UNIDADE Tiet/Catua Estatstica e Probabilidade 2015/1 Prof. Antonio Carlos Patrocinio Junior

Seo 5.3

Distribuies normais:

encontrando valores

Objetivos da Seo 5.3

Encontrar um escore z dada a rea sob a curva normal

Transformar um escore z em um valor x

Encontrar o valor de um dado especfico de uma distribuio normal dada a probabilidade

Encontrando valores dada uma probabilidade

Na seo 5.2 foi dada uma varivel aleatria x normalmente distribuda e foi pedido que encontrassem a probabilidade

Nesta seo, ser dada uma probabilidade e ser pedido o valor da varivel aleatria x

x z Probabilidade

5,2

5,3

Exemplo: encontrando um escore z dada uma rea

Encontre o escore z que corresponda rea cumulativa de 0,3632.

z 0 z

0,3632

Soluo:

Soluo: encontrando um escore z dada uma rea

Localize 0,3632 no corpo da tabela normal padro

Os valores no comeo da fileira correspondente e no topo da coluna fornecem o escore z

O escore z

0,35.

Exemplo: encontrando um escore z dada uma rea

Encontre o escore z que tenha 10,75% da rea da distribuio sua direita.

z 0 z

0,1075

Soluo:

1 0,1075

= 0,8925

Porque a rea direita 0,1075 e a rea

cumulativa 0,8925.

Soluo: encontrando um escore z dada uma rea

Localize 0,8925 no corpo da tabela normal padro

Os valores no comeo da fileira correspondente e no topo da coluna fornecem o escore z

O escore z

1,24.

Exemplo: encontrando um escore z dado um percentil

Encontre o escore z que corresponda P5.

Soluo: O escore z que corresponde P5 o mesmo escore z que

corresponde rea de 0,05.

As reas mais prximas de 0,05 na tabela so 0,0495 (z =

1,65) e 0,0505 (z = 1,64). Porque 0,05 est entre as duas

reas na tabela, use o escore z que est entre 1,64 e 1,65.

O escore z 1,645.

z 0 z

0,05

Transformando um escore z em um escore x

Para transformar um escore z para um valor x em uma dada populao, use a frmula:

x = + z

Exemplo: encontrando um valor x

As velocidades dos veculos em um trecho de uma rodovia so normalmente distribudas, com uma mdia de 67 milhas por hora e um desvio padro de 4 milhas por horas. Encontre as velocidades x correspondentes aos escores z de 1,96, 2,33 e 0.

Exemplo: encontrando um valor x

As velocidades dos veculos em um trecho de uma rodovia so normalmente distribudas, com uma mdia de 67 milhas por hora e um desvio padro de 4 milhas por horas. Encontre as velocidades x correspondentes aos escores z de 1,96, 2,33 e 0.

Soluo: Use a frmula x = + z

z = 1,96: x = 67 + 1,96(4) = 74,84 milhas por hora

z = 2,33: x = 67 + (2,33)(4) = 57,68 milhas por hora

z = 0: x = 67 + 0(4) = 67 milhas por hora

Note que 74,84 mph est acima da mdia, e 67 mph igual

mdia.

Exemplo: encontrando um dado de valor especfico

As pontuaes para um teste de servio civil so normalmente distribudos, com uma mdia de 75 e um desvio padro de 6,5. Para ser adequado ao emprego de servio civil, voc precisa ter uma pontuao dentro dos primeiros 5%. Qual a menor pontuao que voc pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego?

Exemplo: encontrando um dado de valor especfico

As pontuaes para um teste de servio civil so normalmente distribudos, com uma mdia de 75 e um desvio padro de 6,5. Para ser adequado ao emprego de servio civil, voc precisa ter uma pontuao dentro dos primeiros 5%. Qual a menor pontuao que voc pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego?

? 0 z

5%

? 75 x

Soluo: 1 0,05 = 0,95

Uma pontuao no teste acima

dos primeiros 5% qualquer

pontuao acima do 95

percentil. Encontre o escore z

que corresponda rea

cumulativa de 0,95.

Soluo: encontrando um dado de valor especfico

Pela tabela normal padro, as reas mais prximas de 0,95 so 0,9495 (z = 1,64) e 0,9505 (z = 1,65). Como 0,95 est entre as duas reas na tabela, use o escore z que est entre 1,64 e 1,65, isto , z = 1,645.

1,645 0 z

5%

? 75 x

Usando a equao x = + z

x = 75 + 1,645(6,5) 85,69

1,645 0 z

5%

85,69 75 x

A pontuao mais baixa que voc pode obter e

ainda assim estar qualificado para o emprego 86.

Resumo da Seo 5.3

Encontramos um escore z dada a rea sob a curva normal

Transformamos um escore z em um valor x

Encontramos o valor de um dado especfico de uma distribuio normal dada a probabilidade

Objetivos da Seo 5.4

Encontrar distribuies amostrais e verificar suas propriedades

Interpretar o Teorema do Limite Central

Aplicar o Teorema do Limite Central para encontrar a probabilidade de uma mdia da amostra

Distribuies amostrais

Distribuies amostrais

A distribuio de probabilidades de uma estatstica de amostragem

Formadas quando amostras de tamanho n so repetidamente tomadas de uma populao

Ex.: distribuio de amostras de mdias amostrais

Distribuies de amostras de mdias amostrais

Exemplo 1

1x

Exemplo 2

2

x

Exemplo 3

Exemplo 4

Populao com ,

A distribuio da amostragem consiste dos valores das

mdias amostrais, 1 2 3 4 5, , , , ,...x x x x x

Exemplo 5

5x

2. O desvio padro das mdias amostrais, , igual ao desvio padro da populao, dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostragem, n.

1. A mdia das mdias amostrais, , igual mdia populacional .

Propriedades de distribuies de amostras

de mdias amostrais

x

x

x

xn

Chamado de erro padro da mdia

Exemplo: distribuies de amostras de mdias amostrais

Os valores populacionais {1, 3, 5, 7} so escritos em pedaos de papel e postos em uma caixa. Dois pedaos de papel so aleatoriamente selecionados, sendo recolocados na caixa aps cada seleo.

a. Encontre a mdia, a variao e o desvio padro da populao.

Mean: 4x

N

22Varianc : 5e

( )x

N

Standard Deviat 5ion 236: 2.

Soluo:

b. Faa o grfico do histograma de probabilidade dos valores populacionais.

Todos os valores tm a

mesma probabilidade de

serem selecionados

(distribuio uniforme)

Valores populacionais

Pro

bab

ilid

ade

0.25

1 3 5 7

x

P(x) Histograma de

probabilidade da

populao x

Soluo:

c. Liste todas as amostragens possveis de tamanho n = 2 e calcule a mdia de cada amostragem.

5 3, 7

4 3, 5

3 3, 3

2 3, 1

4 1, 7

3 1, 5

2 1, 3

1 1, 1

7 7, 7

6 7, 5

5 7, 3

4 7, 1

6 5, 7

5 5, 5

4 5, 3

3 5, 1

Essas mdias

formam a

distribuio

amostral das

mdias amostrais

Amostragem x

Soluo:

Amostragem x

d. Construa a distribuio de probabilidade das mdias amostrais.

x f Probability f Probabilidade

1 1 0,0625

2 2 0,1250

3 3 0,1875

4 4 0,2500

5 3 0,1875

6 2 0,1250

7 1 0,0625

xSoluo:

e. Encontre a mdia, a varincia e o desvio padro da distribuio amostral das mdias amostrais.

Soluo:

A mdia, a varincia, e o desvio padro de 16

amostras so:

4x

2 5 2 5

2.

x 2 5 1 581x . .

Esses resultados satisfazem as propriedades de

distribuies de amostras de mdias amostrais.

4x

5 2 236

1 5812 2

..

xn

f. Faa o grfico do histograma de probabilidade das mdias amostrais.

O grfico

simtrico e em

formato de sino.

Aproxima-se de

uma distribuio

normal

Soluo:

Mdia amostral

Pro

bab

ilid

ade 0,25

P(x) Histograma de probabilidade da

distribuio amostral de

0,20

0,15

0,10

0,05

6 7 5 4 3 2

x

x

O Teorema do Limite Central

1. Se amostragens de tamanho n 30 so tiradas de qualquer populao de mdia = e desvio padro = ,

x

x

xx

x

xxxx x

xx

x x

ento a distribuio de amostras da mdia amostral aproxima-se de

uma distribuio normal. Quanto maior o tamanho da amostragem,

melhor a aproximao.

2. Se a prpria populao normalmente distribuda,

a distribuio de amostras das mdias amostrais

normalmente distribuda para qualquer tamanho de

amostragem n.

x

x

x

xx

x

x

xxx x

xx

x

Em ambos os casos, a distribuio de amostras de mdias amostrais tem uma mdia igual mdia da populao.

A distribuio da amostra de mdias amostrais tem uma varincia igual a 1/n vezes a varincia da populao e um desvio padro igual ao desvio padro da populao dividido pela raiz quadrada de n.

Varincia

Desvio padro (erro padro da

mdia)

x

xn

22

x n

1. Distribuio populacional qualquer 2. Distribuio populacional normal

Distribuio das mdias

amostrais (n 30)

Distribuio das mdias

amostrais (n qualquer)

Exemplo: interpretando o Teorema do Limite Central

As contas dos telefones dos habitantes de uma cidade tm uma mdia de $ 64 e um desvio padro de $ 9. Amostragens aleatrias de 36 contas de telefone so tiradas dessa populao e a mdia de cada amostragem determinada. Encontre a mdia e o erro padro da mdia da distribuio amostral. Ento esboce um grfico da distribuio amostral das mdias amostrais.

Soluo: interpretando o Teorema do Limite Central

A mdia da distribuio de amostras igual mdia da populao

O erro padro da mdia igual ao desvio padro populacional dividido pela raiz quadrada de n

64x

91.5

36x

n

J que o tamanho da amostragem maior que 30, a distribuio das amostras pode ser aproximada por uma distribuio normal com

64x 1.5x

Exemplo: interpretando o Teorema do Limite Central

As alturas das rvores de carvalho branco adultas so normalmente distribudas, com uma mdia de 90 ps e um desvio padro de 3,5 ps. Amostras aleatrias de tamanho 4 so tiradas dessa populao, e a mdia de cada amostra determinada. Encontre a mdia e o erro padro da mdia da distribuio amostral. Ento esboce um grfico da distribuio amostral das mdias amostrais.

Soluo: interpretando o Teorema do Limite Central

A mdia da distribuio amostral igual mdia populacional

O erro padro da mdia igual ao desvio padro da populao dividido pela raiz quadrada de n.

90x

3.51.75

4x

n

J que a populao normalmente distribuda, a distribuio amostral da mdia amostral tambm normalmente distribuda.

90x 1.75x

Probabilidade e o Teorema do Limite Central

Para transformar x em um escore z

Exemplo: probabilidades para distribuies amostrais

O grfico mostra o tempo gasto pelas pessoas dirigindo a cada dia. Voc seleciona aleatoriamente 50 motoristas de 15 at 19 anos. Qual a probabilidade de que o tempo mdio que eles gastem dirigindo diariamente esteja entre 24,7 e 25,5 minutos? Assuma que = 1,5 minutos.

Soluo: probabilidades para distribuies amostrais

A partir do Teorema do Limite Central (tamanho de amostragem maior que 30), a distribuio amostral das mdias amostrais aproximadamente normal com

25x

1.50.21213

50x

n

124 7 251 41

1 550

xz

n

- . -

- ..

24,7 25

P(24,7 < x < 25,5)

x

Distribuio normal

= 25 = 0,21213

2

25 5 252 36

1 550

xz

n

- . -

..

25,5 1,41 z

Distribuio normal padro

= 0 = 1

0

P(1,41 < z < 2,36)

2,36

0,9909 0,0793

P(24 < x < 54) = P(1,41 < z < 2,36)

= 0,9909 0,0793 = 0,9116

Exemplo: probabilidades para x e x

Um auditor de um banco afirma que os balanos dos cartes de crdito so normalmente distribudos com uma mdia de $ 2.870 e um desvio padro de $ 900.

Soluo:

Foi pedido que encontrssemos a probabilidade

associada com um certo valor da varivel aleatria x.

1. Qual a probabilidade de que um portador de carto

de crdito aleatoriamente selecionado tenha um

balano menor que $ 2.500?

Soluo: probabilidades para x e x

P( x < 2.500) = P(z < 0,41) = 0,3409

2500 28700 41

900

xz

- -

- .

2.500 2.870

P(x < 2.500)

x

Distribuio normal

= 2.870 = 900

-0.41

z

Distribuio normal padro

= 0 = 1

0

P(z < 0,41)

0,3409

2. Voc seleciona aleatoriamente 25 portadores de carto de crdito. Qual a probabilidade de que a mdia dos balanos dos seus cartes de crdito seja menor que $ 2.500?

Soluo:

Foi pedido que encontrssemos a probabilidade associada

com uma mdia amostral . x

2870x 900

18025

xn

Exemplo: probabilidades para x e x

0

P(z < 2,06)

2,06 z

Distribuio normal padro

= 0 = 1

0,0197

2500 28702 06

90025

xz

n

- -

- .

Distribuio normal

= 2.870 = 180

2.500 2.870

P(x < 2.500)

x

P( x < 2.500) = P(z < 2,06) = 0,0197

Soluo: probabilidades para x e x

Existe uma chance de 34% para o indivduo ter um balano menor que $ 2.500

Existe apenas 2% de chance para que a mdia de uma amostragem de 25 tenha um balano menor que $ 2.500 (evento incomum)

possvel que a amostragem seja incomum ou possvel que a afirmao do auditor, de que a mdia $ 2.870, seja incorreta

Soluo: probabilidades para x e x

Resumo da seo 5.4

Encontramos distribuies amostrais e verificamos suas propriedades

Interpretamos o Teorema do Limite Central

Aplicamos o Teorema do Limite Central para encontrar a probabilidade de uma mdia da amostra