vem:

Y = 1,75. 12 = 21 cadeiras por fileira

34 – (FUNIVERSA) – 2010 QUESTÃO 19

Um artigo está a venda por R$ 32,50. Caso o produto seja vendido por esse preço, o comerciante contabilizará um lucro

bruto de 30% sobre o preço de custo do produto. Caso o produto não seja vendido em uma semana, o comerciante

passará a oferecê-lo com desconto. O maior número inteiro de desconto percentual no preço de venda que o comerciante

pode praticar para que a venda seja realizada com lucro bruto de, pelo menos, 10% sobre o preço de custo é igual a

a) 20.

b) 15.

c) 12.

d) 10.

e) 5.

34-Solução:

Nessa questão devemos usar a dica do Ronilson:

LB =d100

)L +d(100 L

LB = 30%

LL = 10%

1

30=

d100

10) +d(100

100.(d + 10) = 30.(100 – D)

100D + 1000 = 3000 – 30.d

100D + 3OD = 3000 – 1000

130D = 2000

D=

130

2000

D = 15,38

Como foi solicitado apenas a parte inteira, logo fia 15.

Resposta: letra b

35 –(FCC – BB/2011) Certo mês, um comerciante

promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a

liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos

na liquidação devem ser aumentados em

(A) 18,5%.

(B) 20%.

(C) 22,5%.

(D) 25%.

(E) 27,5%.

35-Solução:

Suponhamos que o valor inicial de cada artigo seja R$ 100,00, após um desconto de 20% esses artigos começarão a

ser comercializados por R$ 80,00.

O valor com o desconto(R$ 80,00) corresponde a 100% e o novo(R$ 100,00) valor após o aumento

corresponde a x.


14

Preço %

80 100

100 x

80x = 100. 100

X=

80

10000=125%

Desta forma o aumento será:

125 – 100 = 25%

Resposta: letra d

GABARITO COMENTADO

1-Solução:

Basta multiplicarmos o número por 100.

%5,628

500100

8

5x

Em uma escola, 10% dos alunos são canhotos, e, destes,

30% usam óculos. Além disso, 12% dos alunos dessa escola usam óculos.

2-Solução:

Suponhamos que nessa escola tenha 100 alunos,

Se 10% são canhotos, implica:

10% . 100 = 0,1 . 100 = 10

Desses 10%, 30% usam óculos:

30% . 10 = 0,3 . 10 = 3, logo:

Resposta: 3% alunos são canhotos e usam óculos.

3-Solução:

Agora a referência é a quantidade de alunos dessa

escola que usam óculos, ou seja, 12 que corresponde a 100%.

Da questão anterior já sabemos que desses 12

alunos 3 desses também usam óculos.logo:

100% 12

X 3

12x = 100 . 3

X= %2512

300

4-Solução:

Suponhamos que o valor do investimento seja R$ 100,00.

Fundo de Renda Fixa = 40% . 100 = 0,4 . 100 = 40

Bolsa de valores = 60% . 100 = 0,6 . 100 = 60

Após o final do período temos:

Fundo de Renda Fixa = 40 + 20% . 40 = 40 + 0,2 .40

40 + 8 = 48,00

Bolsa de valores = 60 - 10% . 60

60 – 0,1 . 60

60- 6 =54

Ao final do período o montante da aplicação é:

48 + 54 = 102

Logo o lucro foi de 2% (102 – 100)

Reposta: letra a

5-Solução:

Total dos vôos = 60

Como houve um aumento de 15%

60 + 15% . 60

60 + 0,15 . 60

60 + 9 = 69

Resposta: letra D

6-Solução:

Dois descontos sucessivos de 30% corresponde a um desconto real de:

Pela dica do Ronilson:

- 30 – 30 + (-3) . (-3)

-60 + 9 = -51%( desconto real) (x)

O valor original da mercadoria é o que queremos encontrar e

corresponde a 100%. O valor após os descontos é 392 que corresponde a 49%(100 – 51), logo:

100% X

49% 392

49x = 100 . 392

X = 80049

39200

Resposta: letra e

7-Solução:

Antes do desconto o aumento sobre o preço de custo era de

30%. Agora com desconto de 20% temos:

30 – 20 + 3,0.(-2,0)

10 -6 = 4%(lucro)

Resposta: letra a

8-Solução:

Como o lucro é sobre a venda o valor de venda corresponde a 100%. O valor de custo corresponde a 80%(100 – 80).

X 100%

5000 80

80X = 5000 . 100

X = 00,250.680

100.5000

Pela fórmula:

V = C + L

V =?

C = 5000

L = 20% . v = 0,2V

V = 5000 + 0,2V


15

V – 0,2 V = 5000

0,8V = 5000

V = 250.68,0

5000

Resposta: letra c

9-solução:

Como o prejuízo é sobre a venda o valor de venda corresponde a 100%. O valor de custo corresponde a

110%(100 + 10).

X 100

50 110

110 x = 50. 100

X = 45,45110

100.50

Pela fórmula:

V = C – P

V = ?

C = 50

P = 10% . V = 0,1V

V = 50 – 0,1V

V + 0,1V = 50

1,1V = 50

V = 45,451,1

50

10-Solução:

Como o lucro é sobre a compra o valor de compra é 100% e

o valor de venda será 130%(100 + 30)

1800 100

X 130

100X = 1800 . 130

X = 2340100

130.1800

Usando a fórmula:

C = 1800

V = ?

L = 30% .C =0,3 . 1800 = 540

V = C + L

V = 1800 + 540

V = 2.340

11-Solução:

- caixa 1 atendeu a 30%,

- caixa 2 não atendeu a 79% e (logo atendeu 21%)

- caixa 3 não atendeu a 75% (logo atendeu 25%)

O caixa 4 atendeu x pessoas

Somando-se o percentual de todos os atendimentos encontramos:

30% + 21% + 25% + x = 100

X= 100 – 76= 24%

Resposta: letra d

12-Solução:

Como o período é do dia 13 ao dia 14 de maio o valor do dia

13 será o referencial, ou seja, 100%. O valor do dólar do dia

14(3,092), corresponde a 98,66%(100-1,34), pois é menor conforme pode ser constatado pelo gráfico.

100% x

98,66% 3,092

98,66x = 100 . 3,092

X = 1339955,366,98

092,3.100

Analisando as alternativas podemos constatar que o valor que

mais se aproxima é a letra b que vale 3,134.

Resposta: letra b

13-Solução:

Pela dica do Ronilson, vem:

+ 20 – 20 + 2,0.(-2,0) = -4%( o valor negativo indica que houve prejuízo).

Resposta: letra b.

14-Solução:

Como não falou se o lucro foi sobre a venda ou sobre a

compra, logo é sobre a compra.

V =16.500

L = 10% . C = 0,1C

C = ?

V = C + L

16.500 = C + 0,1C

1,1C = 16.500

C = 000.151,1

500.16

Como sabemos que o terreno foi comprado por 15.000 que

corresponde a 100%, logo:

15.000 100%

20.700 x

15.000X = 20.700 x 100

X= 13815000

100.700.20

Logo fazendo 138 – 100 = 38%(lucro total)

Resposta: letra a

15-Solução:

Suponhamos que o valor do salário do trabalhador era 100.

Logo o aluguel era 30

Salário inicial = 100

Com um aumento do 500% o seu salário passará a ser

100 + 500% .100 = 100 + 5.100 = 600

Salário final = 600

Aluguel inicial = 30

Com um aumento de 700% o seu novo aluguel será:

30 + 700% .30 = 30 + 7. 30 = 240

Aluguel final = 240


16

Agora como a questão pergunta quanto ele está gastando com aluguel após os aumentos, o valor do salário passa a ser

100%.

100% 600

X 240

600X = 100 x 240

X= %40600

240.100

Resposta: letra c

16-solução:

Nos dois primeiros meses temos:

20 + 20 + 2,0 . 2,0 = 44% valor acumulado nos dois primeiros meses

No terceiro mês houve uma desvalorização de 20%:

44 – 20 + 4,4 . (-2,0) = 15,2%

No quarto mês desvalorizou 20%.

15,2 – 20% + 1,52 . (-2,0) = -7,84%(desvalorização)

Resposta: letra b.

17-Solução:

O salário de outubro(X) de 1996 corresponde a 100% e o

salário de janeiro(1500) de 1997 corresponde a 125%(100+25), logo:

X 100

1.500 125

125X = 1500 . 125

X= 1200125

1001500

x

Resposta: letra e

18-Solução:

Era 7.000 com a primeira desvalorização de 20% o carro passou a custar 5.600

7000 – 20%.7000

7000 – 0,2.7000

7000 -1400

5600,00

Após a segunda desvalorização de 20%, passou a custar

4480,00

5600 – 20% .5600

5600 – 0,2.5600

5600 -1220

4480

O carro era 7.000. Hoje o carro novo está 30% mais caro,

logo :

7000 + 30%.7000= 9100

Na troca do carro o proprietário terá que desembolsar

9.100 -4.480

4.620

Resposta: letra b

19-Solução:

5% x 0.024 =

0.05 x 0.024 =0,0012

Resposta: letra b

20-Solução:

Somando se as frações:

20

19

20

1.43.5

5

1

4

3

No pagamento já fora consumido 19/20 do dinheiro, logo o troco é de 1/20, que em porcentagem corresponde a:

%510020

1x

Resposta: letra b

21-Solução:

Basta usarmos regra de três simples:

50% 80

5% x

50x = 5x 80

X = %850

400

22-Solução:

Basta usarmos regra de três simples:

50% 80

5% x

50x = 5x 80

X = %850

400

Resposta: letra a

22-Solução:

Sejam as informações:

4A + 4B= 7(I)

Um selo do tipo A custa 50% a mais que um selo do tipo B,

logo:

A = B + 50% . B = B + 0,5B = 1,5B

A = 1,5B(II)

Substituindo-se II em I vem:

4. 1,5B + 4B = 7

10B = 7

B = 7,010

7 e

A = 1,5B = 1,5 x 0,7 = 1,05

Logo 8 x 1,05 = 8,4

Resposta: letra e


17

23-Solução:

O valor restante financiado corresponde a 75%(28.500,00), visto que Laura deu 25% de entrada.Logo:

75% 28.500,00

100% x

75X = 100 x 28.500

X = 000.3875

28500.100

Observe que este valor ainda não é a resposta, corresponde

apenas a 95% do valor de tabela, visto que Laura obteve 5% de desconto, logo:

95% 38.000

100% x

95X = 100. 38000

X = 000.4095

38000100

x

Resposta: letra a

24-Solução:

X – valor do dinheiro de Ana

Y – valor do dinheiro de Luíza

O valor que elas possuem juntas é:

60% . 60 = 36,00

X + Y = 36 (I)

Como Ana possui 6,00 a menos que Luíza tem:

X = Y – 6 (II)

Substituindo II em I, vem:

X + Y = 36

Y – 6 + Y = 36

2Y = 36 + 6

Y= 212

42

Logo X vale:

X = 21 – 6

X = 15( valor que Luíza possui)

Resposta: letra a

25-Solução:

Para saber o número de jovens que consomem cerveja

devemos subtrair de 100% a soma dos que consomem as demais bebidas.

100 - ( 16 + 15 + 25) = 44%(consomem cerveja)

44% . 200 =0,44 . 200 = 88

(total de alunos que consomem cerveja)

Se 25% dos 88 são mulheres, então o número de homens é

75%.

100% 88

75% x

100X = 75 . 88

X = %66100

6600

Resposta: letra a

Em determinado órgão do Poder Executivo, foram alocados

R$ 110.000,00 no orçamento para a aquisição de 1.000 cadeiras de escritório. Com a previsão de realização de um

concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, além das 1.000

já previstas. Com base nas informações da situação hipotética apresentada, julgue os itens a seguir.

26-Solução:

O valor 22.000 é o valor de referência, logo corresponde a 100%.

22.000 100%

110.000 x

22.000.x = 100x 110.000

X = %500000.22

00.110100

x

Se 22.000 corresponde a 100% e 110.000 corresponde a 500%, logo 22.000 é 400% (500 – 100) menor que 110.000

Resposta: certa.

27-Solução:

Se na hora da compra é oferecido 1 cadeira a mais a cada

três compradas equivale a dizer que para cada 3 compradas devo receber 4.

Se 4 cadeiras corresponde a 100% , então 3 vai ser:

4 100%

3 x

4x = 3. 100

X = %754

300

Logo o desconto será: 100 – 75 = 25%

29-Solução:

Era 1000 cadeiras inicialmente. Caso aumente 300 cadeira, o

acréscimo será de 30%.

Para descobrir é só fazer o maior dividido pelo menor e o resultado multiplicar por 100.

X= %301001000

300x que não é igual a 35%

Resposta: errada

30-Solução:

Método 1

Inicialmente cada cadeira custava:

X = 1101000

000.110

Com um aumento de 20%, fica:

110 + 20%.110 = 132

O valor de das 300 cadeiras é:


18

300 x 132 = 39.6000

Agora é só descobrir o acréscimo em relação ao orçamento inicial.

110.000 100%

39.600 x

110.000x=3.960.000

X= %36000.110

3960000

31-Solução:

Sabemos que cada cadeira inicialmente custa 110,00 como um desconto de 10% ela passa a custar 99,00:

110 – 10% .110

110 – 11 = 99,00

Resposta: certa

32-Solução:

Suponhamos que inicialmente tenha sido gasto 100% com carne. Caso o gasto aumente de 42%, ou seja

passe para 142%, para que o desembolso mantenha-se constante é necessário que o consumo diminua.

Subindo o preço da carne, para que um consumidor

continue gastando o mesmo valor, ele terá que diminuir a quantidade de carne consumida, logo é uma regra de três

inversa.

A regra de três inversa pode ser resolvida igualando-se o produto dos valores na horizontal.

Gasto consumo

100% 100%

142% x

142x = 100. 100

X= %42,70142

10000

Diminuição= 100 – 70,42 = 29,58%

Esse valor está compreendido entre 28% e 32%

Resposta: letra c

33-Solução:

X – número de fileiras

Y – Número de cadeiras por cada fileira

Se fizermos o produto do número de fileiras pelo número de cadeiras em cada fileira deveremos obter o número total de

cadeiras.

X . Y = 252(I)

Como o número de cadeiras por fileira é maior em 75% ao

número de fileiras, logo:

Y = X + 0,75. X

Y = 1,75X(II)

Substituindo-se II em I

X. 1,75X = 252

X2 = 14475,1

252

X = 12144 (só a raiz positiva serve)

Substituindo-se o valor 12 em II, vem:

Y = 1,75. 12 = 21 cadeiras por fileira

34-Solução:

Nessa questão devemos usar a dica do Ronilson:

LB =d100

)L +d(100 L

LB = 30%

LL = 10%

1

30=

d100

10) +d(100

100.(d + 10) = 30.(100 – D)

100D + 1000 = 3000 – 30.d

100D + 3OD = 3000 – 1000

130D = 2000

D=

130

2000

D = 15,38

Como foi solicitado apenas a parte inteira, logo fia 15.

Resposta: letra b

35-Solução:

Suponhamos que o valor inicial de cada artigo seja

R$ 100,00, após um desconto de 20% esses artigos começarão a ser comercializados por R$ 80,00.

O valor com o desconto(R$ 80,00) corresponde a

100% e o novo(R$ 100,00) valor após o aumento corresponde a x.

Preço %

80 100

100 x

80x = 100. 100

X=

80

10000=125%

Desta forma o aumento será:

125 – 100 = 25%

Resposta: letra d

4- JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Quando compramos algum objeto financiado ou

fazemos algum empréstimo no mercado financeiro, incidem juros nas parcelas.

Os juros podem ser simples ou composto.

JUROS SIMPLES É o sistema de juros onde a capitalização ocorre ao final dos períodos em que o capital é aplicado de forma linear.

Pouco são os casos em que esse sistema é utilizado. São

usados pricipalmente nos cálculo dos juros judiciais.

Para calcularmos os juros simples utilizamos a fórmula:

J = Cin


19

Onde:

C = capital ou principal( valor presente)

i = taxa

n = tempo

J = 100

Cin ( fórmula alternativa)

Obs: Para usarmos a primeira fórmula devemos

primeiramente dividir o valor da taxa por 100.

Pela observação da fórmula percebemos que os juros são diretamente proporcionais à taxa, ao tempo e ao

capital aplicado.

Entre se, capital, taxa e tempo são inversamente

proporcionais.

Também pela utilização da fórmula percebemos que C, i e n são inversamente proporcionais entre se.

Na resolução dos problemas a taxa e o tempo devem

está na mesma unidade.

Juros comerciais

Juros exatos

Mês 30 dias Depende do mês

Ano 360 dias 365

Quando a questão solicitar o cálculo de juros exatos

os dias deverão ser contados dia a dia exemplo,

Quando na questão quisermos calcular os juros de 3 de agosto de 2010 À 20 de dezembro de 2010, o problema

estará tratando de juros exatos e desta forma estaremos trabalhando dia a dia.

Um ano exato tem 365 dias. As exceções são os

anos bissextos(2008, 2012, 2016, 2020...).

É necessário que o aluno também saiba quantos dias tem cada mês do ano.

Entoe esta música que ajuda a fixar quantos dias tem cada

mês:

“Trinta dias tem abril, junho, setembro e novembro. Fevereiro 28 tem. Os demais 31 todos terão.”

Grafico dos juros simples:

Para um mesmo capital, temos o gráfico dos juros

como mostra a figura abaixo.

Os juros crescem proporcionalmente ao capital, a taxa e o tempo. Suponhamos que i e n seja1, vamos contruir o gráfico

dos juros em função do capital.

J = Cin

J =C.1.1

J = C

Para C = 10, J = 10

Para C = 20, J = 20

Para C = 30, J = 30

E assim sussecivante:

Juros Capital

10 10

20 20

30 30

40 40

O capital aumenta de 10 em 10 reais e os juros também.

Logo o gráfico é uma reta, visto que os juros crescem proporcionalmento ao capital.

Construindo-se o gráfico vem:

GRAFICO DOS JUROS SIMPLES

0

10

20

30

40

50

CAPITAL

JUR

OS Juros

Capital

OBS:Para um determinado capital fixo os juros são diretamente proporcionaisl, a taxa e ao tempo.

MONTANTE EM JUROS SIMPLES

Montante ou valor futuro em juros compostos para

um capital fixo cresce linearmente em função da taxa e do tempo.

Mn = C(1 + i)

Obs: para usamos essa fórmula devemos primeiramente dividir o valor da taxa por 100.

Na resolução dos problemas a taxa e o tempo devem está na

mesma unidade.

Grafico do montante em simples:

De m aneira similar o gráfico será uma reta crescente

M

C i, n

PROVAS COM GABARITO COMENTADO


20

1 – Um capital de R$ 600,00 foi aplicado durante 5 meses a juros simples a uma taxa de 6% ao mês. Qual foi os juros

obtidos ao final desse período?

1-Solução:

Método 1

Nesse caso basta multiplicarmos o número de meses pelo valor da taxa: 5 x 6 = 30% que corresponde aos juros.

J = 30% . 600 = 0,3 . 600 = 180,00

2 – Qual foi capital que aplicado 3 meses à 20% ao ano

rendeu R$ 800,00 de juros simples.

3 – Qual é o montante a juros simples de uma aplicação de R$ 1200,00 à taxa de 10% a.m. durante 6 meses?

4 – A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para

que, num prazo de 2 anos, triplique de valor?

5 – Um certo capital foi aplicado a uma taxa i, durante um período t e rendeu só De juros J. Caso esse mesmo capital

seja aplicado a uma taxa que é o dobro da primeira e durante

um período que é o quádruplo do primeiro o valor dos novos

juros simples será o do primeiro multiplicado por:

a)2

b)4

c)6

d) 8

e) 10

6 – (ESAF) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta

mesma quantia de juros simples em 4 anos, qual é a taxa aplicada?

a) 20% ao ano

b) 125% ao ano

c) 12.5% ao ano

d) 200% ao ano

e) 10% ao ano

7 – (ESAF) Um capital de R$ 14.400 aplicado a 22% ao ano

rendeu R$ 880 de juros simples. Durante quanto tempo esteve empregado?

a) 3 meses e 3 dias

b) 3 meses e 8 dias

c) 2 meses e 23 dias

d) 3 meses e 10 dias

e) 27 dias

8 – (ESAF) Se em 5 meses o capital de R$ 250.000,00 rende

R$ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para ganhar os mesmos juros se a taxa

fosse de 160% ao ano?

a) 6meses

b) 7meses

c) 8meses

d) 9meses

e) 10meses

9 – (FCC) Emprestei ¼ do meu capital, a 8% ao ano, 2/3 a 9% ao ano, e o restante a 6% ao ano. No fim de um ano

recebi R$ 102,00 de juros simples. Determine o capital.

a) R$ 680,00

b) R$ 840,00

c) R$1.200,00

d) R$ 2.530,00

e) R$ 12.600,00

10 – FCC - O capital de R$ 1.200.000,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. determinar a taxa de juros

simples, considerando que o capital esteve empregado 1 ano e 3 meses.

a) 6% a.m.

b) 60% a.m.

c) 5% a.a.

d) 66% a.a.

e) 50% a.a.

11 – (ESAF) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês para que

se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por R$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o

mesmo período?

a) R$ 420.000,00

b) R$ 450.000,00

c) R$ 480.000,00

d) R$ 520.000,00

e) R$ 500.000,00

12 – (ESAF) Três capitais são colocadas a juros simples: o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos, o segundo a 24% a.a.,

durante 3 anos e 6 meses o terceiro a 20% a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de R$ 27.591,80.

Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o

terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é:

a) R$ 30.210,00

b) R$ 10.070,00

c) R$ 15.105,00

d) R$ 20.140,00

e) R$ 5.035,00

13 – (ESAF) Carlos aplicou ¼ de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de um ano, e o restante

do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplicações

rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital inicial era de R$:

a) 4.600,00

b) 4.400,00

c) 4.200,00

d) 4.800,00

e) 4.900,00

14- (FCC) Numa aplicação a juro simples um capital produz

em 2 meses o montante de R$ 5 460,00. Se aplicado à mesma taxa mensal, o mesmo capital produziria, ao final de

5 meses, o montante de R$ 5 850,00. O valor desse capital é

(„A) R$ 5 280,00

(B) R$ 5 200,00

(C) R$ 5 180,00

(D) R$ 5 100,00

(E) R$ 5 008,00


21

15- (FCC). Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um

montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de.

a) 2%

b) 2,2%

c) 2,5%

d) 2,6%

e) 2,8%

16- FCC Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a juro

simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19050,00, o prazo dessa aplicação deverá

ser de

a)1 ano e 10 meses.

b)1 ano e 9 meses.

c)1 ano e 8 meses.

d)1 ano e 6 meses.

e)1 ano e 4 meses.

17-(BANESE-2004) O valor aplicado pelo investidor nos 2 bancos foi superior a R$ 15.000,00.

18-(BANESE-2004) Os juros obtidos pelo investidor no

banco B foi superior a R$ 2.800,00.

19-(BASA-2004)

Se a taxa mensal for de 2% ao mês, os juros simples obtidos

por um capital de R$ 24.000,00, aplicado durante 3 anos e quatro meses, são iguais a R$ 19.200,00.

20-CESPE-2007

O valor dos juros produzidos por um capital aplicado durante

quatro anos à taxa anual de juros simples de 12,5% corresponde a 50% do capital inicial.

21 - (FCC – BB/2011) Um capital de R$ 10.500,00 foi

aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito

qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ 11.725,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de

aplicação?

(A) 4 meses.

(B) 3 meses e 20 dias.

(C) 3 meses e 10 dias.

(D) 3 meses.

(E) 2 meses e 20 dias

GABARITO COMENTADO

1-Solução:

Método 1

Nesse caso basta multiplicarmos o número de meses pelo valor da taxa: 5 x 6 = 30% que corresponde aos juros.

J = 30% . 600 = 0,3 . 600 = 180,00

Método 2:

Usando a fórmula J = Cin, vem

C = 600,00

n = 5 meses

i = 6% = 0,06

J = Cin

J = 600 . 0,06 . 5

J = 180,00

2-Solução:

Método 1:

C ?

n = 3 meses

i = 20% ao ano = 20/12 = 5/3 % ao mês

obs: foi dividido por 12 pois um ano tem 12 meses.

j = 800

utilizando-se a fórmula:

j = 100

Cin

800 =

100

.33

5C.

(cortando-se 3 com 3)

800 =

100

C.5

5C = 800 . 100

C = 5

800.100

C = 16.000,00

Método 2

O capital aplicado(X) corresponde a 100%.

Em 3 meses a 20% ao ano tivemos um acréscimo de 800,00,

que nesta questão corresponde a 5%( %512

3.20 ).

100% x

5% 800

5. X = 100. 800

X = 5

800.100

X = 16.000

3-Solução:

Método 1:

Como o juros é simples e a taxa é de 10% ao mês, logo em 6 meses esse capital estará aumentado em 60%.

Daí vem:

1200 100%

X 160%

(160% = 100% + 60%)

100X = 1200. 160

X = 12 . 160

X = 1920,00

Método 2:

M = ?

C = 1200

i = 10% a.m = 0,1

n = 6meses

Aplicando diretametne na fórmula:

M = C(1 +in)

M = 1200(1 + 0,1 .6)

M = 1200. 1,6


22

M = 1920,00

4-Solução:

i = ?

C = 100

Obs: quanto não for citado valores, ao invés de se trabalhar com incógnitas é bem mais prático se atribuir ao valor

desconhecido 100.

n = 2 anos

M = 3. 100 = 300, daí concluimos que os juros é de 200.

Aplicando na fórmula J = Cin

200 = 100 . i. 2

200i = 200

i = 1 x 100 = 100%

Obs: Quando a questão é encontrar o valor da taxa no final sempre multiplicamos por 100.

5-solução:

Como sabemos os juros simples são proporcionais ao capital,

taxa e ao tempo.

Se o capital é o mesmo. A taxa foi dobrada e o tempo foi

quadruplicado, então os juros serão multiplicado por oito.

2 . 4 = 8

Resposta: letra d

6-Solução:

O valor do capital não foi apresentado no problema. Para

facilitar o cálculo podemos atribuir qualquer valor ao capital,

porém é melhor atribuir um que seja divisível pelos denominadores das frações apresentadas, digamos 80.

C = .8

6

J = 8

3

Utilizando a fórmula J = Cin:

3/8 =(6/8) .i. 4

(elimina-se o 8 de um lado e outro pois estão na mesma

horizontal)

3 = 6.i.4

24i= 3

%5,12100.8

1

3:24

3:3i ao ano

Resposta: letra c

7-Solução:

C = 14.400

i = 22% ao ano = 0,22 a.a.

J = 880

Como a questão trata de juros simples, logo a podemos usar a regra J = C.i.n

J = C.i.n

880 = 14.400x0,22 . n

144. 22n = 880

n = ano18

5

8:144

8:40

22.144

880

Obs: foi dividido 880 por 22 que dar 40 o que ajuda a simplificar a questão.

Devemos agora multiplicar o resultado por 360 dias

18

5x 360 = 100 dias

100 dias = 3 meses e 10 dias

Resposta: letra d

9-Solução:

É uma questão um tanto trabalhosa.

Jtotal = 102

C = X

C1 = 4

1X a 8% = 0,08 a.a, n = 1ano

J1 =4

1X.0,08 .1 =0,02.X

C2 = 3

2x a 9% = 0,09 a.a, n = 1 ano

J2 =3

2X.0,09 .1 = 06,0

3

0,18X x

Somando as frações já utilizadas: 4

1+

3

2=

12

11

12

2.41.3

Se já foi emprestado 11/12 ainda falta ser emprestado 1/12:

C3 = 12

1X, n = 1ano, n = 6% = 0,06

J3 =12

1x 0,06 .1= 0,005X

J1 + J2 + J3 = Jtotal

0,02x +0,06x + 0,005x = 102

0,085.x = 102

X =085,0

102=1200,00

Resposta: letra C

10-Solução:

C=1.200.000,00

J = ?

n = 1 ano e 3 meses = 15 meses

Como 1.200.000 está para os seus juros assim como 4 está para 3, logo forma-se uma proporção.

3

400.200.1

J

4J = 1.200.00 x 3

J = 000.9004

00.600.3

Aplicando na fórmula, J = Cin, vem:

900.000 = 1.200.000. i. 15

i = 05,015000.200.1

000.900

x


23

i = 0,05 x 100

i = 5% ao mês

i = 5% x 12 = 60% ao ano

Resposta: letra b

11-Solução:

Como C, i e n são inversamente logo devemos igualar os produtos horizontais abaixo:

12% X

15% 400.000

12X = 15X 400.000

X = 50000012

400000.15

Resposta: letra e

12-Solução:

C1 = X, i1=25%aa = 0,25, n = 4 anos

J1 = X. 0,25. 4 = X

C2 =2 X, i2=24%aa = 0,24, n = 3 anos e 6 meses = 3,5 anos

J2 = 2X. 0,24. 3,5 = 1,68X

C3 = 3. 2X = 6X, i3=20%aa = 0,2 n=2 anos e 4 meses = 2

+3

7

12

4 anos

J2 = 6X. 0,2. 7/3 = 2,8X

A soma de todos os juros, vale?

J1 + J2 + J3 = 27.591,80

X + 1,68X + 2,8X = 27.591,8

5,48X = 27.591,80

X =48,5

80,591.27

X = 30.210,00

Resposta: letra a

13-Solução:

C1= X4

1, i = 18%aa = 0,18aa, n=1ano

J1 = X4

1.0,18 = 0,045X

C2= X4

3, i = 24% aa = 0,24aa, n = 1 ano

J2 = X4

3. 0,24 = 0,18X( J2 > J1)

J2 = J1 + 594

0,18X = 0,045X + 594

(0,18 – 0,045). X = 594

0,135X = 594

X = 135,0

594= 4.400,00

Resposta: letra b

14-Solução:

A regra ser utilizada é a do montante a juros simples:

M = C(1 + in)

M1 = X.(1 +2i) = 5.460 (I)

M2 = X.(1 + 5i) = 5.840 (II)

Dividindos-e a I por II, vem:

5.840

5.460

5i) + X.(1

2i)+ X.(1

5.840

5.460

5i + 1

2i+ 1

(1+5i).5460 = (1 + 2i).5850

5460 + 27.300i = 5850 + 11700i

27300i – 11700i = 5850 – 5460

15.620i = 380

025,0 15600

390i

Substituindo-se em qualquer uma das regras I ou II

encontramos o valor do capital X.

X.(1 +2i) = 5.460

X(1 + 2. 0,025) = 5.460

1,05X = 5460

00,200.5 1,05

5460X

Resposta: letra b

15-Solução:

C = 100( quando o valor não é sabido)

n = 1ano e 4 meses = 16meses

M = 00,140100. 5

7

Aplicando na regra: M =C(1 + in)

140 =100(1 + 16i)

100 + 1600i = 140

1600i =140 – 100

i = 025,0 1600

40

i = 0,025 x 100 = 2,5% ao mês

resposta:letra c.

16-Solução:

C = 15.000

i = 3% ao bimestre=0,03

M = 19.050

n = ?

A regra ser aplicada é M = C(1 + in)

19.050= 15.000(1 + 0,03n)

15.000(1 + 0,03n) = 19.050

15.000 + 450n = 19.050

450n = 19.050 – 15.000

n= 450

4050

450

40509 bimestres x 2 = 18 meses

n = 1 ano e 6 meses

Resposta: letra d

Um investi7dor aplicou 2/3 do seu capital no banco A à taxa de juros simples de 4,5% a.m. e o restante no banco B à

taxa de juros simples de 36% a.a., ambos com capitalização


24

mensal. Decorridos 2 anos e 6 meses de aplicação, esse investidor recebeu um total de juros, correspondente aos dois

bancos, de R$ 10.800,00.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens subseqüentes.

17-Solução:

C1 = (2/3).X (banco A)

i1 = 4,5% a.m.=0,045

n1=2,5 anos = 30 meses

J1 =(2/3).X. 0,045. 30 =0,9X

Se já foi aplicado 2/3 ainda falta ser aplicado mais 1/3.

C2 = (1/3).X ( banco B)

i2= 36% a.a. = 36/12 = 3% a.m. = 0,03,

n2 = 2,5 anos = 30 meses

J2 = (1/3).X. 0,03. 30 =0,3X

Juros total = 10.800,00

J1 + J2 = JT

0,9X + 0,3X = 10.800

1,2. X = 10.800

X = 000.9 1,2

10.800 que é muito inferior a 15.000, logo:

Resposta: errada

18-Solução:

J2 = 0,3.X

J2 = 0,3. 9000 =2.700 valor inferior a R$ 2.800,00, logo:

Resposta: errada

19-Solução:

i = 2% ao mês = 0,02

C = 24.000,00

n = 3 anos e 4 meses = 40 meses

J = Cin

J = 24.000 x 0,02 x 40

J = 19.200

Resposta: certa

20-Solução:

n = 4 anos

i = 12,5% = 0,125

J = 50% do Capital

Fazendo 12,5 x 4 = 50% logo o capital inicial estará aumentado em 50%

Resposta: certa

21 -Solução:

C = 10.500

i = 42% ao ano= 42/12 = 3,5% ao mês = 0,035

M = 11.725

n = ?

Substituindo-se os dados na fórmula: M = C(1 + in), vem:

11725 = 10500( 1 + o,035n)

10500 + 367,5n = 11725

367,5n = 11725 – 10500

n = 367,5

12253,333...meses ou 3 meses e 1/3 do mês = 10

dias

(ver dízima periódica no capítulo 2)

n = 3 meses e 10 dias

JUROS COMPOSTOS É o regime de juros, onde a capitalização é feita

periodicamente. É o que comumente se fala em juros sobre juros.

A taxa é cumulativa, ou seja, cresce

exponencialmente.

Montante é o saldo final que obtemos após aplicarmos em capital por um certo período e a uma

determinada taxa.

Para calcularmos o montante utilizamos a seguinte fórmula:

M = C(1 + i)n

Onde:

M = montante ou valor futuro

C = capital ou valor presente ou valor atual

i = taxa

n = tempo

Observações:

1- O Montante também pode ser conhecido valor nominal,

valor de face ou valor futuro.

2 - Nas questões de juros compostos não devemos mexer com a unidade da taxa. Se a unidade do tempo não for a

mesma da taxa, devemos transformá-la para a unidade da taxa

QUESTÕES COMENTADAS

1- Aplicando 1500,00 em um banco a juros compostos,

obteremos após 2 meses, a uma taxa de 20% ao mês, um montante de:

Solução:

Método 1:

C = 1.500

n = 2 meses

i = 20% ao mês = 0,2

M = C(1 + i)n

M = 1500(1 + 0,2)2

M = 1500 1,22

M = 1500 . 1,44

M = 2.160

Método 2

Pela dica de Ronilson sabemos que 20% ao mês, em juros compostos é equivalente a 44% ao bimestre

20 + 20 + 2,0 . 2,0 = 44%

Desta forma o montante será:

M=1500 + 44% de 1500

M=1500 + 0,44 . 1500

M=1500 + 660

M=2.160,00


25

2 – Qual a quantia que, colocada em um banco,a juros compostos de 10% a.m., durante 2 meses, rendeu R$

2100,00?

Solução:

Método 1:

Pelo macete do Ronilson, sabemos que se a taxa é de 10% ao mês, em dois meses, como é juros sobre juros, o

valor equivalente é 21% em dois meses.

Desta forma, fazendo-se uma regra de três simples, vem:

21% 21.000

100% x

21x = 21000 . 100

X = 1000021

2100000

Resposta: 10.000

Método 2

i = 10% ao mês = 0,1

n = 2 meses

J = 2.100

C = ?

M = C(1 + i)n

M = C + j

C + j = C(1 + i)n

C + 2100 = C(1 + 0,1)2

C(1,1)2 = C + 2100

1,21C – C = 2100

0,21C = 2100

C = 1000021,0

2100

3 – Um capital de 1000,000, aplicado a juros compostos, em 3 meses, apresentou um montante de 1331,00. Qual foi a

taxa dessa aplicação?

Solução:

Método 1

Como passou de 1000 para 1331 é porque houve um

aumento de 331, que em porcentagem corresponde a:

%1,33100.1000

331

Sabemos que no sistema de juros compostos, 10% em dois meses é equivalente a 21%. Fazendo o acumulado de 21%

com mais 10% do terceiro mês aí dá 33,1%. Logo a taxa dessa aplicação foi de 10%.

Resposta: 10%

Método 2

i = ?

n = 3 meses

C = 1000

M = 1331

M = C(1 + i)n

1331=1000(1 +i)3

1000

1331(1 +i)3

(1 +i)3 =1,331 (como é sabido 1,331 = 1,13)

(1 +i)3 =1,13

1 + i = 1,1

i =1,1-1

i =0,1.100

i = 10% ao mês

REGRAS ESPECIAIS DE JUROS

São regras que são utilizadas quando o problema é encontrar a taxa ou tempo

a)Cálculo da taxa em juros compostos

n

nn

C

CMi

1

11

QUESTÕES COMENTADAS

1-(CAIXA – 2004) Num regime de capitalização composta, o montante M, resultante da aplicação de um capital C à taxa

porcentual i, por n períodos, é dado pela lei M = C.(1+i). Assim, dados M, C e n, a taxa i pode ser calculada pela

expressão:

a) i =(M/C)1/n

b) i =(M - C)1/n

c) i =(M1/n –C1/n)/C1/n

d) i =(Mn – Cn)/Cn

e) i =(M + C)n

Solução:

De acordo com a relação anterior a resposta certa é a letra C.

b)Cálculo do período:

iC

M

n

1log

log

QUESTÃO COMENTADA

1 – Um capital foi quadruplicado em um certo período no

regime de juros compostos sabendo-se que a taxa é de 100% ao mês, então determine o período dessa aplicação:

Solução:

Suponhamos que o capital é R$ 100,00, logo o valor do

montante é R$ 400,00, pois foi quadruplicado.

Aplicando na fórmula, vem.

n =?

i =100% ao mês = 1

C = 100

M = 400

11log

100

400log

n

2log

4logn

Aplicando o inverso da mudança de base, vem:

2log

4logn =log2

4


26

n = 2 meses

GRÁFICO DO MONTANTE EM FUNÇÃO DE n

O montante varia em função do capital aplicado, da taxa e do tempo da aplicação. Suponhamos um capital de

R$100,00 que será aplicado durante n períodos diferentes e a uma taxa de 10%. Determine o gráfico:

Substituindo-se na fórmula M = C (1 + i)n, vem:

Para n = 0(momento da aplicação)

Mo= 100(1+ 0,1)0 = 100

Para n = 1

M1 = 100. 1,11= 110

Para n = 2

M2= 100. 1,12=100. 1,21 = 121

Para n = 3

M3=100. 1,13 = 100. 1,331 = 133,1

Para n = 4

M4= 100. 1,14 = 100. 1,4641 = 146,41

Para n = 5

M5= 100. 1,15 = 100. 1,621051= 161,051

Tempo Montante

0 100,00

1 110,00

2 121,00

3 133,10

4 146,41

5 161,05

6 177,16

7 194,87

8 214,36

9 235,79

MONTANTE EM JUROS COMPOSTOS

0

50

100

150

200

250

TEMPO

MO

NTA

NTE

TEMPO

MONTANTE

PROGRESSÃO LINEAR E ESPONENCIAL

Situações menos corriqueiras em concursos. Caso em que o período é quebrado, como por exemplo 40 dias( que no caso

corresponde a um mês e dez dias.

a)Linear

Um capital de R$ 1000,000 é aplicado a uma taxa de 10% ao mês, durante 3 meses e 10 dias no sistema de capitalização

composto. Determine o valor do montante ao final desse período utilizando a progressão linear;

Solução:

- Nos três primeiros meses toma-se a parte inteira do período

e aplica-se a fórmula do montante.

C = 1000,00

n = 3 meses

i = 10% ao mês 0,1

M = C(1 + i)n

M = 1000.(1 +0,1)3

M = 1000.(1,1)3

M = 1000. 1,331

M = 1.331

- Nos dez dias restantes utiliza-se a regra de três simples.

10% 30 dias

X 10

30.X = 100

X= %33,330

100

3,33% . 1000 = 0,0333 .1000 = 33,33

Logo o montante total ao final do período é a soma dos

valores encontrados nos dois períodos acima.

1.331 + 33,3 = 1364,3

b) Exponencial

Nesse caso o valor do período n a ser utilizado na fórmula do montante será:

n = 3 meses + 1/3 do mês(os dez dias)

n = 3 + 3

10

3

1 meses

C = 1000,00

i = 10% ao mês 0,1

M = C(1 + i)n

M = 1000.(1 +0,1)10/3

M = 1000.1,110/3 = 1000. 1,373964

M = 1.373,9

Observação importante

O montante exponencial é sempre superior ao montante linear.

Mexponencial > Mlinear

EVOLUÇÃO NO TEMPO DO MONTANTE JSIMPLES X

JCOMPOSTOS

O montante em juros simples para períodos menores que a unidade e maiores que zero é superior ao

montante em juros compostos.

Quando o tempo é igual a uma unidade o os valores dos montantes são iguais.

Pelas regras

Ms =C.(1 + in)= C (1 + i.1)=C .(1 + i)

Mc= C.(1 + i)n = C.(1 + i)1 = C .(1 + i)

A partir de n maior que uma unidade o montante em juros compostos passa a ser maior que o montante a juros

simples;

0<n < 1 n = 1 n > 1

JUROS MS > MC MS = MC Mc > Ms


27

Essas afirmações também podem ser constatadas através do gráfico:

a) para 0<n < 1, implica que M1 > M2

b) para n = 1, implica que MS = MC

c) para n > 1, implica Mc > Ms

M MC

Ms=MC MS

1

C 2

n = 1 n

QUESTÃO COMENTADA

1 – (CAIXA-2008) O gráfico a seguir representa as

evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros.

M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa

de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

(A) compostos, sempre.

(B) compostos, se o período do empréstimo for menor do que

a unidade de tempo.

(C) simples, sempre.

(D) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.

(E) simples, se o período do empréstimo for menor do que a

unidade de tempo.

Solução:

A resposta certa é a letra E.

Se for traçado uma reta perpendicular entre zero e um,

percebe-se que nesse intervalo é mais vantajoso os juros SIMPLES, pois a reta está abaixo da curva.

SINÓPSE – JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS

DEFINIÇÃO É o regime de

capitalzação onde a incidência dos

juros ocorrem no final do período

em que o capital é aplicado a taxas

que são apresentadas em

intervalos menores

É o regime de

capitalização onde os juros incidem durante

todo

JUROS J = c . i . n -

MONTANTE M = C(1 + in) M = C(1 + i)n

TAXA

nC

Ji

.

n

nn

C

CMi

1

11

TEMPO

iC

Jn

.

iC

M

n

1log

log

GRÁFICO DO

MONTANTE

Linear

exponencial

PROVAS COM GABARITO COMENTADO

Um funcionário demitido recebeu o seu FGTS e investiu

parte dele em uma instituição financeira que remunera os investimentos captados com juros compostos capitalizados

mensalmente.

A partir dessa situação, julgue os itens que se seguem, considerando 0,301 e 0,477 como valores aproximados de log

2 e log 3, respectivamente.

1-(BRB – 2009) Se, ao final do terceiro mês após o investimento, o montante for de R$ 20.000,00 e, ao final do

quinto mês, de R$ 24.200,00, então o capital investido inicialmente foi inferior a R$ 16.000,00.

2- (BASA – CESPE-2007)

Considere a seguinte situação hipotética.

Marta, estudando a possibilidade de trocar de carro daqui a 1

ano, fez uma pesquisa e concluiu que necessitará, na data da negociação, de R$ 30.000,00. Ela procurou então uma

instituição financeira para fazer uma aplicação e ter, no tempo certo, a quantia necessária. A instituição financeira

remunera as aplicações de seus clientes em 1% ao mês.

Nessa situação, tomando-se 1,13 como valor aproximado

para , conclui-se que, para que Marta tenha o valor

necessário para a troca do seu carro daqui a um ano, ela necessitará aplicar hoje uma quantia inferior a R$ 25.000,00.

4- SEFAZ-CESPE-2009

Os juros aplicados foram de 1% ao mês.

5- SEFAZ-CESPE-2009

Foi utilizado o sistema de capitalização composto.

6- SEFAZ-CESPE-2009


28

Se a aplicação fosse por um período de 5 meses, então o montante no final do período seria superior a

R$ 1.050.000,00.

7-(CESPE-BANESE/2004)Considere que uma pessoa tome

R$ 1.500,00 emprestados a juros de 10% ao mês, pelo prazo de 2 meses. Nesse caso, se a capitalização for

composta, o montante a ser devolvido no final do período será superior a R$ 1.800,00.

8-(BASA-2004)No regime de juros simples, o capital evolui

linearmente enquanto que, no regime de juros compostos, essa evolução é exponencial.

9-(BASA-2004)Investindo-se R$ 10.000,00 hoje a uma taxa

anual de juros composta de 20%, capitalizados anualmente, obter-se-ão, daqui a dois anos, R$ 14.400,00.

Julgue os próximos itens, acerca de matemática financeira.

10-(CESPE-SEFAZ-2008) Se um capital de R$ 2.000,00

foi aplicado por um período de 2 meses, sem saques no período, e o montante desse investimento, ao final dos 2

meses, foi de R$ 2.205,00, então, nesse investimento, foi praticada a taxa de juros compostos de 5% a.m.

11-CESPE-SEFAZ-2008 Considere que R$ 2.000,00 tenham

sido investidos em uma aplicação financeira que paga juros

compostos de 5% a.m. e que, depois de certo período em que não houve qualquer saque ou nova aplicação nesse

investimento, o montante era de R$ 2.315,25. Nessas condições, é correto concluir esse investimento foi feito por 3

meses.

12-CESPE- 2008 Considere que os investimentos feitos na instituição financeira A são pagos a uma taxa de juros

simples de 1% ao mês, enquanto os feitos na instituição financeira B são pagos a uma taxa de juros compostos

também de 1% ao mês.

Nessas condições, se o capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por um período de 3 meses em uma dessas instituições e o

montante dessa aplicação, ao final dos 3 meses, foi superior a R$ 1.030,00, é correto concluir que o capital foi investido na

instituição financeira B.

13 –A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de:

a) R$ 10.358,00

b) R$ 10.368,00

c) R$ 10.378,00

d) R$ 10.388,00

14 –Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 a taxa

de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 3 meses?

a) R$ 26.420,00

b) R$ 26.520,00

c) R$ 26.620,00

d) R$ 26.720,00

15 - Um capital de US$ 2.000,00, aplicado à taxa racional

composta de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de

quantos dólares? Dado: (1,05)12

= 1,79586.

a) US$ 3.291,72

b) US$ 3.391,72

c) US$ 3.491,72

d) US$ 3.591,72

16 – (ESAF) A aplicação de um capital de R$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a

uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:

a) de R$ 3.000,00

b) de R$ 13.000,00

c) inferior a R$ 13.000,00

d) superior a R$ 13.000,00

e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros

simples.

17 – (ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano,

seu montante final é:

a) 30% superior ao capital inicial.

b) 130% do valor do capital inicial.

c) aproximadamente 150% de capital inicial

d) aproximadamente 133% do capital inicial

18 –Um investidor aplicou a quantia de R$ 100.000,00 a taxa

de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital

irá gerar após 4 meses?

a) R$ 140.410,00

b) R$ 142.410,00

c) R$ 144.410,00

d) R$ 146.410,00

19 – (AFTN) Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros

composto de 15% a.a., pelo prazo de 3 ano e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao

final do prazo era de:

a) R$ 16.590

b) R$ 16.602

c) R$ 16.698

d) R$ 16.705

e) R$ 16.730

20– (AFC-TCU) Um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em:

a) 5 meses e meio

b) 6 meses

c) 3 meses e meio

d) 5 meses

e) 3 meses

GABARITO COMENTADO

1-Solução:

M3 =20.000

M5 = 24.200

C = ?

Os valores atuais dos dois valores acima referem-se ao

mesmo capital, logo eles são iguais.

A3 = 3

3

)1( i

M

=

3)1(

000.20

i

A5 = 5

5

)1( i

M

=

5)1(

200.24

i

Como os valores atuais são iguais, fica:


29

3)1(

000.20

i=

5)1(

200.24

i

Aplicando-se a propriedade da proporção fica:

3

5

)1(

)1(

i

i

=

000.20

200.24

Aplicando-se a propriedade da potenciaçãomn

m

n

aa

a ,

temos:

21,1)1( 35 i

21,1)1( 2 i

22 1,1)1( i

Como os expoentes são iguais, logo iguala- se as bases:

1 + i = 1,1

i = 1,1 – 1

i = 0,1

agora substituindo-se em A3 ou em A5, obtemos:

A3 = 3)1,01(

000.20

331,1

000.20

)1,1(

000.203 =1.502,29 que é

menor que 1.600,00, logo:

Resposta: certa

2-Solução:

Método 1:

Quando for solicitado o valor que deve ser aplicado e for

dado o montante(30.000) esperado e o fator de capitalização(1,13). É só dividir aquele por este.

30.000 : 1,13 = 26.548( valor superior a 25.000) logo:

Resposta: errada

Método 2:

M = 30.000

i = 1% ao mês = 0,01

n = 12 meses

Substituindo-se os dados na fórmula M = C. (1 + i)n, vem:

30000 = C. (1 + 0,1)12

1,112 .C = 30000

C = 67,2654813,1

000.30 > 25.000

Logo resposta: errada

3-Solução:

Pela observação do gráfico constatamos que o valor C está abaixo do valor 1.010.000, logo ele é inferior ao mesmo,

logo:

Resposta: errada

4-Solução:

É só pegar um intervalo de 1 a 2.

Em 1 o valor do montante é 1.010.000 e em 2 o valor é 1.020.100, logo o valor da taxa será dado por:

i = 100000.010.1

000.010.1100.020.1x

i = 100000.010.1

100.10x

i = 0,01 x 100 = 1%

Resposta: certa

5-Solução:

Pelo comportamento do gráfico a resposta certa é:

Resposta: certa

6-Solução:

No mês 4 o valor já é de 1.040.604, logo com um acréscimo

de mais 1% fica:

1,01. 1.040.604 = 1.051.010 que é superior a 1.050.000, logo:

Resposta: certa

7-Solução:

É o tipo de questão que nem precisa utilizar a regra do

montante em juros compostos uma vez se fosse juros simples 10% ao mês em dois meses daria 20%. Se aplicarmos 20%

sobre 1.500 o resultado seria 300 que ao somado com 1500 daria 1.800. Como sabemos o montante em juros compostos

é sempre superior ao montante em juros simples para uma mesma taxa e em um mesmo período. Logo:

Resposta: certa

8-Solução:

Conforme foi estudado os juros simples crescem conforme

uma reta e os juros compostos crescem segundo uma exponencial, logo:

Resposta: errada

9-Solução:

Método 1

C = 10.000

i = 20% ao ano = 0,2

n = 2 anos

Substituindo-se na fórmula, temos:

M = C.(1 + i)n

M = 10000.(1 + 0,2)2

M = 10000. 1,22

M = 10000. 1,44

M = 14.400

Resposta: certa

Método 2

20% ao mês em juros compostos é equivalente a 44% ao mês,logo aplicando sobre o principal de R$10.000,00, vem:

44% = 0,44

M = 1,44 . 10.000

M = 14.400

Julgue os próximos itens, acerca de matemática financeira.

10-Solução:

Em juros composto 5% ao mês em dois meses é equivalente

a:

É só usar a dica do Ronilson:


30

5 + 5 + 0,5 . 0,5

10 + 0,25 = 10,25% = 0,1025

Para obter o montante é só multiplicar o capital por 1+ 0,1025

1,1025

M = 2000 x 1,1025

M = 2.205, logo:

Resposta: certa

11-Solução:

A questão anterior apresenta o montante(2.205) em juros

compostos em 2 meses a uma taxa de 5% ao mês. Se acrescentarmos mais um mês, vem:

M=1,05 . 2205

M = 2.315,25,logo:

Resposta: certa

12-Solução:

Se o capital for aplicado a juros simples a 1% ao mês em 3

meses ele estará aumentado de 3%(0,03), logo o montante será:

M = 1,03. 1000 = 1.030.

Como sabemos em o montante em juros compostos para

período superior à unidade é sempre superior ao montante a juros simples, logo como o valor apresentado foi superior a

1.030 concluímos que o capital foi investido na instituição B.

Resposta: certa

13-Soluçaõ:

C = 5.000

i = 20% ao mês = 0,2

n = 4 meses

Aplicando na fórmula do montante, vem:

M = C .(1 +i)n

M = 5000. (1 + 0,2)4

M = 5000. 1,22

Consultando a tabela no final do livro temos 1,24 = 2,0736

M = 5000. 2,0736

M = 10.364

Resposta: letra b

14-Solução:

C = 20.000

i = 10% ao mês = 0,1

n = 3 meses


M = C .(1 +i)n

M = 20000.(1 +0,1)3

M = 20000. 1,13

M = 20000. 1,331

M = 26.620

Resposta: letra c

16- Solução:

Quando é dado o capital e o fator de capitalização é só

fazermos o produto e já temos a resposta:

M = 20000. 1,79586

M = 3.591,72

Resposta: letra d

16-Solução:

Se fosse juros simples o montante acumulado em três meses seria 30% ( 3 x 10) a mais que o capital investido, o que

daria um montante de 1,3 x10.000 = 13.000

Como o regime foi de juros compostos então o valor do montante será superior a 13.0000.

Resposta: letra d

17-Solução:

Pela dica de Ronilson, sabemos que em juros compostos 10%

ao mês é equivalente a 33,1% em três meses.

Desta forma o montante é aprosimadamente 133%(100 + 33) do capital inicial.

Resposta: letra d

18-Soluçaõ:

C =100.000

i = 10% ao mês = 0,1

n = 4 meses


M = C .(1 +i)n

M = 100.000. (1 + 0,1)4

M = 100.000. 1,24

Consultando a tabela no final do livro temos 1,14 = 1,4641

M = 100.000. 1,4641

M = 146.410

Resposta: letra d

19-Solução:

C = 10.000

i = 15% a.a= 0,15

n = 3 anos 8 meses

-Primeiramente para o período inteiro de 3 anos, vem:

M = C .(1 +i)n

M = 10.000. (1 + 0,15)3

M = 10.000. 1,153

Consultando a tabela no final do livro percebemos que 1,153 = 1,520875, daí:

M= 10.000 x 1,520875

M =15208,75

Aplicando a progressão linear:

15% 12 meses

X 8 meses

12x = 15 . 8

X = %1012

120

Aplicando 10% sobre o valor 15.208,75, vem:

M = 15.208,75 . 1,1

M = 16.729,59 mais próximo de 16.730

Resposta: letra e

20 -Solução:

Suponhamos que o capital inicial era R$ 100,00. Em 2 meses um capital de R$ 100,00 para a ser R$ 200,00. Em mais 2

meses o capital passa a ser R$400,00. Em mais 2 meses o capital passa a ser R$800,00.

Se o valor era R$100,00 e agora é R$800,00 é por que o

valor foi aumentado de 700% e isso levou 6 meses.

Resposta: letra b

aula1e2completo

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