aula_11_sistemas_estruturais

2/6/2011

CAMPUS CATALO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Sistemas EstruturaisTpico: Placas, chapas e cascas

Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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SuperfciesQuando o elemento possui uma das trs dimenses muito menor que as outras duas, esses elementos so chamados de elementos de superfcie.

chapas

placas

cascas

As superfcies podem ser planas, como nos casos de chapas e placas, ou espaciais no caso de cascas

chapas de ligao viga parede emendas ChapasSistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

lajes em geral Placas

casca cilndrica

abbodas Cascas 2

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SuperfciesDefinio: As placas, chapas ou cascas so elementos estruturais superficiais (uma dimenso muito menor que as outras duas) O que difere uma das outras a forma fsica e duas). e, consequentemente, o modo como as solicitaes internas acontecem.placas chapas cascas

Flexo nas duas direes como vigas nas duas direes.

Compresso direta podendo estar associada a uma flexo de viga se tiverem apoios discretos como tal.


Compresso como em um arco geralmente associada a flexo por serem cascas esbeltas e abatidas 3

PlacasDefinio: elemento superficial com carregamento normal (ortogonal) a essa superfcie. Os principais representantes destes elementos so as lajes em geral. Comportamento: A sua forma e o modo de suas aes atuantes fazem com que as placas se comportem como associaes de vigas (de pequena altura) em uma ou nas duas direes. Assim sendo, nelas estaro ocorrendo flexo (em uma ou nas duas direes) e cisalhamento. Como possuem pequena altura, o cisalhamento acaba por no atuar de modo considervel, sendo desprezado (as lajes de concreto em geral no preciso serem armadas para o cisalhamento estribos) Para estribos). sabermos se a placa ir fletir em uma ou nas duas direes devemos analisar a forma. Se forem placas (lajes) alongadas lado maior pelo menos duas vezes o lado menor, a laje vai fletir apenas em uma direo. Caso a forma em planta seja prxima da quadrada (lado maior menor que duas vezes o lado menor), haver flexo nas duas direes.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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PlacasSe apoiadas nas quatro bordas:

laje alongada

laje no-alongada

Materiais: teoricamente os materiais ideais deveriam ser o ao e a madeira por se comportarem melhor na flexo mas placas destes materiais so difceis de se obter ou construir. Sendo assim, geralmente so utilizados os concretos armados, com possibilidades de associaes com o ao ou a madeira.


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ChapasDefinio: elemento superficial com carregamento ao longo desta superfcie, contido no plano. O principais representantes d t elementos so as paredes d tid l Os i i i t t destes l t d das alvenarias estruturais e pelas vigas paredes. Comportamento: As chapas so elementos que recebem as aes diretamente, geralmente as comprimindo ao longo de toda a sua extenso, principalmente as paredes apoiadas em toda sua extenso (fundaes em sapatas corridas). Quando h aberturas do tipo janelas e portas as solicitaes as contornam e se estabilizam novamente. No caso de vigas paredes (apoios discretos como sapatas isoladas), alm desta compresso direta, aparece uma flexo associada, como nas vigas. Tal como nas placas (lajes) no se considera o cisalhamento mas aqui pelo fato da (lajes), cisalhamento, altura da seo ser muito grande. Materiais: quanto aos materiais, temos os mesmo empecilhos das placas quanto ao ao e a madeira, mas alm das paredes e vigas paredes de concreto armado, podemos utilizar outros materiais como os materiais cermicos das alvenarias estruturais.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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CascasDefinio: elemento superficial com curvas, com seus carregamentos tanto ao longo desta superfcie como normal ou inclinado a sua superfcie. Os principais representantes destes elementos so as cascas cilndricas e as abbodas. Comportamento: As cascas so elementos que por serem curvos, de cilndricos a geodsicos, sempre estaro tentando se aproximarem do comportamento dos arcos (compresso). As cascas modernas so geralmente muito mais abatidas (flechas menores) que os arcos conceituais fazendo com que aparea flexo sempre. O cisalhamento tambm pode ser desprezado. Materiais: quanto aos materiais, temos os mesmo empecilhos das placas e chapas quanto ao ao e a madeira por isso geralmente encontraremos cascas de concreto armado. O ao e a madeira podem ser utilizados como domos de modo que ser comportem como cascas.


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CascasCascas so estruturas de superfcie delgadas, no planas, que recebem p g , p , q cargas distribudas e reagem atravs de esforos solicitantes predominantemente de trao e compresso. Quando a espessura da casca pequena, comparando-se com as outras dimenses, a rigidez a momento fletor (que proporcional ao momento de inrcia) muito pequena, e pode ser considerada igual a zero. Neste casos as cascas podem ser estudadas pela teoria da membrana.


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Teoria de MembranaMembranas so estruturas de superfcie no planas, de pequena espessura, p p , p q p , que absorvem as cargas externas por esforos solicitantes normais s sees transversais de trao ou compresso. A expresso membrana vem de estruturas inflveis, de tecido ou de elastmero. Exemplos: balo dirigvel, armazm inflado para estoque de gros, tensoestruturas.


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Exemplos


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Teoria de Armado

membrana

aplicada

ao

Concreto

Aplica-se ao concreto armado, desprezada a rigidez flexo da estrutura, com boa aproximao. A pequena rigidez do elemento da estrutura (espessura pequena) no implica em pequena rigidez do conjunto, que pode resistir aos esforos de compresso sem risco de flambagem: o conjunto de superfcie curva como um todo tem grande rigidez quando comparado com a mesma superfcie plana. Quando existem cargas concentradas (pilares de lanternim, por exemplo), tornase necessrio a adoo de elemento estrutural de transio pra transformar a carga concentrada em carga distribuda (anel superior contnuo).


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Exemplo: cpula esfrica

Note-se que as reaes das cascas, nos apoios, devem ter a direo da tangente superfcie no ponto. Quando isto no acontece, so geradas perturbaes nas bordas das cascas, dando origem a esforos de flexo maiores na regio prxima s bordas.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Gerao de Superfcies de CascasA maioria das superfcies geometricamente definidas, usadas nas estruturas em cascas, so geradas por um dos processos bsicos: rotao ou translao de uma curva. No primeiro processo, a curva girando ao redor de um eixo, chamado eixo de rotao, gera as superfcies de revoluo.

Curva de equao z = f(x)

Superfcie de equao z = f(x,y)Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Gerao de Superfcies de CascasNo segundo processo, a curva translada-se paralelamente a si mesma, apoiando-se apoiando se constantemente numa curva diretriz gerando as superfcies diretriz, de translao.

Curva geratriz

Curva Diretriz


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Superfcie de revoluoQuando o eixo d superfcie d revoluo vertical e a curva i t Q d i da f i de l ti l intercepta t este eixo, a casca denominada cpula.Eixo Paralelas Esfera Tangente em P Meridiano

Esfera Tangente


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Superfcie de revoluoQualquer curva pode ser usada como meridiano, gerando diferentes superfcies. superfcies


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Influncia da curvatura na capacidade resistente da cascaA carga atuante resistida como se houvesse, passando em duas direes ortogonais, dois arcos pelo ponto em cascas de dupla curvatura.


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Influncia da curvatura na capacidade resistente da cascaNo caso de cascas de simples curvatura, a carga p resistida em uma direo por arco e em outra como viga. Assim, as cascas de simples curvatura so menos eficientes do ponto de vista estrutural que as de dupla curvatura (embora as primeiras sejam construtivamente menos trabalhosas).


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Rigidez flexo de placasPlaca Retangular com relao de lados maior que 2, apoiadas nas duas bordas maiores, sujeitas carga qs distribuda uniformemente em toda a superfcie Para a superfcie. faixa de largura unitria tem-se: Carga Distribuda

q = 1.qsMomento de Inrcia

I=Momento Fletor Mdulo Resistncia Flexo

1.t 3 t 3 = 12 12

Tenso Normal Mxima

M=

ql 2 8

W=

t 1.t = 6 62

2

x =

M 6M = 2 W t19


Rigidez flexo de placasMdulo de Rigidez Flexo da Placa

D=

Et 3 12 1 2

(

)

A constante D anloga constante EI utilizada no estudo das vigas. Nota-se que a rigidez flexo das placas ligeiramente superior rigidez flexo das vigas. No caso do ao, em que adotado igual a 0,3, obtm-se

D 1,1EIFlecha Mxima

0 =

5ql 4 384 D

0 =

5ql 4 1 2 384 EI

(

)20


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Rigidez flexo de placasAs mesmas expresses poderiam ser usadas, como aproximao, caso as bordas p p , p , menores tambm fossem apoiadas e a relao de lados fosse maior do que 2. Observa-se que foi utilizada uma expresso corrigida da flecha de viga, para levar em conta o efeito das tenses transversais faixa considerada (efeito de Poisson).


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Rigidez flexo de placasPlacas em balano, sujeitas a cargas distribudas ou concentradas. Para a carga qs tem-se, na faixa de largura unitria:

Carga Distribuda

q = 1.qsMomento Fletor Mdulo Resistncia Flexo Tenso Normal Mxima

M=

ql 2 2

W=

1.t 2 t 2 = 6 6

x =

M 6M = 2 W t22


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Rigidez flexo de placasPlacas em balano, sujeitas a cargas distribudas ou concentradas. Para a carga concentrada tem-se:

b = a + 2c

Momento Fletor

Mdulo Resistncia Flexo

Tenso Normal Mxima

M ' = Pc

W'

bt 6

2

x =

M' W'23


Efeitos de BordaOs valores de tenses e deslocamentos (ou flechas) obtidos pelas equaes anteriores possuem validade apenas para o trecho central, pois prximo aos cantos estas tenses e deslocamentos (ou flechas) mudam de sentido, dando origem a fenmeno conhecido como efeito de borda (tendncia de levantamento dos cantos); Como os cantos esto ligados aos apoios, estes possuem reaes negativas, que atingem um valor mximo no encontro das duas bordas. Essas reaes introduzem um momento no sentido contrrio ao momento que ocorre no centro da placa. Esses momentos que surgem nos cantos so denominados de momentos volventes, e a no considerao dos mesmos costuma ser uma hiptese conservadora. Devido as perturbaes que surgem nos cantos, as reaes e, consequentemente, as tenses ao longo das bordas no possuem valores constantes.


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Efeitos de BordaVariao que ocorre na distribuio real das reaes de apoio nas bordas de uma placa uniformemente carregada e, a distribuio que normalmente adotada:


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Placas apoiadas nas quatro bordas distribuio das cargasAnalisando uma placa retangular de lados L e l, deseja-se conhecer a parcela de carregamento distribudo q que ser distribudo para cada direo. Como aproximao, pode-se isolar duas faixas unitrias centrais da placa, uma em cada direo, e compatibilizar as flechas, obtendo-se: Direo a: Direo b: Como

a = bq = qa + qb

a =

5qa l 4 1 2 384 EI

(

)

b =

5qb L4 1 2 384 EI

(

)

qa qb = L4 l 4

Portanto:

No caso de placa quadrada (L=l):

qL4 qa = 4 4 (L + l )

ql 4 qb = 4 4 (L + l )

qa = qb = 0,526


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Placas apoiadas nas quatro bordas distribuio das cargasNo caso, por exemplo, em que L=2l, obtm-se:

qa =

16 q = 0,941q 17

qb =

1 q = 0,059q 17

Neste caso possvel admitir que placas com relao entre lados (L/l) maior que dois, so consideradas, por simplificao, como apoiadas em uma nica direo. Nas lajes, tal com vigas, calculada uma armadura de ao para absorver as solicitaes de trao. As lajes com relao entre lados menor ou igual a 2 so, usualmente, calculadas como fletidas nas duas direes (armadas nas duas direes).Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Placas apoiadas nas quatro bordas distribuio das cargasQuando a relao entre lados ultrapassa o limite de 2, costuma-se dimension-las como fletidas apenas na direo do menor vo, sendo a direo mais rgida (armadas em uma direo, com armadura de distribuio na outra direo). Para resistir o momento volvente deve ser colocada uma armadura nos cantos da laje, local onde ocorre. A posio destas armaduras definida pelo sentido das solicitaes, ou seja, sempre na parte tracionada. Caso possa ocorrer uma inverso das solicitaes devem ser providenciadas duas armaduras uma em cada face da solicitaes, armaduras, laje.


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Flambagem de chapasAs chapas, quando solicitadas por foras de compresso (por exemplo, mesa de uma viga) ou de cisalhamento (por exemplo alma de um viga) podem perder exemplo, estabilidade, como qualquer outro elemento comprimido. Entretanto, por serem elementos planos, conduzem a formulaes diferentes das encontradas para a barras. Analisando uma chapa comprimida em uma s direo, sem apoio ao longo das bordas no solicitadas, pode-se fazer a analogia desta com a barra comprimida. Quando a chapa possuir as quatro bordas apoiadas continuamente, tem-se uma situao mais favorvel que a anterior, pois ocorre uma contribuio entre uma e outra direo, restringindo os deslocamentos de flexo devido flambagem.


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Flambagem de chapasFlambagem de chapa (com espessura t), sem apoio ao longo das bordas no solicitadas:

cr =

Fcr 2 EI = 2 A l A


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Flambagem de chapasFlambagem para chapa quadrada (l = b) e chapas longas , com l >> b (a configurao da flambagem constituda por ondas senoidais longitudinais)


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Flambagem de chapasTenso de compresso: Substitui

EI

por

D=

Et 3 12 1 2

(

)

A = bt

l por b

em

cr =

Fcr 2 EI = 2 A l A

Resulta em: cr = k

2E 12(1 2 )(b / t ) 2

A equao anterior a expresso geral para tenso crtica de flambagem elstica de chapas, sendo k um coeficiente adimensional que considera as condies de apoio das bordas e a relao entre o comprimento e largura da chapa (l/b).Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Flambagem de chapasChapas comprimidas: Esta situao ocorre na verificao da estabilidade local de mesas de perfis metlicos submetidos flexo ou flexo-compresso, e de mesas e almas de perfis metlicos solicitados por compresso.


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Flambagem de chapasChapas submetidas a tenses de compresso e trao: Esta situao ocorre na verificao da estabilidade local de almas de vigas, cujos valores apresentados para k valem apenas para flexo simtrica.

b b/2

lk = 39,6 quando as duas bordas forem engastadas; k = 24,9 quando as duas bordas forem apoiadas.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

b

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Flambagem de chapasChapas submetidas a tenses de cisalhamento: Esta situao ocorre na alma de vigas na direo da diagonal comprimida de uma painel solicitado por tenses de cisalhamento.

Para l/b > 1

4 k = 5,34 + 2 (l / b) 5,34 k = 4+ 2 (l / b)

Para l/b < 1


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Exemplos de Cascas e Cpulas

Pantheon, Roma, Itlia. 75 a 138 D.C. Dimetro de 43,3m (entre eixos). Foi a maior cpula construda at os tempos modernos. Possui a forma cilndrica com paredes de 6m de espessura. A cpula tem 22 de altura da base, de 6m de espessura at a abetura de 9m de dimetro e 1,5m de espessura.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Exemplos de Cascas e CpulasHagia Sofia, Istambul, Turquia. 532 a 537 D.C.Considerado uma das peas principais da arquitetura Bizantina. Possui um ambiente quadrado de 32m de lado, onde se apoia a cpula cujo pice est a 55m de altura.

Vista interna da cpula com 40 costelas terminando em 40 janelas. A cpula de 12,5m de altura foi reconstruda, com blocos de 60 e 70cm com 5cm de espessura, em 563 depois da destruio da original por um terremoto em 558.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Catedral de St. Paul, Londres, Inglaterra. 1710. Projetado em estilo barroco por Sir Christopher Wren. A cpula tem 34 m de dimetro e a cruz est a 111m de altura. A estrutura complexa consistindo de uma casca externa, um cone intermedirio que suporta os pesos do lanternin e da casca interna.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Novo Edifcio das Naes Unidas, Genebra, Sua. Cpula com doze faixas separadas por arcos bem abatidos que proporcionam o aparecimento de flexo.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Anfiteatro, Universidade de Illinois - Urbana, EUA. Grande cpula de 122m de dimetro com costelas em CA sobre anel de trao. Este anel est sobre uma estrutura de vigas que recebem, tambm, o peso da estrutura interna.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Tacoma Dome, Tacoma - WA, EUA. Ginsio de esportes e eventos com capacidade de 30000 pessoas. A cpula de 161,5m de dimetro treliada de madeira com anel de trao de CA.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Forum. Denver, EUA. Cobertura em casca de CA com espessuras variando de 7,5cm no alto at 15cm nos apoios. Cobre uma rea de 32m x 32m, alcanando altura de 10m.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Forum. Denver, EUA. Apoios metlicos em diagonal, seguindo a resultante das foras. Detalhe de um dos quatro apoios fixos que sustentam toda a casca.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Piscina coberta - Bad Drrheim - Alemanha - 1987


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Piscina coberta - Bad Drrheim - Alemanha - 1987Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Capela. Misouri, EUA. Consiste em duas fileiras de cascas. Forma inspirada no colarinho de freira medieval. A esttica interior, apesar de agradvel, inadequada acusticamente.Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Exemplo de Casca

Igreja So Francisco de Assis, BHSistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Exemplos de Placas

Lajes e BalanoSistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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